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5915756 – Introdução à Neurociência Computacional – Antonio Roque – Aula 7
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Células com Extensão Espacial: O Modelo do Cabo
Para neurônios com extensão espacial, o potencial de membrana varia de ponto para ponto
ao longo da célula, de maneira que ela não pode ser tratada como uma estrutura
isopotencial. Um modelo que leve em consideração a geometria do neurônio deve ser
construído.
Boa parte de uma célula nervosa, seu axônio e dendritos, pode ser modelada por finos e
longos cabos cilíndricos condutores de eletricidade revestidos por uma membrana isolante.
Em particular, os dendritos costumam ser modelados como cabos elétricos passivos, ou
seja, cujas condutâncias não dependem da voltagem. A teoria a ser desenvolvida aqui se
aplica a eles.
A propagação de corrente elétrica por cabos condutores cilíndricos foi estudada no Século
XIX por Lord Kelvin e outros com o intuito de modelar a propagação do potencial elétrico
nos cabos telegráficos submarinos que uniam a Grã-Bretanha aos Estados Unidos. A
equação obtida por eles para descrever o comportamento do potencial elétrico ao longo de
um cabo assim é conhecida como equação do cabo.
Essa equação começou a ser usada na modelagem do fluxo de corrente em axônios por
Matteucci e Herman, no início do Século XX, dando origem ao modelo conhecido como
modelo do condutor central (Kernleitermodel em alemão, ou core conductor model em
inglês). Nas décadas de 1960 e 1970, o modelo do condutor central foi aplicado com
grande sucesso por Rall à modelagem da propagação de potenciais de membrana por
dendritos passivos, dando origem aos modernos modelos quantitativos de neurônios
individuais com estrutura espacial.
Modelo do condutor cilíndrico para uma célula
Como o sistema de coordenadas natural para a modelagem de um cabo cilíndrico é o
sistema cilíndrico, no qual as coordenadas de um ponto no espaço são descritas pela tríade
(r, θ, z), dá-se abaixo um desenho ilustrando este sistema de coordenadas.
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Hipóteses do modelo (para uma discussão mais detalhada dessas hipóteses, recomenda-se
a leitura do capítulo 2 do livro de Koch (1999), indicado na Bibliografia):
1. Os campos magnéticos podem ser desconsiderados.
2. A membrana celular é uma fronteira anular cilíndrica que separa dois condutores de
corrente elétrica, as soluções intracelular e extracelular, que serão consideradas como
homogêneas, isotrópicas e obedecendo à lei de Ohm.
3. Todas as variáveis elétricas têm simetria cilíndrica, ou seja, não dependem do ângulo θ
(veja a figura acima).
4. As correntes nos condutores externo e interno fluem apenas na direção longitudinal z.
A corrente pela membrana flui apenas na direção radial r.
5. Em uma dada posição longitudinal z ao longo da célula, os condutores interno e externo
são equipotenciais. Portanto, a única variação de potencial na direção radial r acontece
através da membrana.
A partir dessas hipóteses, pode-se construir um modelo como o ilustrado na figura a
seguir.
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Variáveis usadas para descrever as propriedades elétricas do modelo: • ( )tzie , = corrente total fluindo longitudinalmente na direção positiva de z pelo condutor
externo (unidades: µA).
• ( )tzii , = corrente total fluindo longitudinalmente na direção positiva de z pelo condutor
interno (unidades: µA).
• ( )tzJm , = densidade de corrente de membrana fluindo do condutor interno para o
externo (unidades: µA/cm2).
• ( )tzKm , = corrente de membrana por unidade de comprimento fluindo do condutor
interno para o externo (unidades: µA/cm).
• ( )tzKe , = corrente por unidade de comprimento devida a fontes externas fluindo
radialmente pelo condutor externo (unidades: µA/cm). A inclusão desta corrente nos
permite representar a corrente aplicada por eletrodos externos à superfície da célula.
Um termo similar também poderia ser adicionado para representar a corrente radial
aplicada por eletrodos internos.
• ( )tzVm , = Potencial de membrana, definido como o potencial no interior da célula
menos o potencial no exterior (unidades: mV).
• ( )tzVi , = Potencial do condutor interno (unidades: mV).
