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Teorema da Divergncia
Fluxo Eltrico e Lei de Gauss
Srgio Antenor de Carvalho
1
1Departamento de Engenharia de TeleinformticaCentro de
Tecnologia
Universidade Federal do Cear
2010
Carvalho Fluxo Eltrico e Lei de Gauss
http://find/http://goback/
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Teorema da Divergncia
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1 Teorema da Divergncia
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
lei de Gauss aplicada num elemento diferencial de volume
s
D ds=
v
v dv
o que estaremos relacionando?
Carvalho Fluxo Eltrico e Lei de Gauss
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Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
lei de Gauss aplicada num elemento diferencial de volume
s
D ds=
v
v dv
o que estaremos relacionando?
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Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
lei de Gauss aplicada num elemento diferencial de volume
s
D ds=
v
v dv
o que estaremos relacionando?
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T d Di i L i d G El Dif i l d V l
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
lei de Gauss aplicada num elemento diferencial de volume
sistema de coordenadas retangularesnum ponto P qualquer o vetor
densidade de fluxo eltricoD dado por
D= D0 = Dx0 ax+Dy0 ay+Dz0 az
numa caixa diferencial,
centrada em P, com
arestas x, y e z
aplicaremos a lei de Gausss
D ds= Q
Carvalho Fluxo Eltrico e Lei de Gauss
T d Di i L i d G El t Dif i l d V l
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Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
lei de Gauss aplicada num elemento diferencial de volume
sistema de coordenadas retangularesnum ponto P qualquer o vetor
densidade de fluxo eltricoD dado por
D= D0 = Dx0 ax+Dy0 ay+Dz0 az
numa caixa diferencial,
centrada em P, com
arestas x, y e z
aplicaremos a lei de Gausss
D ds= Q
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Volume
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Volume
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lei de Gauss aplicada num elemento diferencial de volume
sistema de coordenadas retangularesnum ponto P qualquer o vetor
densidade de fluxo eltricoD dado por
D= D0 = Dx0 ax+Dy0 ay+Dz0 az
numa caixa diferencial,
centrada em P, com
arestas x, y e z
aplicaremos a lei de Gausss
D ds= Q
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Volume
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lei de Gauss aplicada num elemento diferencial de volume
sistema de coordenadas retangularesnum ponto P qualquer o vetor
densidade de fluxo eltricoD dado por
D= D0 = Dx0 ax+Dy0 ay+Dz0 az
numa caixa diferencial,
centrada em P, com
arestas x, y e z
aplicaremos a lei de Gausss
D ds= Q
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Volume
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lei de Gauss aplicada num elemento diferencial de volume
sistema de coordenadas retangularesnum ponto P qualquer o vetor
densidade de fluxo eltricoD dado por
D= D0 = Dx0 ax+Dy0 ay+Dz0 az
numa caixa diferencial,
centrada em P, com
arestas x, y e z
aplicaremos a lei de Gausss
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lei de Gauss aplicada num elemento diferencial de volume
sistema de coordenadas retangularesnum ponto P qualquer o vetor
densidade de fluxo eltricoD dado por
D= D0 = Dx0 ax+Dy0 ay+Dz0 az
numa caixa diferencial,
centrada em P, com
arestas x, y e z
aplicaremos a lei de Gausss
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Volume
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a lei de Gauss aplicada no volume diferencial fornece
s
D ds=
frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie
muito pequeno D consideradoconstante sobre esta superfcie
frente = Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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s
D ds=
frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie
muito pequeno D consideradoconstante sobre esta superfcie
frente = Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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a lei de Gauss aplicada no volume diferencial fornece
s
D ds=
frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie
muito pequeno D consideradoconstante sobre esta superfcie
frente = Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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D ds=
frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie
muito pequeno D consideradoconstante sobre esta superfcie
frente = Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie
muito pequeno D consideradoconstante sobre esta superfcie
frente =
Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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D ds=
frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie
muito pequeno D consideradoconstante sobre esta superfcie
frente =
Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie
muito pequeno D consideradoconstante sobre esta superfcie
frente =
Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie
muito pequeno D consideradoconstante sobre esta superfcie
frente =
Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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D ds=
frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie
muito pequeno D consideradoconstante sobre esta superfcie
frente =
Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie
muito pequeno D consideradoconstante sobre esta superfcie
frente =
Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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a lei de Gauss aplicada no volume diferencial fornece
s
D ds=
frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie muito pequeno D
consideradoconstante sobre esta superfcie
frente =
Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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s
D ds=
frente
+
atras
+
esquerda
+
direita
+
topo
+
base
consideremos a primeira integral
como o elemento de superfcie muito pequeno D
consideradoconstante sobre esta superfcie
frente =
Dfrente
Sfrente
= Dfrente y zax
= Dx,frente y z
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vamos aproximar o valor de Dx na face frontal
a face frontal est a uma distncia x/2 do ponto P,assim
Dx,frente Dx0 + x
2 taxa de
variaode Dx com x
Dx0 + x
2
Dxx
a primeira integral torna-se
frente
=
Dx0 +
x
2
Dxx
yz
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vamos aproximar o valor de Dx na face frontal
a face frontal est a uma distncia x/2 do ponto P,assim
Dx,frente Dx0 + x
2 taxa de
variao
de Dx com x
Dx0 + x
2
Dxx
a primeira integral torna-se
frente
=
Dx0 +
x
2
Dxx
yz
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vamos aproximar o valor de Dx na face frontal
a face frontal est a uma distncia x/2 do ponto P,assim
Dx,frente Dx0 + x
2 taxa de
variao
de Dx com x
Dx0 + x
2
Dxx
a primeira integral torna-se
frente
=
Dx0 +
x
2
Dxx
yz
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a face frontal est a uma distncia x/2 do ponto P,assim
Dx,frente Dx0 + x
2 taxa de
variao
de Dx com x
Dx0 + x
2
Dxx
a primeira integral torna-se
frente
=
Dx0 +
x
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Dxx
yz
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vamos aproximar o valor de Dx na face frontal
a face frontal est a uma distncia x/2 do ponto P,assim
Dx,frente Dx0 + x
2 taxa de
variao
de Dx com x
Dx0 + x
2
Dxx
a primeira integral torna-se
frente
=
Dx0 +
x
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Dxx
yz
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Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
a integral na superfcie posterior fornece
atras
Datras Satras
Datras (yzax)
Dx,atrasyz
aproximando Dx,atras por
Dx,atras Dx0x
2
Dxx
obtemosatras
Dx0 +
x
2
Dxx
yz
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a integral na superfcie posterior fornece
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Datras Satras
Datras (yzax)
Dx,atrasyz
aproximando Dx,atras por
Dx,atras Dx0x
2
Dxx
obtemosatras
Dx0 +
x
2
Dxx
yz
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a integral na superfcie posterior fornece
atras
Datras Satras
Datras (yzax)
Dx,atrasyz
aproximando Dx,atras por
Dx,atras Dx0x
2
Dxx
obtemosatras
Dx0 +
x
2
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a integral na superfcie posterior fornece
atras
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Datras (yzax)
Dx,atrasyz
aproximando Dx,atras por
Dx,atras Dx0x
2
Dxx
obtemosatras
Dx0 +
x
2
Dxx
yz
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a integral na superfcie posterior fornece
atras
Datras Satras
Datras (yzax)
Dx,atrasyz
aproximando Dx,atras por
Dx,atras Dx0x
2
Dxx
obtemosatras
Dx0 +
x
2
Dxx
yz
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a integral na superfcie posterior fornece
atras
Datras Satras
Datras (yzax)
Dx,atrasyz
aproximando Dx,atras por
Dx,atras Dx0x
2
Dxx
obtemosatras
Dx0 +
x
2
Dxx
yz
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Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
combinando as duas integrais obtemos
frente
+
atras
Dxx
x y z
usando o mesmo procedimento obtemos
direita
+
esquerda
Dyy
x y z
topo+
base
Dz
z x y z
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Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
combinando as duas integrais obtemos
frente
+
atras
Dxx
x y z
usando o mesmo procedimento obtemos
direita
+
esquerda
Dyy
x y z
topo+
base
Dz
z x y z
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Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
combinando as duas integrais obtemos
frente
+
atras
Dxx
x y z
usando o mesmo procedimento obtemos
direita
+
esquerda
Dyy
x y z
topo+
base
Dz
z x y z
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e de Gauss u e e to e e c a de o u e
combinando as duas integrais obtemos
frente
+
atras
Dxx
x y z
usando o mesmo procedimento obtemos
direita
+
esquerda
Dyy
x y z
topo+
base
Dz
z x y z
