caderno exercicios 7º ano

CADERNO DE ATIVIDADES

MATEMÁTICA7º. ANO

Fátima Cerqueira Magro Fernando Fidalgo Pedro Louçano

De ac

ordo

com

Met

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rogr

ama d

e 201

3

NOVAEDIÇÃO

NúmerosResumir 4

Praticar 8

1. Multiplicação e divisão de números racionais relativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 19, 20, 21

2. Propriedades da adição e multiplicação de números

racionais relativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

3. Potências de base racional e expoente natural 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

4. Quadrados perfeitos e raiz quadrada 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 35

5. Cubos perfeitos e raiz cúbica 22, 23, 24, 26, 32, 34

Testar 14

FunçõesResumir 16

Praticar 18

1. Referencial cartesiano

2.1 Correspondências e funções 1

2.2 Modos de representar correspondências 1, 8, 9, 25

2.3 Análise de algumas correspondências 1, 7, 31

3. Funções 2, 3, 15, 17, 18, 19

4. Operações com funções 4

5. Função afim 5, 14, 20, 25, 30

6. Proporcionalidade direta como função 6, 7, 9, 11, 13, 21, 29, 30, 31, 33

7. Interpretação de gráficos 10, 13, 16, 21, 22, 26, 27, 28

Testar 34

Sequências e regularidadesResumir 36

Praticar 38

1. Sequências 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13

1.1 Gráfico de uma sequência numérica

2. Sucessões 3, 4, 8

Testar 44

Figuras geométricasResumir 46

Praticar 48

1. Demonstrações 19, 30, 32

2. Linha poligonal e polígono 1, 2, 3

3. Ângulos internos e externos de um polígono 6, 11, 13, 17, 21, 22, 26, 28

4.1 Algumas propriedades dos paralelogramos 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18,

20, 23, 30

4.2 Áreas de alguns quadriláteros 26, 27, 29, 32

Testar 58

UNIDADE 4

UNIDADE 3

UNIDADE 2

UNIDADE 1 Atividades Página

ÍNDICE

Tratamento de dadosResumir 60

Praticar 62

1.1 Média e moda 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13

1.2 Mediana 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11

Testar 70

EquaçõesResumir 72

Praticar 74

1. Noção de equação 6, 12, 15, 20, 26, 29, 34

2. Raiz ou solução de uma equação 1, 3, 4, 19, 22

3. Equações equivalentes 19

4. Adição de termos semelhantes 25

5. Princípios de equivalência de equações 2, 3, 4, 25, 26

6. Classificação de equações 19, 20, 33

7. Equações lineares a uma incógnita 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33

8. Resolução de problemas com equações 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32

Testar 84

Figuras semelhantesResumir 86

Praticar 88

1. Comparação entre segmentos de reta 1 (Testar)

2. Segmentos de reta comensuráveis

3. Segmentos de reta proporcionais

4. Decomposição de um triângulo

5. Teorema de Tales 15, 6 (Testar)

6. Figuras semelhantes 1, 4, 7

7. Semelhança de triângulos 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 27, 29

30, 31, 32, 34, 35, 37, 38

8. Semelhança de polígonos 8, 9, 16, 17, 18, 19, 24, 28

9. Círculos semelhantes 22

10. Como dividir um segmento de reta?

11. Homotetias 4, 21

12. Perímetros e áreas de figuras semelhantes 22, 23, 25, 37

13. Determinação de distâncias aplicando semelhanças 12, 27, 28, 31, 33, 36, 38

14. Incomensuráveis

Testar 102

Provas globais 104

Prova global 1 106

Prova global 2 108

Prova global 3 110

Soluções disponíveis em: www.pi7.asa.pt

UNIDADE 7

UNIDADE 6

UNIDADE 5 Atividades Página

Multiplicação e divisão de números racionais relativos

Para multiplicar números racionais positivos representados por frações, multiplicam-se os numeradores e os de-

nominadores das frações.

Exemplo:

¥ = = 2

5

11

3

2 ¥ 11

5 ¥ 3

22

15

4

Resumir

Unidade 1 Números

O simétrico da diferença entre dois números racionais é igual à soma dos simétricos, ou seja, para quaisquer qe r números racionais, –(q – r) = (–q) + r.

Exemplo:

–(4 – ) = (–4) + 7

5

7

5

Exemplo:

: = ¥ = = 3

7

11

2

33

14

2

11

3

7

3 ¥ 11

7 ¥ 2

Exemplo:

– ( + 3) = (– ) + (–3) 2

5

2

5

Exemplo:

¥ (–5) = (– ) ¥ 5 = –( ¥ 5)2

3

2

3

2

3

Para dividir números racionais representados por frações, basta multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.

Operações com números racionais relativos

O simétrico da soma de dois números racionais é igual à soma dos simétricos, ou seja, para quaisquer q e r nú-

meros racionais, –(q + r) = (–q) + (–r).

Para quaisquer números racionais q e n, n ¥ (–q) = (–q) ¥ n = –(n ¥ q).

O produto de dois quaisquer números racionais é o número racional cujo valor absoluto é igual ao produto dos

valores absolutos dos fatores, sendo o sinal deste produto positivo se os fatores tiverem o mesmo sinal e ne-gativo no caso contrário.

Exemplos:

1. – ¥ (– ) = 2. 5 ¥ (– ) = – 2

3

1

5

2

15

2

7

10

7

5

Propriedades da adição e da multiplicação de números racionais

Exemplo:

= = – 8

–5

8

5

–8

5

Para quaisquer números racionais q e r, = = – .–qr

q–r

qr

Exemplos:

1. : ( ) = ¥ 5 = 2. –11 : = –(11 ¥ ) = –21

3

5

3

2

11

1

5

1

3

11

2

Existência de

elemento neutro

Propriedade

associativa

Propriedade

comutativa

Propriedadesda adição

Sendo a um qualquer

número racional:

a + 0 = 0 + a = a

Para quaisquer números

racionais a, b e c:

a + (b + c) = (a + b) + c

Para quaisquer

números racionais a e b:

a + b = b + a

Exemplo:

+ 0 = 0 + = 11

5

11

5

11

5

Exemplo:

( – ) + = + (– + ) = 2

5

1

5

2

3

2

5

1

5

2

3

7

15

Exemplo:

3 + (– ) = (– ) + 3 = – + = 2

5

2

5

2

5

15

5

13

5

Exemplos:

1. 0 : (–3) = 0 2. 0 : 1,8 = 0 3. 0 : = 0 4. 0 : (– ) = 0 5

3

6

7

O quociente entre um número racional e um número racional diferente de zero é o número racional cujo valor ab-

soluto é igual ao quociente entre os valores absolutos, sendo o sinal desse quociente positivo se os números ti-

verem o mesmo sinal e negativo no caso contrário.

O quociente entre zero e um qualquer número racional diferente de zero, é igual a zero.

Quadro-resumo

(+) × (+) = (+)

(+) × (–) = (–)

(–) × (+) = (–)

(–) × (–) = (+)

(+) : (+) = (+)

(+) : (–) = (–)

(–) : (+) = (–)

(–) : (–) = (+)

0 : (+) = 0

0 : (–) = 0

(–) : 0 é impossível

(+) : 0 é impossível

Multiplicação Divisão

6

Resumir

Unidade 1 Números

Quadro-resumo:

par ímpar

+ +sinal da potência

positiva (+) base

Expoente par ímpar

+ –

negativa (–)

Potências

Sejam a e b números racionais e m e n números naturais.

• an ¥ am = an + m • an ¥ bn = (a ¥ b)n

• an : am = an – m, n > m, a ≠ 0 • an : bn = (a : b)n, b ≠ 0

Existência de

elemento inverso

Existência de

elemento absorvente

Existência de

elemento neutro

Propriedade

associativa

Propriedade

comutativa

Propriedadesda

multiplicaçãoSendo a ≠ 0 um qualquer

número racional, o seu

inverso é igual a 1

a

Sendo a um qualquer

número racional:

a ¥ 0 = 0 ¥ a = a

Sendo a um qualquer

número racional:

a ¥ 1 = 1 ¥ a = a


racionais a, b e c:

a ¥ (b ¥ c) = (a ¥ b) ¥ c

Para quaisquer

números racionais a e b:

a ¥ b = b ¥ a

Exemplo:

O inverso de – é 1 : (– ) =

= 1 ¥ (– ) = –

2

7

2

7

7

2

7

2

Propriedade

distributiva em

relação à adição


racionais a, b e c:

a ¥ (b + c) = a ¥ b + a ¥ c

Exemplo:

¥ ( + ) = ¥ + ¥ =

= + = + =

3

2

7

5

3

2

15

20

29

20

1

2

1

2

1

2

7

5

3

4

7

10

14

20

Propriedade

distributiva em

relação à subtração


racionais a, b e c:

a ¥ (b – c) = a ¥ b – a ¥ c

Exemplo:

¥ ( – ) = ¥ + ¥ (– ) =

= – = – =

3

2

7

5

7

10

15

20

1

20

1

2

7

5

1

2

3

2

1

2

3

4

14

20

Exemplo:

– ¥ 0 = 0 ¥ (– ) = 03

7

3

7

Exemplo:

¥ 1 = 1 ¥ = 2

5

2

5

2

5

Exemplo:

(–3 ¥ ) ¥ = –3 ¥ ( ¥ ) = – 2

7

4

5

2

7

24

35

4

5

Exemplo:

(– ) ¥ = ¥ (– ) = – 3

7

2

5

2

5

6

35

3

7

Exemplo: 3 = 3√∫2∫73√∫6∫4

27

64√∫

7

Quadrados perfeitos e raízes quadradas

Chama-se quadrado perfeito a um número que é quadrado de um número inteiro positivo.

A raiz quadrada de um número a (não negativo) é um número b (não negativo) tal que b2 = b ¥ b = a e repre-

senta-se por √∫a ou 2√∫a.

• Sejam m e n quocientes de quadrados perfeitos. Então, m ¥ n e , n ≠ 0, também são quocientes de quadra-

dos perfeitos.

mn

• Sejam q e r dois números racionais positivos. Então, √∫q∫ ∫¥ ∫ ∫r = √∫q ¥ √∫r.

• Sejam q e r dois números racionais positivos com r ≠ 0. Então, = .√∫q√∫r

qr√∫

Cubos perfeitos e raízes cúbicas

Chama-se cubo perfeito a um número que é cubo de um número inteiro positivo.

Exemplo: 25 é um quadrado perfeito porque 25 = 52.

Exemplo: √∫6∫4 = 8, porque 82 = 64.

Exemplo: √∫3∫6 = √∫4∫ ∫¥∫ ∫9 = √∫4 ¥ √∫9

Exemplo: = √∫2∫5√∫4∫9

25

49√∫

Exemplos:

1. ¥ = ¥ = = 2. : = : = ¥ = = 16

9

1

4

42

32

12

22

(4 ¥ 1)2

(3 ¥ 2)2

42

62

16

9

1

4

42

32

12

22

42

32

22

12

82

32

(4 ¥ 2)2

(3 ¥ 1)2

Exemplo: 27 é um cubo perfeito porque 27 = 33.

A raiz cúbica de um número a é um número b tal que b3 = b ¥ b ¥ b = a e representa-se por 3√∫a.

Exemplo: 3√∫6∫4 = 4, porque 43 = 64.

• Sejam m e n quocientes(ou simétricos de quocientes) de cubos perfeitos. Então, m ¥ n e , n ≠ 0, também são

quocientes de cubos perfeitos.

mn

Exemplos:

1. ¥ = ¥ = = 2. : = ¥ = ¥ = = 8

27

1

125

23

33

13

53

(2 ¥ 1)3

(3 ¥ 5)3

23

153

1

343

8

27

(1 ¥ 3)3

(7 ¥ 2)3

33

143

1

343

27

8

13

73

33

23

• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos perfeitos. Então, 3√∫q ∫ ∫¥∫ ∫r = 3√∫q ¥ 3√∫r.

• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos perfeitos. Então, 3 = , para r ≠ 0.3√∫q3√∫r

qr√∫

Exemplo: 3√∫8 ∫ ∫¥∫ ∫2∫7 = 3√∫8 ¥ 3√∫2∫7

• Sejam q e r dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos. Então, 3√∫– ∫q = –3√∫q.

Exemplo: 3√∫–∫8 = –3√∫8

8

Praticar

Unidade 1 Números

1 Completa as duas tabelas seguintes.

2 Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas.

2.1 (–3) ¥ (+ ) = _________________

2.3 (+2) ¥ (+ ) = _________________

2.5 (– ) ¥ (– )= _______________

2.7 (– + 2) ¥ (–0,7) = ____________

2.9 (–0,2 – ) + (–7 + ) = _______

_________________________________

2.2 (– ) ¥ (– ) = _________________________

2.4 (+ ) ¥ (– ) = _________________________

2.6 (– ) ¥ (+ ) ¥ 0,3 = ___________________

2.8 (+5) ¥ (+4 – 2 ) = ______________________

2.10 (–2) ¥ (– + ) – (– – ) = _________

__________________________________________

4

5

7

2

20

7

3

9

5

7

5

4

4

3

5

3

3

4

6

3

8

7

2

3

5

2

1

5

3

4

8

10

5

2

3

5

3 Completa o esquema sabendo que em cada retângulo se escreve o produto dos dois números que estão

imediatamente por baixo dele.

4 Completa a tabela, identificando a propriedade da multiplicação que permite escrever cada uma das

igualdades.

+2 –2 –2 –1×

+

+8

–0,7

–0,6

–2

–1

(–7) ¥ = ¥ (–7)5

2

5

2

(– ¥ ) ¥ (–3) = (– ) ¥ ( ¥ (–3))2

7

9

5

2

7

9

5

PropriedadeIgualdade

–2

0

+2 –0,3 –4 2:

+4

+

–12

0

4

38

5

3

5

1

3

1

3

(–2) ¥ (– + (– )) = (–2) ¥ (– ) + (–2) ¥ (– )4

5

6

11

4

5

6

11

9

6 Completa os espaços com um número inteiro de forma a tornar verdadeiras as igualdades.

7 Completa a tabela, indicando, em cada caso, os valores de a, b e c que tornam as igualdades verdadeiras.

8 Faz corresponder cada expressão da coluna da esquerda a uma expressão da coluna da direita, de modo

que cada uma das expressões fique associada a outra com o mesmo valor.

9 Completa cada uma das seguintes frases de modo a obteres afirmações verdadeiras. Para isso, utiliza

os termos: ímpar/positivo/quadrado perfeito/par/ cubo perfeito/zero.

6.1 –3 ¥ _____ = –

6.3 _____ : (– ) = +1

6.5 (– + 3) ¥ _____ = –36

6.2 – : _____ = +15

6.4 _____ : (– – ) = –2

6.6 _____ : (–14 ¥ (–1)) = –3

9

7

30

7

15

2

15

3

1

6

3

5

9.1 Uma potência de base positiva é sempre um número _________________________.

9.2 Uma potência de base zero e expoente diferente de zero é sempre _________________________.

9.3 Uma potência de base negativa e expoente _________________________ é um número positivo.

9.4 Uma potência de base negativa e expoente _________________________ é um número negativo.

9.5 Um número que é quadrado de um número inteiro diz-se um _________________________.

9.6 Um número que é cubo de um número inteiro positivo diz-se um _________________________.

5 Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas, utilizando, sempre que possível, a pro-

priedade distributiva da multiplicação.

5.1 ¥(– + 5) 5.2 – ¥(– + 6 ) 5.3 –(– + )+ (–4) ¥(– – ) 5.4 (– )2

¥(–22 – )+ (–1)7 + 2

3

3

5

8

7

5

2

3

2

5

3

3

5

7

3

3

2

5

7

7

2

a b c

a ¥ b = 1,5

c ¥ b ¥ (–4) =

a : c = –2b

(a : b) ¥ c = –

Expressão

(–2)2 + (–1)5 l

: (–1,5) × (–1)200 l

(–2)2 l

–16 : (–4) × (– ) l

9

2

1

5

l (–3)2 – (22 × 3)

l –

l –16 × (–1) – 13

l (– )2

: (– )2

22

5

16

5

8

5

3

2

30

7

13 Uma potência de base negativa é: (Escolhe a opção correta.)

[A] sempre positiva.

[B] sempre negativa.

[C] positiva se o expoente for um número par.

[D] negativa se o expoente for um número par.

10

Praticar

Unidade 1 Números

14 Considera as potências ax e ay, de expoente inteiro, sendo a um número inteiro positivo.

Se x – y = 3 , então é igual a: (Escolhe a opção correta.)

[A] a3 [B] a [C] 1 [D] 0

ax

ay

15 Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

[A] –1,4 > – [B] (–1)207 = –207 [C] –120 = +1 [D] (–7)4 = –741

2

16 Escreve em linguagem matemática e calcula:

16.1 a soma de –2 com o dobro de – ;

16.2 o produto da soma de + com – pelo triplo de –7;

16.3 o triplo do quadrado de – ;

16.4 a soma do cubo de – com o quadrado de + ;

16.5 o quadrado da soma de – com o dobro do seu simétrico.

3

2

3

5

5

4

1

5

5

4

7

2

5

7

10 Escreve como uma potência de expoente 2. Explica como procedeste.64

25

11 Escreve 64 como uma potência de base 2. Explica como procedeste.

12 Uma potência de expoente ímpar e base positiva é sempre: (Escolhe a opção correta.)

[A] negativa [B] positiva [C] maior do que 1 [D] menor do que 1

11

19 Considera um número racional a.

19.1 Mostra que o simétrico de a – 1 é 1 – a.

19.2 Calcula cada um dos números referidos na alínea anterior no caso de a = 3.

Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

20 Sabendo que x = –(– + ), y = – 2

– (– )2

e w = –3 ¥ (– – ), determina o valor de cada uma

das seguintes expressões.

20.1 x + y + w

20.2 x ¥ y + w

20.3 x2 –(y – w)2

2

3

5

2

2

5

2

3

1

5

5

2

21 Dentro de um saco estão quatro cartões de igual textura e formato. Em cada um deles está escrito um dos

números +1, –1, –2 e +2. Num outro saco estão também quatro cartões de igual textura e formato, mas

todos com o número –3 escrito.

