EMENTA (RESUMO)

•  Matrizes

Matrizes, determinantes e suas propriedades, Multiplicação de matrizes, Operações com matrizes, Matrizes inversíveis. …

•  Sistemas de Equações Lineares

Sistemas equações lineares , sistemas equivalentes, sistemas escalonados, sistemas de equações homogêneas. …

•  Espaços vetoriais

Espaços vetoriais, Propriedades, Subespaços vetoriais. Combinações lineares. …

•  Transformações lineares

Transformações lineares. Propriedades das transformações lineares. …

São tabelas de elementos dispostos ordenadamente em linhas e colunas.

Dentre suas aplicações podemos citar:

•  a r m a z e n a m e n t o e manipulação de informações em tabelas;

•  C r i p to g r a f i a ( c o d i f i c a e decodifica mensagens);

•  ferramentas para transmissão de imagens e sons digitalizados pela internet.

•  Etc...

*i, j,m,n∈N

São tabelas retangulares de valores dispostos ordenadamente em m linhas e n colunas.

ij mxnA (a )=

As matrizes são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino e representadas por parênteses ou colchetes ou duplas barras laterais.

n – número de colunas da matriz

m – número de linhas da matriz

i – número da linha da matriz, onde 1 ≤ i ≤ m.

j – número da coluna da matriz, onde 1 ≤ j ≤ n.

⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )

linha m

linha 3

linha 2

linha 1

ij m x nA (a )=

n – número de colunas da matriz

m – número de linhas da matriz j – número da coluna da matriz, onde 1 < j < n.

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3nij m x n

m1 m2 m3 mn

a a a ... a

a a a ... a

a a a ... aA (a )

... ... ... ... ...

a a a ... a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i – número da linha da matriz, onde 1 < i < m.

coluna 1 coluna 2 coluna 3 coluna n

EXEMPLO 01

Dada a matriz A = (aij)3x2 através de sua lei de formação, escreva essa matriz.

iji j , se i j

ai j , se i > j

+ ≤⎧⎪= ⎨⎪ −⎩

SOLUÇÃO

11 12

ij 3 x 2 21 22

31 32

a a 2 3

A (a ) a a 1 4

a a 2 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

Matriz Linha – É toda matriz com apenas 1 linha, ou seja, é toda matriz do tipo 1 x n.

3 2 0−⎡ ⎤⎣ ⎦1 4−⎡ ⎤⎣ ⎦ 0 3 2⎡ ⎤π⎣ ⎦matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4

Matriz Coluna – É toda matriz com apenas 1 coluna, ou seja, é toda matriz do tipo m x 1.

4

0

7

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

3

5

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

6

2

1

3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦matriz 2 x 1 matriz 3 x 1 matriz 4 x 1

Matriz Nula – É toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero.

0 0 0⎡ ⎤⎣ ⎦0 0⎡ ⎤⎣ ⎦ 0 0 0 0⎡ ⎤⎣ ⎦matriz 1 x 2 matriz 1 x 3 matriz 1 x 4

0 0 0

0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0

0 0

0 0

0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 0

0 0 0

0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

matriz 2 x 3 matriz 4 x 2 matriz 3 x 3

Matriz Quadrada de ordem n – É toda matriz do tipo n x n, isto é, que possui igual número de linhas e colunas.

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3nij m x n

n1 n2 n3 nn

a a a ... a

a a a ... a

a a a ... aA (a )

... ... ... ... ...

a a a ... a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Diagonal Principal Diagonal Secundária

( i = j ) ( i + j = n + 1 )

2 1

4 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 2 0

5 1 3

6 0 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

6 2 1 5

0 3 2 3

5 1 2 4

2 3 4 0

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

3 2 5

0 1 3

0 0 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriz Triangular – É toda matriz quadrada composta apenas de zeros nos elementos acima ou abaixo da diagonal principal.

3 0 0

4 1 0

2 5 6

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Triangular Superior Triangular Inferior

Matriz Diagonal – É toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.

2 0

0 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4 0 0

0 2 0

0 0 5

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

5 0 0

0 2 0

0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0

0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriz Identidade ( ou Unitária ) – É toda matriz diagonal, com ordem igual ou superior a 2, em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

21 0

I0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

3

1 0 0

I 0 1 0

0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 4

1 0 0 0

0 1 0 0I

0 0 1 0

0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq , essas matrizes serão iguais quando as matrizes forem da mesma ordem e todos os elementos correspondentes de uma e outra forem iguais.

5 1 3 5 1 3

0 4 2 0 4 1

2 3 1 2 3 1

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥≠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4 2 4 2

1 3 1 3

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ambas são 2 x 2

ambas são 3 x 3

são iguais

não são iguais

EXEMPLO 03

Determine x, y, z e t, para que se tenha:

2x y 25 4

10 3z 10 9

4x t 20 t

⎡ ⎤ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2x 5

x 25 x 25 5x 5

=⎧⎪= ⇒ = ± = ± ⎨

⎪ = −⎩

SOLUÇÃO As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Falta agora fazer a igualdade entre os termos correspondentes.

y 4= − ; 10 10= ; 3z 9 z 3= ⇒ =

; 4x 20 x 5= ⇒ =

; t t 2t 0 t 0= − ⇒ = ⇒ =

Soma de Matrizes – É uma operação de soma dos elementos correspondentes de duas matrizes de mesma ordem, gerando uma nova matriz de mesma ordem.

