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Controle moderno
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PID e Lugar das Razes
1. Controlador PID
2. Minorsky (1922), Directional stability of automatically steered bodies,
Journal of the American Society of Naval Engineers, Vol. 34, pp. 284
Pilotagem de navios
3. Exemplo de projeto PID utilizando o LR
cReinaldo M. Palharespag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID
B O controlador PID e largamente utilizado na industria. Embora tenha uma
estrutura de tres termos relativamente simples:
u(t) = KP e(t) +KD e(t) +KI
e(t)dt
L
Gc(s) =U(s)
E(s)= KP +KD s+
KI
s
e muito robusto e pode ser usado tambem onde nao se conhece muito
precisamente o modelo da planta
Metodo de Ziegler-Nichols Leia na pagina do curso o artigo: Revisitando o
Metodo de Ziegler-Nichols para Sintonia de PID...
Outros metodos ad hoc simulacao interativa por computador ...
cReinaldo M. Palharespag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID
B O processo de selecao do ganho PID e chamado de sintonia
Controlador Proporcional Considerando KD = KI = 0, o PID e um
controlador proporcional que pode ser visto como um controle devolume
Aumentando-o ajuda a reduzir os efeitos dos disturbios e a sensibilidade a
variacao de parametros na planta
Porem nao rejeita completamente disturbios, e erros em estado estacionario
geralmente irao persistir
Tambem aumentando muito o ganho pode levar o sistema em malha fechada
a instabilidade e amplificacao de rudos de medidas presentes no sistema
Um ponto positivo e a sua simplicidade ...
cReinaldo M. Palharespag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID
Controlador Integral Considerando KD = KP = 0, o PID e um
controlador integral
As vantagens geradas pelo controlador integral incluem reducao ou eliminacao
de erros de seguimento em estado estacionario
Isto e fruto do fato que usando o controlador integral aumenta-se o tipo do
sistema de um... De modo que uma planta tipo 1 com um controlador integral
pode seguir uma entrada rampa com ess = 0
Pode-se associar um controlador integral e proporcional e obter um
controlador PI
Gc(s) = Kp +KI
s
cReinaldo M. Palharespag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID
Controlador Derivativo Considerando KP = KI = 0, o PID e um
controlador derivativo que permite aumentar o amortecimento emelhorara
estabilidade do sistema
Normalmente o controlador derivativo e usado em conjunto com o
proporcional e/ou integral. O controlador PD e
Gc(s) = Kp +KDs
O termo derivativo e implementado na forma KDs/(ds+ 1), com
d
Controlador PID
Veja que o PID pode ser reescrito na forma
Gc(s) = KP +KD s+KI
s
=KD s
2 +KP s+KI
s
= KDs2 + KP
KDs+ KI
KD
s
= KD(s+ z1) (s+ z2)
s
B K = KD; z1 + z2 =KPKD
e z1z2 =KIKD
...
cReinaldo M. Palharespag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID e LR Exemplo
Navegacao Autonoma em Rodovias Inteligentes Controle de Velocidade
Este exemplo e adaptado do DP7.12 (Dorf e Bishop)
B Objetivo de controle
Manter a velocidade prescrita entre dois veculos,
e manobrar o veculo ativo conforme comandado
B Variavel a ser controlada
Velocidade relativa entre os veculos, denotado por y(t)
cReinaldo M. Palharespag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID e LR Exemplo
B Especificacoes de projeto
E1. Erro em regime nulo para uma entra degrau
E2. Erro em regime para uma entrada rampa < 25% da magnitude da entrada
E3. Mp < 5% para uma entrada degrau
E4. ta < 1.5s para uma entrada degrau (criterio de 2%)
cReinaldo M. Palharespag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID e LR Exemplo
B Considere realimentacao unitaria. Controlador ?
B Planta: sistema automotivo
G(s) =1
(s+ 2)(s+ 8)
O que fazer com as especificacoes ?
E1 Tipo do sistema G(s) ? Tipo 0. Logo o controlador devecrescero tipo
do sistema para ao menos 1, a fim de que ess = 0 para entrada degrau e
ess
Controlador PID e LR Exemplo
E2 Para satisfaze-la, analise a constante de velocidade
Kv = lims0
sGc(s)G(s) 1
0.25= 4
(ess =
1
Kv Kv =
1
0.25
)
E3 A especificacao de sobre-elevacao implica
Mp 5% 0.69
E4 Da especificacao de tempo de acomodacao
ta 4
n 1.5 n 2.66
cReinaldo M. Palharespag.10 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID e LR Exemplo
B Regiao desejada para alocar os polos em malha fechada ?
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 220
15
10
5
0
5
10
15
20
10
7.5
5
2.5
0.54
0.09
15
0.84
20
0.3
10
12.5
0.42
15
0.68
17.5
20
0.54 0.20.68 0.42
0.95
5
0.84
2.5
7.5
0.09
12.5
0.217.5
0.3
0.95
Real Axis
Root Locus Editor (C)
Imag
Axis
cReinaldo M. Palharespag.11 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID e LR Exemplo
B Polos da planta ?
10 8 6 4 2 0 210
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
2
10
8
6
0.220.72
0.22
0.44
4
0.962
0.44
0.96
0.1
0.86
10
0.58
4
0.86
6
0.10.72 0.32
8
0.58
0.32
Real Axis
Root Locus Editor (C)
Imag
Axis
cReinaldo M. Palharespag.12 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID e LR Exemplo
Controlador ? Gc = K ? Infelizmente nao satisfaz as especificacoes E1 e E2,
ja que o sistema em malha fechada deve ser do tipo 1 para obter ess = 0 para
entrada degrau e ess < 0.25 para entrada rampa
Alternativa ? O controlador deve ter ao menos um polo na origem... Considere
um controlador PI
Gc(s) = KP +KI
s=
KP s+KI
s= KP
s+ KIKP
s
B Onde alocar o zero z = KIKP
?
B Para quais valores de Kp e KI o sistema e estavel? FT em malha fechada
T (s) =Kps+KI
s3 + 10s2 + (16 +KP )s+KI
cReinaldo M. Palharespag.13 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID e LR Exemplo
B Arranjo de Routh associado
s3 1 16 +KP
s2 10 KI
s1 c3
s0 KI
{c3 =
10(KP + 16)KI
10> 0
KI > 0
KP >KI
10 16
cReinaldo M. Palharespag.14 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID e LR Exemplo
B Da especificacao E2 obtem-se
Kv = lims0
sGc(s)G(s)
= lims0
sKP
(s+ KI
KP
)s
1
(s+ 2)(s+ 8)
=KI
16> 4
Portanto KI > 64
cReinaldo M. Palharespag.15 Controle de Sistemas Lineares Aula 10
Controlador PID e LR Exemplo
B Naturalmente como no LR havera 3 polos (s = 0, 2, 8) e 1 zero
(s = KI/KP ), dois ramos seguirao para os zeros em infinito ao longo de duas
assntotas em = 900 e 900 e centradas em
=
pi
zi
np nz=2 8
(KIKP
)3 1
= 5 +1
2
KI
KP
B Da restricao de tempo de acomodacao, n < 2.66, entao
5 +1
2
KI
KP< 2.66
ou
KI
KP 64
KP >KI
10 16
KI
KP