Aula_12_SEM0104

SEM0104 SEM0104 -- Aula Aula 1212Cinemtica Cinemtica e Cintica de e Cintica de Partculas no Plano e no Partculas no Plano e no EspaoEspaoPartculas no Plano e no Partculas no Plano e no EspaoEspao

Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBeckerSEM - EESC - USP

IntroduoIntroduo

Sistemas de Referncia

Diferena entre Movimentos

Sumrio da AulaSumrio da Aula


Cintica

EESC-USP M. Becker 2009 2/58

IntroduoIntroduo Cinemtica:estuda os movimentos dos

corpos (no suas causas)

Cintica ou Dinmica: estuda os

movimentos focando suas causas e origem

Anlise baseada na geometria do sistema

mecnico

3 Leis de Newton

Inrcia

Variao da Quantidade de Movimento Linear

Ao e Reao


IntroduoIntroduo

Sistemas Sistemas de de RefernciaReferncia




Cintica


Sistema de Referncia InercialSistema de Referncia Inercial Base vetorial com origem pr-definida

Vetor Posio

kzjyixrOAIrrrr

000 ++=z

=

0

0

0

z

yx

rOAIr

x

y

z

ij

krOA

Amplitude do vetor nas direes dos versoresA

O


Sistema de Referncia InercialSistema de Referncia Inercial Vetor Velocidade

O vetor velocidade absoluta a derivada do

vetor posio (representado no sistema inercial)

( )

0xdtd

( )( )( )( )

=

==

0

0

0

0

0

0

z

yx

zdtd

ydtd

xdt

rdtd

v OAIAI

&

&

&rr

kzjyixvAIr

&r

&r

&r

000 ++=EESC-USP M. Becker 2009 6/58

Sistema de Referncia InercialSistema de Referncia Inercial Vetor Acelerao

O vetor acelerao absoluta a 2a derivada do

vetor posio (representado no sistema inercial)

( ) 022

xdtd

( )( )( )( )

=

==

0

0

0

02

2

02

2

02

2

2

z

yx

zdtd

ydtd

xdt

rdtd

a OAIAI

&&

&&

&&rr

kzjyixaAIr

&&r

&&r

&&r

000 ++=EESC-USP M. Becker 2009 7/58

Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema de Referncia Mvel:

Pode facilitar a representao de determinados

movimentos complexos (dividindo-os em

movimentos mais simples que se somam para

compor o movimento absoluto)compor o movimento absoluto)

Sistema Mvel com Translao Pura

Sistema Mvel com Rotao Pura

Matriz de Transformao de Coordenadas

Relao entre os sistemas de referncia que viabiliza a

passagem de um sistema mvel para o inercial e vice-

versa...

Qq. Movimento uma composio desses dois!...


Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Transladando

Sistema Inercial: I(x,y,z), origem O

Sistema Mvel: B1(x1,y1,z1), origem A

Bz

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1j1

k1

B

x1

y1

z1 Cursores de ambos sistemas permanecem sempre paralelos!

111 ,,,, kjikjirrrrrr

{I}

{B1}



Assim:

=

ji

ji

r

r

r

r

0100011

=

kj

kj

r

r

r

r

100010

1

1

sIs IBrr

.

1= sIs BI

rr

1.

1=



Dado um vetor:

rIrr rrr .+=Bz

Posio de A no Sistema Inercial

ABBOAIOBI rIrrrrr

1.+=

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1j1

k1

B

x1

y1

z1

IrOB

Posio de B no Sistema Inercial

Posio de B relativa a A no Sistema Mvel

{I}

{B1}



Para que a soma seja possvel necessrio que

o vetor seja representado no sistema

inercial:ABB rr

1

Bz

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1j1

k1

B

x1

y1

z1

IrOBABBABI rIrrr

1.=

{I}

{B1}



Para calcular a velocidade absoluta:

Deriva-se o vetor posio com relao ao tempo

No sistema Inercial:

( )( ) ( )ABBOAIOBIBI rIrdtd

rdtd

vrrrr

1.+==

( ) ( ) ( )ABBABBOAI rdtdIrI

dtd

rdtd rrr

11.. ++=

0

ABIAIABBAI vvvIvrrrr

+=+=1

.



Para calcular a acelerao absoluta:

Deriva-se o vetor velocidade com relao ao tempo


( ) ( )ABBOAIOBIBI rIrdtd

rdtd

arrrr

1.2

2

2

2

+==

ABIAIABBAI aaaIarrrr

+=+=1

.


Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando

Sistema Inercial: I(x,y,z), origem O

Sistema Mvel: B1(x1,y1,z1), origem A

Bz.

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1j1

k1

B

x1

y1

z1

{I}

{B1}

.

