CADERNO DE EXERCICIOS-2011

dr Isidro; dr Jarafe; dr Gedeon e dra Clarinda Page 1

Aula I:

Equações diferenciais de 1ª ordem, equações com variáveis

separadas e separáveis.

1. Verifique se as seguintes funções são soluções das equações diferenciais dadas:

1.1. yyx 2 ; 25xy

1.2. 22 yxy ;

xy

1

1.3. 0)( xdydxyx ; x

xcy

2

)( 22

1.4. 0 yy ; xecy

1.5 0 yy ; xsenxy cos43

1.6 02

2

2

xwdt

xd; senwtcwtcx 21 cos ; ( wec1 são

constantes arbitrárias).

1.7 0)( 2121 yyy ; xx

ececy 21

21

2. Resolva as seguintes equações diferenciais:

2.1. 0)1( dyxxydx

2.2. ctgydyxydxsentgx 22 cos

2.3. 0)()( 22 dyyxydxxxy

2.4. 22 1)1( yyxyx

2.5. 0sec)1(3 2 dyyedytgye xx

2.6. 0)1()1( 3232 yxyyx

2.7. )cos( xyy

2.8. 124 yxy

3. Resolva os seguintes problemas de Cauchy:


3.1. 0coscos senxdxyxdyseny ; 4

)0(

y

3.2. 2 yctgxy ; 0)3

(

y

3.3. )1()1( 22 yyx 1)0( y

3.4. 2yyyx

2

1)0( y

3.5. 2)128( yxy

2

1)0( y

3.6. 0ln yysenxy a) 1)2

(

y ; b) ey )2

(

3.7 . 01 yxey 1)1( y

Respostas: 2.1 1,)1( xexCy x; 2.2. xtgCyctg 22 ; 2.3.

22 1)1( xyC . 2.4 .0,)1)(1( 222 CCxyx 2.5.

.0,)1( 3 xeCtgy x 2.6 .

2

1ln

2

1ln

22C

xx

yy 2.7.

.)( Cxyxarctg 2.8. .2124ln2124 Cxyxyx 3.1.

.cos2cos yx 3.2 .cos42 xy 3.3. ).1()1( xyx 3.4. .1)1( yx

3.5. .42128 xtgdyx 3.6. a) 1y ; b) 2

xtg

ey . 3.7. xy

Aula II.

Equações Diferenciais homogéneas da 1ª ordem e redutíveis a estas;

Equações lineares da 1ª ordem e de Bernoulli.

1. Estabeleça a homogeniedade das seguintes funções:

1.1 yx

xxyyyxf

2

33),(

2

22

1.2 yxf , =32 yxy


1.3 342

12),(

yx

yxyxf

1.4 x

yxyyxf

22

),(

2. Integrar as equações diferenciais:

2.1 yyx )1( ;

2.2 x

y

ex

yy ;

2.3 0)( 2 dyxydxyx ;

2.4 dxyxxdyydx 22 ;

2.5 ydydxyxx )ln(ln

2.6 0)2()33( 222 dyxyxdxxxyy

2.7 0cos)(

x

yyyxx

2.8 0)12()12( dyyxdxyx

3. Resolver as seguintes equações diferenciais:

3.1 2xy

x

y

dx

dy ; 1)( 2 Cxxy

3.2 yxyyx 24

3.3 0)()1( 3 dyxyxdxyy

3.4 1)( 2 yxctgyysen

3.5 0)2

1( 3 dyyxxydx

4. Encontre as soluções dos problemas de Cauchy:

4.1 yxyyxy 22; 1)1( y

4.2 02)3( 22 xydxdyxy ; 3)2( y


4.3 )()(cos ydxxdyx

yysenxdyydx

x

yx

; 2)1( y

4.4

x

yyyx ln1 ; ey )1(

4.5 022 yxyyx ; 52

1

y

4.6 0)2ln( ydxdyyxx ; 1)2( y

4.7

x

yyyx lncos ; 11 y

4.8 )2(2 2222 xxyyyxxyy ; 1)1( y

Respostas: 2.1 x

cxy ln . 2.2 x

y

eCx

ln 2.3 y

x

cex 2.4

0;2

12 xC

xx

Cy . 2.5. .)1( Cyyex 2.6. .)( 32

yx

x

exyxC 2.7.

.ln Cxx

ysen 2.8. Cyxxyyx 22

. 4.1. )ln1( yxy .

