O Problema da Braquistcrona

Introduo ao Problema O problema da braquistcrona, proposto por John Bernoulli em 1696, consiste em encontrar uma curva que una dois pontos e situados num mesmo plano vertical com a propriedade de que uma partcula inicialmente em repouso que se deslize sobre essa curva leve o menor tempo possvel para ir, sob a ao da gravidade, de at O ponto suposto estar acima do ponto mas no na mesma vertical. Quando e se encontram na mesma vertical, a soluo simples (qual?).

Figura 1: O caminho mais rpido

A soluo desse problema foi publicada pouco menos de um ano aps a sua proposio por James Bernoulli, irmo mais velho de John Bernoulli. Outros matemticos como Leibnitz, Newton e o prprio John Bernoulli tambm resolveram o problema. A Modelagem do ProblemaO primeiro passo na resoluo deste problema encontrar o tempo que a partcula leva para se deslocar sobre uma curva qualquer que una a pois, a partir disso, poderemos variar entre todas as possveis curvas para encontrar aquela de menor tempo. Esquematizando no plano coordenado, temos:

Figura 2: Deslocamento da partcula sob a ao da gravidade

Note que orientamos o eixo no sentido oposto ao usual. Isto conveniente pois, neste caso, a fora exercida pela gravidade fica orientada no sentido positivo. O sistema de coordenadas tambm foi escolhido de modo que o ponto fique localizado na origem. Sabemos da Fsica que quando uma partcula atua sob a ao da gravidade, o trabalho realizado para se deslocar de at um ponto igual variao da energia cintica. Assim, denotando por o mdulo da velocidade (velocidade escalar) da partcula no ponto por o seu deslocamento vertical e por a sua massa, temos (2.1)

Mas, a velocidade escalar a variao do espao percorrido -- no esquema acima -- pelo tempo, ou seja, e, por (2.1), Usando o fato que o comprimento do arco percorrido para ir de a atravs de uma curva que representada pelo grfico de uma funo dado por

obtemos

Assim, denotando por o tempo gasto neste trajeto, ficamos com

Assim, para se deslocar de a o tempo total gasto (2.2)

O problema se resume a encontrar uma funo que minimize o tempo acima e o procedimento usual para a sua resoluo fazer uso do Clculo Variacional. Mais precisamente, precisamos encontrar uma funo que satisfaa (2.3)

onde (2.4)

Aps alguns clculos, combinando (2.3) e (2.4) o problema se resume a encontrar uma funo que satisfaa (2.5)

Ns no utilizaremos este mtodo geral para a resoluo do problema. A resoluo que apresentaremos a seguir segue os passos da resoluo apresentada por James Bernoulli. Antes faremos um breve intercurso num problema de ptica que, embora aparentemente no esteja relacionado ao problema da braquistcrona, se mostrar de grande valia para a sua resoluo. Um Problema de RefraoConsideremos um raio de luz que vai de a com velocidade constante igual a e segue de a com velocidade constante

Figura 3: refrao de um raio de luz

Em geral, as velocidades acima so distintas e dependem do meio em que a luz est se propagando. Por exemplo, quanto mais denso o meio, mais lenta ser a sua velocidade. Para fixar as idias podemos pensar no esquema acima que na parte superior o meio de propagao da luz o ar e na parte inferior a gua. Como a gua mais densa que o ar temos neste exemplo, Se denotarmos por o ngulo agudo que o segmento faz com a vertical e por o ngulo agudo que o segmento faz com a mesma vertical, de se esperar que Este fato uma conseqncia (verifique!) da lei da refrao de Snell: (3.1)

Na verdade, a relao que fora descoberta empiricamente por Snell em 1621 que, fixados os dois meios por onde a luz se propaga, tem-se que proporcional a independentemente do ngulo de incidncia do raio. A primeira prova matemtica de (3.1) foi fornecida pelo matemtico francs Pierre de Fermat e baseada no seguinte princpio que leva seu nome: Princpio do Tempo Mnimo de Fermat A trajetria real percorrida por um raio de luz de a a que minimiza o tempo total de percurso. Passemos demonstrao de (3.1). Lembrando quetempo gasto e fazendo uso do Teorema de Pitgoras, fcil ver que o tempo gasto para o raio de luz ir de at dado por tempo gasto de A a Ptempo gasto de P a B

Assim, nosso problema est reduzido a achar que minimize Note que este problema bem mais simples do que aquele discutido nas sees anteriores. Agora, se um tal ponto existir ele deve satisfazer Calculando a derivada de e achando as suas razes, obtemos

(3.2)

Note que o ngulo e, portanto,

A partir do tringulo obtemos

Combinando estes resultados com (3.2) chegamos a ou, simplesmente,que a relao procurada.

Refrao na Atmosfera TerrestreEmbora o princpio do tempo mnimo usado na seo anterior venha ao encontro do problema da braquistcrona ainda no est claro como podemos utilizar a Lei de Snell para resolv-lo. A dificuldade que no problema da braquistcrona a velocidade com que a partcula se desloca sobre a curva varia de acordo com a posio em que ela se encontra. J no caso da refrao do raio de luz, a velocidade constante em cada meio. Para transpor esta dificuldade faremos uso da noo de limite. Como j observamos na seo anterior, a velocidade da luz diminui ao passar de um meio menos denso para um mais denso. Vejamos a prxima ilustrao que representa a passagem da luz atravs de quatro meios distintos dispostos de maneira que as respectivas densidades aumentem conforme descemos.

Figura 4: 4 camadas

Aplicando a Lei de Snell a cada mudana de meio, obtemos

Fixemos os pontos e e passemos a aumentar o nmero de camadas intermedirias sempre obedecendo ao crescimento da densidade de cima para baixo. Observe que as camadas vo se tornando cada vez mais finas. A figura abaixo ilustra o processo com oito camadas.

Figura 5: 8 camadas

No limite deste processo de se esperar a trajetria da luz atravs de um meio cuja densidade aumente continuamente medida que o raio de luz desa, satisfaa constanteonde o ngulo que a reta tangente trajetria faz com a perpendicular e a velocidade instantnea.

Figura 6: Tangente curva

A atmosfera terrestre um exemplo de um meio com densidade varivel. Devido ao da gravidade, o ar mais denso quanto mais prximo da superfcie terrestre ele se encontrar. A ilustrao acima nos d uma idia2 de onde um objeto no espao (o sol por exemplo) se encontra e onde o vemos. De Volta BraquistcronaPara finalizar o problema da braquistcrona consideremos a figura abaixo

Figura 7: Buscando uma equao para o problema.

Como a partcula tem de descrever a trajetria mais rpida e sua velocidade escalar varivel (lembre-se que), tudo se passa como no caso do raio de luz que atravessa um meio no-homogneo. Assim, pela seo anterior, devemos ter constante(5.1)

Como e, combinando a identidade trigonomtrica

com (5.1) obtemos

Simplificando esta ltima equao, chegamos a (5.2)

onde uma constante positiva. Note a semelhana desta equao com (2.5). No nosso propsito resolver a equao acima. Indicamos aos interessados a referncia [S, pag. 626,627, vol.1]. A propsito, James Bernoulli mostrou apenas que a curva que solucionaria o problema da braquistcrona deveria satisfazer a equao (5.2) cuja soluo j era conhecida naquela poca. A soluo geral de (5.2) dada na forma paramtrica por

onde uma constante que fica determinada de modo que a curva passe pelo ponto B (veja figura ). A curva dada pelas equaes acima representa uma ciclide que a mesma curva que se obtm quando um ponto fixado de um crculo de raio descreve quando este crculo rola sobre uma reta.

Figura 8: A ciclide.

Esta curva possui vrias propriedades interessantes mas nos restringiremos a uma delas: O tempo que uma partcula inicialmente em repouso leva para percorrer um arco de ciclide at o seu vrtice mais baixo independe da sua posio inicial. Na verdade, o problema da curva tautcrona, ou seja, de se encontrar uma curva com esta propriedade j havia sido resolvido, o que possibilitou resolver a equao do problema da braquistcrona.

Comparando Com Outras CurvasNesta ltima seo faremos uma pequena comparao grfica do tempo gasto para se ir de at Note que nos grficos que seguem a orientao positiva do eixo para baixo. As curvas que sero consideradas so (sempre ligando a): a reta a parbola a cbica outra parbola e a ciclide (braquistcrona)Para calcular o tempo gasto no percurso, devemos avaliar a integral (veja (2.2))

para cada uma das curvas acima. Fizemos uso do Notebook do Mathematica Race desenvolvido por Haws e Kiser, (cf. [HK]). Surpreendentemente, a reta, que a trajetria mais curta, tambm a trajetria mais lenta (aproximadamente 18,5%) dentre as curvas consideradas.

Figura 11: Corrida atravs de diferentes caminhos

O Problema da Tautcrona (Iscrona) Introduo ao ProblemaUma tautcrona ou Curva iscrona a curva na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar sem frico em gravidade uniforme at seu ponto de mnimo independente de seu ponto de partida. A curva dada uma ciclide, e o tempo igual a vezes a raiz quadrada do raio sobre a acelerao da gravidade. A Modelagem do ProblemaO Problema Tautcrono, ou melhor dizendo, a tentativa de identificar essa curva, foi resolvido por Christiaan Huygens em 1659. Ele provou geometricamente em seu livro Horologium oscillatorium, originalmente publicado em 1673, que essa curva se tratava de uma ciclide."Numa ciclide cujo eixo se encontra na perpendicular cujo vrtice se encontra em um ponto de mnimmo, os tempos de descida, nos quais os corpos chegam ao ponto mais baixo aps partirem de um ponto qualquer da ciclide, so iguais uns aos outros..." Esta soluo foi utilizada mais tarde para resolver o problema da Curva Braquistocrnica. Jakob Bernoulli resolveu o problema usando clculo apresentando o resultado em seu projeto (Acta Eruditorum, 1690) onde se viu pela primeira vez a publicao da expresso integral.O problema da tautocronia foi melhor estudado quando se percebeu que um pndulo, que descreve uma trajetria de movimento circular, no era isocrnico e portanto esse mesmo pndulo manteria diferentes marcaes de tempo de acordo com a distncia do balano pendular. Afim de determinar o percurso correto para a marcao exata do tempo, Christiaan Huygens procurou criar relgio de pndulo que usassem uma corrente para suspender o bob and curb cheeks prximos ao cimo da corrente para alterer o padro da curva tautcrona. Estas tentativas mostraram-se inteis por vrias razes. Em primeiro lugar porque a corrente possui frico, alterando a contagem de tempo; alm disso existem uma quantidade significativa de erros que que se sobrepem a quaisquer melhorias tericas que se fizesse sobre o estudo do movimento na curva. E finalmente, o "erro circular" de um pndulo diminui a medida que seu balano tambm diminui, o que pelo escape do relgio pode reduzir grandemente essa fonte de inacuracidade.Mais tarde, matemticos como Joseph Louis Lagrange e Leonhard Euler procuraram por uma soluo analtica do problema. Soluo de LagrangeSe a posio de uma partcula parametrizada pelo arcotangente s(t) do ponto de mnimo, a energia cintica proporcional a . A energia potencial proporcional altura y(s). E para que seja considerada uma curva isocrnica, o Lagrangiano deve ser como um oscilador harmonico simples : a altura da curva deve ser proporcional ao comprimento de arco ao quadrado (arclength squared).

Onde a constante de proporcionalidade fixado em 1 atravs da substituio das unidades de comprimentos. A forma diferencial desta relao

Assim eliminamos a varivel s, e obtemos uma equao diferencial em termos de dx e dy. Para encontrar a soluo, integramos para x em funo de y:

Onde . Esta integral a rea sob um crculo que pode ser cortado em um tringulo e uma cunha circular:

Para ver que isso corresponde a uma ciclide estranhamente parametrizada, variveis de mudana para separar as partes transcendental e algbricas: definem o ngulo = sin 1(2u).

que a parametrizao padro, exceto para a escala de x, y . Resolvendo a "Gravidade Virtual"Talvez a soluo mais simples para o problema tautocrnico observar uma relao direta entre o ngulo de inclinao e da gravidade sentida por uma partcula sobre a inclinao. Uma partcula em um 90 de inclinao vertical sente o efeito total da gravidade, enquanto uma partcula sobre um plano horizontal, sente-se sem gravidade. Em ngulos intermdirios, a gravidade "virtual" sentida pela partcula . O primeiro passo encontrar uma gravidade "virtual" que produz o comportamento desejado.A "gravidade virtual" necessria para a curva tautocrnica simplesmente proporcional distncia restante a ser percorrida, que admite uma soluo simples:

Ele pode ser facilmente verificado tanto que esta soluo resolve a equao diferencial e que uma partcula atingir a um tempo de qualquer altura a partir . O problema agora a construo de uma curva que vai produzir uma gravidade "virtual" proporcional distncia restante para viajar, ou seja, uma curva que satisfaz:

A aparncia explcita da distncia remanescente problemtica, mas podemos aplicar a derivada e obter uma forma mais manusevel:

Ou

Essa equao mostra a mudana do ngulo da curva de acordo com a distncia percorrida ao longo dela mesma. Aplicamos agora o Teorema de Pitgoras, pelo fato da descida da curva ser igual a tangente de seu ngulo, e algumas identidades trigonomtricas para obtermos ds em funo de dx:

Substituindo isso na primeira equao diferencial nos permite solucionar para x em funo de :

Da mesma maneira, podemos expressar dx em funo de dy e resolver para y em funo de :

Substituindo e , vemos que essas equaes para x e y so aquelas que correspondem a um crculo rolando sobre uma linha horizontal um ciclide:

Aplicando-se para k e recordando que o tempo necessrio para a descida, descobrimos o tempo de descida em funo do raio r:

Soluo de AbelAbel pesquisou com afinco uma verso geral do problema da tautocrnica (Problema Mecnico de Abel), nominalmente, dado funo T(y) que especifica o tempo total de descida para uma dada altura inicial, encontrando-se uma equao que nos fornece a soluo. O problema da Tautocrnica um caso especial do problema mecnico de Abel, quando T(y) uma constante.A soluo de Abel comea com o Princpio da Conservao de Energia como a partcula se move sem frico, e portanto no perde energia (no a transforma em calor), sua energia cintica em qualquer ponto exatamente igual diferena da energia potencial em seu ponto inicial.A energia cintica , e como a partcula est restrita a mover-se sobre a curva, sua velocidade simplesmente , onde s a distncia medida ao longo da curva. Da mesma forma, a Energia Potencial Gravitacional ganha ao longo da queda desde a altura inicial at a altura , ento:

Na ltima equao, tinhamos antecipado a escrita da distncia remanescente na curva como uma funo da altura (), tendo em vista que a distncia deve diminuir conforme o tempo aumenta (por isso o sinal negativo), e aplicamos a Regra da Cadeia da forma .Agora, integramos de y = y0 at y = 0 para obter o tempo total necessrio para a partcula cair:

Essa a equao integral de Abel e nos permite computar o tempo total para o deslocamento total da partcula sobre uma curva dada (para a qual seja facilmente calculado). No entanto o problem mecnico de Abel requer uma converso dada por , que desejamos solucionar , da qual uma equao se apresentaria da maneira a seguir. Para continuarmos, verificamos que a integral direita a convoluo da com e ento aplicar a transformao de Laplace de ambos os lados:

Como , temos agora uma expresso para a Transformada de Laplace para dada em termos da Transformao de Laplace:

Isto o mais longe que podemos chegar sem especificar . Uma vez que dada, podemos determinar sua transformada de Laplace, calcul-la e ento tomar sua inversa (ou ao menos tentar) para encontrar .Para o Problema Tautocrnico, constante. Temos que a Transformada de Laplace de 1 , obtemos: Aplicando-se novamente a Transformao de Laplace, invertemos a transformada e obtemos: Pode-se demonstrar que a ciclide obedece a esta equao.Concluso :Com este trabalho conclui-se que os problemas da Braquistcrona e da Tautcrona foram desenvolvidos por Matemticos que queriam solucionar o que acontece em um ciclide, e pra isso eles teriam que encontrar uma curva que uma dois pontos situados no mesmo plano.

Bibliografia :http://www.icmc.sc.usp.br/~szani/bra/bra.htmlhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_tautocr%C3%B4nica

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