BETO BRITO LITERATURA - contatomaceio.com.brcontatomaceio.com.br/enem_downloads/65_arquivo.pdf · GEOMETRIA PLANA - ENEM Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico

SOLON RAMOS MATEMÁTICA VI

GEOMETRIA PLANA - ENEM

Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

H6 - Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de

espaço e forma. H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de

argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

GEOMETRIA PLANA - LEMBRETES

1 – INTRODUÇÃO – POSTULADOS / POSIÇÕES RELATIVAS

2 – ÂNGULOS – CLASSIFICAÇÃO / SISTEMA DE MEDIDAS DE ÂNGULOS / ÂNGULOS FORMADO POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL / TEOREMA DE TALES


3 – POLÍGONOS – Polígonos regulares / Soma dos ângulos internos [Si = (n – 2).1800] e soma dos ângulos externos (Se = 3600)

4 – SIMETRIA – CLASSIFICAÇÃO:

Número de diagonais ( )

Ângulos internos e externos de um polígono regular:


4 – SIMETRIA – CLASSIFICAÇÃO (CONTINUAÇÃO):


5 – TRIÂNGULO – CLASSIFICAÇÃO / CEVIANA: ALTURA:

CEVIANA: MEDIANA CEVIANA: BISSETRIZ INTERNA

PONTOS NOTÁVEIS GEOMETRIA PLANA - LEMBRETES

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS (AA)

TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA:

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO:

LEI DOS SENOS:


LEI DOS COSSENOS:

6 – QUADRILÁTEROS – CLASSIFICAÇÃO / PROPRIEDADES


7 – CIRCUNFERÊNCIA – ÂNGULOS / PROPRIEDADES:


COMPRIMENTO: C = 2R

RELAÇÕES MÉTRICAS:

POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS.


7 – ÁREA DAS FIGURAS PLANAS

RETÂNGULO: QUADRADO: PARALELOGRAMO:

TRIÂNGULO:

HEXÁGONO REGULAR:

LOSANGO:

TRAPÉZIO:

CÍRCULO:

SETOR CÍRCULAR:

COROA CÍRCULAR:

SEGMENTO CÍRCULAR:


Ao longo da história, o parafuso foi sempre a solução de infindáveis problemas, mas, também, gerava outros, pois inventores, industriais e ferramenteiros desenvolviam seus parafusos e estes, quando utilizados em outras localidades ou situações, apresentavam questões de problemas técnicos para falta de padrão. Como resultado desses contratempos, foram criados padrões, os quais garantiriam o intercâmbio dos parafusos, tornando universal sua aplicação. Esses padrões garantiram a produção e o consumo em escala industrial dos parafusos. Então, quando se projeta parafusos com cabeças prismáticas, o polígono regular da base deve ser escolhido levando-se em conta alguns aspectos:

QUESTÃO 111

Página 298

– A existência de lados paralelos e simétricos: Quando o parafuso não apresenta lados paralelos e simétricos isso dificulta o encaixe da chave.

– A medida do ângulo central: Quando um mecânico está concertando um defeito qualquer numa máquina, por exemplo, um automóvel, muitas vezes, ele tem pouco espaço para trabalhar. Por essa razão, o mais cômodo é que o parafuso possa ser apertado ou desapertado com giros curtos. Esse ângulo de giro a que estamos nos referindo é o ângulo central do polígono regular.

– A medida do ângulo interno: Quando a medida do ângulo interno é grande, o parafuso tem facilidade de arredondar sua cabeça e, portanto, uma vez arredondada, fica muito difícil apertar ou desapertar o parafuso.

Utilizando esses critérios, qual dos parafusos abaixo cujas bases das cabeças são polígonos regulares é o mais adequado para o uso?

d

e f g

h

QUESTÃO 111

Página 298

Dados: - Lados paralelos e simétricos - Ângulo central – Giros curtos - Ângulo interno – pequeno.

d

e

f

g

h

Não possui lados paralelos.

RESPOSTA: D

Lados paralelos – Ângulo central = 90° - Ângulo interno = 90°

Não possui lados paralelos.

Lados paralelos – Ângulo central = 60° - Ângulo interno = 120° Lados paralelos – Ângulo central = 45° Ângulo interno = 135°

RESOLUÇÃO: QUESTÃO 111

Página 298

Observamos que o hexágono regular possui melhores características para o problema, pois o octógono regular é mais redondo que o hexágono

x

Um sistema de irrigação foi projetado conforme a figura abaixo. A água é captada do rio no ponto A e bombeada para a cisterna B, a 200 m de A. Em B, a água sofre um pequeno tratamento e é novamente bombeada para o ponto de distribuição C, a 320 m de B. A direção do rio é paralela à direção BC. Em virtude de um problema na cisterna, a água deverá ser bombeada do ponto de captação no rio (A) ao ponto de distribuição C.