4.2. )(275 223 xyy . 4.3 .2cos x

yxy 4.4.

xxey .4.7 .xy

4.8. xy .

Aula III

Equações Exactas. Factor integrante

Resolver as seguintes equações exactas

1. 0)2()2( 2323 dyyxydxxyx

2. 0)3()32( 232 dyyxdxyxx

3. 0)2( dyyxedxe yy


4. 0)(2 22 dyyxxydx

5. dyyyxdxxyx )3()23( 2223

6. 0ln1 xdyxdxyx yy

7. 0)ln( 3 dyxyxydx

8. 0)3(2 22 dyxyxydx

9. dyyxydxyxx )1()1( 2222

10. 0)1()2(2 2 ctgydyxdxsenyx

Respostas: 1. Cyyxx 4224; 2. Cyyxx 332

; 3.

Cyxe y 2; 4. Cyyx 323 ; 5. Cyxyxx 3224 424183 ;

6. Cx y ; 7. Cyxy 4ln4 ; 8. 322 Cyyx ; 9.

Cyxyx 3223 )(236 ; 10. senyxCx )2(2)1( 2 .

Aula IV

Equações diferenciais de ordem superior;

Equações diferenciais redutíveis a equações de ordem inferior.

1. Resolver as seguintes Equações Diferenciais:

Exercícios: Respostas:

1.1 0)1( yey x ; 21 )( CexCy x

1.2 2xyyx ; 2

2

1

3

3

1CxCxy

1.3 32 )()( yyyy ; CyCxyCy ,ln 21

1.4 01)()1( 22 yyx ; 211

2

1 ln)1( CxCCxCy


1.5 xsenctgxyy 32 ; 21

3 24

1

2

1

3

1CxsenxCxseny

1.6

x

yyyx ln ;

2

12

111)( CeCxCy

C

x

1.7 yayy ])(1[ 2 ; 0,ln)( 21

a

a

CysenaCxy

1.8 ;2)( 2 yeyy 2

21 )( CxCe y

1.9

x

yxsenyyx ; 211

22

1

2

1 )()1( CxCxCarctgxCyC

1.10 ctgxyy )1(2 ; 32

2

11 )21(2cos2 CxCxCxCy

1.11 0)()ln1()ln1( 2 yyyyy ; yCxCx ln)( 21

1.12 02)2()1( xyxyx ; 21 )1( CxeCy x

1.13 yxyy 2)(4

1; 211 )( CCxxCy

1.14 1)()( 22 yy ; 321 )( CxCxCseny

1.15 22 )(yyyyy ; CyCCy

y

Cx

,ln

12

11

1.16 yyyyy ln)()( 32 ; 2

2

1 ln CyyyCx

2. Achar as soluções que satisfaçam as condições iniciais indicadas

(problemas de Cauchy):

2.1

x

y

x

yy ln1 ,

2

1)1( y , 1)1( y ; 2

2

1xy

2.2

1)0()0(

1)( 2

yy

yyy ; xy

2.3 2)(2 yxyy , 2)2( y , 2

1)2( y ; )2(8)3( 5 xyx

2.4

1)1(,2)1(

)1()(2 2

yy

yyy xxy 1


2.5

1)1()1(

ln2)ln1(

yy

xx

yyx

)1(2 2xy

2.6 2)(1 yyx , 1)1( y , 1)( 2 ey ; xe

e

xy ln

4

1

)1(2

1 2

2

2

2.7 0)(21 2

2

2

yyyey

yy y ; 12

1

ey , e

ey

2

1

2

2

1 yex

2.8 0)( 2 yyxyx , 2)2( y , 1)2( y ;

4ln2

2xy

2.9 ysenyyyy 2)(cos , 6

)1(

y , 2)1( y

2.10

4)1(,2)1(

)()1( 2

yy

yyxyx,

xxy

2ln2

Aula V

Equações diferenciais lineares homogéneas

Equações diferenciais lineares não- homogéneas. Método de

Lagrange

1. Investigue a dependência linear dos seguintes sistemas de funções:

a) 2,1, xxx b) xxxsenx cos,cos, c) xxx eee 32 ,,

d) 1, xx e) 32 ,, xxx f) xesenxee xxx cos,,

g) ,cos, 22 xxsen 1

Respostas: a) sim; b) não; c) não; d)não; e) não; f) não; g) sim.

