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Prof. Wanderson S. Paris -‐ [email protected] Resistência dos Materiais
Aula 02 – Introdução e Equilíbrio de um corpo deformável
Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. [email protected]
Prof. Wanderson S. Paris -‐ [email protected] Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
Definição: É um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo.
Definição de Resistência dos Materiais
Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
É um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo
deformável e a intensidade das forças
internas que atuam dentro do corpo.
Resistência dos Materiais
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Equilíbrio de um Corpo Deformável Equilíbrio de um Corpo Deformável
Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Princípios da estática
Forças externas
Forças de superfície Forças de corpo
Força concentrada
Carga linear distribuída
Equilíbrio de um Corpo Deformável
Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Princípios da estática
Forças externas
Forças de superfície Forças de corpo
Força concentrada
Carga linear distribuída
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Reações de Apoio
• As forças de super<cie que se desenvolvem nos apoios ou pontos de contato entre corpos são chamadas reações.
• As reações de apoio são calculadas a par?r das equações de equilíbrio da está?ca.
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Tipos de Apoios Tipos de Apoios
Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
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Equações de Equilíbrio da EstáGca
• Equilíbrio de forças: Evita translação ou movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória.
• Equilíbrio de momentos: Evita rotação do corpo.
Equações de Equilíbrio da Estática
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Resistência dos Materiais
Equilíbrio de forças: Evita translação ou movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória.
Equilíbrio de momentos: Evita rotação do corpo.
!!
=
=
0
0
x
x
M
F
!!
=
=
0
0
y
y
M
F
!!
=
=
0
0
z
z
M
F
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Diagrama de Corpo Livre
• Diagrama que mostra a especificação completa de todas as forças conhecidas e desconhecidas que atuam sobre o corpo.
• A correta representação do diagrama de corpo livre permite aplicar com sucesso as equações de equilíbrio da está?ca.
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Carga Interna Resusltante
• Representa uma das aplicações mais importantes da está?ca na análise dos problemas de resistência dos materiais.
• Através do método das seções pode-‐se determinar a força resultante e o momento atuantes no interior do corpo, necessários para manter o corpo unido quando subme?do a cargas externas.
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Tipos de Cargas Resultantes
• Força Normal (N).
• Força de Cisalhamento (V).
• Momento de Torção ou Torque (T) .
• Momento Fletor (M).
Tipos de Cargas Resultantes
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Resistência dos Materiais
Força Normal (N).
Força de Cisalhamento (V) ou (Q).
Momento de Torção ou Torque (T) ou (MT).
Momento Fletor (M) ou (MF).
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Exercício 1
Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em C da viga mostrada na figura.
Exercício 1
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Resistência dos Materiais
1) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em C da viga mostrada na figura.
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Solução do Exercício 1 Solução do Exercício 1
Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Diagrama de corpo livre do segmento BC
Relação do carregamento distribuído ao longo do comprimento da viga
270 N = 9 m
w = 6 m
Portanto: w = 180 N/m
Substituição da carga distribuída por uma carga concentrada equivalente
540
2
6180
=
!=
P
P
NLocalizado no centróide
do triângulo
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Solução do Exercício 1 Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
0=! xF
0=! cN
0=cN
0=! yF
0540 =!cV
540=cV N
0=! cM
02540 ="!! cM
1080!=cM Nm
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Exercício 2
2) Uma força de 80 N é suportada pelo suporte como mostrado. Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção que passa pelo ponto A.
Exercício 2
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Resistência dos Materiais
2) Uma força de 80 N é suportada pelo suporte como mostrado. Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção que passa pelo ponto A.
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Solução do Exercício 2 Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
Diagrama de corpo livre
MANA
VA
15°
xy
Decomposição da força
80 N
Fx
Fy
15°
°!= 15cos80xF
27,77=xF
°!= 1580 senFy
70,20=yF
N
N
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Solução do Exercício 2 Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
0=! yF
070,20 =!AVN70,20=AV
0=! AM
0)303,01,0(4580)30cos3,0(45cos80 =°"+"°"!°""°"+ sensenM A
69,1414,14 !=AM
Nm55,0!=AM
0=! xF
027,77 =!AN
27,77=AN N
NA
MAVA
15°
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Exercícios Propostos
[P01] Determine o torque interno resultante que age nas seções transversais nos pontos B e C.