Cursores de ambos sistemas deixam de ser paralelos e passam a manter uma relao que depende do ngulo



Supondo que o sistema mvel gire em torno de

z1:

Bz. 0 0

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1j1

k1

B

x1

y1

z1

{I}

{B1}

.

=

)(00

tI

&

r

=

)(00

tI

&&

&r



Projetando-se os cursores do sistema mvel para

o inercial (forma matricial):

iscirr

0

x

y

i

j

O

i1j1 x1

y1

{I}{B1}

=

kji

cs

sc

kji

r

r

r

r

10000

1

1

1

sTs IBrr

.

1 = sTs BIrr

1.

1=



Como o determinante de T sempre unitrio:

TTT =1

x

y

i

j

O

i1j1 x1

y1

{I}{B1}

sTs IBrr

.

1 =

sTs BT

Irr

1.=




y1:

=

sc 0

=

0 &r

x

z

i

k

O

i1k1 x1

z1

{I}{B1}

=

cs

T0

010

=

0)(tI &

r




x1:

=

001

=

)(t

&

r

y

z

j

k

O

j1k1 y1

z1

{I}{B1}

=

cs

scT00

=

00I

r



Deve-se observar que a matriz de transformao

T depende do tempo!

{I} {B1111}T

TT



Dado um vetor:

TrTrr rrr .+=Bz

Posio de A no Sistema Inercial

.

ABBT

OAIOBI rTrrrrr

1.+=

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1j1

k1

B

x1

y1

z1

IrOB

Posio de B no Sistema Inercial

Posio de B relativa a A no Sistema Mvel

{I}

{B1}

.



Para que a soma seja possvel necessrio que

o vetor seja representado no sistema

inercial:

ABB rr

1

Bz.

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1j1

k1

B

x1

y1

z1

IrOBABB

TABI rTr

rr

1.=

{I}

{B1}

.



Para calcular a velocidade absoluta:

Deriva-se o vetor posio com relao ao tempo


( ) ( )ABBTOAIOBIBI rTrdtd

rdtd

vrrrr

1.+==

( ) ( ) ( )ABBTABBTOAI rdtdTrT

dtd

rdtd rrr

11.. ++=

( ) ABBTABBTIAI vTrTv rrrr 11 .. ++=EESC-USP M. Becker 2009 24/58


Assim:

( ) ABBTABBTIAIBI vTrTvv rrrrr 11 .. ++=

ABIABIIAIBI vrvvrrrrr

++=



Para calcular a acelerao absoluta:

Deriva-se o vetor velocidade com relao ao tempo


( ) ( )ABBTOAIOBIBI rTrdtd

rdtd

arrrr

1.2

2

2

2

+==

( ) ( ) ( )

++= ABB

TABB

TOAI rdt

dTrTdtd

rdtd

dtd rrr

11..

( )[ ]ABBTABBTIAI vTrTvdtd rrrr

11.. ++=



Assim:

( ) ( ) ( ) ( ) ABBTIABBTIAIBI rTdtd

rTdtd

vdtd

arrrrrr

11.. ++=

( ) ( ) ( ) ( )ABBTABBTABBTI rdtdTr

dtdT

dtd

rdtdT

dtdtdtrrrr

111 2

2

... +++

( ) ( )( )( ) ( ) ABBTABBTIABBTI

ABBT

IIABBT

IAIBI

aTvTvT

rTrTaarrrrr

rrrr&rrr

111

11

...

..

+++

++=


Exerccio 1Exerccio 1 Imagine que um pisto hidrulico com uma massa m em sua

extremidade gire com velocidade angular em relao ao eixo Z (inercial). Um sistema mvel de referncia X1Y1Z1,

solidrio ao pisto gira tb. com uma velocidade angular . Obtenha os vetores posio, velocidade e acelerao do

ponto B nos sistemas inercial e mvel.

.

.

ponto B nos sistemas inercial e mvel.

X

Y

Z = Z1.

Y1

X1B


Exerccio 2Exerccio 2 Imagine o disco principal B girando com velocidade angular

constante. Um disco secundrio D montado a uma

distncia b em relao ao centro de rotao do disco

principal sobre o suporte C (fixo no disco principal). O centro

do disco secundrio encontra-se a uma altura c em relao

ao disco principal e sua rotao p constante. Deseja-se ao disco principal e sua rotao p constante. Deseja-se

calcular a acelerao absoluta de um ponto A no disco

secundrio, exatamente no instante em que = 0o e o ponto A encontrar-se na posio vertical em relao ao disco

secundrio.


Exerccio 2Exerccio 2 Figura


Exerccio 3Exerccio 3 Imagine uma placa montada sobre um eixo rotativo. Nesta

placa constri-se um rasgo onde uma partcula A, conectada

a uma mola, executa um movimento retilneo. O eixo gira

com uma velocidade angular (t) e uma acelerao angular (t). A partcula executa movimentos oscilatrios retilneos s(t) dentro do rasgo. O rasgo construdo na placa com um

..