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• ( )tzVe , = Potencial do condutor externo (unidades: mV).
• re = Resistência específica por unidade de comprimento do condutor externo (unidades:
Ω/cm).
• ri = Resistência específica por unidade de comprimento do condutor interno (unidades:
Ω/cm).
• a = Raio do anel cilíndrico.
Para se lembrar do significado das resistências específicas por unidade de comprimento,
pense num condutor cilíndrico de comprimento l e área da base A; a sua resistência R pode
ser escrita como: rlAlR == ρ . Portanto, r = ρ/A. (unidades de ρ: Ω.cm; unidades de r:
Ω/cm). r é uma resistência por unidade de comprimento.
A partir dessas variáveis, podemos construir um modelo de circuito elétrico equivalente
para o modelo do cilindro condutor:
As variáveis elétricas têm que obedecer às leis de Kirchoff, assim como à lei de Ohm.
Aplicando a lei da corrente de Kirchoff para o nó (a):
( ) ( ) ( ) ztzKtzzitzi mii Δ+Δ+= ,,, . (1)
Para tornar mais clara a relação entre o modelo de circuito elétrico e a geometria do
modelo do condutor cilíndrico, considere o desenho abaixo:
5915756 – Introdução à Neurociência Computacional – Antonio Roque – Aula 7
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O desenho mostra um detalhe do condutor interno para o cálculo da lei das correntes de
Kirchoff para o nó (a), Equação (1). A corrente longitudinal fluindo pelo meio interno que
passa pela “tampa” em z do cilindro acima é ( )( )tzii , e a que passa pela “tampa” em z + Δz
é ( )( )tzzii ,Δ+ . A corrente que passa radialmente pela superfície do cilindro é indicada pela
densidade de corrente de membrana ( )( )tzJm , , de maneira que a corrente total passando
pela membrana pode ser expressa como:
( ) ( ) ( ) .,, 2, ztzKtzJzatzi mmm Δ=Δ= π
A Equação (1) representa o fato de que a carga não se acumula no elemento de volume
cilíndrico: a soma das correntes que entram e que saem do elemento cilíndrico tem que ser
zero: ( ) ( ) ( )tzitzzitzi mii ,,, +Δ+= .
A lei da corrente de Kirchoff aplicada ao nó (d) nos dá:
( ) ( ) ( ) ( ) .,,,, ztzKtzziztzKtzi eeme Δ+Δ+=Δ+ . (2) Aplicando a lei de Ohm ao pedaço de circuito entre (a) e (b):
( ) ( ) ( )tzzizrtzzVtzV iiii , . ,, Δ+Δ=Δ+− . (3)
Esta equação também pode ser interpretada em termos do desenho para um pedaço do
condutor interno feito acima. Lembrando que a resistência do pedaço condutor deve ser
2azR ii πρΔ= , onde ρi é a resistividade do meio interno (citoplasma): 2az
Rr iii πρ
=Δ
=
e
( ) ( ) ( ) ( )., ,,, tzzizrtzziRtzzVtzV iiiiii Δ+Δ=Δ+=Δ+−
Aplicando a Lei de Ohm também para o pedaço de circuito externo entre (d) e (c):
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( ) ( ) ( )., ,, tzzizrtzzVtzV eeee Δ+Δ=Δ+− (4)
Rearranjando os termos nas equações (1), (2), (3) e (4) e dividindo por Δz:
( ) ( ) ( )tzKz
tzitzzim
ii ,,, −=Δ
−Δ+; (5)
( ) ( ) ( ) ( )tzKtzK
ztzitzzi
emee ,,,, −=
Δ
−Δ+; (6)
( ) ( ) ( )tzzir
ztzVtzzV
iiii ,,, Δ+−=
Δ−Δ+
; (7)
( ) ( ) ( )tzzir
ztzVtzzV
eeee ,,, Δ+−=
Δ−Δ+
. (8)
Tomando o limite Δz → 0 nas equações acima obtemos equações diferenciais que
expressam a relação entre corrente e voltagem para todos os pontos do modelo do
condutor cilíndrico.