QUESTÃO 112

Sabendo-se que o encanamento do projeto se encontra em um mesmo plano, a quantidade de cano, em metros, para realizar tal tarefa é:

d

e

f

g

h

260 m.

280 m.

300 m.

320 m.

340 m.

Página 299

QUESTÃO 112

60° Angulo alterno interno

DADOS:

AC2 = 2002 + 3202 – 2 . 200 . 320.cos 60° Resolução:

AC2 = 40.000 + 102.400 – 2. 64000 . 1

2

60°

A

C

320m

B

AC = 280m

RESPOSTA: B

d

e

f

g

h

260 m.

280 m.

300 m.

320 m.

340 m.

Página 299

AC2 = 142.400 – 64000 AC2 = 78400 AC2 = 784 x 100

x

Diz-se que uma obra qualquer está “no esquadro” quando o ângulo formado entre suas partes for reto (90°). O esquadro é um instrumento de desenho utilizado em obras civis e, também, pode ser usado para fazer linhas retas verticais com precisão para 90°. Têm-se notícia que os primeiros a utilizar o esquadro foram os egípcios, tendo em vista que suas pirâmides são compostas de pedras perfeitamente esquadrejadas e com as bases perfeitamente esquadrejadas. Os egípcios descobriram que, utilizando-se uma corda marcada em intervalos iguais e tomando-se as medidas 3, 4 e 5 para os lados de um triângulo, obtinham um triângulo retângulo, no qual os catetos menores eram os lados de 3 e 4 unidades e a hipotenusa o lado maior. Assim, usavam essas medidas para confeccionar triângulos de madeira com a forma muito parecida com os esquadros que conhecemos hoje em dia, utilizando os mesmos para manter a perfeição de suas construções.

QUESTÃO 113

Com base no texto, qual dos triângulos abaixo poderia ser usado para verificar se as paredes de uma casa estão no esquadro?

Página 299

d

e

f

g

h

Triângulo de lados medindo 15 cm, 20 cm e 23 cm.

Triângulo de lados medindo 30 cm, 40 cm e 0,6 m.

Triângulo de lados medindo 0,6 m, 0,8 m e 1 m.

Triângulo de lados medindo 2 m, 4 m e 5 m.

Triângulo de lados medindo 1 m, 3 m e 3,5 m.

DADOS: Triângulo de lados 3, 4, 5. (Triângulo retângulo)

RESOLUÇÃO: Devemos verificar se o triângulo formado é semelhante ao triângulo retângulo (3, 4 e 5)

RESPOSTA: C

60cm; 40cm e 30cm Não são proporcionais a 5, 4, e 3. e

1m; 0,8m e 0,6m é proporcional a 5, 4 e 3, verificamos melhor colocando- os em cm: 100cm; 80cm e 60cm.

f

5m; 4m e 2m Não são proporcionais a 5, 4 e 3 g

3,5m; 3m e 1m Não são proporcionais a 5, 4 e 3 h

23,20 e 15 Não são proporcionais a 5, 4 e 3. d

x

QUESTÃO 113

Página 299

Buraco da camada de ozônio

QUESTÃO 114

O buraco na camada de ozônio, o escudo protetor da Terra contra os raios ultravioleta, deve ficar menor este ano sobre a Antártida do que no ano passado, mostrando como a proibição a substâncias prejudiciais interrompeu a sua destruição, disse a Organização das Nações Unidas (ONU) nesta sexta-feira.

O buraco, entretanto, provavelmente, está maior do que em 2010 e uma recuperação completa ainda está longe de ocorrer. A assinatura do Protocolo de Montreal, há 25 anos, para retirar aos poucos as substâncias químicas que destroem a camada de ozônio, ajudou a evitar milhões de casos de câncer de pele e de cataratas, assim como os efeitos nocivos sobre o ambiente, disse a agência climática da ONU.

Página 300

“As condições de temperatura e a extensão das nuvens estratosféricas polares, até agora, este ano, indicam que o grau de perda de ozônio será menor do que em 2011, mas, provavelmente, algo maior do que em 2010”, disse em um comunicado a Organização Meteorológica Mundial (OMM). O buraco da camada de ozônio na Antártida, que atualmente mede 19 milhões de km², provavelmente, estará menor este ano do que no ano recorde de 2006, informou a organização. A ocorrência anual, em geral, atinge sua área de superfície máxima durante o fim de setembro e sua profundidade máxima no começo de outubro. Os clorofluorcarbonos (CFCs) banidos, porém, que já foram usados em geladeiras e em latinhas de spray, duram bastante na atmosfera e levará várias décadas para que as concentrações voltem aos níveis pré-1980, informou a OMM.

