Capítulo 5 – Estrutura dos materiais 1*. O vanádio (V) apresenta estrutura cúbica de corpo centrado (CCC), sendo o

parâmetro da rede 0,304nm e o peso atómico 50,942g/mol. O número de Avogadro é mol100236 23

/,NA ×= .

(a) A densidade teórica do V é:

1 3g/cm01,3

2 3g/cm042,12

3 3g/cm021,6

(b) A disposição dos átomos nos planos { }110 do V é:

1 A 2 B

3 C

(c) A densidade atómica planar, em átomos/mm2, dos planos referidos na alínea

(b) é:

1 121064,21 ×

2 1210303,15 ×

3 121082,10 ×

(d) Os índices das direcções de escorregamento mais prováveis do V, contidas no

plano ( )110 são:

1 110

2 111

3 [ ]111 e [ ]111

(e) O ângulo de difracção, 2θ, para o qual ocorre a difracção pelos planos { }110 ,

utilizando raios-X cujo comprimento de onda é 1,5418Å, é:

1 42,03º

2 91,66º 3 21,02º

2. O Molibdénio (Mo) apresenta estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC)

sendo o seu raio atómico e o seu peso atómico 0,1363nm e 95,94g/mol, respectivamente. Número de Avogadro = 6,023 × 10²³/mol.

(a) Um átomo de Mo pesa:

1 1,593g

2 1,593 × 10-22 kg

3 1,593 × 10-25 kg

(b) O parâmetro de rede a do Mo é:

1 3,148 × 10-8 cm

2 3,855 × 10-8 cm

3 2,526 × 10-8 cm

(c) O número de átomos que existem num centímetro cúbico de Mo é:

1 6,982 × 1022

2 6,413 × 1022

3 6,204 × 1022

(d) A densidade teórica do Mo é:

1 11,122 g/cm3

2 10,215 × 103 kg/m3

3 9,882 g/cm3

(e) O factor de compacidade atómica do é:

1 52%

2 68%

3 74%

(f) A disposição dos átomos no plano ( )101 da estrutura do Mo é:

1 A 2 B 3 C

(g) O número de átomos que existem num centímetro quadrado do plano referido na alínea (f) é:

1 4,758 × 1014 2 1,427 × 1015 3 2,216 × 1015

(h) Os índices das direcções de máxima compacidade contidas no plano ( )101 do

Mo são:

1 111

2 [ ]111 e [ ]111 3 [ ]111 e [ ]111

(i) O número de átomos que existem em 2cm de comprimento das direcções referidas na alínea (h) é:

1 3,668 × 107 2 7,337 × 107 3 1,467 × 108

(j) A estrutura cristalina do Mo foi determinada utilizando difracção de raios-X.

Sabendo que a difracção (de primeira ordem) pelos planos { }110 ocorreu para um ângulo 2θ=40,534º, o comprimento de onda λ dos raios-X utilizados seria:

1 1,542nm 2 1,542Å 3 0,771Å

3. O tântalo (Ta) apresenta estrutura cúbica de corpo centrado (CCC), sendo a sua

densidade e peso atómico, respectivamente, 16,6 3g/cm e 180,9g/mol.

(a) A rede cristalina do Ta é: 1 cúbica simples 2 cúbica de faces centradas 3 cúbica de corpo centrado (b) O número de coordenação do Ta é: 1 6 2 8 3 12

(c) O número de átomos existentes em 1 3cm de Ta é:

1 22105275 ×,

2 19105275 ×, 3 5275,

(d) O volume (em 3cm ) de uma célula unitária (célula estrutural) de Ta é:

1 20106193 −×,

2 23106193 −×,

3 23102367 −×, (e) O raio atómico do Ta (em nm) é: 1 1,432 2 0,1432 3 0,1804

(f) A densidade atómica planar dos planos { }100 (em átomos/ 2cm ) é:

1 12101409 ×,

2 14101409 ×,

3 14107605 ×, (g) Os índices das direcções de máxima compacidade do Ta são: 1 111

2 011

3 { }111 (h) Utilizando raios-X de comprimento de onda 0,1541nm, fez-se um ensaio de

difracção de uma amostra de Ta. Verificou-se que ocorreu difracção para um ângulo 2θ=38,465º. Os índices de Miller dos planos cristalográficos que originaram essa difracção são:

1 { }001 2 { }110 3 { }111

4*. O irídio (Ir) apresenta estrutura cristalina cúbica de faces centradas (CFC) sendo o

seu raio atómico 0,135nm. O peso atómico do Ir é 192,2g/mol. Número de Avogadro = 6,023 × 1023/mol.

