CADERNO DE RESUMOS - Faculdade de Ciências · publicados, principalmente àqueles obtidos pelo Método Primal-Dual de Pontos Interiores do tipo Previsor-Corretor (PDPC), encontrados

XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA


CADERNO DE RESUMOS

Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru 2010


CADERNO DE RESUMOS XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM

MATEMÁTICA

Organizadores: Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni

Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola

Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi

Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento

Realização: Conselho de Curso da Licenciatura em Matemática

Unesp – Câmpus Bauru


COMISSÃO ORGANIZADORA Docentes Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento Técnicos Administrativos Daniel Buso de Lima Ivone Reina Barbieri Maciel Oliveira Gonçalves Discentes Amanda Ferreira Verardo Daisy Paes Silva Débora Tiago Firmino Diego Nunes da Silva Diogo Rodrigues Bressanim Emanuela Maniero Fabiane Cristina Camilli Karen Rocha Coelho Lincoln Rodrigo Alves Pereira Michele de Souza Lopes Rafael Toledo Andrade Thais Caroline Mota Tiago Augusto dos Santos Boza Willian Pontes Gonçalves

COMISSÃO CIENTÍFICA

Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola

EDITORAÇÃO

Ivone Reina Barbieri


Sumário

Resolução de problemas de programação quadrática convexa com variáveis

canalizadas a partir do método primal-afim de pontos interiores ................. 6

Método primal-afim de pontos interiores em problemas de resíduos de

cana-de-açúcar ............................................................................................... 7

Método primal-afim de pontos interiores para variáveis canalizadas ......... 13

Habilidades geométricas desenvolvidas por alunos da educação infantil: um

estudo exploratório ...................................................................................... 19

Refletindo a minha formação: um estudo sobre a cades em Duartina ........ 24

Memória docente e modelagem matemática: contribuições na formação do

professor de matemática .............................................................................. 29

Uma análise de dados meteorológicos para a cidade de brasília utilizando

um enfoque bayesiano ................................................................................. 34


RESUMOS


XXII Semana da Licenciatura em Matemática 1

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO

QUADRÁTICA CONVEXA COM VARIÁVEIS CANALIZADAS A

PARTIR DO MÉTODO PRIMAL-AFIM DE PONTOS INTERIORES

Aline de Castro Ferraz; Antonio Roberto Balbo

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras-chave: Métodos afins de pontos interiores; problemas de programação quadrática; variáveis

canalizadas.

Resumo

Neste trabalho, o método Primal-Afim de Pontos Interiores é estendido para a resolução

aproximada de Problemas de Programação Quadrática (PPQ’s), com variáveis

canalizadas, de maneira análoga ao método desenvolvido para funções objetivo lineares.

Investiga-se a teoria do método, seu esquema iterativo, sua extensão aos PPQ’s e sua

aplicação à resolução de um problema simples no contexto matemático. Um algoritmo é

apresentado, sua implementação prática é feita no software Excel e testes são realizados no

problema em destaque, comparando-se os resultados e analisando-se a performance do

método quando se faz uma modificação no limitante inferior da variável do problema. Os

resultados numéricos demonstram a eficiência do método quando comparado com outros já

publicados, principalmente àqueles obtidos pelo Método Primal-Dual de Pontos Interiores

do tipo Previsor-Corretor (PDPC), encontrados em [Balbo et al, 2008].

1. Introdução

Após o trabalho realizado em [Karmarkar, 1984], para Programação Linear,

pesquisadores, como [Fang e Puthenpura, 1994], estenderam este algoritmo para resolver

Problemas de Programação Quadráticos. Com algum cuidado em se manusear as diferenças

entre os Problemas, de Programação Linear e de Programação Quadrática, o método

Primal-Afim, desenvolvido para Programação Linear, foi estendido para resolver PPQ’s. No

que segue, uma abordagem geral da teoria a ser utilizada para o desenvolvimento do método

proposto é vista, visando apresentar um algoritmo deste método, para o caso de variáveis

canalizadas.

2. Objetivos

Neste trabalho uma extensão do Método Primal-Afim de pontos interiores é

realizada para abordar o caso Programação Quadrática convexa, com variáveis canalizadas.