QUESTÃO 114

Página 300

Se o buraco da camada de ozônio, atualmente, fosse um círculo, seu raio seria em torno de

d e f g h

1.000 km 2.400 km 3.000 km 4.300 km 5.000 km

DADOS: A = 19.000.000 km2

RESOLUÇÃO: R2 = 19000000 3,14R2 = 19.106 R2 = . 106 19

3,14

R = 6,05 . 103 R = 2,45 x 103 R = 2450km

RESPOSTA: B

QUESTÃO 114

Página 300

x

QUESTÃO 115

Um município, que tem a forma de um quadrado de lado igual a 10 km, é atendido por quatro emissoras de rádio. Suas antenas, localizadas nos vértices do quadrado, alcançam um raio de 10 km do município. Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a região (comum) de alcance das quatro emissoras. Assinale, dentre as regiões a seguir, pintadas de cinza, aquela que a agência precisa avaliar.

d

e

f

g

h

Página 300

RESOLUÇÃO:

A

10km

10km A

10km

10km

B

A

10km

10km

BC C B

D A

10km

10km

C B

D A

10km

10km

RESPOSTA: A

x

QUESTÃO 116

“No Rio Grande do Sul e em alguns estados do nordeste brasileiro, os agricultores dos assentamentos utilizam um método para a medição da terra – cubação, na linguagem usada por eles – diferente daqueles utilizados na matemática acadêmica. Por exemplo, para o cálculo da área de um terreno com o formato abaixo (quadrilátero) é usado o seguinte procedimento:

II. Em seguida, os dois valores obtidos são multiplicados e a área é determinada: (Área = 85 . 75 = 6375 unidades de área).

I. O primeiro passo consiste em calcular a média aritmética das medidas dos lados

opostos do quadrilátero do terreno

Página 301

Neste procedimento, o quadrilátero inicialmente dado é transformado em um

retângulo (através da determinação da média aritmética entre os lados opostos) e sua área é a seguir calculada. O valor obtido para a área, através desse processo, é sempre igual ou superior ao que se obteria por métodos utilizados na matemática escolar.”

Texto adaptado da revista Scientific American Brasil No 11 edição especial etnomatemática

Utilizando a situação descrita no texto, a diferença entre o valor da área obtido pela cubação do terreno e o valor da área obtido pelo processo acadêmico, isto é, aquele ensinado na matemática escolar, é, em unidades de área, igual a

d

e

f

g

h

1.000

1.200

2.000

2.775

3.125

QUESTÃO 116

Página 301

A ABCD = 40 30

150 150 50 150 130 150 1202

AABCD = 600 + 150 100 20 30 = 600 + 10 10 150x6 = 600 + 100 30 = 3600

AMNPQ = 85 x 75 = 6.375 A = AMNPQ – AABCD =

RESPOSTA: D

DADOS: B

C

A

D 130

120

30

40

e

M N

75

P Q 85

50

QUESTÃO 116

Página 301

RESOLUÇÃO:

pBCD = 50 120 130

1502

(p = semiperímetro)

AABCD = AABC + A BCD

6.375 – 3600 = 2.775

GEOMETRIA ESPACIAL - LEMBRETES

1 – POLIEDROS – ELEMENTOS / NÚMERO DE LADOS O DOBRO DO

NÚMERO DE ARESTAS (L = 2A) / RELAÇÃO DE EULER (V + F = A +

2) / POLIEDROS DE PLATÃO / POLIEDROS REGULARES

Poliedro Planificação Elementos

Tetraedro

4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas

Hexaedro

6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas

Poliedro Planificação Elementos

Octaedro


Dodecaedro

12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas

Icosaedro


2 – PRISMAS – CLASSIFICAÇÃO / NOMENCLATURA

Alat (prisma reto) = (2P)base.h Vprisma reto = Abase.h

ABASE = a.b ALATERAL = 2ac +2bc = 2(ac + bc) ATOTAL = 2(ac + bc + ab) V = a.b.c

D = 222 c ba

Paralelepípedo Cubo

ABASE = a2

ALATERAL = 4.a2

ATOTAL = 6.a2

V = a3

D = a 3

3 – PIRÂMIDE – CLASSIFICAÇÃO / NOMENCLATURA

Numa pirâmide regular, convém destacar:

Relações

g2 = h2 + m2

a2 = h2 + R2

a2 = g2 + ( )2

2

R2 = m2 + ( )2

2

Áreas

ALATERAL .g

n.2

Área total ATOTAL = ALATERAL + ABASE

Volume BASEA .hV

3

Tetraedro Regular 3

2a 6 a 2h , A a 3 e V

3 12

Pirâmide Semelhantes

Relações

2 3 3 2B h V h B V

; ;b d v d b v

Vtronco = Vpir. maior – Vpir. menor

GEOMETRIA ESPACIAL - LEMBRETES

5 – CILINDRO – CILINDRO EQUILÁTERO

h

R R R

h AS.M. = 2R.h

(2P)S.M. = 4R + 2h

Secção meridiana

Quando a secção meridiana de um cilindro reto é um quadrado, dizemos que o cilindro é equilátero.

h = 2r

• Planificação do cilindro reto

• Áreas:

ABASE = CÍRCULO

ALATERAL = (2P)BASE.ALTURA

ATOTAL = 2ABASE + ALATERAL = 2R2 + 2R.H

= 2R.H

= R2

• Volume de um cilindro: Vcilindro = Ab . h = R2h

• Tronco de cilindro de bases não paralelas

G g

r r

G g +

2

VTronco = Ab . hmédia = R2(G + g)/2

AL(Tronco) = (2P)base . hmédia = 2R(G + g)/2

5 – CONE

Cone Equilátero Um cone é dito equilátero quando a geratriz for igual ao diâmetro da circunferência, ou seja, g = 2R.