( ) ( )tzKztzi
mi ,, −=∂
∂; (9)
( ) ( ) ( )tzKtzKztzi
eme ,,, −=∂
∂; (10)
( ) ( )tzirztzV
iii ,, −=∂
∂; (11)
( ) ( )tzirztzV
eee ,, −=∂
∂. (12)
As equações (9) e (10) indicam que as variações nas correntes longitudinais externa e
interna são causadas pela corrente radial (pela membrana ou pelo meio externo) por
unidade de comprimento.
Já as equações (11) e (12) expressam as relações entre potencial e corrente para os meios
intra- e extra-celular.
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O potencial de membrana em um ponto z do condutor cilíndrico em um dado instante de
tempo t é definido por:
( ) ( ) ( )tzVtzVtzV eim ,,, −= (potencial dentro menos potencial fora).
Tomando a derivada parcial de ( )tzVm , em relação a z:
( ) ( ) ( )ztzV
ztzV
ztzV eim
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂ ,,,
Substituindo nesta equação as equações (11) e (12),
( ) ( ) ( )tzirtzirztzV
eeiim ,,, +−=∂
∂. (13)
Note o que a Equação (13) nos diz: que a variação do potencial de membrana se dá no
sentido oposto ao do fluxo de corrente interna e no mesmo sentido do fluxo de corrente
externa ao condutor. Isto decorre do fato de se ter definido o potencial de membrana como
o potencial dentro da célula menos o potencial fora da célula.
Seria desejável, no entanto, ter uma equação que relacionasse o potencial de membrana Vm
à corrente passando através da membrana Km. Esta equação pode ser obtida da seguinte
maneira:
Tome a derivada da Equação (13) em relação a z,
( ) ( ) ( )ztzir
ztzir
ztzV i
ie
em
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂ ,, , 2
2
.
Substitua nesta equação as equações (9) e (10),
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).,,,
,,,,
2
2
2
2
tzKrtzKrrztzV
tzKrtzKtzKrztzV
eemiem
miemem
−+=∂
∂⇒
⇒+−=∂
∂
(14)
A Equação (14) incorpora as equações (9), (10), (11) e (12). Ela é chamada de equação do
cilindro condutor, pois representa uma síntese do modelo do condutor cilíndrico proposto
para modelar a célula.
5915756 – Introdução à Neurociência Computacional – Antonio Roque – Aula 7
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A Equação (14) é completamente geral, independente das propriedades elétricas da
membrana (capacitância, resistência etc.). Combinando o modelo construído aqui com o
construído na aula 5 para uma membrana passiva temos o seguinte esquema.
Neste desenho:
- gm = condutância específica da membrana por unidade de comprimento (unidades:
S/cm);
- cm = capacitância específica da membrana por unidade de comprimento (unidades:
F/cm).
Note que gm = Gm.πa = (1/Rm).πa e que cm = Cm.πa, onde Gm é a condutância específica da
membrana por unidade de área (unidades: S/cm2), Rm é a resistência específica da
membrana por unidade de área (unidades: Ωcm2) e Cm é a capacitância específica da
membrana por unidade de área (unidades: F/cm2).
A corrente de membrana por unidade de comprimento, ( )tzKm , , pode ser escrita como:
( ) ( ) ( )( )rep,, , VtzVgttzVcKKtzK mmmmRmCmm −+∂
∂=+= . (15)
Substituindo esta equação na equação do cilindro condutor, Equação (14), temos uma
combinação dos dois modelos construídos até o momento:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tzKrVtzVmgrrttzVmcrr
ztzVm
eemiemie ,, , , rep2
2
−−++∂
∂+=
∂
∂. (16)
Esta é a chamada Equação do Cabo.
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Definindo duas constantes:
mmm
m CRgc ==τ (constante de tempo)
e
( ) mie grr += 1λ (constante de espaço),
a equação do cabo pode ser reescrita como:
( ) ( ) ( ) ( )tzkrVtzVmttzVm
ztzVm
ee ,,,, 2
rep2
22 λτλ −−+
∂∂
=∂
∂. (17)
Como já visto antes, a constante de tempo τ não depende das dimensões da célula. Isto
quer dizer que a constante de tempo é a mesma para células grandes ou pequenas feitas
com uma membrana do mesmo material.