2.Resolver as seguintes Equações Diferenciais lineares homogênias

Exercícios: Respostas :

2.1 065 yyy xx eCeCy 3

2

2

1

2.2 054 yyy )cos( 21

2 senxCxCey x

2.3 033 yyyy )( 2

321 xCxCCey x


2.4 02 yyy IV xexCCxCCy )( 4321

2.5 08 yy )33cos( 32

2

1 xsenCxCeeCy xx

2.6 0 yyyy xx eCexCCy 321 )(

2.7 02 yyy IV senxxCCxxCCy )(cos)( 4321

2.8 096 yyy IVV xexCCxCxCCy 3

54

2

321 )(

2.9 034 yyy IV )3()3cos(cos 4321 xsenCxCsenxCxCy

2.10 04 yy IV xx esenxCxCesenxCxCy )cos()cos( 4321

3. Resolver as seguintes equações dadas, aplicando o Método de Lagrange:

3.1 x

eyyy

x

2 xx xeexxCxCy )ln.( 21

3.2 02 xctgyy 2

lncos2cos 21

xtgxsenxCxCy

3.3 1

x

x

e

eyy )1ln()1()( 21

xxx eeCexCy

3.4 senx

yy1

xxCsenxsenxCy cos)()ln( 21

3.5 )cos(2 xx eeyy )cos(21

xx eCeCy

3.6 x

x

xexeyyy

12 xx exxxCCexy )ln()1(

4

121

4. Encontrar as soluções dos seguintes problemas de Cauchy:

4.1

5

6)0(,

5

4)0(

132

yy

exyyy x

2

5

)1(5

4xey x

4.2

1)0()0(

cos

13

yy

xyy

xsenxtgxxy sec2

1)1(cos

2

3

4.3

3)0(,1)0(

196

2

3

yy

x

eyyy

x

xexxarctgxy 32 )1ln1(


4.4

12

5)0(,

12

1)0(

23

yy

shxyyy

)6(12

1 xx xeey .

Aula VI

Método dos Coeficientes Indeterminados;

Equação de Euler.

1. Indique a forma das soluções particulares das seguintes equações não

homogéneas:

1.1 xeyyy 2643

1.2 xexyy 235

1.3 xyy 2cos9

1.4 xexsenyyy 2222

1.5 xsenexxxeyyy xx 22cos72 2

2.Resolver as equações dadas aplicando o método dos coeficientes

indeterminados:

Exercícios: Respostas :

2.1 xeyyy 22 x

x

x eeCeCy 221

2.2 xeyyy 432 xxx eeCeCy 43

215

1

2.3 senxyyy 67 )cos75(74

12

6

1 xsenxeCeCy xx

2.4 xxeyyy 62 xexxCCy )( 3

21

2.5 xx exeyyy 443 xxxx exxeeCeCy )61(36

1

5

1 44

21

2.6 xexxyy cos10052

Sol: x

x

exxsenxxeCCy

]cos)120()1810[(2

5

21

2.7 xseneyyy x 217452


Sol: xxsenexsenCxCy x 2cos42)22cos1( 21

2.8 63 xyyy 23

212 3

2

3

2

3cos xx

xsenC

xCey

x

2.9

1)0()0(

4

yy

senxyy )2(

3

12cos xsensenxxy

2.10

3)0(,3)0(,0)0(

923 2

yyy

eyyy x

)()1( 2 xx eexy

3. Resolver as seguintes equações de Euler:

3.1 32 8xyyxyx 3

21 2)ln( xxCCxy

3.2 232 856 xxyyx 232

2

3

1 2ln xxxxCxCy

3.3 xxyyx ln623 )lnln3

2(

1 2

2

2

1 xxCx

xCy

3.4 )(ln22 xsenyyx )(ln3,0)cos(ln1,022

1 xsenxx

CxCy

3.5 32 )1(4)1(3)1( xyyxyx , 1)0()0( yy

Sol: 1ln)1(2)1( 23 xxxy

3.6 06)32(3)32( 3 yyxyx , 1)1(,0)1()1( yyy

Sol: 32322

132

2

3322 xxxxy

Aula VII

Sistemas de equações diferenciais;

Sistemas normais. Método de eliminação

1. Integrar os sistemas dados

1.1

zydx

dz

yzdx

dy

3

;


