Aula MF2

Msc. Fbio Z. DallOrto 1

FACTEF VANTAGEM COMPETITIVA PROFISSIONAL Perodo/Curso: 4 Administrao

Disciplina: Matemtica Financeira

1) Objetivo: O enfoque terico da Matemtica Financeira o estudo da evoluo do dinheiro ao longo do tempo, visando estabelecer relaes entre quantias em datas distintas.

Por conseqncia dessa mudana de valor real do dinheiro ao longo do tempo, podemos extrair duas concluses: 1 - No se compara quantias expressas em datas diferentes: S possvel comprar quantias expressas na mesma data. Assim, neutraliza-se o efeito inflacionrio e o prmio de postecipao do fluxo de caixa, evidenciando apenas o valor real em estudo. Uma aplicao clara dessa propriedade a comparao do PIB ou Aferio de Performance de Vendas. 2 - S possvel realizar operaes algbricas com quantias expressas na mesma data. muito comum ouvir dizer que em uma compra parcelada em dez, doze, ou mais vezes, o comprador acaba pagando duas vezes o valor do bem. 2) Fundamentos Bsicos da Matemtica Financeira Capital Juro Taxa de Juro Montante




Juros O juro pode ser interpretado de duas maneiras: 1) J C i= g 2) J M C= - Montante M C J= + Taxa

1J M C M C M

iC C C C C

- = = = - = -

3) Regime de Capitalizao O que o Regime de Capitalizao? O regime de capitalizao nos informa como a taxa de juro incide sobre o capital. Existem basicamente dois regimes de capitalizao: Simples; Composto.




Capitalizao Simples: A taxa incide apenas sobre o capital originalmente aplicado, portanto, os valores dos juros incorridos so sempre constantes. Graficamente:

Capitalizao Composta ou Juros Compostos: A taxa incide sobre o valor acumulado (capital mais juros) do perodo anterior, logo, os juros crescem de forma exponencial:




Grfico Comparativo Regimes de Capitalizao Simples x Composto

1) Regime de Capita1izao Simples: 1.1) Conceito - A taxa incide apenas sobre o capital originalmente aplicado, portanto, os valores dos juros so sempre constantes. 1.2) Aplicao deste Regime de capitalizao: - Desconto de Ttulos; - Desconto de notas promissrias; - Operaes de curtssimo prazo. 1.3) Relaes Fundamentais do Regime de Capitalizao Simples:

Juros:

nJ C i n= g g




Montante: M C J= + Capital:

ATENO: I) O juro (J) e o capital (C) so, sempre, expressos em valores monetrios; II) Faz-se necessrio, em qualquer regime de capitalizao que a taxa (i) e o prazo (n) estejam sempre na mesma unidade de tempo. III) A taxa deve ser sempre utilizada na forma decimal. 1.4) Taxa Nominal, Proporcional e Equivalente (no regime de juros simples).

.Taxa Nominal - Quando a unidade de tempo expressa na taxa maior que a unidade de tempo do perodo de capitalizao.

6% ao ano, capitalizada mensalmente; 18% ao ano, capitalizada semestralmente; 15% ao semestre, capitalizada bimestralmete.

O que fazer nestes casos??

.Taxa Proporcional - E a taxa nominal devidamente adequada ao nmero de perodos de capitalizao da operao financeira.

Como se calcula a taxa proporcional ??

(1 )M C i n= +g g

1 ( )M

Ci n

=+ g

np p

c

ii n

n= g

Taxa Proporcional Taxa Nominal Nmero do perodo de capitalizao da taxa nominal Nmero de perodo de capitalizao da taxa proporcional

p

n

c

p

i

i

n

n

=

=

=

=




Exemplo: para uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, a taxa trimestral proporcional ser:

24%3 6%

12pi = =g

Taxas Equivalentes:

Dizemos que duas ou mais taxas so equivalentes quando esto expressas em perodos de capitalizaes diferentes, entretanto, quando aplicadas a um mesmo capital, com prazos idnticos, produzem montantes iguais. 3) Regime de Capitalizao Existem basicamente dois regimes de capitalizao; o simples e o composto. O regime de capitalizao nos informa como a taxa de juro incide sobre o capital; de forma linear no regime simples ou de forma exponencial no regime composto. Pode-se ainda fazer a seguinte distino; na capitalizao simples a taxa incide somente sobre o capital inicial e os valores dos juros so sempre constantes. Na capitalizao composta a taxa incide sobre o valor acumulado entre os perodos (capital mais juros) e os juros crescem de forma exponencial. Capitalizao Simples (Juros Simples): A taxa incide apenas sobre o capital originalmente aplicado, portanto, os valores dos juros incorridos so sempre constantes.

ao trimestre




Graficamente:

Capitalizao Composta (Juros Compostos): A taxa incide sobre o valor acumulado do perodo anterior, capital mais juros, logo, os juros crescem de forma exponencial:

Para efeito ilustrativo, vejamos graflcamente a diferena do crescimento de um capital aplicado no regime simples e o mesmo valor aplicado no regime composto:




Perceba que, aplicado a juro composto o crescimento do capital mais rpido, com exceo do primeiro perodo (assinalado no grfico), onde, o regime de capitalizao simples produz resultados maiores. Ento, em operaes onde o prazo inferior a 30 dias prefervel aplicar a juros simples, contrariando a idia que muitos tm de que a aplicao a juros compostos sempre a melhor opo. Deriva da a preferncia das operadoras financeiras em utilizar a capitalizao simples em operaes de curtssimo prazo, como a de hot many. 3.1) Regime de Capitalizao Simples (Juros Simples) No regime de capitalizao simples a taxa incide apenas sobre o capital originalmente aplicado, portanto, os valores dos juros so sempre constantes. A aplicao desse conceito muito restrita no mercado financeiro brasileiro, salvo algumas excees, tais como: desconto de duplicatas, desconto de notas promissrias e operaes de curtissimo prazo. Na outra grande maioria utiliza-se o regime de capitalizao composto, o qual discutiremos mais adiante. 3.1.1) Relaes Fundamentais do Regime de Capitalizao Simples As relaes fundamentais do regime de capitalizao simples sero desenvolvidas atravs da anlise do diagrama abaixo:

Os Juros, acumulados, entre os perodos so:

1 0J C i= g 2 0 0( ) ( )J C i C i= +g g 3 0 0 0( ) ( ) ( )J C i C i C i= + +g g g 4 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )J C i C i C i C i= + + +g g g g

Colocando o (C . i) em evidncia...

4 0 (1 1 1 1)J C i= + + +g g 4 0 (1 1 1 1)J C i= + + +g g




Generalizando...

ATENO: Na relao acima J e C so valores monetrios, i o coeficiente, ou taxa de juros, e n o prazo da operao. Uma observao cabe ser feita necessrio, em qualquer regime de capitalizao, que a taxa (i) e o prazo (n) estejam sempre na mesma unidade de tempo. Alm disso, a taxa deve estar sempre na forma decimal.

O montante (M) a soma do capital mais o juro incorrido durante o perodo da aplicao. De maneira intuitiva pode-se represent-lo da seguinte forma:

M C J= + Substituindo o J, anteriormente demonstrado, na equao acima possvel deduzir uma expresso mais direta para o clculo do montante:

( )M C C i n= + g g

Utilizando a expresso do montante e isolando o capital (C) em relao s outras variveis:

Exemplos: 1) Um capital de $ 80.000,00 aplicado taxa de 2,50% ao ms durante um trimestre. Pede-se

determinar o valor dos juros acumulados neste perodo.

nJ C i n= g g

Juros Capital Investido Taxa de juros Nmero de perodo da aplicao

JCin

==

==

(1 )M C i n= +g g

1 ( )M

Ci n

=+ g




nJ C i n= g g 3 80.000 0,025 3J = g g 3 6.000,00J =

2) Um negociante tomou um emprstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao ms

durante nove meses. Ao final deste perodo, calculou em $27.000,00 o total dos juros

incorridos na operao. Determinar o valor do emprstimo.

nJ C i n= g g 27.000 0,06 9C= g g

27.0000 , 0 6 9

C = g 50.000C =

3) Uma pessoa aplica $ 18.000 taxa de 1,50% ao ms durante 8 meses. Determinar o valor

acumulado ao final deste perodo.

(1 )M C i n= +g g 18.000 (1 0,015 8)M = +g g 18.000 (1,12)M = g 20.160M =

3.1.2) Taxa Nominal, Proporcional e Equivalente As operaes financeiras podem se caracterizar por envolver dois prazos; o da capitalizao e o referente taxa de juros. Por exemplo, a poupana tem uma taxa de juros de 6% ao ano, mas, a capitalizao mensal. Veja que, a unidade de tempo expressa na taxa anual e a do regime de capitalizao mensal, ou seja, a taxa de juro incidir sobre o capital ms a ms, doze vezes ao ano, e no uma nica vez ao ano. [Quando a unidade de tempo expressa na taxa maior que a unidade de tempo do perodo de capitalizao, dizemos que essa taxa nominal.]




Exemplo:

6% ao ano, capitalizado mensalmente; 18% ao ano, capitalizado semestralmente; 15% ao semestre, capitalizado bimestralmente.

Sabe-se que para executar clculos financeiros preciso que a unidade de tempo expressa na taxa seja igual a unidade de tempo do perodo de capitalizao. Entretanto, se o perodo em que a taxa estiver expressa for maior que o perodo de capitalizao, esta taxa chamada de taxa nominal. Tendo em vista o que foi dito, chama-se de taxa proporcional taxa nominal devidamente adequada ao nmero de perodos de capitalizao da operao financeira. A taxa proporcional dada pela taxa nominal, dividida pelo nmero de capitalizao do perodo, multiplicada pelo nmero de capitalizao da operao. Por exemplo, para uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, a taxa trimestral proporcional ser:

0,24 3 0,06 6%12p

i = = =>g ao trimestre Dizemos que duas ou mais taxas so equivalentes quando esto expressas em perodos de capitalizaes diferentes, entretanto, quando aplicadas a um mesmo capital, com prazos idnticos, produzem montantes iguais. Graficamente:

Taxa proporcional; Taxa nominal; n do periodo de capitalizao da taxa nominal; n de periodo da aplicao financeira

p

n

c

p

i

i

n

n

=

===




Observe no diagrama acima que, se dois valores iguais (C) forem aplicados a um mesmo prazo, um taxa de 20% ao ano, o outro taxa de 1,67%o ao ms, produzem o mesmo montante (M), ento, as taxas so consideradas equivalentes. No entanto, pela prpria natureza do regime de capitalizao simples, onde, a taxa de juros evolui de forma linear, no existir diferena entre a taxa equivalente e a proporcional. A taxa equivalente calculada com a mesma frmula que calcula a taxa proporcional. Exerccios Resolvidos: 1) Calcule a taxa mensal proporcional a: 18% ao ano; 12% ao semestre.