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combinando as duas integrais obtemos
frente
+
atras
Dxx
x y z
usando o mesmo procedimento obtemos
direita
+
esquerda
Dyy
x y z
topo+
base
Dz
z x y z
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reunindo todas as partes combinadas obtemos
s
D ds
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
x y z= q
reescrevemos como
Dxx +
Dyy +
Dzz
q
x y z =q
v
no limite v 0 a aproximao torna-se igualdade,assim
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
= lim v0
q v
= lim v0
s D ds v
= v
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reunindo todas as partes combinadas obtemos
s
D ds
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
x y z= q
reescrevemos como
Dxx +
Dyy +
Dzz
q
x y z =q
v
no limite v 0 a aproximao torna-se igualdade,assim
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
= lim v0
q v
= lim v0
s D ds v
= v
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reunindo todas as partes combinadas obtemos
s
D ds
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
x y z= q
reescrevemos como
Dxx +
Dyy +
Dzz
q
x y z =q
v
no limite v 0 a aproximao torna-se igualdade,assim
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
= lim v0
q v
= lim v0
s D ds v
= v
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reunindo todas as partes combinadas obtemos
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D ds
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
x y z= q
reescrevemos como
Dxx +
Dyy +
Dzz
q
x y z =q
v
no limite v 0 a aproximao torna-se igualdade,assim
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
= lim v0
q v
= lim v0
s D ds v
= v
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
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45/114
reunindo todas as partes combinadas obtemos
s
D ds
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
x y z= q
reescrevemos como
Dxx +
Dyy +
Dzz
q
x y z =q
v
no limite v 0 a aproximao torna-se igualdade,assim
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
= lim v0
q v
= lim v0
s D ds v
= v
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Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
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reunindo todas as partes combinadas obtemos
s
D ds
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
x y z= q
reescrevemos como
Dxx +
Dyy +
Dzz
q
x y z =q
v
no limite v 0 a aproximao torna-se igualdade,assim
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
= lim v0
q v
= lim v0
s D ds v
= v
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reunindo todas as partes combinadas obtemos
s
D ds
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
x y z= q
reescrevemos como
Dxx +
Dyy +
Dzz
q
x y z =q
v
no limite v 0 a aproximao torna-se igualdade,assim
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
= lim v0
q v
= lim v0
s D ds v
= v
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reunindo todas as partes combinadas obtemos
s
D ds
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
x y z= q
reescrevemos como
Dxx +
Dyy +
Dzz
q
x y z =q
v
no limite v 0 a aproximao torna-se igualdade,assim
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
= lim v0
q v
= lim v0
s D ds v
= v
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reunindo todas as partes combinadas obtemos
s
D ds
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
x y z= q
reescrevemos como
Dxx +
Dyy +
Dzz
q
x y z =q
v
no limite v 0 a aproximao torna-se igualdade,assim
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
= lim v0
q v
= lim v0
s D ds v
= v
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reunindo todas as partes combinadas obtemos
s
D ds
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
x y z= q
reescrevemos como
Dxx +
Dyy +
Dzz
q
x y z =q
v
no limite v 0 a aproximao torna-se igualdade,assim
Dxx
+ Dyy
+ Dzz
= lim v0
q v
= lim v0
s D ds v
= v
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Volume
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a relao
lim v0
s D ds v
=
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
no envolve densidade de cargas e pode ser aplicada a
qualquer campo vetorialesta operao denominada de divergncia
definida e
representada por
A lim v0
s
A ds
v
que informao esta operao nos traz?
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a relao
lim v0
s D ds v
=
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
no envolve densidade de cargas e pode ser aplicada a
qualquer campo vetorialesta operao denominada de divergncia
definida e
representada por
A lim v0
s
A ds
v
que informao esta operao nos traz?
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Volume
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a relao
lim v0
s D ds v
=
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
no envolve densidade de cargas e pode ser aplicada a
qualquer campo vetorialesta operao denominada de divergncia
definida e
representada por
A lim v0
s
A ds
v
que informao esta operao nos traz?