Áreas

ABASE = R2

ALATERAL = R . G ATOTAL = R(g + R)

Volume

VCone = R2 h 3

Cones Semelhantes

Relações

B

B’

h

d

V

v

h

d

B

B’

V

v = = =

2 3 3 2 ; ;

h r1 g1

d r2 g2 = =

Vtronco = Vcone maior - Vcone menor

6 – ESFERA

Secção s2 = r2 - d2

Área da Esfera

A = 4 . . r2 Volume da Esfera

4

3 V = r esfera

3

Fuso Esférico

360° - 4r

° - A

2

fuso

A fuso = r

90

2

Cunha Esférica 4

3 2 . r .

270

3 360° - . . r 3

° - V cunha

V = cunha

7 – INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS

RELACIONAR OS ELEMENTOS / CUBO E ESFERA / CUBO E CONE /

CUBO E CILINDRO / CILINDRO E ESFERA / CILINDRO E CONE /

ESFERA E CONE

A figura abaixo representa uma pista de skate construída com concreto, onde AB representa uma semicircunferência.

QUESTÃO 117

Considere = 3 e R$ 200,00 como sendo o custo do m³ de concreto, incluindo material e mão de obra, então o custo de construção da pista foi de

d

e

h

1.200,00

2.400,00

3.600,00

4.800,00

6.000 f

g

Página 301

Na figura temos a metade do volume da diferença entre um prisma e um cilindro.

2prima cilindro

1

V V 6 4 3 2 3 72 3 12 72 36V 18

2 2 2 2

1m3 - 200

18m2 - x

x = R$ 3600,00

1 m 1 m

1 m 1 m

4 m

3 m

6 m

Figura

RESPOSTA: C

QUESTÃO 117

Página 301

DADOS: Resolução:

d

e

h

1.200,00

2.400,00 3.600,00

4.800,00

6.000,00

f

g

x

Observe as especificações de um impermeabilizante: A MANTA ASFÁLTICA TRANSITÁVEL é elaborada com asfalto e revestimento de

Geotêxtil (Poliéster) de fio contínuo, formando um não tecido com resinas que aumentam suas propriedades de adesão. Possui armadura central de Polietileno de alta densidade e dupla capa asfáltica. Ideal para impermeabilizações que requeiram alta resistência mecânica e/ou transitabilidade, com um excelente acabamento estético, obtendo, também, uma impermeabilização eficiente e duradoura.

Características Aparência: Cor preta Composição básica: asfalto modificado com polímeros, armado com estruturante

e recoberto com geotêxtil 180 g/m². Validade: 36 meses Custo: R$ 20,00 – rolo de 10 m².

QUESTÃO 118

Página 302

João deseja impermeabilizar a lateral e o fundo do reservatório abaixo O custo da manta usada na impermeabilização é de aproximadamente

d

e

f

g

h

R$ 43,96.

R$45,98.

R$46,78.

R$48,75.

R$50,32.

Página 302

DADOS: Resolução: Custo: R$ 20,00 – rolo de 10 m². AIMPERMEABILIZAR = AL + AB AI = (2P)base.h + R2

AI = 2Rh + R2 AI = 2.1.3 + .12

AI = 6 + AI = 7 AI = 7.3,14 AI = 21,98 m2

Quantidade de rolos: 2

2

1 rolo - 10m

n rolos - 21,98m n = 2,198 rolos

Custo: 2,198 x 20 = R$ 43,96

RESPOSTA: A

x

QUESTÃO 118

Uma caixa d’água de forma cúbica com capacidade de 512 litros está

d

e

f

g

h

14 cm.

16 cm.

18 cm.

20 cm.

22 cm.

QUESTÃO 119

Página 302

completamente cheia e sua base perfeitamente assentada no piso horizontal de um terreno. Bruna precisa retirar 128 litros de água dessa caixa e sabe que ela possui uma válvula de escoamento localizada em sua parte inferior. Como não dispunha de objetos para medir capacidade, Bruna teve a ideia de colocar uma régua graduada em centímetros perpendicular ao piso na parte superior interna da caixa, de modo que a borda coincida com a medida 0 cm da régua. Para garantir a retirada dos 128 litros, Bruna deve abrir a válvula de escoamento e esperar que o nível da água baixe exatamente: DADOS:

Resolução:

Vcaixa = 512 L = 512 dm3 = 512.000 cm3

128 L

Vcaixa = 512.000 a3 = 512.000 a = 80 cm

80 cm 80 cm

Vretirado = 128 L = 128.000 cm3 802.h = 128.000 h = 20 cm

RESPOSTA: D

x

QUESTÃO 120 Na figura abaixo estão representadas três maneiras de lacrar uma caixa, em forma

de paralelepípedo, com fita adesiva preta.