18%1 1,5% . .

12pi a m= =g

12% 1 2% . .6p

i a m= =g 2) Calcule a taxa de juros semestral proporcional: 45% ao ano; 12% ao quadrimestre.

45%6 22,50% . .

12pi a s= =g

12%6 18% . .

4pi a s= =g 3) Determine se 46% ao ano equivalente a 8% ao bimestre.

46% 2 7,67% . .12e

i a b= =g Portanto no so equivalentes. Pode-se resolver tambm, partindo da taxa de menor perodo:

8%12 48% . .

2ei a a= =g Ratificando a afirmao acima. 4) Um capital de $5.000,00 foi aplicado a juros simples durante quatro meses taxa de 18% ao ano. Obtenha os Juros e o Montante aferidos na operao:




J C i n= g g

0,185.000 4

12J =

g g 300,00J =

M C J= +

5.000 300M = + 5.300M = 5) Qual o capital que rende juros de $3.000,00 aplicados no prazo de cinco meses, sendo que, a taxa de 2% ao ms?

J C i n= g g

JC

i n= g

3.0000,02 5

C = g 30.000,00C =

6) Uma aplicao financeira de $8.000,00 tem prazo de cinco meses e rende juros simples taxa de 22 % ao ano. Se o imposto de renda 20% do ganho, calcule: a) O montante resgatado no final do perodo? b) O valor do IR pago? c) O capital que deve ser aplicado para que se resgate $9.500,00 lquidos?




a) Sendo o IR 20% do ganho (juros): M C J IR= + -

( ) 0,20M C C i n J= + -g g 0,22 0,22

8.000 8.000 5 0,20 8.000 512 12

M = + - g g g g g

( ) ( )8.000 733,33 0,20 733,33M = + - g 8.733,33 146,66M = - 8.586,67M =

b) IR=20% X J

0,20 ( )IR C i n= g g g 0,220,20 8.000 512

IR = g g g

146,66IR = c) Montante lquido desejado $9.500,00: M C J IR= + -

0,20M C J J= + - 0,80M C J= +

0,22

9.500 0,80 512

C C = -

g g g

( )9.500 0,80 0,0917C C= - g 9.500 0,0734C C= -

1,0734 9.500C = 9.500

1,0734C =

8.850,40C = 7) Um comerciante tomou um emprstimo de $90.000,00 taxa de 72% ao ano. Se ele pagou $27.000,00 de juros, qual o perodo que ele permaneceu com o dinheiro? J C i n= g g

0,7227.000 90.000

12n= g g

5.400 27.000n =g




27.0005.400

n =

5n meses=

EXERCCIO JUROS SIMPLES

1) Em quantos dias o capital de R$5.000,00 rende, taxa de 2% ao ms, juros de R$ 140,00 ?

Jn C i n= g g 140,00 5.000 0,02140 100

1401,4

100

nn

n meses

==

= =

g gEm dias: 1,4 30 42dias=g

2) Coloquei certa quantia a juros simples a taxa de 2% ao ms. Aps

dois anos e trs meses obtive um montante de R$8.000,00. Qual foi a quantia aplicada ?

1 ( . )M

Ci n

=+

8.0001 ( )

8.0001 (0,02 27)8.000

1 0,548.000

5.194,801,54

Ci n

C

C

C

=+

=+

=+

= =

g

g

3) Maria Clara aplicou R$70.000,00 num banco, a prazo fixo por trs

meses, taxa de 6% ao ms. Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 25% de imposto de renda, determine o valor dos juros recebidos.

DADOS: Aplicou 70.000,00 Prazo de 3 meses Taxa de 6% ao ms Taxa de 25% IR

Jn C i n= g g 25%

70.000 0,06 312.600

12.600 3.150,00 9.450,00

JnJn

==

=> - =

g g




4) Determine a taxa bimestral de juros simples que faz com que um

capital triplique de valor aps 2 anos. (RESP: 16,70% a.b.). DADOS:

Taxa bimestral ? n=12 bimestres (para 2 anos) M=3C (Para triplicar o capital)

(1 )M C i n= +g g

33 (1 ) 3 (1 12)

3(1 12 ) 3 1 12

3 1 12 2 12

20,1667

1216,67%

M CC C i n C C i

Ci i

Ci i

i

i

== + => = +

= + => = +

- = => =

= =>

=

g g g g

5) Calcular a taxa proporcional de juros simples de: a) 14,40% a.a. para mensal; b) 23,50% a.s. para bimestre.

a)

np p

c

ii n

n= g

0,144

112p

i = g 0,012 12% . .pi a m= => b)

np p

c

ii n

n= g

0,235

26p

i = g 0,0783 7,83% . .pi a b= =>

6) Uma TV em cores vendida nas seguintes condies: ? preo a vista = R$ 1.800,00; ? ou a prazo = 30% de entrada e R$ 1.300,00 em 30 dias. Determine a taxa de juros cobrada na venda a prazo. (Resp.: i=3,17% ao ms)

TV a vista = 1800,00 Entrada 30%=540,00 Restou 1.260,00 1.300 12060 = R$40,00 de juros

Ji

C=

40,000,0317 . . 3,17% . .

1.260,00i a m a m= => =>




7) Em quanto tempo triplica um capital que cresce taxa de 21% ao

semestre ? (Resp.: 57,14 meses ou 9,52 semestres). DADOS: I=21% a.s. = 3,5 a.m. M=3C n=?

(1 )M C i n= +g g 3 (1 3,5 )C C n= +g g 3 (1 3,5 )C nC

= + 3 1 3,5n= +

3 1 3,5n- = 2 3,5n= 2

0,5714 57,14 9,523,5

n meses semestre= = => =>

8) Uma mquina calculadora est sendo vendida a prazo nas seguintes

condies: ? R$ 128,00 de entrada; R$ 192,00 em 30 dias; R$ 192,00 em 60dias. Sendo de 1,1% ao ms a taxa de juros, pede-se calcular at que preo interessante comprar a mquina a vista. (Resp.: R$505,66). DADOS: Entrada 128,00 i=1,1% 30 dias 192,00 i=2,2% 60 dias 192,00 Montante = 512,00.

( ) ( )o oJ C i C i= +g g (192 0,011) (192 0,022)J = +g g 2,112 4,224J = + 6,336J = 512 6,336 $505,66M J R=> - =>-

9) Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma R$

156.400,00. O mesmo capital diminudo de seus juros de 9 meses reduzido a R$88.400,00. Calcule o capital e a taxa de juros simples ganho. (Resp.: R$ 108.800,00 e 25% ao ano).

(1 )M C i n= +g g 156.400 (1 21)C i= +g g 156.400(1 21)i

C =+ g

M C J= - ( )M C C i n= - g g (1 )M C i n= g g 88.400 (1 9)C i= -g g

88.400(1 9)

Ci-

= g Como C C=

156.400(1 21)i

C =+ g =

88.400(1 9)

Ci-

= g 156.400(1 21 )i+

= 88.400(1 9 )i-

156.400(1 9 ) 88.400(1 2 1 )i i- = + 156.400 1407.600 88.400 1856.400i i- = +g 156.400 88.400 1856.400 1407600i i- = + 68.000 3.264.000i=




68.0000,021 . . 12 .

3.264.000i a m a a= => =

156.400 (1 )C in= +g 156.400 (1 0,0208 21)C= +g g 156.400 (1 0,4375)C= +g 156.400 (1,4375)C= g

156.400108.800

1,4375C = =>

10) Uma aplicao de R$ 15.000,00 efetuada pelo prazo de 3

meses taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses taxa de 9% ao semestre para se obter o mesmo rendimento financeiro? (Resp.: R$32.500,00).

DADOS: Aplicao 15.000 n= 3 meses i=26% a.a ou i=2,1667% a.m.=0,021667 Jn C i n= g g 15.000 0,0216 3Jn = g g $975,00Jn R= 9% . . 1,5% . . 0,015a s a m= = n=2meses

Jn C i n= g g 975 0,015 2C= g g 975 $32.500,000,03

C R= =

11) Um investidor aplicou 20% do seu capital 15% a.a., 25% de

seu capital a 18% a.a. e o restante a 12% a.a, no regime de juros simples. Determine o valor do capital inicialmente aplicado, sabendo que os juros acumulados no final de dois anos foram iguais a R$ 14.100,00. (Resp.: R$50.000,00).

DADOS: J=14.100 n=2Anos i1=15% a.a. i2=18% a.a. i3=12%a.a. Jn C i n= g g 1 0,20 0,15 2 0,06J C C= =>g g 2 0,25 0,18 2 0,09J C C= =>g g 3 0,55 0,12 2 0,132J C C= =>g g

0,06 0,09 0,132 $14.100,00C C C R+ + =

0,282 14.100C = 14.100

$50.000,000,282

C R= =>




12) Um investidor depositou R$400.000,00 num banco, a prazo fixo

por dois meses, taxa de 3% ao ms. Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 30% de impostos de renda, determine o valor dos juros recebidos.

(Resp.: R$16.800,00). Jn C i n= g g

400.000 0,03 2Jn = g g 24.000 30% 7.200,00Jn = - = O valor recebido foi R$16.800,00

13) Uma geladeira vendida a vista por R$ 1.000,00 ou em duas

parcelas, sendo a primeira como entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses aps, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros utilizada ? (Resp.: 5%).