Sol: xexCCy 2

21 )( , xexCCCz 2

212 )(

1.2

2

2

txdt

dy

eydt

dx t

;

Sol: 22

21 tteeCeCx ttt , teteCeCy ttt 2)1(21

1.3

02

cos5

yxdt

dy

tydt

dx

;

Sol: tsenteCeCx tt cos22

2

1 , tt eCtsenteCy 2

2

1 cos32

1.4

xzydx

dz

senxzydx

dy

cos24

2

Sol: senxxCCy 221 , xsenxxCCz cos23)12(2 21

1.5

tyxdt

dy

sentyxdt

dx

cos22

34

Sol: sentteCeCx tt 2cos3 2

21 , sentteCeCy tt 2cos22 2

21

1.6

teyxdt

dy

tyxdt

dx

22

0364

sendo 0)0( x , 1)0( y

Sol: 16810 32 teeex ttt , 10123820 32 teeey ttt

1.7

zyxdt

dz

zyxdt

dy

yxdt

dx

32

3

2


Sol: tt esentCtCeCx 3

32

2

1 )cos( , ])(cos)[( 2332

3 sentCCtCCey t ,

])2(cos)2[( 3232

322

1 sentCCtCCeeeCz ttt

1.8

zyxdt

dz

zyxdt

dy

zyxdt

dx

sendo 1)0( x , 0)0()0( zy

Sol: ttt eeex 22

2

1

6

1

3

1 , ttt eeey 22

2

1

6

1

3

1 , tt eez 2

3

1

3

1

Aula VIII

Funções de variável complexa. Objecto e imagem de função.

Limites e continuidade

Derivação. Funções analíticas

1. Achar as imagens das curvas dadas pelas funções indicadas:

a) 2)(,0Re1Im: zzfwzzCzD

b) )1(

)()(,0Im0Re:

z

ziizfwzCzD

c)

iz

izzfwzizCzD )(,1Im1:

d) iz

izzfwzizCzD

1)(,0Re1:

2. Calcular os números dados, apresentando-os na forma algébrica:

a) 1arctan ; b) ii)3( ; c) )( iiLn

3. Estudar a continuidade das seguintes funções:


a)

iz

izi

zz

iz

zfw

,1

,2

3

1,1

)(

2

3

* b)

izsei

izsezzzfw

23

2)(

2

c)

izse

zsei

zseizz

i

zfw

2

02

0)(

2

)(

d)

izi

izi

izizizz

izz

zfw

236

14

2,,23

)8()1(

)(

2

32

4. Verificar, se são analíticas as funções dadas:

a) zzf )( ; *b) senzzzf )( c) )Im()( 2 izzzf

d) 2)1()( izzf e)

2)()( izzzf

5. Provar que as funções ),( yxu representam partes reais e as ),( yxv partes imaginárias

de certas funções analíticas e obter essas funções de modo que sejam satisfeitas as

condições indicadas:

a) 0)0(,3)(2),( 22 fxyxyxu

b) 0)0(,cos2),( 22 fyshxyxyxu

c) 0)1(,arctanln),( 22 fx

yyyxxyxu

d) 0)0(,cos342),( fshyxyxyyxv

e) ifxyxyxyxv 2)1(0,2)ln(),( 22

f) ifxx

yxyxv 22ln)2(0,arctan),(


Respostas: 1.a) semi-parábola 0,14

1 2 vvu ; c) semi-circunferência

1Re,21 ww . 2. a) Zkk ,4

; b) Zkisenek

,)]2(ln)2[cos(ln2

6

; c)

Znknik

,,22

2

. 3. a) Descontínua em iz ; c) Descontínua. 4.a)

Não ; c) Não; e) Não. 5. a) zzzf 32)( 2 ; c) chzzf )( ;

e) 0Re,)2(ln2)( zzizizf ; f) 0Re,ln)( zzizzf

Aula IX

Integrais de contorno

1. Calcule os integrais dados, seguindo os contornos indicados:

a)

dzziz )(Re , Considerando dois contornos diferentes que ligam os pontos 01 z e

iz 12 e que são orientados no sentido de 1z para 2z :

i) Segmento da recta xy

ii) parábola 2xy

*b)

zdzz ImRe , Onde é poligonal que liga os pontos )1,0(),1,0( BA e )0,1(C

c)

dz

iz

iz, Onde o contorno representa a semi-circunferência 1Im,1 ziz

*d)

z

dz, sendo a circunferência 1z percorrida no sentido positivo.

