Notas de Aulas – Aula 4

Berenice Vilela Alvarenga Alves

Disciplina: Cálculo Numérico

ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS (continuação)

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (ou MÉTODO DAS TANGENTES)

É um dos mais conhecidos e eficiente método para obtenção de raízes de equações

não lineares.

O método constitui-se num processo iterativo que permite construir uma sequência

numérica xk

convergente para x , sendo x uma aproximação para a raiz real

de y = f(x).

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO

Considerando que:

i) x [a,b]

ii) f e f´são contínuas em [a,b]

iii) f´ 0 em [a,b]

Sejam:

0x , uma aproximação inicial da raiz real, dentro do intervalo [a,b].

C, a curva representativa da função y = f(x), cuja tangente em 0

x é T.

x1

, a interseção da reta T com o eixo dos x.

Para relacionar as variáveis 0

x e x1

devemos lembrar que a declividade da reta tangente T,

em P é igual a derivada da função em 0

x , isto é:

tg f (́x )0

(1)

Pela relação trigonométrica no triângulo retângulo P0

x x1

temos que a declividade é igual a:

f (x )0tg

x x0 1

(2)

Igualando (1) e (2), vem:

f (x ) f (x )0 0f (́x ) x x

0 0 1x x f (́x )0 1 0

Evidenciando x1

, fica:

f (x )0x x

1 0 f (́x )0

Repetindo o procedimento para um ponto Q( x1

,f( x1

)) da curva C, obtemos, analogamente:

f (x )1x x

2 1 f (́x )1

E, assim por diante, obtemos o algoritmo de Newton-Raphson:

f (x )kx x , k 0,1,2,3,...

k 1 k f (́x )k

Exercícios

1) Obter pelo método de Newton-Raphson, a raiz de 2f (x) x sen x , sabendo que

f(x) tem uma raiz intervalo [0,5, 1]. Utilizar 0

x 1 e como critério de parada o valor

f (x ) x xk k 1 k

.

k xk

xk 1

f (x )k x x

k 1 k

2) Utilizar o método de Newton-Raphson, para determinar uma raiz aproximada da

função 3f (x) 2x ln x 5 , com 210 , sabendo que e a raiz pertence ao

intervalo[1, 2] .

k xk

xk 1

3) Calcule pelo método de Newton-Raphson, uma aproximação x da raiz da função

3f (x) x x 1 , considerando x 10 , tal que o erro seja inferior a 0,01.

k xk

xk 1