autocorrelacao_2015

AutocorrelaAutocorrelaoo SerialSerial

Prof. Jos [email protected]

Autocorrelao serialProblema tpico da aplicao da anlise de regresso linear dados de sries de tempo:

No entanto, a sequncia cronolgica das observaes de uma srie temporal exibe padres de tendncia e sazonalidade.

Tais padres implicam em observaes relacionadas ou autocorrelacionadas. Por esta razo possvel prever as observaes futuras a partir das observaes passadas.

As observaes em uma srie temporal no podem ser consideradas como sendo provenientes de uma amostra aleatria (em amostras aleatrias as observaes so independentes) como suposto pela anlise de regresso linear.

ttt XY ++= 10 X e Y so sries temporaisEm sua verso bsica a anlise de regresso pressupe que os termos aleatrios so independentes e no correlacionados ( cov(i,)) =0 para ij ).

Tal pressuposto implica em admitir que as observaes so provenientes de uma amostra aleatria, ou seja, a varivel Y relaciona-se com os valores da varivel X, porm Y no depende dos seus prprios valores passados.

Autocorrelao serialQuando as variveis X e Y so sries de tempo, o pressuposto de erros independentes na regresso linear ( cov(i,)) = 0 para ij ) raramente verificado.

Nestas situaes os erros so autocorrelacionados, ou seja, cov(i,j)) 0 para ij.

Um tipo comum de autocorrelao do erro a autocorrelao serial de primeira ordem ou AR(1), em que o erro do perodo atual t se relaciona com o erro do perodo imediatamente anterior t-1. Neste caso tem-se a seguinte especificao para o modelo de regresso linear:

ttt XY ++= 10ttt v+= 1

um escalar no intervalo ]-1;1[ que mede a correlao entre t e t-1.

A magnitude de indica a fora da correlao serial, se zero os erros so independentes ( = v) e no h autocorrelao serial do erro.

Erros independentes normalmente distribudos com mdia zero e varincia 2v

Autocorrelao serial


Autocorrelao serial de primeira ordem do erro ou AR(1)

( ) 0,cov

SStt

Covarincia entre erros defasados por S perodos de tempo proporcional a S

Erros no so independentes

]-1;1[ correlaes entre os erros decaem exponencialmente:

( ) =1, ttcorrelao

( ) 22, =ttcorrelao( ) 33, =ttcorrelao( ) SSttcorrelao =,

O efeito de um choque aleatrio persiste ao longo do tempo, porm sua magnitude decrescente

Autocorrelao serial

Considere uma situao com autocorrelao serial de primeira ordem positiva (>0), tpica em sries econmicas.

Se o 1 valor de Y est acima da verdadeira reta de regresso, ento os valores seguintes tambm tm maior probabilidade de estarem acima da verdadeira reta de regresso ( provvel que um erro positivo seja seguido de outro erro positivo).

Eventualmente provvel que exista uma sequncia de Y abaixo da verdadeira reta de regresso ( provvel que um erro negativo seja seguido de outro erro negativo).

Porm o mtodo dos mnimos quadrados supe erros independentes (=0), logo a reta de regresso estimada por mnimos quadrados passar pelo meio da nuvem de pontos com outra inclinao. O uso desta reta para fazer inferncias ou prognsticos pode ser muito enganoso,

Autocorrelao serial

Note que a disperso das observaes sobre a reta estimada por mnimos quadrados menor que a disperso ao redor da verdadeira reta de regresso.

Se h autocorrelao de primeira ordem positiva, a estimao por mnimos quadrados subestima a varincia do erro (2).

Nesta situao os estimadores de mnimos quadrados parecem mais precisos do que eles realmente so (os erros padro so subestimados).

E os procedimentos de inferncia estatstica (teste t e F) podem indicar que a regresso de Y em X seja significativa, mesmo que ela seja falsa.

Autocorrelao serialA autocorrelao serial de primeira ordem pode ser negativa (0), HANKE & WICHERN (2006) e GUJARATI (2000).

Seja a autocorrelao do erro negativa ou positiva, a violao do pressuposto de independncia dos erros implica em problemas de interpretao dos resultados dos coeficientes de regresso estimados pelo mtodo dos mnimos quadrados, pois o mtodo pressupe erro no correlacionados.