Já a constante de espaço λ depende das dimensões da célula. Para ver isso, vamos assumir,
por simplicidade, que re
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A constante espacial determina quão rapidamente o potencial varia ao longo do cabo
(dimensão z), enquanto que a constante de tempo determina quão rapidamente o potencial
varia ao longo do tempo t.
A equação do cabo é uma equação diferencial parcial de primeira ordem no tempo e de
segunda ordem no espaço, de mesmo tipo que a equação de difusão. A sua solução permite
que se calcule o potencial de membrana para cada ponto da membrana de um neurônio a
partir de uma distribuição espacial inicial de voltagem (condição inicial, V(z, t) = V(z, 0)) e
de condições de contorno apropriadas impostas. As condições de contorno especificam o
que acontece com o potencial de membrana em um nó, onde o cabo se ramifica, ou em um
terminal, onde ele acaba.
Concretamente, em um nó de ramificação o potencial V deve ser contínuo e a corrente
longitudinal (ao longo do cabo) deve ser conservada, de maneira que a corrente chegando
em um nó deve ser igual à corrente saindo pelos ramos partindo do nó. Já em um terminal,
as condições de contorno são diferentes. Por exemplo, uma condição de contorno razoável
para um terminal é a de que não deve haver fluxo de corrente longitudinal para fora do
terminal.
Soluções da Equação do Cabo para Alguns Casos Vamos assumir que re
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Após um período inicial em que a voltagem V se comporta de forma transiente, vamos
supor que ela atinge um estado estacionário em que os valores de V ao longo do espaço
não variem mais no tempo pelo restante do período em que a corrente constante
permanecer aplicada. Neste caso, podemos escrever V(z, t) = V(z).
Neste caso, podemos desprezar a parte temporal da equação do cabo e obter a sua versão
estacionária (note que agora a derivada parcial em relação a z vira uma derivada total),
022
2 =−VdzVd
λ . (19)
A solução geral para esta equação diferencial ordinária pode ser expressa na forma (teste
que ela é de fato solução derivando-a duas vezes e substituindo na equação): λλ //)( zz BeAezV += − , (20)
onde as constantes A e B dependem das condições de contorno. Vamos considerar dois
casos com condições de contorno diferentes, o caso do cabo semi-infinito, que se estende
de z = 0 a z = ∞, e o caso do cabo finito, que se estende de z = 0 a z = l.
Cabo semi-infinito
Vamos supor para este caso que, para z = 0, V está fixo em V0. Para garantir que o
potencial permaneça finito à medida que a distância z vá para o infinito, deve-se fazer a
constante B igual a zero em (20). Desta forma, a solução final para este caso é (note que A
deve ser igual a V0) λ/
0)(zeVzV −= . (21)
Esta solução deixa claro porque λ é chamada de constante de espaço, a voltagem é
atenuada exponencialmente com a distância de acordo com λ.
Por outro lado, poderíamos ter considerado que a corrente em z = 0 é mantida em um valor
constante I0. Da Equação (13), temos que
( ) ( )zirdzzVd
iim −=
. (22)
5915756 – Introdução à Neurociência Computacional – Antonio Roque – Aula 7
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Substituindo (20) nesta equação (de novo, fazendo B = 0) e considerando que quando z =
0, ii = I0, obtemos:
λλz
i eIrzV−
= 0)( . (23)
Define-se a resistência de entrada de um cabo como o potencial no estado estacionário
dividido pela corrente constante injetada. Portanto, para z = 0 a resistência de entrada vale,
ii rIIr
IVR λ
λ===
0
0
0in
)0(,
ou
imim
i
mi Rd
Ra
Raa
R ρπ
ρπρπ
ρ23232in
22
12
=== . (24)
A condutância de entrada para o cabo semi-infinito é, portanto:
imRdGρ
π
2
23
in = . (25)
Estas quantidades, resistência e condutância de entrada de uma célula, são úteis para a
construção de modelos biofisicamente detalhados de neurônios (como veremos mais
adiante).
Cabo finito
Vamos supor de novo para este caso que V(0) = V0. Com relação à outra
extremidade do cabo, existem várias possíveis condições de contorno. Três delas são: (i) Extremidade selada, em que nenhuma corrente longitudinal pode passar pela
extremidade, de maneira que (dV/dx)|x=l = 0;
(ii) Curto circuito ou extremidade aberta, em que o valor da voltagem na extremidade
está fixo em 0 para permitir a passagem de qualquer corrente;
(iii) Extremidade com vazamento, que é uma mistura das duas anteriores em que alguma
corrente pode passar, mas não toda.