DADOS: Entrada=200,00 Restante: 880,00 n=2 1000,00 200,00 800,00- = Jn C i n= g g 80 800 2i= g g 80 1600i= 80 0,05 5%

1600i = => =>




Sumrio:

3.2) REGIME DE CAPITALIZAO COMPOSTO (JUROS COMPOSTOS)..............................................................................21 3.2.1) Relaes Fundamentais do Regime de Capitalizao Composta............................................................... 21 Exerccios Resolvidos:................................................................................................................................................... 26 3.2.2) Taxa Nominal, Efetiva e Equivalente............................................................................................................... 29

? Taxa Nominal (i) e Taxa Efetiva (ie) ..........................................................................................................................29 ? Converso de Taxa Efetiva em Nominal ....................................................................................................................32

3.2.3) Taxas Equivalentes ............................................................................................................................................. 34 Exerccios Resolvidos..................................................................................................................................................... 36 Exerccios Propostos...................................................................................................................................................... 40




3.2) Regime de Capitalizao Composto (Juros Compostos)

A capitalizao composta se difere da simples por apresentar taxas de juros crescentes de

forma exponencial. Os juros so sempre calculados sobre o valor acumulado do perodo

anterior; o capital em que a taxa incidir em tn+1 igual ao montante, capital mais juros, do

perodo tn. Fica evidente, ento, que no regime de capitalizao composto os juros, incorridos

entre os perodos, tambm so remunerados, enquanto no regime simples apenas o capital

inicial remunerado.

No mercado, as principais operaes financeiras utilizam a metodologia da capitalizao

composta, enquanto a capitalizao simples mais restrita e menos comum. A utilizao de

uma calculadora financeira pode ser muito conveniente para efetuar operaes do regime de

capitalizao composta, tendo em vista a existncia de situaes onde o clculo manual de

difcil operacionalizao, tais como; alternncias dos embolsos e desembolsos, fluxos

assimtricos, prazos no uniformes, clculos de potencializao e radiciao.

Para desenvolver as relaes fundamentais da capitalizao composta, resolveremos um

exemplo bem simples que ajudar no entendimento das definies. As notaes que

contemplam as funes deste regime de capitalizao sero padronizadas com as que esto

disponveis no teclado da calculadora HP-12C, pois, esta ferramenta que lanaremos mo

para resolver grande parte dos nossos exerccios, tanto deste captulo, quanto dos outros que o

seguiram.

3.2.1) Relaes Fundamentais do Regime de Capitalizao Composta

Imagine uma aplicao de $10.000,00 taxa de 3% ao ms durante 3 meses. Qua l o valor de

resgate e os juros ganhos a cada perodo?




Sendo o montante, que a partir desse momento chamaremos de Valor Futuro - FV devido a

padronizao com as notaes da HP - 12c, dado por:

JPVFV +=

( )iPVPVFV +=

( )PV iPVFV

PV PV

= +

e, inserindo os valores do exemplo supra citado na frmula apresentada, onde, o capital, que

classificaremos como Valor Presente PV, tambm devido s padronizaes mencionadas ,

de $10.000,00 e a taxa de 3% ao ms, temos que :

( )03,01000.101 +=FV )03.1(000.101 =FV

300.101 =FV

)03.1(300.102 =FV

609.102 =FV

)03.1(609.103 =FV

27,927.103 =FV

( )iPVFV += 1

PV = 10.000

FV = ?

t1 t2 t3

Clculo do Valor Futuro - FV




Perceba que, por induo finita, pode-se escrever a seguinte relao:

JPVFV +=1

)(1 iPVPVFV +=

)1(1 iPVFV +=

JFVFV += 12

)( 112 iFVFVFV +=

)1(12 iFVFV +=

)1()1(2 iiPVFV ++=

22 )1( iPVFV +=

JFVFV += 23

)( 223 iFVFVFV +=

)1(23 iFVFV +=

)1()1( 23 iiPVFV ++=

33 )1( iPVFV +=

Generalizando...

FV - valor futuro

VP - valor presente

i - taxa de juros

n - nmero de capitalizaes 310.000 (1 0,03)FV = +g

10.000 (1,031,031,03)FV = g g g 10.000 (1,0609 1,03)FV = g g 10.0001,092727FV = g 10.927.27FV =

niPVFV )1( +=




Observaes:

i) Na equao acima ( )i+1 conhecido como Fator de Capitalizao FC;

ii) A frao composta por ( )ni+1 conhecida como Fator de Acumulao de Capital - FAC. Fundamentalmente, o Fator de Capitalizao elevado ao nmero de perodos

que se quer capitalizar o Valor Presente. Portanto, o valor do FAC dado em funo de

i e n: FAC (i, n). Seus valores encontram-se calculados para diversas combinaes de

prazo taxas de juros no anexo desta apostila. A tabela de extrema importncia,

principalmente quando no se tem em mos uma calculadora financeira para executar o

clculo do PV e do FV, dado que o FAC o resultado de uma expresso com operao

exponencial;

iii) Assim como no regime de capitalizao simples, no composto tambm dever haver

igualdade nas unidades de tempo da taxa e do prazo;

iv) Para converter o prazo para a mesma unidade de tempo da taxa, divide-se ou

multiplica-se de acordo com a unidade de tempo expressa na taxa. Nunca multiplique e

divida a taxa como feita no regime de capitalizao simples;

v) Nunca esquecer que no momento de substituir os valores nas frmulas, a taxa de juros

deve est na forma decimal.

A partir da frmula geral do FV, pode-se extrair outras relaes:

Valor Presente (PV)

niPVFV )1( +=

niFV

PV)1( +

= OU :

niFVPV -+= )1(




Taxa (i)

Partindo novamente do FV:

( )niPVFV += 1 ni

PVFV

)1( +=

Elevando os dois lados a n1

...

( )[ ]nnn iPVFV 1

1

1 +=

( )nnn

iPVFV +=

1

1

( )iPVFV n

+=

1

1

Perodo (n)

Para determinar o perodo aplica-se uma propriedade inerente s equaes logartmicas.

Primeiramente, vejamos alguns exemplos desta propriedade:

XLognXLog n =

154154 LogLog =

105105 LnLn =

-

= 1

1n

PVFV

i




Essa ltima notao, Ln, muito comum nas calculadoras financeiras, ela representar o

logaritmo na base neperiana, e, onde, e igual a 2,7183 aproximadamente. Ento:

10107183,2 LnLog = .

Visto isto, j podemos deduzir uma frmula para calcula r o valor de n:

( )niPVFV += 1

( )niPVFV += 1

( )niLnPVFV

Ln += 1

( )iLnnPVFV

Ln += 1

Exerccios Resolvidos:

1) Um capital de $50.000,00 foi aplicado pelo prazo de 6 meses taxa de 2% ao ms. Qual o

montante desta aplicao?

( )niPVFV += 1

( )602,01000.50 +=FV 126.1000.50 =FV

121,308.56=FV

( )iLnPVFV

Lnn

+=

1

PV= 50.000

Montante?FV

n = 6

i = 2%




Usando a HP 12c:50.000 (CHS) (PV) Valor Presente (sinal negativo)2 (i) Taxa de juros6 (n) Nmero de perodos de capitalizao(FV)... Comando para calcular o Valor Futuro56.308,12 Resposta

2) Qual capital que aplicado a uma taxa de juros compostos de 2,50% ao ms produz um

montante de $3.500,00 aps um ano?

( )niPVFV += 1 ( )1225,01500.3 += PV

3449,1500.3 = PV

3449,1500.3

=PV

42,602.2=PV

Usando a HP 12c:3.500 (FV) Valor Futuro2,5 (i) Taxa de juro12 (n) Nmero de perodos de capitalizao(PV)... Comando para calcular o Valor Presente2.602,42 Resposta (sinal negativo - sada de caixa)

3) Um capital de $2.500,00 aplicados durante 4 meses gerou um montante de $3.500,00. Qual a

taxa juros mensal desta operao financeira?

-

= 1

1n

PVFV

i

-

= 1

500.2500.3 4

1

i

( ) 140,1 25,0 -=i 1088,1 -=i

776,8=i % ao ms.

Capital? (PV)

FV= 3.500

n = 12

PV= 2.500

FV = 3.500

n = 4

i = ?

i =2,5%

3500 Enter 2500 4 1/x




Usando a HP 12c:2.500 (CHS) (PV) Valor Presente (sinal negativo)3.500 (FV) Valor Futuro4 (n) Nmero de perodos de capitalizao(i)... Calculo da taxa8,78 Resposta

4) Durante quanto tempo um capital de $1.000,00 deve ser aplicado taxa de 10% ao ano para

gerar um montante de $1.610,51?

( )iLnPVFV

Lnn

+=

1

( )10,01000.1

51,610.1

+=

Ln

Lnn

( )10,1

611,1

Ln

Lnn =

5095,0477,0

=n anos.

Para achar o prazo (n), a calculadora HP no funciona !

PV= 1.000

FV= 1.610,51

n = ?

i =0,10

1610,51 Enter 1000 g Ln

1,10 g Ln

1000 CHS PV 1.610,51 FV 10 i N = ?




3.2.2) Taxa Nominal, Efetiva e Equivalente

At ento, abordamos a capitalizao de valores da forma mais simples possvel; os

pagamentos e recebimentos eram realizados em apenas uma parcela e a taxa de juros era

fornecida de acordo com o perodo de capitalizao. No entanto, vimos no captulo 1 que

existem vrios tipos de fluxos de caixa: uniformes, no uniformes, peridicos, crescentes,

decrescentes e etc. Para avanar no estudo e trabalhar com sries de pagamentos mais

complexas, ou seja, que contemplem mais de dois fluxos financeiros, deve-se dominar alguns

conceitos importantes referentes s taxas. Esses conceitos auxiliaro na resoluo de

problemas, onde, os embolsos e desembolsos no seguem um padro, como aqueles vistos at

agora.

? Taxa Nominal (i) e Taxa Efetiva (ie)

Conceitualmente a Taxa nominal j foi definida na seco 3.1.2, ela aquela onde a taxa

expressa em unidade de tempo diferente do perodo de capitalizao da operao financeira. Na

prtica, a taxa nominal s servir como parmetro de comparao entre operaes financeiras,

o seu valor no aplicado nos clculos. Logo abaixo citamos outros exemplos de taxas

nominais:

18% ao ano, capitalizado mensalmente;

3% ao ms, capitalizado diariamente;

15% ao semestre, capitalizado bimestralmente.

Taxa Efetiva de juros aquela apurada durante todo o prazo da operao financeira. Ela

construda pelo processo de formao exponencial da taxa nominal ao longo dos perodos de

capitalizao. A incidncia da taxa de juros efetiva sobre o capital, acontece uma nica vez

durante o processo de capitalizao, logo, pode-se concluir que a unidade de tempo expressa

por ela sempre igual ao do perodo de capitalizao.