Ordenando crescentemente as caixas pela quantidade de fita gasta em cada uma

delas, obtém-se: Caixa 1, caixa 2, caixa 3. d

e

h

f

g

Caixa 1, caixa 3, caixa 2.




Página 302

Resolução:

Caixa 1: Qfita = 4.12 + 2.4 + 2.3 = 48 + 8 + 6 Qfita = 62 cm



RESPOSTA: E x

QUESTÃO 121

Um copo de chope e a altura de um cone Num dia de muito calor, Augusto senta-se à mesa de um bar e pede um chope. Nesse lugar, o chope é servido em “tulipas”, que são copos com a forma de um cone invertido. No preciso instante em que o garçom traz a bebida, chega à mesa de Augusto o seu amigo João. — Como vai, João? Sente-se e tome a metade deste copo de chope. Eu tomo a outra metade. A fisionomia de João mostra alguma surpresa: como determinar a metade do conteúdo do copo, se o copo é cônico? Augusto alivia a situação. — Meu caro amigo! Com a ajuda de uma régua e de uma calculadora, podemos resolver o nosso problema. Augusto, então, saca de sua régua, calculadora e caneta, escrevendo a solução num guardanapo, sob olhar estupefato do garçom.

Página 303

— Observe, João, que o copo tem 20 cm de altura. Desejamos obter a altura da superfície do líquido que corresponda à metade do volume do copo. Para isso, precisamos recordar dois teoremas.

TEOREMA 1: Toda seção paralela à base de um cone forma um outro cone semelhante ao primeiro.

TEOREMA 2: A razão entre o volume de sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança.

Ao pedir que João tomasse metade do copo, Augusto quis dizer metade da altura (h = 10), sendo que em relação ao volume, o que restou no copo foi aproximadamente:

d

e

f

g

h

metade do volume do copo.

um terço do volume do copo.

um quarto do volume do copo.

um oitavo do volume do copo.

um décimo do volume do copo.

QUESTÃO 121

Página 303

QUESTÃO 121 Resolução:

31 1 1

11 2 1 2

V V V10 1 1 VV

V V 20 V V 8 V 8 8

TEOREMA 1: Toda seção paralela à base de um cone forma um outro cone semelhante ao primeiro.

TEOREMA 2: A razão entre o volume de sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança.

Página 303

V1 = Volume do cone menor

V2 = Volume do tronco

V = Volume do cone

RESPOSTA: D

d

e

f

g

h

metade do volume do copo.

um terço do volume do copo.

um quarto do volume do copo.

um oitavo do volume do copo.

um décimo do volume do copo.

x

QUESTÃO 122

“Vencer a resistência do ar ao deslocamento do carro é função da aerodinâmica. A forma ideal de qualquer modelo seria a criada pela natureza na gota d’água”, explica o chefe de Design da Volkswagen do Brasil, Luiz Alberto Veiga (que preparou para o jornal O Estado de S. Paulo os desenhos do quadro abaixo).

Página 303

d

e

f

g

h

2

4/3

1

1/2

1/3

Página 303 QUESTÃO 122

Numa boa aproximação uma gota d’água pode ser considerada como o re-

Considerando que os volumes do cone e da semiesfera são iguais, o valor da razão h/R é igual a

sultado da união de dois sólidos: uma semiesfera e um cone (veja a figura seguinte).

Resolução:

esferacone cone esfera

VV 2V V

2

321 4 R h

2 R h h 2R 23 3 R

. . .

RESPOSTA: A

x

QUESTÃO 123

Um artefato de decoração foi produzido a partir da pirâmide reta ABCDV de base quadrada, conforme apresentação na figura 1.

d

e

f

g

h

720

630

540

450

360

Página 304

A sequência das figuras mostra como a peça será produzida. Os pontos P, Q, R e S são pontos médios das arestas laterais dessa pirâmide e definem o plano pelo qual a pirâmide será seccionada, gerando uma nova pirâmide menor e um tronco de pirâmide (figura 2). A nova pirâ-mide menor serve de molde para escavar o tronco de pirâmide e, assim, ser gerado o artefato de decoração (figura 3). Se AB = 12 cm e a altura da pirâmide ABCDV mede 15 cm. Então, o volume do artefato de decoração gerado em cm³ é igual a

QUESTÃO 123

Dados:

Resolução:

V1= Volume da pirâmide menor

V2= Volume do Tronco

VA= Volume do artefato

V= Volume da pirâmide maior

VA = V2 – V1

2 2A

1 1 15V 12 15 2 6

3 3 2 . . . . .