5915756 – Introdução à Neurociência Computacional – Antonio Roque – Aula 7
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Para facilitar a análise e evitar as divisões por λ nas exponenciais, é conveniente passar
para a variável adimensional Z ≡ z/λ. A variável Z é chamada de distância eletrotônica ao
longo do cabo. Nesta nova variável, a solução (20) fica escrita como ZZ BeAeZV += −)( . (26)
Outra variável adimensional útil é o chamado comprimento eletrotônico do cabo: se um
cabo tiver comprimento l e constante de espaço λ, o seu comprimento eletrotônico L é
definido como a razão entre o seu comprimento e a sua constante de espaço: L = l/λ. Note
que na extremidade do cabo Z = L.
Para a condição de extremidade selada, a condição de contorno fica (lembre-se que
def(x)/dx = (df(x)/dx).ef(x)):
LLL
LZ
AeBBeAedZdV 20 −−
=
=⇒=+−= .
Substituindo este resultado na equação (26), ( )( ) )cosh(2)( ZLAeeeAeZV LZLZLL −=+= −−−−− ,
onde se usou a identidade cosh(x) = (ex + e-x)/2. Usando agora a condição V(0) = V0,
)cosh(2)cosh(2 00 L
eVALAeVL
L =⇒= − .
Substituindo este valor de A na equação para V(Z), chegamos à solução final para este caso
)cosh()cosh()( 0
LZLVZV −= . (27)
Para a condição de extremidade em curto-circuito ou aberta, as condições de contorno são
V(L) = 0 e V(0) = V0, de maneira que um cálculo similar ao feito acima resulta na solução,
)senh()senh(
)( 0LZLV
ZV−
= , (28)
onde se usou a identidade senh(x) = (ex - e-x)/2.
Exercício: Deduza a expressão da Equação (28).
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A figura abaixo mostra o comportamento de V(Z) para as três situações estudadas, cabo
semi-infinito (equação 23), cabo finito com extremidade selada (equação 27) e cabo finito
com extremidade em curto-circuito ou aberta (equação 28). Nos casos dos cabos finitos,
com extremidade selada e extremidade aberta, usou-se L = 1. Note que a condição de
extremidade selada implica numa atenuação menos acentuada que a condição de cabo
infinito, enquanto que a condição de extremidade aberta implica numa atenuação mais
acentuada.
Bibliografia:
• Koch, C., Biophysics of Computation: information processing in single neurons.
Oxford University Press, Oxford, 1999.
• Rall, W. and Agmon-Snir, H., Cable theory for dendritic neurons. In: Koch, C. and
Segev, I., Methods in Neuronal Modeling: from ions to networks. (2nd Ed.), MIT Press,
Cambridge, MA, 1998. Chapter 2, pp. 27-92.
5915756 – Introdução à Neurociência Computacional – Antonio Roque – Aula 7
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Apêndice 1: Resistência de entrada para o cabo finito
A definição operacional de resistência de entrada é a seguinte: insere-se na membrana de
uma célula um eletrodo que injeta corrente Ii e, a uma distância pequena comparada com
λ, insere-se outro eletrodo para medir a voltagem de membrana. No limite em que a
distância entre os dois eletrodos vai para zero, podemos escrever,
)()(zIzVR
iin = .
Como visto acima, a resistência de entrada para o cabo semi-infinito é
imi RdrR ρ
πλ 23in
2== .
Note que a resistência de entrada do cabo semi-infinito é constante para todo o cabo
infinito e homogêneo. Vamos passar a escrevê-la como R∞:
imi RdrRR ρ
πλ 23in
2==≡ ∞∞ .
De maneira equivalente, temos a condutância de entrada do cabo semi-infinito:
imi Rd
rG
ρ
πλ 21 23==∞ .
Para a situação mais realista de um cabo finito, podemos calcular a sua resistência de
entrada da maneira apresentada a seguir:
Da equação (13) temos,
( ) ( )zirdzzVd
ii−=
,
que implica que,
( ) ( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=dzzVd
rtzi
ii
1, .