Vejamos um Exemplo: um capital de $1.000,00 foi aplicado pelo prazo de dois anos. Se o

montante da operao financeira era de $1.610,51 qual a taxa de juros efetiva no perodo?




000.1

000.151,610.1 -=ei

05,61=ei % ao perodo.

Observe que neste exemplo extramos a taxa efetiva com os valores informados do PV e do FV.

No entanto, nem sempre isso ser possvel ou de interesse. Na maioria das vezes a informao

disponvel para se calcular a taxa efetiva a taxa nominal. Para atender essa necessidade

desenvolveremos uma relao entre a taxa nominal e a efetiva.

Vimos no exemplo acima que:

PVJ

ie =

PVPVFV

ie-

=

PVPV

PVFV

ie -=

-

+= 1

)1(PV

iPVi

n

e

( ) 11 -+= ne ii

Como obrigatoriamente, na efetivao do clculo, a taxa deve estar expressa na mesma unidade

de tempo do perodo de capitalizao, divide-se a taxa nominal pelo nmero de capitalizao

que o perodo expresso nela contempla e eleva-se ao nmero de perodo que se deseja calcular

a taxa efetiva:

ie = Taxa efetiva;

11 -

+=

n

pe n

ii

1.000

1.610,51




n = n de capitalizaes do perodo;

np = n de capitalizaes da taxa nominal;

i = Taxa nominal.

importante frisar que a taxa s ser nominal se observada a diferena entre a unidade de

tempo do perodo de capitalizao e aquele expresso por ela, caso contrrio, a taxa ser sempre

efetiva. Para um mesmo prazo a taxa nominal ser sempre menor que a efetiva, reflexo da

capitalizao linear da primeira e exponencial da segunda.

Exemplo: Um banco anuncia que paga juros taxa nominal de 24% ao ano para fundos de

aplicao com saldo superior a $25.000,00. Se o perodo de capitalizao dos juros mensal,

qual a taxa efetiva do investidor?

11 -

+=

n

pe n

ii

11224,0

112

-

+=ei

( ) 102,1 12 -=ei

12682,1 -=ei

82,26=ei % ao ano.

Note que, contrariando o que muitos pensam, o ganho superior aos 24% ao ano, informado

pela taxa nominal. Podemos citar outros exemplos de taxa nominal e efetiva:

18% ao ano, capitalizado semestralmente:

1218,0

12

-

+=ei 81,18=ei % ao ano;




7% ao ms, capitalizado diariamente:

13007,0

130

-

+=ei 24,7=ei % ao ms;

10 % ao semestre, capitalizado bimestralmente:

1310,0

13

-

+=ei 34,10=ei % ao bimestre.

Quanto maior o nmero de perodos de capitalizaes de uma taxa nominal, maior ser a taxa

efetiva. Vejamos o quadro abaixo, onde, a taxa nominal de 18% ao ano:

Perodo de Capitalizao Nmero de Perodos Taxa Efetiva Anual

Anual 1 18%

Semestral 2 18,81%

Quadrimestral 3 19,10%

Trimestral 4 19,25%

Mensal 12 19,56%

Diria 360 19,72%

? Converso de Taxa Efetiva em Nominal

s vezes, para comparaes de desempenhos de investimentos, temos a necessidade de

transformar uma taxa efetiva em nominal.

Exemplo: Calcule a taxa nominal anual da srie abaixo capitalizada mensalmente, e compare

com fundos que rendem a taxa SELIC (17% ao ano).

-= 1

PVFV

ie

-= 1

000.110,416.1

ei


1.000

1.416,10

2 anos




Como j conhecemos a relao entre taxa efetiva e nominal, apenas isolaremos a taxa nominal:

11 -

+=

n

pe n

ii

n

pe n

ii

+=+ 11

( )nn

pne n

ii

1

111

+=+

( ) nn

pne n

ii

+=+ 11

1

( )p

ne nii +=+ 11

1

( ) 111

-+= nep

ini

Calculando a taxa nominal do fluxo acima teremos:

( ) 1214161,01 241

-+=i

[ ] 1210146,1 -=i [ ] 120146,0 =i

52,17=i % ao ano.

Respondendo a pergunta, este investimento gerou ganhos superiores queles atrelados taxa

SELIC, pois, o seu retorno nominal anual de 17,52%, contra 17% do outro.

( ) pne nii

-+= 11

1




O diagrama abaixo resume as converses das taxas efetivas e nominais:

3.2.3) Taxas Equivalentes

J desenvolvemos o conceito de Taxas Equivalentes no item 3.1.2 (pg. 7). Relembrando a

definio anteriormente mostrada, duas ou mais taxas so equivalentes quando aplicadas a um

mesmo capital, com prazos idnticos, produzem montantes iguais. Entretanto, neste caso, h

uma diferena de algebrismo no clculo da taxa equivalncia, pois agora a capitalizao

atravs do regime composto.

Vejamos um exemplo: um capital de $15.000,00 aplicado taxa de 12% ao ms produz o

mesmo montante se aplicado a 0,3785% ao dia. Ou seja, as taxas de 12% ao ms e 0,3785% ao

dia so equivalentes.

Observe que os montantes produzidos pelas taxas so iguais, $18.000, logo, elas so

equivalentes. Pode-se desenvolver a seguinte relao:

Taxa Efetiva

Taxa Nominal

( ) nii ne

-+= 11

1 11 -

+=

n

pe n

ii

Taxa Efetiva x Taxa Nominal

Taxa 12% ao ms

15.000

16.800

Taxa 0,3785% ao dia

Taxas Equivalentes




21 FVFV =

( ) ( )ndirionmensal iPViPV +=+ 11

( ) ( )301 1000.1512,01000.15 dirioi+=+

( ) ( )30112,1000.15000.15

dirioi+=

( )30112,1 dirioi+=

Elevando os dois lados a

301

...

( ) ( )[ ]301

30301

112,1 dirioi+=

( )3030

10038,1 dirioi+=

dirioi+=10038,1

10038,1 -=dirioi

3785,0=dirioi % ao dia, confirmando a equivalncia apresentada no diagrama.

Generalizando a demonstrao acima...

21 FVFV =

( ) ( )ndiriomensal iPViPV +=+ 11

( ) ( )ndiriomensal iiPVPV

+=+ 11

( ) ( )ndiriomensal ii +=+ 11

i> - Taxa do maior perodo;

i< - Taxa do menor perodo;.

n - n de vezes que o perodo menor acontece dentro no maior.

( ) ( )nii +=+ 11




Exerccios Resolvidos

1) Uma instituio financeira cobra uma taxa de juros efetiva de 36% ao ano. Admitindo que o

perodo de capitalizao mensal, calcule a taxa equivalente: mensal, bimestral, trimestral e

semestral.

Mensal:

( ) ( )1 1 ni i>




Usando a HP 12c1,36 (Enter)6 (1/x) (y x )1 (-)100 (x)...5,258

Trimestral:

( ) ( )4136,01




2) A Caderneta de Poupana paga juros nominais de 6% ao ano capitalizado mensalmente.

Ache a taxa efetiva anual e a taxa mensal que ela deveria pagar para que o ganho efetivo seja

de 6% ao ano.

1) Taxa efetiva:

( ) 11 -+= ne nii

11206,0

112

-

+=ei

( ) 105,01 12 -+=ei

10617,1 -=ei

17,6=ei % ao ano.

2) Taxa mensal equivalente a 6% ao ano.

( ) ( )nii +=+ 11

( ) ( )12106,01




1) Calculo da taxa efetiva do CDI para o perodo de 44 dias:

( ) 11 -+= ne nii 1

30024,0

13044

-

+=ei

( ) 1035,1 -=ei 1035,1 -=ei


2) Calculo da rentabilidade do fundo (95% x CDI):

95,054,3 =fundoi

%363,3=fundoi ao perodo.

3) Calculo do valor de resgate do fundo:

( )fundoiPVFV += 1 ( )0363,1000.12 =FV

52,403.12=FV

4) O banco A anunciou que cobra taxa efetiva de 5,50% ao ms por emprstimos com prazos

inferiores a 30 dias. O banco B fez o mesmo anuncio, porm, a taxa nominal de 5,36% ao

ms capitalizado diariamente. Podemos afirmar que o banco B mais generoso com seus

clientes?

Para os leigos no assunto, o banco B menos usurento, pois, aparentemente, cobra taxas

menores que o banco A. Entretanto, as duas taxas no podem ser comparadas na forma que se

encontram (uma efetiva e a outra nominal). Fazendo a converso da taxa do banco A para

nominal, temos que:




( ) nii ne

-+= 11

1

( ) 301055,01 301

-+=i

( )[ ] 301055,1 0333,0 -=i [ ] 3010018,1 -=i

36,5=i % ao ms.

Ou seja, os dois bancos trabalham com a mesma taxa, simplesmente um banco divulga a taxa

na forma efetiva e o outro na forma nominal. Poderamos, tambm, transformar a taxa nominal

do banco B em efetiva:

1300536,01

30

-

+=ei

( ) 10018,1 30 -=ei

10550,1 -=ei

50,5=ei % ao ms. Ratificando o resultado anterior.

Exerccios Propostos

1) Calcular o capital que aplicado durante 6 anos taxa de juros compostos de 15% a.a. transforma-se em R$ 14.000,00. (Resp. R$ 6.052,59) n = 6 anos FV = 14000 i = 15% a.a. PV ?

( )1 nFv

Pvi

=+

( )6

14.0001 0,15

Pv =+

( )614.000

1,15Pv = 14.000 $6.052,74

2,313Pv R= =>

HP: [14000] [CHS] [FV] [6] [N] [15] [i] [PV] 2) Em que prazo um emprstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado atravs de um nico pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m.? (Resp. 5 meses) n = ? FV = 110.624,80 i = 15% a.m. PV =55.000,00




( )1

FvLnPvn

Ln i=

+

( )

110.624,8055.000,001 0,15

Lnn

Ln=

+

2,0111,015

Lnn

Ln= 0,699 4,99 5

0,140n = => =>

HP: [55.000] [CHS] [PV] [15] [i] [110.624,80] [FV] [N] 3) Um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 280,00 de juros em 2 meses. Calcular a taxa de juros efetiva ganha na aplicao. (Resp. 14% a.b. ou 6,77% a.m.) n = 2 meses FV = 2.280,00 i = ? PV = 2.000,00

1

1nFv

iPv

= -

122.280

12.000

i = - ( )0,51,14 1i = - 1,0677 1i = - 0,0677i = ou

6,77% . .i a m=

( ) ( )1 1 ni i> + = + ( ) ( )21 1,0677i>+ = ( )1 1,14i>+ = 1,14 1i> = - 0,14i> = ou 14% a.b.