17 A expressão (– – )2

é igual a: (Escolhe a opção correta.)

[A] (– )2

– (– )2

[B] (– )2

+ (– )2

[C] – [D] +

3

2

4

5

3

2

4

5

3

2

4

5

23

10

23

10

18 Utiliza um dos símbolos >, < ou = para completar os espaços, tornando as afirmações verdadeiras.

18.1 (– )3

_____ (– )2

18.2 1,5 _____ (– )5

18.3 030 _____ (– )301

18.4 (–1)4002 _____ (+1)25 18.5 –33 _____ (–3)3 18.6 –34 _____ (–3)4

2

3

2

3

7

2

3

5

21.1 Sem olhar, a Ana retirou dois cartões, um de cada saco, e somou os números neles escritos. Ob-

teve –5. Que números estavam escritos nos cartões?

21.2 Da mesma forma, o Pedro retirou dois cartões, um de cada saco, e multiplicou os números neles

escritos. Qual o valor máximo que o Pedro pode ter obtido? Explica o teu raciocínio.

21.3 A Carlota afirmou que, na experiência descrita na alínea anterior, o Pedro tinha mais hipóteses

de obter um produto positivo do que um produto negativo. Concordas com a Carlota? Explica o

teu ponto de vista.

23 Completa a tabela, apresentando, sempre que necessário, os valores arredondados às décimas.

12

Praticar

Unidade 1 Números

64

a

3

√∫a

5

3√∫a (√∫a)2 (3√∫a)3

24 Considera as seguintes afirmações.

A. 9 é um cubo perfeito. B. A raiz quadrada de cinco é vinte e cinco.

C. A raiz cúbica de 64 é 4. D. 36 é um quadrado perfeito.

Escolhe a opção correta.

[A] As afirmações A e B são verdadeiras. [B] As afirmações C e D são verdadeiras.

[C] As afirmações A e D são verdadeiras. [D] Nenhuma das opções anteriores.

25 Qual é o perímetro de um quadrado com 36 cm2 de área? (Escolhe a opção correta.)

[A] 6 cm [B] 9 cm [C] 24 cm [D] 36 cm

26 Qual é o volume de um cubo cuja aresta tem o dobro do comprimento da aresta de um cubo com

125 cm3 de volume? (Escolhe a opção correta.)

[A] 250 cm3 [B] 1000 cm3 [C] 10 cm3 [D] 20 cm3

27 Dado um número racional q, mostra que 5 ¥ (–q) = –(5 ¥ q).


28 Calcula o valor exato de cada uma das seguintes expressões numéricas.

28.1 [(– ) ¥ ( )] :

28.2 ¥ (–3 + )28.3 (√∫3)2 + 3√∫6∫∫4 – (3√∫5)3

28.4 (√∫8∫∫1) ¥ (–√∫∫1∫∫∫0∫∫0 – 3√∫1∫∫∫2∫∫5)

28.5 –3 + √∫3∫∫6 : 3√∫2∫∫7 + (–5) ¥ 24

3√∫3

3

5

2

3

7

–4

2

7

4

5

22 Completa os espaços em branco.

22.1 √∫8∫1 = _____ porque 92 = _____ ; 22.2 √∫_∫_∫_∫_∫_ = 7 porque 72 = _____ ;

22.3 3√∫_∫_∫_∫_∫_ = 3 porque 33 = _____ ; 22.4 3√∫8 = _____ porque _____3 = _____

35 Na figura ao lado estão representados três quadrados.

Sabe-se que o quadrado menor tem 121 cm2 de área e que o quadrado

maior tem 144 cm2. Sabe-se ainda que C–B = B–A.

35.1 Determina o comprimento do lado do quadrado maior.

35.2 Determina a área do quadrado do lado [BD]. Explica o teu raciocínio.

13

29 Indica dois quadrados perfeitos cuja soma seja um quadrado perfeito e dois cuja soma não seja um qua-

drado perfeito.

30 Sabe-se que 3 < 3√∫6∫2 < 4. Sem utilizar a calculadora, indica outros quatro números cuja raiz cúbica tam-

bém seja maior que 3 e menor que 4. Explica o teu raciocínio.

31 Sabendo que = , q ≠ 0, determina o valor de . Apresenta o resultado sob a forma de fração.pq√∫ √∫p

√∫q25

36√∫

32 Mostra que se p e q são cubos perfeitos não nulos, então também é um cubo perfeito.pq

33 Considera o número racional .

33.1 Calcula ( )2

.

33.2 Que relação existe entre o quadrado de e o quadrado do seu simétrico?

5

7

5

7

5

7

34 A Joana comprou um perfume para oferecer ao João Nuno no dia

dos namorados. Na perfumaria, para embrulhar o perfume, utiliza-

ram uma caixa com a forma de um cubo, tal como ilustra a figura.

Sabendo que a caixa utilizada tem 2197 cm3 de volume, e que para

fazer o laço foram utilizados 30 cm, determina o comprimento total

da fita utilizada no embrulho. Explica como procedeste.

B ACD

1 “O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.”

Prova que a afirmação anterior é falsa, apresentando um contraexemplo.

2 Sem efetuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.

3 Determina o valor de cada uma das seguintes expressões.

3.1 [(–3)2 ¥ (– )] ¥ (– + )

3.2 [–5 ¥ (–2 + )]3

: (– )

3.3 0456 + (–1)789 ¥ (– ) + (+1)178 ¥ (– 2

+ √∫3∫∫6)

3.4

4 Observa a figura.

Como podes observar, a figura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem

36 mm2 de área, determina o perímetro da figura.

7

2

5

3

6

5

1

2

5

2

3

4√∫125

273

14

Testar

Unidade 1 Números

Potência (–9)2 (–35)457 (+2,4)223

Sinal

(+ )2427

9

(– ) ¥ (– ) + – ( )33

2

2

3 √∫27

643 √∫ 323√∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

15

5 Seja p um número racional. Mostra que 2 ¥ (–p) = –(2 ¥ p).

6 Escreve na forma de dízima.

7 Calcula, utilizando a definição de produto de dois números racionais, ( ) ¥ (– ) e verifica que é

igual a –( ¥ ).


8 Observa o polígono [RSTU].

O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos geometricamente iguais, [RR’U] e [SS’T],

e um quadrado, [RR’S’S], tal como mostra a figura seguinte.

Sabendo que U–R’ = 4 cm e que a área do quadrado [RR’S’S] é igual a 16 cm2, determina U –T.

4

3

5

75

7

4

3

√∫ 4253

R S

U

R

R’

R

R’U

S

S’

S

S’ T

T

Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma

abcissa e por uma ordenada.

(x, y)

abcissa ordenada

Coordenadas cartesianas

Referencial cartesiano

Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles

com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação, habitual-

mente igual em ambos.

16

Resumir

Unidade 2 Funções

Funções

Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos, o conjunto de partida e o conjunto de chegada. Numa

função, a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Para representar uma função podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, gráficos cartesianos ou ex-pressões analíticas:

Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por domínio da função e representa-sepor D. Os elementos deste conjunto chamam-se objetos ou originais. A cada objeto, x, a função fará corres-ponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objeto. A imagem de x representa-se porf(x). O conjunto das imagens chama-se contradomínio da função, e representa-se por C.D. ou D’.

Veículo

Bicicleta

Número de rodas

2

Triciclo 3

Automóvel 4

f(x) = 2x

Tempo

Alt

ura

Número de pernas

Elefante

Gato

Aranha

Polvo

Homem

4

8

2

2.o quadrante

Origem do referencial

Eixo das ordenadas

Eixo das abcissas

x

y

1.o quadrante

3.o quadrante 4.o quadrante

A origem do referencial tem

coordenadas (0, 0).

��

17

Operações com funções

• A soma de funções numéricas com o mesmo domínio é uma função com o mesmo domínio tal que a imagem de

cada x ∈A é a soma das imagens. (a + b)(x) = a(x) + b(x)

• A diferença entre funções numéricas com o mesmo domínio é uma função com o mesmo domínio tal que a ima-

gem de cada x ∈A é a diferença das imagens. (a – b)(x) = a(x) – b(x)

• O produto de funções numéricas com o mesmo domínio é uma função de mesmo domínio tal que a imagem de

cada x ∈A é o produto das imagens. (a ¥ b)(x) = a(x) ¥ b(x)

Proporcionalidade direta

As grandezas X e Y são diretamente proporcionais se a razão entre os valo-

res correspondentes das duas, tomados pela mesma ordem, for constante e

não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporciona-lidade direta.

Qualquer função com uma expressão algébrica do tipo y = k ¥ x ou, de forma

equivalente, f(x) = k ¥ x, k ≠ 0, diz-se uma função de proporcionalidade direta.

Para xnão nulo, = = k diz-se a constante de proporcionalidade direta.

Uma função f de proporcionalidade direta é igual, no seu domínio, a uma fun-

ção linear de coeficiente a = f(1).

Num gráfico de proporcionalidade direta, todos os pontos estão sobre uma reta que passa pela origem do refe-

rencial.

f(x)x

k ¥ xx

Uma dada função f: A → B diz-se uma função numérica quando B é um conjunto de números e uma função devariável numérica quando A é um conjunto de números.

O gráfico de uma função f: A → B é o conjunto dos pares ordenados (x, y), com x ∈A e y = f(x). x designa-se por

variável independente e y, porque depende de x, designa-se por variável dependente.

Função afim

Uma função numérica de variável numérica para a qual existe um número racional b tal que f(x) = b, para todo

o racional x, diz-se uma função constante.

Uma função numérica de variável numérica para a qual existe um número racional a tal que f(x) = ax, para todo

o racional x, diz-se uma função linear. f(x) = ax diz-se a forma canónica da função linear e a diz-se o coeficienteda função.

A soma e a diferença de funções lineares são funções lineares de coeficientes iguais, respetivamente, à soma e

à diferença dos coeficientes das funções dadas.

O produto de uma função linear por uma função constante é uma função linear cujo coeficiente é igual ao pro-

duto pela constante do coeficiente da função linear.

Uma função afim é a soma de uma função linear com uma função constante. f(x) = ax + b diz-se a forma ca-nónica da função afim, onde a é o coeficiente da função linear e b o valor da constante. a diz-se o coeficientede x e b o termo independente.

O produto por uma função constante, a soma e a diferença de funções afins são funções afins de coeficientes

da variável e termos independentes respetivamente iguais ao produto pela constante, à soma e à diferença dos

coeficientes das funções dadas.

y1 = kx1

y2 = kx2

y3 = kx3

y

x1

y3

y2

y1

x2 x3 x

18

Praticar

Unidade 2 Funções

1 Indica quais das seguintes correspondências são funções. Justifica a tua resposta.

Cor

resp

ondê

ncia

1C

orre

spon

dênc

ia 2

Cor

resp

ondê

ncia

3C

orre

spon

dênc

ia 4

Cor

resp

ondê

ncia

5C

orre

spon

dênc

ia 6

Cor

resp

ondê

ncia

7

A

–2

–1

0

B

1

2

0

2

1

É função

Não é função

Justificação

y

x

1

–1

1 2 3 44 3 2 1

12

12

–

É função

Não é função

Justificação

É função

Não é função

Justificação

y

x

É função

Não é função

Justificação

C

–2

4

5

D

8

3

9

7

É função

Não é função

Justificação

E F

3

7

9

–2

8

5

4É função

Não é função

Justificação

y

x

É função

Não é função

Justificação

x y

–2 4

–2 0

–2 1

–2 35

19

2 Considera a função f: A → B definida pelo diagrama ao lado.

Identifica o domínio, o contradomínio, o conjunto de chegada e o gráfico de f.


3 Dados os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = {–6, –3, 0, 3, 6}, a função i: A → B é definida pela expres-

são i(x) = 3x.

3.1 Determina o contradomínio de i.

3.2 Determina o gráfico de i.

4 Considera os seguintes referenciais cartesianos, onde se representaram, respetivamente, os gráficos

das funções f e g.

4.1 Indica o domínio de f e de g.

4.2 Identifica o contradomínio de cada uma das funções.

4.3 Completa com números, por forma a obteres igualdades verdadeiras.

(f + g)(2) = f(2) + g(__) = ___ + ___ = ___

A

f 3

1

4

B

7

a

c

b

y

x0 1 2 3 4

1

2

3

4

y

x0 1 2 3 4

1

2

3

4

4.4 Preenche a tabela e indica o contradomínio da função f + g.

x 1

f(x)

2 3 4

g(x)

(f + g)x)

6 Comenta cada uma das afirmações seguintes.

A. O comprimento de um lado de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao seu perí-

metro.

B. O comprimento do raio de um círculo é diretamente proporcional à sua área.

C. O comprimento do raio de um círculo é diretamente proporcional ao seu perímetro.

20

Praticar

Unidade 2 Funções

5 Quais dos seguintes gráficos representam uma função linear? Justifica a tua resposta.

g

h

f

i

j

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2345

6789

10y

x

4.6 Identifica o domínio e determina o contradomínio de cada uma das seguintes funções.

a) f – g b) f ¥ g c) f 2

Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

4.5 Representa num referencial cartesiano o gráfico da função f + g.

21

7 A Matilde inscreveu-se num workshop de dança. Este workshop de 50 h decorre às terças-feiras e cada

sessão tem uma duração de 5 horas. O número P de horas que falta para terminar o workshop é dado

pela fórmula P(n) = 50 – 5n, sendo n o número de sessões já realizadas.

7.1 Quantas sessões terá o workshop?

7.2 Se já se tivessem realizado quatro sessões, quantas horas faltariam para terminar o workshop?

7.3 Quantas sessões é que já se teriam realizado se apenas faltassem 10 horas para terminar o

workshop?

8.2 Sendo x o preço do artigo sem desconto e g(x) o valor do desconto, escreve uma expressão al-

gébrica para a função g.

8.3 Sendo x o preço do artigo sem desconto e f(x) o preço do artigo com desconto, escreve uma ex-

pressão algébrica para a função f.

8.4 Justifica que as funções f e g são funções de proporcionalidade direta e indica as respetivas

constantes de proporcionalidade.

8.5 Determina o preço final a pagar por um MP3 cujo preço de venda inicial é 180 €.

8 Uma loja de eletrodomésticos está em liquidação de stock.

Assim, durante três dias, todos os artigos expostos têm um

des conto de 70%.

8.1 Qual é o valor do desconto de um frigorífico que cus-

tava 650 €?

9 Indica uma expressão algébrica que defina:

9.1 a área do quadrado, A, em função do comprimento do seu lado, l.

9.2 a área do círculo, A, em função do comprimento do seu raio, r.

22

Praticar

Unidade 2 Funções

12 O Sr. Fernando produz e vende batatas.

12.1 A tabela seguinte relaciona a quantidade de batatas vendidas, em quilogramas, com a quantia

recebida pelo Sr. Fernando, em euros. Completa-a.

12.2 Seja h a função que à quantidade de batatas vendidas (em quilogramas) associa o valor a rece-

ber pelo Sr. Fernando (em euros). Escreve uma expressão algébrica de h.

12.3 Se alguém comprar três sacos de 20 kg, quanto terá que pagar? Apresenta todos os cálculos que

efetuares.

12.4 Na última venda que realizou, o Sr. Fernando recebeu 30 €. Quantos quilogramas de batatas vendeu?

Peso (kg) 0

Valor recebido (€)

2

0,60 1,5

PREÇO ESPECIAL

0,15 €/kg

10 Observa o gráfico ao lado.

Qual das seguintes interpretações pode resultar da observação do gráfico?

[A] O Jorge ganha 20 € por cada hora de trabalho.

[B] Por cada 10 rebuçados, a Filipa paga 1 €.

[C] Por cada 10 alunos presentes, são necessários 2 professores.

[D] Um atleta corre a uma velocidade constante de 4 km por hora.

Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Primavera de 2006)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

1

2345

678y

x

11 Quais das seguintes variáveis são diretamente proporcionais? (Escolhe a(s) opção(ões) correta(s).)

[A] Número de horas de estudo e nota obtida no exame.

[B] O peso das laranjas e o preço a pagar por elas.

[C] A altura de uma pessoa e o seu peso.

[D] O número de pães e o preço a pagar por eles.

23

13 Considera os quatro retângulos seguintes.

No gráfico ao lado, cada ponto A, B, C e D é definido pela base e pela altura dos

retângulos I, II, III e IV.

Completa a tabela seguinte, fazendo corresponder cada ponto a cada retân-

gulo.

IVIII

II

I

Base

Alt

ura

D

C

BA

Ponto A

Retângulo

B C D

14 Os pais do Gonçalo foram passar uns dias a Évora e ficaram instalados num hotel mesmo no centro da

cidade. Na tabela que se segue estão registados os preços, em euros, a pagar, por noite, nesse hotel.

0 1 2 3 4 5

50

100

150

200

Preço a pagar (€)

Números de noites

14.1 Desenha o gráfico da função representada pela tabela.

Número de noites (x)

1

2

3

4

Preço a pagar, em euros (y)

45 €

90 €

135 €

180 €

Évora

14.2 Indica, justificando, qual das seguintes expressões define a expressão analítica da função re-

presentada pela tabela.

[A] y = 45x [B] y = 5x

[C] y = 90x [D] y = x1

2

16 Em janeiro, o Vítor, depois de ter vindo do barbeiro, decidiu estudar o

crescimento do seu cabelo, registando todos os meses a sua medida.

O gráfico seguinte representa o crescimento do cabelo do Vítor, desde

o mês de janeiro (mês 0) até ao mês de junho (mês 5).

16.2 Em cada mês, quantos centímetros cresceu o cabelo do Vítor?

24

Praticar

Unidade 2 Funções

(M) – MêsJaneiro

(C) – Comprimento do cabelo

0

Fevereiro

1

4,4

Março

2

5,8

Abril

3

7,2

Maio

4

8,6

Junho

5

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C –

Co

mp

rim

en

to d

o c

ab

elo

(c

m)

M – Mês

janeiro

fevereiro

março

abril

maio

junho

16.1 Completa a tabela de acordo com os dados representados no gráfico.

16.3 Assinala a expressão que representa o comprimento do cabelo do Vítor, em cada um dos pri-

meiros seis meses.