Escrevendo esta equação em termos de Z = z/λ (dz = λdZ):
( ) ( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=dZZVd
rtzi
ii
1,λ .
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Lembrando que riλ é a resistência de entrada de um cabo semi-infinito com as mesmas
características do nosso cabo finito, podemos escrever,
( ) ( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ∞ dZZVdGtzii
, . (A1)
Em particular, supondo que a corrente é injetada no ponto Z = 0,
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
=∞
00
ZdZZVdGI . (A2)
A partir desta equação pode-se deduzir uma expressão para a condutância (e a resistência)
de entrada de um cabo finito. Por exemplo, para o caso de um cabo com extremidade
selada para o qual, segundo a equação (27),
)cosh()cosh()( 0
LZLVZV −= ,
obtemos, derivando esta expressão (lembre-se que dcosh(x) = senh(x)),
( )( )
( )LVGLLVGI tanh
coshsenh
000 ∞∞ == ,
o que nos dá,
( )LGVIG tanh0
0in ∞== , (A3)
e, para Rin,
( )LRIVR coth0
0in ∞== . (A4)
Um raciocínio análogo nos dá, para a condição de extremidade aberta em que V(Z) é dado
pela equação (28),
( )LGG cothin ∞= (A5) e
( )LRR tanhin ∞= . (A6)
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Apêndice 2: Solução para o cabo finito com extremidade com vazamento
Para a condição de extremidade com vazamento, fica mais conveniente escrever a solução
geral (equação 26) na forma,
( ) ( )ZLBZLBZV −+−= senhcosh)( 21 , (A7) que pode ser obtida de (26) usando as definições de cosh(z) e senh(z),
( ) ( )2
senh ;2
coshzzzz eezeez
−− −=
+=
e fazendo A = (B1 – B2)/2 e B = (B1 + B2)/2.
Aplicando as condições de contorno, V(0) = V0 e V(L) = VL à equação (A7), obtemos
(mostre como exercício),
( ) ( ) ( )( )L
ZVZLVZV L
senhsenhsenh0 +−= . (A8)
A corrente que vaza pelo cabo em Z = L é dada por,
L
LL RVi = .
Com o auxílio da equação (A1), ela também pode ser escrita como,
( )LZ
L dZtZVd
Ri
=∞
−=, 1
.
Igualando as duas expressões para iL:
LZ
LL dZ
tZdVRRV
=∞−=
),(. (A9)
De (A8) temos,
)senh()cosh(0
LLVV
dZdV L
LZ
+−=
=,
que substituída em (A9) nos dá,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
∞ )cosh()senh(0 LRLR
RVVL
LL . (A10)
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Substituindo (A10) em (A8) e utilizando algumas identidades para as funções
trigonométricas hiperbólicas (senh(a-b) = senh(a)cosh(b) – senh(b)cosh(a); cosh(a-b) =
cosh(a)cosh(b) – senh(a)senh(b); senh2(a) + cosh2(a) = 1), obtemos finalmente:
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−+−=
∞
∞
)senh()cosh()senh()cosh()( 0 LRRLZLRRZLVZV
L
L. (A11)
Esta é a solução geral para a voltagem de estado estacionário em um pedaço de cabo finito
de comprimento eletrotônico L.
A partir dela podemos deduzir uma expressão para a resistência de entrada do cabo finito.
A resistência de entrada, Rin, é definida como
0in I
VR = .
Usando a equação (A1),
( )0
0, 1
=∞
−=ZdZ
tZVdR
I .
Derivando (A11) em relação a Z, depois fazendo Z = 0 e substituindo na equação acima,
obtemos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+=
∞
∞∞ )tanh(
)tanh(LRRLRRRR
L
Lin . (A12)
As equações (A11) e (A12) são as expressões gerais para a voltagem e a resistência de
entrada de um cabo finito. Note que as soluções particulares para V(Z) e Rin para a
extremidade fechada e a extremidade aberta podem ser obtidas a partir de (A11) e (A12)
fazendo RL igual a ∞ ou 0, respectivamente. Além disso, no limite em que L → ∞
recuperamos as equações para o caso do cabo semi-infinito.