2. Calcule os integrais:

a)

i

chzdziz0

)( b) i

i

dzz

1

2 *c)

i

zdzz

1

1

ln)14( d)

i

dzizz0

)cos(

*e)

i

dzzz

1

2

1ln1

1 f)

i

i

dzz

1

1

1 , considerar o ramo da função

subintegral sobre o qual 11


3. Calcule os integrais dados, utilizando a Fórmula integral de Cauchy

a)

dz

z

zchz

1

)1(4

, sendo : 2z ; b)

dz

z

zchz

1

)1(4

, sendo : 2

1z

*c)

dz

izz

senz

))(1(, : 2z ; *d)

dzz

z3)1(

2cos, : 3z

*e)

dz

iziz

shz

)23)(( , : 2 iz ; f)

dzz

z3)(

cos

, : 4z

g)

dz

zz

izsen2)1(

)(, :

2

3 iz ; h)

dziz

e iz

5)(, : 2z

Respostas: 1.a) i) 2

31 iii)

6

101 i; c) )1(2 2. a) 1cos121 sen ; b)

i3

2; d) 11 ch ; f) i

3

22 3. a) i2 ; b) 0; f) i ; g) 12 sh ; h)

12

ie

Aula X

Séries de Taylor e de Laurent;

Singularidades isoladas. Resíduos

1. Determine os desenvolvimentos das funções em series de Laurent em domínios

indicados:

a) 41:,)4)(1(

1)(

zD

zzzf . *b) 21:,

23

1)(

2

zD

zzzf

c) 20:,1

3)(

2

izD

z

zzf *d) RzD

z

zzf

0:,

cos1)(

e) 10:,)(3

5

zDiz

zzf f) 0:,

2cos)(

izD

iz

zzf

2. Ache os pontos singulares finitos das funções dadas e caracterize-os:

a) zsenz

ezf

z

2

1)(

2

*b)

4)(

)1ln()(

ziz

zzf

c)

senzz

zzf

)(


*d) z

ezf

z 1)(

e)

izezf

1)( f)

1

2cos)(

z

zzf

g) 1

1

2 )()( zezzzf *h) 3

1)(

z

ezzf

z

3. Calcule os seguintes integrais de contorno, utilizando o teorema dos resíduos:

a)

2:,

)(

)(2

zdzizz

izsen ; b) 2:,

)1(

23

izdzz

zsen

*c)

43:,)1(

cos2

zdzez

ziz ; d) 2:,

1cos

1)(

zdzizz

zf

*e) 10:,45

49

zdzz

izz; f) 8:,

)(

)32(1

5

456

zdzeiz

izzzz

g) 4:,)1( 2

zdzzz

e z

; *h) 5:,)12()3( 2

zzzz

dz

i) 21:,14

zz

dz j) 2:,

1

)( 25

9

zdzz

zsen

iz

z

Respostas: 1. a) 41,1

3

1

43

1)(

0 11

zz

zzf

n nnn

n

; c)

20,)()( 1

0

iziz

cizczf

n

n onde 2

31,

2)3(

4

11

ic

iic

n

n

;

e) 10,)(1

23

2

zz

izzf

nn

n

; f) 0,)(

)(1

0

iziz

cczf

nn

n onde 1cos0 c

e

,...3,2,1,2,1cos!

)2()1(

,...3,2,1,12,1!

)2()1(

2

2

1

kknparan

i

kknparasenn

i

cnn

nn

n ;

2.a) 0z é PS e ,.....2,1,0, kkzk são PD ; c) 0z é PD ; e)

,...2,1,0,ln2 kikzk são PS ; f) iz é SE ; h) 1z é SE. 3. a)

12 2sh ; b) 24 sh ; d) i2 ; f) 6 ; g) i2 ; i) 0 ; j) 12 isen


NOTA: nas respostas do exercício 2 foram usadas as seguintes designações: PS- pôlo

simples; PD- pôlo duplo, SE- singularidade essencial. De modo análogo, pode-se usar

as designações SR- singularidade removível, PT- pôlo triplo, etc.