Um algoritmo é apresentado, sua implementação prática é feita no software Excel e testes

são realizados em um problema definido no contexto matemático, comparando-se os

resultados e analisando-se a performance do método quando se faz uma modificação no

limitante inferior da variável do problema. Os resultados numéricos demonstram a

eficiência do método quando comparado com outros já publicados em [Balbo et al, 2008].


XXII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 2

3. Fundamentação Teórica e Algoritmo

3.1 O Problema Quadrático Primal

Seja Q nxn

e c, x, u, l, z, r n

. A função quadrática é definida em n

por:

1

2

t tq x Qx c x

Observe que ( )xq x Qx c e 2

( )x q x Q . Além disso, sabemos que q(x) torna-se uma

função quadrática convexa quando Q é semi definida positiva. Além disso, se Q é definida

positiva, então q(x) torna-se uma função estritamente convexa, que atinge um único mínimo

em 1

x̂ Q c

, em conseqüência de ( ) 0q x .

O valor mínimo de q(x) é igual a 1 1

2

tc Q c

para x̂ .

Considerando-se que a matriz Q é semi definida positiva, A é uma matriz em mxn

e

bm

, então, um Problema de Programação Quadrática convexa e restrita, é definido da

seguinte forma:

Minimizar 1

( )2

t tq x x Qx c x (3.1)

Sujeito a ,Ax b l x u (3.2)

cujas variáveis canalizadas são equivalentes a:

; 0x z u z

(3.3)

; 0x r l r

(3.4)

Admitindo-se que a matriz A tenha posto m e b seja não-negativo, representado como

uma combinação linear das colunas do vetor A, então, temos que a região factível é não

vazia, logo, não existem restrições redundantes.

3.2 O Problema Quadrático Dual

A concepção de dualidade também é aplicada para problemas de minimização de

quadráticas. Quando Q, correspondente para o problema primal (3.1) a (3.4), é definida

positiva, temos o seguinte problema lagrangiano dual:

Maximizar 1

( )2

t t t tq x v Qv b w u f l s (3.5)

Sujeito a 0; 0;t

Qv A w s f c s f (3.6)

Onde e ,m n

w s f . Mediante as suposições previamente mencionadas e

considerando-se v = x, temos a seguinte condição de Karush-Kuhn-Tucker para o Problema

de programação quadrática convexo dual:



, , ; 0; 0;Ax b x r l x z u r z (3.7)

; 0; 0;t

Qx A w s f c s f (3.8)

0RSe (3.9)

0ZFe (3.10)

onde R, S, Z e F são matrizes diagonais, cujos elementos diagonais são ri, si, zi, fi,

respectivamente.

Para assegurar que a solução do primal pode ser recuperada de uma solução do dual, é

necessário que Q satisfaça duas condições: - Q deve ser não singular; - AQ-1At deve ser

definida positiva. Além destes, considera-se a existência dos seguintes conjuntos viáveis:

O conjunto / , 0, , 0n

P x R Ax b x x z u z é não vazio;

O conjunto , , / , 0, 0m n T

D w R s f R Qx A w s f c s f é não vazio;

3.3 O Algoritmo Primal-Afim para Programação Quadrática e Variáveis Canalizadas

A extensão do algoritmo visto em [Fang e Puthenpura, 1994], para resolver Problemas

de Programação Quadráticos, com variáveis canalizadas, é proposta, levando-se em

consideração as condições vistas de (3.7) a (3.10). no que segue é apresentado o esquema

para implementação do método, passo a passo.

Passo 1 (inicialização): Calcular 1 x Q c

. Se Ax b e 0x então PARE, pois x é a

solução ótima. Caso contrário, fixar k=0 e determinar uma solução interior factível x0, tal

que, 0 0 e ;A x b l x u . Além disso, escolher ε1, ε2 e ε3, como números positivos

suficientemente pequenos e 0 < α < 1, uma constante positiva que auxilia no controle do

tamanho do passo.

Passo 2 (Cálculo do vetor estimativa dual): Calcular 2 1

( )H Q Xk k

. Determinar

1

t k kAH A w AH Q x c

k k ; e calcular a variável de estimativa dual

f .1 1k k t k k k

u Q x c A w s

Passo 3 (Teste de otimalidade): Se

,11

kAx b

b

,k

l x u 0, 0,k k

s f 1

21

ku

kQx c

e3 3

t tk k k k

r s ou z f então PARE,

pois , , ek k k kx w s f são soluções ótimas do primal e do dual, respectivamente. Caso contrário,

vá para o passo 4.