Diagnstico da autocorrelao serial

( )ttt XY 10 +=resduosEstimativas obtidas pelo mtodo dos

mnimos quadrados

1) Grficos dos residuos ao longo do tempoSe os erros so autocorrelacionados, provavelmente a srie dos residuos da estimao por mnimos quadrados exibir um padro sistemtico (no aleatrio) ao longo do tempo.

0 5 10 15 20 25 30 35-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

tempo

r

e

s

d

u

o

s

Note as sequncias de resduos positivos seguidas por sequncias de resduos negativos, um padro sistemtico tpico de aucorrelao serial positiva de primeira ordem do erro.

Quando a anlise de regresso aplicada em sries de tempo importante examinar a srie dos resduos da estimao por mnimos quadrados para saber se a autocorrelao serial est presente e assim ter meios para detectar se a regresso entre Y e X falsa e evitar uma interpretao errada dos resultados.

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Diagnstico da autocorrelao serial2) Grfico do residuo em t contra resduo em t-1

Se os erros so autocorrelacionados de primeira ordem, os pares de resduos em t e t-1 espalham-se ao longo de uma reta que passa pela origem e com coeficiente angular igual a .

resduo em t-1

r

e

s

d

u

o

e

m

t >0

Autocorrelao serial de primeira ordem positiva

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Diagnstico da autocorrelao serial2) Grfico do residuo em t contra resduo em t-1

A estimativa dada por:

resduo em t-1

r

e

s

d

u

o

e

m

t

Esta estimativa o coeficiente angular da reta de regresso que passa pela origem.

=

=

=n

tt

n

ttt

1

2

21

Caso exemplo (BERNDT, 1991)

KWH = total de energia consumida nos EUA em milhes de kWh

PELEC = preo da eletricidade por kWh (em centavos de dlar de 1972)

GNP = PIB dos EUA em bilhes de dlares (a preos de 1972)

( ) ( )tttt GNPPeleckWh expexp 210 =Equao a ser estimada

onde

tttt LnGNPLnPelecLnkWh +++= 210

t=1951.1984

1 e 2 so as elasticidades preo e renda respectivamente

Caso exemplo (BERNDT, 1991)Ano KWH PELEC GNP LNKWH LNPELEC LNGNP

dez/51 330 3,12 579,4 5,7991 1,1378 6,3620dez/52 356 3,09 600,8 5,8749 1,1282 6,3983dez/53 396 3,01 623,6 5,9814 1,1019 6,4355dez/54 424 2,97 616,1 6,0497 1,0886 6,4234dez/55 497 2,75 657,5 6,2086 1,0116 6,4884dez/56 546 2,61 671,6 6,3026 0,9594 6,5097dez/57 576 2,57 683,8 6,3561 0,9439 6,5277dez/58 588 2,59 680,9 6,3767 0,9517 6,5234dez/59 647 2,5 721,7 6,4723 0,9163 6,5816dez/60 689 2,65 737,2 6,5352 0,9746 6,6029dez/61 723 2,63 756,6 6,5834 0,9670 6,6288dez/62 778 2,55 800,3 6,6567 0,9361 6,6850dez/63 833 2,47 832,5 6,7250 0,9042 6,7244dez/64 896 2,38 876,4 6,7979 0,8671 6,7758dez/65 954 2,29 929,3 6,8607 0,8286 6,8344dez/66 1035 2,16 984,8 6,9422 0,7701 6,8924dez/67 1099 2,09 1011,4 7,0022 0,7372 6,9191dez/68 1203 1,97 1058,1 7,0926 0,6780 6,9642dez/69 1314 1,88 1087,6 7,1808 0,6313 6,9917dez/70 1392 1,83 1085,6 7,2385 0,6043 6,9899dez/71 1470 1,84 1122,4 7,2930 0,6098 7,0232dez/72 1595 1,86 1185,9 7,3746 0,6206 7,0783dez/73 1712,91 1,85 1254,3 7,4459 0,6152 7,1343dez/74 1705,92 2,16 1246,3 7,4419 0,7701 7,1279dez/75 1747,09 2,32 1231,6 7,4657 0,8416 7,1161dez/76 1855,25 2,33 1298,2 7,5258 0,8459 7,1687dez/77 1948,36 2,44 1369,7 7,5747 0,8920 7,2223dez/78 2017,92 2,45 1438,6 7,6098 0,8961 7,2714dez/79 2071,1 2,44 1479,4 7,6358 0,8920 7,2994dez/80 2094,45 2,65 1474 7,6470 0,9746 7,2957dez/81 2147,1 2,79 1502,6 7,6719 1,0260 7,3150dez/82 2086,44 2,96 1479,98 7,6432 1,0852 7,2998dez/83 2150,96 2,92 1534,68 7,6737 1,0716 7,3361dez/84 2278,37 2,92 1639,32 7,7312 1,0716 7,4020

