V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 1

Avaliação de momentos fletores em lajes cogumelo de concreto armado

Rosângela Maria de Oliveira(1); Luis Gonçalves Clemente(2); Iberê Martins da Silva(3)

(1) Engenheira Civil, Universidade Santa Cecília, rosa.delta@ibest.com.br (2) Engenheiro Civil, Professor Universidade Santa Cecília, lgcingc@terra.com.br (3) Mestrando em Engenharia de Estruturas EPUSP, Professor Universidade Santa Cecília, iberems@usp.br

Correspondência: Rua Oswaldo Cruz, 255 – Bloco M sala 126 – Santos – SP 11045-907 Palavras Chaves: concreto armado, laje cogumelo, análise estrutural Resumo

As lajes cogumelo de concreto são normalmente armadas em duas direções ortogonais, apoiando-se diretamente sobre pilares, ligadas monoliticamente, sem a presença de vigas.

Em princípio, as lajes cogumelo em concreto armado podem ser consideradas competitivas economicamente para vãos de aproximadamente 7 a 8 metros, tirando-se partido de capitéis ou engrossamento da laje junto aos pilares. Em vãos maiores, possivelmente uma solução com laje cogumelo protendida, laje nervurada ou grelha poderá ser mais indicada.

Neste estudo é feito um comparativo do cálculo da laje cogumelo através do método dos elementos finitos (cálculo assistido por computador) e do método dos pórticos múltiplos, que consiste em se supor que a estrutura está dividida, em cada uma das direções, em uma série de pórticos. Os pontos abordados são a divisão de faixas de momentos fletores para disposição das armaduras e a consideração do momento fletor resultante da ligação laje-pilar.

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1 Introdução

As lajes cogumelo de concreto, normalmente armadas em duas direções ortogonais, caracterizam-se por apoiar-se diretamente sobre pilares sem a presença de vigas, ligadas monoliticamente.

Lajes cogumelo de vãos não muito grandes, isto é, com vãos de cerca de 5 a 6 metros e carregamentos usuais podem ser normalmente projetadas com altura com altura constante (chamada flat-plate), solução adequada quando a face inferior da laje fica exposta, para locais onde a aparência e a estética sejam fatores importantes no local. Já para lajes com vãos maiores, ou sujeitas a grandes carregamentos, pode ser necessário o engrossamento, ou uso de capitéis para aumentar a resistência à punção na ligação laje-pilar (ligação chamada flat-slab).

Normalmente o aumento da espessura da laje tem sido mais usado, e detrimento do capitel e da mísula, devido à facilidade da execução das formas e possibilidade do aumento da resistência à punção, além do acréscimo de altura de flexão em um amplo trecho da laje.

As extremidades das lajes cogumelo podem ser livres, se apoiar sobre pilares (eventualmente através de meios-capitéis), ou sobre um apoio contínuo, como por exemplo, uma viga de extremidade, uma parede de concreto ou de alvenaria.

A solução com apoios discretos na extremidade da laje é extremamente desfavorável, deve-se sempre que possível evitá-la. Não sendo possível obter um apoio contínuo no bordo, melhor será deixar o bordo livre, locando os pilares com pequeno afastamento do bordo.

Na maioria das vezes as lajes cogumelo são contínuas, podendo-se empregá-las para vencer vãos relativamente grandes ou suportar grandes carregamentos. Sempre que possível deve-se manter a distância entre os apoios regular, de modo a facilitar o cálculo e melhorar o comportamento estrutural da laje.

Em princípio, as lajes cogumelo em concreto armado podem ser consideradas competitivas economicamente para vãos de aproximadamente 7 a 8 metros, tirando-se partido de capitéis ou engrossamento da laje junto aos pilares. Em vãos maiores, possivelmente uma solução com laje cogumelo protendida, laje nervurada ou grelha poderá ser mais indicada.

Pela sua característica de armação e apoio monolítico, ocorre singular distribuição de momentos, garantindo considerável resistência à flexão nas lajes cogumelo. Por este motivo, normalmente a capacidade resistente é ditada pelo cisalhamento, e não pela flexão. No entanto, a elevada capacidade de resistência à flexão não evita que flechas de grande magnitude venham a ocorrer, o que é indesejável. Para lajes cogumelo com estruturas geometricamente bem definidas (pilares espaçados de modo regular, com vãos de mesma ordem de grandeza nas duas direções), com predominância de carregamento uniformemente distribuído podem ser utilizados processos práticos simplificados, tais como: - método dos pórticos equivalentes (preconizado pela NBR 6118); - cálculo como viga contínua; - método empírico (ACI, válido em determinadas condições); e - tabelas para cálculo de esforços e flechas em lajes cogumelo publicadas pelo CEB.

Para estruturas mal definidas geometricamente – má distribuição de pilares, contorno irregular, presença de grandes aberturas – ou com cargas localizadas importantes, podem ser utilizados outros métodos, tais como: - linhas de ruptura (usual em lajes de menor importância); e - diferenças finitas ou elementos finitos (usuais em lajes de maior responsabilidade).

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2 Métodos de cálculo dos momentos fletores 2.1 Método dos pórticos equivalentes

O método dos pórticos equivalentes consiste em se supor que a estrutura está dividida, em cada uma das direções, em uma série de pórticos múltiplos, constituídos por um conjunto de colunas e de barras horizontais, cujas inércias serão iguais às da região da laje limitada pela metade da distância entre duas linhas de pilares.

Os pórticos, correspondentes a cada direção (eixos x e y), serão calculados independentemente uns dos outros, conduzindo à obtenção de momentos positivos e negativos nas faixas. Para o cálculo dos esforços, geralmente é necessário distinguir os pórticos externos dos internos. A NBR 6118/80, subitem 3.3.2.11 estabelece que: “a) As lajes apoiadas diretamente sobre pilares serão calculadas em regime elástico ou rígido-plástico. b) Quando os pilares estiverem dispostos em filas ortogonais e a espessura da laje respeitar o mínimo do subitem 6.1.1.1, será permitido calcular em regime elástico o conjunto laje-pilares como pórticos múltiplos, admitindo-se a laje dividida em duas series ortogonais de vigas e considerando-se no cálculo de cada série o total das cargas. A distribuição dos momentos, se dividirem os painéis das lajes, com os cantos correspondendo aos pilares, em quatro faixas iguais, será feita do seguinte modo: - 45 % dos momentos positivos para as duas faixas internas; - 27,50 % dos momentos positivos para cada uma das faixas externas; - 25 % dos momentos negativos para as duas faixas internas; - 37,50 % dos momentos negativos para cada uma das faixas externas.”

Figura 1 – Divisão do painel em faixas (CUNHA & SOUZA (1994))

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Figura 2 – Construção dos pórticos (CUNHA & SOUZA (1994)) 2.2 Método dos Elementos Finitos 2.2.1 Noções preliminares

O Método de Elementos Finitos é um método matemático-computacional para análise de problemas do contínuo. Ocorre uma semelhança física entre o modelo em elementos finitos e a situação física real, não sendo este uma abstração matemática difícil de ser visualizada.

A análise de tensões pelo método dos elementos finitos tem crescido muito recentemente, na mesma velocidade de evolução da capacidade de processamento dos computadores. Esse tipo de análise tem se mostrado muito útil nos casos em que não há meios analíticos precisos para a determinação das tensões e deformações, devido à complexidade da geometria ou do carregamento. Além disso, ao permitir a visualização do comportamento (deformada), facilita a otimização do projeto.

Inicialmente o método foi usado em cálculo estrutural (década de 60), hoje é largamente aplicado em problemas de campo. Algumas das análises que podem ser executadas pelo método de elementos finitos e suas áreas de aplicação: - estática linear de tensões e deformações (edifícios, pontes, torres, componentes mecânicos em geral, tubulações industriais,...); - dinâmica (modos de vibração e freqüências naturais) - análise não-linear de tensões e deformações (conformação, grandes deformações) - térmica (transmissão de calor em regime permanente e transiente) - escoamento de fluídos (aerodinâmica, hidrodinâmica) - campos elétricos (condutores, isolantes, eletrodeposição e corrosão) e magnéticos .

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Os engenheiros civis foram os primeiros a utilizarem a análise por elementos finitos, conhecido como "Método de Análise Matricial de Estruturas". Dividir uma estrutura em elementos era quase natural, nas estruturas em análise era também natural o elemento, principalmente em treliças e vigas rebitadas ou soldadas. A estrutura real é transformada matematicamente numa série de elementos. 2.2.2 Cálculo assistido por computador O processamento de uma estrutura através de um software baseado na teoria do Método dos Elemento Finitos possui basicamente a seqüência abaixo:

- Modelagem: Consiste no desenho em CAD da estrutura a ser calculada. Pode ser executado no próprio programa, ou importado de outros via desenho ou texto.

- Malha de elementos finitos: Consiste na discretização da estrutura, ou seja, a sua divisão em elementos conectados por nós.

- Condições de Contorno: - Restrições: definem como a estrutura se relaciona com o meio ambiente

(engastamentos). - Carregamentos: definem as solicitações as quais a estrutura está

submetida (forças nodais, pressões, momentos, carga térmica, etc.). - Propriedades do Material: definição das características físicas do material a ser

utilizado na estrutura (módulo de elasticidade, densidade, coeficiente de Poisson). - Processamento: montagem da matriz de rigidez e cálculo dos deslocamentos

nodais e tensões. - Deslocamentos: a estrutura pode ser visualizada deformada e podem-se

conhecer também os deslocamentos individuais de cada nó. - Tensões: As tensões podem ser visualizadas (na forma de mapas de cores) nas

direções principais, os valores máximos e mínimos principais ou de acordo com os critérios de resistência. Em alguns casos ao invés de tensões são fornecidos esforços solicitantes. 3 Aplicação 3.1 Dados iniciais

Segue um comparativo do cálculo de momentos fletores numa laje cogumelo em concreto armado pelo método simplificado (pórticos equivalentes), e através do método dos Elementos Finitos utilizando o software SAP2000n, de modo a avaliar as diferenças nos resultados obtidos, e buscar suas justificativas. A laje (piso de um edifício) representada na figura 3, possui as características a seguir: - concreto fck = 25 MPa; - aço CA-50A; - pé-direito: 4,50 m (altura livre); - espessura da laje: h = 24 cm; - carregamento médio: p = 10 kN/m2.

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P1 P2 P3 P4

P5 P6 P7 P8

P9 P10 P11 P12

Figura 3 – Desenho esquemático da laje em estudo 3.2 Cálculo pelo método dos pórticos equivalentes Cargas nas faixas: - carga que atua na direção x, com largura y :

px = p⋅ y = 10,00⋅6,50 = 65,00 kN/m

- carga que atua na direção y, com largura x :

py = p⋅ x = 10,00⋅7,25 = 72,50 kN/m

Figura 4 – Momentos fletores no pórtico da direção x

Medidas em metros

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- Decomposição dos momentos fletores (figura 1) – pórtico x:

M1 = -182,00 kN⋅m ⇒ faixa externa: 1182 0,375 42,00

1,625kN m

mem ⋅− ⋅

= = −

⇒ faixa interna: 1182 0,250 14,00

3,25kN m

mim ⋅− ⋅

= = −

M2 = +179,00 kN⋅m ⇒ faixa externa: 2179 0,275 30,30

1,625kN m

mem ⋅⋅

= =

⇒ faixa interna: 2179 0,450 24,80

3,25kN m

mim ⋅⋅

= =

M3 = -320,00 kN⋅m ⇒ faixa externa: 3320 0,375 73,85

1,625kN m

mem ⋅− ⋅

= = −

⇒ faixa interna: 3320 0,250 24,60

3,25kN m

mim ⋅− ⋅

= = −

M4 = +132,00 kN⋅m ⇒ faixa externa: 4132 0,275 22,35

1,625kN m

mem ⋅⋅

= =

⇒ faixa interna: 4132 0,450 18,30

3,25kN m

mim ⋅⋅

= =

Figura 5 – Momentos fletores no pórtico da direção y

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- Decomposição dos momentos fletores (figura 1) – pórtico y:

M1 = -130,00 kN⋅m ⇒ faixa externa: 1130 0,375 26,90 1,8125

kN mmem ⋅

− ⋅= = −

⇒ faixa interna: 1130 0,250 8,95

3,625kN m

mim ⋅− ⋅

= = −

M2 = +166,00 kN⋅m ⇒ faixa externa: 2166 0,275 25,20

1,8125kN m

mem ⋅⋅

= =

⇒ faixa interna: 2166 0,450 20,60

3,625kN m

mim ⋅⋅

= =

M3 = -320,00 kN⋅m ⇒ faixa externa: 3316 0,375 65,40 1,8125

kN mmem ⋅

− ⋅= = −

⇒ faixa interna: 3316 0,250 21,80

3,625kN m

mim ⋅− ⋅

= = −

3.3 Cálculo pelo método dos Elementos Finitos

A laje da figura 3 foi modelada no software SAP2000n através de elementos de

placa, sendo os pilares substituídos por molas de translação e rotação.

Figura 6 – Malha de elementos que representam a laje

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Após o processamento, obtém-se os seguintes mapas de momentos fletores:

Figura 7 – Mapa de momentos fletores na direção x

Figura 8 – Mapa de momentos fletores na direção y

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Momentos fletores extraídos nas faixas interna e externa da direção x, de modo

compatível ao cálculo pelo método dos pórticos equivalentes: m1e = -122,00 kN⋅m (min) -12,00 kN⋅m (max) -45,0 kN⋅m (med) m1i = -6,00 kN⋅m (min) +1,50 kN⋅m (max) -1,60 kN⋅m (med) m2e = +28,50 kN⋅m (min) +31,70 kN⋅m (max) +30,30 kN⋅m (med) m2i = +24,20 kN⋅m (min) +27,20 kN⋅m (max) +25,50 kN⋅m (med) m3e = -109,00 kN⋅m (min) -36,80 kN⋅m (max) -65,00 kN⋅m (med) m3i = -27,20 kN⋅m (min) -13,50 kN⋅m (max) -19,50 kN⋅m (med) m4e = +21,50 kN⋅m (min) +26,00 kN⋅m (max) +24,20 kN⋅m (med) m4i = +18,00 kN⋅m (min) +21,20 kN⋅m (max) +19,40 kN⋅m (med)

Momentos fletores extraídos nas faixas interna e externa da direção y, de modo compatível ao cálculo pelo método dos pórticos equivalentes: m1e = -105,00 kN⋅m (min) -3,00 kN⋅m (max) -37,30 kN⋅m (med) m1i = -3,00 kN⋅m (min) +4,00 kN⋅m (max) +2,00 kN⋅m (med) m2e = +21,00 kN⋅m (min) +27,00 kN⋅m (max) +24,60 kN⋅m (med) m2i = +17,70 kN⋅m (min) +21,00 kN⋅m (max) +18,80 kN⋅m (med) m3e = -97,50 kN⋅m (min) -21,50 kN⋅m (max) -55,40 kN⋅m (med) m3i = -21,50 kN⋅m (min) -7,50 kN⋅m (max) -12,00 kN⋅m (med) 4 Conclusão As diferenças encontradas entre o valor médio do cálculo por elementos finitos e o valor do cálculo por pórticos equivalentes (tabelas 1 e 2) demonstram variações pequenas nos pontos dos momentos positivos (abaixo de 10%), porém nos pontos dos momentos negativos as variações atingem porcentagens expressivas. O problema ocorrido com os momentos negativos vem da consideração das faixas para o método dos pórticos equivalentes que possui a tendência de superestimar a ligação laje-pilar, ou seja, um ponto da faixa situado a 2,00 m do pilar sofre influência dos seus vínculos como se estivesse ligado diretamente ao nó. Tabela 1 – Quadro comparativo de momentos fletores – pórtico na direção x

direçãox

m1e 42.00 45.00 7.14%m1i 14.00 1.60 -88.57%m2e 30.30 30.30 0.00%m2i 24.80 25.50 2.82%m3e 73.85 65.00 -11.98%m3i 24.60 19.50 -20.73%m4e 22.35 24.20 8.28%m4i 18.30 19.40 6.01%

pórticos equivalentes elementos finitos variação

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Tabela 2 – Quadro comparativo de momentos fletores – pórtico na direção y

direçãoy

m1e 26.90 37.30 38.66%m1i 8.95 -2.00 -122.35%m2e 25.20 24.60 -2.38%m2i 20.60 18.80 -8.74%m3e 65.40 55.40 -15.29%m3i 21.80 12.00 -44.95%

pórticos equivalentes elementos finitos variação

A quantificação numérica deste erro depende de vários fatores, entre os quais, dimensão dos vãos, proximidade das bordas, intensidade do carregamento, rigidez das peças, presença de engrossamentos ou capitéis na laje, etc. Além da diferença no valor médio percebe-se grande variação nos valores dos momentos dentro da faixa de ¼ do vão, o que indicaria o estudo de uma faixa mais estreita junto aos apoios para obtenção de melhores resultados e por conseguinte um dimensionamento mais eficiente. Observa-se que ao método dos pórticos equivalentes, caberia uma correção das faixas de momento por coeficientes tabelados em função dos fatores acima, como também uma revisão da largura das faixas, porém isto alteraria seu caráter de método simplificado. Em alternativa à modelagem com elementos de placas, foi elaborada outra com elementos de barras nas duas direções (que possibilita uma interpretação mais simples e direta), gerando resultados muito próximos à primeira.

Figura 9 – Configuração deformada do modelo da laje em estudo – SAP2000n

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5 Referências CUNHA, A. J. P.; SOUZA, V. C. M.. Lajes em concreto armado e protendido. Niterói, Eduff, 1994. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118/80. São Paulo, 1980. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Texto de revisão da NBR 6118. São Paulo, 2001. ASSAN, A. E.. Método dos Elementos Finitos: Primeiros Passos. Campinas, Unicamp, 1999.