Passo 4 (Cálculo da direção de translação): Calcular uma direção de translação

( )k k k

d H s fx k .

Calcule , , , e ,k k k k k

d d d d dr z s y w como sendo k kd dr x , k k

d dz x , 1k kd Z F dzf k k

, 1k k

d R S ds k k r

,

e 1( ) ( )

k T k k kd AH A AH Qd d dw x sk k f

. Em que , , e R Z S Fk k k k são matrizes diagonais, com

, , e r z s fi i i i, respectivamente, como seus elementos diagonais.



Passo 5 – Teste para ilimitariedade e valor objetivo constante,

Se , , , 0k k k kd d d dzr s f , então PARE, o problema é ilimitado. Se

0,k k k kd d d dzr s f então também PARE, , , ek k k kx w s f são soluções ótimas do primal e

do dual, respectivamente. Caso contrário vá para o Passo 6.

Passo 6 (Cálculo do comprimento do passo): Calcular

1 2 3 4 5min , , , , ,

k k k k k k 1

min / 0 ,ri dr

ik dri

2min / 0 ,

zi dzik dzi

3min / 0 ,

si dsik dsi

4min / 0 e

fi df

ik dfi

( ) ( )5

( )

k t kd Qx cx

k k t kd Qdx x

onde 0 ≤ α<1.

Passo 7 (determinando uma nova solução): Executar a translação,

1 k k kx x dxk

; 1 1 1 1 k k k kz u x e r x l

; 1 k k ks s dsk

, 1 k k kf f d

k f

e

1 k k kw w dwk

Faça k ←k + 1 e vá para o passo 2.

O exemplo visto a seguir ilustra os procedimentos vistos do método Primal-Afim para

Problemas de Programação Quadráticos convexos com variáveis canalizadas, para um

exemplo simples num contexto matemático.

4. Aplicação do Algoritmo a um PPQ com variáveis canalizadas

Minimizar 2 2 22 3 5 2 3

1 2 3 1 2 3x x x x x x

Sujeito a

51 2

102 3

0 31

0 62

0 83

x x

x x

x

x

x

(4.1)

Pode-se observar que:

1 4 0 01 1 0 5

, , 2 0 6 00 1 1 10

3 0 0 10

A B c e Q

Será usado: 0, 00001; 0, 001 0, 0001;1 2 3

e 0,95

Aplica-se o algoritmo usando diferentes limites inferiores para a variável x 3. Na

Tabela 4.1, usaremos lt=(0,0,0) e na Tabela 4.2, usaremos lt=(1,1,1), para compararmos a

convergência e a solução ótima. Resolvendo o PPQ (4.1) através do software Excel tem-se

as seguintes tabelas, de acordo com a solução inicial (x0) escolhida.



Tabela 4.1: Solução inicial 0( ) 2 3 7

tx .

Tabela 4.2: Solução quando 0( ) 2 3 7

tx .

5. Conclusões

Foi realizada, neste trabalho, uma investigação teórica da extensão do método Primal-

Afim de pontos interiores para o Problema de Programação Quadrática Convexa com

variáveis canalizadas, onde verificou-se que, fazendo-se modificações simples em relação

às direções de busca e em relação ao comprimento do passo, o tratamento para funções

objetivo quadráticas e variáveis canalizadas é análogo ao tratamento feito para o caso de

funções objetivo lineares. Um algoritmo foi descrito e sua aplicação em um PPQ foi

realizada através do software Excel, comparando-se os resultados obtidos com o trabalho já

realizado em [Balbo et al, 2008], o que demonstrou a viabilidade da aplicação deste método.

Observou-se que, uma simples alteração no limite inferior da variável do problema, em

relação à tabela 4.1, alterou a solução ótima obtida vista na tabela 4.2. A continuidade deste

trabalho está relacionada à aplicação do método Primal-Afim para PPQ’s com variáveis

canalizadas, para Problemas de Despacho Econômico, encontrados na Engenharia Elétrica,

visto em [Balbo et al, 2008] e [Samed, 2004].