EXEMPLO 04

Calcule a soma de matrizes abaixo.

6 3 2 4

10 4 1 0

5 1 10 1

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

SOLUÇÃO As duas matrizes são de ordem 3 x 2. Então a soma é

8 1

9 4

15 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

I ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

II ) A + B = B + A

III) A + 0 = 0 + A

IV) A + (-A) = -A + A = 0

Sabendo-se que 0 é uma matriz nula

Multiplicação de Escalar por Matriz – É uma operação similar a uma soma de matrizes, onde todas essas matrizes são iguais. Portanto, basta multiplicar o escalar por cada elemento da matriz.

EXEMPLO 05

Calcule o resultado da multiplicação de escalar por matriz indicada abaixo.

2 1 35.6 4 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

SOLUÇÃO

2 1 3 10 5 155.6 4 2 30 20 10

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

I ) ( λ. µ ).A = λ.(µ.A)

II ) ( λ + µ ).A = λ.A + µ.A

III) ( λ - µ ).A = λ.A - µ.A

IV) λ.( A + B ) = λ.A + λ.B

V) 1. A = A

VI) 0.A = 0 (matriz nula)

Onde: λ e µ são escalares

Oposta de Matriz – É obtida multiplicando o escalar -1 pela matriz dada.

EXEMPLO 06

Calcule o resultado da oposta da matriz indicada abaixo.

3 1

4 2

5 0

2 3

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

SOLUÇÃO

3 1 3 1

4 2 4 2( 1).

5 0 5 0

2 3 2 3

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Subtração de Matrizes – É uma operação de soma de uma matriz com a oposta da segunda.

EXEMPLO 07

Calcule o resultado da diferença de matrizes indicada abaixo.

SOLUÇÃO

6 3 2 4

10 4 1 0

5 1 10 1

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6 3 2 4 4 7

10 4 1 0 11 4

5 1 10 1 5 2

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Transposição de Matrizes – Dada uma matriz A = (aij)m x n sua transposta é a matriz At = (aji)n x m. Na prática é a operação de troca de posição dos elementos da linha i para a coluna i.

EXEMPLO 12

Obtenha a transposta da matriz abaixo.

SOLUÇÃO

6 3 2 1A

2 4 0 4

−⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎣ ⎦ t

6 2

3 4A

2 0

1 4

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriz Simétrica – Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a sua transposta, A = At, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.

Matriz Anti-Simétrica – É uma matriz em que A = -At, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são simétricos. Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.

a b

b d

!

"

###

$

%

&&&;

a b c

b d e

c e f

!

"

#####

$

%

&&&&&

0 a

!a 0

"

#

$$$

%

&

''';

0 a b

!a 0 !c

!b c 0

"

#

$$$$$

%

&

'''''

Matriz Simétrica – Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a sua transposta, A = At, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.

Matriz Anti-Simétrica – É uma matriz em que A = -At, isto é, uma matriz em que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são simétricos. Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.

a b

b d

!

"

###

$

%

&&&;

a b c

b d e

c e f

!

"

#####

$

%

&&&&&

0 a

!a 0

"

#

$$$

%

&

''';

0 a b

!a 0 !c

!b c 0

"

#

$$$$$

%

&

'''''

I ) ( A + B )t = At + Bt

II ) ( λ.A )t = λ.At

III) (At)t = A

IV) (-A)t = -At

V) (A.B)t = Bt.At

Cuidado com a Propriedade V,

que ela induz ao erro !

Onde: λ é um escalar

Produto de Matrizes – Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)p x q , chama-se produto das matrizes A e B, a matriz C = (cij)m x q , onde só é possível efetuar essa operação se n = p.

Só é possível efetuar o produto de duas matrizes, se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

A ordem da matriz produto é obtida pelo número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.

II ) ( A.B ).C = A.( B.C ) (associatividade)

III ) ( A + B ).C = A.C + B.C (distributividade à direita)

IV) C.( A + B ) = C.A + C.B (distributividade à esquerda)

V) ( α.A ).B = A .(α.B ) = α (A.B) onde α ∈ IR

VI) A.B ≠ B.A , em geral. Se A.B = B.A, então A e B comutam.

VII) Se A.B = 0 (não é necessário que A = 0 ou B = 0)

I ) AI = IA = A (I é a matriz Identidade)

EXEMPLO 08

Calcule o resultado do produto de matrizes indicado abaixo.

SOLUÇÃO

1 11 2 3

2 2 .4 5 1

3 4

−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

1 11 2 3

2 2 .4 5 1

3 4

−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

3 x 2 2 x 3 =

Matriz Produto é 3 x 3

Matriz Produto é da forma:

1

-1

1

4

3

1

1

-1

2

2

1

4

3

4

1

4

1

-1

2 -5

2

2

2 -5

3

4

2 -5

2

2

3

1

3

4

3

1

-3 7 2

10 -6 8

19 -14 13

Produto possível

BIBLIOGRAFIAS

STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987;

BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3a edição – Ed. Harbra – São Paulo SP - 1989.

STEINBRUCH , A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Paulo, 1987;

KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.