Aula01 Fq Final

Física Quântica

Aula 01

Radiação do Corpo Negro

Alex Gomes Dias

22 de fevereiro de 2016

Física Quântica

Motivações para se estudar física quântica.

- Domínios de validade da mecânica Newtoniana.

(Comolli)

Galáxia de Andrômeda (M31), raio de 110 mil anos luz.

A mecânica Newtoniana também pode fornecer uma boa descrição para a

dinâmica de estruturas gigantescas como uma galáxia.

Física Quântica 1

- A dinâmica dos átomos e moléculas é regida pela mecânica quântica.

Densidade de probabilidade (característica da mecânica quântica) dos estados do hidrogênio.

- Componentes como transistores e diodos, que fazem parte dos dispositvos

eletrônicos, funcionam com base nas leis da mecânica quântica.

transístor diodo semicondutor

Transistor � ampli�cador, interruptor de corrente.

Diodo semicondutor � permite ou impede corrente elétrica dependendo da

polaridade da tensão.

Física Quântica 2

- Tecnologia para geração limpa de energia: desenvolvimento de materiais para

células fotovoltaicas que possam aproveitar ao máximo certos �efeitos quânticos�.

- Nanotecnologia: miniaturização de dispositivos por meio do domínio da

manipulação de átomos e moléculas.

- Computadores mais poderosos (grande promessa): computação quântica,

processadores quânticos.

Nos computadores atuais os dados são codi�cados em digitos binários (bits)

em que cada um deles pode estar em dois estados de�nidos (0 ou 1).

Computadores quânticos fazem uso de bits quânticos (qubits), que po-

dem estar em múltiplos estados simultaneamente. Com isso as operações com

qubits permitiriam, teoricamente, a realização de um grande número de cálculos

em paralelo.

Física Quântica 3

- Criptogra�a quântica.

Acredita-se que as técnicas de criptogra�a atuais não serão seguras a ponto de

resistirem ao poder de cálculo dos computadores quânticos. Veja artigo em Nature:

http://www.nature.com/news/online-security-braces-for-quantum-revolution-1.18332

Física Quântica 4

Radiação do corpo negro:

O problema de se descrever o espectro de radiação eletromagnética emitida por

um corpo aquecido a uma dada temperatura T conduziu a uma importante idéia

que levou ao desenvolvimento da física quântica.

- Os corpos em geral emitem uma forma de radiação chadada radiação térmica.

- Os corpos têm uma taxa de emissão de energia para cada temperatura.

- A partir da observação direta se constata uma mudança na coloração do corpo a

medida que a temperatura é alterada.

- Término na mudança da coloração⇒ equilíbrio térmico foi alcançado.

Caracterização do equilibrio térmico de um corpo que emite e absorve energia:

Taxa de emissao = Taxa de absorcao

Física Quântica 5

Radiação Térmica.

• A energia emitida pelo corpo devido a sua temperatura é denominada radiação

térmica. Essa radiação é composta por radiação eletromagnética distribuída

em diversas frequências ou, equivalentemente, comprimentos de onda.

• Luz é radiação eletromagnética. Essa radiação tem uma descrição clássica por

meio de ondas, as chamadas ondas eletromagnéticas.

A cada cor que enxergamos está associado um comprimento de onda.

Uma experiência comum é a observação da decomposição da luz branca que

passa através de um prisma.

Dispersão da luz

Isso nos mostra que a luz incidente é composta por uma distribuição de on-

das com diferentes comprimentos de onda. Na decomposição da radiação térmica

que passa por um prisma há radiação de comprimento de onda acima do vermelho,

bem como comprimento de onda abaixo do violeta. O olho humano não é sensível

a luz com comprimento de onda maior do que o vermelho, e nem menor do que o

do violeta.

Física Quântica 6

• Onda eletromagnética monocromática.

Tal onda envolve apenas uma frequência (ou comprimento de onda).

Para a onda eletromagnética, de comprimento de onda λ, polarizada na dire-

ção y (a polarização de uma onda eletromagnética é de�nida como a direção do

campo elétrico) temos

E (x, t) = Ey (x, t) y B (x, t) =1

cEy (x, t) z

Ey (x, t) = E0 sin

[2π

λ(x− ct)

]

No vácuo a velocidade de propagação da onda eletromagnética vale

c = νλ = 299 792 458 m/s

ν é a frequência e λ o comprimento de onda. c é a velocidade da luz no vácuo.

E (x, t) é solução da equação de onda obtida das equações de Maxwell.

Física Quântica 7

De�nem-se o período, τ , a frequência, ν, e a frequência angular, w, da onda

como

τ =λ

c, ν =

1

τ, w = 2πν

O comprimento de onda, λ, se relaciona com o número de onda k (que nos será

útil mais adiante) da seguinte forma

k =2π

λ

Emissão de radiação eletromagnética→ Emissão de energia.