HP: [2.000] [CHS] [PV] [2.280] [FV] [2] [N] [i] 4) A que taxa de juros um capital de R$ 13.200,00 poder transformar-se em R$ 35.112,26 se o perodo de aplicao for de 7 meses? (Resp. 166% a.p. ou 15% a.m.) n = 7 meses FV = 35.112,26 i = ? PV =13.200,00

1

1nFv

iPv

= -

1735.112,26

113.200

i = -

( )172,660 1i = - ( )0,1432,660 1i = -

0,1501 15% . .i a m= =>

( ) ( )1 1 ni i> + = + ( ) ( )7

1 1,15i>+ = ( )1 2,66i>+ = 2,66 1i> = - 1,66i> = ou 166% a.p.

HP: [13.200] [CHS] [PV] [35.112,26] [FV] [7] [N] [i] 5) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicados durante 10 meses a juros efetivos de 2% a.m.. (Resp. R$ 875,98) n = 10 meses FV = ? i = 2,0 a.m. PV =4.000,00

( )1 nFv Pv i= +g ( )104.000 1 0,02Fv = +g 4.875,978Fv = J FV PV= - 4.875,97 4.000,00J = - 875,97J =



Disciplina: Matemtica Financeira HP: [4.000] [CHS] [PV] [10] [N] [2] [i] [FV] [4.000] [-] 6) Aplique hoje R$ 55.000,00 e receba aps 6 meses R$ 60.000,00. Qual a taxa mensal de rendimento desta aplicao, considerando o regime de juros compostos? (Resp. 1,46% a.m.) n = 6 meses FV = 60.000,00 i = ? PV = 55.000,00

1

1nFvi

Pv = -

1660.000

155.000

i = -

( )161,0909 1i = - 0,0146 ou 1,46%a.m.

Pela frmula:

[60.000] [Enter] [55.0000] [ ] [6] [1/x] [x>g HP: [12.000] [CHS] [PV] [8] [N] [3,5] [i] [FV] 9) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicao de R$ 40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. (Resp. 2,35% a.m. ou 9,737% a.q.) n = 4 FV = 43.894,63 i = ?. PV = 40.000,00




1

1nFv

iPv

= -

1443.894,63

140.000,00

i

= -

( )141,097 1i = - ( )1,0235 1i = - 0,235i =

2,35% . .a m

( ) ( )1 1 ni i> + = + ( ) ( )4

1 1,0235i>+ = ( ) ( )1 1,0974i>+ = 1,0974 1i> = - 0,0974i> = ou 9,74% a.q.

Pela Frmula:

[43.894,63] [Enter] [40.000] [ ] [4] [1/x] [ xY ] [1] [-] [100] [x] HP: [40.000] [CHS] [PV] [43.894,63] [FV] [4] [N] [i] [STO] [1] [100] [ ] [1] [+] [4] [ xY ] [1] [-] [100] [x] 10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, taxa de 2,20% ao ms para que duplique? (Resp. 31,85 meses) n = ? FV = 2PV i = 2,20%a.m. PV =1

( )1

FvLnPvn

Ln i=

+ ( )

2

1 0,022

PVLn

PVnLn

=+

( )2

1,022Lnn

Ln=

0,693150,02176

n =

0,3185 31,85n Meses= => HP: [1] [CHS] [PV] [2] [FV] [2,20] [i] [N] 11) Uma aplicao de R$ 22.000,00, efetuada em certa data produz, taxa composta de juros de 2,40% ao ms, um montante de R$ 26.596,40. Calcular o prazo da operao. (Resp. 8 meses) n = ? FV = 26.596,40 i = 2,40%a.m. PV =22.000,00

( )1

FvLnPvn

Ln i=

+ ( )

26.596,4022.000,001 0,024

Lnn

Ln=

+

1,2091,024

Lnn

Ln=

0,189740,02372

n = 8,0036 Meses

HP: [26.596,40] [Enter] [22.000] [ ] [G] [LN] [1,024] [Enter] [G] [LN]



Disciplina: Matemtica Financeira 12) Um capital foi aplicado a juros compostos durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicao? (Resp. 44,22% a.t.) n = 9 => 3 Trimestres FV = 3PV i = ?. PV =1

1

1nFv

iPv

= -

133

1PV

iPV

= -

( )133 1i = - 1,442 1i = -

0,442 . . 44,22%i a t= => a.t. HP: [3] [Enter] [3] [1/x] [1] [-] [100] [x] 13) Um fogo vendido vista por R$ 600,00 ou ento a prazo, sendo 20% do preo vista como entrada, mais uma parcela de R$ 550,00 dois meses aps a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? (Resp. 7,04% a.m.)

OBS: 600,00 20% 480,00- = n = 2 meses FV = 550,00 i = ?. PV =480,00

1

1nFv

iPv

= -

12550

1480

i = - ( )0,51,14583 1i = - 1,07044 1i = - 0,7044i =

7,04% . .a m HP:

[550] [Enter] [480] [ ] [2] [1/x] [ xY ] [1] [-] [100] [x] 14) Alberto aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, taxa de 24% ao ano capitalizada mensalmente: n = 12 meses => 1 perodo de 1 ano FV = ? i = 24%a.a. PV =6.000,00 a) Qual o montante? (Resp. R$ 7.440,00)

( )1 nFv Pv i= +g ( )16.000 1 0,24Fv = +g 7.440,00Fv = HP: [6.000] [CHS] [PV] [24] [i] [1] [N] [FV] b) Qual a taxa mensal de juros da aplicao? (Resp. 1,81% a.m.) n = 12 meses FV = 7.440,00 i = ? PV =6.000,00




1

1nFv

iPv

= -

1127.440

16.000

i = -

( )1121.240 1i = - 1,81% . .i a m=

HP:

[7.440] [Enter] [6.000] [ ] [12] [1/x] [ xY ] [1] [-] [100] [x] c) Qual a taxa semestral de juros da aplicao? (Resp. 11,36% a.s.) n = 12 meses => 2 semestres FV = 7.440,00 i = ? PV =6.000,00

1

1nFvi

Pv = -

127.440

16.000

i = - ( )

121.240 1i = - 11,36% . .i a s=

OU: Como: i < = 0,0181 = 1,81% a.m Temos : (1 ) (1 )ni i+ > = + < 6(1 ) (1 0,01809)i+ > = + 6(1 ) (1,01809)i+ > = 1 1,11357i+ >= 1,11357 1i >= - 0,11357i >= 11,357% . .a s HP:

[7.440] [Enter] [6.000] [ ] [2] [1/x] [ xY ] [1] [-] [100] [x] 15) Gisele aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, taxa de 2% a.m., e outra no banco B, taxa de 1,50% a.m.. O prazo das duas aplicaes foi de 6 meses. Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo que os montantes resultantes foram iguais. (Resp. R$ 2.955,78 e R$ 3.044,22) n = 12 meses FV = 7.440,00 i = ? PV =6.000,00

1 2Fv Fv= 1 2,0% . .i a m= 6n m= 2 1,5% . .i a m=

1 2 6.000Pv Pv+ =

1 21 1 2 2(1 ) (1 )

n nPv i Pv i+ = +g g 6 61 2(1 0,020) (1 0,015)Pv Pv+ = +g g ( )1 21,126 (1,093)Pv Pv= g 21

(1,093)1,126

PvPv =

g 1 20,97Pv Pv=

1 2 6.000Pv Pv+ =




2 20,97 6.000Pv Pv+ = 21,97 6.000Pv = 26.0001,97

Pv = 2 3.044,27Pv =

1 2 6.000Pv Pv+ =

1 3.044,22 6.000Pv + = 1 6.000 3.044,22Pv = - 1 2.955,78Pv = 16) Milena adquiriu um aparelho de som h 6 meses por R$ 800,00. Estando o aparelho em timo estado de conservao e desejando vend-lo com um retorno de 2% a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preo de venda considerando o regime de juros compostos. (Resp. R$ 900,93) n = 6 meses FV = ? i = 2,0% a.m. PV =800,00

( )1 nFv Pv i= +g ( )6800 1 0,02Fv = +g 900,93Fv = HP: [800] [CHS] [PV] [2] [i] [6] [N] [FV] 17) Uma empresa tomou um emprstimo para capital de giro no valor de R$ 10.000,00 por 30 dias, taxa efetiva de 75% a.a. Qual o montante? (Resp. R$10.477,39). 1 Maneira de se fazer : (Convertendo a taxa para 30 dias) n = 12 meses FV = ? i = 75% a.a. PV =10.000,00

( ) ( )1 1 ni i>



Disciplina: Matemtica Financeira 2 Maneira de se fazer : (Mtodo simplificado)

( )1 nFv Pv i= +g

( )30

36010.000 1 0,75Fv = +g ( )0,0833310.000 1,75Fv = g ( )10.000 1,04774Fv = g 10.477,39Fv =

OU AINDA:

( )1 nFv Pv i= +g

( )1

1210.000 1 0,75Fv = +g ( )0,0833310.000 1,75Fv = g ( )10.000 1,04774Fv = g 10.477,39Fv =

HP: [0,08333] [N] [10.000] [CHS] [PV] [75] [i] [FV] 18) Analisando a questo anterior, e se o prazo fosse de 37 dias? (Resp. R$ 10.592,02) n = 12 meses = 1 ano = 360 dias FV = ? i = 75% a.a. PV =10.000,00

( )1 nFv Pv i= +g

( )37

36010.000 1 0,75Fv = +g ( )0,1027810.000 1,75Fv = g ( )10.000 1,05920Fv = g 10.592,02Fv =

HP: [10.000] [CHS] [PV] [75] [i] [37] [Enter] [30] [ ] [12] [ ] [N] [FV] 19) No exerccio anterior, qual deveria ser a taxa de juros do emprstimo de capital de giro, para que a empresa ficasse indiferente entre as duas opes? (Resp. 4,17% a.m.) (Cancelada!) 20) Qual o valor aplicado numa operao a juros compostos, com prazo de 160 dias, montante de R$ 170.000,00 e taxa de 2,20% a.m.? (Resp. R$ 151.371,51) n = 160/30 = 5,3333... FV = 170.000,00 i = 2,20% a.m. PV = ?