6. Referências

[Balbo et al, 2008] A. R. Balbo, M. A. S. Souza, E. C. Baptista, Métodos primal-dual de

pontos interiores aplicados à resolução de problemas de despacho econômico: sobre a

influência da solução inicial In: XL SBPO - Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional,

2008,. XL SBPO (João Pessoa – PB), Ed. RJ: ILTC, p.2074 – 2085 (2008).

[Fang el at, 1993] S. C. Fang e S. Puthenpura, “Linear Optimization and Extensions: Theory

and Algorithms”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.

[Goldfarb el at, 1991] D. Goldfarb and S. Liu, “An O(n3L) primal interior point algorithm

for convex quadratic programming,” Mathematical Programming 49, 325-340(1991).

[Karmarkar, 1984] N. Karmarkar, “A New Polynomial-Time Algorithm for Linear

Programming. Combinatórica” 4, v. 4, pp. 373-395 (1984).

[Samed, 2004] M. M. A. Samed, “Algoritmo Genérico Híbrido Co-Evolutivo para Resolver

Problemas de Despacho”, Tese de Doutorado, UEM, Depto de Engenharia Química, Agosto

de 2004, 167 p.



MÉTODO PRIMAL-AFIM DE PONTOS INTERIORES EM

PROBLEMAS DE RESÍDUOS DE CANA-DE-AÇÚCAR

Camila de Lima; Antonio Roberto Balbo; Helenice de Oliveira Florentino da Silva

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras-chave: Método primal-afim de pontos interiores; método branch-and-bound; resíduos de cana-

de-açúcar.

Resumo

O objetivo deste trabalho é a aplicação dos métodos Primal-Afim de Pontos Interiores e

Branch-and-Bound em problemas de resíduos de cana-de-açúcar. Objetiva-se utilizar os

métodos citados para determinar a escolha das variedades de cana que fornecem a menor

quantidade de resíduos possível levando-se em consideração as restrições de produção de

sacarose da usina, área disponível para o plantio e distância entre os talhões e centro de

processamento. Primeiramente, será utilizado o método Primal-Afim de Pontos Interiores para

se obter a solução ótima real do modelo e, a partir desta, determinar a solução ótima inteira 0-

1 relacionada às restrições de integralidade do problema, através do método Branch-and-

Bound. Testes com os métodos são realizados através de uma implementação computacional

realizada no software C++ e os resultados numéricos apresentados demonstram a eficiência

destes, quando comparados aos resultados publicados na literatura, apresentando bom

desempenho computacional e soluções realísticas.

1 Introdução

Com as inovações tecnológicas, o setor elétrico no Brasil tem apresentado diversas

mudanças, tornando-se cada vez mais competitivo, provocando a criação de órgãos federais que

regulamentem e regulem este setor, e se tornando não mais estritamente hidrelétrico, incidindo

no mercado a introdução da energia cogerada. (PELLEGRINI, 2002). Dentre as novas fontes de

energia, destacam-se aquelas que exploram o gás natural, a energia nuclear, a energia gerada

pela biomassa residual e a energia eólica.

Atrás apenas da geração hidrelétrica, a segunda fonte primária de energia é a cogeração

de energia a partir da biomassa da cana-de-açúcar, que representa 15,9% do mercado brasileiro

(pesquisa realizada pela Empresa de Pesquisas Energéticas do Ministério de Minas e Energia).

A utilização da biomassa como fonte alternativa para geração de energia é uma proposta

que vem gerando excelentes perspectivas para soluções energéticas e ambientais. Consiste em

um recurso renovável oriundo de matéria orgânica, de origem animal ou vegetal, e que pode ser

utilizada na produção de energia. O Brasil destaca-se entre os países que a utilizam para

produção de energia, tanto elétrica como em forma de vapor. A cana-de-açúcar entra nesse

estudo, por ser bastante cultivada no Brasil e possuir uma alta taxa de biomassa residual, pois

podem ser utilizados folhas, palhas, ponteiros e frações de colmo. Segundo Sartori et al (2001),

a partir de uma produção de cerca de 108 milhões de toneladas por ano de biomassa permitiria a

geração de 10,2 MWh, suficiente para abastecer uma cidade com 50 mil habitantes. O

aproveitamento dos resíduos como forma de geração de energia é algo que favorece o meio

ambiente, visto a baixa produção de micropoluentes, devido à proibição da queima em alguns