⇒ As ondas eletromagnéticas transportam energia.

S =1

µ0

E× B [|S|] ≡W/m2

(Intensidade)

• Faixa de comprimentos de onda no visível (i. e., sensível ao olho humano):

400nm . λ . 700nm, 1nm = 10−9m.

Acima de 700nm está a região do infravermelho.

Abaixo de 400nm está a região do ultravioleta.

Física Quântica 8

As ondas eletromagnéticas são classi�cadas conforme o comprimento de onda, ou,

equivalentemente, a frequência.

• A cor com que brilha um corpo mantido a uma dada temperatura está relacio-

nada a intensidade emitida no comprimento de onda correspondente a cor em

comparação aos demais comprimentos de onda presentes na distribuição.

Física Quântica 9

• Espéctro de uma fonte de luz:

conjunto de todos comprimentos de onda, ou freqüências, em que a fonte emite.

• Algumas constatações sobre o corpo que emite radiação térmica:

- O espéctro de emissão é contínuo. A emissão da radiação se dá em to-

das as frequências.

- A intensidade, potência por unidade de área, varia com o comprimento

de onda (ou, equivalentemente, com a frequência).

- A forma do espéctro depende da temperatura. Ex.: espéctro do Sol.

Física Quântica 10

Corpo Negro

• A experiência mostra que certos corpos emitem espéctros térmicos universais

(isto é, uma emissão independente do material do qual o corpo é composto e

de sua forma geométrica). Tais corpos são chamados de corpos negros.

- O corpo negro também absorve toda radiação que incide sobre sua superfície

(nada é re�etido).

- Para qualquer temperatura �xada os corpos negros emitem o mesmo espéc-

tro de radiação.

• Função distribuição espectral, ou também chamada radiância espectral,

RT (λ).

Consideremos uma unidade de área da superfície de um corpo a temperatura T , e

a função RT (λ) tal que

RT (λ) dλ = energia emitida por unidade de tempo em radia-

ção de comprimento de onda entre λ e λ+ dλ por unidade de área da superfície

à temperatura T .

Observe que RT (λ) dλ é a potência da emissão por unidade de área na faixa de

comprimentos de onda entre λ e λ+ dλ.


As curvas da distribuição espectral características de corpos negros obtidas

experimentalmente têm o seguinte per�l dependendo da temperatura. (Simulador)

A energia total emitida por unidade de tempo (a potência) e por uma unidade de

área do corpo a temperatura T é dado pela integral

RT =

ˆ ∞0

RT (λ) dλ

Por outro lado a experiência mostra que para um corpo que se comporta como um

corpo negro

RT = σT4

Essa expressão é conhecida como lei de Stefan-Boltzmann (J. Stefan em 1879 de

forma empírica, e L. Boltzmann por volta de 1884 usando as leis da termodinâmica).

σ = 5, 670367(13)× 10−8 W/m2 ·K4 é a constante de Stefan. (NIST)


Note que:

• Para o corpo negro RT só depende da temperatura. Isto é, RT independe de

qualquer outra propriedade do objeto como sua constituição ou forma.

• A experiência mostra que o valor do comprimento de onda, λm, para o qual

R (λ) é máximo está relacionado com a temperatura de acordo com

λmT = b = 2.898× 10−3

m ·K

Essa é a lei do deslocamento de Wien (deslocamento porque a medida que a

temperatura aumenta a frequência máxima também se desloca proporcionalmente,

i. e., νm ∝ T ). Tal resultado foi derivado por W. Wien em 1893, com a constante

b sendo determinada experimentalmente.

Lei de Wien −→ fornece a temperatura de um objeto que emite radiação

como se fosse um corpo negro.

Exemplo: determinar a temperatura na superfície do Sol supondo que este se

comporte como corpo negro.

λmax ≈ 510nm ⇒ T =b

λm≈ 5700 K

Para a frequência da radiação na qual a emissão é máxima

νmax =c

λmax=

299 792 458ms

510 nm≈ 5, 88× 10

14s−1


O problema do corpo negro � o germe da teoria quântica.

As curvas RT (λ) não podem ser explicadas, ou obtidas simplesmente com

base na mecânica, termodinâmica, e eletromagnetismo. Os cáculos realizados até

antes de 1900 com base nessas três teorias não levaram a resultados satisfatórios.

• No ano de 1900 Max Planck resolve o problema teórico da obtenção do espectro

do corpo negro, i. e., da distribuição espectral, introduzindo a hipótese dos

quantas de energia.

Modelo de um corpo negro.

