Cad C1 Teoria 2serie 1bim Matematica

MATEMTICA 1

1. Definio de matrizChama-se matriz de ordem m x n (l-se m por n)

a uma tabela de m . n n meros reais, dispostos em mlinhas e n colunas. Representa-se por A ou Amn.

Seja a matriz A de ordem 2 x 3:

O elemento m, situado na 1a. linha e na 1a. coluna,pode ser representado pelo smbolo a11. L-se a ndiceum um ou simplesmente a um um.

O elemento n, situado na 1a. linha e 2a. coluna, podeser representado pelo smbolo a12. L-se a ndice umdois ou simplesmente a um dois.

O elemento p, situado na 1a. linha e 3a. coluna, podeser representado pelo smbolo a13. L-se a ndice umtrs ou simplesmente a um trs.

De modo anlogo, x o elemento a21, y o ele -mento a22 e z o elemento a23.

Assim sendo, uma matriz A, de ordem 2 x 3, podeser assim representada:

De modo geral, representando por aij o elemento dalinha de ordem i e da coluna de ordem j, podemosrepresentar a matriz A de ordem m x n como se segue:

ou simplesmente A = (aij)mxnObservaes

Ao apresentarmos uma matriz como tabela, es -ta mos dando uma noo intuitiva de matriz. Formal men -te, matriz uma funo que a cada par (i; j) associa onmero real aij.

a11a21

am1

a12a22

am2

a13a23

am3

a1na2n

amn

a11a21a12a22

a13a23A =ou

a11a21

a12a22

a13a23

A =

oua11a21a12a22

a13a23A =

mx ny pzA =

Matrizes Determinantes Sistemas Lineares Mdulos1 Matrizes2 Multiplicao de matrizes3 Propriedades4 Determinantes5 Determinante nulo6 Determinante se altera 7 Determinante no se altera8 Abaixamento da ordem9 Regra de Chi e

Teorema de Binet

10 Inverso de matrizes

11 Clculo de um elemento

da inversa e propriedades

12 Sistemas lineares

Regra de Cramer

13 Escalonamento

14 Escalonamento

15 Substituio, eliminao

16 Caracterstica de uma matriz

1 Matrizes Matriz Colunas Matriz nula Matriz unidade

Artur Cayley (1821-1895)Multiplicao de Matrizes

e o Teorema de Cayley

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MATEMTICA2

Linha de uma matriz uma nupla de elementoscom o mesmo primeiro ndice. Exemplo: a segunda linhada matriz A (a21, a22, a23, a2n).

Coluna de uma matriz uma nupla de elemen -tos com o mesmo segundo ndice. Exemplo: a segundacoluna da matriz A (a12, a22, a32, am2).

Fila de uma matriz significa linha ou coluna indis -tin tamente.

A matriz Amxn chamada:

Retangular m n

Quadrada m = n

Matriz Linha m = 1

Matriz Coluna n = 1

Exemplo

Matriz Retangular:

A =3 linhas2 colunas

Matriz Quadrada:

B =

Matriz Linha:C = [1 2 6 7] 1 linha

2. Matriz nulaMatriz nula aquela que tem todos os elementos

iguais a zero. representada pelo smbolo Omxn. Exemplo

O32 =

3. Matriz unidade ou matriz identidadeA matriz A = (aij)nxn chamada matriz unidade ou

identidade de ordem n e representada por In, se esomente se:

i, j { 1, 2, 3, ..., n}

Matriz identidade de ordem 3:

I3 =

4. Matriz opostaA matriz oposta de A = (aij)mxn a matriz A = ( aij)mxn.

5. Matriz transpostaA matriz transposta da matriz A = (aij)mxn a matriz

At = (bji)nxm, tal que bji = aij, i {1, 2, 3, ..., m}, j {1, 2, 3, ..., n}

6. Igualdade de matrizesDuas matrizes, A e B, de mesma ordem, so iguais

se, e somente se, todos os elementos correspondentesforem dois a dois iguais.

Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, ento cada elemento aijde A igual ao correspondente elemento bij de B.

Sim bolicamente:

para i {1, 2, 3, ..., m} e j {1, 2, 3, ..., n}

7. Adio de matrizesDadas duas matrizes de mesma ordem, A = (aij)mxn

e B = (bij)mxn, define-se soma de A com B como sendoa matriz C = (cij)mxn, tal que cada elemento de C a so ma dos elementos correspondentes de A e B.

Sim boli camente:

para i {1, 2, 3, ..., m} e j {1, 2, 3, ..., n}

8. Subtrao de matrizesDadas duas matrizes, A e B, de mesma ordem,

define-se diferena entre A e B como sendo a soma deA com a oposta de B.

Simbolicamente:

9. Multiplicao de nmero real por matrizDada a matriz A = (aij)mxn e o nmero real , define-

se o produto de por A como sendo a matriz B= (bij)mxntal que cada elemento bij de B igual ao produto donmero pelo correspondente elemento da matriz A.

Simbolicamente:

para i {1, 2, 3, ..., m} e j {1, 2, 3, ..., n} Exemplo:

3 . 1430

7 3 =

312

90

21 9

Obter a transposta trocar, ordena damente,linhas por colunas

A transposta da transposta de A a prpriamatriz A

Saiba mais??

B = . A bij = . aij

243156

A B = A + ( B)

C = A + B cij = aij + bij

100

010

001

1 0 0 00 1 0 0

In = 0 0 1 0 ......................0 0 0 1

A = B aij = bij

aij = 1 i = j aij = 0 i j

000

000

2 linhas2 colunas

14

36

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MATEMTICA 3

Questes de a .Sendo A = (aij)2x3 tal que aij = i + 2j, i {1; 2} j {1; 2; 3}, pede-se:

Escrever a matriz A.RESOLUO:

A = A =

Escrever a matriz oposta de A.

RESOLUO:

A =

Escrever a matriz transposta de A.

RESOLUO:

At = 357

468

3 4 5 6 7 8

34 56 78a11a21

a12a22

a13a23

(UERJ MODELO ENEM) A temperatura corporal de umpaciente foi medida, em graus Celsius, trs vezes ao dia, durante cincodias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde temperaturaobservada no instante i do dia j.

Determinea) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior tem -

peratura; b) a temperatura mdia do paciente no terceiro dia de observao. Resoluoa) A maior temperatura dada pelo elemento a24(40,5 C) da matriz e

ocorreu no instante 2 do dia 4.

b) As temperaturas do terceiro dia so a13 = 38,6, a23 = 37,2 e

a33 = 36,1. A mdia, em graus Celsius, :

= = = 37,3

Sabe-se que duas matrizes de mesma ordem so iguais quandopossuem todos os elementos correspondentes, dois a dois, iguais. Porexemplo, com relao s matrizes

A = , B = e C =

observa-se que A = B e A C. Considere as matrizes

M = , N = e

P = .

Determine:a) x + y + z, sabendo que M = N b) M + Pc) M P d) 2M Resoluoa) Se M = N, temos: x = 3, y = 0 e z = 12. Dessa forma, resulta

x + y + z = 3 + 0 + 12 = 15

b) M + P = + =

= =

c) M P = =

= =

d) 2M = = 4

0

24

2

0

4

6

10

2

2.3

2.5

2.1

2.( 1)

2.0

2.( 2)

2.2

2.0

2.12

3

0

7

3

3

2

0

4

1

2 + 1

0 0

12 5

1 2

0 + 3

2 0

3 3

5 1

1 0

1

0

5

2

3

0

3

1

0

2

0

12

1

0

2

3

5

1

1

0

17

1

3

2

6

6

1

2 1

0 + 0

12 + 5

1 + 2

0 3

2 + 0

3 + 3

5 + 1

1 + 0

1

0

5

2

3

0

3

1

0

2

0

12

1

0

2

3

5

1

1

0

5

2

3

0

3

1

0

2

y

z

1

0

2

x

5

1

2

0

12

1

0

2

3

5

1

86 1

02

6

1

02

6

1

0

111,9

3

38,6 + 37,2 + 36,1

3

a13 + a23 + a33

3

35,6

36,1

35,5

36,4

37,0

35,7

38,6

37,2

36,1

38,0

40,5

37,0

36,0

40,4

39,2

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 3

MATEMTICA4

(MODELO ENEM) Uma loja guarda as camisas queesto venda em uma prateleira que permite separ-las emtamanho (pequeno, mdio e grande) e cor (verde, azul, brancae preta), conforme a figura seguinte:

Para controlar o es to que, a lo ja utiliza uma matriz A = (aij)34 emque (i; j) indi ca a po sio em que as camisas se encon tram naprateleira e aij indica a quan tidade de camisas daquela cor e ta -manho correspon den te. Assim, por exemplo, a23 = 5 significaque existem cinco camisas brancas de tamanho mdio. Quan -

do A = , pode-se dizer que

a) existem 7 camisas verdes mdias.b) existem 18 camisas mdias.c) existem quantidades iguais de camisas azuis e pretas.d) esto em falta camisas azuis grandes.e) h mais camisas grandes que pequenas.

RESOLUO:Conforme a matriz, tm-se: 1 camisa verde mdia, 1 + 6 + 5 + 8 = 20 camisas mdias, 7 + 6 + 2 = 15 camisas azuis, 3 + 8 + 4 = 15 camisas pretas, 2 + 7 + 4 + 3 = 16 camisas pequenas e 9 + 2 + 0 + 4 = 15 camisasgrandes.Resposta: C

Se A = , B = e

A = B, qual o valor de x + y + z?

RESOLUO:

Sendo A = e B = , obter 2A B.

RESOLUO:

2 . A B = 2 . =

= = 500

27

1

142

013

642

282

142

013

321

141

142

013

321

141

z = 3x = 1 x + y + z = 1 + 4 + 3 = 8y = 4

3 = zx = 2x 1 y = 4

z421

12x 1

1x

3y

21

219

762

450

384

Verde Azul Branca Preta

Pequeno

Mdio

Grande

1. DefinioO produto da matriz A = (aik)mxp pela matriz

B = (bkj)pxn a matriz C = (cij)mxn tal que cada elementocij de C igual soma dos produtos dos elementos dai-sima linha de A pelos correspondentes elementos daj-sima coluna de B.

Simbolicamente

C = A.B

cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + aip . bpj

2 Multiplicao de matrizes Produto Linha por coluna

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M101

No Portal Objetivo

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MATEMTICA 5

2. Existncia da matriz produtoa) A matriz produto A . B existe se, e somente se, o

nmero de colunas da matriz A for igual ao nmerode linhas da matriz B;

b) Existindo, a matriz produto A . B tem o mesmonmero de linhas da matriz A e o mesmo nmero decolunas da matriz B;

c) A existncia de A. B no implica a existncia deB . A.

Note que, sendo A = (aij)2x7 e B = (bjk)7x5, temos:a) A matriz produto A . B existe, pois o nmero de

colunas de A (sete) igual ao nmero de linhas de B(sete);

b) A matriz produto C = A . B de ordem 2x5, poisa matriz A possui duas linhas e a matriz B possui 5colunas.

c) No existe a matriz produto D = B . A, pois o n -mero de colunas de B (cinco) diferente do nmero delinhas de A (dois).