Estados, como o de São Paulo. Outro item que incentiva a utilização da cana-de-açúcar como



co-geradora de energia é o fato do período de sua colheita coincidir com o período de estiagem

das principais bacias hidrográficas do parque hidrelétrico brasileiro. Além disso, uma das

vantagens em trabalhar com a geração de energia a partir da biomassa residual é que existe a

possibilidade de armazenamento da biomassa por um determinado período até uma maior

necessidade ou maior valor de venda. A partir destes, diversos estudos vêm sendo realizados

visando otimizar a produção de energia visando a minimização de custos e/ou obtenção de

lucros. Florentino (2006), Sartori et al. (2001), Lima (2006) e Balbo et al. (2008), discutem

modelos matemáticos para escolhas de variedades de cana-de-açúcar que minimizam a

quantidade de biomassa residual.

A investigação dos modelos em destaque ocorre devido a necessidade das usinas em

obter o menor custo de transporte do palhiço e o maior balanço de energia pela biomassa

residual. Neste sentido, métodos de otimização são importantes para a análise de minimização

e/ou maximização do processo e os métodos de pontos interiores e Branch-and-Bound podem

ser utilizados para a resolução do modelo de minimização da quantidade de biomassa residual

de cana-de-açúcar, que é o objetivo desse trabalho.

2 O método primal-afim para variáveis com limitante superior

2.1 Definição

Considere o seguinte problema primal:

: 0

TMinimizar c x

Ax bSujeito a

x u

(2.1)

em que nmRA , mRb , nRucx ,, .

Assim, tem-se que o problema (2.1) é equivalente aos seguintes problemas:

: 0 e

TMinimizar c x

Ax bSujeito a

x x u

⟺

: 0 e ; 0

TMinimizar c x

Ax bSujeito a

x x z u z

(2.2)

Segue que o problema dual de (2.2) é expresso por:

: ; s,f 0

T T

T

Maximizar b w u f

Sujeito a A w s f c

(2.3)

Baseando-se nos problemas primal e dual definidos em (2.2) e (2.3), consideram-se

inicialmente as seguintes hipóteses para a definição do algoritmo Primal-Afim de pontos

interiores para variáveis com limitante superior:

O conjunto / , 0, , 0nP x R Ax b x x z u z é não vazio;

O conjunto , , / , 0, 0m n TD w R s f R A w s f c s f é não vazio;

A matriz de restrições A tem posto completo e igual a m.

Sob estas condições, tem-se do Teorema de Dualidade, Bazaara e Javis (1977) e

Luenberger (1984), que os problemas Primal (2.2) e Dual (2.3) têm soluções ótimas finitas (pelo

menos uma) com um valor comum da função objetivo. Além disso, os conjuntos das soluções

ótimas de (2.2) e (2.3) são limitados. Desta forma, tem-se em relação a estes as seguintes

condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):

Ax b ; 0, , 0x x z u z ; , 0, 0TA w s f c s f ; 0XSe ; 0ZFe ; (2.4)



em que , , e X Z S F são matrizes diagonais, respectivamente com , , e i i i i

x z s f como elementos

diagonais.

A partir das condições previstas em (2.4) determinam-se o resíduo primal, as folgas

complementares, o vetor estimativa dual, o resíduo dual, as direções de busca e o comprimento

do passo, indispensáveis para determinação de uma nova solução e definem-se os passos do

algoritmo a seguir, de acordo com Fang e Puthenpura (1993). Este algoritmo é complementado

no passo 10 pelo método Branch-and-Bound, que é usado para integralizar as soluções obtidas

pelo método Primal-Afim.

2.2 Algoritmo Primal-Afim para Variáveis Limitadas Superiormente e Branch-and-

Bound (PABB)

Passo 1: Inicialização

Ajustar 0k e encontrar uma solução inicial 0 0 0 0 0( ; z ; w ; s ; f )x P D . Seja 1 2 3, , 0

pequenas tolerâncias positivas auxiliares ao passo 5 do algoritmo.