Sries temporais

Caso exemplo (BERNDT, 1991)Resultados gerados pelo Excel

SUMMARY OUTPUT

Regression StatisticsMultiple R 0,9942R Square 0,9884Adjusted R Square 0,9877Standard Error 0,0670Observations 34

ANOVAdf SS MS F Significance F

Regression 2 11,8963 5,9482 1325,8905 9,398E-31Residual 31 0,1391 0,0045Total 33 12,0354

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept -4,8438 0,2860 -16,9345 3,21E-17 -5,4272 -4,2605LNPELEC -0,3692 0,0762 -4,8429 3,37E-05 -0,5247 -0,2137LNGNP 1,7609 0,0373 47,1969 1,94E-30 1,6848 1,8370

Caso exemplo (BERNDT, 1991)Resultados gerados pelo Excel

Resduos da estimao

RESIDUAL OUTPUT

Observation Predicted LNKWH Residuals1 5,94 -0,142 6,01 -0,133 6,08 -0,104 6,07 -0,025 6,21 0,006 6,26 0,047 6,30 0,058 6,29 0,089 6,41 0,06

10 6,42 0,1111 6,47 0,1112 6,58 0,0713 6,66 0,0614 6,77 0,0315 6,89 -0,0216 7,01 -0,0717 7,07 -0,0718 7,17 -0,0819 7,23 -0,0520 7,24 0,0021 7,30 -0,0122 7,39 -0,0223 7,49 -0,0524 7,42 0,0225 7,38 0,0926 7,47 0,0627 7,54 0,0328 7,63 -0,0229 7,68 -0,0430 7,64 0,0031 7,66 0,0132 7,61 0,0333 7,68 -0,0134 7,79 -0,06


-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

1951

1953

1955

1957

1959

1961

1963

1965

1967

1969

1971

1973

1975

1977

1979

1981

1983

R

E

S

D

U

O

S

Sequncias de resduos positivos seguidas de sequncias de resduos negativos sugerem autocorrelao positiva

Grfico dos resduos ao longo do tempo

Caso exemplo (BERNDT, 1991)Grfico resduo em t contra resduo em t-1

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15

Resduo t-1

R

e

s

d

u

o

t

= 0,76851

=

=

= 1

1

2

21

T

tt

T

ttt

Autocorrelao serial do errotipo AR(1) com estimado em 0,77

Diagnstico da autocorrelao serial3) Teste de Durbin Watson

Empregado com a finalidade de detectar se a autocorrelao serial de primeira ordem (t = t-1 + vt) est presente.

H0: no h autocorrelao serial de primeira ordem entre os erros (=0)H1: h autocorrelao serial de primeira ordem entre os erros (0)

Estatstica teste:

A estatstica DW relaciona-se com o coeficiente :

( )

=

=

=n

t

t

n

ttt

DW

1

2

2

21

( )= 12DW Autocorrelao serial positiva >0 e DW < 2, no limite =1 e DW=0. Para erros independentes =0 e DW assume um valor prximo de 2 Autocorrelao serial negativa 2, , no limite =-1 e DW=4. 0 < DW < 4 Estimativa de em funo da estatstica DW:

n = tamanho da amostra= resduos da estimao por

mnimos quadradost

2/1 DW=


Regra de deciso do teste

20 4dL dU 4 - dU 4 - dL

Se DW < dL > 0 e rejeita H0

Se DW > 4 - dL < 0 e rejeita H0

Aceita H0=0

Teste inconclusivo Teste inconclusivo

Valores crticos tabelados em funo do tamanho da amostra, do nvel de significncia e do nmero de variveis explicativas.