( )1 nFv

Pvi

=+

( )5,333...170.000

1 0,022Pv =

+=

( )5,333...170.000

1,022Pv =

170.000 151.371,511,123

Pv = =>

HP: [5.333..] [N] [2,20] [i] [170.000] [FV] [PV]



Disciplina: Matemtica Financeira 21) Um banco cobra em suas operaes de emprstimo de capital de giro uma taxa de juros compostos de 45% a.a.. Se um cliente concordar em pagar apenas 40% a.a., qual a taxa de abertura de crdito que o banco dever cobrar para que a taxa efetiva anual resulte em 45% a.a.? Considere o prazo da operao igual a 63 dias. (Cancelada!) 22) Um banco emprestou para uma empresa um capital de R$ 500.000,00 a juros compostos por 49 dias. Sabendo-se que o montante foi de R$ 530.000,00, calcule:

a) A taxa efetiva mensal de juros compostos da operao; (Resp. 6% a.p.) n = 49 dias FV = 530.000,00 i = ? PV = 500.000,00

Jie

Pv= ?i <

Fv Pvie

Pv-

= 530.000 500.000

500.000ie

-=

30.0000,06

500.000ie = => ou 6% . .a p (49 dias)

Para 30 dias: n=49/30

( ) ( )1 1 ni i>



Disciplina: Matemtica Financeira 23) Em relao ao exerccio anterior, suponha que o dinheiro foi liberado na assinatura do contrato, mas que foi cobrada uma taxa de abertura de crdito de 1% do capital emprestado. Qual a taxa efetiva mensal de juros compostos da operao? (Resp. 4,23% a.m.) n = 49 dias FV = 530.000,00 i = ? PV = 500.000,00 1% => 495.000,00

Jie

Pv=

Fv Pvie

Pv-

= 530.000 495.000

495.000ie

-=

35.000495.000

ie = 0,07071ie = =>7,071% a.p.

( ) ( )1 1 nie i i> = - 0,4064i> = ou 40,64% a.a.

HP: [8.000] [CHS] [PV] [8.500] [FV] [64] [Enter] [30] [ ] [N] [i] [100] [ ] [1] [+] [12] [ xY ] [1] [-] [100] [x] 25) Em relao ao exerccio anterior, suponha que o dinheiro tivesse sido liberado na conta da empresa 3 dias aps a assinatura do contrato do emprstimo. Qual a nova taxa mensal nestas condies? (Resp. 3,03% a.m.) n = 64 dias 3 dias => 61 dias FV = 8.500,00 i = ? PV = 8.000,00 n=61/30=>2,0333

1

1nFv

iPv

= -

12,0338.500

18.000

i = -

( )1

2,0331,0625 1i = - 1,0303 1i = - 0,0303i = ou

3,026% a.m.



Disciplina: Matemtica Financeira HP: [8.000] [CHS] [PV] [8.500] [FV] [61] [Enter] [30] [ ] [N] [i] 26) Explique qual a melhor opo: aplicar um capital taxa de juros composta de 5,252% ao semestre ou 10,78% ao ano. (Resp. indiferente)

( ) ( )1 1 nie i i> + = + ( )1 1,4764i>+ = 1,4764 1i> = - 0,4764i> = ou 47,64% a.a.

HP:

[3,30] [Enter] [100] [ ] [1] [+] [2] [ xY ] [1] [-] [100] [x] 28) Calcule a taxa equivalente para as seguintes taxas: a) 2,30% ao ms para um ano;

( ) ( )1 1 ni i> + = + ( ) ( )12

1 1,0230i>+ = ( )1 1,3137i>+ = 1,3137 1i> = - 0,3137i> = ou 31,37% a.a.

HP:

[1] [Enter] [0,023] [+] [12] [ xY ] [1] [-] [100] [x] b) 0,14% ao dia para 23 dias;

( ) ( )1 1 ni i> + = + ( ) ( )23

1 1,0014i>+ = ( )1 1,0327i>+ = 1,0327 1i> = - 0,0327i> = ou 3,27% a.p.

HP:

[1] [Enter] [0,014] [+] [23] [ xY ] [1] [-] [100] [x]



Disciplina: Matemtica Financeira c) 7,45% ao trimestre para um ano;

( ) ( )1 1 ni i> + = + ( ) ( )4

1 1,0745i>+ = ( )1 1,3330i>+ = 1,3330 1i> = - 0,3330i> = ou 33,298% a.a.

HP:

[1] [Enter] [0,0745] [+] [4] [ xY ] [1] [-] [100] [x] d) 6,75 ao semestre para um ms;

( ) ( )1 1 ni i> + = ( )1 1,3958i>+ = 1,3958 1i> = - 0,3958i> = ou 39,58% . .a p

33) Se um investidor deseja ganhar 18% ao ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de juros que dever exigir de uma aplicao se o prazo de capitalizao for igual a:

a) 1 ms;

( ) ( )1 1 ni i>



Disciplina: Matemtica Financeira c) 1 semestre;

( ) ( )1 1 ni i>



Disciplina: Matemtica Financeira c) 15% a.a. capitalizados semestralmente. (Resp. 15,563% a.a.)

1 1n

iie

np

= + -

20,15

1 12

ie = + -

( )21 0,0750 1ie = + - ( )21,0750 1ie = -

( )1,1556 1ie = - 0,1556ie = ou 15,5625% a.a. HP:

[0,15] [Enter] [2] [ ] [1] [+] [2] [ xY ] [1] [-] [100] [x] d) 12% a.a. capitalizados anualmente. (Resp. 12,00% a.a.)

1 1n

iie

np

= + -

10,12

1 11

ie = + -

( )11 0,12 1ie = + - ( )11,12 1ie = - ( )1,12 1ie = -

0,12ie = ou 12% a.a. HP:

[0,12] [Enter] [1] [ ] [1] [+] [1] [ xY ] [1] [-] [100] [x] 35) Com relao a formao das taxa de juros, pede-se: a) Em 77 dias uma aplicao rendeu 8,30% de juros. Apurar as taxas mensal e anual equivalentes; n = 77/30 => 2,56667

( ) ( )1 1 ni i> = ou 45,1775% a.a.

b) Um banco cobra atualmente 18,60 ao ano de juros. Para uma operao de 136 dias, determinar a taxa efetiva que ser cobrada; n = 360/136 => 2,64706

( ) ( )1 1 ni i>



Disciplina: Matemtica Financeira c) Uma empresa est cobrando juros de 3% para vendas a prazo de 28 dias corridos. Determinar a taxa efetiva mensal e anual de venda a prazo; n = 30/28 => 1,07143

( )30281 0,03 1i = + - ( )1,071431,03 1i = - 1,03218 1i = - 0,03218i = ou 3,218% . .a m

( )360281 0,03 1i = + - ( )12,857141,03 1i = - 1,46235 1i = - 0,46235i = ou 46,235% . .a a

d) Determinar a taxa equivalente para 44 dias de 109,30% ao ano. N = 360/44 => 8,18182

( ) ( )1 1 ni i>



Disciplina: Matemtica Financeira d) Taxa de 20,00% a.s. e prazo de 4 anos; (Resp. R$ 94.595,97)

( )1 nFv Pv i= +g ( )822.000 1 0,200Fv = +g ( )822.000 1,200Fv = g ( )22.000 4,2998Fv = g 94.595,97Fv = HP: [22.000] [CHS] [PV] [20] [i] [8] [N] [FV] e) Taxa de 0,15% a.d. e prazo de 47 dias; (Resp. R$ 23.605,74)

( )1 nFv Pv i= +g ( )4722.000 1 0,0015Fv = +g ( )4722.000 1,0015Fv = g ( )22.000 1,07299Fv = g 23.605,74Fv =

HP: [22.000] [CHS] [PV] [0,15] [i] [47] [N] [FV] f) Taxa de 9,00% a.a. e prazo de 216 meses. (Resp. R$ 103.776,65) n = 216/12 =>18 anos

( )1 nFv Pv i= +g ( )1822.000 1 0,090Fv = +g ( )1822.000 1,090Fv = g ( )22.000 4,7171Fv = g 103.776,65Fv = HP: [22.000] [CHS] [PV] [9] [i] [18] [N] [FV] 37) Um banco lana um ttulo pagando 6% a.t.. Se uma pessoa necessitar de R$ 58.0000,00 daqui a 3 anos, quanto dever aplicar neste ttulo? (Resp. R$ 28.824,22) N = 36/3 => 12

( )1 nFv

Pvi

=+

( )1258.000,00

1 0,060Pv =

+

( )1258.000,00

1,060Pv =

( )58.000,00

2,0122Pv = 28.824,22Pv =

HP: [58.000] [FV] [12] [N] [6] [i] [PV] 38) Sendo a taxa corrente de juros de 10% a.q., quanto deve ser aplicado hoje para se resgatar R$ 38.500,00 daqui a 28 meses? (Resp. R$ 19.756,59) N = 28/4 => 7

( )1 nFv

Pvi

=+

( )738.500,00

1 0,10Pv =

+

( )738.500,00

1,10Pv =

( )38.500,00

1,9487Pv = 19.756,59Pv =

HP: [38.500] [FV] [7] [N] [10] [i] [PV]



Disciplina: Matemtica Financeira 39) Os rendimentos de uma aplicao de R$ 12.800,00 somaram R$ 7.433,12 ao final de 36 meses. Determine a taxa efetiva mensal de juros desta aplicao. (Resp. 1,28% a.m.) FV = PV+J = 20.233,12 i = ? PV = 12.800,00 J = 7.433,12

Jie

PV=

7.433,1212.800

ie = 0,5807ie = ou 58,07% a.p.

( ) ( )1 1 ni i>



Disciplina: Matemtica Financeira 41) Determine a taxa mensal de juros compostos que faz com que um capital triplique de valor aps trs anos e meio. (Resp. 2,650% a.m.)