[A] C = 1,4 M [B] C = 3 + 1,4 M [C] C = 1,4 + 3 M [D] C = 3 M

16.4 O João foi cortar o cabelo no mesmo dia do Vítor, mas o seu

cabelo ficou mais curto, com apenas 2 cm. Constrói o gráfico

que representa o crescimento do cabelo do João desde janeiro

até maio, supondo que cresce 1,5 cm em cada mês.

0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C –

Co

mp

rim

en

to d

o c

ab

elo

(c

m)

(M) – Mês

janeiro fevereiro março abril maio

11

12

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2004

15 Considera a função h, representada pela tabela.

15.1 Indica o domínio e o contradomínio de h.

15.2 Completa:

a) h(3) = _______ b) h(_______) = 1

15.3 Qual é a imagem, por h, do objeto 2?

15.4 Qual é o objeto que, por h, tem imagem 0?

x 0

h(x) 4

2

3

3

5

4

0

5

1

25

17 Considera o gráfico de uma função g definido por Gg = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}.

17.1 Identifica o domínio e o contradomínio de g.

17.2 Representa a função g por um diagrama de setas, supondo que o contradomínio coincide com o

conjunto de chegada.

17.3 Supõe que o contradomínio de g não coincide com o conjunto de chegada. Representa por um dia-

grama de setas um possível exemplo de g.

17.4 Determina uma expressão algébrica que defina o valor de g(x) para qualquer x no domínio de g.

18 Considera a função g de domínio A = {– , 0, , 2} e conjunto de chegada Q, definida por g(x) = 2x – 1.

18.1 Determina o contradomínio de g.

18.2 Representa o gráfico da função f num referencial cartesiano.

1

2

3

2

26

Praticar

Unidade 2 Funções

Ce

ntí

me

tro

Polegada

8,89

7,62

6,35

5,08

3,81

2,54

1,27

00 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Diagonal

21 Por vezes, o comprimento da diagonal do ecrã de um televisor é indicado em polegadas. No gráfico que

se segue, podes ver a relação aproximada existente entre esta unidade de comprimento e o centímetro.

20 Para cada uma das funções, de Q em Q, definidas em cada uma das seguintes alíneas, indica se se trata

de uma função afim, linear ou constante, apresentando a respetiva forma canónica.

20.1 f(x) = 2 – (x + 1) + x

20.2 g(x) = 1 – 3x + (4x – 2) – 1

20.3 h(x) =

20.4 i(x) = 2x2 – (2x2 + 1) – x

2x – (3x – 1) + 3

2

19 Na figura está representado o gráfico de uma função g num refe-

rencial cartesiano.

19.1 Indica o domínio de g.

19.2 Completa as igualdades:

a) g(3) = ____ b) g(__) = 4

19.3 Completa com um número de forma a obteres uma afirma-

ção verdadeira: “____________ é o objeto cuja imagem é 0.”

19.4 Indica se é verdadeira ou falsa afirmação: “2 é a imagem de um único objeto”.

y

x0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

21.1 Qual das quatro igualdades que se seguem permite calcular a diagonal do ecrã de um televisor,

em centímetros (c), dado o seu comprimento em polegadas (p)?

[A] c = 1,27 p [B] c = p [C] c = 2,54 p [D] c = p

21.2 O Gonçalo comprou um televisor com 106,68 cm de diagonal. A Marta também comprou um,

mas com 40 polegadas de diagonal. Qual dos dois comprou o televisor com maior diagonal?

Explica o teu raciocínio.

Adaptado de Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico, 1.a chamada, 2007

1

2,54

1

1,27

27

22 O Sr. Marques é alfarrabista.

No final de cada ano, o Sr. Marques estuda as vendas

do ano anterior e regista a informação que obtém

através de um gráfico. O gráfico ao lado é referente

às vendas do ano passado.

22.1 Em que mês foram vendidos mais livros?

22.2 Em que mês foram vendidos menos livros?

22.3 Quantos livros foram vendidos em outubro?

22.4 Em dois dos meses foram vendidos o mesmo número de livros. Quais foram esses meses?

22.5 A determinada altura houve um grande crescimento nas vendas, que terminou com a tendência

de descida que se observava há alguns meses. Em que mês isso aconteceu?

22.6 No total, quantos livros foram vendidos nesse ano?

23 No seu telemóvel, o Marco tem atualmente um tarifário em que cada chamada custa 0,18 €, por minuto,

independente da rede para que ligue.

O Marco está em dúvida. Não sabe se deve aderir a uma promoção em que, pagando 50 € mensais, pode

ligar, sem restrições de tempo, para quem quiser. Ajuda o Marco, determinando o número de minutos de

conversação a partir do qual o seu tarifário atual deixa de ser vantajoso. Explica o teu raciocínio.

24 Na bilheteira de um circo, em vez da habitual tabela de preços, estava afixado o seguinte cartaz informativo:

24.1 A Eliana comprou cinco bilhetes. Quanto pagou?

24.2 A Sofia pagou 9 €. Quantos bilhetes comprou?

24.3 Completa a seguinte tabela, que será afixada na bilhe-

teira do circo, em substituição do cartaz informativo.

Janeiro

Març

o

Feve

reiro

Abril

Maio

Junho

Agosto

Julho

Setem

bro

Outubro

Novem

bro

Dezem

bro

Meses do Ano

Nú

me

ro d

e l

ivro

s ve

nd

ido

s 3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Número de bilhetes comprados (n)

1

2

3

4

…

n

Preço a pagar (P)

…

28

Praticar

Unidade 2 Funções

26 Imagina que um recipiente com a forma da pirâmide, inicialmente vazio, se vai

encher com água. A quantidade de água que sai da torneira, por unidade de

tempo, até o recipiente ficar cheio, é constante. Qual dos seguintes gráficos

poderá traduzir a variação da altura da água, no recipiente, com o tempo que

decorre desde o início do seu enchimento? Explica, numa pequena composi-

ção, a razão por que não escolheste nenhum dos outros três gráficos.

altura

Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo, 2007

Gráfico A Gráfico B Gráfico C Gráfico D

Tempo

Alt

ura

Tempo

Alt

ura

Tempo

Alt

ura

Tempo

Alt

ura

25 Representa graficamente cada uma das funções f e g definidas por:

25.1 f(x) = 3x 25.2 g(x) = x + 1

29

27 Na realização de uma determinada experiência, foi necessário encher, com água, três recipientes de di-

ferentes formas. Todos os recipientes se encontravam completamente vazios e, para os encher, utili-

zou-se uma torneira que debitava água de forma constante. Para cada um dos recipientes, indica o

gráfico que pode representar a variação da altura da água em função do tempo decorrido desde o ins-

tante em que se abriu a torneira.

Rec

ipie

nte

1

TempoA

ltu

raTempo

Alt

ura

Tempo

Alt

ura

Rec

ipie

nte

2

Tempo

Alt

ura

Tempo

Alt

ura

TempoA

ltu

ra

Rec

ipie

nte

3

Tempo

Alt

ura

Tempo

Alt

ura

Tempo

Alt

ura

28 O Paulo e a Teresa são dois irmãos gémeos de 20 anos de

idade. Os seguintes gráficos permitem calcular a evolu-

ção dos pesos de ambos, desde o nascimento até hoje.

28.1 Com que idade o Paulo e a Teresa pesavam o

mesmo?

28.2 Observa o gráfico e assinala a afirmação correta

sobre o aumento de peso da Teresa, entre os 5 e

os 10 anos de idade.

[A] A Teresa aumentou mais do que 10 kg e menos do que 15 kg.

[B] A Teresa aumentou exatamente 15 kg.

[C] A Teresa aumentou mais do que 15 kg e menos do que 20 kg.

[D] A Teresa aumentou exatamente 20 kg.

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2003

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Pe

so (

kg)

Idade (anos)

0 5 10 15 20

Paulo

Teresa

[A] [B] [C]

[A] [B] [C]

[A] [B] [C]

30

Praticar

Unidade 2 Funções

29 O intervalo de tempo que decorre entre o momento em que o condutor de um automóvel vê um obstá-

culo na estrada e o momento em que carrega no travão denomina-se tempo de reação. Durante o

tempo de reação, o automóvel continua a circular à mesma velocidade e percorre uma distância a que

se chama distância de reação (Dr). Quanto menor for a distância de reação, mais depressa se imobi-

liza o automóvel. Existe uma fórmula, aceite internacionalmente, que relaciona a velocidade (v) a que

um automóvel circula e a distância de reação (Dr). O gráfico dessa relação está representado na figura

seguinte.

30 Dados dois números racionais b e k, seja f a função definida em Q por f(x) = bx e g a função constante

igual a k. Prova que a função g ¥ f é linear e identifica o respetivo coeficiente.


0

80

Dr(m)

v

40

0100 200

(km/h)

De acordo com o gráfico, responde às seguintes questões.

29.1 Qual é a distância que um automóvel percorre quando se desloca a uma velocidade de 100 km/h,

desde o instante em que o condutor vê um obstáculo até que inicia a travagem?

29.2 A que velocidade seguiria um automóvel que percorreu 45 m desde o instante em que o condu-

tor viu um obstáculo até que iniciou a travagem?

29.3 A distância de reação é diretamente proporcional à velocidade a que um automóvel circula. In-

dica qual das seguintes expressões relaciona a distância de reação (Dr) com a velocidade a que

um automóvel circula (v).

[A] Dr = v [B] Dr = v

[C] Dr = v [D] Dr = v

Projeto 1000 itens

30

100

3

100

100

3

100

30

31

31 O F-16 Fighting Falcon, avião de combate supersónico, é um

dos melhores aviões da atualidade para o combate aéreo e

também para o ataque ao solo, dada a sua extraordinária

manobrabilidade, avançadas características aerodinâmicas

e elevada capacidade de suportar acelerações até 9G.

Força Aérea Portuguesa,

consultado em junho de 2009

Um caça F-16 da Força Aérea Portuguesa encontrava-se a fazer testes no espaço aéreo do Alentejo. A

determinada altura, o avião atingiu certa velocidade, que se manteve constante por alguns segundos.

Nessa altura, registou-se o seguinte:

31.1 Sabendo que velocidade = , determina a velocidade atingida pelo avião.

31.2 Se o avião mantivesse a mesma velocidade durante três minutos, quantos quilómetros percor-

reria?

31.3 Mantendo a velocidade constante, quanto tempo, em horas, demoraria o avião a percorrer 4500 km?

31.4 Técnicos especializados, que estudavam a hipótese de melhorar a descolagem do avião, regis-

taram as diferentes alturas a que o avião se encontrava, t segundos após ter iniciado o seu mo-

vimento. Alguns desses registos encontram-se na tabela seguinte.

Seja A a função que ao tempo, t, decorrido desde o instante em que o avião iniciou as manobras

necessárias à descolagem, faz corresponder a altura do avião.

a) Completa as expressões seguintes, indicando o seu significado no contexto da situação.

i. A(20) = ___________

Significado: ________________________________________________________________

ii. A(___________) = 1000

Significado: ________________________________________________________________

b) Comenta a afirmação: “A função A é uma função de proporcionalidade direta”.

distânciatempo

f – Tempo decorrido (segundos) 0

d – Distância percorrida (metros) 0

2

1056

4

2112

6

3168

Tempo decorrido (segundos) 0

Altura do avião (metros) 0

10

0

20

100

40

1000

32

Praticar

Unidade 2 Funções

32 O tempo que um modem leva a transferir um ficheiro via internet depende do tamanho do ficheiro e da

velocidade de transferência do modem. A tabela seguinte indica o tempo que o modem da Bárbara de-

mora a transferir alguns ficheiros.

33 Considera um polígono regular cujo lado tem 3,4 cm de comprimento e cujo perímetro é 20,4 cm.

33.1 De que polígono regular se trata?

33.2 Escreve uma expressão algébrica que represente a função que a cada valor do comprimento do

lado associa o perímetro deste polígono regular.

33.3 Representa graficamente essa função.

32.1 Calcula a velocidade de transferência do modem, em kB por segundo (kB/s). Explica o teu raciocínio.

32.2 Quantos segundos demora o modem da Bárbara a transferir um ficheiro de 1000 kB? Apresenta

todos os cálculos que efetuares e explica a tua resposta. Indica o resultado com uma casa decimal.

32.3 Cada 1024 bytes correspondem a 1 kB (Kilobyte), mas, normalmente, toma-se um valor apro-

ximado, considerando 1 kB = 1000 bytes, e estabelecem-se as seguintes equivalências entre as

diversas unidades de medida:

Tendo em conta as equivalências da tabela, assinala a igualdade verdadeira.

[A] 1 kB = 106 bytes [B] 1 MB = 106 bytes

[C] 1 GB = 106 bytes [D] 1 byte = 106 MB

t – Tempo (segundos) 2,5

f – Tamanho (em kB) 72

100

288

25

720

60

1728

105

3024

Gigabyte (GB)

0,001

Megabyte (MB)

1

Kilobyte (kB)

1000

Byte (B)

1 000 000

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – A

33

33.4 Observa agora o gráfico no qual estão representadas as relações

entre o comprimento do lado e o perímetro de quatro polígonos re-

gulares.

a) Indica a que polígono regular corresponde cada uma das fun-

ções representadas graficamente na figura.

b) Indica uma expressão algébrica que represente cada uma das

funções de proporcionalidade direta representadas.

c) Indica a constante de proporcionalidade referente a cada uma das quatro situações.

d) À medida que o valor da constante de proporcionalidade aumenta o que acontece ao gráfico

de uma função do tipo y = kx?

Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Sequências e Funções

0

18

16

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5

d() c() b() a()

34 Um táxi A cobra 2 € de bandeirada e 0,78 € por quilómetro percorrido. Um táxi B não cobra bandeirada

mas cobra 1,1 € por quilómetro percorrido.

34.1 Quanto paga um consumidor que faça uma viagem de 20 km no táxi A? Explica o teu raciocínio.

34.2 O dono do táxi B pretende colar uma tabela informativa dos preços que pratica, no vidro do seu

táxi. Essa tabela está representada de seguida. Completa-a.

34.3 O carro do Rui avariou. Para se deslocar para o emprego, o Rui tem de chamar um táxi. Qual dos

dois táxis deve chamar? Justifica a tua resposta.

Número de quilómetros percorridos 1

Preço a pagar (€) 1,1

2

11 49,5

1 Qual das seguintes correspondências não define uma função?

[A] [B] [C] [D]

2 Observa a representação gráfica da função g.

2.1 Indica o domínio e o contradomínio da função g.

2.2 Qual a imagem, por g, do objeto –1?

2.3 Qual é o objeto que, por g, tem imagem 2?

2.4 Completa as seguintes expressões:

a) g(3) = _______ b) g(_______) = 1

3 Numa papelaria todos os artigos escolares estão em promoção. A quantia a pagar por cada artigo mar-

cado originalmente com o preço v, em euros, é dada, também em euros, pela expressão C(v) = 0,85v.

3.1 Se um determinado artigo estiver marcado com o preço de 4,5 € e lhe for aplicado o desconto,

qual é o preço a pagar?

3.2 Podemos afirmar que o preço a pagar, C(v), e o preço de marcado, v, são grandezas direta-

mente proporcionais? Justifica.

3.3 Qual é a percentagem de desconto aplicada a cada artigo?

3.4 Comenta a afirmação: “O desconto e o preço marcado são grandezas diretamente proporcionais”.

34

Testar

Unidade 2 Funções

y

x

y

x

y

x

y

x

0

1

2

–1

0 1 2 3–1–2

y

x

35

4 A Sofia é veterinária e vai estagiar, durante sete dias, na clínica Miau-Miau. No gráfico seguinte pode

observar-se a correspondência entre o tempo de trabalho, em horas, e a quantia a receber pela Sofia,

em euros.

4.1 Que valor recebe a Sofia por cada hora de trabalho?

4.2 Se a Sofia, num determinado dia, trabalhar cinco horas, quanto receberá nesse dia?

4.3 A Sofia, depois de combinar com o gerente da clínica o seu horário de trabalho, fez uns cál-

culos e verificou que, pelos sete dias em que vai estagiar na referida clínica, receberá um total

de 315 €. Em média, quantas horas por dia trabalhará a Sofia?

4.4 Comenta a afirmação: “A quantia a receber pela Sofia é diretamente proporcional ao número

de horas que trabalhará”.

5 O Álvaro tem o seu ioiô na mão e lança-o. Quando o lança pela terceira vez, o fio quebra-se e o ioiô cai

no chão.

5.1 Indica qual o gráfico que pode representar a variação da altura do ioiô, em relação ao chão,

desde o momento em que o Álvaro o lança pela primeira vez, até cair ao chão.

5.2 Explica, numa breve composição, a razão pela qual consideras errado cada um dos outros três

gráficos.

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – B

40

Qua

ntia

a r

eceb

er (

€)

Tempo de trabalho (h)

30

20

10

0 2 4 6 8

y

x

Tempo

Altura

Tempo

Altura

Tempo

Altura

Tempo

Altura

[A] [B]

[C] [D]

36

Resumir

Unidade 3 Sequências e regularidades

Sequências numéricas

Numa sequência numérica, cada número tem o nome de termo, pelo que dois números seguidos dizem-se termosconsecutivos. Cada termo obtém-se a partir da lei de formação da sequência.

11, 21, 31, 41, 51, …

Lei de formação: Com exceção do 1.o termo, cada termo obtém-se adicionando

10 unidades ao termo anterior.

Os termos de uma sequência relacionam-se segundo uma regra, que pode ser traduzida por uma expressão

algébrica. Essa expressão designa-se por termo geral. O termo geral de uma sequência é muito útil, pois permite determinar qualquer termo da sequência, desde que

se conheça a sua ordem. O termo geral também permite verificar se um número é, ou não, termo da sequência.