Dadas as matrizes A =2x3

e B =3x3

,

obter a matriz A.B.

Resoluo

O elemento c11 da matriz produto A . B obtido utilizando a primeira

linha de A e a primeira coluna de B e igual a 7, pois:

O elemento c12 da matriz produto A . B obtido utilizando aprimeira linha de A e a segunda coluna de B e igual a 3, pois:

O elemento c13 da matriz produto A . B obtido utilizando a

primeira linha de A e a terceira coluna de B e igual a 9, pois:


segunda linha de A e a primeira coluna de B e igual a 6, pois:


segunda linha de A e a segunda coluna de B e igual a 3, pois:


segunda linha de A e a terceira coluna de B e igual a 8, pois:

Assim sendo,

A . B = . = 1 3 22 1 1 2 1 31 0 21 1 0

76 33 98

2 1 1( ) . 32

0( ) =

=

2.3 + 1.2 + 1.0( ) = 7 3 9( )7 3 9

6 3 86 3

2 1 1( ) . 10

1( ) =

=

2.1 + 1.0 + 1.1( ) = 7 3 9( )7 3 9

6 36

2 1 1( ) . 21

1( ) =

=

2.2 + 1.1 + 1.1( ) = 7 3 9( )7 3 9

6

1 3 2( ) . 320

( ) ==

1.3 + 3.2 + 2.0( ) = 7 3 9( )7 3

1 3 2( ) . 101

( ) ==

1.1 + 3.0 + 2.1( ) = 7 3( )7

1 3 2( ) . 211

( ) ==

1.2 + 3.1 + 2.1( ) = 7( )

2 1 31 0 21 1 01 3 2

2 1 1

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MATEMTICA6

Dadas as matrizes A = e B = , obter A.B.

RESOLUO:

A.B = . =

Sendo A = e B = ,

calcular a matriz A . B.

RESOLUO:

A.B = . =

Sendo A = , e B = ,

obter, se possvel, A . B e B . A

RESOLUO:

A . B = . =

B . A

(FATEC) Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e Cso, respectivamente, 3 x r, 3 x s e 2 x t. Se a matriz (A B).C de ordem 3 x 4, ento r + s + t igual a:a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

RESOLUO:I) Se existe A3xr B3xs, ento as matrizes A e B possuem a mesma

ordem. Portanto, r = s e (A B)3xr.II) Se (A B)3xr.C2xt = [(A B).C]3x4, conclui-se que r = 2 e t = 4.III)De (I) e (II), conclui-se que r = s = 2 e t = 4 e, portanto

r + s + t = 8.Resposta: B

3 21

1

5

3 23

4

112

125

1111 83 3015

3 211

5 3

23

4

112

125

110

235

0 2 1

2

12

13

2

204

4 5 7

51417

2 6 4

1

10

235

0 2 1

2

12

13

2

204

2314

11

52

37

1223

2314

11

52

Para que exista o produto entre duas matrizes, Amxn e Bpxr, preciso que n = p, ou seja, o nmero de colunas da primeira matrizdeve ser igual ao nmero de linhas da segunda matriz. Existindo oproduto, a matriz C, resultante do produto AB, ter o mesmo nmerode linhas que a primeira matriz e o mesmo nmero de colunas dasegunda matriz. Dessa forma, se n = p, ento Amxn . Bpxr = Cmxr.

Dadas as matrizes e B = , deter mine:a) A.B b) B.A

Resoluo

a) A2x2 . B2x3 = C2x3

. =

Observe que:c11 = a11 . b11 + a12 . b21 = 2 . 1 + 3 . ( 1) = 1c12 = a11 . b12 + a12 . b22 = 2 . 1+ 3 . 2 = 8c13 = a11 . b13 + a12 . b23 = 2 . 0 + 3 . 5 = 15c21 = a21 . b11 + a22 . b21 = ( 1) .1 + 0 . ( 1) = 1c22 = a21 . b12 + a22 . b22 = ( 1) . 1 + 0 . 2 = 1c23 = a21 . b13 + a22 . b23 = ( 1) . 0 + 0 . 5 = 0

Dessa forma, resulta C =

b) B2x3.A2x2 no existe, pois o nmero de colunas (3) da pri mei ra

matriz B, diferente do nmero de linhas (2) da se gunda matriz A.

Respostas: a) C = b) no existe B.A. 1 1 8 1 150

1 1 8 1 150

c11c21c12c22

c13c2311 12 052 1 30

1 1 12 052 1 30

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MATEMTICA 7

(UFRJ MODELO ENEM) Uma fbrica de guarda-roupasutiliza trs tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada)para guarda-roupas de mogno e cerejeira, nos modelos bsico,luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produo de mveisdurante o ms de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidadede fechaduras utilizadas em cada tipo de armrio no mesmoms.

Tabela 1: Produo de armrios em outubro de 2005

Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005

A quantidade de fechaduras usadas nos armrios do modelorequinte nesse ms foi dea) 170 b) 192 c) 120 d) 218 e) 188

RESOLUO:

A matriz A = 2 3

representa a tabela 1, a matriz

B = 3 2

representa a tabela 2 e a matriz C = B.A

representa a quantidade de fechaduras usadas em cada modelo.

C = . =

Assim,

No modelo requinte, foram usadas 100 + 72 + 46 = 218 fechaduras.

Resposta: D

FECHADURAS POR MODELO

TIPO BSICO LUXO REQUINTE

Dourada 78 86 100

Prateada 56 64 72

Bronzeada 36 38 46

785636

866438

1007246

34

53

45

1084

1286

1084

1286

3453

45

MADEIRA

TIPO MOGNO CEREJEIRA

Dourada 10 12

Prateada 8 8

Bronzeada 4 6

MODELO

MADEIRA BSICO LUXO REQUINTE

Mogno 3 5 4

Cerejeira 4 3 5

1. ComutativaA multiplicao de matrizes no comutativa, ou seja:

as matrizes AB e BA no so obrigatoriamente iguais.Existem, portanto, matrizes A e B tais que AB BA.

2. Anulamento do produtoNa multiplicao de matrizes, no vale a lei do

anulamento do produto, ou seja: o produto de duasmatrizes pode ser nulo mesmo que ambas sejam nonulas. Existem, portanto, matrizes A e B tais que A 0,B 0 e AB = 0.

3. CancelamentoNa multiplicao de matrizes, no vale a lei do

cancelamento, ou seja: na igualdade AB = AC no se

pode cancelar A e concluir que B = C. Existem,portanto, matrizes A, B e C tais que AB = AC e B C.

4. Propriedades da transpostaSe A e B forem matrizes conformes para a operao

indicada e k um nmero real, ento:

a) A = B At = Bt

b) (At)t = A

c) (A + B)t = At + Bt

d) (kA)t = k . At

e) (AB)t = Bt . At

3 Propriedades Comutativa Anulamento de produto Cancelamento


No Portal Objetivo

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 7

MATEMTICA8

Dadas as matrizes

A = , B= e C= ,

determine:a) AB b) BA c) AC d) CA

Resoluo

a) A . B = . =

= =

=

b) B . A = . =

= =

=

c) A . C = . =

= =

d) C . A = . =

= =

=

Observe que A.B B.A e A.C = C.A. Conclui-seque o produto entre matrizes no comutativo,ou seja, diferentemente do que ocorre com oproduto de nmeros reais, podemos ter A.B eB.A com A.B B.A.

Respostas:

a) A.B = b) B.A =

c) A.C = d) C.A =

Considere as matrizes A = e B =

determine A.B e B.A.Resoluo

A.B = . =

= =

=

B.A = . =

= =

=

Observe que, diferentemente do que ocorrecom o produto de nmeros reais, temosA.B=O sendo A O e B O, em que O amatriz nula.

2 22

21.1 + 1.1( 1).1 + ( 1).1

1.1 + 1.1

( 1).1 + ( 1).111 1111 11

00 001.1 + 1.( 1)1.1 + 1.( 1)1.1 + 1.( 1)1.1 + 1.( 1)

11 1111 11

11 1111 11

24 0224 02

42 1124 13

24 02

2.0 + 0.10.0 + 2.12.1 + 0.20.1 + 2.2

12 0120 02

24 021.0 + 0.22.0 + 1.21.2 + 0.02.2 + 1.0

20 0212 01

42 11

2.0 + 1.10.0 + 1.12.1 + 1.20.1 + 1.2

12 0120 11

24 13

1.1 + 0.12.1 + 1.11.2 + 0.02.2 + 1.0

20 1112 01

20 0220 1112 01

Enunciado para questes e .

Sendo A = , B = e C = ,

obter:

A . B e B . A

RESOLUO:

A . B =

B . A =

Concluso: A multiplicao de matrizes no comutativa, ou seja,A.B e B.A nem sempre so iguais.

A . (B + C) e (B + C) . A

RESOLUO:

B + C =

A . (B + C) =

(B + C) . A =

Concluso: Observe que A . (B + C) (B + C) . A

Considere as matrizes A = e B = e

determine A . B.

RESOLUO:

A . B = . =

Concluso: Existem matrizes A e B, tais que A 0, B 0 e A . B = 0.

122

4 2

1

6

3 0

0

0

0

1224

21

63

3411 .

2 2

13 =

46

67

2 213 .

34

11 =

106

31

13 25 +

21

3 4 =

34

11

13 25 .

2 2

13 =

6 4

518

2 213 .

13

25 =

57

119

2 213

13

25

21

3 4

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 8

MATEMTICA 9

(UNESP MODELO ENEM) Uma rede de comunicaotem cinco antenas que transmitem uma para a outra, conformemostrado na matriz A = (aij), em que aij = 1 significa que aantena i transmite diretamente para a antena j, e aij = 0 significaque a antena i no transmite para a antena j.

Qual o significado do elemento b41 da matriz B = A2?

a) Como b41 = 0, isso significa que a antena 4 no trans mitepara a antena 1.

b) Como b41 = 1, isso significa que a antena 4 transmite paraa antena 1.

c) Como b41 = 3, isso significa que a antena 4 transmite paraa antena 1.

d) Como b41 = 3, isso significa que existem 3 maneiras dife -ren tes de a antena 4 transmitir para a antena 1, usan do ape -nas uma retransmisso entre elas.

e) Como b41 = 3, isso nada significa, pois bij s pode valer 0 ou1, conforme definido no enunciado da questo.

RESOLUOComo B = A2 = A . A, temos:b41 = a41 . a11 + a42 . a21 + a43 . a31 + a44 . a41 + a54 . a51 =

= 1 . 0 + 1 . 1 + 1 . 1 + 0 . 1 + 1 . 1 = 3

Este resultado significa que existem 3 maneiras distin tas de a

antena 4 transmitir informaes para a antena 1, usando apenas

uma nica retransmisso entre elas. A saber:4 transmite para a antena 2 e esta retransmite para 1, 4 transmite para a antena 3 e esta retransmite para 1, 4 transmite para a antena 5 e esta retransmite para 1.Resposta: D

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1. ConceitoSubmetendo os elementos de uma matriz quadra -

da (tabela de nmeros) a operaes (mediante umadefinio), obtm-se como resultado um nmero que chamado determinante dessa matriz.