Página 304

12 VA = V – V1 – V1 VA = V – 2V1

3A AV 144 5 36 5 V 540cm . .

d

e

f

g

h

720

630

540

450

360

RESPOSTA: C x

GEOMETRIA ANALÍTICA - LEMBRETES

1 – ESTUDO DO PONTO

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: 2 2

B A B AABd x x y y

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO: AB

A B A Bm

x x y yP ;

2 2

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS: A A

B B

C C

x y 1

x y 1 0

x y 1

BARICENTRO: A B C A B Cx x x y y yG ;

3 3

ÁREA DE UM TRIÂNGULO: A A

B B

C C

x y 11 1

A . D . x y 12 2

x y 1


2 – ESTUDO DA RETA EQUAÇÕES:

Geral A A A B B A A B B A

A B CB B

x y 1

x y 1 0 (y y )x (x x )y x .y x .y 0 Ax By C 0

x y 1

Reduzida

m n

A Cy x y mx n

B B

Segmentária x y

1p q

Paramétrica x A Bt

y C Dt

Ponto e direção y – y0 = m(x – x0)


2 – ESTUDO DA RETA (CONTINUAÇÃO):

POSIÇÕES RELATIVAS:

DISTÂNCIA DE UM PONTO À RETA:

Dados o ponto P(xo; yo) e a reta (r): Ax + By + C = 0, temos:

o o

Pr 2 2

A.x B.y Cd

A B

ÂNGULO ENTRE RETAS: 2 1

2 1

m mtg

1 m .m

Concorrentes

m1 m2

Retas perpendiculares

1 2 1

2

1m .m 1 m

m

Paralelas

m1 = m2

Distintas Coincidentes

n1 = n2 n1 n2


3 – ESTUDO DAS CÔNICAS:

CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO REDUZIDA: (x – a)2 + (y – b)2 = R2

EQUAÇÃO GERAL: x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Centro

A B

2 2

;

Raio: R =

2 2a b C

POSIÇÕES RELATIVAS:



CIRCUNFERÊNCIA (CONTINUAÇÃO)



ELIPSE

DEFINIÇÃO: É o lugar geométrico dos pontos de um plano tais que a

soma de suas distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, é

uma constante.

ELEMENTOS:



ELIPSE (CONTINUAÇÃO)

RELAÇÃO:

EQUAÇÃO:



HIPÉRBOLE

DEFINIÇÃO: É o lugar geométrico dos pontos de um plano tais que a

diferença absoluta de suas distâncias a dois pontos fixos,

denominados focos, é uma constante.

ELEMENTOS:

2a.



HIPÉRBOLE (CONTINUAÇÃO)

EQUAÇÃO:



PARÁBOLA

DEFINIÇÃO: É o lugar geométrico dos pontos de um plano

equidistantes de um ponto (foco) e uma reta (diretriz).

EQUAÇÕES:

y2 = 2px y2 = -2px

x2 = 2py x2 = -2py

(y - yo)2 = 2p(x – xo) (y - yo)2 = -2p(x – xo)

(x - xo)2 = 2p(y – yo) (x - xo)2 = -2p(y – yo)

Os pontos A, B, C e D do plano a seguir representam 4 cidades. Uma emissora de televisão quer construir uma estação transmissora numa localização tal que:

- a distância entre a estação e a cidade localizada em A seja igual à distância entre a estação e a cidade localizada em B. - a distância entre a estação e a cidade localizada em C seja igual à distância entre a estação e a cidade localizada em D. Considerando as coordenadas do plano ao lado, a localização da estação deverá ser o ponto

d

e

f

g

h

(10; 10)

(10; 20)

(25; 10)

(20; 20)

(25; 25)

QUESTÃO 124

Página 304

Dados:

QUESTÃO 124

A (0;0), B (50;0), C (60;30) e D (30;60) E (x;y) estação transmissora dEA = dEB; dEC = dED

Resolução: 2 2 2 2EA EBI d d x 0 y 0 x 50 y 0 () ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2EC EDII d d x 60 y 30 x 30 y 60 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Logo: E (25; 25)

Resposta: E

Página 304

2 2 2 2x y x 100x 2500 y x 25

2 2 2 2 2 225 60 y 30 25 30 y 60 1225 y 60y 900 25 y 120y 3600 ( ) ( ) ( ) ( )

60y 1500 y 25 d

e

f

g

h

(10; 10)

(10; 20)

(25; 10)

(20; 20)

(25; 25) x

Um rio de leito irregular possui uma parte reta e totalmente pararela à uma estrada que passa por duas cidades, A e B. Adotando-se um sistema de coordenadas, as cidades A e B estão situadas respectivamente nos pontos de coordenadas: (1, 2) e (4, 6), e o leito do rio tem sua parte reta dada pela equação: 4x – 3y – 13 = 0, como mostra a seguir.