11, 21, 31, 41, 51, … → Termo geral: 10n + 1

Modos distintos de analisar a sequência podem conduzir a expressões diferentes para a re pre sen ta ção do termo

geral. Essas expressões são equivalentes, ou seja, são expressões que, depois de simplificadas, são iguais.

11, 21, 31, 41, 51, …

11 + (n – 1) ¥ 10 = 11 + 10n – 10 = 10n + 1 → 11 + (n – 1) ¥ 10 é equivalente a 10n + 1.

1.o termo

ou

termo de

ordem 1

2.o termo

ou

termo de

ordem 2

3.o termo

ou

termo de

ordem 3

4.o termo

ou

termo de

ordem 4

5.o termo

ou

termo de

ordem 5

Termo geral:

10n + 1

Termo geral:

11 + (n – 1) ¥ 10

…

37

Gráfico de uma sequência numérica

O gráfico de uma sequência numérica é constituído pelo conjunto dos pares ordenados (a, b), em que a é a ordem

do termo e b é o próprio termo da sequência.

(a, b)

Sucessões

Uma sequência numérica infinita diz-se uma sucessão.

Assim, uma sucessão é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais.

3

1.o termo

u1

5

2.o termo

u2

7

3.o termo

u3

9

4.o termo

u4

11

5.o termo

u5

13

6.o termo

u6

15

7.o termo

u7

Ordem

do termo

17

8.o termo

u8

Termo

…

Estes pares ordenados de números podem ser repre sen ta dos num referencial cartesiano, obtendo-se assim a

representação gráfica da sequência.

Repara que, da definição de gráfico, a representação gráfica é um conjunto de pontos isolados, como na re pre -

sen tação da figura, correspondente à sequência de termo geral 2n + 1.

38

Praticar


1 Considera as seguintes sequências numéricas e supõe que se mantém a regularidade entre termos con-

secutivos.

Sequência 1: 7, 14, 21, 28, …

Sequência 2: 11, 8, 5, 2, …

Sequência 3: , , , , …

1.1 Indica os próximos três termos de cada uma das sequências.

Sequência 1: _________________________

Sequência 2: _________________________

Sequência 3: _________________________

1.2 Indica o termo de ordem 100 de cada uma das sequências. Explica o teu raciocínio.

Sequência 1: _________________________

Sequência 2: _________________________

Sequência 3: _________________________

1.3 Indica um possível termo geral para cada uma das sequências.

Sequência 1: _________________________

Sequência 2: _________________________

Sequência 3: _________________________

5

9

4

7

3

5

2

3

2 O termo geral de uma sequência finita é 3n + 2. O último termo dessa sequência é 17. Quantos termos

tem a sequência?

3 Considera a sucessão (an) de termo geral an = 4n – 1.

3.1 Determina os quatro primeiros termos da sucessão e repre-

senta-os graficamente.

3.2 Determina o décimo quinto termo da sucessão.

3.3 Verifica se 78 é termo da sucessão. Explica o teu raciocínio.

39

5 Observa a sequência de figuras.

Cada uma das figuras apresentadas é formada por triângulos equiláteros com 1 unidade de medida de

comprimento de lado.

5.1 Quantos triângulos equiláteros são necessários para formar uma figura com 20 unidades de pe-

rímetro? Explica o teu raciocínio.

5.2 Descobre uma regra que permita determinar o perímetro de uma qualquer figura desta sequência.

4 Considera as sucessões, cujos termos gerais são:

an = 3n + 6

bn =

cn = n2 + 1

4.1 Para cada uma das sucessões, determina, a partir do seu termo geral, os cinco primeiros termos.

an: _________________________________________________________________

bn: _________________________________________________________________

cn: _________________________________________________________________

4.2 Considera, agora, apenas a sucessão (an). Verifica se os números 22, 31, 144, 186 e 211 são ter-

mos da sucessão e, caso o sejam, indica a ordem que corresponde a cada um. Apresenta todos

os cálculos ou esquemas que efetuares.

nn + 1

Figura 1 Figura 2 Figura 3

6 Considera as seguintes sequências.

I. 4, 9, 14, 19, ...

II. 19, 15, 11, 7, ...

6.1 Para cada uma delas, indica:

a) o primeiro termo;

b) o vigésimo termo;

c) o termo de ordem n.

6.2 Considera, agora, a sequência em que cada termo resulta da soma dos termos de igual ordem

das duas sequências da alínea anterior. Determina o termo de ordem n desta nova sequência.

7.1 Representa as figuras 4 e 5 desta sequência e indica o número de palitos que as constituem.

7.2 Por quantos palitos é formada a 40.a figura? Explica o teu raciocínio.

7.3 Descobre uma regra que permita determinar o número de palitos de uma qualquer figura.

7.4 Para construir uma figura desta sequência foram necessários 122 palitos. Qual é o número da

figura? Explica o teu raciocínio.

7.5 Considera agora os retângulos que limitam as figuras da sequência anterior.

40

Praticar



A tabela seguinte refere-se a figuras da mesma sequência.


1 2 3Número da figura

7 12 17Número de palitos


Descobre uma regra que permita determinar a área de cada um desses retângulos. (considera

1 palito como unidade de medida de comprimento).

7.6 Calcula a área do retângulo que limita a figura 19.

41

8 Considera as três primeiras figuras de uma sequência.


8.1 Completa a tabela.

8.2 Descreve o padrão que observas.

8.3 Considera a sucessão (an) do número de pontos de cada figura.

a) Determina o termo geral da sucessão.

b) Calcula a5 e interpreta o resultado no contexto do problema.

c) Determina o número de pontos da figura 5.

d) Existirá alguma figura com 90 pontos? Justifica a tua resposta.

8.4 Determina o termo geral da sucessão (bn) do número de segmentos de ligação de uma figura de

qualquer ordem.

A tabela seguinte refere-se a figuras da mesma sequência.

1 2 3Número da figura

5 8 11

4 5

Número de pontos

5 9 13Número de segmentos de ligação


9.1 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados brancos de uma figura

de qualquer ordem.

9.2 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados amarelos de uma fi-

gura de qualquer ordem.

9.3 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados total de uma figura de

qualquer ordem.

Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1

42

Praticar


10 Durante as férias de Natal, a Catarina foi a Barcelona. Uma

das zonas que visitou foi a Praça de Espanha, onde se en-

contram duas magníficas torres. Tal como a figura sugere,

as torres da Praça de Espanha têm a forma de uma pirâ-

mide quadrangular no topo de um prisma quadrangular, for-

mando uma torre de quatro lados.

De seguida apresenta-se um modelo das referidas torres.

10.1 O modelo apresentado respeita a Fórmula de Euler? (Fórmula de Euler: Vértices + Faces = Arestas + 2)

10.2 Determina o número de vértices, arestas e faces de um modelo de uma torre de 5 lados.

10.3 Descobre uma expressão que permita calcular:

a) o número de vértices do modelo de uma torre com n lados;

b) o número de arestas do modelo de uma torre com n lados;

c) o número de faces do modelo de uma torre com n lados.

10.4 Averigua se a Fórmula de Euler se verifica no modelo de uma torre de n lados.

11 O irmão do João pintou a seguinte sequência de desenhos em papel quadriculado.

Quantas quadrículas pintadas tem o décimo desenho? Explica o teu raciocínio.

Adaptado de Olimpíadas Portuguesas da Matemática – Pré-Olimpíadas


…

Barcelona

43

12 O Superchocolate é uma caixa de doces constituída por chocolates e caramelos. As caixas são organi-

zadas da seguinte forma: cada caramelo é colocado no centro de cada conjunto de quatro chocolates,

tal como sugere a figura seguinte.

As dimensões de cada uma das caixas dizem-nos o número de colunas e de linhas de chocolates que cada

caixa possui.

Descreve um método para encontrar o número de caramelos de qualquer caixa, conhecidas as suas di-

mensões. Exemplifica e justifica o teu método através de palavras, diagramas ou expressões.

Adaptado de Principles and Standards, NCTM, 2000

2 × 2 2 × 43 × 5

13 De regresso ao Colégio, depois das férias do Natal, todos os colegas de turma da Margarida se cumpri-

mentaram com um abraço. Cada um cumprimentou cada colega uma só vez. A tabela seguinte esque-

matiza parte da situação descrita.

Número decolegas

2

3

4

5

EsquemaNúmero de

abraços

1

3

6

13.1 Completa a tabela anterior.

13.2 Observa com atenção o esquema constituído por quatro colegas. Quantos abraços deu cadaco lega? E no esquema constituído por cinco colegas?

13.3 Quantos abraços se tinham dado, no momento em que se encontravam na sala 10 meninos? Ex-

plica o teu raciocínio.

13.4 Escreve uma expressão algébrica que permita determinar o número de abraços dados por um

qualquer número de colegas.

13.5 Quantos colegas tem a Margarida na sua turma, sabendo que, no total, foram dados 55 abraços?

1 Observa as sequências e supõe que se mantém a regularidade entre termos consecutivos.

I. 26, 24, 22, 20, …

II. , , , , …

1.1 Indica os próximos três termos de cada uma das sequências.

I.

II.

1.2 Indica um possível termo geral para cada uma das sequências.

I.

II.

2 Considera uma sequência em que o primeiro termo é 126. Sabendo que a lei de formação dos res-

tantes termos da referida sequência é subtrair seis ao termo anterior e dividir por três, determina o

seu quarto termo. Explica o teu raciocínio através de palavras, cálculos ou diagramas.

3 Considera a seguinte sequência de pontuações obtidas pela Joana nas primeiras seis vezes em que

jogou um determinado jogo: 65, 35, 25, 20, 17, 15.

3.1 Verifica se alguma das expressões seguintes permite gerar esta sequência de números.

[A] 95 – 30n [B] [C] 55 – 10n [D] 5 +

3.2 Admitindo que a sequência foi gerada por uma das expressões indicadas na alínea anterior e

se a Joana continuasse a jogar e as pontuações continuassem a seguir este mesmo modelo,

que pontuação iria obter na 10.a jogada?


5

25

4

16

3

9

2

4

60

n5n + 60

2n – 1

44

Testar


45

4 Considera as sequências:

Sequência 1: 5n – 3

Sequência 2: + 1

4.1 Para cada uma das anteriores sequências, determina, a partir do seu termo geral, os cinco

primeiros termos.

Sequência 1: _________________________________________________________________

Sequência 2: _________________________________________________________________

4.2 Considera, agora, apenas a sequência 1. Verifica se os números 33, 72 e 222 são termos da se-

quência e, em caso afirmativo, indica a ordem que corresponde cada um. Apresenta todos os

cálculos ou esquemas que efetuares.

5 De seguida apresentam-se as primeiras figuras de uma sequência.

5.1 Encontra o número de pontos da 20.a figura. Explica o teu raciocínio.

5.2 Escreve uma expressão que permita determinar o número de pontos de uma figura de qual-

quer ordem.

5.3 Para construir uma figura desta sequência foram necessários 128 pontos. Qual é o número da

figura? Explica o teu raciocínio.

1

n


46

Resumir

Unidade 4 Figuras geométricas

Ângulos internos e externos de um polígono

Cada ângulo externo de um polígono convexo é adjacente a um ângulo

interno e é suplementar de um ângulo interno.

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo

com n lados é dada pela expressão (n – 2) x 180o.

A soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é 360o.

ângulo externoA

D C

B

ângulo interno

Quadriláteros

Quadriláteros

Não trapézios:

Quadrilátero sem lados paralelos.Trapézios:

Quadrilátero com lados paralelos.

Retângulo:

Paralelogramo com quatro ângulos retos.

Quadrado:

Paralelogramo com quatro lados geometricamenteiguais e quatro ângulos retos.

Losango:

Paralelogramo com quatro lados geometricamenteiguais.

Paralelogramoobliquângulo:

Paralelogramo sem ângulos retos.

Trapézioisósceles:

Trapézio em que os lados opostos não paralelos sãogeometricamente iguais.

Trapézioretângulo:

Trapézio em que um dos lados opostos não paralelosé perpendicular às bases.

Trapézioescaleno:

Trapézio em que os lados opostos não paralelos nãosão geometricamente iguais.

Paralelogramos:

Quadrilátero com doispares de lados paralelos.

Trapézio não paralelogramo:

Quadrilátero com um únicopar de lados paralelos.

Num paralelogramo:

• os ângulos opostos são geometricamente iguais;

• os ângulos consecutivos são su ple men ta res;

• os lados opostos são geometricamente iguais;

• as diagonais bissetam-se e dividem o para le lo gramo em quatro

triângulos geometricamente iguais dois a dois. A

D

B

C

E

a b

cd

47

Num losango, as diagonais bissetam-se e são per pendi cul ar es.

Num retângulo, as diagonais bissetam-se e são geometricamente iguais.

Num quadrado, as diagonais bissetam-se, são perpendiculares e são geometricamente iguais.

Num trapézio, ângulos adjacentes a um dos lados opostos não paralelos são suplementares.

Num trapézio isósceles, ângulos adjacentes à mesma base são geometricamente iguais e a suas diagonais são

geometricamente iguais.

Área do paralelogramo = base × altura

Área do papagaio =

Área do trapézio = ¥ h

A

B

D

CE

A

B

D

C

A D

B C

B C

A D

altura

base

d ¥ D2

b + B2

d – diagonal menorD – diagonal maior

d

D

h

bb – base menorB – base maiorh – altura

B

48

Praticar


1 Desenha três linhas poligonais.

2 Desenha um pentágono e traça as suas diagonais.

3 De entre as seguintes figuras, indica, justificando, as que são polígonos.

A B C D

49

4 Desenha, na grelha seguinte, um:

4.1 quadrado;

4.2 retângulo não quadrado;

4.3 trapézio isósceles;

4.4 paralelogramo obliquângulo;

4.5 losango não quadrado;

4.6 trapézio retângulo;

4.7 papagaio;

4.8 quadrilátero não trapézio.

5 Em cada uma das seguintes alíneas, estão representados dois dos lados dos quadriláteros referidos.

Desenha os dois lados em falta.

5.1 Retângulo 5.2 Losango 5.3 Paralelogramo obliquângulo 5.4 Quadrado

6 Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo x.

6.1

7 Determina o perímetro e a área do seguinte paralelogramo.

50

Praticar


6.2

6.3 6.4

6.5 6.6

8 Completa o esquema, utilizando os termos trapézio, papagaio, paralelogramo, quadrado e losango.

51

11 Na figura seguinte está representado um losango.

11.1 Indica a amplitude do:

a) ∠a;

b) ∠b;

c) ∠q;

d) ∠e.

11.2 Sabendo que O–A = 3 cm, indica o comprimento de [AC]. Explica o teu raciocínio.

9 Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

[A] Todos os losangos são papagaios. [B] Todos os papagaios são losangos.

[C] Todos os retângulos são quadrados. [D] Todos os losangos são quadrados.

10 Na figura estão representados dois pontos, A e B.

10.1 Quantos quadrados se podem desenhar de modo que

A e B sejam dois dos seus vértices?

10.2 Quantos quadrados se podem desenhar de modo que

A e B sejam dois vértices consecutivos?

10.3 Quantos quadrados se podem desenhar de modo que o segmento de reta AB seja uma das suas

diagonais?

B

A

D C

A B

O

α

β

εθ

27o

12 De entre os quadriláteros seguintes, apenas um não é sempre um paralelogramo. Assinala-o.

[A] Quadrado [B] Retângulo

[C] Losango [D] Papagaio

52

Praticar


13 Na figura está representado o triângulo [ABC] e o

trapézio retângulo [ABDE].

13.1 Determina a amplitude do ∠ε. Explica o

teu raciocínio.

13.2 Classifica o triângulo [ABC] quanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos

seus lados.

B D

A E

C 60o

150o

45o

14 Considera o segmento de reta [AB], representado de seguida.

Sabe-se que [AB] é um dos lados de um paralelogramo obliquângulo com 21 cm2 de área.

14.1 Desenha, na figura, o paralelogramo referido.

14.2 Será que a tua resposta é única? Justifica.

A B

1 cm2

15 Apenas uma das afirmações seguintes é falsa. Assinala-a.

[A] Todos os quadrados são paralelogramos. [B] Todos os triângulos são polígonos.

[C] Todos os trapézios são retângulos. [D] Todos os retângulos são paralelogramos.

16 Uitlizando os triângulos [ABC] e [DEF], construiu-se um papagaio, como o que podes observar na figura

seguinte.

Que outros quadriláteros é possível construir, utilizando os mesmos dois triângulos retângulos?

B

A

C

D F

E

53

17 Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude dos ângulos α e β. Explica o teu raciocínio.

17.1

18.1 Prova que A, B e C podem ser vértices consecutivos de um losango.

18.2 Utilizando material de desenho, assinala na figura o quarto vértice do losango referido na alínea

anterior.

18 Na figura seguinte está representada uma circunferência de centro A.

17.2

B

AC30o

150o

99o

51o

42o

66o

50o

A

C

B

D

17.3 A C

B

E

60o

31o

D

A

B

C

19 Na figura ao lado pode observar-se o triângulo [AGF] e o

quadrado [ABCD].

19.1 Prova que ∠AGF e ∠DCF são geometricamente iguais.

19.2 Determina a amplitude do ∠β. Explica o teu raciocínio.

19.3 Classifica o triângulo [AGF] quanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos

seus lados. Justifica.

A

C

B

F

29o

D

G

54

Praticar


20 As diagonais de um paralelogramo [ABCD] intersetam-se no ponto X. Sabe-se que BXA = 90o.

20.1 O Filipe acha que [ABCD] é um quadrado. A Catarina não concorda e afirma que, com as infor-

mações fornecidas, apenas se pode garantir que [ABCD] é um losango. Qual dos dois achas que

tem razão? Justifica a tua opinião.

20.2 Sabendo que BDA = 60o, determina a amplitude do ∠XCD. Explica o teu raciocínio.

(Sugestão: começa por fazer um esboço do paralelogramo.)

21 Na figura está representado um triângulo equilátero [ABC]. Determina a

am plitude do ângulo x. Explica o teu raciocínio.