Para dL < DW < dU ou 4-dU < DW < 4- dL o teste inconclusivo.


Como e a estatstica DW se relacionam, Hanke & Wichern (2006) sugerem o seguinte procedimento quando o teste inconclusivo:

Estime o coeficiente

=

=

=n

tt

n

ttt

1

2

21

H0 no rejeitada se a estimativa de pertencer ao intervalo n

20

RESIDUAL OUTPUT

Observation Predicted LNKWH Residuals1 5,94 -0,142 6,01 -0,133 6,08 -0,104 6,07 -0,025 6,21 0,006 6,26 0,047 6,30 0,058 6,29 0,089 6,41 0,06

10 6,42 0,1111 6,47 0,1112 6,58 0,0713 6,66 0,0614 6,77 0,0315 6,89 -0,0216 7,01 -0,0717 7,07 -0,0718 7,17 -0,0819 7,23 -0,0520 7,24 0,0021 7,30 -0,0122 7,39 -0,0223 7,49 -0,0524 7,42 0,0225 7,38 0,0926 7,47 0,0627 7,54 0,0328 7,63 -0,0229 7,68 -0,0430 7,64 0,0031 7,66 0,0132 7,61 0,0333 7,68 -0,0134 7,79 -0,06

Estatstica Durbin Watson (DW) = 0,39327

Menor 2 sugere autocorrelao positiva

80337.02/1 == DW


( )

=

=

=n

t

t

n

ttt

DW

1

2

2

21

t

Caso exemplo (BERNDT, 1991)n = n de observaes

n=34

K = n de variveis independentes

Para n = 34 e k = 2

Os limites tabelados ao nvel de 5% sodL = 1,514dU = 1,933

Estatstica DW = 0,39327 < dL

Logo ao nvel de significncia de 5% rejeita-se a hiptese nula de que no h autocorrelaoserial de primeira ordem no erro, ou seja, rejeita-se a hiptese de que =0

Soluo para o problema de autocorrelao serial

Detectada a presena de autocorrelao no modelo de regresso linear, ela deve ser eliminada ou modelada antes que os parmetros do modelo sejam estimados.

A soluo do problema depende da origem da autocorrelao.

Origens da autocorrelao: omisso de varivel explicativa erros autocorrelacionados em um modelo corretamente especificado

No caso de omisso de varivel explicativa a soluo consiste na incluso de nova varivel explicativa no modelo de regresso, bem como na identificao da forma funcional mais adequada para o modelo de regresso, por exemplo, linear ou quadrtica ?.

Quando os erros so autocorrelacionados a soluo do problema consiste em trabalhar com as diferenas das variveis ao longo do tempo e no com seus nveis. Ou seja, no lugar de relacionar Y com X, deve-se fazer a regresso da diferena da varivel Y na diferena da varivel X, uma soluo conhecida como mtodo das diferenas generalizadas.

Soluo para o problema de autocorrelao serialMtodo das diferenas generalizadas


Considere a equao de regresso linear com autocorrelao de primeira ordem no erro:

Erros independentes normalmente distribudos com mdia zero e varincia 2v

A equao de regresso vale para qualquer instante de tempo t, assim para t-1 temos que:

11101 ++= ttt XY Multiplicando ambos os lados da equao para t-1 pelo coeficiente tem-se:

11101 ++= ttt XY A diferena generalizada entre as equaes dos instantes t e t-1 definida como:

( ) ( ) 11101 1 ++= tttttt XXYY


ttt v+= 1

Da equao do erro temos queAs diferenas generalizadas de primeira ordem entre erros autocorrelacionados produz temos aleatrios independentes normalmente distribudos com mdia zero e varincia 2v

A diferena generalizada das equaes de regresso produz uma equao com erros independentes vt:

( ) ( ) 11101 1 ++= tttttt XXYY

ttt v= 1

tv


T equaes de regresso, uma para cada observao

( ) ( ) 11101 1 ++= TTTTTT XXYY ( ) ( ) 21211021 1 ++= TTTTTT XXYY

( ) ( ) 32321032 1 ++= TTTTTT XXYY

( ) ( ) 23231023 1 ++= XXYY( ) ( ) 12121012 1 ++= XXYY

11101 ++= TTT XY

22102 ++= TTT XY

33103 ++= TTT XY

TTT XY ++= 10

33103 ++= XY

22102 ++= XY

11101 ++= XY

- +

- +

- +

- +

- +

- +

?