O determinante da matriz

indicado por:

2. Como calcular

a) Matriz de Ordem 1: A = (a11) det A = a11

ou

a11a21..

an1

a12a22..

an2

a13a23...

a1na2n..

ann

det M ou deta11a21..

an1

a12a22..

an2

a13a23..

an3

a1na2n..

ann

a11a21..

an1

a12a22..

an2

a13a23...

a1na2n..

ann

M = a) Matriz tabela de nmeros reais.b) Determinante um nmero real.c) S se define deter minante se a matriz for qua -

drada.

Saiba mais??

4 Determinantes Matriz quadrada Determinante nmero Matriz tabela


No Portal Objetivo

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 9

MATEMTICA10

IV) Obter o det A fazendo a diferena entre a soma das parcelas do item (II) e a soma das parcelas do item (III).

det A = a11

. a22

. a33

+ a12

. a23

. a31

+ a13

. a21

. a32

a13

. a22

. a31

a11

. a23

. a32

a12

. a21

. a33

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT2M104

No Portal Objetivo

b) Matriz de Ordem 2

c) Matriz de Ordem 3Neste caso, podemos usar um dispositivo prtico

(Regra de Sarrus), que consiste em:I) Repetir as duas pri mei ras colunas ao lado na ter -

ceira colu na:

II) Obter os produtos a11 . a22 . a33, a12 . a23 . a31 ea13 . a21 . a32

III) Obter os produtos a13 . a22 . a31, a11 . a23 . a32 ea12 . a21 . a33

a11a21a31

a12a22a32

a13a23a33

a11a21a31

a12a22a32

a11a21a31

a12a22a32

a13a23a33

a11a21a31

a12a22a32

a11a21a31

a12a22a32

a13a23a33

a11a21a31

a12a22a32

det A =

a11 a12 a11 a12A = det A = = a11.a22 a12.a21a21 a22 a21 a22

Calcular o determinante da matriz A =

Resoluo

= 1 . 2 . 3 + 2 . 0 . 1 + 1 . 2 . 3 1 . 2 . 1 3 . 0 . 1 3 . 2 . 2 == 6 + 0 + 6 2 0 12 = 2

Resposta: det A = 2

Calcular o determinante da matriz A =

Resoluo

det A = = 2 . 7 5 . 3 = 1

Resposta: det A = 1

2

3

5

7

23 571 2 1 1 2

2 2 0 2 2

1 3 3 1 3

=

det A =

121

223

103

Sendo A = , obter det A

RESOLUO:

det(A) = = 1 . 2 3 . 4 = 1014

32

1432

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 10

MATEMTICA 11

Calcular det = =

RESOLUO:

= = 6 + 16 = 10

Sendo A = e B = , calcular

det (At . B).

RESOLUO:

At . B = . =

det(At . B) = 48 70 12 42 + 16 + 60 = 0

(FEI MODELO ENEM) As faces de um cubo foramnumeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubo foiregistrada uma matriz de ordem 2, com elementos definidospor:

aij = em que f o valor associado face cor -

res pondente. Qual o valor do determinante da matriz regis -trada na face 5?a) 63 b) 61 c) 60 d) 6 e) 0

RESOLUO:Para a face 5, temos f = 5. Dessa forma, os elementos da matriz Aso definidos por

aij = Assim, det (A) = det = 63 2 = 61

Resposta: B

(UNESP-adaptado MODELO ENEM) Foi realizadauma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com umgrupo de 500 crianas de 3 a 12 anos de idade. Para essegrupo, em funo da idade x da criana, concluiu-se que o pesomdio p(x), em quilo gramas, era dado pelo determinante damatriz A, em que

A =

Com base na frmula p(x) = det A, podemos concluir que opeso mdio de uma criana de 5 anos , em kg, igual a:a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22RESOLUO

p(x) = det A = 1 . 0 . + 3 . 2 . 1 + 0 . ( 1) . ( x)

1 . 0 . 0 1 . ( x) . 2 ( 1) . 3 . =

= 0 + 6 + 0 0 + 2x + 2 = 2x + 8

Para x = 5, temos p(5) = 2 . 5 + 8 = 18Resposta: A

23

23

1 1 1

3 0 x2

0 2 3

2i + 5, se i = jj, se i j 7

1

2

9

2i + f, se i = jj , se i j

20 1

32

3 12 4 1 01 84

7

5 2 1

32

3

2302

1 3

12

4 1

01

121

113

313

121

113

313 12

1

113

313

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 11

MATEMTICA12

1. Fila nulaO determinante de uma matriz quadrada se anula

quando a matriz possui uma fila nula.

Exemplo

De fato:

2. Filas paralelas iguaisO determinante de uma matriz quadrada se anula

quando a matriz possui duas filas paralelas iguais.

Exemplo

De fato:

3. Filas paralelas proporcionaisO determinante de uma matriz quadrada se anula

quando a matriz possui duas filas paralelas propor -cio nais.

Exemplo

De fato:

4. Fila combinao linearO determinante de uma matriz quadrada se anula

quando a matriz possui uma fila que combinaolinear das demais filas paralelas.

Exemplo

De fato:

131

545

242

= 0, pois a primeira linha igual terceira (L1 = L3).

1 5 2 1 5

3 4 4 3 4 = 0

1 5 2 1 5

8 20 30 + 8 + 20 + 30

2 0 7 2 0

3 0 3 3 0 = 0

5 0 1 5 0

0 0 0 + 0 + 0 + 0

= 0, pois a segunda coluna nula.235

000

731

= 0, pois a segunda linha propor cional primeira (L2 = 3.L1).

5151

265

392

5 2 3 5 2

15 6 9 15 6 = 0

1 5 2 1 5

18 225 60 + 60 + 18 + 225

= 0, pois a terceira linha com bina -o linear das duas primeiras (L3 = 2 . L1 + 1 . L2).

135

113

204

1 1 2 1 1

3 1 0 3 1 = 0

5 3 4 5 3

10 0 12 + 4 + 0 + 18

5 Determinante nulo Fila nula Filas paralelas iguais Filas paralelas proporcionais Fila combinao linear

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MATEMTICA 13

Dada a matriz A = , mostrar que

a) se c = d = 0, ento det A = 0.

b) se a = 6, b = 8 e e = 5, ento det A = 0.

c) se a = 3, b = 4 e e = 10, ento det A = 0.

d) se a = b = c = d = 1 e e = 32, ento det A = 0.

Resoluo

a) se c = d = 0, ento:

A = e det A = 0,

pois a segunda linha nula.

b) se a = 6, b = 8 e e = 5, ento:

A = e det A = 0,

pois a 3a. linha igual 1a. linha.

c) se a = 3, b = 4 e e = 10, ento:

A = e det A = 0,

pois a 3a. linha proporcional 1a. linha (3a. linha = 2 . (1a. linha)).

d) se a = b = c = d = 1 e e = 32, ento:

A = e det A = 0,

pois

= 32 + 6 + 0 30 8 0 = 0

Note que, neste caso, det A = 0 e em A no h fila nula, nem filas pa -

ralelas iguais e nem filas paralelas proporcionais. Certa mente, uma

das filas combinao linear das demais filas paralelas.

Verifique, por exemplo, que:

(3a. linha) = 6 . (1a. linha) + 2 . (2a. linha).

Resolver, em , a equao:

= 0

Resoluo

15 + 2x + ( 8) 2 ( 3x) 40 = 0 5x 35 = 0 x = 7

Resposta: V = {7}

Observao:

Para x = 7, o determinante zero, pois a terceira linha combinaolinear das outras duas.

De fato: 3a. linha = 1 . (2a. linha) 1 . (1a. linha)

3 2 2 3 2

4 1 x 4 1

1 1 5 1 1

= 0

341

211

2x5

1 1 5 1 1

0 1 1 0 1

6 8 32 6 8

=

106

118

5132

306

4c8

5d10

606

8c8

5d5

a06

b08

50e

a06

bc8

5de

Nas questes de a , calcular os determinantes.

= 0

Observaes: Se todos os ele mentos de uma fila de uma matrizquadrada M forem nulos, ento det (M) = 0.

= 5ac + ab + 3bc 5ac ab 3bc = 0

Observaes: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -lelas iguais, ento det (M) = 0.

= 2 . = 2 . 0 = 0

Observaes: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -lelas proporcionais, ento det (M) = 0.

=

= b.(2 + c) + 2a.(3 + b) + 3c(1 + a) 2b(1 + a) c(3 + b) 3a(2 + c) == 2b + bc + 6a + 2ab + 3c + 3ac 2b 2ab 3c bc 6a 3ac = 0Observaes: Se uma fila de uma matriz quadrada M com -binao linear das demais filas paralelas, ento det (M) = 0.

1a

1 + a

3b

3 + b

2c

2 + c

123

123

512

123

246

512

abc

351

abc

260

550

480

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MATEMTICA14

= 0

Observando que cada elemento da coluna 3 igual ao dobro docor res pondente elemento da coluna 1 sub trado do triplo do cor -res pon dente elemento da coluna 2, conclui-se que o determinante nulo.

O valor de x que satisfaz a equao = 0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RESOLUO:

= 0 2x + 18 + 140 + 5 21x 48 = 0

23x + 115 = 0 23x = 115 x = 5

Observe que para x = 5, C3 = C1 + C2Resposta: E

(MODELO ENEM) Nove candidatos a uma vaga de esta -girio foram dis tri budos em uma sala de espera, como repre -sen tado a seguir:

A tabela que representa essa distribuio pode ser chamada dematriz e se substituirmos o nome de cada um desses can dida -tos pelo nmero que representa a posio ocupada, em nossoalfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome, obteremosuma nova matriz. O determinante dessa nova matriz igual a:a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

RESOLUO:A matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo nmeroque indica a posio, em nosso alfabeto, ocupada pela primeiraletra do respectivo nome :

e o seu determinante = 0, pois a

terceira linha combinao linear das outras duas linhas. Ela igual soma da primeira linha com a segunda linha.Resposta: C.