84o

B

A

C

x

22 Na figura, [ABCD] é um retângulo.

22.1 Classifica o triângulo [AED] quan to à amplitude dos seus ângulos

e quanto ao comprimento dos seus lados. Explica o teu raciocínio.

22.2 Determina a área do trapézio [ADCE], sabendo que A –D = 4 cm,

D–C = 2 cm e E–C = 3 cm.

A

B C

D

51o

63o

E

23 Num teste de Matemática, era pedido aos alunos que riscassem, de entre os quadriláteros apresenta-

dos, os que não verificavam determinada característica. De seguida, apresenta-se a resposta da Sandra

a esta questão.

Sabendo que a resposta da Sandra está correta, formula uma possível questão para o teste. Explica o

teu raciocínio.

25 A figura ao lado é composta por dois paralelogramos obli-

quângulos, [ABCD] e [BCFE].

Tendo em conta os comprimentos assinalados, determina a

área da figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

3 cm

5 cm

A D E F

B C

2,5 cm

55

24 Um agrimensor romano (cerca de 180 d. C.) usou triângulos geometrica-

mente iguais para determinar a largura de um rio numa zona do seu leito.

Começou por traçar uma reta AB ao longo da margem onde se encontrava.

Num ponto C tirou uma perpendicular CG a AB. Colocou uma estaca no ponto

E, ponto médio de [AC]. De A fixou um ponto F na outra margem, sendo AFperpendicular a AC. Finalmente, descobriu um ponto D a partir do qual ob-

servou os pontos E e F de modo que D, E e F estivessem sobre a mesma reta.

24.1 O agrimensor concluiu que os triângulos [ECD] e [EAF] são geome-

tricamente iguais. Esta conclusão é correta? Porquê?

24.2 A afirmação “A largura do rio na zona do ponto A é igual ao comprimento do segmento de reta CD”

é verdadeira ou falsa? Justifica.

Adaptado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros

B

E

AF

C D GRio

26 Considera o losango [ABCD], representado de seguida. Sabe-se que

A–C = 3 cm e B–D = 5 cm.

26.1 Sabendo que I e J são os pontos médios dos lados [AB] e [BC],

respetivamente, determina a amplitude do ângulo ε. Explica o

teu raciocínio.

26.2 Determina a área do losango [ABCD].

26.3 Determina a área do trapézio [AIJC].

A C

D

B

I J

67o

56

Praticar


27 Observa a figura.

Determina a área da figura colorida a verde. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sabe-se que:

• [ABCD] é um retângulo;

• [EFGD] é um paralelogramo obliquângulo;

• [HKJI] é um paralelogramo obliquângulo.

A

9 cm

6 cm

1 cm

D

E

F

H

K

G

I

J

B C

1 cm

28 Na figura 1 está representado o quadrilátero [ABCD] e, na figura 2, uma sua decomposição em dois

triângulos e um quadrilátero.

Determina a amplitude dos ângulos α, β, ε e δ. Explica o teu raciocínio.

A

D

C

B

27o

28o

18o42o

79o

139o

Figura 1 Figura 2

29 Prova que a área de um papagaio, em unidades quadradas, é igual ao semiproduto das diagonais per-

correndo os seguintes passos:

1. Considera um papagaio [ABCD] em que A –B = A–D e B–C = C–D.

Designando o ponto de interseção das diagonais por E, es-

creve uma expressão que permita determinar a área de cada

um dos triângulos [ACD] e [ACB].

2. Completa as seguintes igualdades com medidas de compri-

mento de segmentos de reta:

A[ACD] + A[ACB] = + = = ___ ¥ E–D

2

___ ¥ E–B2

___ ¥ (E–D + E–B)

2

___ ¥ ___

2

D

B

AE C

57

30 Na figura estão representadas duas circunferências com o

mesmo raio, uma de centro A e outra de centro B.

30.1 Prova que [AEBF] é um losango.

30.2 Classifica o triângulo [AEB] quanto ao comprimento

dos seus lados.

A B

E

F

31 A e B são dois pontos situados em duas ilhotas fluviais. Pre-

tende determinar-se a distância entre A e B. Fixa-se uma es-

taca em terra num certo ponto C colinear com A e B, à nossa

escolha. Fixa-se outra estaca em D de modo que AC ⊥ CD.

Toma-se o ponto médio do segmento de reta [CD], que se de-

signa por E. Traça-se uma reta r perpendicular a CD e que

passa por D. Finalmente, marcam-se os pontos G e F que re-

sultam da interseção das retas BE e AE com a reta r, respeti-

vamente. Então, [GF] representa a distância entre as ilhotas.

Porquê?

Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros

Rio

A

BD

G

F

r

C

E

32 Dois quadrados, [ABCD] e [EFGH], sobrepõem-se tal como

mostra a figura ao lado.

Sabendo que um dos vértices do quadrado maior, E, coincide

com o centro do quadrado menor, prova que a área do polígono

[IEJC] é a quarta parte da área do quadrado menor.

Sugestão: Percorre as seguintes etapas.

• Traça as diagonais do quadrado menor.

• Prova que os triângulos [EIC] e [EJD] são geometricamente

iguais.

• Utiliza a prova anterior para justificar que a área do polígono

[IEJC] é a quarta parte da área do quadrado menor.

A

D

E

BC

I

F

G

HJ

1 Observa os quadriláteros.

Indica, pelo número correspondente:

1.1 os trapézios não paralelogramos;

1.2 os paralelogramos;

1.3 os retângulos;

1.4 os quadrados;

1.5 os losangos não quadrados.

2 Na figura seguinte estão representados os triângulos [ABC] e [BED]. Sabe-se que A, B e E estão ali-

nhados, que A–C = B–D e que C–B = D–E.

2.1 Prova que os triângulos [ABC] e [BED] são geometricamente iguais.

2.2 Determina a amplitude do ângulo ε. Explica o teu raciocínio.

1

23 4 5

67

12111098

45o45o

108o

27o

A B E

C D

58

Testar


59

3 Observa a figura.

Determina a amplitude dos ângulos α e β. Explica

o teu raciocínio.

4 Considera um paralelogramo [ABCD], tal que as diagonais [AC] e [BD] têm o mesmo comprimento.

4.1 Justifica que os triângulos [ACD] e [BCD] são geometricamente iguais.

4.2 Justifica que os ângulos ∠ADC e ∠BCD são geometricamente iguais.

4.3 Sabendo que dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares e que os ân-

gulos opostos são geometricamente iguais, verifica que o paralelogramo [ABCD] é um retângulo.

5 Qual das seguintes afirmações é falsa?

[A] Num paralelogramo, os lados opostos são congruentes.

[B] Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.

[C] Num paralelogramo, as diagonais bissetam-se.

[D] Num paralelogramo, as diagonais são sempre congruentes.

6 Justifica que os quadrados são os paralelogramos que têm as diagonais perpendiculares e iguais.

7 Pretende calcular-se a distância entre duas árvores situadas à beira

de um lago nos pontos A e B. Para tal, colocou-se uma estaca num

ponto C e outra num ponto D de modo que os pontos B, C e D estão

sobre a mesma reta e C–D = B–C. Colocou-se uma outra estaca em Etal que A, C e E também estão sobre uma mesma reta e A –C = C–E.

Com esta construção, é possível concluir que a distância entre as

árvores é igual ao comprimento do segmento de reta [DE]? Justifica

a tua resposta.

Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB – Triângulos e quadriláteros

C

A

B

E

D

110o

51o28o

A

B

D

C

F

60

Resumir

Unidade 5 Tratamento de dados

Estatística

A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar, analisar e interpretar dados.

Ao conjunto de todos os elementos que são alvo de um estudo estatístico dá-se o nome de população. Quando

se recolhem dados de todos os elementos da população, está-se perante um recenseamento (ou censo).

Por vezes, não é possível recolher dados de todos os elementos da população. Quando isso acontece, escolhe-se

uma amostra, ou seja, uma parte da população. Quando se recolhem dados referentes a uma amostra da

população trata-se uma sondagem. Se a amostra for bem escolhida, do estudo estatístico podem resultar

conclusões válidas para toda a população.

Para organizar os dados pode recorrer-se a uma tabela de frequências. A frequência absoluta é o número de

vezes que se observa um determinado acontecimento. A frequência relativa é o valor que se obtém dividindo a

frequência absoluta pelo número total de observações.

Depois de organizados, os dados recolhidos podem ser representados por um gráfico.

Exemplos:

1. Gráfico circular

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Profissões desejadas pelos alunosNúmero

de alunos

Profissões

Astronauta Professor Comerciante FutebolistaMédico

Consumo de água

Higiene pessoal

Autoclismo

Comida e bebida

Roupa

Outros

12,50%

18,75%

6,25%

43,75%

2. Gráfico de barras

Medidas de localização

Média de um conjunto de dados

A média de um conjunto de dados, que se representa por –x, é o valor que se obtém dividindo a soma dos va-lores observados pelo número total de observações.

61

Exemplo:

Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

–x = = 7,5

Mediana de um conjunto de dados

Depois de ordenado o conjunto de dados, podem verificar-se duas situações:

• se o número de dados do conjunto for ímpar, a mediana (Me) é o valor central desse conjunto de dados;

• se o número de dados do conjunto for par, a mediana (Me) é a média dos dois valores centrais do conjunto

de dados.

Exemplos:

1. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8. 2. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

Mediana: Mediana:

4 5 6 8 8 12 4 5 6 8 10 12

Me = 7 Me = = 7,5

5 + 6 + 4 + 8 + 12 + 7 + 8 + 10

8

7 + 8

2

7 87

7

6

5

4

3

2

1

0

Crescimento demográfico nas últimas décadasPopulação

(mil milhões)

Anos1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

5

6

7

8

9

1

6

6

2

0

8

4

3

6

3

3

8

9

1

9

7

3

6

6

6

7

1

4

3

caule folhas

3. Gráfico de linha

4. Diagrama de caule-e-folhas

62

Praticar


1 Os carboidratos são um composto orgânico indispensável para o metabolismo energético. A tabela se-

guinte resultou de um estudo estatístico e revela a quantidade de carboidratos existente em determi-

nadas marcas de cereais.

1.1 Determina o número de marcas de cereais que foram alvo do estudo estatístico.

1.2 Com os dados da tabela, constrói um diagrama de caule-e-folhas.

1.3 Quantas marcas de cereais têm mais de 33 gramas de carboidratos na constituição dos seus cereais?

1.4 Qual é a percentagem de marcas de cereais que têm, no máximo, 21 gramas de carboidratos na

constituição dos seus cereais?

1.5 Qual é a percentagem de marcas de cereais que têm entre 21 e 33 gramas de carboidratos na

constituição dos seus cereais?

16

37

41

43

15

18

37

32

39

35

31

20

41

22

37

15

37

28

16

33

17

27

17

27

26

Carboidratos existentes em diferentes marcas de cereais (gramas)

63

2 Determina a mediana de cada um dos seguintes conjuntos de valores.

2.1 2, 7, 3, 3, 5, 6, 2, 2, 7, 3, 4, 2.

2.2 6, 3, 2, 6, 6, 2, 4, 5, 8, 4.

3 A família da Patrícia reuniu-se na noite de consoada para celebrar o Natal. Pais, tios, avós, primos e ir-

mãos encontram nesta festividade um momento raro de confraternização.

De seguida apresentam-se as idades dos familiares da Patrícia.

10 76 12 68 12 37 25 22 16 34 20 33 35

3.1 Constrói um diagrama de caule-e-folhas.

3.2 Determina a média, a mediana e a moda das idades dos familiares da Patrícia.

3.3 Qual das medidas de localização referidas na alínea anterior é a mais adequada para represen-

tar o conjunto de dados? Explica o teu raciocínio.

3.4 Indica a percentagem de familiares da Patrícia que têm, pelo menos, 25 anos de idade. Explica

o teu raciocínio.

3.5 O Dinis, primo da Patrícia, apenas se pôde juntar à família depois da consoada. Sabendo que,

com a sua chegada, a média de idades mudou para 30 anos, determina a idade do Dinis. Explica

o teu raciocínio.

64

Praticar


4 O casal Silva tem quatro filhos, dos quais três são raparigas. As idades, em anos, das raparigas são 18,

8 e 4 e a do rapaz é 10.

Qual é a mediana das idades dos quatro filhos do casal Silva?

Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 9.o ano, 12/04/2013

5 As tabelas seguintes mostram os sucessivos Presidentes da República Portuguesa, desde a sua im-

plantação, e o período de tempo durante o qual presidiram a esse cargo.

5.1 Indica os Presidentes que estiveram durante mais e menos tempo na Presidência da República.

5.2 Consegues detetar algum período bastante conturbado da vida política portuguesa? Justifica.

(a) Cavaco Silva iniciou o seu mandato a 09/03/2006. Nesta contagem do tempo considerámos as datas 09/03/2006 a 09/02/2010.

(b) Inclui os dois mandatos de Bernardino Machado.

2006 – Cavaco Silva1996-2006 – Jorge Sampaio1986-1996 – Mário Soares1976-1986 – Ramalho Eanes1974-1976 – Costa Gomes1974-1974 – António Spínola1958-1974 – Américo Tomas1951-1958 – Craveiro Lopes1926-1951 – Óscar Carmona1926-1926 – Gomes da Costa1926-1926 – Mendes Cabeçadas1925-1926 – Bernardino Machado1923-1925 – Teixeira Gomes1919-1923 – António José de Almeida1918-1919 – Canto e Castro1917-1918 – Sidónio Pais1915-1915 – Bernardino Machado1915-1915 – Teófilo Braga1911-1915 – Manuel de Arriaga

Presidentes

Cavaco SilvaJorge SampaioMário SoaresRamalho EanesCosta GomesAntónio SpínolaAmérico TomasCraveiro LopesÓscar CarmonaGomes da CostaMendes CabeçadasTeixeira GomesAntónio José de AlmeidaCanto e CastroSidónio PaisBernardino MachadoTeófilo BragaManuel de Arriaga

47(a)

120120

115,821,44,2

188,584

297,30,40,6

26,2489,6

11,731,7(b)

4,245,2

PresidentesTempo

(aproximado em meses)

65

0

Número de mensagens

Númerode alunos

Número de mensagens que os colegasdo Sérgio enviaram num dia

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6.1 Organiza os dados numa tabela de frequências absolutas e relativas.

6.2 Quantos colegas tem o Sérgio na sua turma?

6.3 Indica a percentagem de colegas do Sérgio que enviou mais de cinco mensagens nesse dia.

6.4 Determina a média e mediana do conjunto de dados.

6 O Sérgio realizou um inquérito para saber o número de mensagens escritas que os colegas de turma en-

viaram num determinado dia. Os resultados que obteve estão representados no gráfico de barras se-

guinte.

7.1 Qual foi o gráfico apresentado pelo governo? E qual foi usado pela oposição?

7.2 Para defenderem as suas posições, tanto o governo como os diferentes partidos da oposição fi-

zeram uso de outras ferramentas estatísticas. Tendo em conta as medidas estatísticas que co-

nheces, indica as que terão sido utilizadas pelo governo e as que terão sido utilizadas pela

oposição. Explica a tua escolha.

Adaptado de Brochura de Apoio ao NPMEB – OTD

66

Praticar


7 Os gráficos seguintes mostram a mesma informação. No entanto, apresentam uma imagem diferente.

Supõe que um desses gráficos foi apresentado pelo governo de um determinado país e o outro pela opo-

sição.

Gráfico I Gráfico II

8 Considera o conjunto de dados seguinte.

2 8 9 8 3 4 a 7

Sabendo que a mediana é 6, qual é o valor de a?

250

200

150

100

60

0

Anos

Desemprego entre 2000 e 2003

Núm

eros

de

dese

mpr

egad

os(e

m m

ilhar

es)

2000 2001 2002 2003 2004

230

220

210

200

190

180

170

160

150

Anos

Desemprego entre 2000 e 2003

Núm

eros

de

dese

mpr

egad

os(e

m m

ilhar

es)

2000 2001 2002 2003 2004

67

9 O queijo, proveniente do leite, é um alimento rico em cálcio. No entanto, é necessário não abusar, já que,

de um modo geral, é um alimento muito calórico e a maior parte das vezes rico em gordura. Na tabela

seguinte apresentam-se, para vários tipos de queijo, a quantidade de gordura e o número de calorias, por

cada 100 gramas.

Considera os dados respeitantes à quantidade de gordura, por cada 100 gramas de queijo.

9.1 Representa essa informação através de um diagrama de caule-e-folhas.

9.2 Como podes observar, as representações anteriores revelam um determinado tipo de enviesa-

mento. Atendendo a este facto, o que podes esperar relativamente aos valores da média e da me-

diana? Explica o teu raciocínio. Comprova a tua tese determinando os valores das medidas de

tendência central referidas.

Adaptado de Análise de Dados, Ministério da Educação – DGDIC

Alimento (100 g)

� Queijo Brie

� Queijo Camembert

� Queijo da Ilha

� Queijo da Serra curado

� Queijo da Serra fresco

� Queijo de Azeitão

� Queijo de Évora

� Queijo de Serpa

� Queijo de Tomar

� Queijo flamengo 20%



� Queijo fresco

� Queijo Gorgonzola

� Queijo Gruyère

� Queijo Parmesão

� Queijo Roquefort

� Queijo Suíço

Gordura (g)

20

23

26

32

27

25

34

26

27

8

14

23

21

37

20

28

32

29

Calorias

263

313

357

385

327

309

412

330

305

185

246

315

265

407

315

401

371

357

� – Alimento com baixo teor em gordura mas podendo ter um elevado

conteúdo em calorias.

� – Alimento intermediário: consumir com moderação.

� – Alimento rico em gordura: comer pontualmente ou moderar o seu

consumo.

68

Praticar


10 No ensino profissional, o número de horas semanais na disciplina de Matemática varia de acordo com

os cursos e com os anos de escolaridade.

Num agrupamento de escolas, registou-se o número de horas semanais na disciplina de Matemática de

cada turma do ensino profissional.

Com base nesse registo, elaborou-se o seguinte gráfico.