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Volume
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a relao
lim v0
s D ds v
=
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
no envolve densidade de cargas e pode ser aplicada a
qualquer campo vetorialesta operao denominada de divergncia
definida e
representada por
A lim v0
s
A ds
v
que informao esta operao nos traz?
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Volume
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a relao
lim v0
s D ds v
=
Dxx
+ Dy
y+ D
z
z
no envolve densidade de cargas e pode ser aplicada a
qualquer campo vetorialesta operao denominada de divergncia
definida e
representada por
A lim v0
s
A ds
v
que informao esta operao nos traz?
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Volume
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divergncia de um campo vetorial
A
lim v0s A ds v
que informao esta operao nos traz?
razo entre o saldo de fluxo num ponto e o volume desteponto
a divergncia uma quantidade escalardetermina a existncia de
fontes ou sorvedouros
fontes - A > 0
sorvedouros - A < 0
sem fontes ousorvedouros - A = 0
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divergncia de um campo vetorial
A
lim v0s A ds v
que informao esta operao nos traz?
razo entre o saldo de fluxo num ponto e o volume desteponto
a divergncia uma quantidade escalardetermina a existncia de
fontes ou sorvedouros
fontes - A > 0
sorvedouros - A < 0
sem fontes ousorvedouros - A = 0
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divergncia de um campo vetorial
A
lim v0s A ds v
que informao esta operao nos traz?
razo entre o saldo de fluxo num ponto e o volume desteponto
a divergncia uma quantidade escalardetermina a existncia de
fontes ou sorvedouros
fontes - A > 0
sorvedouros - A < 0
sem fontes ousorvedouros - A = 0
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divergncia de um campo vetorial
A
lim v0s A ds v
que informao esta operao nos traz?
razo entre o saldo de fluxo num ponto e o volume desteponto
a divergncia uma quantidade escalardetermina a existncia de
fontes ou sorvedouros
fontes - A > 0
sorvedouros - A < 0
sem fontes ousorvedouros - A = 0
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di i d i l
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divergncia de um campo vetorial
A
lim v0s A ds v
que informao esta operao nos traz?
razo entre o saldo de fluxo num ponto e o volume desteponto
a divergncia uma quantidade escalardetermina a existncia de
fontes ou sorvedouros
fontes - A > 0
sorvedouros - A < 0
sem fontes ousorvedouros - A = 0
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Volume
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di i d t i l
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divergncia de um campo vetorial
A
lim v0s A ds v
que informao esta operao nos traz?
razo entre o saldo de fluxo num ponto e o volume desteponto
a divergncia uma quantidade escalardetermina a existncia de
fontes ou sorvedouros
fontes - A > 0
sorvedouros - A < 0
sem fontes ousorvedouros - A = 0
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Volume
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divergncia de um campo vetorial
A
lim v0s A ds v
que informao esta operao nos traz?
razo entre o saldo de fluxo num ponto e o volume desteponto
a divergncia uma quantidade escalardetermina a existncia de
fontes ou sorvedouros
fontes - A > 0
sorvedouros - A < 0
sem fontes ousorvedouros - A = 0
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Volume
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operador nabla no sistema retangular
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operador nabla no sistema retangular
xa
x+
ya
y+
za
z
assim
A =Axx
+Ayy
+Azz
nos outros sistemas de coordenadas temos
coordenadas cilndricas
A =1
( A) +
1
A
+Azz
coordenadas esfricas
A =1
r2
r(r2 Ar) +
1
r sen
(A sen) +
1
r sen
A
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Volume
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operador nabla no sistema retangular
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operador nabla no sistema retangular
xa
x+
ya
y+
za
z
assim
A =Axx
+Ayy
+Azz
nos outros sistemas de coordenadas temos
coordenadas cilndricas
A =1
( A) +
1
A
+Azz
coordenadas esfricas
A =1
r2
r(r2 Ar) +
1
r sen
(A sen) +
1
r sen
A
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Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
operador nabla no sistema retangular
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operador nabla no sistema retangular
xa
x+
ya
y+
za
z
assim
A =Axx
+Ayy
+Azz
nos outros sistemas de coordenadas temos
coordenadas cilndricas
A =1
( A) +
1
A
+Azz
coordenadas esfricas
A =1
r2
r(r2 Ar) +
1
r sen
(A sen) +
1
r sen
A
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Volume
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operador nabla no sistema retangular
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operador nabla no sistema retangular
xax+
yay+
zaz
assim
A =Axx
+Ayy
+Azz
nos outros sistemas de coordenadas temos
coordenadas cilndricas
A =1
( A) +
1
A
+Azz
coordenadas esfricas
A =1
r2
r(r2 Ar) +
1
r sen
(A sen) +