O corpo negro é idealizado pelo orifício. Toda radiação que entra na cavidade

acaba sendo absorvida pela parede da cavidade.

Quando esse �forno�, composto pela parede e cavidade, é aquecido a tempe-

ratura T deixando escapar a radiação térmica somente pelo orifício, o espectro do

corpo negro é determinado com a distribução da potência emitida em relação ao

comprimento de onda. Se a temperatura T é mantida constante �ca estabelecida

uma situação de equilíbrio térmico entre a parede e a radiação na cavidade.


UT ≡ densidade total de energia eletromagnética na cavidade em equilíbrio

térmico na temperatura T .

A potência emitida é proporcional a densidade total de energia, U , da radiação

eletromagnética na cavidade.

• Densidade de energia da radiação eletromagnética com comprimento de onda

entre λ e λ+ dλ dentro da cavidade,

dUT = uT (λ) dλ

uT (λ) é densidade de energia por comprimento de onda, também denotada por

ρT (λ).

uT (λ) também é chamada de função distribuição espectral de energia.

A densidade de energia na cavidade é obtida integrando sobre todos os

comprimentos de onda

UT =

ˆ ∞0

uT (λ) dλ


Pode ser mostrado que a potência emitida por unidade de área do corpo negro é

RT =c

4UT (Fluxo de energia)

Detalhes desse cálculo podem ser encontrados, por exemplo, no livro de R. Libo�,

Introductory Quantum Mechanics, pag. 32.

A di�culdade encontrada com a física clássica (por física clássica entende-se

aqui o conjunto das teorias: mecânica, termodinâmica, e eletromagnetismo) é que

esta prediz uma forma inconsistente para a função uT (λ). O resultado que se

deriva, com a física clássica, para função distribuição espectral é

uRJ (λ) = 8πkBT

λ4(Lei de Rayleigh− Jeans)

kB é a constante de Boltzmann (relacionada com a constante dos gases ideais).

O resultado acima é conhecido como a lei de Rayleigh-Jeans. Para comprimen-

tos de onda grande (baixas frequências) essa lei corresponde bem aos resultados

experimentais. Porém, a medida que os comprimentos de onda vão �cando meno-

res, constata-se um desvio da fórmula de Rayleigh-Jeans em relação aos resultados

experimentais. O fato é que uRJ (λ) tende ao in�nito para λ tendendo a zero

limλ→0

uRJ (λ) =∞


Tal resultado é inconsistente com a experiência. A fórmula de Rayleigh-Jeans

também conduz a um resultado sem sentido para a densidade total de energia

ˆ ∞0

uRJ (λ) dλ =∞ (Catastrofe ultravioleta)

Esse resultado �cou conhecido como catástrofe ultravioleta. As curvas na �gura

acima representam os resultados experimentais para diversas temperaturas. A área

abaixo de cada curva correspondente dá a densidade total de energia.

Uma maneira de se obter uT (λ) é através de um modelo onde as paredes da

cavidade é composta por osciladores carregados. De acordo com o eletromagne-

tismo

cargas em movimento acelerado→ emissão de radiação


Os osciladores na cavidade interagem com o campo de radiação na cavidade,

absorvendo e emitindo energia na forma de radiação eletromagnética.

No equilíbrio, os osciladores na cavidade emitem e absorvem radiação eletro-

magnética a mesma taxa e o resultado que se deriva disso é que a densidade de

energia por intervalo de frequência é (para essa dedução veja livro de F. Caruso e

V. Oguri, Física Moderna)

uT (λ) =8π

λ4〈ε〉T

onde 〈ε〉T é a energia média dos osciladores do sistema em equilíbrio térmico em

temperatura T . Tal energia média é calculada classicamente a partir da função

distribuição de Maxwell-Boltzmann

pT (ε) =e− εkBT

Z=e− εkBT

kBT

Z �ca determinada pela condição de normalização, i. e.,

ˆ ∞0

pT (ε) dε = 1

A função pT (ε) fornece para a energia média do oscilador


〈ε〉T =

ˆ ∞0

ε pT (ε) dε = kBT

Com esse valor na expressão de u (λ) acima leva a lei de Rayleigh-Jeans em

termos da frequência

uRJ (ν) =8π

λ4kBT

Planck percebeu que a expressão para uT (λ) seria condizente com a expe-

riência se os osciladores tivessem um comportamento diferente do que o previsto

pela física clássica.

Oscilador clássico→ pode ter qualquer energia.

Para um oscilador clássico de frequência angular w = 2πν a energia total

depende do quadrado da amplitude de oscilação, A,

Eosc.class = Ecinetica + Epotencial =A2w2m

2

Assim, um oscilador clássico, de frequência w, teria qualquer energia, uma vez

que, em princípio, a amplitude A poderia ser variada continuamente.