11 A Ana registou o número de pessoas que a sua mãe atendeu na papelaria durante uma semana e registou

os dados na tabela seguinte.

Qual é o número médio de horas semanais na disciplina de Matemática das turmas dos cursos do en-

sino profissional deste agrupamento? (Escolhe a opção correta.)

[A] 2,2 [B] 2,3 [C] 22 [D] 23

Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 9.o ano, 12/04/2013

11.1 Determina a média e a mediana das pessoas atendidas pela mãe da Ana durante essa semana.

11.2 Qual seria a média de pessoas atendidas se na quinta-feira tivesse atendido 40 pessoas? E a

mediana? Mostra como chegaste à tua resposta.

30

Segunda-feira

24

Terça-feira

31

Quarta-feira

28

Quinta-feira

42

Sexta-feira

21

Sábado

1 1,5 2 2,5 3

4

10

13

8

15

Número de horas semanais

Número de turmas

Número de horas semanais de Matemática

69

12 Na turma da Marta fizeram um estudo acerca do número de idas ao cinema dos alunos durante o pri-

meiro período e concluíram que a mediana era quatro. Sabe-se que a turma tem 27 alunos, que a Marta

foi ao cinema só uma vez e a colega Ana foi oito vezes.

12.1 Qual o número mínimo e máximo de alunos que foi ao cinema:

a) mais do que quatro vezes?

b) menos do que quatro vezes?

12.2 Sabendo que a média do conjunto de dados é 3, apresenta, justificando, um possível conjunto de

dados correspondente a este estudo.


13 A Helena elaborou a seguinte tabela com o desporto preferido de todos os alunos da sua turma.

13.1 Completa a tabela, sabendo que a turma tem 24 alunos e que 12,5% preferem andebol.

13.2 Com os dados da alínea anterior constrói um gráfico de barras e indica a moda do desporto pre-

ferido dos alunos da turma da Helena.

Desporto

Número de alunos

Andebol

10

Futebol

8

Basquetebol Voleibol

1

Hóquei

1 Na tabela seguinte, estão as classificações dos alunos de uma turma do 10.o ano na disciplina de Ma-

temática. O número de alunos que tiveram classificação de 10 valores e o número de alunos que ti-

veram classificação de 12 valores estão representados pela letra a.

1.1 Determina a média das classificações dos alunos que tiveram classificação superior a 12 va-

lores.

Apresenta os cálculos que efetuaste.

1.2 Admite que a mediana das classificações dos alunos da turma é 13 valores. Qual é o valor de

a? (Escolhe a opção correta.)

[A] 3 [B] 4 [C] 5 [D] 6

Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 8.o ano – 29/02/2012

2 O seguinte conjunto de dados representa a duração, em horas, da carga da bateria de 10 modelos di-

ferentes de telemóveis.

400, 360, 270, 440, 220, 180, 190, 270, 300, 240

Determina a média e a mediana do conjunto de dados.

70

Testar


9Classificações (em valores)

2

10

a

12

a

14

5

15

3

18

2Número de alunos

71

3 Observa atentamente o gráfico de barras relativo às faltas dos alunos do 7 .o ano, turma A, durante o

mês de setembro.

Determina a mediana do conjunto de dados e o número médio de faltas.


4 A Joana pretende saber o que os alunos da sua escola preferem fazer nos tempos livres. No gráfico

está representado o estudo ilustrativo das respostas dadas por 200 alunos.

4.1 Quantos alunos responderam jogar computador? Justifica.

4.2 Comenta a afirmação: “A maioria dos alunos prefere andar de bicicleta”.

16

14

12

10

8

6

4

2

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Número de faltas

Número de alunos

Faltas no mês de setembro (7.o A)

Ocupação preferida nos tempos livres

Ler

Andar bicicleta

Jogar no computador

31% 29%

Dadas duas funções f e g, chama-se equação com uma incógnita x a uma expressão da forma f(x) = g(x).

Quando as funções f e g que constituem a equação f(x) = g(x) forem funções afins, a equação designa-se por

equação linear com uma incógnita ou, simplesmente, equação linear.

Uma equação tem sempre duas partes separadas pelo sinal de igualdade (=). Cada uma dessas partes diz-se um

membro da equação: a que fica à esquerda do sinal é o primeiro membro, f(x), e a que fica à direita é o segundomembro, g(x).

x – 3 = 5 – 2x

Cada um dos membros da equação pode ser constituído por uma ou mais parcelas, que se designam por termosda equação. Os termos que contêm incógnita denominam-se termos com incógnita. Os termos sem incógnita

chamam-se termos independentes.

x – 3 = 5 – 2x

Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte literal.

Os valores da incógnita que transformam a equação numa igualdade verdadeira dizem-se as soluções ou raízesdessa equação. Equações com o mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes (⇔).

72

Resumir

Unidade 6 Equações

1.o membro

f(x)

Termoscom incógnita

(x, –2x)

Termosindependentes

(–3, 5)

��

2.o membro

g(x)

��

Regra da adição: Se se adicionar (ou subtrair) a ambos os membros da equação um mesmo número, obtém-seuma equação equivalente à inicial.

Regra da multiplicação: Se se multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um número, diferentede zero, obtém-se uma equação equivalente à inicial.

ax = b ⇔ c . ax = c . b e ax = b ⇔ x = , em que c é um número diferente de zero.bc

ac

Regra prática da adição: numa equação, podemos mudar um termo de um membro para outro desde que se

lhe troque o sinal:

x + a = b ⇔ x = b – a

73

Classificação de equações

Uma equação que admite uma e uma só solução diz-se possível e determinada.

Quando uma equação tem mais do que uma solução diz-se possível e indeterminada.

Uma equação que não admite solução diz-se impossível.

De acordo com as regras anteriores, pode definir-se uma sequência de procedimentos que permitem chegar ra-

pidamente à solução de uma equação.

Exemplo:

2(x – 6) = –12 ⇔

⇔ 2x – 12 = –12 ⇔← Desembaraçar de parênteses.

⇔ 2x – 12 + 12 = – 12 + 12 ⇔← Adicionar em ambos os membros o termo +12.

⇔ 2x = 0 ⇔← Simplificar ambos os membros, adicionando os termos semelhantes.

⇔ x = ⇔← Dividir ambos os membros por 2.

⇔ x = 0← Simplificar, tornando a fração irredutível.

C.S. = {0}

0

2

Principais passos na resolução de um problema

1.o ler atentamente o enunciado, distinguindo o que é dado do que é pedido;

2.o escolher uma letra (incógnita) que represente o número que é pedido;

3.o escrever uma equação que traduza o problema;

4.o resolver a equação;

5.o verificar se a solução da equação também é solução do problema;

6.o apresentar a resposta ao problema.

Principais passos na resolução de uma equação

1.o desembaraçar de parênteses, aplicando a propriedade distributiva;

2.o agrupar os termos semelhantes (termos com incógnita no primeiro membro e termos independentes nosegundo membro);

3.o reduzir os termos semelhantes;

4.o aplicar a regra da multiplicação e simplificar para obter o conjunto-solução.

74

Praticar


2 Resolve cada uma das seguintes equações.

2.1 x + 6 = 10 2.2 2a = 12

2.3 2y – 4 = 12 2.4 4u = 16

2.5 2b – 20 = 10 2.6 12a – 3 = a + 6

2.7 t + 3t = 3t – 12 2.8 x + 6 = 2x – 12

2.9 –(v – 4) = v – 10 2.10 –(3 – c) = 0

2.11 2(a – 6) – (a – 4) = 3 2.12 2(c + 3) = –3c + 4

1 Averigua, sem a resolveres, se algum dos números do conjunto A = {–2, 0, 23} é solução da equação:

1.1 2x = 10

1.2 2x – 6 = – 10

1.3 –(x – 7) = x + 3

75

3 Na aula de Matemática, a Joana, depois de ter resolvido corretamente uma equação, obteve a solução –4.

Assinala a equação que a Joana resolveu.

[A] 2(1 – x) = 16 – (2 – x) [B] –4(x – 8) = –8

[C] x – 4 = x + 4 [D] 21 – 4x = 5

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – D

2.13 –(k – 6) = –3k + 12 2.14 4(x – 1) – 3(x – 6) = 0

2.15 4(n – 2) – 4(n + 2) = n 2.16 –3n + 3(n – 4) – (n – 1) = 0

2.17 2(x – 3) – 4 = x + 5 2.18 –n – 5(–n – 4) = –(8n – 1)

2.19 7y – 2(–y – 9) = – 8(–4y – 7) 2.20 –11d + 9(–d + 3) = d – 7

4 Liga cada uma das equações à sua solução.

2(x – 6) = 12 l l –3

–x – 4 = –16 + x l l +

–(x – 3) = +6 l l +12

4(x – 3) = 2(x – 4) – (x – 1) l l +6

–(5 – x) = –(2x – 6) + 3 l l + 14

3

5

3

7 Num jardim zoológico, o cacho de bananas da figura vai ser utilizado para

alimentar o Gervásio e o Fialho, dois chimpanzés.

Sabendo que o Gervásio come o dobro das bananas do Fialho, determina

quantas bananas come cada animal.

76

Praticar


6 A Maria e a Leonor adoram brincos. Sabe-se que a Maria tem mais quinze pares de brincos do que a

Leonor.

6.1 Quantos pares de brincos tem a Leonor se:

a) a Maria tem 54 pares de brincos?

b) a Maria tem 3x pares de brincos?

6.2 Quantos pares de brincos tem a Maria se:

a) a Leonor tem 12 pares de brincos?

b) a Leonor tem 4m + 3 pares de brincos?

6.3 Em conjunto, a Maria a e a Leonor têm 41 pares de brincos. Quantos pares de brincos tem cada

uma delas?

5 A soma de três números pares consecutivos é 66. Quais são esses números?

77

8 Num torneio de matraquilhos, a equipa vencedora, constituída pelo

Paulo e pelo Toni, marcou um total de 50 golos. O Toni marcou o

quádruplo dos golos do Paulo. Quantos golos marcou o Paulo?

9 Os polígonos seguintes são todos regulares. Determina o perímetro de cada um deles.

9.1

9.2

9.3

9.4

(2x – 6) cm

(x + 6) cm

2x cm

(x + 4) cm

–(–x – 30) cm

(2x + 12) cm

(3x – 10) cm

(x + 8) cm

10 O Ricardo pensou num número, multiplicou-o por 8, somou-lhe 10 e obteve o triplo do número em que

pensou. Em que número pensou o Ricardo?

11 Quando nasceu a sua filha, a Margarida tinha 28 anos. Atualmente, tem o triplo da idade dela. Qual é a

idade atual da sua filha?

12.1 Escreve uma equação que permita determinar o valor de x.

12.2 Resolve a equação que escreveste na alínea anterior.

12.3 Sabendo que esta família gasta cerca de 200 € mensais em vestuário, determina quanto gasta

esta família mensalmente em alimentação.

12 O gráfico seguinte mostra os gastos mensais de uma família.

78

Praticar


13 Num stand de automóveis de uma conhecida marca estão expostos 26 automóveis de dois modelos di-

ferentes: Modelo A, que custa 26 000 € e Modelo B, que custa 19 500 €.

Sabendo que há mais 6 automóveis do modelo B do que do modelo A, determina quanto dinheiro rece-

berá o stand se vender todos os automóveis.

14 A Filomena tem na sua carteira 7,5 €, em moedas de 1 € e de 0,50 €. Sabendo

que o número de moedas de 1 € é o dobro do número de moedas de 0,50 €,

determina quantas moedas de 1 € tem a Filomena na sua carteira.

15 Observa o tirângulo.

15.1 Escreve uma equação que permita determinar a amplitude do

ângulo ABC.

15.2 Resolve a equação e classifica o triângulo quanto à amplitude dos ângulos e quanto ao compri-

mento dos lados.

Renda da casa

Gastos mensais

Alimentação

Vestuário

Outros

45%

29%

x%

15%

B C

A

102o

49o

79

16 A Leonor adora ler!

No ano passado, a Leonor leu 12 livros. Esses livros

eram todos de dois autores portugueses: José Sara-

mago e Vergílio Ferreira. Sabendo que a Leonor leu

mais dois livros de José Saramago do que de Vergílio

Ferreira, determina o número de livros lidos de cada

autor, começando por equacionar o problema. José SaramagoVergílio Ferreira

17 O Tiago é mais velho que o Pedro três anos. O Cândido, tio do Tiago, tem o dobro da idade do Pedro. Sa-

bendo que a soma das idades do Pedro, do Tiago e do Cândido é 43 anos, determina a idade do Pedro.

18 Na figura estão representados um quadrado e um triângulo equilátero.

Determina x de modo que os dois polígonos tenham o mesmo perímetro.

3(x + 2)

5x – 12

19 Considera a equação 8(–a +2) + 12a = 3 + 4. Pode-se afirmar que: (Escolhe a opção correta.)

[A] –13 é solução da equação.

[B] a equação é impossível porque a solução é negativa.

[C] a equação 2a – 2 = 9 – a + 2 não é equivalente à dada.

[D] a equação é possível indeterminada.

20 20.1 Traduz para linguagem matemática: “A soma do triplo de um número com quinze é igual à dife-

rença entre cinquenta e cinco e esse número”.

20.2 Na alínea anterior escreveste uma equação. Indica:

a) os termos do 1.o membro dessa equação;

b) o 2.o membro dessa equação.

20.3 Resolve e classifica a equação obtida em 20.1.

21 No passado havia a necessidade de transportar o vinho do Porto para VilaNova de Gaia, daí surgiu uma embarcação única, o barco rabelo, especial-mente adaptado a este rio acidentado.Hoje, podemos ver alguns barcos rabelos que, além de o enfeitarem, fazemas suas viagens pelo Douro e despertam a curiosidade e admiração de todosquando os veem passar.Estes barcos levam as pessoas a percorrer um caminho inesquecível e a ad-mirar uma paisagem deslumbrante, calma e incomparável. Quando entra-mos nos barcos rabelos, e à medida que eles deslizam para o meio do rio,temos a sensação que nos encontramos num paraíso natural.

Uma das empresas turísticas que opera no rio Douro é proprietária do barco “Rabelo Douro”. Ontem demanhã, este barco partiu do cais de Vila Nova de Gaia para um curto passeio panorâmico. Embarcaram39 pessoas, de três nacionalidades diferentes: os portugueses eram o triplo dos espanhóis, que, por suavez, eram o triplo dos italianos. Determina quantos eram os portugueses.

22 Observa a figura ao lado.Pode afirmar-se que: (Escolhe a opção correta.)

[A] r = 51 [B] r = 64

[C] r = 52 [D] r = 38

23 Determina o valor de a, sabendo que a figura ao lado tem 76 cm de perímetro.

80

Praticar


(r + 37)o

(2r – 50)o

(r – 11)o

2

a

a + 6

a + 6

24 Observa os dois polígonos seguintes.

Sabendo que o polígono B tem o dobro da área do polígono A, determina o seu perímetro.

6 cm

Polígono A

(2x + 6) cm

3 cmPolígono B

Retirado de site promocional a cruzeiros do Douro

Porto

81

25 O José, a Luísa e o Vasco resolveram a mesma equação, na aula de Matemática, mas chegaram a solu-

ções diferentes. Na tabela seguinte apresenta-se a resolução de cada um deles, onde apenas uma está

totalmente correta.

Qual dos alunos resolveu a equação corretamente? Justifica a tua resposta, explicando os erros que os

outros dois alunos cometeram.

Adaptado de Prova de Aferição do 3.o Ciclo do Ensino Básico – E

José

2(x – 7) = x + 4

⇔ 2x – 7 = x + 4

⇔ 2x – x = 4 + 7

⇔ x = 11

Luísa

2(x – 7) = x + 4

⇔ 2x – 14 = x + 4

⇔ 2x – x = 4 + 14

⇔ x = 18

Vasco

2(x – 7) = x + 4

⇔ 2x – 14 = x + 4

⇔ 2x + x = 4 – 14

⇔ 3x = –10

⇔ x = –10

3

26 O Francisco faz treze anos e os seus pais organizaram-lhe uma festa-surpresa, no seu restaurante pre-

ferido. Todos os amigos do Francisco foram convidados, mas ainda ninguém confirmou a sua presença...

Dada a ocasião, a gerência do restaurante fez um orçamento especial.

Orçamento:

Comida e Sobremesas sem restriço˜es �5 € por pessoa�Bebidas a` parte �2 € por bebida�

O aniversariante e seus pais naõ pagam!

Muitos parabeńsA gereˆncia

26.1 Se cada convidado consumir uma bebida, a expressão que representa o valor a pagar pelos pais

do Francisco, no restaurante, é 5n + 2n. O que representa a variável n na expressão?

26.2 Escreve uma expressão que represente o valor a pagar pelos pais do Francisco, se:

a) todos os convidados consumirem duas bebidas;

b) dois dos convidados não consumirem bebidas e todos os outros consumirem apenas uma.

82

Praticar


26.3 Determina o valor a pagar pelos pais do Francisco se:

a) forem 10 os convidados e todos consumirem uma bebida;

b) forem 11 os convidados e todos consumirem duas bebidas.

26.4 Os pais do Francisco tentaram fazer uma estimativa do valor que teriam que pagar. Para isso,

consideraram a hipótese de que todos os amigos do Francisco vinham à festa, que metade deles

bebia uma bebida e que a outra metade bebia duas. Com base nestes pressupostos, chegaram

à conclusão que iam pagar 80 €. Quantos amigos tem o Francisco?

27 Hoje, o Renato tem o triplo da idade do André. Daqui a 5 anos, a diferença entre as suas idades será

6 anos. Que idade tem o Renato?

28 A mãe do Paulo tem um minimercado. Quando não está ninguém na loja, o Paulo gosta de se divertir ten-

tando colocar uma balança de pratos em equilíbrio.

Ontem de tarde, o Paulo conseguiu equilibrar a balança três vezes.

