O PROBLEMA DA BRACHISTOCHRONA

Ewerton Rocha Vieira

Campinas, junho de 2009

Resumo

Nesse trabalho, apresentamos uma aplicacao de uma importante ferramentamatematica: o calculo das variacoes (ou calculo variacional). Com origensque remontam a questoes formuladas por Aristoteles e Zenodoro, o calculo dasvariacoes foi inicialmente desenvolvido por Newton, os irmaos Johann e JakobBernoulli, Euler, Lagrange, entre outros, e hoje possui uma grande abrangencia,com aplicacoes em diversas areas, como engenharia, fısica, biologia e, evidente-mente, em outros ramos da matematica. Sua importancia se deve, sobretudo, asua praticidade na resolucao de problemas de otimizacao.

Objetivamos apresentar uma aplicacao acessıvel, alem de muito interes-sante, de forma a ilustrar o uso de algumas ferramentas basicas do calculodas variacoes. Esta aplicacao e o famoso problema da Brachistochrona ( doGrego brachistos = menor e chronos = tempo), que consiste basicamente emencontrar o caminho, unindo dois pontos A e B num plano, mas nao na mesmavertical, que minimiza o tempo que uma partıcula gasta no percurso de A ateB, submetida apenas a forca da gravidade.

Este problema foi proposto em 1696 por Johann Bernoulli e, posteriormente,tambem foram apresentadas diversas variacoes do problema. Inicialmente ap-resentaremos a solucao de Bernoulli usando a lei de Snell. Depois usando ateoria de Calculo Variacional traduziremos o problema da brachistochrona emtermos de funcional. Para descobrir qual curva realizara o tempo mınimo, uti-lizaremos as ferramentas do Calculo Variacional, como a condicao necessaria deEuler-Lagrange, Campos Vetoriais e a funcao excesso de Weierstrass. Por fim,analisamos o caso geral em que a curva nao e apenas um grafico de funcao, massim uma curva na forma parametrica.

Trata-se, portanto, de uma abordagem, nao apresentada em livros de calculoe equacoes diferenciais, de um problema que e discutido ate hoje e desafiouvarios matematicos durante seculos. Alem disso, esse trabalho possibilita aosestudantes de matematica e outras areas correlacionadas terem uma nocao doalcance do calculo das variacoes e do uso de suas ferramentas.

Referencias

[1] Sagan, H. - Introduction to the Calculus of Variations, Dover, NY, 1992.

[2] Simmons, G. - Differential Equations, McGrarw-Hill, Ny, 1972.

[3] Dacorogna, B. - Introduction to the Calculus of Variation, Imperial CollegePress.