A hipótese de Planck foi que os osciladores que absorvem e emitem radiação

na cavidade têm somente estados de energia que são discretos, múltiplos inteiros

de uma certa quantia εν. Para uma frequência ν as energias possíveis de um


oscilador é suposta ser da forma

εn = nεν = nhν n = 0, 1, 2, ...

εν = hν

onde

h e a constante de Planck

A constante h é determinada experimentalmente. Tal constante se ajusta a todas

as curvas de distribuição espectral para as diferentes temperaturas do corpo negro.

O cálculo realizado originalmente por Planck não foi feito da forma simples

como segue (feito por H. A. Lorentz em 1910), e que leva ao mesmo resultado.

Com a hipótese de Planck a função distribuição Maxwell-Boltzmann é

pn (εν) =e− εnkBT

Z=e− nενkBT

Z


onde Z �ca determinada pela condição de normalização, i. e.,

∞∑n=0

pn (εν) =1

Z

∞∑n=0

e− nενkBT = 1

e, uma vez que,

∞∑n=0

e− nενkBT =

1

1− e− ενkBT

tem-se

Z =1

1− e− ενkBT

A energia média do oscilador de frequência ν �ca determinada pela soma

〈ε〉T =

∞∑n=0

εnpn (ε) =hν

ehνkBT − 1

=hc/λ

ehc

λkBT − 1

Esse resultado é diferente do que se obtém utilizando o teorema da equiparti-

ção da energia para o oscilador (kBT ). Substituindo isso em

uT (λ) =8π

λ4〈ε〉T

a distribuição espectral de Planck é obtida


uT (λ) =8πhcλ−5

ehc

λkBT − 1

A concordância dessa fórmula com as curvas obtidas experimentalmente é im-

pressionante.

Para comprimentos de onda tais que hcλkBT

� 1 a distribuição de Planck re-

cobre a lei de Rayleigh-Jeans, pois nesse caso

ehc

λkBT − 1 'hc

λkBT

e

uT (λ) '8πhcλ−5

hcλkBT

=8π

λ4kBT = uRJ (λ)


Além disso a fórmula de Planck para u (λ) converge a zero para pequenos

comprimentos de onda.

limλ→0uT (λ) = 0

O valor da constante de Planck h é determinado pela experiência

h = 6, 626070040(81)× 10−34

J · s

= 4, 135667662(25)× 10−15

eV · s

Um resultado importante derivado da distribuição de Planck foi a lei de Stefan-

Boltzmann juntamente com a determinação da constante de σ

UT =

ˆ ∞0

uT (λ) dλ =

ˆ ∞0

8πhcλ−5

ehc

λkBT − 1

dλ =8π5k4

B

15h3c3T

4

RT =cUT

4=

2π5k4B

15h3c2T

4

Visto que a lei empirica de Stefan-Boltzmann é

RT = σT4


obtem-se que

σ =2π5k4

B

15h3c2

Além disso a lei do deslocamento de Wien é também derivada da distribuição

de Planck.

d

dλuT (λ) |λ=λm= 0

leva a

λmT = 0.290 cmK

A concordância da fórmula de Planck com as experiencias têm sido veri�cada

até os dias de hoje. O espectro da radiação cósmica de fundo é um exemplo como

pode ser visto na �gura abaixo. A temperatura média do universo atualmente é de

2.73K e o espectro concorda muito bem com a distribuição de Planck

(FIRAS é um instrumento do satélite COBE da NASA lançado em 1989)


• O ponto importante a se ressaltar é que a proposta de Planck tem na sua

essência a mudança da mecânica dos osciladores.

A mecânica dos osciladores é quântica.

Prof. Max Planck

Os osciladores tem estados de energia que são �quânticos�. Essa idéia de

estados quânticos, a partir do trabalho de Planck, gerou desenvolvimentos notáveis

e que conduziram à formulação da mecânica quântica.


Adendo

A função distribuição espectral em termos da frequência, ρ (ν) , pode ser

obtida de u (λ) observando que

UT =

ˆ ∞0

ρ (ν) dν =

ˆ ∞0

u (λ) dλ

e que c = νλ, ou seja, dν = − cλ2dλ. Com isso,

ˆ ∞0

ρ (ν) dν = −ˆ 0

∞ρ

(c

λ

)c

λ2dλ =

ˆ ∞0

ρ

(c

λ

)c

λ2dλ

e, portanto,

u (λ) = ρ

(c

λ

)c

λ2

e, assim

ρ

(c

λ

)= u (λ)

λ2

c=

8πhλ−3

ehc

λkBT − 1

⇒ ρ (ν) =8π

c3

hν3

ehνkBT − 1


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