29 Uma empresa de confeção tem uma produção diária de 1000 camisas. Na semana passada, o encarre-

gado de confeção decidiu efetuar um controlo de qualidade à produção. Para isso, analisou detalhada-

mente todas as camisas produzidas na empresa na segunda, terça e quarta-feiras, tendo verificado que

a diferença entre o número de camisas sem defeito e o número de camisas com defeito era 2800. De-

termina a percentagem de camisas com defeito produzidas na empresa nesses três dias.

Determina quanto pesa cada frasco de detergente. Explica o teu raciocínio.

83

30 Considera o triângulo [ACB], representado ao lado.

Sabendo que CAB = BCA, determina o perímetro e

a área do triângulo [ABC].

(3x) cm

A C

B

(x + 1) cm(x + 3) cm(5x – 5) cm

31 O João escreveu as coordenadas de três pontos: A(2(c – 6), c – 5), B(2c – 6, b + 12), C(4, 3b – 10) e lan-

çou o seguinte desafio ao seu colega Pedro: “O ponto A tem a mesma abcissa que o ponto C que, por sua

vez, tem a mesma ordenada que o ponto B. Consegues descobrir as coordenadas dos três pontos?”.

Ajuda o Pedro, determinando as coordenadas dos pontos A, B e C.

32 Em cada uma das seguintes alíneas, apresentam-se duas equações na incógnita x, sendo que, numa

delas, um número foi substituído por k. Sabendo que as equações são equivalentes, determina em cada

caso o valor de k.

32.1 x + 4 = 12 e 2x – k = 5

32.2 2(x – 16) = k e 2x – (x + 12) = 18 – x

33 Observa a seguinte sequência.

33.1 Desenha a 6.a figura da sequência. Quantas setas tem?

33.2 Qual é a quantidade total de setas da 121.a figura da sequência? Explica como obtiveste a resposta.

33.3 Determina o termo geral da sequência.

33.4 Utiliza uma equação para calcular o termo da sequência que tem 1738 setas.

33.5 Existe alguma figura que tenha 2429 setas? Justifica a resposta.

Brochura de Apoio ao NPMEB – Equações


1 Resolve e classifica as seguintes equações.

1.1 2(x – 6) = 2x + 4 1.2 –(–x + 12) = 2(x – 6) – x

1.3 3x – 17 = –(–2x + 10) 1.4 –(–x – 6) –2x = –x

2 Considera a equação 2x – 12 = –(x + 6).

2.1 Indica o primeiro membro da equação.

2.2 Verifica, sem a resolveres, se 3 é solução da equação.

2.3 Inventa um problema que possa ser traduzido pela equação anterior.

2.4 Prova que a equação considerada é equivalente à equação 2x – 12 = –4x.

3 A Anabela pensou num número, somou-lhe 10, multiplicou a soma por 2 e obteve o quádruplo do nú-

mero em que pensou. Em que número pensou o Anabela?

84

Testar


85

4 O Manuel, a pedido da sua mãe, foi ao supermercado comprar cebolas.

Na figura seguinte está a representada a pesagem das cebolas que o Manuel pretende comprar.

Sabendo que cada quilograma de cebolas custa 1,3 €, determina quanto pagará o Manuel.

5 O André disse ao Afonso: “Tu tens o dobro dos meus cromos, contudo, para ficarmos com o mesmo

número, basta que me dês 12 dos teus”.

Quantos cromos tem o André?

6 Observa os dois polígonos seguintes, que têm a mesma área.

Comenta a afirmação: “Os dois polígonos não têm o mesmo perímetro”.

7 Considera a equação 3x + k = kx – 8, na incógnita x. Prova que, independentemente do valor de k, aequação nunca será possível indeterminada.

4 cm

Polígono A

(x + 6) cm

2 cmPolígono B

Dois segmentos de reta dizem-se comensuráveis quando (e apenas quando) existe uma unidade de compri-mento tal que a medida de ambos é expressa por números inteiros, ou, de forma equivalente, quando (e apenasquando) um deles pode ser medido através de um número racional, tomando o outro para unidade.

Teorema de TalesDuas retas paralelas determinam em duas retas concorrentes segmentos de reta correspondentes proporcionais.

Recíproco do Teorema de TalesSe duas retas determinam em duas retas concorrentes segmentos de reta correspondentes proporcionais, entãoessas duas retas são paralelas.

Duas figuras dizem-se semelhantes se tiverem a mesma forma.

86

Resumir

Unidade 7 Figuras semelhantes

se verificauma redução

são geometricamenteiguais

se verificauma ampliação

Duas figuras dizem-se semelhantes se:

Em figuras semelhantes, os ângulos correspondentes são geometricamente iguais e a razão entre os compri-mentos de segmentos correspondentes é constante.A razão constante entre os comprimentos dos lados correspondentes de figuras semelhantes chama-se razãode semelhança (r > 0), sendo comum utilizar-se as letras r ou k para a simbolizar.

Para construir figuras semelhantes podem utilizar-se diferentes métodos. Por exemplo:

Razão desemelhança

(r > 0)

r > 1 Ampliação

r < 1 Redução

r = 1 Isometria

Método da quadrícula Método da homotetia Pantógrafo

A

B

C

D

O A’C’

D’B’

87

Polígonos semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se e só se os ângulos correspondentes são congruentes e os comprimentos doslados correspondentes são proporcionais.

Exemplo:

Triângulos semelhantes

Para verificar se dois triângulos são semelhantes não é necessário comparar os três lados e os três ângulos dosdois triângulos. Basta utilizar um dos seguintes critérios.

Perímetros e áreas de figuras semelhantes

• Dados dois triângulos semelhantes, o quociente entre os respetivos perímetros é igual à razão de semelhança.

• Dados dois triângulos semelhantes, o quociente entre as respetivas áreas é igual ao quadrado da razão de se-melhança.

45o

135o

45o

135o

4

8E

F

2,8 2,8

G

H

45o 45o

135o 135o

2

1,4 1,4

4A

B C

D

NotaçãoÂngulos

correspondentesLados

correspondentes

[ABCD] ~ [EFGH]↓

é semelhante a…

A =EB =FC =GD =H

[AB] Æ [EF][BC] Æ [FG][CD] Æ [GH][DA] Æ [HE]

Pelo critério AA, o triângulo [ABC] ésemelhante ao triângulo [DEF].

ACB = DFECBA = FED

A B

C

D E

F

Pelo critério LLL, o triângulo [ABC] ésemelhante ao triângulo [DEF].

= = 2

= = 2

= = 2

4263

D–EA–B

F–EC–B

63

D–FA–C

A

3 2

3 B

C 6 4

6D E

F

Pelo critério LAL, o triângulo [ABC] ésemelhante ao triângulo [DEF].

= = 2

= = 2

CBA = FED

63

D–EA–B

42

F–EC–B

A

2

3 B

C 4

6D E

F

Critérios de semelhança

Critério lado-lado-lado(LLL)

Critério ângulo-ângulo(AA)

Critério lado-ângulo-lado(LAL)

Dois triângulos são semelhantes se têm dois lados proporcionais e os ângulos por eles formados


Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos


Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados

proporcionais.

88

Praticar


1 Observa a figura.

Quais das seguintes figuras são semelhantes à anterior? Justifica.

Apenas uma de entre as quatro afirmações seguintes é falsa. Qual?

A. Os triângulos A e C são geometricamente iguais.

B. O triângulo A é uma ampliação do triângulo B.

C. O triângulo C é uma redução do triângulo A.

D. Os triângulos B e C são geometricamente iguais.

2 Na grelha de triângulos equiláteros estão representados vários triângulos. Tendo em conta unicamente

a medida do comprimento dos lados, identifica, justificando, os pares de triângulos semelhantes e in-

dica, em cada caso, a razão de semelhança.

3 Observa a figura.


[A] [B]

23

1

4

5

6

[D][C]

89

4 No esquema seguinte, B é uma ampliação de A.

5 Observa as seguintes figuras.

Utilizando o quadriculado seguinte, constrói uma figura semelhante a cada uma das anteriores, utili-

zando a respetiva razão de semelhança.

4.1 Como se chama o método utilizado para efetuar a ampliação?

4.2 Sem efetuar qualquer medição, indica se a razão de semelhança é superior ou inferior a 1. Jus-

tifica a tua resposta.

4.3 Com o auxílio de uma régua graduada, determina a razão de semelhança.

4.4 Desenha, no mesmo esquema, uma redução de A de razão 0,5.

AB

Razão de semelhança: 1 Razão de semelhança: 0,5 Razão de semelhança: 3

6 Em cada uma das seguintes situações apresentam-se duas figuras semelhantes. Para cada uma delas,

indica a razão de semelhança da figura 1 para a figura 2.

6.1

6.2

6.3

90

Praticar


7 Indica, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações.

A. Duas figuras com a mesma forma dizem-se geometricamente iguais.

B. Duas figuras geometricamente iguais são semelhantes.

C. Duas figuras semelhantes são geometricamente iguais.

8 Assinala, de entre as afirmações seguintes, a única que é verdadeira.

A. Todos os triângulos são semelhantes.

B. Todos os quadriláteros são semelhantes.

C. Dois quadriláteros não podem ser semelhantes.

D. Todos os círculos são semelhantes.

E. Todos os triângulos retângulos são semelhantes.

F. Todos os hexágonos são semelhantes.

Figura 2Figura 1

Razão de semelhança: _____

Figura 1


Figura 2

Figura 1


Figura 2

91

9 Observa os retângulos.

10 Prova que os pares de triângulos seguintes são semelhantes.

10.1

9.1 Apenas uma de entre as quatro afirmações seguintes é verdadeira. Qual?

[A] Todos os retângulos representados são semelhantes.

[B] Os retângulos R1 e R6 são semelhantes.

[C] Os retângulos R2 e R6 são semelhantes.

[D] Entre os retângulos representados não há dois que sejam semelhantes.

9.2 No quadriculado seguinte, constrói um retângulo semelhante a R5, numa semelhança de razão . 2

3

3

2 1

2

6

4

34o

56o

74o

74o2 cm

3 cm

6 cm

4 cm

10.2

10.3

R1

R3

R2

R4R5

R6

12 Na figura seguinte encontram-se representados dois triângulos semelhantes.

11 Acerca dos dois triângulos [ABC] e [DEF] representados, sabe-se que ABC = DEF e que = .E–DB–A

E–FB–C

Prova que os triângulos [ABC] e [DEF] são semelhantes, respondendo às seguintes questões.

11.1 No triângulo [DEF] marca dois pontos P e Q que pertencem, respetivamente, aos lados [ED] e

[EF] e tais que E–P = B–A e E–Q = B–C.

11.2 Justifica que os triângulos [ABC] e [DEF] são geometricamente iguais.

11.3 Atendendo à alínea anterior, completa a proporção = com comprimentos de lados do

triângulo [PEQ].

11.4 Justifica que [PQ] é paralelo a [DF]

11.5 Completa as igualdades seguintes, utilizando o Teorema de Tales:

= e = pelo que = e =

11.6 De acordo com o critério LLL de semelhança de triângulos, o que podes conclui?


E–D…

E–F…

E–DE–P

D–F…

E–FE–Q

D–F…

E–DB–A

D–F…

E–FB–C

D–F…

12.1 Completa a afirmação: “O triângulo [DEF] é uma _______________ do triângulo [ABC]”.

12.2 Determina o valor exato do comprimento do segmento de reta [AC].

12.3 Determina o valor exato do comprimento do segmento de reta [EF].

92

Praticar


A

B

C

5 cm

4,4 cm F

1 cm

2,2 cm

ED

D

B

F AC

B

93

13 Observa os triângulos [ABC] e [DEF], representados de seguida.

15 Observa a figura e determina o comprimento de [AC].

Qual é o valor de y que garante que os triângulos são semelhantes? Explica o teu raciocínio.

14 Observa os dois triângulos representados de seguida.

14.1 Prova que os triângulos são semelhantes.

14.2 Determina a amplitude do ângulo ϕ. Explica o teu raciocínio.

61o

80o

4 cm2 cm

1 cm

1,5 cm 3 cm

2 cm

A

BC

D

E

4 cm

DE // AC4 cm

6 cm

54

3

A

B C

7,56

E

D

Fy

94

Praticar


17 Observa os seguintes polígonos.

Sabendo que [ABCD] é semelhante a [EFGH], determina:

17.1 a razão de semelhança da redução;

17.2 a razão de semelhança da ampliação;

17.3 o comprimento do segmento FG;

17.4 a amplitude do ângulo β.

E

F H

G

1,5 cm

B

A

D

C

2,5 cm

4,6 cm

16.1 Justifica que os dois quadrados são semelhantes.

16.2 Indica a razão da semelhança que transforma o primeiro quadrado no segundo.

16.3 Escreve uma expressão da área do segundo quadrado utilizando a medida do lado do primeiro,ou seja, a.

16.4 Calcula o quociente entre as áreas do segundo e do primeiro quadrado.

16.5 Completa a afirmação: “Dois quadrados são sempre semelhantes sendo a razão entre as áreasigual ao _________________________ da razão de semelhança.”


16 Considera um quadrado de lado a e um quadrado de lado b, sendo a e b números racionais.

a

b

95

Tendo em conta os dados da figura e que C –D = A–B, responde às seguintes perguntas.

18.1 Indica a razão de semelhança que transforma P1 em P2.

18.2 Sabendo que o perímetro do polígono P1 é igual a 7,65 cm, determina o perímetro do polígono P2

e a medida de A’–B’ e de C’–D’.

18.3 Sabendo que a área do polígono P2 é igual a 14,7 cm2 determina a área do polígono P1.


19 Observa os seguintes pares de polígonos e indica, justificando, se são semelhantes.

A.

B.

C.

18 Na figura estão representados dois pentágonos semelhantes, por uma semelhança que transforma um

ponto C num ponto C’.

C

B

D

A E

A’ E’

D’

B’

C’

P1

1,15 cm

2,8 cm

3 cm

2,3 cm

P2

21.1 Utilizando o método da homotetia, constrói, a partir do ponto D, uma redução de razão .

21.2 Utilizando o método da homotetia, constrói, a partir do ponto E, uma redução de razão .

21.3 Utilizando o método da homotetia, constrói, a partir do ponto F, uma redução de razão .

21.4 Completa a afirmação: “As respostas às três alíneas anteriores levam-me a admitir que

_____________________________”.

1

2

1

2

1

2

20 Observa o triângulo [ABC], representado de seguida.

O triângulo [ABC] é uma redução de um triângulo [DEF]. Sabendo que o lado [DE], representado de se-

guida, é o lado correspondente ao lado [AB], completa a construção do triângulo [DEF].

Nota: A utilização de uma régua e de um transferidor é essencial à resolução desta questão.

21 Na figura seguinte estão representados o triângulo [ABC] e os pontos D, E e F.

96

Praticar


A

B

C

E

D

D

E

F

A C

B

Círculo 1

? cmC

Círculo 2

4 cmH

97

23 O retângulo representado de seguida tem 24 cm2 de área.

24 O Paulo é jardineiro. O retângulo seguinte representa o canteiro onde o Paulo costuma plantar rosas.

25 Um pentágono foi ampliado. A área do pentágono resultante é 18 m2 superior à área do pentágono ori-

ginal. Sabendo que o pentágono original tem 6 m2 de área, determina a razão de semelhança.

Sabendo que o canteiro está representado à escala, determina a sua área.

22 Observa os dois círculos seguintes.

Sabendo que = 25, determina o raio do círculo 1.Área do círculo 1

Área do círculo 2

23.1 Determina a área do retângulo que se obtém numa ampliação de razão 7 do retângulo da figura.

23.2 Determina o perímetro do retângulo que se obtém numa redução, de razão do retângulo da fi-

gura.

1

2

6 cm

10 m

A D

B C

98

Praticar


27 Observa, com atenção, os triângulos [ABC] e [DEF], representados de seguida.

28 Considera o referencial ao lado.

28.1 Assinala no referencial os pontos A(-2, 4), B(2, 4) e C(-2, 1).

28.2 Unindo os pontos A, B e C, obtém-se um polígono. Classifica-o

quanto ao comprimento dos seus lados e quanto à amplitude

dos seus ângulos.

28.3 Constrói uma ampliação do polígono [ABC], de razão 2, cons-

truí da a partir do vértice A.

28.4 A reta paralela ao eixo das abcissas, que passa no ponto de

coordenadas (5, 2), interseta o polígono [ABC] num segmen -

to de reta. Determina o comprimento desse segmento de reta,

explicando o teu raciocínio.

27.1 Calcula a área do triângulo [ABC].

27.2 Prova que os dois triângulos são semelhantes.

27.3 Determina a área do triângulo [DEF]. Explica detalhadamente como procedeste.

27.4 Indica a amplitude do ângulo β.

E

F

D

3,6 cm

2 cmCB

A

4 cm

4 cm7,2 cm

117o

34o 34o

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 x

–1

–2

–3

–4

–5

–1–2–3–4–5

x

26 O professor de Matemática pediu aos seus alunos que cons-

truissem um triângulo no seu caderno. Na figura seguinte en-

contram-se representados os triângulos construídos pelo

João e pelo Carlos.

O Filipe, observando os dois triângulos, afirmou: “Mesmo não

conhecendo as dimensões dos triângulos tenho a certeza que

os triângulos são semelhantes”. Comenta a afirmação do Filipe. João

A

B

C

Carlos

60o

60o

60o

99

29 Os dois triângulos representados de seguida são semelhantes.

Qual das seguintes proporções se verifica para este par de triângulos?

[A] = [B] = [C] = [D] = sb

as

cr

as

bt

as

as

ct

30 Na figura seguinte estão representados os triângulos [ABC] e [CDE].

31 Um cone, C, foi cortado em duas partes, X e Y, por um plano paralelo à sua base.

Adaptado de Virginia Standards of Learning Assessments; Spring 2004; Grade 8; Core1

ac

b

60o

90o

30o

s

r

t

30o

90o

60o

A

B

C

E

D

Sabendo que = = , prova que os triângulos são semelhantes.1

2

C–AC–D

C–BC–E

Tendo em conta as dimensões apresentadas na figura, que se encontram expressas em centímetros, de-

termina a altura do cone X.