134

246

112

134

246

112

AlbertoCarlos

Daniele

BrunoDenise

Fernanda

AndrAlvaroBarone

271

314

56x

56x

3 1

4

271

2a 3b13

b31

a53

1. Trocando filas paralelasO determinante de uma matriz quadrada muda de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posio.ExemploTrocando entre si as duas ltimas co lu nas, por exemplo, obtm-se

2 3 1 2 3

5 0 2 5 0 = 7 e

1 1 0 1 1

0 4 0 + 0 + 6 + 5

2 1 3 2 1

5 2 0 5 2 = 7

1 0 1 1 0

6 0 5 + 4 + 0 + 0

6 Determinante se altera Muda de sinal

Multiplicando a matriz por Multiplicando o determinante por n


No Portal Objetivo

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MATEMTICA 15

2. Multiplicando uma fila por O determinante de uma matriz quadrada fica multiplicado por , quando os elementos de uma fila so mul -

tiplicados por .ExemploMultiplicando os elementos da primeira linha por 3, por exemplo, tm-se:

e

De fato:

3. Multiplicando a matriz por O determinante de uma matriz quadrada de ordem n fica multiplicado por n, quando a matriz multiplicada

por .Exemplo

Multiplicando todos os elementos dessa matriz, por exemplo, por 2, obtm-se

De fato:

111

213

32 0

= 4311

613

920

= 3 .111

213

320

= 12

= 4121

134

101

det M =121

134

101

M =

1 1 1 1 1

2 3 0 2 3

1 4 1 1 4

= + 3 0 2 + 3 + 0 8 = 4

det M = =

2 2 2 2 2

4 6 0 4 6 =

2 8 2 2 8

det (2M) =

+ 24 0 16 + 24 + 0 64 = 32

det (2M) = 23 . det M = 8 . ( 4) = 322M = 242268

202

3 6 9 3 6

1 1 2 1 1

1 3 0 1 3

9 18 0 + 0 + 12 + 27 = 12

1 2 3 1 2

1 1 2 1 1

1 3 0 1 3

3 6 0 + 0 + 4 + 9 = 4

Calcular o valor de , saben -

do-se que = 17.

Resoluo

Para calcularmos o valor de , im -

portante que ob servemos que os elementos dasegunda coluna so mltiplos de 3 e portanto,podemos colocar o 3 em evidncia. Dessa forma, resulta

= 3 .

Agora, devemos observar que trocando as duasprimeiras colu nas, desse novo deter minante,de posio entre si, obteremos o deter minantecujo resultado igual a 17. No podemos es -quecer que ao trocar duas linhas ou duas colu -

2x4

123

582

2x4

369

582

2x4

369

582

123

2x4

582

2x4

369

582

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 15

MATEMTICA16

nas de posio entre si, o sinal do determinan -te alterado.

Assim, temos:

= 3 . =

= 3 . =

= ( 3) . ( 17) = 51

Resposta: 51

Calcular o determinante da matriz

, sabendo-se que

= k

Resoluo

= 2 . 3 . =

= 6 . = + 6 .

= 6 . = 6k

Resposta: = 6k

123

2x4

582

2x4

369

582

2x4

123

582

2nyb

6m3x3a

2pzc

amx

bny

cpz

max

nby

pcz

m

x

a

n

y

b

p

z

c

nyb

mxa

pzc

2nyb

6m3x3a

2pzc

a

m

x

b

n

y

c

p

z

2nyb6m3x3a

2pzc

Considere as matrizes

A = , B = , C = , D = e

resolva as questes de a .

Calcular det(A) e det(B).

RESOLUO:

det(A) = = 8 6 = 2

det(B) = = 6 8 = 2

Observao: Comparando os determinantes da matriz A e damatriz B, verifica mos que o determinante de uma matriz qua dra -da muda de sinal quando trocamos duas filas paralelas de posioentre si.

Obter det(C).

RESOLUO:

det(C) = = 24 18 = 6 = 3 . 2 = 3 det A

Observao: Os elementos da primeira linha da matriz C soiguais aos correspondentes elementos da primeira linha de A,mul tiplicados por 3. Por este motivo, o det(C) = 3 . det A.

Calcular o determinante da matriz D.

RESOLUO:

det(D) = = 72 54 = 18 = 9 . 2 = 32 . 2 = 32 . det A

Observao: A matriz D = 3 . A, enquanto det D = 32 . det A, pois A e D so matrizes de ordem 2.

Dado que A = e det(A) = 5, podemos

concluir que det igual a:

a) 30 b) 5 c) 10 d) 15 e) 30

RESOLUO:

= 2 . 3 . = 6 . = ( 6).5 = 30

Resposta: A

2c3pz

2b3ny

2a3mx

cpz

bny

amx

amx

bny

cpz

2c3pz

2b3ny

2a3mx

amx

bny

cpz

39

624

33

68

28

13

13

28

39624

33

68

28

13

13

28

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 16

MATEMTICA 17

(PUC-MG) M uma matriz quadrada de ordem 3, e seudeterminante det(M) = 2. O valor da expresso det(M) + det(2M) + det(3M) :a) 12 b) 15 c) 36 d) 54 e) 72

RESOLUO:Sendo M uma matriz quadrada de ordem 3 e det(M) = 2, temos:det(2M) = 23.det(M) = 8.2 = 16 e det(3M) = 33.det(M) = 27 . 2 = 54Assim, det(M) + det(2M) + det(3M) = 2 + 16 + 54 = 72Resposta: E

(MODELO ENEM) Sabe-se que multiplicar o deter mi -nante de uma matriz quadrada por um nmero real k omesmo que multiplicar os elementos de uma nica fila (linhaou coluna) desse deter minante por k. Por exemplo:

k . = = = =

= = =

Considere os determinantes

A = e B = . Utilize seus

co nhecimentos sobre o tema e o texto da questo para deter -minar qual das alternativas relaciona de forma correta A e B.

a) B = A b) B = A c) B =

d) B = 3A e) A = 3B

RESOLUO:

B = = 3 . = 3 . A

Resposta: D

1132

251

3

0 653

1323

3396

251

3

0 653

1323

A2

3396

251

3

0 653

1323

1132

251

3

0 653

1323

amx

bny

kckpkz

amx

kbknky

cpz

kakmkx

bny

cpz

amkx

bnky

cpkz

akmx

bkny

ckpz

kamx

kbny

kcpz

amx

bny

cpz

7 Determinante no se altera Trocando linhas por colunas Somando uma combinao linear

1. Trocando linhas por colunasO determinante de uma matriz quadrada A no se altera quando trocamos ordenadamente as linhas pelas

colunas.Simbolicamente

Exemplo

De fato:

= 35 2

13

114

531

det M = det Mt =

2 1 5 2 1

1 1 3 1 1 = 353 4 1 3 4

15 + 24 1 2 + 9 + 20

det M =

15 + 24 1 2 + 20 + 9

2 1 3 2 1

1 1 4 1 1 = 355 3 1 5 3

det Mt =

M = 2

13

114

531

det A = det At


No Portal Objetivo

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 17

MATEMTICA18

2. Somando uma combinao linearSe a uma fila de uma matriz quadrada M somarmos uma combinao linear das demais filas paralelas,

obteremos uma nova matriz N tal que det N = det M (Teorema de Jacobi).Exemplos:

1)

e

2)

De fato:

12

3

214

3124

1 + 2 . 1 + 3 .( 2)5 + 2 . 2 + 3 . 1

2 + 2.( 3) + 3 . 4=

12

3

214

=12

3

214

15

2

27

16

=43 + (7) . 6

651 + (7) . 7

7=

517

436

9 48 + 16 + 4 + 72 24

1 2 3 1 2

2 1 12 2 1 = 113 4 4 3 4

+ 3 20 8 2 + 30 + 8

1 2 1 1 2

2 1 5 2 1 = 11 3 4 2 3 4

De fato:517

436

= 306 301 = 527

16

= 12 7 = 5

Considere a matriz A = . Calcule det(A) e

det(At), sendo At a matriz transposta de A, ou seja, a matriz que seobtm trocan do, ordenadamente, em A, as linhas pelas colunas.Resoluo

det(A) = = 2 + 12 + 0 2 0 0 = 12

det(At) = = 2 + 12 + 0 2 0 0 = 12

Observe que det(A) = det(At)

Resposta: det(A) = det(At) = 12

Calcular o determinante da matriz M = .

ResoluoLembrando que o determinante de uma matriz no se altera quandoadicionamos a uma fila qualquer uma combinao linear das demaisfilas paralelas, podemos calcular

det(M) = , adicionando primeira coluna de M,

a seguinte combinao linear:

100.(coluna 2) 10.(coluna 3)

Dessa forma resulta det(M) = =

= =

Note que, embora o determinante original e o novo deter minantesejam iguais, o determinante resultante pode ser cal culado maisfacilmente.

Assim det(M) = = =

= 3 + 18 + 64 24 18 8 = 35

Resposta: 35

141

232

891

281394211

232

891

141

232

891

891

232

281 100.2 10.8394 100.3 10.9211 100.2 10.1

281394211

232

891

281394211

232

891

281394211

232

891

1 21

02

6

101

101

220

1 61

101

220

1 61

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 18

MATEMTICA 19

Calcular os determinantes de A = e de

At (transposta de A).

RESOLUO:

det A = = 42

det(At) = = 42

Observao: Comparando os determinantes de A e de At, verifi -camos que o determinante de uma matriz A no se altera quandotrocamos ordenamente as linhas pelas colunas. Simbolicamente,det A = det At.

Sejam A = e

B = =

A matriz B, portanto, foi obtida de A, somando-se aos ele men -

tos da 3a. coluna uma combinao linear das outras colunas.

Cal cular det(A), det(B) e observe que, apesar de A B, temos

det(A) = det(B).

RESOLUO:

det(A) = = 1 + 4 + 0 4 0 0 = 1

det(B) = = 5 + 16 + 0 20 0 0 = 1

O valor de :

a) 1 b) 0 c) abc d) a + b + c e) 3

RESOLUO:Somar a 2a. coluna na 3a. coluna.

Resposta: B

O valor do determinante :

a) 0 b) 2 c) 2 d) 1 e) 572

RESOLUO:

I) multiplicar a 1a. linha por ( 17) e somar na 2a. linha.

II) multiplicar a 1a. linha por (5) e somar na 3a. linha.

Resposta: B

117 5

352

16

2 33

11=

100

311

211

= 2

117

5

352

16

2 33

11

1

1

1

a

b

c

b + c

a + c

a + b

=

1

1

1

a

b

c

a + b + c

a + b + c

a + b + c

= (a + b + c) .

1

1

1

a

b

c

1

1

1

= 0

111

abc

b + ca + ca + b

102

210

1045

102

210

211

102

210

2 + 2 . 1 + 3 . 21 + 2 . 0 + 3 . 1 1 + 2 . 2 + 3 . 0

102

210

1045

102

210

211

2 1

3

2 2

3

031

2 2

0

1 2

3

331

2

20

1 2

3

331

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 19

MATEMTICA20

(MODELO ENEM) Um professor dividiu os alunos deuma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou

o valor do determi nan te da matriz A = .

J ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz

B = .