?

T-1 diferenas generalizadas

Fazendo as diferenas generalizadas perde-se uma equao

.

.

.


Ao conjunto de T-1 diferenas generalizadas adiciona-se a seguinte equao:


( ) ( ) 32321032 1 ++= TTTTTT XXYY

( ) ( ) 23231023 1 ++= XXYY( ) ( ) 12121012 1 ++= XXYY

21

211

20

21 1111 ++= XY

Ao final obtm-se um conjunto de T equaes de regresso com erros independentes (a autocorrelao tipo AR(1) foi eliminada):

21

211

20

21 1111 ++= XY

. . .

erros no autocorrelacionados

Soluo para o problema de autocorrelao serialEstimao

O coeficiente no conhecido e deve ser estimado com os coeficientes de regresso .Porm, o modelo com as equaes transformadas no linear nos parmetros (note que aparece produto 9 e 1) e a estimao por mnimos quadrados ordinrios no pode ser aplicada.


( ) ( ) 32321032 1 ++= TTTTTT XXYY

( ) ( ) 23231023 1 ++= XXYY( ) ( ) 12121012 1 ++= XXYY

21

211

20

21 1111 ++= XY

. . .

Equaes de regresso transformadas

Modelo no linear nos parmetros


Equaes transformadas

( ) ( ) ( ) 3334210 3361,74020,70716,10716,116737,77312,7 +++=

21

22

21

20

2 113620,611378,1117991,5 +++=

6,43551,10195,9814195336,39831,12825,8749195226,36201,13785,799119511

LNGNPLNPELECLNKWHAnot

7,40201,07167,73121984347,33611,07167,67371983337,29981,08527,6432198232

( ) ( ) ( ) 3233210 2998,73361,70852,10716,116432,76737,7 +++=

( ) ( ) ( ) 23210 3983,64355,61282,11019,118749,59814,5 +++=( ) ( ) ( ) 12210 3620,63983,61378,11282,117991,58749,5 +++=

...

Sries histricas

Primeiras diferenas generalizadas

...

Soluo para o problema de autocorrelao serialEstimao (Algoritmo de Cochrane Orcutt)

Algortmo iterativo

1) Estime o modelo original por mnimos quadrados e obtenha a srie de resduos.

2) Use os resduos para obter uma estimativa inicial para :

3) Nas equaes de regresso transformadas substitua por sua estimativa obtida no passo 2 e estime os coeficientes de regresso por mnimos quadrados.

4) Pare se a preciso desejada for alcanada ou o n mximo de iteraes for atingido, as estimativas so os ltimos valores obtidos. Caso contrrio obtenha uma nova srie de resduos e retorne ao passo 2.

ttt XY ++= 10Modelo original ttt XY 10 =Resduos

=

=

= 1

1

2

21

T

tt

T

ttt

12

112

02

1 111 vXY ++= ( ) ( ) ttttt vXXYY ++= 1101 1 para t=2.T

para t=1 1

0

ttt XY 10 =

0 5 10 15 20 250.8

0.805

0.81

0.815

0.82

0.825

0.83

0.835

Estimativas aps as iteraes do algortmo Cochrane-Orcutt

0.803370.815180.820780.823650.825180.826010.826470.826720.826860.826940.826980.827010.827020.827030.827030.827030.827030.827040.827040.827040.827040.827040.827040.827040.82704

iteraes



RESUMO DOS RESULTADOS

Estatstica de regressoR mltiplo 0,99R-Quadrado 0,99R-quadrado ajustado 0,96Erro padro 0,04Observaes 34,00

ANOVAgl SQ MQ F F de significao

Regresso 3 4,08 1,36 970,15 6,02097E-30Resduo 31 0,04 0,00Total 34 4,12

Coeficientes Erro padro Stat t valor-P 95% inferiores 95% superioresInterseo 0 #N/D #N/D #N/D #N/D #N/Dintercepto* -4,7548 0,6056 -7,8514 0,0000 -5,9900 -3,5197LNPELEC* -0,2385 0,1244 -1,9170 0,0645 -0,4922 0,0152LNGNP* 1,7269 0,0816 21,1669 0,0000 1,5605 1,8933