1
r sen
A
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Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
operador nabla no sistema retangular
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ope ado ab a o s ste a eta gu a
xax+
yay+
zaz
assim
A =Axx
+Ayy
+Azz
nos outros sistemas de coordenadas temos
coordenadas cilndricas
A =1
( A) +
1
A
+Azz
coordenadas esfricas
A =1
r2
r(r2 Ar) +
1
r sen
(A sen) +
1
r sen
A
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
operador nabla no sistema retangular
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p g
xax+
yay+
zaz
assim
A =Axx
+Ayy
+Azz
nos outros sistemas de coordenadas temos
coordenadas cilndricas
A =1
( A) +
1
A
+Azz
coordenadas esfricas
A =1
r2
r(r2 Ar) +
1
r sen
(A sen) +
1
r sen
A
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Volume
Lei de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
operador nabla no sistema retangular
-
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p g
xax+
yay+
zaz
assim
A =Axx
+Ayy
+Azz
nos outros sistemas de coordenadas temos
coordenadas cilndricas
A =1
( A) +
1
A
+Azz
coordenadas esfricas
A =1
r2
r(r2 Ar) +
1
r sen
(A sen) +
1
r sen
A
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Volume
1a Equao de Maxwell
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sabemos que
D lim v0
s D ds
v= lim v0
q
v= v
assim
D= v
esta equao uma relao pontual
o que diz a 1a Equao de Maxwell
fonte ou sorvedouro do vetor densidade de fluxo eltrico uma
distribuio positiva ou negativa de carga
eltrica,respectivamente
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Volume
1a Equao de Maxwell
b
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sabemos que
D lim v0
s D ds
v= lim v0
q
v= v
assim
D= v
esta equao uma relao pontual
o que diz a 1a Equao de Maxwell
fonte ou sorvedouro do vetor densidade de fluxo eltrico uma
distribuio positiva ou negativa de carga
eltrica,respectivamente
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Volume
1a Equao de Maxwell
b
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sabemos que
D lim v0
s D ds
v= lim v0
q
v= v
assim
D= v
esta equao uma relao pontual
o que diz a 1a Equao de Maxwell
fonte ou sorvedouro do vetor densidade de fluxo eltrico uma
distribuio positiva ou negativa de carga
eltrica,respectivamente
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Volume
1a Equao de Maxwell
b
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sabemos que
D lim v0
s D ds
v= lim v0
q
v= v
assim
D= v
esta equao uma relao pontual
o que diz a 1a Equao de Maxwell
fonte ou sorvedouro do vetor densidade de fluxo eltrico uma
distribuio positiva ou negativa de carga
eltrica,respectivamente
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
1a Equao de Maxwell
sabemos que
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sabemos que
D lim v0
s D ds v
= lim v0
q
v= v
assim
D= v
esta equao uma relao pontual
o que diz a 1a Equao de Maxwell
fonte ou sorvedouro do vetor densidade de fluxo eltrico uma
distribuio positiva ou negativa de carga
eltrica,respectivamente
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
1a Equao de Maxwell
sabemos que
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sabemos que
D lim v0
s D ds v
= lim v0
q
v= v
assim
D= v
esta equao uma relao pontual
o que diz a 1a Equao de Maxwell
fonte ou sorvedouro do vetor densidade de fluxo eltrico uma
distribuio positiva ou negativa de carga
eltrica,respectivamente
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
1a Equao de Maxwell
d L i d G t m
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da Lei de Gauss temos
s
D ds=
v
v dv
como D= v temoss
D ds=
v
D dv
que o Teorema da Divergncia, que diz
a integral da componente normal de qualquer campovetorial sobre
uma superfcie fechada igual integral devolume da divergncia deste
campo
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Volume
1a Equao de Maxwell
da Lei de Gauss temos
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da Lei de Gauss temos
s
D ds=
v
v dv
como D= v temoss
D ds=
v
D dv
que o Teorema da Divergncia, que diz
a integral da componente normal de qualquer campovetorial sobre
uma superfcie fechada igual integral devolume da divergncia deste
campo
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
1a Equao de Maxwell
da Lei de Gauss temos
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da Lei de Gauss temos
s
D ds=
v
v dv
como D= v temoss
D ds=
v
D dv
que o Teorema da Divergncia, que diz
a integral da componente normal de qualquer campovetorial sobre
uma superfcie fechada igual integral devolume da divergncia deste
campo
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
di d d il i d i i d
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o diodo de silcio ou de germnio constitudo por uma
juno onde h duas camadas de cargas, uma positiva e aoutra
negativa, calcular e esboar o campo eltrico
desprezando o efeito das bordas, isto , considerando que
a juno plana e infinita, nas camadas as densidades de
cargas so constantes e seu mdulo vale v
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
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o que podemos dizer sobre o campo eltrico?