Aps alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.O professor ento comentou que o que eles haviam observadoera apenas uma propriedade matemtica relacionada teoriade matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamosor denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelascolunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta deA, representada por At, cujo determinante igual ao deter -minante da matriz original.Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, podemos con -siderar que essa propriedade pode ser expressa matemati ca -mente pela sentena:

a) det(A) = det(A) b) det(A) =

c) det(A) = d) det(At) = det(A)

e) det(At) = det(A)

RESOLUO:Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, ao trocarmos ordena -damente as linhas pelas colunas, obtemos uma nova matrizchamada de transposta de A e representada por At. O que oprofessor tentou mostrar para os alunos que duas matrizestranspostas possuem determinantes iguais. Matematicamente,det(A) = det(At).Resposta: D

1det(At)

1det(A)

24638

03142

00030

01213

02151

20000

4 3 012

61021

34315

82031

1. Menor complementarO menor complementar Dij, do elemento aij da

matriz quadrada M, o determinante que se obtm deM, eliminando-se dela a linha i e a coluna j.

2. Cofator ou complemento algbricoO cofator do elemento aij da matriz quadrada M

Aij = (1)i+j. Dij, em que Dij o menor complementar de aij.

3. Teorema de Laplace

Simbolicamente:

Se M = , ento

ou

O Teorema de Laplace permite calcular o deter mi nan - te de uma matriz de ordem n como sendo a soma de ndeterminantes de ordem n 1. Permite, pois, abaixar aordem.

det M = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + + aij . Aij + + ain . Ain

det M = a1j . A1j + a2j . A2j + + aij . Aij + + anj . Anj

a11.

ai1.

an1

a12.

ai2.

an2

a1j.aij.

anj

a1n.

ain.

ann

O determinante de qualquer matriz qua dradaM de ordem n igual soma dos produtosdos elementos de uma fila pelos seus respec -tivos cofatores.

8 Abaixamento da ordem Menor complementar Cofator Teorema de Laplace


No Portal Objetivo

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 20

MATEMTICA 21

Calcular o menor complementar e o cofa -tor do elemento

a23 da matriz M =

Resoluo

Na matriz M = , temos

a23 = 3 e, portanto,

D23 = = 2 5 = 3

A23 = ( 1)2 + 3 . D23 = ( 1)

5 . =

= ( 1) . ( 3) = 3

Resposta: D23 = 3; A23 = 3

Calcular os cofatores dos elementos a13 ea33 da matriz

M =

Resoluo

Na matriz M = , temos

a13 = 2 e a33 = 1

Logo:

A13 = (1)1 + 3 . = 1 . (8 8) = 0

A33 = (1)3 + 3 . = 1 . (8 20) = 12

Resposta: A13 = 0; A33 = 12


M = aplicado o Teorema de

Laplace e utilizando a 3a. coluna.

Resoluo

De acordo com os exerccios 1 e 2, temos

A13 = 0; A23 = 3;

A33 = 12.

Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos:

det M = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 =

= 2 . 0 + 3 . 3 + ( 1) . ( 12) = 9 + 12 = 21

Resposta: det M = 21

141

582

23

1

1

4

5

8

4

1

8

2

141582

23

1

141582

23

1

1

1

5

2

1

1

5

2

141582

23

1

141

582

231

Dada a matriz M = , pedem-se:

a) os cofatores dos elementos da 2a. linha de M.b) o valor de det M utilizando o Teorema de Laplace na segun -

da linha de M.

RESOLUO:

a) A21 = (1)2+1 = 1 . 4 = 4

A22 = (1)2+2 = 0

A23 = (1)2+3 = 1 . 4 = 4

b) det M = a21 . A21 + a22 . A22 + a23 . A23

det M = 2 . ( 4) 2 . 0 + 5 . ( 4)

det M = 28

Obs.: Ateno professor: se julgar conveniente, calcule pela Regrade Sarrus, confirmando o resultado.

Calcular os cofatores dos elementos a14

e a44

da matriz

M =

RESOLUO:

A14 = (1)1+4 = 1(15 + 4 + 2 + 3 + 2 20) = 6

A44 = (1)4+4 = 6 + 6 + 8 8 + 9 + 4 = 25

312

423

211

121

232

115

3

121

42

32

2115

100

1

12

3

0 2

4

153

12

3

0 2

4= 6 + 0 8 + 6 20 + 0 = 28

1 3

04

1 3

13

04

13

12 30

24

153

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Pgina 21

MATEMTICA22

Calcular o valor de

RESOLUO:

= ( 1) . A14 + 0 . A24 + 0 . A34 + ( 1) . A44 =

= ( 1) . A14 + ( 1) . A44 = ( 1) . ( 6) + ( 1) . 25 = 6 25 = 19

Obs.: Os cofatores A14 e A44 foram calculados no exerccio an terior.

(MODELO ENEM) Um professor dividiu os alunos deuma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou

o valor do determi nan te da matriz A = .

J ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz

B = .

Aps alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.O professor ento comentou que o que eles haviam observadoera apenas uma propriedade matemtica relacionada teoria

de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamosor denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelascolunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta deA, representada por At, cujo determinante igual ao deter -minante da matriz original.O valor encontrado por cada um dos dois grupos igual a:a) 24 b) 12 c) 24 d) 25 e) 28

RESOLUO:De acordo com o Teorema de Laplace, temos:

det(A) = = 2 . =

= 2 . ( 3) . = ( 6) . ( 4) = 24

Resposta: C

3121

4232

2115

1001

3121

4232

2115

1001

312

121

231

3012

1021

4315

2031

20000

43012

61021

34315

82031

24638

03142

00030

01213

02151

20000

4 3 012

61021

34315

82031

1. Regra de ChiA Regra de Chi permite abaixar em uma unidade a

ordem de uma matriz quadrada M sem alterar o valor doseu determinante.

S pode ser utilizada se a matriz M possuir umelemento igual a 1.

Consiste em

a) Eliminar de M a linha e a coluna que contm oelemento aij = 1.

1 a b c

x m n py q r s

z t u v

9Regra de Chi e Teorema de Binet

Regra de Chi Teorema de Binet


No Portal Objetivo

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 22

MATEMTICA 23

Calcular, pela Regra de Chi, o determinante da matriz

M =

ResoluoO nico elemento de M que igual a 1 o a43, que dificulta o clculopela Regra de Chi. Um recurso transformar a11 = 3 em a11 = 1fazendo, pelo Teorema de Jacobi,

(1a. coluna) (3a. coluna). Assim sendo:

det M = = =

= =

= . ( 1)1 + 1 = 1 . ( 33) = 33

Resposta: det M = 33

Observao

Outro recurso para transformar a11 = 3 em a11 = 1 trocar a 1a. linha com a 4a. linha e em seguida a 1a. coluna com a 3a. coluna.

Calcular o determinante de A . B, sendo

A = e B =

Resoluo

Primeiro Processo

A . B = . =

det (AB) = = 162 19 = 143

Segundo Processo

det (AB) = det A . det B = . =

= (8 + 3) . (15 2) = 11 . 13 = 143

Resposta: det (AB) = 143

5

1

2

3

2

3

1

4

9

19

1

18

9191

185

1

2

32

3

1

4

512

32

3

1

4

3

6

1

2

7

1

1

2

4

1021

43 4 . 02 4 . 23 4 . 1

22 2 . 0

3 2 . 21 2 . 1

0 1 0 . 0

2 0 . 24 0 . 1

1021

4323

22

31

0 1

24

32

12

4323

22

31

0 1

24

3

2

1

2

4

3

2

3

2

2

3

1

0

1

2

4

b) De cada um dos ele mentos restantes, subtrair oproduto dos elementos correspondentes na linha e nacoluna eliminadas.

c) Calcular o determinante da matriz assim obtida emultiplicar o resultado por (1)i + j.

Observao

Torna-se mais cmodo utilizar o elemento igual a 1que se encontre num dos cantos da matriz, isto , a11ou a1n ou an1 ou ann.

2. Teorema de Binet

Para calcular o determinante do produto de duas ma -trizes quadradas e de mesma ordem A e B, podemos,portanto:

a) obter o produto A . B das duas matrizes e, emseguida, calcular o determinante dessa matriz;

b) calcular, separadamente, os determinantes de A ede B e, em seguida, multiplicar os dois valores obtidos(Teorema de Binet).

Se A e B so matrizes quadradas de mes -

ma ordem, ento det (A.B) = det A . det B

1

x

y

z

a

m a . x

.

.

b

n b . x

.

.

c

p c . x

.

.

1 a b c

x m a . x n b . x p c . x

y q a . y r b . y s c . y

z t a . z u b . z v c . z

. (1)i + jm a . x n b . x p c . xq a . y r b . y s c . y t a . z u b . z v c . z


No Portal Objetivo

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 23

MATEMTICA24

O determinante da matriz M = igual

a:

a) 1 b) 1 c) 2385 d) 0 e) 1938

RESOLUO:a11

= ( 1)2. = =

= 0 1 = 1Resposta: B


M = utilizando a Regra de Chi.

RESOLUO:

det M = =

= = =

= (2 4 4 + 2 + 2 8) = ( 10) = 10

Sejam as matrizes A = e B =

Calcule:a) det A b) det B c) det (A + B) d) det (A . B)

RESOLUO:a) det A = 20 + 3 det A = 23b) det B = 8 + 5 det B = 13

c) A + B = + =

det (A + B) = 54 (Observe que: det(A + B) det A + det B)

d) det (A . B) = det A . det B = 23 . 13 = 299

(MODELO ENEM) Dezesseis candidatos a uma vaga deestagirio foram distribudos em uma sala de espera, comorepresentado a seguir:

A tabela que representa essa distribuio pode ser chamada dematriz e se substituirmos o nome de cada um dessescandidatos pelo nmero que representa a posio ocupada, emnosso alfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome, obte -remos uma nova matriz. O determinante dessa nova matriz igual a:a) 192 b) 119 c) 0 d) 119 e) 192

RESOLUO:O determinante da matriz obtida, substituindo cada um dos no -mes pelo nmero que indica a posio, em nosso alfabeto, ocupa -da pela primeira letra do respectivo nome :

= ( 1)1+1 . = 192

Resposta: A

2 40

10 24

17 25 6

1341

2442

11325

7431

AlbertoCarlos

Danielelvaro

BrunoDeniseDaniel

Benedito

AndrMrciaBaroneEstela

GeraldoDeiseCarla

Antnio

51 3

4 4

1

5

2 9

0

2

6

51 34

4 1

52

1432

314105

7302016

2683

7302016

314105

1432

2683

15 15

61 60

41 40

159 160

0

1

1

1

1 3 8

5 15 41

20 61 159

15203

1561

841

159

2

1

1

2

1

2

2

2

1

14 3 . 4

10 3 . 3

5 3 . 2

30 7 . 4

20 7 . 3

16 7 . 2

6 2 . 4

8 2 . 3

3 2 . 2

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Pgina 24

MATEMTICA 25

1. DefinioAs matrizes A e B (quadradas e de ordem n) so

inversas se, e somente se, A . B = B . A = In, em que In a matriz identidade de ordem n.

Indicaremos a inversa de M por M1.

2. ExistnciaExiste a inversa de M se, e somente se, det M 0.

Neste caso, diz-se que M inversvel ou M no sin gular.Se det M = 0, ento M no inversvel ou M sin -

gular.