Estimativas aps as iteraes do algortmo Cochrane-Orcutt

Caso exemplo (BERNDT, 1991)Estimativas por mnimos quadrados

(considera os erros no autocorrelacionados)Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Intercept -4,8438 0,2860 -16,9345 3,21E-17 -5,4272 -4,2605LNPELEC -0,3692 0,0762 -4,8429 3,37E-05 -0,5247 -0,2137LNGNP 1,7609 0,0373 47,1969 1,94E-30 1,6848 1,8370

Estimativas pelo mtodo de Cochrane-Orcutt(reconhece que os erros so autocorrelacionados e

corrige o efeito da autocorrelao do erro)Coeficientes Erro padro Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores

Interseo 0 #N/D #N/D #N/D #N/D #N/Dintercepto* -4,7548 0,6056 -7,8514 0,0000 -5,9900 -3,5197LNPELEC* -0,2385 0,1244 -1,9170 0,0645 -0,4922 0,0152LNGNP* 1,7269 0,0816 21,1669 0,0000 1,5605 1,8933

Comparando os dois conjuntos de estimativas pode-se observar que os coeficientes de regresso so da mesma ordem de grandeza.

Porm, conforme esperado, o mtodo dos mnimos quadrados subestim os erros-padro

Equao de previso com autocorrelao do erro tipo AR(1)

1101

++ += TT XY

TTT XY 1101 ++= ++

TS

STST XY 10 ++= ++

Considere t observaes

Equao para previso um passo frente sem considerar que os erros so autocorrelacionados

Equao para previso um passo frente considerando que os erros oautocorrelacionados segundo um processo AR(1)

Equao para previso S passos frente considerando que os erros oautocorrelacionados segundo um processo AR(1)

ltimo erro de previso

55,5

6

6,5

7

7,5

8

1951

1953

1955

1957

1959

1961

1963

1965

1967

1969

1971

1973

1975

1977

1979

1981

1983

L

N

k

W

H

estimadoobservado

Projees 1 passo frente sem correo AR(1)

ttt LnGNPLnPelecLnkWh 7269,12385,07548,4 +=


55,5

6

6,5

7

7,5

8

1951

1953

1955

1957

1959

1961

1963

1965

1967

1969

1971

1973

1975

1977

1979

1981

1983

L

N

k

W

H

estimadoobservado


182704,07269,12385,07548,4 ++= tttt LnGNPLnPelecLnkWh

Projees 1 passo frente com correo AR(1)

ltimo erro de previso

EXERCCIOS DE AUTOCORRELAO

Exerccio 1Considere a relao entre empregos oferecidos (JV) e a taxa de desemprego (U) :

Ln(JVt) = 1+2Ln(Ut) +tA partir das sries anuais das variveis acima, pede-se:a) Obtenha as estimativas de mnimos quadrados ordinrios dos coeficientes de

regresso da equao acima e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.

b) Faa o grfico dos resduos ao longo do tempo.c) Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existncia de autocorrelaod) Reestime o modelo para corrig-lo quanto autocorrelao e construa um

intervalo de confiana de 95% para 2.

Use o programa Gretl (http://gretl.sourceforge.net/ )

Obtenha as estimativas de mnimos quadrados ordinrios dos coeficientes de regresso da equao acima e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.

Ln(JVt) = 3,5027-1,6112Ln(Ut)

Obtenha as estimativas de mnimos quadrados ordinrios dos coeficientes de regresso da equao acima e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.

Faa o grfico dos resduos ao longo do tempo

Seqncias de resduos negativos seguidas de seqncias resduos positivossugerem a autocorrelao do erro

Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existncia de autocorrelao

H0: no h autocorrelao de primeira ordemH1: h autocorrelao de primeira ordem


Concluso: Durbin-Watson calculado < dL, logo rejeitar H0

Reestime o modelo para corrigi-lo quanto autocorrelao e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.

Cochrane-Orcuttt=2 at 24

Ln(JVt) = 3,5034-1,6001Ln(Ut)


Cochrane-Orcutt


Hildreth-Lut=2 at 24


Hildreth-Lu

Ln(JVt) = 3,5034-1,6001Ln(Ut)


Com equao de Prais-Winsten

t=1

t=2 at 24

Ln(JVt) = 3,5137-1,6160Ln(Ut)

Exerccio 2Considere a funo investimento:

It = 1+2Yt+3Rt+tem queIt = investimento no ano tYt = PIB no ano tRt = taxa de juros no ano t

A partir das sries anuais das trs variveis acima, pede-se:a) Obtenha as estimativas de mnimos quadrados ordinrios dos coeficientes de

regresso da equao de investimento.b) Faa o grfico dos resduos ao longo do tempo.c) Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existncia de autocorrelaod) Reestime o modelo para corrig-lo quanto autocorrelaoe) Preveja o nvel de investimento do prximo ano, dado que os valores

correspondente de Y e R so Y=36 e R=14. Compare com a previso com a que seria obtida com se no levasse em conta a autocorrelao.

Use o programa Gretl (http://gretl.sourceforge.net/ )

5

10

15

20

25

30

35

1970 1975 1980 1985 1990 1995

I

Investimento

5

10

15

20

25

30

35

40

1970 1975 1980 1985 1990 1995

Y

PIB

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

1970 1975 1980 1985 1990 1995

R

Taxa de juros

a) estimativas de mnimos quadrados ordinrios dos coeficientes de regresso da equao de investimento

It = 6,2249 + 0,7699Yt 0,1842Rt + t

b) faa o grfico dos resduos ao longo do tempo

Seqncias de resduos negativos seguidas de seqncias resduos positivossugerem a autocorrelao do erro

c) Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existncia de autocorrelao

Tabela Durbin-Watsonhttp://www.eco.uc3m.es/~ricmora/ECII/materials/Durbin_Watson_tables.pdf

Limites dL e dU para k=2 variveis explicativas e n=30 observaes ao nvel de 5% de significncia:dL = 1,284 e dU = 1,567 (Concluso: Durbin-Watson calculado < dL, logo rejeitar H0)

H0: no h autocorrelao de primeira ordemH1: h autocorrelao de primeira ordem

FAC e FACP dos resduos da estimao por MQO

d) Reestime o modelo para corrig-lo quanto autocorrelao

It = 7,3298 + 0,7849Yt 0,2958Rt + tt = 0,6146t-1 + vt

Cochrane-Orcutt

Reestime o modelo para corrig-lo quanto autocorrelao

It = 7,3298 + 0,7849Yt 0,2958Rt + tt = 0,6146t-1 + vt

Hildreth-Lu

Reestime o modelo para corrig-lo quanto autocorrelao

Hildreth-Lu



t=1

t=2 at 24



t=1

t=2 at 24

It = 8,7043 + 0,7338Yt 0,2894Rt + tt = 0,6275t-1 + vt

e) Previso do nvel de investimento do prximo ano, dado que os valores correspondente de Y e R so Y=36 e R=14. Compare com a previso com a que

seria obtida com se no levasse em conta a autocorrelao.

It = 8,7043 + 0,7338Yt 0,2894Rt + tt = 0,6275t-1 + vt

Equao de previso considerando a autocorrelao do termo aleatrio

It = 8,7043 + 0,7338Yt 0,2894Rt + 0,6275t-1ltimo resduo MQO

It = 8,7043 + 0,7338*36 0,2894*14 + 0,6275*2,2079 = 32,4545

It = 8,7043 + 0,7338*36 0,2894*14 = 31,3630

Previso MQG

Previso MQO

Veja planilha Excel que acompanha a apresentao para pegar o ltimo resduo (clula Q32)

e) Previso do nvel de investimento do prximo ano, dado que os valores correspondente de Y e R so Y=36 e R=14. Compare com a previso com a que

seria obtida com se no levasse em conta a autocorrelao.

Veja planilha Excel que acompanha a apresentao

Referncias bibliogrficasBerndt, E.R. The practice of econometrics classic and contemporary, Addison Wesley, California, 1996.

Gujarati, D. Econometria Bsica, terceira edio, Pearson Makron Books, So Paulo, 2000.

Hanke, J.E. ; WICHERN, D.W. Pronsticos em los negocios, octava edicin,Pearson Prentice Hall, Mxico 2006.

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