.

dentro do rasgo. O rasgo construdo na placa com um

ngulo de inclinao (fixo). Determine os vetores de velocidade e acelerao absoluta do ponto A.


Exerccio 3Exerccio 3 Figura


Exerccio 4Exerccio 4 O sistema mecnico mostrado na figura composto pela

estrutura A, pelo rotor B, pelo brao com massa desprezvel C

e pela massa concentrada D. Trs sistemas de referncia

devem ser utilizados, sendo o 1o Inercial, o 2o, B1 fixo no rotor,

e o 3o, B2 solidrio ao brao C. A velocidade angular do rotor

[rad/s], variando com uma taxa [rad/s2]. Em um dado ... [rad/s], variando com uma taxa [rad/s ]. Em um dado instante os ngulos e so diferentes de 0o, e a rotao e acelerao do sistema brao-massa pontual dada por e . Obtenha os vetores posio, velocidade e acelerao absoluta da massa pontual em D.

.

..


Exerccio 4Exerccio 4 Figura Y=Y1

B

C

X =X1

R . ..

O O1

LNo instante representado

X2Y2

A

D

.

..


X=X1 e Y=Y1


IntroduoIntroduo


Diferena entre MovimentosDiferena entre Movimentos



Cintica


Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos Movimentos Planos

Caracterizados por rotaes

consecutivas em torno dos mesmos eixos

(Z, Z1, Z2, ...)(Z, Z1, Z2, ...)

Assim:

Bn-1n.

=

00n.

...B23

.

=

003.

B12.

=

002.

I1.

=

001.

36/58EESC-USP M. Becker 2009

Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos As matrizes de Transformao tm a

seguinte estrutura:

T=

cos1-sen

sin1cos

00 .= TB s sT1 = -sen1

0cos1

001

.= T1B1s Is

Tn =cosn-senn

0

sinncosn

0

001

.= TnBns Bn-1s

.

.

.

.

.

.


Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos Transformao de Coordenadas da base

inercial { I } para a ltima base mvel {Bn}:

.= TBns Is

T=

c1-s1

0

s1c10

001

cn-sn

0

sncn0

001

...

T=

001

c(1+ ...+n)-s(1+ ...+n)

0

s(1+ ...+n)c(1+ ...+n)


Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos As velocidades angulares absolutas no

sistema inercial { I } sero:

I1.

=

00I1 = .T+

00I1

.

I2 =T

B 2.

=I1 = 01.

I1 = .T1+ 01 + 2.

I1I2 = B12 =.

.T1+00

1 + 2 +...+ n.

I1.

In =T

B12.

=.

.T1T

Bn-1n.

+ +... ... Tn-1

T

.


Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos Assim, observa-se que em

movimentos planos, as rotaes

ocorrem sempre no mesmo eixo,

podendo ser somadas diretamente...podendo ser somadas diretamente...

Caso as rotaes 1, 2, ..., n sejam constantes, as respectivas

aceleraes angulares sero nulas!

. . .


Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos Movimentos Tri-dimensionais

Neste caso, as rotaes ocorrem

sucessivamente em eixos diferentes (p.e.:

Z, X1, Z2, ...)Z, X1, Z2, ...)

Assim:

B23.

=

003.

B12.

=

200

.

I1.

=

001.


Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos As matrizes de Transformao:

T1 =c1-s1

0

s1c10

001

.= T1B1s Is

T2 =0

c2-s2

0s2c2

100

.= T2B2s B1s

T3 =c3-s3

0

s3c30

001

.= T3B3s B2s


Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos As velocidades angulares absolutas no


I1.

=

00I1 = .T+

2.c1 .s

.

I1.

I2 =T

B 2.

=

.

I1 = 01.

I1 = .T1+ 2.s11

I1I2 = B12 =.

.T1+.

I1.

I3 =T

B12.

=

.

.T1T

B23.

+.T2

T

.

2.c1 + 3.s1 .s22.s1 - 3.c1 .s2

1 + 3.c2

.

. .


Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos Assim, observa-se neste exemplo que em

movimentos 3-D, embora as rotaes

fossem apenas nos eixos X e Z (sistemas

mveis), quando vistas no sistema Inercial,

surgem termos em Y...surgem termos em Y...

Mesmo que as rotaes 1, 2, ..., n sejam constantes, as respectivas aceleraes

angulares, vistas no sistema inercial, NONOsero nulas (Apesar de 1, 2, ..., n serem nulas...).

.... ..

. . .


Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos As aceleraes angulares absolutas no


I1.

=

00I1 = d =

00I1 = 0

1..

I1 = ddt

= 00

1.2.s11.2.c1

0

. .

.

I2.

=I2 = ddt

.


Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos

1.2.s1 + 1.3.c1.s2 + 2.3.s1.c2 1.2.c1 + 1.3.s1.s2 + 2.3.c1.c2

2.3.s2

. . .

I3.

=I3 = ddt

. ..

. . . . . .

. .

As aceleraes angulares absolutas dos

sistemas B2 e B3 aparecem pois os vetores

velocidade angular variam de direo...


IntroduoIntroduo





CinticaCintica


CinticaCintica Foca causas e origem de movimentos

Baseia-se nas 3 Leis de Newton:

Primeira Lei de Newton ( Princpio da Inrcia):"Ummvel tende a permanecer em repouso ou emmovimento retilneo e uniforme se a resultante das

Sir IsaacSir Isaac NewtonNewton(1642(1642--1727)1727)

movimento retilneo e uniforme se a resultante dasforas que atuam sobre ele for nula."

Segunda Lei de Newton (Princpio Fundamental):"Se um corpo estiver sujeito a uma resultante nonula, esta causar uma acelerao proporcional sua intensidade."

Terceira Lei de Newton (Princpio da Ao eReao): "Para cada fora de ao correspondeuma fora de reao com as seguintescaractersticas:mesma direo; sentidos contrrios; emesma intensidade.


CinticaCinticaPrimeira Lei de Newton

(Princpio da Inrcia):

Se nenhuma fora externa for aplicada sob Se nenhuma fora externa for aplicada sob

uma partcula, esta manter sua

quantidade de movimento linear constante

IJA = m . IvA = cte


CinticaCinticaSegunda Lei de Newton

(Variao da Quantidade de Movimento Linear):

A Quantidade de Movimento Linear de uma A Quantidade de Movimento Linear de uma

partcula s pode ser alterada mediante a

aplicao de foras externas

=ddt

m . IvA = m . IvA + m . IvA.

.

IJAi =1

n

IFi =ddt


CinticaCintica

Considerando que a variao de massa seja

nula:

= m . IvA + m . IvA.

.

Jn

IFi =d

= m . IvA + m . IvAIJAi =1

IFi =dt

0

ou m . BnaAi =1

n

BnFi =m . IaAi =1

n

IFi =


CinticaCinticaTerceira Lei de Newton

(Princpio da Ao e Reao):

Torna possvel a construo de Diagramas Torna possvel a construo de Diagramas

de Corpo Livre

2a e 3a Leis juntas tornam possvel obter um

conjunto de equaes responsvel por

descrever o movimento do corpo ao longo

do tempo e obter as foras...


CinticaCintica Equaes de Movimento:

Equaes Diferenciais de 2a Ordem

Lineares

No Lineares

x(t) = (x(t); x(t)).. .f

x(0); x(0). Condies Iniciais de Movimento


ExerccioExerccio A partcula a seguir desloca-se sobre um cano

girando com velocidade angular constante . Pede-se para determinar a equao de movimento da partcula.

2


ExerccioExerccio

Sistemas de coordenadas...

Y =Y1

Y2

Z2

2

2x(t)

BA

X

Z

X1Z1 1

X2

Z2

O

A


ExerccioExerccio O sistema mecnico mostrado na figura composto pela

estrutura A, pelo rotor B, pelo conjunto brao-mola com

massa desprezvel C e pela massa concentrada D. Trs

sistemas de referncia devem ser utilizados, sendo o 1o

Inercial, o 2o, B1 fixo no rotor, e o 3o, B2 solidrio ao conjunto

brao-mola C. A velocidade angular do rotor [rad/s], ..

.

brao-mola C. A velocidade angular do rotor [rad/s], variando com uma taxa [rad/s2]. Em um instante genrico t, os ngulos e so diferentes de 0o, e a rotao do sistema brao-mola dada por e . Calcule: (a) as matrizes de transformao de coordenadas dos sistemas mveis para o

inercial e vice-versa; (b) uma expresso analtica para a

velocidade angular absoluta da base B2 representando-a no

sistema de referncia B2;

..

. ..


Continuao...Continuao...

(c) Em um dado instante de tempo, o brao C travado no

ponto O1 e impedido de girar, ficando na posio 0. Determine uma expresso analtica para a acelerao absoluta da massa

no sistema mvel B2; (d) Calcule as componentes da fora

normal entre massa e brao uma mola com constante de normal entre massa e brao uma mola com constante de

elasticidade k e desprezando-se o atrito entre a partcula e o brao; (e) Obtenha uma expresso analtica para o movimento

da massa D no sistema mvel de referncia assumindo-se como

condies iniciais de movimento: brao travado em O1, L(0) = 0

e L(0) = 0..


Exerccio Exerccio Figura Y=Y1

B

C

X =X1

R . ..

O O1


X2Y2

L(t)

A

D

.

..


X=X1 e Y=Y1


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