QUESTÃO 125

Considerando o enunciado, podemos afirmar que a distância em quilômetros entre a estrada que passa pelas duas cidades e a parte reta do leito do rio é igual a:

d

e

f

g

h

3

4

5

6

7

Página 305

Pela condição dada, temos:

QUESTÃO 125

Equação da reta que passa por “A” e “B” é paralela a reta do rio (r)

r: 4x – 3y – 13 = 0

Ar2 2

4 1 3 2 13 2 13 15 15d 3

516 9 254 3

| . . | | | | |

( )

RESOLUÇÃO:

Página 305

A(1; 2) e (r): 4x – 3y – 13 = 0

d

e

f

g

h

3

4

5

6

7

Resposta: A

x

Logo, a distância entre duas retas paralelas distintas é dada tomando-se um ponto da primeira reta ( ) e aplicando a distância deste à outra reta (r)

AB

A(1; 2) , então dAr = dABr , com isso teremos: AB

QUESTÃO 126

Deseja-se construir uma praça de forma circular, situada em um terreno as margens de duas ruas que se cruzam perpendicularmente conforme figura abaixo, sendo a Rua dos Alagados e Rua do Brejo. Adotando-se um sistema de eixos cartesiano, sabemos que os pontos P(1, 5) e Q(3, 1) pertencem à circunferência limite da praça e que são diametralmente opostos.

Com os dados de informação podemos afirmar que a equação da circunferência limite da praça é dada por:

d

e

f

g

h

x2 + y2 + 4x + 6y + 8 = 0

x2 + y2 + 4x + 6y – 8 = 0

x2 + y2 – 4x – 6y – 8 = 0

x2 + y2 – 4x – 6y + 8 = 0

x2 + y2 – 4x + 6y + 8 = 0

Página 305

QUESTÃO 126

Pela condição dada, temos:

Cálculo do raio:

RESOLUÇÃO:

Sendo P(1, 5) e Q(3, 1) pontos da circunferência e diametralmente opostos, temos:

22 2 2

CQR d 3 2 1 3 1 2 5 ( ) ( )

Equação geral:

Equação geral da circunferência:

x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 5

Equação reduzida:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 2

5

x2 + y2 – 4x – 6y + 8 = 0

d

e

f

g

h

x2 + y2 + 4x + 6y + 8 = 0

x2 + y2 + 4x + 6y – 8 = 0

x2 + y2 – 4x – 6y – 8 = 0

x2 + y2 – 4x – 6y + 8 = 0

x2 + y2 – 4x + 6y + 8 = 0

Resposta: D

x

Página 305

QUESTÃO 127

O uniforme da escola circense “Só alegria” tem o logotipo abaixo bordado no seu agasalho.

Desse desenho, borda-se o contorno de cada um dos seis triângulos equiláteros da figura. Com 1m de linha são bordados 10 cm do contorno e, para cada agasalho bordado, cobram-se R$ 0,05 por 10 cm de linha gasta acrescidos do valor de R$ 2,50. Sabendo disso, em uma encomenda de 50 agasalhos, serão gastos

d

e

f

g

h

R$125,00.

R$131,75.

R$161,25.

R$192,50.

R$ 191,25

Página 306

QUESTÃO 127

Total bordado por agasalho = 27 cm

Dados: 1m de linha 10 cm de contorno

1 agasalho R$ 0, 05x (10 cm de linha) + 2, 50

RESOLUÇÃO: 1 1 1 1

2 2 2 2

l 1cm 2P 3cm 3 2p 9cmde bordado

l 2cm 2P 6cm 3 2p 18cmde bordado

( ) .( )

( ) .( )

1m de linha --- 10 cm de bordado x --- 27 cm de bordado

x = 270 cm de linha

R$ 0, 05 --- 10 cm de linha y --- 270 cm de linha

y = R$ 1,35

Valor por agasalho R$ 1,35 + R$ 2, 50 R$ 3, 85

Serão 50 agasalhos, logo 50 x 3, 85 R$ 192, 50 Resposta: D

Página 306

QUESTÃO 128

Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a 11 cm como mostra o esquema:

Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale

d

e

f

g

h

2,5.

3,0.

3,5.

4,0.

5,0.

Página 306

QUESTÃO 128

π π A A B B A B A B8

n 2 r n 2 r 375 r 1000 r r r .3

Portanto, A B B B B8

r r 11 r r 11 r 3cm.3

RESOLUÇÃO:

Distância percorrida pela eng. maior = distância percorrida pela eng. menor

nA (número de voltas da engrenagem maior) = 375 nB (número de voltas da engrenagem menor) = 1000 rA = raio da engrenagem maior e rB = raio da engrenagem menor

DADOS: A Br r 11

d

e

f

g

h

2,5.