C

4 5X

Y

3

2

32 Observa com atenção a figura, na qual se está representado o paralelogramo [ABCD], uma das suas dia-

gonais, [AC], e um segmento de reta, [EF].

Sabe-se que:

• o paralelogramo [ABCD] tem 34,4 cm de perímetro;

• EF//AC;

• o ponto E encontra-se a igual distância de A e de D;

• o ponto F encontra-se a igual distância de D e de C.

32.1 Prova que os triângulos [EFD] e [ABC] são semelhantes.

32.2 Determina a razão entre as áreas dos triângulos [EDF] e [ADC].

32.3 Determina o perímetro do triângulo [ABC].

A

B C

E D

7,6 cm

5 cm

F

100

Praticar


33 De modo a poder determinar a distância entre dois pontos, Y e Z, nas

duas margens do rio foram efetuadas diversas medições.

Sabe-se que os pontos W, X e Z, bem como os pontos V, X e Y, estão alinhados, e que WVX = ZYX = 90o.

33.1 Mostra que os triângulos [VWX] e [YZX] são semelhantes.

33.2 Sabendo que V –W = 25 m, V–X = 40 m e X–Y = 160 m, calcula Y–Z.

Adaptado de University of Cambridge International Examinations; October/November 2007; syllabus D

W 160

V

Y

Z4025

X

Rio

34 Sabendo que, na figura ao lado, as retas AB e CD são paralelas,

prova que os triângulos [ABE] e [CDE] são semelhantes.

A

B

C

ED

101

35 Comenta a afirmação: “Um triângulo retângulo pode ser semelhante a um triângulo isósceles, mas

nunca poderá ser semelhante a um triângulo equilátero”.

36 O Sr. José pretende transportar um pipo

de vinho. Para carregar o pipo no seu ca-

mião, o Sr. José utilizou uma rampa, tal

como mostra a figura ao lado.

Para que a rampa não cedesse com o peso do pipo, o Sr. José colocou quatro barras de suporte, igual-

mente espaçadas. Sabendo que a rampa assenta no chão a 8 m da base da barra maior, que tem 2 m de

altura, determina a altura de cada uma das outras três barras.

2 m

8 m

37 Observa a figura ao lado.

37.1 Prova que o triângulo [ABC] é isósceles.

37.2 Determina a área do triângulo [ABC].

37.3 Prova que os triângulos [ABC] e [DEF] são semelhantes.

37.4 Sabendo que o triângulo [DEF] se obtém do triângulo [ABC] numa ampliação de razão , de-

termina a área do triângulo [DEF].

5

4

A

90o

45o

4 cmB C

F

E D

38 Na figura, AB//DC e ACB = CDA.

38.1 Explica porque é que os triângulos [ABC] e [CDA] são semelhantes.

38.2 Sabendo que A–B = 4 cm, B–C = 7 cm, A –C = 6 cm e C –D = 9 cm, calcula A –D.

Adaptado de University of Cambridge International Examinations; October/November 2005; syllabus D

A

B C

D

1 Considera os segmentos de reta paralelos [AB] e [CD].

Determina duas homotetias que transformem [AB] em [CD] e, para

cada uma delas, indica a respetiva razão de semelhança.

2 Completa os espaços em branco, de modo a obteres afirmações verdadeiras.

2.1 Duas figuras dizem-se semelhantes quando têm a mesma __________________.

2.2 Se B é uma ampliação de A em que se triplicaram todos os comprimentos, então a razão de

semelhança de A para B é __________________.

2.3 Quando a razão de semelhança entre duas figuras é __________________, as figuras dizem-se


3 Considera os quadriláteros [ABCD] e [A’B’C’D’]

representados na figura em que se indicam as

medidas dos comprimentos dos respetivos lados

bem como as medidas de amplitude dos ângulos.

Prova que os dois polígonos são semelhantes res-

pondendo às seguintes questões.

3.1 Tendo em conta as condições expressas

na figura, mostra que os triângulos [ABC]

e [A’B’C’] são semelhantes.

3.2 Justifica que as diagonais [AC] e [A’C’] estão na mesma proporção que os pares de lados cor-

respondentes nos dois polígonos.

3.3 Utilizando um raciocínio análogo ao efetuado nas alíneas anteriores, justifica que as diagonais [BD]

e [B’D’] estão na mesma proporção que os pares de lados correspondentes nos dois polígonos.

3.4 Conclui das alíneas anteriores que os quadriláteros são semelhantes.

4 O André estava a construir uma ampliação do polígono

[JLKI], de razão 2, sendo o ponto O o centro da homotetia,

mas não a conseguiu terminar.

Termina a construção do André.

102

Testar


A

B

C

D

2,5

4,1

C’

B’

A’

A

B

C

D

D’

1,2

2,4

3

3,6

41,5

1,82

72o

72o

81o 81o

74o

74o

133o

133o

O

LJ

I

K

J’

103

5 Considera um segmento de reta [AB] com 4 cm de comprimento.

5.1 Efetuou-se uma redução do segmento de reta [AB]. O segmento de reta obtido tem 0,8 cm decomprimento. Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução?

[A] 0,2 [B] 0,3 [C] 0,4 [D] 0,5

5.2 Na figura abaixo, está desenhado o segmento de reta [AB], numa malha quadriculada em quea unidade de comprimento é um centímetro.

Existem vários triângulos com 6 cm2 de área.Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, nesta malha, um desses triângu-los, em que um dos lados é o segmento de reta [AB]. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

5.3 O triângulo que construíste na alínea anterior obteve-se de um triângulo [XYZ], numa am-pliação de razão 3. Determina a área do triângulo [XYZ].

Adaptado de Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo do Ensino Básico, 2007

6 Para determinar a distância entre dois pontos A e B, utilizou-se o seguinte esquema.

6.1 Prova que os triângulos [ACE] e [BCD] são semelhantes.

6.2 Sabendo que B–C = 10 m, C–D = 4 m e D –E = 6 m, determina a distância entre os pontos A e B.

A B C

D

E

BD//AE

Rio

A B

1 cm

104

Provas globais

De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais, com o objetivo de te prepararempara a prova que irás realizar no final do 9.o ano de escolaridade.

As provas são precedidas de 3 tabelas com a identificação do conteúdo trabalhado em cadaexercício, para uma mais fácil identificação da matéria em avaliação.

105

Grelhas de conteúdosProva global 1

Unidade 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 3. 4. 5.1a) 5.1b) 5.2 6.1 6.2 6.3 6.4a) 6.4b)

Números

Funções

Sequências e regularidades

Figuras geométricas

Tratamento de dados

Equações

Figuras semelhantes

XX X X

X XX X X

X X X X XX

X

Unidade 1.1 1.2a) 1.2b) 1.2c) 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3Números

Funções



Tratamento de dados

Equações

Figuras semelhantes

XX X X

X X X XX X

XX

X

Prova global 2

Unidade 1.1 1.2 1.3a) 1.3b) 1.3c) 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6a) 3.6b)

Números

Funções



Tratamento de dados

Equações

Figuras semelhantes

XX X X X X

X XX

X X XX

X

Prova global 3

106

Prova global 1

1 Numa pequena Vila do interior do país, abriu uma sala de cinema que apresenta, exclusivamente, ci-nema português. Esta sala é composta por várias filas, todas com 23 lugares. Numa determinadasessão, para a primeira fila foram vendidos apenas 2 bilhetes, para a segunda 5 e para a terceira 8.

1.1 Se a regularidade se tivesse mantido, quantos bilhetes teriam sido vendidos para a sexta fila?

1.2 Nessa sessão foram vendidos bilhetes para todas as filas, sendo que a última ficou completa.Supondo que a regularidade anterior se manteve, determina quantas filas tem o cinema. Explica o teu raciocínio.

2 Na passada quinta-feira, o aparelho de ar condicionado da sala teve uma avaria durante a exibição deum filme. A temperatura, C, da sala, t horas após a avaria e até ao final do filme, pode ser dada, apro-ximadamente, pela expressão C = 21 + 2t, com C expresso em graus Celsius e t expresso em horas.

2.1 Qual era a temperatura na sala, em graus Celsius, uma hora após a avaria?

2.2 Qual foi, na sala, o aumento da temperatura por hora, em graus Celsius? Explica como che-gaste à tua resposta.

2.3 No final do filme, a temperatura na sala era de 24 graus Celsius. Há quanto tempo tinha ocor-rido a avaria? Apresenta o resultado em minutos.

Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico, 9.o ano, 2008 – 1.a chamada

3 A figura ao lado representa a sala de cinema. A Anabela sentou-se nolugar assinalado com a letra A, a uma distância de 10 m do ecrã.Numas filas à sua frente, sentaram-se o Ivanildo (I) e o Janício (J),que se encontravam a 5 m um do outro. Determina a largura do ecrã,sabendo que o Ivanildo se encontra distanciado dele 6 m. Explica oteu raciocínio.

Ecrã

A

I J

107

4 Tal como a figura da questão anterior sugere, a sala tem a forma de um quadrado. Sabe-se que a salatem 225 m2 de área e um pé-direito (distância do pavimento ao teto) constante e igual a 15 m. Pre-tende-se forrar o teto, e todas as paredes, com um material que melhora o isolamento acústico dasala e que custa 125 €/m2. Quanto se vai gastar nesta operação? Explica o teu raciocínio.

5 A direção da empresa responsável pela sala de cinema abriu um concurso para escolha do melhor lo-gótipo para a empresa. O logótipo vencedor foi o seguinte.

Sabe-se que:

• [ABCD] é um paralelogramo;

• [DCE] é um triângulo retângulo escaleno;

• ECD = 72o;

• B–C = 7 dm; E –D = 3 dm; A –B = 3,16 dm; C –E = 1 dm.

5.1 Determina:

a) DCB;

b) ADC.

5.2 Determina a área do logótipo.

6 Para a escolha do melhor logótipo realizou-se um concurso em que participaram adolescentes e adul-tos, distribuídos de acordo com a tabela seguinte.

6.1 Quantos adultos participaram no concurso?

6.2 Quantas pessoas do sexo masculino participaram no concurso?

6.3 Com base na informação da tabela completa o gráfico de barras seguinte.

6.4 Indica a percentagem de participantes:

a) do sexo feminino; b) adultos.

Português

Cinema

A D

B C E

Feminino

Masculino

Adolescentes Adultos

9 21

18 32

Feminino Masculino

605040302010

0Sexo

Participantes no concursodo melhor logótipo

Número departicipantes

108

1 O Ezequiel comprou recentemente um terreno agrícola onde cultiva vários produtos: cebola, batata,

diversas frutas, etc. O Ezequiel destinou uma grande parte do terreno à plantação de macieiras. Para

as plantar, utiliza um padrão quadrangular e, para as proteger do vento, planta coníferas à volta do

pomar. Esta situação está ilustrada no diagrama seguinte, no qual se pode ver a disposição das ma-

cieiras e das coníferas para um número qualquer (n) de filas de macieiras.

1.1 Completa a tabela.

1.2 Seja n o número de filas de macieiras.

a) Indica uma expressão algébrica que permita determinar o número de macieiras de uma

qualquer figura desta sequência.

b) Indica uma expressão algébrica que permita determinar o número de coníferas de uma

qualquer figura desta sequência.

c) Haverá alguma figura com 98 macieiras? Porquê?

Adaptado de Pisa 2000

2 Para combater o bicho da fruta, o Ezequiel utiliza um pesticida que não tem efeitos nocivos para o

meio ambiente. Este pesticida é vendido em sacos de 10 kg.

2.1 Na semana passada o Ezequiel comprou 12

sacos e pagou 180 €. Com base nesta infor-

mação, completa a tabela ao lado:

2.2 Seja h a função que ao número de sacos comprados, n, associa o valor a pagar pelo Ezequiel.

Escreve uma expressão algébrica de h.

2.3 Este mês, o Ezequiel gastou 150 € na compra de pesticida. Quantos quilogramas comprou?

Explica o teu raciocínio.

Prova global 2

n Números de macieiras Números de coníferas

1 1 8

2 4

3

4

5

X X XX l XX X X

X X X X XX l l XX XX l l XX X X X X

X X X X XX l l

XX l l

XX l l

X X X X X

Xl

l

l

X

XXXXXXX

X X X X XX l l

XX l l

XX l l

X

Xl

l

l

X Xl

l

l

XXXXXXX

X l l l l XX X X X X X X X X

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

X = coníferal = macieira

Número de sacos 0

Preço (€)

12

180 45

7

109

3 Na figura apresenta-se um esquema do terreno comprado pelo Ezequiel.

3.1 Determina a amplitude dos ângulos α, β e ε. Explica o teu raciocínio.

3.2 Determina a área destinada às macieiras.

3.3 Prova que os triângulos [GOE] e [HCF] são semelhantes.

4 O Ezequiel tem um minimercado onde coloca à venda cabazes de legumes variados. Cada um desses

cabazes, independentemente do peso e da constituição, é vendido a 7 €. O número de cabazes de le-

gumes vendidos em cada um dos 15 primeiros dias deste mês foi:

10; 12; 8; 8; 6; 7; 9; 15; 10; 14; 17; 18; 7; 14; 7

4.1 Indica, justificando, qual dos seguintes diagramas corresponde à informação dada.

4.2 Uma cliente comprou dois cabazes de legumes, três latas de ananás em calda e dois pacotes

de arroz. Sabendo que a cliente pagou 18,7 € e que o pacote de arroz custa mais dez cêntimos

do que a lata de ananás, determina o preço de cada pacote de arroz. Explica o teu raciocínio.

4.3 Os cabazes que não são vendidos são colocados numa enorme arca frigorífica com a forma de

um cubo. O Ezequiel pretende forrar o chão dessa arca com um material antiderrapante que

custa 15 €/m2. Sabendo que a arca tem 27 000 dm3 de volume, determina quanto terá de

gastar o Ezequiel. Explica o teu raciocínio.

A60 cm

B

GH

O

E

140 cm

Pessegueiros

Pereiras

Limoeiros Macieiras

Legumes

C

F

D

40 cm

80 cm

27o

0

1

6 7 7 8 8 9

0 0 2 4 4 5 7 7 8

0

1

6 7 7 7 8 8 9

0 0 2 4 4 5 7 8

110

1 Uma grande empresa nacional decidiu construir uma fábrica de enchidos perto de Montalegre. A Câ-

mara Municipal desta vila achou que a construção desta fábrica seria importante porque criaria cen-

tenas de novos postos de trabalho, ação importante no combate à desertificação do interior do País.

Assim, decidiram oferecer à referida empresa um campo, nos arredores da vila, com 22 500 m2 de

área e com a forma de um quadrado, onde a fábrica pudesse ser edificada.

1.1 Antes de começar a construção, foi necessário vedar o terreno. A vedação foi feita com pai-

néis metálicos retangulares com 2 m de altura e 3 m de comprimento. Determina o número

mínimo de painéis que foram necessários. Explica o teu raciocínio.

1.2 Depois de construída a fábrica, foi preciso contratar pessoas. A fábrica contratou mais trinta

mulheres do que homens, num total de 68 pessoas. Determina quantos homens contratou a

fábrica, explicando o teu raciocínio.

1.3 Das 68 pessoas contratadas, apenas 25 não moram em Montalegre. A fábrica fez um estudo

acerca do tempo, em minutos, que cada uma dessas pessoas demora a fazer o percurso casa-

-fábrica. Os resultados obtidos encontram-se na tabela seguinte:

a) Indica a moda.

b) Determina a média do tempo, em minutos, que as pessoas demoram a fazer o percurso

casa-fábrica.

c) Elabora um gráfico de barras com a informação da tabela.

2 O Diogo foi contratado para gerir a fábrica de enchidos e, de imediato, lançou

uma campanha publicitária que relacionava os produtos com Geometria.

Assim, em todas as encomendas que enviava era colocado um rótulo igual ao

da figura, acompanhado do seguinte texto: “Sabendo que [BCE] é um triân-

gulo equilátero e que [ABCD] é um quadrado, descubra a amplitude do ∠FBE,

enquanto se delicia com o nosso maravilhoso fumeiro”.

2.1 Determina FBE, explicando o teu raciocínio.

Prova global 3

Tempo (minutos) 5

Número de funcionários 5

10

7

15

8

20

3

25

2

A D

B C

E

F

FumeiroMontalegrense

111

2.2 O Filipe, quando viu o rótulo pela primeira vez, afirmou: “Os triângulos CFD e BEF são seme-

lhantes”. Concordas com o Filipe? Porquê?

3 Em abril do ano passado, a fábrica decidiu apostar num

novo produto: o famoso “Folar de Montalegre”. Assim,

associou-se com uma pastelaria que produz o folar uti-

lizando os enchidos fornecidos pela fábrica.

Admite que a função T, cujo gráfico se apresenta ao

lado, permite determinar a temperatura do folar, em

graus Celsius, t minutos após ter sido retirado do forno.

3.1 Indica a temperatura do folar no instante em

que é retirado do forno.

3.2 Qual é a temperatura do folar dois minutos após ter sido retirado do forno?

3.3 Determina T(12) e interpreta o resultado obtido no contexto do problema.

3.4 Quanto tempo é necessário para que o folar atinja os 30 oC?

3.5 Com o decorrer do tempo, a temperatura do folar tende a igualar a temperatura ambiente. In-

dica, justificando, a temperatura ambiente.

3.6 As vendas do folar decorreram a bom ritmo. Na primeira semana, venderam-se 113 folares

e, em cada uma das semanas seguintes, mais oito do que na semana anterior.

a) Completa a seguinte tabela.

b) Por divergências orçamentais, a fábrica e a pastelaria decidiram parar a produção conjunta

numa altura em que vendiam 153 folares por semana. Quantas semanas durou a parceria

entre a fábrica e a pastelaria? Explica o teu raciocínio.

Número de semanas 1

Número de folares vendidos 113

2 3 4 …

…

n

Tem

pe

ratu

ra(o

C)

Tempo (minutos)

90

80

70

60

50

40

30

20

10

02 4 6 8 10 12 14 16 18 20

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caderno exercicios 7º ano