3. Como obter a matriz inversaExemplo: Obter a inversa da matriz M = .

1o. Modo: Usando a definioResoluo:

Se M1 = , por definio de inversa, decorre

que:

Este modo no pr tico, pois se recai em n siste -mas de n equaes e n incgnitas.

2.o Modo: Regra Prticaa) Calcular o determinante de M:

det M = = 12 11 = 1

b) Obter a matriz M chamada matriz dos cofato -res, substituindo cada elemento de M pelo respectivoco fator.

c) Obter a matriz M

, chamada matriz adjunta de M,

sendo M

= (M)t

d) Obter M1, que a inversa de M, multiplicando

M

por 1 .det M

4. Como obter um elemento de M1Se M uma matriz inversvel e bij um de seus ele -

mentos, ento:

sendo aji um elemento de M.

5. PropriedadesSe A e B so duas matrizes quadradas, inversveis e

de mesma ordem, valem as seguintes propriedades:

(A1)1 = A

A = B A1 = B1

(At) 1 = (A1)t

(A . B)1 = B 1 . A1

1det(A1) = det A

cofator de ajibij =

det M

3 11

14 =

M 1 =1

. M

det M

1 M 1 = .

1 3

11 1

4

M = 3 1 114

t

= 3 11 14

M = A11A21A12A22 =

3 1

114

411

13

3 11

14

1001

xz

yw

xzyw

41113

M1 =

x = 3y = 1z = 11w = 4

4x + z = 111x + 3z = 04y + w = 011y + 3w = 1

1001=

4y + w11y + 3w

4x + z11x + 3z

=.41113

10 e 11Inverso de matrizes, clculo de umelemento da inversa e propriedades

Existncia Matriz dos cofatores Matriz adjunta Matriz inversa


No Portal Objetivo

C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 25

MATEMTICA26

Obter o elemento da segunda linha eterceira coluna da in versa da matriz:

M =

Resoluo

a) det M = = 21

b) A32 = ( 1)3 + 2 . = (1 15) = 14

c) b23 = =

= = =

Resposta:

Determinar a sabendo-se que

a matriz inversa de .

Resoluo

Se as matrizes so inversas uma da outra,

ento:

. =

=

a = 1

Resposta: a = 1

2a + 2 = 0 5a + 6 = 1

1 0 0 11 2a + 2 0 5a + 6

1 0 0 13 a 5 22 1 5 3

3 a 5 2

2 1 5 3

2

3

2

3

14 21

A32

det M

cofator de a32

det M

1 35 1

1 2 35 1 10 4 7

1 2 3

5 1 10 4 7

(UEL) A soma de todos os elementos da inversa da

matriz M = igual a:

a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

RESOLUO:

Se for a inversa da matriz , ento, por definio,

temos:

. = =

A matriz inversa , portanto, e a soma de seus ele -

mentos 2.

Resposta: E

Dada a matriz M = , calcular

a) o determinante de M;

RESOLUO:

det M = = 1 + 20 10 10 det M = 1

b) a matriz dos cofatores de M;

RESOLUO:

A11 = ( 1)1 + 1 . = 9 A12 = ( 1)

1 + 2 . = 5

A13 = ( 1)1 + 3 . = 5 A21 = ( 1)

2 + 1 . = 2

A22 = ( 1)2 + 2 . = 1 A23 = ( 1)

2 + 3 . = 1

A31 = ( 1)3 + 1 . = 16 A32 = ( 1)

3 + 2 . = 10

A33 = ( 1)3 + 3 . = 9 M =

1

5

2

1 9216

5110

519

2

1

4

10

1

5

4

10

10

41

1

0

2

1

50

11

2

1

4

1

11

101

5

0

10

1 101212

a = 1

1b =

2c = 0

1d =

2

a = 1 a + 2b = 0c = 0 c + 2d = 1

a + 2b c + 2d

10

01

ac

10

01

10

12

10 12

10 1

2

acbd

acbd

150

211

4101

150

211

4101

Exerccios Propostos Mdulo 10

Exerccios Resolvidos Mdulos 10 e 11

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MATEMTICA 27

c) a matriz adjunta de M;

RESOLUO:

M

= (M)t =

d) a matriz inversa de M.

RESOLUO:

M1 = . M

=

(UFF) Determine os valores de x para que a matriz

M = no admita inversa.

RESOLUO:Se M matriz quadrada e no existe M1, temos:

det(M) = = 0 x5 x = 0 x = 0, x = 1 ou x = 1

Observao: Ditar para o aluno: Se a matriz quadrada M nopossui inversa ( no inversvel), seu determinante igual a zeroe ela chamada de matriz singular. Se a matriz quadrada Mpossui inversa ( inversvel), seu deter minante diferente de zeroe ela chamada de matriz no sin gular. Resposta: Os valores de x para que no exista a inversa de M soos elementos do conjunto {0; 1; 1}.

(MODELO ENEM) Cada um dos cartes abaixo tem deum lado um nmero e do outro uma letra.

Algum afirmou que todos os cartes que tm uma vogalnuma face tm um nmero par na outra. Para verificar se tal afirmao verdadeira:a) necessrio virar todos os cartes.b) suficiente virar os dois primeiros cartes.c) suficiente virar os dois ltimos cartes.d) suficiente virar os dois cartes do meio.e) suficiente virar o primeiro e o ltimo carto.

RESOLUO: preciso virar o primeiro carto para confirmar que no ver so temum nmero par. preciso virar o ltimo para confirmar que no verso no tem umavogal.Resposta: E

9 5

5

21

1

1610 9

9 5

5

21

1

1610 9

1det M

A B 2 3

x310

00

x

1x1

x3

10

00

x

1x1

Dada a matriz M = , calcular os ele men -

tos b13 e b32 da matriz inversa de M.

RESOLUO:

A31 = 7

A23 = ( 1) . ( 2) A23 = 2

det M = 12 + 10 3 + 6 det M = 25

b13 = b13 =

b32 = b32 = A23

det M

225

A31det M

725

4 31230

151


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MATEMTICA28

(FUVEST) O determinante da inversa da matriz

A = :

a) b) c) d) e)

RESOLUO:

I) det (A) = =

II) det (A1) = = =

Resposta: C

Sendo A e B matrizes inversveis de mesma ordem, resolva asequaes e .

AX = B

RESOLUO:AX = B A1 . A . X = A1 . B I . X = A 1 . B X = A1 . B

XA = B

RESOLUO:

XA = B X . A . A1 = B . A1 X . I = B . A1 X = B . A1

(MODELO ENEM) A teoria de matrizes e determinantesencontra grande aplicao na resoluo de sistemas lineares. Eao que tudo indica, segundo documentos histricos, suacriao remonta a um artigo de 1855, assinado pelo inglsArthur Cayley (1821-1895). Nesse artigo, Cayley utiliza asmatrizes para facilitar o estudo das transformaes dadas porequaes lineares. Para ele, a resoluo de sistemas linearesestaria facilitada com o uso da teoria de matrizes. A ideia eratransformar um sistema linear em uma equao matricialequivalente cuja resoluo forneceria a soluo do sistema.Em notao atual, teramos, por exemplo,

. =

Representando por A, X e B, respectivamente, as matrizes

, e , resulta a equao matricial A.X = B

cuja soluo X = A1.B, em que A1 a matriz inversa de A.

Considere a matriz A = e a sua inversa A1 =

Com base no texto, e seguindo as orientaes de Cayley,pode mos concluir que o par (x, y), soluo do sistema

, tal que x + y igual a:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

RESOLUO:

. =

= . =

x + y = 2 + 8 = 6

Resposta: A

1det(A)

1

48

5

548

1 1

15

0 2

4

10

3

48

5

52

5

48

5

548

552

548

1

11

5

0 2

4

10

3

x = 2y = 8

xy 3

5 12

414

xy

28

2x + y = 45x + 3y = 14 25

13

xy

414

2x + y = 45x + 3y = 14

2513

35

12

2513

xy 414

2x + y = 45x + 3y = 14 25 13 xy 414

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MATEMTICA 29

12Sistemas Lineares Regra de Cramer

Matrizes de um sistema Sistema normal Regra de Cramer

1. Sistemas linearesSistemas de equaes, como e

, constitudos apenas por equaes do

1o. grau nas incgnitas x, y ou z so chamados sistemaslineares.

Observe que no so lineares os sistemas

e , pois, em cada um, nem todas

as equaes so do 1o. grau.

Podemos dizer ento que sistema linear (S) todoconjunto de m (m 2) equaes em n incgnitas x1, x2, , xn, que se denota da seguinte forma:

, em que os

reais aij so os coeficientes de xj e b1, b2, , bm soconstantes. Se b1 = b2 = = bm = 0, o sistema linear dito homogneo.

2. Soluo de um sistemaAs solues dos sistemas com duas incgnitas so

pares ordenados da forma (1,

2), com trs incgnitas

so ternos ordenados da forma (1,

2,

3), com quatro

incgnitas so quadras ordenadas da forma (1,

2,

3,

4), e assim por dian te. A nupla (

1,

2, ,

n) uma

soluo do sistema linear (S) se ela soluo de cadauma das n equaes de (S).

3. Classificao de um sistemaquanto ao nmero de soluesa) Um sistema linear POSSVEL (ou compatvel)

se admite pelo menos uma soluo.b) Um sistema linear IMPOSSVEL (ou incom -

patvel) se no admite soluo alguma.c) Um sistema linear possvel e DETERMINADO

se admite uma nica soluo.d) Um sistema linear possvel e INDETER MI -

NADO se admite infinitas solues.

Portanto, quanto ao nmero de solues, podemosclassificar os sistemas lineares da seguinte forma:

4. Exemplos

a) O sistema possvel e determinado.

A nica soluo o par ordenado (2; 1).

b) O sistema possvel e indeter -

minado, pois apresenta in finitas solues. So todos os

pa res ordenados do tipo (k; 4 k). Algumas dessas

solues so: (1; 3), (2; 2), (3; 1), (4; 0), etc.

c) O sistema impossvel, pois no exis-

te par ordenado (x; y) que torne as duas sentenas ver -dadeiras simultaneamente. Em outras palavras: noexistem 2 nmeros reais x e y cuja soma 4 e 5 simul -taneamente.

5. Matrizes de um sistemaa) Matriz incompletaA matriz incompleta, representada por M.I., associa -

da a um sistema, a matriz cujos elementos so, or de -nadamente, os coeficientes das incgnitas.

Se M.I. quadrada, diz-se que o seu determinante o determinante do sistema (D).

b) Matriz completaA matriz completa, representada por M.C., asso cia -

da a um sistema, a matriz que, alm dos elementos deM.I., possui mais uma coluna constituda pelos se gun -dos membros de cada equao do sistema. No sistemalinear a seguir, as matrizes incompleta e completa so:

a11 . x1 + a12 . x2 + ... + a1n . xn = b1a21 . x1 + a22 . x2 + ... + a2n . xn = b2

...am1 . x1 + am2 . x2 + ... + amn . xn = bm

x2 + y = 1 x 3y = 0 x + 2y = 1x . y = 8

4x y + z = 32x + y + 3z = 7

3x + 2y = 15x y = 2

x + y = 4x + y = 5

x + y = 42x + 2y = 8

x + 3y = 5x + y = 3

Sistema Possvel e Determinado (SPD): uma

s soluo

Sistema Possvel e Indeterminado (SPI):

infinitas solues

Sistema Impossvel (SI): nenhuma soluo

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MATEMTICA30

No sistema linear (S) por exem-

plo, temos:

6. Sistema normalUm sistema linear de n equaes e n incgnitas

normal se o determinante D do sistema for diferente dezero.