?i = 3Fv Pv= 3,5 42anos Meses=

( )1 nFv Pv i= +g ( )423 1Pv Pv i= +g

( )423 1Pv iPv

= +

[ ] ( )1

1 42 4242 13 1 i = +

[ ] ( )1423 1 i= +

( )1,0265 1 i= + 1,0265 1i = - 0,0265 2,65% . .i ou a m= 42) Uma taxa efetiva de juros, com capitalizao quadrimestral aplicada a um capital gerando um total de juros, ao final de 2 anos, igual a 270% do valor do capital aplicado. Determinar o valor desta taxa de juros. (Resp. 24,366% a.q.)

1Pv Pv=

2,7Fv Pv Pv= + 3,7PV

2n a= ou 6q

?i =

1

1nFv

iPv

= -

163,7

1Pv

iPv

= -

( )163,7 1i = - 1,2437 1i = - 0,2437i =

24,36% . .i a q=




4) SRIES DE PAGAMENTOS ........................................................................................................................................... 59

4.1) VALOR PRESENTE (PV) .................................................................................................................................................60 4.1.1) PVP - Srie Peridica Constante Postecipada ............................................................................................... 60 4.1.2) PVA - Srie Peridica Constante Antecipada................................................................................................. 64

Um Caso a Parte das Sries Antecipadas .....................................................................................................................66 4.1.3) PVG - Srie Perptua.......................................................................................................................................... 68

4.1.3.1) Valor Presente de Perpetuidades com Taxas Crescentes ................................................................................70 4.1.4) PV - Outros Modelos de Sries de Pagamentos............................................................................................. 74

4.1.4.1) PVD - Sries Diferidas ......................................................................................................................................74 4.1.4.2) PV - Sries Variveis ........................................................................................................................................76 4.1.4.3) PV - Sries no Peridicas ...............................................................................................................................78

Exerccios Resolvidos:................................................................................................................................................... 79 Exerccios Proposto:...................................................................................................................................................... 87




4) Sries de Pagamentos

Genericamente, entende-se por Srie de Pagamentos uma seqncia de embolsos (entradas)

e/ou desembolsos (sadas) de capitais que so distribudos periodicamente, um aps o outro,

em uma linha de tempo. Chamaremos esses embolsos e desembolsos de prestaes (PMT).

O estudo das sries de pagamentos envolve basicamente trs conceitos: o Valor Presente (PV),

que a somatria das parcelas na data zero; o Valor Futuro (FV), que a somatria das

parcelas em data futura, em data igual ou aps o vencimento da ultima prestao; e a

Equivalncia de Capitais, que a somatria das prestaes em uma data qualquer.

Abordaremos cada um dos pontos acima, porm, antes, preciso classificar os tipos de sries,

ou seja, a forma como se comportam os fluxos monetrios ao longo do tempo, haja vista os

diversos formatos que eles podem assumir:

? Quanto Periodicidade das Prestaes:

Peridica: Ocorrem em intervalos regulares do tempo. Por exemplo : prestaes

mensais, anuais, semestrais e etc.;

No Peridica: No obedece a uma regularidade temporal.

? Quanto ao Valor das Prestaes:

Constante: Quando eles so iguais.

Varivel: Quando eles no so iguais.

? Quanto ao Nmero de Prestaes:

Finita: Quando a quantidade for conhecida;

Perptua: Quando a quantidade no for conhecida.

? Quanto ao Incio do Pagamento da Primeira Prestao:

Antecipada: Quando a primeira prestao for efetivada no ato da operao

financeira;




Postecipada: Quando a primeira prestao for efetivada depois de decorrido um

perodo da operao financeira.

Diferida: Quando a primeira prestao for efetivada ( )1+n perodos aps a poca zero. Dizemos que n o prazo de carncia da srie.

4.1) Valor Presente (PV)

O Valor Presente de uma srie de pagamentos dado pela somatria das prestaes

descapitalizadas por uma taxa (i) data inicial (t0) do fluxo de caixa. De forma simplista, o

valor presente a substituio de vrias parcelas, recebimentos e/ou pagamentos, por apenas

uma, em data igual ou anterior ao vencimento da primeira.

No item presente discutiremos o Valor Presente para as seguintes formataes de sries:

PVP - Srie Peridica Constante Postecipada;

PVA - Srie Peridica Constante Antecipada;

PVG - Srie Perpetua;

Outros Modelos Aleatrios.

4.1.1) PVP - Srie Peridica Constante Postecipada

Uma Srie Peridica Constante Postecipada aquela em que o os valores das parcelas e os

intervalos entre elas so iguais; a primeira prestao efetuada aps uma unidade de tempo da

data inicial do fluxo. Reportando-se representao grfica:

PMT PMT PMT PMT

PVP

Srie Peridica Constante Postecipada

t1 t2 t3 tj




( )= +=

j

nnP i

PMTPV

1 1

( ) ( ) ( ) ( )jP iPMT

iPMT

iPMT

iPMT

PV+

+++

++

++

=1111 32

Colocando o PMT em evidncia...

+

+++

++

++

= jP iiiiPMTPV

)1(1

)1(1

)1(1

)1(1

32

( ) ( ) ( ) ( )[ ]jP iiiiPMTPV ---- ++++++++= 1111 321

Observe que a expresso entre colchetes equipara-se a soma dos termos de uma Progresso

Geomtrica (PG) de n termos, sendo o primeiro termo a1, o ltimo an e a razo q. A somatria

desta expresso conhecida com Fator de Valor Presente (FPV). Aplicando a frmula da

soma de uma PG :

Admitindo que:

( ) 11 1 -+= ia

q = 1

2

aa

? ( )( ) 1

2

1

1-

-

+

+

i

i ? ( ) ( )12 11 ii ++ - ? ( ) 11 -+= iq

( ) jn ia -+= 1

Calculando o FPV

( ) ( ) ( )( ) 1

11

11111

-

---

+-++-+

=i

iiiFPV

j

qqaa

FPVSn n--

==1

.1

FPV (i, j)




( ) ( ) ( )( )

( )( )i

ii

iiiFPV

j

++

+-

++-+=

-

11

11111

1-

-1-1

( ) ( ) ( )( ) ( )0

00

11111

iiiii

FPVj

+-+++-+

=-

( )( ) 11

111-+

+-=

-

ii

FPVj

( )i

iFPV

j-+-=

11

Substituindo a expresso entre colchetes pelo FPV...

PVP - Valor Presente

PMT - Prestao

i - Taxa de juros referente ao perodo de capitalizao

n - n de prestaes

-t - n de prestaes

OBS: Para que a calculadora esteja preparada para calcular juros compostos aperte:

[C] [STO] [EEX]

Exemplo: Um imvel foi vendido por 12 parcelas mensais de $6.000,00, a primeira a vencer

daqui a 30 dias. Quanto deve pagar o comprador caso ele decida quitar o imvel vista. A taxa

de juros do mercado de 3 % ao ms.

( )i

iPMTPV

t-+-=

11 ( )niFPVPMTPVP ,= ou




( )= +=

12

1 03,01000.6

nnP

PV

( ) ( ) ( ) ( )1232 03,01000.6

03,01

000.6

03,01

000.603,01

000.6

+++

++

++

+=PPV

( ) ( ) ( ) ( )426,1000.6

093,1000.6

061,1000.6

03,1000.6

++++=PPV

574,207.4...478,489.5042,655.5243,825.5 ++++=PPV

02,724.59=PPV

Aplicando a frmula anteriormente definida do Valo r Presente, que caracteriza este tipo de

srie:

( )1 1 nP

iPV PMT

i

-- +

=

( )03,0

03,011000.6

12-+-=PPV

03,0701,01

000.6-

=PPV

954,9000.6 =PPV

02,724.59=PPV

xY HP: [12] [N] [3] [i] [6.000] [CHS] [PMT] [PV]

6.000 6.000 6.000 6.000

PVP

Srie Peridica Constante Postecipada

t1 t2 t3 t12

FPV (3%, 12)

HP: [1] [Enter] [0,03] [+] [12] [CHS]

xY HP: [CHS] [1] [+] [0,03] [ ]




Perceba que utilizando a primeira opo de resoluo do exerccio para calcular o PV, apesar

de vivel, cansativo, e se o nmero de parcelas for muito grande, a extenso da operao

pode ser fator de gerador de erros de execuo. Da segunda maneira, a inexistncia de uma

calculadora financeira ou de uma planilha eletrnica, pode dificultar os clculos. Ento, para

facilitar a operacionalizao da frmula, existe no apndice desta apostila uma tabela com

varias combinaes de FPV (i, n).

4.1.2) PVA - Srie Peridica Constante Antecipada

Uma Srie Peridica Constate Antecipada aquela em que os valores das parcelas e os

intervalos entre elas so iguais, entretanto, diferentemente da postecipada, a primeira prestao

efetuado no ato da operao financeira. Este valor vulgarmente conhecido como entrada.