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Exercícios Propostos
[P02] Determine as cargas internas resultantes na secção transversal que passa pelo ponto C e pelo ponto D. Considere que as reações nos apoios A e B sejam ver?cais.
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© 2010 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currentlyexist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.
Referring to the FBD of the entire beam, Fig. a,
a
Referring to the FBD of this segment, Fig. b,
Ans.
Ans.
a Ans.+©MC = 0; MC + 6(0.5) - 7.5(1) = 0 MC = 4.50 kN # m+ c©Fy = 0; 7.50 - 6 - VC = 0 VC = 1.50 kN
:+ ©Fx = 0; NC = 0
+©MB = 0; -Ay(4) + 6(3.5) + 12
(3)(3)(2) = 0 Ay = 7.50 kN
*1–8. Determine the resultant internal loadings on thecross section through point C. Assume the reactions atthe supports A and B are vertical.
0.5 m 0.5 m 1.5 m1.5 m
CA B
3 kN/m6 kN
D
Referring to the FBD of the entire beam, Fig. a,
a
Referring to the FBD of this segment, Fig. b,
Ans.
Ans.
a
Ans. = 3.94 kN # m +©MD = 0; 3.00(1.5) - 1
2 (1.5)(1.5)(0.5) - MD = 0 MD = 3.9375 kN # m
+ c©Fy = 0; VD - 12
(1.5)(1.5) + 3.00 = 0 VD = -1.875 kN
:+ ©Fx = 0; ND = 0
+©MA = 0; By(4) - 6(0.5) - 12
(3)(3)(2) = 0 By = 3.00 kN
•1–9. Determine the resultant internal loadings on thecross section through point D. Assume the reactions atthe supports A and B are vertical.
0.5 m 0.5 m 1.5 m1.5 m
CA B
3 kN/m6 kN
D
01 Solutions 46060 5/6/10 2:43 PM Page 5
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Exercícios Propostos
[P03] O eixo está apoiado em suas extremidades pelos mancais A e B e está sujeito às forças aplicadas às polias nele fixadas. Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal que passa pelo ponto C. As forças de 300 N agem na direção –z e as forças de 500 N agem na direção +x. Os suportes A e B exercem somente as componentes x e z da força sobre o eixo.
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Ans.
Ans.
Ans.
Ans.
Ans.
Ans.©Mz = 0; (TB)z - 105(0.5) = 0; (TB)z = 52.5 lb # ft©My = 0; (MB)y - 105(7.5) = 0; (MB)y = 788 lb # ft©Mx = 0; (MB)x = 0
©Fz = 0; (NB)z = 0
©Fy = 0; (VB)y = 0
©Fx = 0; (VB)x - 105 = 0; (VB)x = 105 lb
•1–25. Determine the resultant internal loadings acting onthe cross section through point B of the signpost.The post isfixed to the ground and a uniform pressure of 7 > actsperpendicular to the face of the sign.
ft2lb
4 ft
z
y
6 ft
x
B
A
3 ft
2 ft
3 ft
7 lb/ft2
1–26. The shaft is supported at its ends by two bearings Aand B and is subjected to the forces applied to the pulleysfixed to the shaft. Determine the resultant internalloadings acting on the cross section located at point C. The300-N forces act in the !z direction and the 500-N forcesact in the "x direction. The journal bearings at A and Bexert only x and z components of force on the shaft.
y
B
C
400 mm
150 mm
200 mm
250 mm
A
x
z
300 N 300 N
500 N
500 N
Ans.
Ans.
Ans.
Ans.
Ans.
Ans.©Mz = 0; (MC)z - 1000(0.2) + 750(0.45) = 0; (MC)z = -138 N # m©My = 0; (TC)y = 0
©Mx = 0; (MC)x + 240(0.45) = 0; (MC)x = -108 N # m©Fz = 0; (VC)z + 240 = 0; (VC)z = -240 N
©Fy = 0; (NC)y = 0
©Fx = 0; (VC)x + 1000 - 750 = 0; (VC)x = -250 N
01 Solutions 46060 5/6/10 2:43 PM Page 16
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Exercícios Propostos
[P04] Determinar a força normal, força de cisalhamento, e momento de uma secção transversal que passa pelo ponto C. Assuma P = 8 kN .
4
Support Reactions:
a
Equations of Equilibrium: For point C
Ans.
Ans.
a
Ans.
Negative signs indicate that NC and VC act in the opposite direction to that shownon FBD.
MC = 6.00 kN # m
+©MC = 0; 8.00(0.75) - MC = 0
VC = -8.00 kN
+ c©Fy = 0; VC + 8.00 = 0
NC = -30.0 kN
:+ ©Fx = 0; -NC - 30.0 = 0
+ c©Fy = 0; Ay - 8 = 0 Ay = 8.00 kN
:+ ©Fx = 0; 30.0 - Ax = 0 Ax = 30.0 kN
+©MA = 0; 8(2.25) - T(0.6) = 0 T = 30.0 kN
1–6. Determine the normal force, shear force, and momentat a section through point C. Take P = 8 kN.
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0.75 m
C
P
A
B
0.5 m0.1 m
0.75 m 0.75 m
Support Reactions:
a
Ans.
Equations of Equilibrium: For point C
Ans.
Ans.
a
Ans.
Negative signs indicate that NC and VC act in the opposite direction to that shownon FBD.
MC = 0.400 kN # m
+©MC = 0; 0.5333(0.75) - MC = 0
VC = -0.533 kN
+ c©Fy = 0; VC + 0.5333 = 0
NC = -2.00 kN
:+ ©Fx = 0; -NC - 2.00 = 0
+ c©Fy = 0; Ay - 0.5333 = 0 Ay = 0.5333 kN
:+ ©Fx = 0; 2 - Ax = 0 Ax = 2.00 kN
P = 0.5333 kN = 0.533 kN
+©MA = 0; P(2.25) - 2(0.6) = 0
1–7. The cable will fail when subjected to a tension of 2 kN.Determine the largest vertical load P the frame will supportand calculate the internal normal force, shear force, andmoment at the cross section through point C for this loading.
0.75 m
C
P
A
B
0.5 m0.1 m
0.75 m 0.75 m
01 Solutions 46060 5/6/10 2:43 PM Page 4
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Exercícios Propostos
[P05] Determine a carga interna resultante da secção transversal através do ponto C do alicate. Existe um pino em A, e as garras em B são lisas.
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1–15. Determine the resultant internal loading on thecross section through point C of the pliers. There is a pin atA, and the jaws at B are smooth.
120 mm 40 mm
15 mm
80 mm
A
C
D
30!
20 N
20 N
B
9
*1–16. Determine the resultant internal loading on thecross section through point D of the pliers. 120 mm 40 mm
15 mm
80 mm
A
C
D
30!
20 N
20 N
B
Ans.
Ans.
+d Ans.©MC = 0; -MC + 60(0.015) = 0; MC = 0.9 N.m
:+ ©Fx = 0; NC = 0
+ c ©Fy = 0; -VC + 60 = 0; VC = 60 N
Ans.
Ans.
+d Ans.©MD = 0; MD - 20(0.08) = 0; MD = 1.60 N.m
+b©Fx = 0; ND - 20 sin 30° = 0; ND = 10 N
R+©Fy = 0; VD - 20 cos 30° = 0; VD = 17.3 N
01 Solutions 46060 5/6/10 2:43 PM Page 9
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Referências Bibliográficas
• hCp://www.cronosquality.com/aulas/ms/index.html
• Hibbeler, R. C. -‐ Resistência dos Materiais, 7.ed. São Paulo :Pearson Pren?ce Hall, 2010.
• BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.o Ed., Makron Books, 1995.
• Rodrigues, L. E. M. J. Resistência dos Materiais, Ins?tuto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – São Paulo: 2009.
• BUFFONI, S.S.O. Resistência dos Materiais, Universidade Federal Fluminense – Rio de Janeiro: 2008.