Teorema de Cramer

Regra de CramerDado um sistema normal nas variveis x

1, x

2, x

3, ,

xn, demonstra-se que:

na qual ressaltamos quea) D o determinante do sistema;b) Dj o determinante da matriz que se obtm da

ma triz incompleta, trocando-se sua j-sima coluna porb

1, b

2, , b

n.

D1 D2D . x1 = D1 x1 = ; D . x2 = D2 x2 = ; D D

D3 DnD . x3 = D3 x3 = D . xn = Dn xn = D D

Todo sistema normal possvel e deter mi nado e a

ni ca soluo pode ser obtida pela Regra de Cramer.

M.I.= 211

32

3

412 M.C. =

211

32

3

412

5 1

7

2x + 3y 4z = 5x + 2y + z = 1x 3y + 2z = 7

Resolver o sistema

pela Regra de Cramer.

Resoluo

a) O sistema normal e pode ser resolvido

pela Regra de Cramer, pois

D = = 9 2 = 7 D 0

b) Dx = = 27 13 = 14

x = = = 2

c) Dy = = 39 18 = 21

y = = = 3

Resposta: (2;3)

Resolver o sistema

pela Regra de Cramer.

Resoluo

a) O sistema normal e pode ser resolvido pe -

la Regra de Cramer, pois

D = = 7 D 0

b) Dx = = 7

x = = = 1

c) Dy = = 14

y = = = 2

d) Dz = = 21

z = = = 3

Resposta: (1; 2; 3)

21

7

DzD

121

2 11

236

14

7

DyD

121

236

111

77

DxD

236

2 11

111

121

2 11

111

x + 2y z = 2

2x y + z = 3x + y + z = 6

217

DyD

32

913

14

7

DxD

913

13

32

13

3x + y = 9 2x + 3y = 13

Considere o sistema . Pedem-se:

a) a matriz incompleta do sistema;

RESOLUO:

M.I. =

3x + y = 5x + y = 3 31

1

1


No Portal Objetivo

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MATEMTICA 31

b) o determinante do sistema;

RESOLUO:

D = = 3 1 = 2

c) resolver o sistema pela Regra de Cramer.

RESOLUO:

Dx = Dx = 2 x = x = 1

Dy = Dy = 4 y = y = 2

V = {(1, 2)}

Resolver o sistema pela Regra

de Cramer.

RESOLUO:

D = = 8

Dx = = 8 x = x = 1

Dy = = 16 y = y = 2

Dz = = 8 z = z = 1

V = {(1, 2, 1)} (S.P.D.)

(UFPE MODELO ENEM) Perguntado sobre a idade deseu filho Jnior, Jos respondeu o seguinte:Minha idade quando somada idade de Jnior igual a 47 anos; e quando somada idade de Maria igual a 78 anos.As idades de Maria e Jnior somam 39 anos. Qual a idade deJnior?a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos

RESOLUO:Sendo x, y e z, respectivamente, as idades de Jos, de Jnior e deMaria, temos:

D = = 2 e Dy = = 8. Dessa forma,

y = = 4

Resposta: C

112

121

211

Dz

D

112

211

123

Dy

D

2

1

1

1

2

1

1

2

3

DxD

1

1

2

1

2

1

1

2

3

x y + z = 2x 2y 2z = 1

2x + y + 3z = 1

31

53

DyD

53

11

DxD

31

11

Dy

D

110

477839

011

110

101

011

x + y = 47x + z = 78y + z = 39

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MATEMTICA32

Dizemos que o sistema est

escalonado, pois o coeficiente de x na 2a. equao zeroe os coeficientes de x e y na 3a. equao so iguais azero. fcil resolver este sistema, pois:

Logo: V = {(8; 1; 3)}

Se o sistema no estiver escalonado, podemos trans - form-lo em um outro, escalonado, que tenha a mes masoluo, ou seja, equivalente ao primeiro.

Exemplo

Resolver o sistema por escalo -

namento.

Primeiro Passo: Repetir a 1a. equao e eliminar a

varivel x das demais.

Para tanto, fazemos:

a) (Segunda Equao) 2 . (Primeira Equao)

b) (Terceira Equao) 3 . (Primeira Equao)

Segundo Passo: Repetir as duas primeiras equa -es e eliminar a varivel y da 3a. equao.

Para tanto, basta fazermos: (Terceira Equao) 2 . (Segunda Equao)

Resolvendo, agora, o sistema por substituio, ob -tm-se z = 1, y = 1 e x = 8. Portanto, o conjunto ver da -de do sistema V = {(8; 1; 1)}.

ImportantePara escalonar um sistema e trans form-lo em outro

sistema, equivalente (que apresenta a mesma soluo) emais simples, podemos

a) trocar de posio duas equaes;

b) multiplicar qualquer equao por um nmero realdiferente de zero;

c) multiplicar uma equao por um nmero real dife -rente de zero e adicion-la outra equao.

x + 2y z = 7 y + 4z = 13

3z = 9

x + 2y z = 7 x + 2y z = 7

y + 4z = 13 y + 4z = 13 3z = 9 z = 3x + 2y z = 7 x + 2y z = 7

y + 4 . 3 = 13 y = 1 z = 3 z = 3x + 2 . 1 3 = 7 x = 8

y = 1 y = 1z = 3 z = 3

x + 2y + z = 72x + 5y 3z = 8 3x + 8y 5z = 11

x + 2y + z = 7

y 5z = 63x + 8y 5z = 11x + 2y + z = 7

y 5z = 62y 8z = 10

x + 2y + z = 7 y 5z = 62z = 2

13 e 14 Escalonamento Escalonamento Sistemas equivalentes

Resolver o sistema

ResoluoI) Da terceira equao, resulta z = 2.II) Substituindo z por 2, na segunda equao,

temos y + 7 . 2 = 15 y = 1.III) Substituindo z por 2 e y por 1, na primeira

equao, temos x + 2(1)3 .2=5 x = 3IV) De I, II e III resulta V = {(3; 1; 2)}

Resolver o sistema

ResoluoVamos escalonar o sistema, transformando-oem um sistema equivalente (de mesma solu -o) e cuja resoluo mais simples.Conservamos a primeira equao e eliminamosx nas demais equaes. Para isso, devemosse guir as seguintes etapas:a) conservamos a primeira equao;

b) trocamos a segunda equao por (segun daequao) 2.(primeira equao);

c) trocamos a terceira equao por (terceiraequao) 3(primeira equao).

Dessa forma, temos:

x + 2y 3z = 5

y + 7z = 15 11y + 10z = 31

x + 2y 3z = 5

2x + 3y + z = 53x 5y + z = 16

x + 2y 3z = 5

y + 7z = 1567z = 134

Exerccios Resolvidos Mdulos 13 e 14

C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Pgina 32

MATEMTICA 33

Resolver o sistema:

RESOLUO:I) 3z = 9 z = 3

II) y 2z = 4 y 6 = 4 y = 2

III) x + 2y + z = 8 x + 4 + 3 = 8 x = 1

V = {(1; 2; 3)}

(S.P.D.)

Aplicando o mtodo do escalonamento, resolver o sis tema:

RESOLUO:

x + 2y + z = 8 x( 1) x( 2)

x + 3y z = 4 +2x + 6y + z = 17

+

x + 2y + z = 8

y 2z = 4 x( 2)2y z = 1 +

V = {(1; 2; 3)}

(S.P.D.)

(UFES) Resolva o sistema linear

RESOLUO:

Multiplicando a primeira equao por ( 2) e adicionando-a se -gun da e mul tiplicando a primeira por ( 5) e adicio nando-a terceira, temos:

Multiplicando a segunda equao por (3) e adicionando-a ter -ceira, temos:

x = 1, y = 2 e z = 3

Resposta: V = {(1; 2; 3)}

x + 2y + z = 8

y 2z = 43z = 9

x + 2y + z = 8x + 3y z = 4

2x + 6y + z = 17

x + 2y + z = 8

y 2z = 4 3z = 9

2x + 3y + z = 11x + y + z = 65x + 2y + 3z = 18

x + y + z = 62x + 3y + z = 115x + 2y + 3z = 18

2x + 3y + z = 11x + y + z = 65x + 2y + 3z = 18

x + y + z = 6y z = 1 3y 2z = 12

x + y + z = 6y z = 1

5z = 15


Agora, conservamos a primeira e a segunda equa es e eliminamos aincgnita y na ter cei ra equao. As etapas a serem seguidas, so:a) conservamos as duas primeiras equaes;b) trocamos a terceira equao por (terceira equao) 11(segunda

equao).

Dessa forma resulta

Que equivalente a

Resolvendo esse ltimo sistema, chegamos a x = 3, y = 1 e z = 2.

Portanto, o conjunto soluo S = {(3; 1; 2)}.

x + 2y 3z = 5

y + 7z = 1567z = 134

x + 2y 3z = 5

y + 7z = 15 67z = 134


No Portal Objetivo

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MATEMTICA34

(U.F.CEAR MODELO ENEM) Para uma festinha,foram encomendados 90 refri gerantes, 230 salgados e 120doces. Os convidados foram divididos em 3 faixas: crianas,senhores e senhoras. Cada criana dever consumir exata -mente 2 refrigerantes, 8 salgados e 4 doces; cada senhordeve r consumir exatamente 3 refrigerantes, 5 salgados e 3do ces; cada senhora dever consumir exatamente 3 refrige -rantes, 6 salgados e 3 doces. Qual dever ser o total deconvidados para que no sobrem e nem faltem refrigerantes,salgados e doces?a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65

RESOLUO:Sendo x, y e z, respectivamente, o nmero de crianas, de senho -res e de senhoras convidados para a festa, temos:

I) Os refrigerantes a serem consumidos so 2 para cada criana,

3 para cada senhor e 3 para cada senhora. Dessa forma, resulta

2x + 3y + 3z = 90.

II) Os salgados a serem consumidos so 8 para cada criana, 5

para cada senhor e 6 para cada senhora. Assim, temos

8x + 5y + 6z = 230.

III)Os doces a serem consumidos so 4 para cada criana, 3 para

cada senhor e 3 para cada senhora. Equacionando, temos

4x + 3y + 3z = 120.

Resolvendo o sistema formado pelas trs equaes.