Reportando-se representao grfica:

Neste caso, tj-1 equivale ao ltimo perodo da srie, e j-1 representa o nmero de prestaes

menos um. O Valor Presente (PVA) igual ao PMT de t0 mais as PMTs subseqentes

descapitalizadas por uma taxa (i) inicial do fluxo (t0). Note que existe uma parcela que

realizada no incio do fluxo, portanto, ela no est dispersa ao longo do tempo e no pode

sofrer incidncia da taxa de juros. Sendo assim:

PMT PMT PMT PMT

PVA

Srie Uniforme Peridica Antecipada

PMT

t1 t2 t3 tj-1 t0

1 (1 ) TPV

PMTi

i

-=

- +




( )-

= ++=

1

1 1

j

nnA i

PMTPMTPV

( ) ( ) ( ) ( )

+++

++

++

++= -1321 1111 jA i

PMTi

PMTi

PMTi

PMTPMTPV

Como nas sries postecipadas, a expresso entre colchetes pode ser simplificada aplicando a

soma de uma PG. Deixamos a demonstrao para exerccio do leitor:

( )i

iPMTPMTPV

j

A

-+-+=

111

Uma outra forma de calcular o PV para sries antecipadas consider- las, a principio, como

uma srie postecipada. Vejamos graficamente a conseqncia desta suposio:

Note que quando executado os calculamos do valor presente de uma srie antecipada,

considerando-a postecipada, o PV remetido ao perodo t-1, entretanto, como no esta a data

desejada, capitaliza-se o PV em um perodo, trazendo-o para t0. Ento:

( )

+-+=

-

ii

PMTPVj

A

1111

( ) ( )ii

iPMTPV

j

A ++-

=-

111

PMT PMT PMT PMT

t-1 t0 t1 t2 tj

(1+ i)

PV

Valor Presente de Srie Postecipada




Exemplo: Utilizando os mesmos dados do exemplo anterior, onde, o comprador deveria decidir

por pagar o imvel vista ou em doze parcelas, refaa os clculos sendo que, agora, a primeira

parcela ser paga no ato da comercializao:

( )= ++=

11

1 03,01000.6

000.6n

nAPV

( ) ( ) ( ) ( )1132 03,01000.6

03,01

000.6

03,01

000.603,01

000.6000.6

+++

++

++

++=APV

( ) ( ) ( ) ( )384,1000.6

093,1000.6

061,1000.6

03,1000.6

000.6 +++++=APV

260,335.4...478,489.5042,655.5243,825.5000.6 +++++=APV

75,515.61=APV

De maneira alternativa, utilizando a relao acima desenvolvida que caracteriza o calculo do

Valor Presente para este tipo de srie:

( )

+-+=

-

ii

PMTPVj

A

1111

( )

+-+=

-

03,003,011

1000.6121

APV

-+=

03,0722,01

1000.6APV

253,10000.6 =APV

75,515.61=APV

Um Caso a Parte das Sries Antecipadas

As Sries Peridicas Constantes Antecipadas caracterizada por apresentar, alm de outros,

valores iguais das parcelas. Entretanto, existe uma particularidade muito interessante e de

grande utilizao, principalmente no comercio varejista, que a exigncia de uma entrada

diferente dos valores subseqentes, ou seja, 0

0

i

iPMTPMT .




Para resolver esse tipo de problema, faz-se uma pequena modificao nas relaes

desenvolvidas anteriormente: adiciona-se na frmula o valor da entrada, representado pela letra

(E):

Exemplo: Um eletrodomstico vendido por $590,00 vista ou uma entrada mais 4 parcelas de

$80,00. Caso o individuo escolha comprar o equipamento a prazo, qual ser o valor da entrada

que ele dever desembolsar?

( )

+-+=

-

05,005,011

1005904

E

[ ]546,3100590 += E [ ]546,3100590 -=E

40,235=E

( )

+-+=

-

ii

PMTEPVn

E11

( )[ ]niFPVPMTEPVE ,+=

100 100 100 100

t0 t1 t2 t3 t4

PVE = 590

E = ?

PV de Srie Antecipada




4.1.3) PVG - Srie Perptua

Existe uma particularidade que muito ns interessa estudar e de freqente aplicao no

mercado ttulos de renda varivel, previdencirio, imobilirio e etc.: so as sries perpetuas ou

simplesmente perpetuidades. Para melhor compreenso deste conceito, haja vista que o mesmo

no to trivial quanto os outros apresentados at agora, a sua demonstrao ser feita atravs

de uma situao prtica:

Imagine que um proprietrio de um imvel recebeu de seu inquilino uma proposta de compra

da sala comercial que ocupa. Se o valor do aluguel recebido de $600,00 por ms, a uma taxa

de oportunidade de 2% ao ms, qual dever ser o preo mnimo que o locador deve aceitar pelo

imvel? (Lembre-se que taxa de oportunidade o rendimento mnimo que um investidor exige

para aplicar suas economias. Ento, neste caso, o valor de 2% ao ms o rendimento mnimo

que o proprietrio do imvel teria caso vendesse a sala e aplicasse o dinheiro).

Note que na essncia da operao o proprietrio est trocando rendimentos futuros, em forma

de aluguel, por um nico valor recebido no ato da venda do imvel. Sendo assim, a situao

atual se difere das demais estudadas at agora por no apresentar um nmero conhecido de

aluguis a receber, ou seja, das PMTs que devem ser descapitalizadas. Mas, por princpio,

acredita-se que o nmero de alugueis a receber indeterminado, perptuo. Reportando-se a

representao grfica:

Verifique no diagrama que o nmero de parcelas, PMTs, indeterminado e tende ao infinito.

Aplicando o conceito de limite na frmula do PV:

PMT PMT PMT PMT PMT

PVG

Srie Perpetua Postecipada

. . .

t1 t2 t3 t4 t8




( )

+-=

-

ii

PMTPVn

nG11

lim

( )

+-=

-

ii

PMTPVG11

Fazendo ( ) Xi =+1 ...

-=

-

iX

PMTPVG1

-=

iXPMTPVG

11

Como para qualquer valor de X (maior que um) a expresso X1 tender a zero...

iPMTPVG

1=

Aplicando a frmula que acabamos de definir no nosso exemplo, o preo mnimo que o

proprietrio deve aceitar :

02,0600

=GPV

00,000.30=GPV

OBSERVAO: Se estivermos trabalhando com sries perptuas antecipadas, basta somar o

valor da primeira parcela:

iPMT

PMTPVG +=

iPMT

PVG =




4.1.3.1) Valor Presente de Perpetuidades com Taxas Crescentes

A aplicao do clculo do PV para sries perptuas com taxas de crescimento de extrema

importncia na anlise de investimentos e precificao de aes. No iremos discutir aqui, a

teoria da anlise de investimentos, entretanto, queremos mostrar a aplicao da matemtica

financeira como ferramenta de apio para a tomada de deciso para estes tipos de

investimentos, haja vista que mais frente apresentaremos o assunto.

As sries perptuas com taxa de crescimento podem ser reproduzidas graficamente da seguinte

maneira:

Observe que para este tipo de sries, os valores das prestaes crescem a uma taxa (c) de forma

exponencial, tal como descrito abaixo:

$1 RPMT =

( )cRPMT += 1$2

( )23 1$ cRPMT +=

( )34 1$ cRPMT +=

( )45 1$ cRPMT += . . .

( ) 11$ - += cRPMT

t1 t2 t3 t4 t5 t8

PVGC

PMT1 PMT2

PMT3 PMT4

PMT5

Srie Perptua com Taxa de Crescimento

PMT8




Ento:

( )( )

( )( )

( )( )

( )-

+

+++

+

++

+

++

+=

i

cPMT

i

cPMT

i

cPMTi

PMTPVGC

1

1

1

1

1

11

1

3

2

2

Observe que a expresso equipara-se a soma dos termos de uma Progresso Geomtrica

infinita, sendo o primeiro termo a1 e a razo q. Aplicando a soma de uma PG infinita:

( ) 11 1 -+= iPMTa

( )( )i

cq

++

=11

Substituindo os valores na expresso:

( )( )( )i

ciPMT

PVGC

++

-

+=

-

11

1

1 1

( )( )( )

( )( )i

i

iciPMT

PVGC ++

++

-

+=

-

11

11

1

1 1

( )( ) ( )ci

iPMTPVGC +-+

+=

111 0

ciPMT

PVGC -

=1

Onde c a taxa de crescimento.

ciPMT

PVGC -=

qa

PVSn GC -==

11




Exemplo: Um investidor deseja adquirir um determinado lote de aes de uma empresa que

anunciou pagar dividendos de $35,00 para os prximos trs anos, e depois um acrscimo de

3% ao ano sobre o valor do dividendo inicial. A uma taxa de oportunidade 20% ao ano, qual

o valor mximo que o lote de aes deve ser adquirido?

Observe que neste caso, em uma mesma srie, temos dois comportamentos diferentes dos

influxos dos dividendos: um finito postecipado de trs parcelas de $35,00, e outro perptuo,

com taxa de crescimento de 3% ao perodo. Para facilitar a soluo desmembraremos a srie

em duas:

1) Fluxo finito postecipado:

( )

+-=

-

ii

PMTPVn

P

11

( )

-=

-

20,020,11

353

PPV

1065,235 =PPV

75,73=PPV

t1 t2 t3

35

PVP

Srie Uniforme Postecipada Finita

35 35

FPV (20%, 3)

35 35 35 36,05

37,15 38,25

PV


35 (1+ c)n




2) Fluxo Perptuo crescente:

A descapitalizao da srie perpetua ser feita em dois momentos: primeiro trazendo os valores

t3; depois a t0.

1 Momento: Descapitalizar os influxos da srie perptua at t3.

ciPMT

PV-

= 43

( )ci

cPMTPV

-+

=13

3

( )03,020,003,0135

3 -+

=PV

( )17,0

03,1353

=PV

17,005,36

3 =PV

06,2123 =PV

2 Momento: Descapitalizar em trs perodos o valor presente da etapa anterior.

( )320,106,212=GCPV

7280,106,212

=GCPV

72,122=GCPV

PVGC

36,05 37,15

1 Momento 2 Momento

t1 t2 t3 t4 t5 t8

35 (1+i) 8





Sendo assim, o valor do lote de aes ser:

GCPlote PVPVPV +=

72,12275,73 +=PV

47,196=PV

4.1.4) PV - Outros Modelos de Sries de Pagamentos

Neste tpico desenvolveremos o PV para outros modelos de sries de pagamentos menos

aplicadas no mercado. Com exceo das diferidas, que veremos a seguir, todas as outras sries

referenciadas neste subttulo no contemplam uma relao padro, por isso esses modelos so

tratados separadamente. A manipulao dessas sries muito trabalhosa, residindo ai o fato de

serem pouco empregadas.

4.1.4.1) PVD - Sries Diferidas

O diferimento pode ser entendido como um prazo de carncia que se concede para que a

primeira prestao seja efetivada. importante no confundir o prazo do diferimento com o

prazo das sries postecipadas, que de um perodo. Diferente desta ltima, o prazo de carncia

no contempla nenhum valor padro, ele depende do que ser acordado entre as partes

interessadas. Ns portando ao modelo grfico:

PMT1 PMT2 PMT3 PMTn

t1 t2 t3 t4 t5 t6 tj

Prazo de Carncia = 3

Srie Diferida

PVD




Em geral, a comparao da srie diferida feita com a postecipada, conseqentemente, neste

exemplo, o prazo de carncia para iniciar o pagamento das parcelas de trs perodos. Sendo

assim, o prazo de carncia ser sempre um perodo a menos em relao aquele entre a data t0 e

a data da primeira prestao:

11

-= PMTtCr

Cr - prazo de carncia tPMT

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Aula MF2