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de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
o que podemos dizer sobre o campo eltrico?
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o que podemos dizer sobre o campo eltrico?s possui componente
axesta componente s varia com a coordenada x
temos Ex = f(x) assim
E=Exx
=dEx
dx=
v0
Ex =
v0
dx Ex =v0
x+k
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Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
o que podemos dizer sobre o campo eltrico?
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o que podemos dizer sobre o campo eltrico?s possui componente
axesta componente s varia com a coordenada x
temos Ex = f(x) assim
E=Exx
=dEx
dx=
v0
Ex =
v0
dx Ex =v0
x+k
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Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
o que podemos dizer sobre o campo eltrico?
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o que podemos dizer sobre o campo eltrico?s possui componente
ax
esta componente s varia com a coordenada xtemos Ex = f(x)
assim
E=Exx
=dEx
dx=
v0
Ex =
v0
dx Ex =v0
x+k
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Volume
Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
o que podemos dizer sobre o campo eltrico?
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o que podemos dizer sobre o campo eltrico?s possui componente
ax
esta componente s varia com a coordenada xtemos Ex = f(x)
assim
E=Exx
=dEx
dx=
v0
Ex =
v0
dx Ex =v0
x+k
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de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
o que podemos dizer sobre o campo eltrico?
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q p ps possui componente ax
esta componente s varia com a coordenada xtemos Ex = f(x)
assim
E=Exx
=dEx
dx=
v0
Ex =
v0
dx Ex =v0
x+k
Carvalho Fluxo Eltrico e Lei de Gauss Teorema da Divergncia Lei
de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
o que podemos dizer sobre o campo eltrico?
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q p ps possui componente ax
esta componente s varia com a coordenada xtemos Ex = f(x)
assim
E=Exx
=dEx
dx=
v0
Ex =
v0
dx Ex =v0
x+k
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de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
o que podemos dizer sobre o campo eltrico?
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q p ps possui componente ax
esta componente s varia com a coordenada xtemos Ex = f(x)
assim
E=Exx
=dEx
dx=
v0
Ex =
v0
dx Ex =v0
x+k
Carvalho Fluxo Eltrico e Lei de Gauss Teorema da Divergncia Lei
de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
para cada regio temos uma expresso para o campo Ex
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para cada regio temos uma expresso para o campo Ex
na regio de cargas positivas 0 < x < h o campo valeE+x
=
v0
x+ k1
na regio de cargas negativas h < x < 0 o campo valeEx
=
v0
x+ k2
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de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
para cada regio temos uma expresso para o campo Ex
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para cada regio temos uma expresso para o campo Ex
na regio de cargas positivas 0 < x < h o campo valeE+x
=
v0
x+ k1
na regio de cargas negativas h < x < 0 o campo valeEx
=
v0
x+ k2
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para cada regio temos uma expresso para o campo Ex
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para cada regio temos uma expresso para o campo Ex
na regio de cargas positivas 0 < x < h o campo valeE+x
=
v0
x+ k1
na regio de cargas negativas h < x < 0 o campo valeEx
=
v0
x+ k2
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para cada regio temos uma expresso para o campo Ex
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p g p p p x
na regio de cargas positivas 0 < x < h o campo valeE+x
=
v0
x+ k1
na regio de cargas negativas h < x < 0 o campo valeEx
=
v0
x+ k2
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de Gauss num Elemento Diferencial de Volume
Lei de Gauss na forma diferencialexemplo de aplicao no 1
como definiremos o valor da constante k1?