Multiplicando a primeira equao por ( 2) e adicionando-a segunda, temos:

Multiplicando a primeira equao por ( 1) e adicionando-a terceira, resulta

x + y + z = 25

Resposta: B

2x + 3y + 3z = 904x y = 502x = 30

z = 10y = 10 x = 15

2x + 3y + 3z = 904x y = 504x + 3y + 3z = 120

2x + 3y + 3z = 908x + 5y + 6z = 2304x + 3y + 3z = 120

Nos exerccios de a , resolva e classifique os sistemas,aplicando o mtodo do escalonamento:

RESOLUO:

x + 2y + z = 9 x( 2) x( 3)

2x + y z = 3 +3x y 2z = 4 +

x + 2y + z = 9

3y 3z = 15 ( 3) 7y 5z = 31

x + 2y + z = 9

y z = 5 x( 7) 7y 5z = 31 +

O sistema apresenta uma nica soluo, portanto, trata-se de um

Sistema Possvel e Determinado (S.P.D.).

x + 2y + z = 92x + y z = 33x y 2z = 4

x + 2y + z = 9

y z = 5

2z = 4

x = 1

y = 3

z = 2

V = {(1; 3; 2)}Exerccios Propostos Mdulo 14

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MATEMTICA 35

RESOLUO:x( 3) x( 5)

++

x( 2)

+

A terceira equao verdadeira para z .Abandonando a ltima equao e fazendo z = , com , temos:

,

com V = {( 8; 2 12; )},

O sistema apresenta infinitas solues, portanto, trata-se de um

Sistema Possvel e Indeterminado (S.P.I.).

RESOLUO:

x(2) x(1)

++

x( 1)+

A terceira equao falsa para z V = O sistema no apresenta soluo, portanto, trata-se de um Sis -

tema Impossvel (S.I.).

(PUCCAMP MODELO ENEM) Se o convidarem parasaborear um belo cozido portugus, certamente a ltima coisaque experimen tar entre as iguarias do prato ser a batata, poisao ser colocada na boca sempre parecer mais quente. ... Masser que ela est sempre mais quente, uma vez que todos oscomponentes do prato foram cozidos juntos e saram aomesmo tempo da panela? Sabemos que, ao entrarem emcontato, objetos com temperaturas diferentes tendem a trocarcalor at ficarem com a mesma temperatura. Parece estranho,no? Uma coisa certa: ao comer o cozido, a chance de vocqueimar a boca com a batata muito maior do que com opedao de carne. Comprove isso no prximo cozido que tiver oportunidade decomer.

(Anbal Figueiredo. Fsica um outro lado calor e temperatura.So Paulo. FTD, 1997.)

De acordo com uma receita da vov, entre os ingredientesusados no preparo de um belo cozido portugus, incluem-se xgramas de batatas, y gramas de cebolas e z gramas de linguiaportuguesa, totalizando 1450 gramas. Sabendo-se que z e x,nesta ordem, esto entre si na razo 2/3 e que o dobro de y,acrescido de 100, igual soma de x e z, correto afirmar quecompem essa receita:a) 450 g de cebolas. b) 480 g de batatas.c) 480 g de cebolas. d) 500 g de linguia.e) 750 g de batatas.

RESOLUO:A partir dos dados contidos no enunciado, temos:

Multiplicando a primeira equao por (2) e adicionado-a terceira,temos:

Adicionado a segunda equao terceira, temos:

x = 600, z = 400 e y = 450

Resposta: A

x + y + z =14502x 3z = 05x = 3000

x + y + z = 14502x 3z = 03x + 3z = 3000

x + y + z =1450z 2

= x 32y + 100= x + z

x + y + z = 14502x 3z = 0x 2y + z = 100

x 2y 3z = 5

y 4z = 130z = 6

x 2y 3z = 5

y 4z = 13y 4z = 7

x 2y 3z = 5 2x + 5y + 2z = 3 x + 3y z = 2

x 2y 3z = 5

2x + 5y + 2z = 3 x + 3y z = 2

x y + = 4y 2 = 12 x y = 4

y = 2 12 x = 8

y = 2 12

x y + z = 4

y 2z = 12

0z = 0

x y + z = 4

y 2z = 12

2y 4z = 24

x y + z = 4

3x 2y + z = 0

5x 3y + z = 4

x y + z = 43x 2y + z = 05x 3y + z = 4

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MATEMTICA36

Os mtodos de resoluo de sistemas lineares(Cramer e Escalonamento) apresentados anteriormenteso bastante teis e muito utilizados. No entanto, paracertos sistemas, mais simples eliminar incgnitaspela adio ou subtrao de duas ou mais equaes,ou, ainda, usar o mtodo geral da substituio.

Exemplo 1Resolver, por substituio, o sistema

RESOLUO

Isolando z na 1a. equao, temos: z = 7 2x y.Substituindo z, na 2a. e na 3a. equao, pela expres -

so obtida, resulta:

Portanto, z = 7 2 . 3 (1) z = 2O conjunto verdade do sistema : V = {(3; 1; 2)}

Exemplo 2

Resolver o sistema

RESOLUOA resoluo deste sistema, tanto pelo mtodo da

substituio, como pelo mtodo do escalonamento, e,tambm, pela Regra de Cramer, muito trabalhosa.

No entanto, se observarmos as relaes existentesentre os coeficientes das incgnitas, podemos resolv-lorapidamente. De fato:

a) Somando, membro a membro, as duas primeirasequaes, obtemos: 8x = 16 x = 2

b) Multiplicando a terceira equao por 1 e soman -do-a com a primeira, temos: 7y = 21 y = 3

c) Substituindo os valores encontrados na primeiraequao, por exemplo, obtemos:

3 . 2 + 4 . ( 3) 7 . z = 34 z = 4

O conjunto verdade , portanto, {(2; 3; 4)}

3x y + (7 2x y) = 12 x 2y = 5 x + 2y 3 . (7 2x y) = 5 7x + 5y = 16 x = 5 + 2y

7 . (5 + 2y) + 5y = 16x = 5 + 2y x = 3

y = 1 y = 1

2x + y + z = 7 3x y + z = 12x + 2y 3z = 5

3x + 4y 7z = 34 5x 4y + 7z = 503x 3y 7z = 13

(ENEM) Uma companhia de seguros levantou dadossobre os carros de determinada cidade e constatou que soroubados, em mdia, 150 carros por ano.O nmero de carros roubados da marca X o dobro do nmerode carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntasrespondem por cerca de 60% dos carros roubados.O nmero esperado de carros roubados da marca Y :a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 ResoluoSendo x e y respectivamente, o nmero de carros roubadosdurante um ano, das marcas X e Y, tem-se:

O nmero esperado de carros roubados da marca Y, durante

um ano, 30.

Resposta: B

Se tivermos , ento x + y + z + t igual

a:

a) 1 b) 7 c) 5 d) 4 e) 5/9

Resoluo

Somando, membro a membro, as equaes, temos:

3x + 3y + 3z + 3t = 15 x + y + z + t = 5

Resposta: C

x + y + z = 1

x + z + t = 5y + z + t = 7x + y + t = 4

x + y + z = 1

x + z + t = 5y + z + t = 7x + y + t = 4

x = 60y = 30x = 2y2y + y = 90

x = 2yx + y = 60% .150

15 Substituio, eliminao Substituir Eliminar incgnitas

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MATEMTICA 37

(UNICAMP) Resolver o sistema

RESOLUO:Somando membro a membro as quatro equaes, resulta 5x + 5y + 5z + 5w = 10 x + y + z + w = 2

Substituindo x + y + z + w = 2 em cada equao, obtm-se:

O conjunto soluo V = {(x, y, z, w)} = {(2; 1; 0; 1)}

Resolver o sistema

RESOLUO:Multiplicando a 3a equao por ( 1), temos:

2x + 3y + z = 17 (I)

x 5y + 2z = 5 (II) x 3y z = 11 (III)

Somando membro a membro as equaes I e III, resulta x = 6.

Substituindo x = 6 em cada equao, obtemos:

3y + z = 5 (a) 5y + 2z = 1 (b) 3y z = 5 (c)A e quao (c) equivalente equao (a), logo, pode ser eli mina da.Substituindo z = 5 3y (a) em (b): 5y + 10 6y = 1 11y = 11 y = 1 z = 2V = {(6; 1; 2)}

(PUC MODELO ENEM) Sabe-se que na compra de umacaixa de len os, dois bons e trs camisetas gasta-se um totalde R$ 127,00. Se trs caixas de lenos, quatro bons e cincocamisetas, dos mesmos tipos que os primeiros, custam juntosR$ 241,00, a quantia a ser desembolsada na compra de apenastrs unidades desses artigos, sendo um de cada tipo, sera) R$ 72,00 b) R$ 65,00 c) R$ 60,00d) R$ 57,00 e) R$ 49,00

RESOLUO:Sendo x, y e z, respectivamente, os preos de uma caixa delenos, de um bon e de uma camiseta, temos:

Multiplicando a primeira equao por (1) e adicionando-a se -gun da equao, temos:

Dividindo a segunda equao por (2), resulta:x + y + z = 57 (quantia a ser desembolsada na compra de apenastrs unidades desses artigos, sendo um de cada tipo).Resposta: D

(UFR-RJ MODELO ENEM) Uma loja de departa -mentos, para vender um televisor, um videocassete e umaparelho de som, props a seguinte oferta: o televisor e ovideocassete custam juntos R$ 1 200,00; o videocassete e oaparelho de som custam juntos R$ 1 100,00; o televisor e oaparelho de som custam juntos R$ 1 500,00.Quanto pagar um cliente que comprar os trs produtos anun -ciados?

RESOLUO:Sendo t, v e s, respectivamente os preos de um televisor, umvideocassete e um aparelho de som, temos:

Somando, membro a membro, as trs equaes, resulta2t + 2v + 2s = 3 800 t + v + s = 1 900

Resposta: Para comprar os trs produtos anunciados, o clientepagar R$ 1 900,00.

t + v = 1 200v + s = 1100t + s = 1 500

x + 2y + 3z =1272x + 2y + 2z = 114

x + 2y + 3z =1273x + 4y + 5z = 241

x + y + z + 2w = 1x + y + 2z + w = 2x + 2y + z + w = 3

2x + y + z + w = 4

2 + w = 12 + z = 22 + y = 32 + x = 4

x = 2y = 1z = 0w = 1

2x + 3y + z = 17x 5y + 2z = 5x + 3y + z = 11


No Portal Objetivo

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MATEMTICA38

Os sistemas lineares so utilizados para resolverproblemas prticos. Alm de resolver, muito importantediscutir o sistema, que consiste em prever se ele pos -svel ou impossvel. Em certos casos, quando uma ou maisequaes depen dem de um parmetro, importanteverificar em que condies o sistema admite solues.

Um dos critrios existentes para discutir um sistema o Teorema de Rouch-Capelli. Este teorema utiliza oconceito de caracterstica de uma matriz. Para simplificara apresentao deste conceito, abusando um pouco dalinguagem, escreveremos DETERMINANTE DE OR -DEM p em lugar de determinante de uma matriz deordem p.

1. Definio

A caracterstica de uma matriz M, no nula, a m -xima ordem dos determinantes no todos

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