Aula XI

Aplicação de resíduos em cálculo de certos integrais impróprios

Calcule os integrais impróprios dados:

a)

0

22

2

94

1dx

xx

x b)

0222

2

41

1dx

xx

x

c)

222 541 xxx

dx d)

0

222

2

49dx

xx

x

e)

0

32

2

1dx

x

x f)

0

224 45xx

dx

g)

dx

xx

x32

2

102

1

Respostas:

a) 60

7 b)

36

c)

8

d)

200

e)

16

f)

432

15 g)

81

4

Aulas XI I

Cálculo operacional

Transformada de Laplace e função de Heaviside .

1. Dadas as seguintes originais )(tf , achar as imagens )()]([ ptfL :

a) tsentf )( b) tetf )( c) tsenetf t )(

d) tetf t cos)( e) tsenhtf )( f) ttf cosh)(

g) tetf

11

)(

2. Encontrar as funções )(tf , se:


a) 16

22][

2)(

pp

fL p b) )1(

1][

2)(

pp

fL p

c) 4110

7][

2)(

pp

fL p d) 102

3][

2)(

pp

pfL p

e) )23(

1][

22)(

ppp

fL p f) )4(

2][

2

2

)(

pp

pfL p

Respostas:

1. a) 22

p b)

p

1 c)

22)(

p d)

22)(

p

p e)

22

p f)

22 p

p g)

)(

1

p

p

2. a) tsentGtf 42

1)(2)( 0 b) )()cos1()( 0 tGttf c) tsenetf t 4

4

7)( 5

e) tt eettGtf 2

04

1

2

1)(

4

3)( f)

2

2cos

2

1)(

ttf

Aula XIII

Teoremas fundamentais do cálculo operacional e suas aplicações

na resolução de EDO

1. Resolver os seguintes problemas de Cauchy usando o método do cálculo operacional:

a) )(tfyy , 0)0()0( yy

sendo a função )(tf definida pela expressão

211

101)(

tse

tsetf

b) tyy cos2 ; 1)0(,0)0( yy .

c) txdt

dx

dt

xd 23

2

, 0)0()0( xx

d) sentyy , 1)0(,0)0( yy

e) texx ; 0)0( x

f) texx 3 ; 1)0(,0)0( xx


2. Determine as soluções (para 0t ) dos problemas de valor inicial

a) )(23 tfyyy ; 0)0()0( yy

Onde )(tf é definida pela expressão

.0

321

101

)(

contrariocaso

tse

tse

tf

b) )(tfyyy ; 1)0(,2)0( yy


tse

tsetf

2

01)(

c) )(tfyy ; 0)0()0( yy .


10

10)(

2

tse

tsettf

Respostas: 1. a)

2

2)2(

2

1)1(2)(2)( 2

0

2

00

tsentH

tsentHsenttHty ;

b) senttty )1()( ; c) tt eettHtx 2

04

1

2

1)(

4

3)( ; d) ttty cos

2

1)( ; 2. a)

)3(23

3

)2(22

2

)1(21

1

2

2

1

2

1)(

2

1

2

1)(

2

1

2

1)(

2

1

2

1)(

tt

tttttt

eetH

eetHeetHeety

2.b)

)()(2

3cos)(

2

3

3

11

2

33

2

3cos1)(

)(2

1)(

2

1

2

1

tHteetsenetsenttyttt

2. c) )()1(2)1cos(2cos22)( 1

22 tHtsenttttty

Aula XIV

Aplicação do cálculo operacional na resolução de sistemas de

Equações diferenciais ordinárias.


Integrar os sistemas dados pelo método operacional

1. 0)0()0(

124 2

yx

yxdt

dy

eyxdt

dx t

; 2. 0)0()0()(

635)(

yx

yxty

eyxtx t

;

3. 0)0()0(

cos22

34

yx

tyxdt

dy

yxdt

dx

; 4.

teyxdt

dy

tyxdt

dx

22

0364

0)0( x , 1)0( y

5. 0)0()0(,1)0(

)(

)(

)(

zyx

zyxtz

zyxty

zyxtx

Respostas: 1. tttttt eeetyeeetx 2323 43)(;426)( ;

2. ttttt eeetyeetx2

33

2

3)(;)( 2424

4. 16810 32 teeex ttt , 10123820 32 teeey ttt

5. tttttttt eetzeeetyeeetx 22222

3

1

3

1)(,

2

1

6

1

3

1)(,

2

1

6

1

3

1)(

Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto quanto você...

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CADERNO DE EXERCICIOS-2011