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Estabilidade de Sistemas Lineares Realimentados

Analise de Estabilidade:

Criterio de estabilidade de Routh

Fernando de Oliveira Souza pag.1 Engenharia de Controle Aula 9

James Watt

James Watt (Escocia, 19/01/1736 - Inglaterra, 25/08/1819)

1788: Governador por bolas flutuantes


James Clerk Maxwell

James Clerk Maxwell (Inglaterra, 13/06/1831 - 05/10/1879)

1868: Desenvolveu equacoes

diferenciais, linearizadas, do

governador e concluiu que o sis-

tema e estavel se as razes da

E.C. tiverem parte real nega-

tiva.

1877: Participou do comite

do Premio Adams, problema:

analise de estabilidade.


Edward John Routh

Edward John Routh (Canada, 20/01/1831 - Inglaterra, 07/06/1907)

1877: Venceu o premio Adams,

determinou um criterio baseado

nos coeficientes da E.C. que ve-

rifica se suas razes tem parte

real negativa.

Foi o primeiro de sua classe na

Cambridge University em 1854,

enquanto J. C. Maxwell foi o se-

gundo.


Adolf Hurwitz

Adolf Hurwitz (Alemanha, 26/03/1859 - Sussa, 18/10/1919)

1895: propos de forma indepen-

dente um metodo equivalente

ao de Routh;

Muitas vezes o metodo e

chamado como Routh-Hurwitz.


Estabilidade de Sistemas Lineares

O conceito de estabilidade e crucial na sntese de

sistemas de controle realimentados

Nao e exatamente uma especificacao, mas sim um

pre-quesito para projeto...



Estabilidade absoluta: o sistema e estavel ou nao

Estabilidade relativa: para um sistema estavel pode-se

atribuir graus de estabilidade (Item da proxima aula)

A localizacao dos polos em malha fechada indica o

tipo da resposta temporal e da estabilidade relativa

Condicao necessaria e suficiente para que um sistema

seja estavel e que todos os polos da FT tenham parte real

negativa



G(s) =1

(s p1)(s p2)

p1,2 = 2 j5 p1,2 = j5 p1,2 = 2 j5

0 2 40

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 2 40

0.02

0.04

0.06

0.08

0 2 4800

600

400

200

0

200

400Estavel Marginalmente Estavel Instavel

TempoTempoTempo



G(s) =1

(s p1)(s p2)(s p3)(s p4)

p1,2 = 2 j5 p1,2 = j5 p1,2 = 2 j5

p3,4 = 2 j5 p3,4 = j5 p3,4 = 2 j5

0 2 40

0.5

1

1.5

2x 103

0 2 40.02

0.01

0

0.01

0.02

0.03

0 2 4200

100

0

100

200Estavel Instavel Instavel

TempoTempoTempo



Metodos para verificar estabilidade (ou nao):

1. Routh-Hurwitz (no plano-s)

2. Nyquist (domnio da frequencia)

3. Analise temporal

Por que aplicar algum metodo se basta calcular os polos da

Eq. Caracterstica (EC) e verificar o sinal da parte real ? Os

metodos acima naocalculamas razes da EC ...

Potencialidades ?


Analise de Estabilidade

O criterio e um metodo que fornece uma resposta

direta sobre a questao de estabilidade de sistemas lineares

Para a EC:

(s) = ansn + an1s

n1 + + a1s+ a0

= an(s r1)(s r2) (s rn)

= 0

ri e a i-esima raiz da EC. Para estabilidade, e necessario

verificar se todas estas razes estao no semi-plano esquerdo


Analise de Estabilidade: Condicao Necessaria

Expandindo (s) obtem-se

(s) = ansn an(r1 + r2 + + rn)s

n1

+an(r1r2 + r2r3 + )sn2

an(r1r2r3 + r1r2r4 + )sn3

+ + (1)nan(r1r2r3 rn) = 0

Examinando (s), pode-se notar que se todas as razes

estiverem no semi-plano esquerdo, todos os termos do

polinomio tem o mesmo sinal. Alem disso, nenhum

coeficiente poderia ser nulo.


Analise de Estabilidade: Condicao Necessaria

Para a estabilidade

Todos os coeficientes da E.C. devem ter o mesmo sinal

Nenhum coeficiente pode ser nulo.

Estas condicoes sao apenas necessarias, ie, se alguma

nao se verificar, o sistema e instavel, caso contrario nao

pode-se afirmar que seja estavel...


Criterio de Routh

Exemplo O polinomio abaixo tem coeficientes positivos

porem nao e estavel

(s) = s3 + s2 + 11s+ 51

= (s+ 3)(s1 + 4j)(s1 4j)

O que fazer ? Utilizar condicoes necessarias e suficientes

para verificar estabilidade: ex. criterio de Routh


Criterio de Routh

Um sistema e estavel se, e somente se,

todos os elementos na primeira coluna

do arranjo de Routh forem positivos

Criterio de Routh assegura que o numero de razes com

parte real positiva e igual ao numero de mudanca de sinais

dos elementos da primeira coluna do arranjo de Routh


Criterio de Routh

Analise de Estabilidade: Criterio de Routh

(s) = ansn + an1s

n1 + + a1s+ a0

Como aplica-lo ? Organiza-se os coeficientes da EC

((s)) na forma de um arranjo do tipo

sn an an2 an4

sn1 an1 an3 an5


Criterio de Routh

O arranjo completo tem a forma:

sn an an2 an4

sn1 an1 an3 an5

sn2 b1 b2 b3

sn3 c1 c2 c3...

......

...

s0 ?1

Como obter as linhas subsequentes?


Criterio de Routh

sn an an2 an4

sn1 an1 an3 an5

sn2 b1 b2 b3

sn3 c1 c2 c3...

......

...

s0 ?1

sendo que

b1 =(an1)(an2) an(an3)

an1=

1

an1

an an2

an1 an3


Criterio de Routh

sn an an2 an4

sn1 an1 an3 an5

sn2 b1 b2 b3

sn3 c1 c2 c3...

......

...

s0 ?1

sendo que

b2 =1

an1

an an4

an1 an5


Criterio de Routh

sn an an2 an4

sn1 an1 an3 an5

sn2 b1 b2 b3

sn3 c1 c2 c3...

......

...

s0 ?1

sendo que

c1 =1

b1

an1 an3

b1 b2


Criterio de Routh

Exemplo de sistema de 2a ordem

(s) = a2s2 + a1s+ a0

o arranjo de Routh e

s2 a2 a0

s1 a1 0

s0 b1 0

b1 =(a1)(a0) a2(0)

a1= a0

Portanto um sistema de 2a. ordem e estavel se os coeficientes da

EC forem todos positivos ou todos negativos


Exerccio 1

Determine quantas razes do polinomio abaixo estao no

SPD.

(s) = s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + s2 + 4s+ 4


Exerccio 1

(s) = 1s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + 1s2 + 4s+ 4


s6 1 3 1 4

s5 4 2 4 0

s4 5/2 0 4

s3 2 12/5 0

s2 3 4

s1 76/15 0

s0 4

Portanto, o polinomio tem duas razes no SPD.


Exerccio 2

Determine para qual faixa de valores de K o sistema

abaixo e estavel.

Ks+1

s(s1)(s+6)

R(s) Y (s)+


Exerccio 2

(s) = s3 + 5s2 + (K 6)s+K


s3 1 K 6

s2 5 K

s1 (4K 30)/5

s0 K

para a estabilidade temos

4K 30

5> 0 e K > 0

Portanto, o sistema e estavel se (K > 7,5).


Exerccio 3

Determine para qual faixa de valores dos parametros

K e KI o sistema abaixo e estavel.

K + KIs

1(s+1)(s+2)

R(s) Y (s)+


Exerccio 3

(s) = s3 + 3s2 + (2 +K)s+KI


s3 1 2 +K

s2 3 KI

s1 (6 + 3K KI)/3

s0 KI

Portanto, o sistema e estavel se

KI > 0 e K >1

3KI 2


Exerccio 4

Determine quantas razes do polinomio abaixo estao no

SPD.

(s) = s5 + 2s4 + 2s3 + 4s2 + 11s+ 10


Exerccio 4

obtem-se o arranjo

s5 1 2 11

s4 2 4 10

s3 0 6 0

s2 ? ? ?

s1 ? ? ?

s0 ? ? ?

Casos especiais: Casos em que ha zeros na primeira

colunaFernando de Oliveira Souza pag.29 Engenharia de Controle Aula 9

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