3,0.

3,5.

4,0.

5,0.

Resposta: B

x

Página 306

QUESTÃO 129

Uma norma muito importante é a NBR 5410, que regulamenta as instalações elétricas, determinando como escolher corretamente os componentes de uma instalação. Vale lembrar que muitos dos problemas encontrados em instalações elétricas são devidos ao não atendimento das definições dessa norma. Condições para estabelecer a quantidade mínima de tomadas de uso geral (TUG’s): - Cômodos ou dependências com área igual ou inferior a 6 m2: no mínimo uma

tomada. - Cômodos ou dependências com mais de 6 m2: no mínimo uma tomada para cada 5

m ou fração de perímetro, espaçadas tão uniformemente quanto possível. - Cozinhas, copas, copas-cozinhas: uma tomada para cada 3,5 m ou fração de

perímetro, independente da área. - Subsolos, varandas, garagens ou sótãos: pelo menos uma tomada. - Banheiros: no mínimo uma tomada junto ao lavatório com uma distância mínima

de 60 cm do limite do boxe.

Página 307

Para obedecer à norma NBR 5410, o número de tomadas no dormitório maior, sem considerar a espessura das paredes, é:

d

e

f

g

h

1.

2.

3.

4.

5.

Considere a planta baixa de uma casa, a seguir:

Dados: A 6m2 tomada 1

A > 6m2 1 tomada por 5m ou fração de perímetro espaçados uniformemente. RESOLUÇÃO:

AD = 3x 2,8 = 8, 4m2

(2P)D = 3 + 2,8 + 3 + 2,8 = 11, 6m Logo, precisaremos de 3 tomadas.

Resposta: C

Resposta: C

x

QUESTÃO 129

Página 307

QUESTÃO 130

d

e

f

g

h

20 m2.

Aproximadamente 1,67 m2.

3,5 m2.

35 m2.

2 m2.

Qual é a área do piso térreo da casa de bonecas?

Desejando presentear sua filha por ter completado 5 anos, os pais encomendaram uma casa de boneca no mesmo formato da casa

onde moram. O fabricante construiu a casa de bonecas na escala de 1:10 (ou seja, cada comprimento da casa de boneca é 1/10 do comprimento correspondente da casa de verdade). A casa verdadeira tem 25 m de comprimento, 14 m de largura e 3,5 m de altura, com um telhado inclinado de 4,5 m de altura e com um perfil de triângulo isósceles (ver figura).

Dados:

Escala 1:10 (cada comprimento da casa de boneca é 1/10 do real)

RESOLUÇÃO:

1 1X 14 X 1 4m y 25 y 2 5m

10 10. , . , Aterreo= 1, 4 x 2, 5 = 3, 5m2

x

Resposta: C

Página 307

QUESTÃO 131

A embalagem é feita com um material de espessura desprezível. Para a escolha da embalagem deve-se levar em conta seu custo e sua capacidade, o custo da embalagem é de R$ 0,10 por cada 100 cm², enquanto o valor de venda da caixa de leite é proporcional ao volume nela contido. Para a empresa: Considere: = 3,14.

Uma empresa, para inovar, resolveu vender leite em dois tipos de embalagens, conforme indicam as figuras.

d

e

f

g

h

é melhor utilizar a embalagem tipo 1, pois apresenta um custo menor e uma capacidade maior que a embalagem tipo 2. é melhor utilizar a embalagem tipo 2, pois apresenta um custo menor e uma capacidade maior que a embalagem tipo 1.

é melhor utilizar a embalagem tipo 1, pois apresenta um custo maior, porém quando se calcula a razão volume/custo, o valor obtido é menor do que na embalagem tipo 2. é melhor utilizar a embalagem tipo 2, pois apresenta um custo maior, porém quando se calcula a razão volume/custo, o valor obtido é menor do que na embalagem tipo 1 não há diferença entre as embalagens.

Página 308

QUESTÃO 131

RESOLUÇÃO:

Embalagem 1: Área: 2Ab + AL = 2 . 7 . 7 + 4 . 7 . 10 Área = 378cm2

Volume= Ab. h = 7 . 7 . 10 = 490cm3

Embalagem 2: Área: 2Ab + AL = 2 . . 42 + 2 . . 4 . 10 Área = 100, 48 + 251, 2 = 351, 68cm2

Volume= Ab. h = . 42. 10 = 160 x 3, 14 = 502, 4cm3

Resposta: B

Dados: Custo = R$ 0, 10/100cm2

Valor da venda é proporcional ao volume.

e é melhor utilizar a embalagem tipo 2, pois apresenta um custo menor e uma capacidade maior que a embalagem tipo 1.

x

Página 308

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BETO BRITO LITERATURA - contatomaceio.com.brcontatomaceio.com.br/enem_downloads/65_arquivo.pdf · GEOMETRIA PLANA - ENEM Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico