Noção de campo girante

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Breve apontamento sobre enrolamentos e campos em sistemas trifásicos

1. Introdução

Neste documento apresentam-se os fundamentos da criação do campo girante

das máquinas eléctricas rotativas. Este assunto é tratado de forma muito rudimentar, não

dispensando a consulta de outro documento mais aprofundado.

2. Campo criado por um enrolamento concentrado

Considere-se o circuito magnético representado na Figura 1. Duas espiras criam

dois pares de pólos. Estas espiras encontram-se concentradas nas ranhuras indicadas. As

outras ranhuras encontram-se vazias.

Figura 1: Circuito magnético com dois pares de pólos com enrolamento concentrado. As correntes estão

localizadas nas cavas indicadas a verde.

O campo B radial no entreferro tem o andamento indicado na Figura 2.

N

N

S

S

Noção de campo girante

2

B.n, Tesla

Length, cm

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.40 5 10 15 20

Figura 2: Andamento do campo B ao longo da periferia do entreferro

Este andamento poderá ser calculado aproximadamente. Circulando por uma

linha de força, tem-se:

ipNgHdlH g∫ == 2. (5. 1)

onde:

N - Número de espiras por fase

p – número de pares de pólos

q – número de cavas por pólo e por fase

Definindo força magnetomotriz de entreferro como

)()( θθ gm gHF = (5. 2)

tem-se

pNiF

eg

FH

m

mg

21)(

)()(

=

=

θ

θθ

(5. 3)

O andamento do campo criado por um enrolamento concentrado é assim de

forma rectangular como o apresentado na figura 2.

Noção de campo girante

3

3. Campo criado por um enrolamento distribuído

Para se obter um campo de forma sinusoidal ao longo da periferia do entreferro

existem várias técnicas. Uma delas consiste em dispor o enrolamento distribuído por

várias cavas. Em vez do enrolamento correspondente a um pólo estar todo concentrado

na mesma cava, como se mostra na Figura 3, este será dividido em q bobinas com N/q

espiras e colocado nas cavas adjacentes. A Figura 3 apresenta a distribuição de um

enrolamento com q=3 cavas por pólo e por fase. As cavas que se encontram vazias

serão ocupadas pelas outras fases ao que corresponde uma ocupação da periferia

melhor. A Figura 4 apresenta agora o andamento do campo ao longo do entreferro. A

figura (b) apresenta este andamento apenas para um par de pólos. Note-se que agora o

andamento é mais aproximado da sinusóide. Contudo ainda se está longe da distribuição

sinusoidal.

Figura 3: Campo girante com três condutores fase e por pólo.

B.n, Tesla

Length, cm

1

0.5

0

-0.5

-10 5 10 15 20

B.n, Tesla

Length, cm

1

0.5

0

-0.5

-10 5 10

Figura 4: (a) dois pares de pólos (b) um par de pólos

Utilizando várias técnicas é possível obter uma distribuição de campo

aproximadamente sinusoidal. A Figura 5, apresenta os campos criados por cada uma das

Noção de campo girante

4

três fases isoladas para o caso em que se tem apenas um par de pólos. Este caso é

estudado como exemplo. A verde estão indicadas as cavas a que correspondem cada

uma das fases.

Campo criado pela fase a Campo criado pela fase b Campo criado pela fase c

Figura 5: Campo criado por cada uma das fases isoladamente.

Da figura 5 pode concluir-se que cada fase cria um campo magnético com eixos

de simetria colocados em sítios diferentes. Estes dependem da localização dos

condutores de cada fase. O eixo de simetria do campo resultante pode ser utilizado para

indicar a posição no espaço das fases. Estes eixos de simetria estão desfasados de 120º

no espaço.

A figura 6. apresenta um esquema simplificado para a representação do

enrolamento.

x

y

θ

1

2

3

a+

a-

b+

b-

c+

c-

Figura 6: Esquema simplificado para a representação do enrolamento.

Noção de campo girante

5

Estando os enrolamentos desfasados de 120º, o andamento ao longo de θ para as

três fases pode ser aproximado por uma onda sinusoidal equivalente e será dado por:

( )θθ pip

NF a

eqma cos)( = (5. 4)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

32cos)( πθθ pi

pN

F beq

mb (5. 5)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

34cos)( πθθ pi

pN

F ceq

mc (5. 6)

Em que Neq é um número equivalente de espiras que tem em conta a distribuição

e outros aspectos.

Assim temos 3 ondas de campo desfasadas no espaço de 120º. Estas são

proporcionais às respectivas correntes que circulam nos enrolamentos.

4. Campo criado por um sistema trifásico sinusoidal

Considere-se agora que a corrente na fase a tem a forma dada pela equação 5.7.

( )tIi saa ωcos2= (5. 7)

A força magnetomotriz criada por esta fase será dada por:

( ) ( )tpIp

NtF sa

eqma ωθθ coscos2),( = (5. 8)

Definindo,

aeq Ip

NF 2max = (5. 9)

e usando a fórmula trigonométrica,

( ) ( )βαβαβα ++−= cos21cos

21coscos (5. 10)

Noção de campo girante

6

obtém-se:

( ) ( )tpFtpFtF ssma ωθωθθ ++−= cos21cos

21),( maxmax (5. 11)

que se pode interpretar como a soma de duas ondas uma que circula no sentido

positivo e a outra que circula no sentido negativo.

( )tpFF sωθ −=+ cos21

max (5. 12)

( )tpFF sωθ +=− cos21

max (5. 13)

Para as outras duas fases ter-se-á:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−=

32cos

21cos

21),( maxmax

πωθωθθ tpFtpFtF ssmb (5. 14)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−=

32cos

21cos

21),( maxmax

πωθωθθ tpFtpFtF ssmc (5. 15)

A força magnetomotriz resultante será a soma das equações 5.11, 5.14 e 5.15.

Obtém-se:

( )tpFFFFtF smcmbmamt ωθθ −=++= cos23),( max (5. 16)

Que representa uma onda que se propaga no sentido positivo.

A interpretação física da equação 5.16, encontra-se na Figura 7.

Correntes no sistema trifásico

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 60 120 180 240 300 360

angulo (º)

Ia,I

b,Ic

Ia Ib Ic

Noção de campo girante

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Correntes no sistema trifásico

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 60 120 180 240 300 360

angulo (º)

Ia,I

b,Ic

Ia Ib Ic

Correntes no sistema trifásico

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 60 120 180 240 300 360

angulo (º)

Ia,I

b,Ic

Ia Ib Ic

Figura 7: Forma do campo em três instantes sucessivos. A seta a azul representa a direcção de campo

máximo.

Para uma máquina com 4 pólos o campo total é dado na Figura 8 onde se pode

observar que a distribuição de campo não anda muito longe da forma sinusoidal.

Figura 8: Distribuição de campo criado pelas três fases.

Noção de campo girante

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O ponto máximo da onda de força magnetomotriz é determinado por

0=− tp sωθ (5. 17)

ou seja, o ângulo θΒ a que se desloca o ponto máximo é dado por:

tps

Bω

θ = (5. 18)

Que significa que a velocidade do campo é dada por:

ps

synωω = (5. 19)

Em rpm tem-se:

p

fNsyn60

= (5. 20)

5. Cálculo do campo de indução no entreferro

A partir da onda de força magnetomotriz pode calcular-se a onda de campo de

indução magnética que é dada por:

( )

( )tpB

tpg

Fg

FtB

sp

smt

ωθ

ωθθ

−=

−==

cos

cos2

3),( max (5. 21)

Figura 9: Definição de fluxo por pólo.

Noção de campo girante

9

O fluxo numa secção em movimento com o eixo de simetria coincidente com a

posição de campo máxima, pode ser calculado por:

∫−=p

pp rdpBL/

/)cos(

π

πθθφ (5. 22)

LrBp p22

=φ (5. 23)

6. Fluxos ligados com os enrolamentos

Consideremos um enrolamento com apenas uma espira. Por definição, este

enrolamento está colocado na posição θa. Calcule-se o fluxo ligado com este

enrolamento no instante em que o campo resultante se encontra na posição θB.

x

y

θΒa+

a-

θa

n

n

n

B

Figura 10: Localização da fase genérica para a determinação do fluxo ligado.

O fluxo ligado, Figura 10, será dado por:

∫+

−

=2

2

1

πθ

πθθψ

a

a

LrdBre (5. 24)

Noção de campo girante

10

( )∫+

−

−=2

2

1 cos

πθ

πθθθθψ

a

a

dBLr Bpe (5. 25)

ou seja,

( )Bae θθφψ −= cos1 (5. 26)

Os fluxos ligados com os enrolamentos do estator podem ser calculados a partir

de ( )Bae θθφψ −= cos1 (5. 26) tendo em conta que a posição dos enrolamentos das

fases é θa=0 para a fase a, θb=2π/3 para a fase b e θb=2π/3 para a fase c. Obtém-se:

( ) ( )tNtN seqseqa ωφωφψ cos0cos =−= (5. 27)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

32cos

32cos πωφωπφψ tNtN seqseqb (5. 28)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

34cos

34cos πωφωπφψ tNtN seqseqc (5. 29)

Estando o rotor numa posição θm, tem-se:

( ) ( )mseqsmeqar ptNtpN θωφωθφψ −=−= coscos (5. 30)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

32cos

32cos πθωφωπθφψ mseqsmeqbr ptNtpN (5. 31)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

34cos

34cos πθωφωπθφψ mseqsmeqcr ptNtpN (5. 32)

rodando o rotor à velocidade ωm, tem-se θm=ωmt, ou seja:

( ) ( )tNtptN reqmseqar ωφωωφψ coscos =−= (5. 33)

A frequência vista no rotor será:

msr pωωω −= (5. 34)

Noção de campo girante

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Que relaciona a frequência das grandezas do rotor e do estator com a velocidade

de rotação.

Distinguem-se dois tipos de máquinas eléctricas baseadas no princípio do campo

girante:

Máquinas síncronas, onde 0 =→= rms p ωωω .

Nestas máquinas a velocidade de rotação é determinada pela velocidade do

campo girante, sendo nula a frequência das grandezas do rotor.

Máquinas assíncronas

Nestas máquinas é induzida uma força electromotriz no rotor de frequência ωr.

Esta é utilizada para a criação das correntes que circularão neste. Define-se

escorregamento relativo s de modo:

s

ms psω

ωω −= (5. 35)

ou seja

sr sωω = (5. 36)