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1
na regio de cargas positivas 0 < x < h o campo valeE+x
=
v0
x+ k1
onde sabemos o valor do campo na regio de cargas
positivas?
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como definiremos o valor da constante k1?
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1
na regio de cargas positivas 0 < x < h o campo valeE+x
=
v0
x+ k1
onde sabemos o valor do campo na regio de cargas
positivas?
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Volume
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como definiremos o valor da constante k1?
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na regio de cargas positivas 0 < x < h o campo valeE+x
=
v0
x+ k1
onde sabemos o valor do campo na regio de cargas
positivas?
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Teorema da Divergncia Lei de Gauss num Elemento Diferencial de
Volume
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em x= h o campo nulo por que?as contrib ies dos planos infinitos
se cancelam
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as contribuies dos planos infinitos se cancelam
no existe densidade de carga no plano x= hassim
E+x (x= h) = 0 =v0
x+ k1 E+x =
v0(x h)
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Volume
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em x= h o campo nulo por que?as contribuies dos planos infinitos
se cancelam
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as contribuies dos planos infinitos se cancelam
no existe densidade de carga no plano x= hassim
E+x (x= h) = 0 =v0
x+ k1 E+x =
v0(x h)
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em x= h o campo nulo por que?as contribuies dos planos infinitos
se cancelam
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as contribuies dos planos infinitos se cancelam
no existe densidade de carga no plano x= hassim
E+x (x= h) = 0 =v0
x+ k1 E+x =
v0(x h)
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em x= h o campo nulo por que?as contribuies dos planos infinitos
se cancelam
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as contribuies dos planos infinitos se cancelam
no existe densidade de carga no plano x= hassim
E+x (x= h) = 0 =v0
x+ k1 E+x =
v0(x h)
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as contribuies dos planos infinitos se cancelam
no existe densidade de carga no plano x= hassim
E+x (x= h) = 0 =v0
x+ k1 E+x =
v0(x h)
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as contribuies dos planos infinitos se cancelam
no existe densidade de carga no plano x= hassim
E+x (x= h) = 0 =v0
x+ k1 E+x =
v0(x h)
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Volume
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as contribuies dos planos infinitos se cancelam
no existe densidade de carga no plano x= hassim
Ex (x= h) = 0 =v0
x+ k2 E
x = v0(x+ h)
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Volume
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se cancelam
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as contribuies dos planos infinitos se cancelam
no existe densidade de carga no plano x= hassim
Ex (x= h) = 0 =v0
x+ k2 E
x = v0(x+ h)
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as co t bu es dos p a os tos se ca ce a
no existe densidade de carga no plano x= hassim
Ex (x= h) = 0 =v0
x+ k2 E
x = v0(x+ h)
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p
no existe densidade de carga no plano x= hassim
Ex (x= h) = 0 =v0
x+ k2 E
x = v0(x+ h)
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p
no existe densidade de carga no plano x= hassim
Ex (x= h) = 0 =v0
x+ k2 E
x = v0(x+ h)
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no existe densidade de carga no plano x= hassim
Ex (x= h) = 0 =v0
x+ k2 E
x = v0(x+ h)
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na regio 0 < x < h temos
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na regio 0 < x < h temos
E+x =v0(x h)
na regio
h < x < 0 temos
Ex = v0(x+ h)
no ponto x= 0 temos
Ex = v0
h
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na regio 0 < x < h temos
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na regio 0 < x < h temos
E+x =v0(x h)
na regio
h < x < 0 temos
Ex = v0(x+ h)
no ponto x= 0 temos
Ex = v0
h
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na regio 0 < x < h temos
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na regio 0 < x < h temos
E+x =v0(x h)
na regio
h < x < 0 temos
Ex = v0(x+ h)
no ponto x= 0 temos
Ex = v0
h
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