(a) Calcule o parâmetro de rede a do Ir. (b) Calcule o número de átomos de Ir que existem num centímetro cúbico do

material. (c) Calcule a densidade teórica do Ir, em g/cm3. (d) Considere que o plano do papel representa o plano da estrutura do Ir.

Represente a disposição dos átomos nesse plano. (e) Indique os índices das direcções de máxima compacidade contidas no plano

. (f) Calcule a densidade atómica linear nas direcções do Ir referidas na alínea (e),

em átomos/mm. (g) Indique quais os sistemas de escorregamento mais prováveis para o Ir. (h) A estrutura cristalina do Ir foi determinada utilizando difracção de raios-X, cujo

comprimento de onda era 0,1541nm. Calcule o ângulo 2θ correspondente à difracção pelos planos { }111 (considerando difracção de primeira ordem, n=1).

5. O ouro (Au) apresenta estrutura cúbica de faces centradas (CFC), sendo o

parâmetro da rede 0,408nm e o peso atómico 196,97g/mol.

(a) O factor de compacidade atómica do ouro é:

1 78%

2 74%

3 68% (b) A densidade do ouro é:

1 9,64g/cm3

2 19270kg/m3

3 192,7 g/cm3

(c) A densidade atómica planar do plano (1 1 0) em átomos/mm2 é:

1 8,5 x 1012

2 8,5 x 1014

3 6,37 x1012

(d) O plano 1 1 0( ) contém a direcção de máxima compacidade:

1 [ ]011

2 [ ]111

3 [ ]001

(e) Utilizando raios-X cujo comprimento de onda é 1,5418Å, a difracção de 1ª

ordem pelos planos 1 1 0( ) ocorre para um ângulo de Bragg θ tal que sen2θ é:

1 0,714

2 0,0714

3 0,2856 6*. O paládio (Pd) apresenta estrutura cristalina cúbica de faces centradas (CFC)

sendo a sua densidade e o seu peso atómico 12,0g/cm³ e 106,4g/mol, respectivamente. Número de Avogadro = 6,023 × 10²³/mol. (a) Um átomo de Pd pesa:

1 261077,1 −× kg

2 22107,17 −× g

3 221077,1 −× g

(b) No Pd, a % do volume ocupada pelos átomos é:

1 74

2 68

3 50

(c) O parâmetro da rede a do Pd é:

1 2,451Å

2 0,3890nm

3 0,2951nm

(d) O raio atómico do Pd é:

1 0,1684nm

2 1,945Å

3 0,1375nm (e) O número de átomos existentes em 1cm³ de Pd é:

1 22108,6 ×

2 23108,6 ×

3 22104,3 ×

(f) A disposição dos átomos no plano ( )111 da estrutura do Pd é:

1 A

2 B

3 C

(g) O número de átomos que existem num milímetro quadrado do plano referido na

alínea (f) é:

1 12109 ×

2 13105,1 ×

3 14102×

(h) A distância interplanar dos planos referidos na alínea (f) é:

1 0,1123nm

2 0,1297nm

3 0,2245nm

(i) Os índices das direcções de máxima compacidade contidas no plano ( )111 do Pd são:

1 [ ]101 , [ ]101 e [ ]110

2 110

3 [ ]111 , [ ]111 e [ ]111

(j) O número de átomos que existem num milímetro das direcções referidas na

alínea (i) é:

1 8102×

2 6108×

3 6106,3 ×

(l) Em relação às direcções referidas na alínea (i), a direcção [ ]111 é:

1 igualmente compacta

2 mais compacta

3 menos compacta

(m) A estrutura cristalina do Pd foi determinada utilizando difracção de raios-X cujo comprimento de onda era λ=0,1541nm. O ângulo 2θ para o qual ocorreu a difracção (de primeira ordem) pelos planos { }111 foi:

1 30,109º

2 20,072º

3 40,145º 7. O cobre apresenta estrutura cúbica de faces centradas (CFC), sendo o seu

parâmetro da rede a = 0,3615nm. A massa atómica do cobre é 63,54g/mol. (a) A massa, em gramas, de um átomo de cobre é:

1 2210354,6 −× g

2 1,055g

3 2210055,1 −× g

(b) O número de átomos existentes em 1g de cobre é:

1 2710479,9 ×

2 2110574,1 ×

3 2110479,9 ×

(c) O factor de compacidade atómica do cobre è:

1 0,50 2 0,68 3 0,74

(d) O raio atómico do cobre é:

1 0,157nm 2 1,278Å 3 1,808Å

(e) A densidade teórica do cobre é:

1 3g/cm23,2

2 3g/cm46,4

3 3g/cm93,8

(f) Os índices de Miller e a densidade atómica planar, em 2átomos/mm , dos planos de máxima compacidade do cobre são, respectivamente:

1 { }001 e 1610767,1 ×

2 { }111 e 1310531,1 ×

3 { }111 e 1310767,1 ×

(g) O espaçamento interplanar dos planos ( )111 é:

1 nm2087,0

2 nm1044,0 3 nm4174,0

(h) Os índices das direcções de máxima compacidade contidas no plano ( )111 são:

1 110

2 [ ]111 e [ ]111

3 [ ]011 , [ ]101 e [ ]011

(i) Segundo a direcção [ ]110 , o número de átomos que existem num milímetro é:

1 91091,3 ×

2 61077,2 ×

3 61091,3 ×

(j) A determinação da estrutura cristalina do cobre foi feita utilizando difracção de raios-X. Verificou-se que a difracção pelos planos { }111 ocorreu para um ângulo 2θ = 48,143º. O comprimento de onda dos raios-X utilizados foi de:

1 0,771Å 2 0,3082nm 3 0,1541nm

8*. O cobalto (Co) apresenta estrutura cristalina hexagonal compacta (HC) com uma

relação 623,1=ac . O raio atómico do cobalto é 0,1253nm e a massa atómica é 58,93g/mol.

(a) O número de coordenação do cobalto é:

1 12 2 8 3 6

(b) O número de átomos existentes na célula estrutural do cobalto é:

1 3 2 6 3 2

(c) O parâmetro a da rede do cobalto é:

1 0,3544nm 2 0,2506nm 3 0,2894nm

(d) O número de átomos existentes em 1g de cobalto é:

1 2110479,9 ×

2 2110574,1 ×

3 2210022,1 ×

(e) A densidade teórica do cobalto é:

1 3g/cm107,5

2 3g/cm423,4

3 3g/cm846,8

(f) Os índices de Miller-Bravais e a densidade atómica planar, em 2átomos/mm , dos planos de máxima compacidade do cobalto são, respectivamente:

1 { }0002 e 1310839,1 ×

2 { }0001 e 1310592,1 ×

3 { }0002 e 1910839,1 ×

(g) Os índices das direcções de máxima compacidade contidas nos planos

referidos na alínea (f) são:

1 [ ] [ ]010,100 e [ ]110

2 001

3 [ ] [ ]101,011 e [ ]001

(h) A densidade atómica linear das direcções referidas na alínea (g) é:

1 610990,3 × átomos/mm

2 610459,2 × átomos/mm

3 910990,3 × átomos/mm

9*. O ferro (Fe) sofre, ao ser aquecido, uma transformação ao atingir-se a temperatura

de 912ºC, passando a estrutura cristalina de cúbica de corpo centrado (CCC) para cúbica de faces centradas (CFC). À temperatura de 912ºC, o raio atómico do Fe é 0,126 nm e o seu peso atómico é 55,8 g/mol. Número de Avogadro =

2310023,6 × /mol.

(a) A massa de um átomo de Fe é:

1 55,8 g

2 2610264,9 −× kg

3 2310264,9 −× kg (b) A transformação isotérmica que o Fe sofre ao atingir-se a temperatura de

912ºC designa-se:

1 fusão 2 alotrópica 3 evaporação

(c) A uma temperatura ligeiramente superior a 912ºC, o número de coordenação

do Fe é:

1 8 2 12 3 6

(d) O parâmetro de rede do Fe à temperatura referida na alínea (c) é:

1 a = 0,2910 nm

2 a = 7103564,0 −× cm 3 a = 0,2520 µm

(e) À temperatura referida na alínea (c) a densidade teórica do Fe é:

1 7,519 g/cm3 2 8,187 g/cm3

3 6978 kg/m3

(f) À temperatura ambiente, o factor de compacidade atómica do Fe é:

1 74% 2 68% 3 52%

(g) A percentagem de variação de volume que ocorre quando a estrutura cristalina do Fe passa de CCC para CFC é:

1 +8,144% 2 -8,144%

3 -5,078

(h) A uma temperatura ligeiramente inferior a 912ºC. a disposição dos átomos no plano ( )011 da estrutura do Fe é:

1 A 2 B 3 C

(i) A densidade atómica planar do plano ( )011 do Fe, nas condições referidas na alínea (h) é:

1 1210273,14 × átomos/mm2

2 1210702,16 × átomos/mm2

3 1210621,23 × átomos/mm2

(j) Os índices das direcções de máxima compacidade contidas no plano ( )011 do Fe, nas condições referidas na alínea (h), são:

1 [ ]111 e [ ]111

2 111

3 [ ]101 e [ ]011

(l) A densidade atómica linear das direcções referidas na alínea (j) é:

1 610968,3 × átomos/mm

2 610437,3 × átomos/mm

3 610806,2 × átomos/mm

(m) Efectuou-se um ensaio de difracção de raios-X numa amostra de Fe a uma

temperatura ligeiramente superior a 912ºC, utilizando raios-X de comprimento de onda 0,1541 nm. Verificou-se que ocorreu difracção de 1ª ordem pelos planos { }111 para o ângulo 2θ:

1 43,983° 2 48,499° 3 24,250°

10*. Considere o óxido de ferro (FeO) que apresenta a estrutura do NaCl. Os raios

iónicos do +2Fe e do -2O são, respectivamente, 0,087nm e 0,132nm. Os pesos atómicos do Fe e do O são, respectivamente, 55,847g/mol e 16,000g/mol.

(a) A rede cristalina do FeO é: 1 cúbica de faces centradas 2 cúbica de corpo centrado 3 cúbica simples (b) O número de coordenação do FeO é: 1 4 2 6 3 8 (c) O parâmetro de rede (a) da célula estrutural do FeO é: 1 0,566nm 2 0,253nm 3 0,438nm

(d) A densidade do FeO, em 3g/cm , é: 1 5,678 2 4,259 3 2,839 (e) A densidade planar, em iões por nanómetro quadrado, nos planos ( )110 do

FeO é: 1 7,3715 2 14,743 3 5,5286

(f) A densidade linear, em iões por nanómetro, na direcção [ ]110 do FeO é: 1 6,4576 2 3,2288 3 4,8432

11*. Indique os índices das direcções e dos planos representados nas figuras.

12*. Desenhe em cubos unitários

(a) os planos com os seguintes índices de Miller:

i) 123 ( ); ii)

012 ( ); iii)

33 1( ); iv)

122 ( ); v)

235( )

(b) as direcções com os seguintes índices:

i) 123 [ ]; ii)

012 [ ]; iii)

33 1[ ]; iv)

122 [ ]; v)

235[ ]

13*. Num metal com estrutura CFC., uma deslocação é paralela à intersecção de dois planos

111{ }, respectivamente

111( )e

11 1 ( ). O vector de Burgers da deslocação é

r b =

a

2110[ ].

(a) Classifique a deslocação e indique os índices de Miller do plano de escorregamento. Justifique.

(b) Suponha que se aplica uma tensão normal de valor = 100 MPa, sendo a respectiva força aplicada ao longo da direcção

111[ ]. Usando a lei de Schmid,

τ = σcosλcosϕ, calcule a tensão de corte que actua no sistema de escorregamento formado pelo plano de escorregamento que determinou na alínea (a) e pela direcção de escorregamento

110[ ].

Outros exercícios do livro “Princípios de Ciência e Engenharia de Materiais”, William F. Smith, McGraw-Hill de Portugal Lda., Lisboa, 1998.

3.35; 3.3.11; 3.3.22; 3.4.2; 3.5.3; 3.5.5; 3.6.2; 3.6.3; 3.6.10; 3.6.14; 3.6.15; 3.7.3; 3.9.1; 3.10.3; 3.11.6; 3.11.8; 4.4.2; 4.4.3; 6.5.3; 6.5.4; 6.5.5; 10.2.5; 10.2.7