Passo 2 – Cálculo do resíduo primal e de folgas complementares

Calcular o resíduo primal: k kt b Ax

Calcular as folgas complementares: k k kv X S e e k k kq Z F e

Passo 3 – Cálculo do vetor estimativa dual

Calcular o vetor estimativa Dual: cAXAAXw k

T

k

k 212 )(

em que kX é uma matriz diagonal cujos elementos são as componentes de xk.

Passo 4 – Cálculo do resíduo dual

Calcular o vetor resíduo dual: k T k k kr c A w s f

Passo 5 - Teste para otimalidade

Se 1

T k T k T kc x b w u f , 2

|| ||kv , 2

|| ||kq , 3

|| ||kt , 3

|| ||kr , 0 k kx u , 0ks , 0kf

então pare. Caso contrário, continuar.

Passo 6 - Encontrando as direções de busca

Calcular , , , e k k k k k

x z w s yd d d d d como sendo 2k k

x kd X r , k k

z xd d , 1k k

f k k zd Z F d ,

1k k

s k k xd X S d , e 2 1 2( ) ( )k T k k

w k k f sd AX A AX d d . Em que , , e

k k k kX Z S F são matrizes diagonais, com

, , e k k k k

i i i ix z s f , respectivamente, como seus elementos diagonais.

Passo 7 – Teste para ilimitariedade e valor objetivo constante

Se , , , 0k k k k

x z s fd d d d , então PARE, o problema é ilimitado. Se , , , 0k k k k

x z s fd d d d ,

então também PARE, , , , ,k k k k kx z w s f são soluções ótimas dos problemas primal e dual,

respectivamente. Caso contrário ir para o Passo 8.

Passo 8 – Cálculo do comprimento do passo

Calcular 1 2 3 4min 1, , , ,k k k k k

, em que 1 min / 0i

k i

i

xdx

dx

, 2 min / 0i

k i

i

zdz

dz

,

3 min / 0i

k i

i

sds

ds

e 4 min / 0i

k i

i

fdf

df

; 0< <1.



Passo 9 – Determinação de uma nova solução

Fazer 1k k k

k xx x d ; 1k k k

k zz z d ; 1k k k

k sw w d ; 1k k k

k ss s d ; 1k k k

k ff f d ;

Ajustar 1 kk e vá para o Passo 2.

Passo 10 – Método Branch-and-Bound

Para cada ix , se 85.0ix assuma 1ix e faça 0jx para todos i restantes (i = j + h) e

ji (h é informado pelo usuário de acordo com o modelo em questão). Senão faça 0ix .

Para as variáveis restantes, diferentes de 0 ou 1, percorra todo o vetor assumindo 1 para

cada nível da árvore, verificando a viabilidade e a otimalidade. Armazene sempre o menor valor

da função objetivo encontrado.

O algoritmo PABB é definido através de um procedimento envolvendo os métodos

Primal-Afim e Branch-and-Bound e é proposto para a resolução dos modelos definidos nas

seções 3.1 e 3.2, da seguinte forma:

i) Os passos de 1 a 9 resolvem o modelo relaxado para as variáveis limitadas

superiormente 0 i ix u ;

ii) O passo 10, que utiliza o método Branch-and-Bound, integraliza a

variável ( 0 ou 1)i i i ix x x u . A variável xi = 1 implica que a variedade i deverá

ser plantada em um talhão j.

3 Aplicação ao modelo de biomassa residual

O modelo definido em 3.1, visa a minimização da quantidade de biomassa residual

relativa à coleta de resíduos de cana-de-açúcar e foi proposto por Sartori et al. (2001). Ressalta-

se que estes modelos são equivalentes aos problemas primal (2.2) e dual (2.3), os quais foram

vistos na seção 2.1, quando considera-se a relaxação (continuidade) das variáveis do problema.

Os resultados apresentados são referentes, inicialmente, a uma área disponível para

plantio de 6000 ha., em solo NQ (Neossolo Quartizênico – Embrapa, 1999) e produção

necessária de açúcar fermentescível de 438000 toneladas, Sartori et al. (2001). A tabela 1

mostra os dados agronômicos utilizados no modelo e definido em 3.1.

Tabela 1: Dados médios para produção de resíduos de colheita (matéria seca) e de açúcar fermentescível

(pol), para 4 estágios de corte por variedade (Fonte: Sartori et al., 2001).

Variedades Produção de Resíduo

(t/ha)

Energia Residual

(kcal/ha) Pol (t/ha)

SP791011 96276,63 56933468,43 71,32

RB835486 83822,78 43653928,60 69,20

RB72254 94895,03 56487853,91 76,96

RB855113 119820,90 70811990,58 77,00

RB855536 107599,90 59646129,81 69,28

3.1 Modelo

Consiste em determinar as variedades de cana (xi) a serem plantadas, de forma a

minimizar a quantidade de biomassa residual ( iA ), tendo como restrições a área disponível para

o plantio (b), a demanda de produção de sacarose da usina ( ) e a média de produção de

energia disponível nessa biomassa ( ).



Minimizar1

n

i i

i

A x

; Sujeito a: 1 1 1

; ; ; 0 ;( 0 ou 1)n n n

i i i i i i i i i i

i i i

x b x x b x u x x u

4 Aplicação do algoritmo PABB no modelo e resultados obtidos

Nas tabelas 2 e 3 são apresentados os resultados obtidos pelo algoritmo PABB, proposto

na seção 2.2, implementados no software C++, e comparados com aqueles obtidos em Sartori et

al (2001). Nestas tabelas, as colunas “Solver” correspondem aos resultados obtidos pelos

autores citados e as colunas “PABB” correspondem aos resultados obtidos através da

implementação do procedimento envolvendo o algoritmo Primal-Afim de pontos interiores e

Branch-and-Bound (PABB).

4.1 Aplicação e Resultados obtidos para o modelo

Tabela 2: Variedades a serem plantadas Tabela 3: Solução ótima obtida

Variedades Área para plantio (ha)

Solver PABB

SP791011 0 1,14E-14

RB835486 0 6,01E-16

RB72254 5573,243 5573,24

RB855113 426,7568 426,76

RB855536 0 9,16E-16

5 Conclusão

Neste trabalho fez-se uma aplicação dos Métodos Primal-Afim e Branch-and-Bound,

implementados no software C++, para a resolução do problema de minimização da quantidade

de resíduos de cana-de-açúcar. Os resultados obtidos mostram a eficiência do algoritmo PABB,

quando comparado com a solução do modelo já publicada em Sartori et al. (2001), que

utilizaram o aplicativo Solver do software Excel para a determinação desta.

Os resultados obtidos incentivam a busca de melhoria na implementação feita para a

obtenção de soluções de outros modelos de Programação Linear e Inteira 0-1, relacionados aos

modelos de biomassa residual de cana-de-açúcar, tais como, o problema de maximização de

geração de energia de aproveitamento da biomassa residual relativa ao processo.

6 Agradecimentos

À FAPESP (PROCESSO 2010/02011-1) pelo apoio financeiro.

7 Referências

BALBO, A. R.; HOMEM, T. P. D.; FLORENTINO, H. O.; VIANNA, A. C. G., Procedimento

híbrido envolvendo métodos de pontos interiores e Branch-Bound em problemas multi-

objetivo de aproveitamento da biomasssa residual da cana-de-açucar. In: XL SBPO -

Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, 2008, João Pessoa - PB. Anais do XL SBPO. Rio

de Janeiro - RJ : ILTC, 2008. p. 2129-2140.

Quantidade de

Biomassa Residual (t) Pol (t)

Solver PABB Solver PABB

580007463,5 580007452,38 461777,1 461777,07



BAZAARA, M. e JAVIS. J. J., “Linear Programming and Network Flows” - John Wiley,

1977

FANG, S. C. e PUTHENPURA, S., Linear Optimization and Extensions: Theory and

Algorithms. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.

FLORENTINO, H. O. Programação linear inteira em problemas de aproveitamento da

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de Biociências, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Botucatu-SP, 2006.

HOMEM, T. P. D.; BALBO, A. R.; FLORENTINO, H. O.; VIANNA, A. C. G. , Resolução de

PPLIB através dos métodos de pontos interiores e Branch-Bound, uma aplicação no

contexto agronômico. In: 8th DINCON – 8th Brazilian Conference on Dynamics, Control and

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KARMARKAR, N., “A new polynomial time algorithm for linear programming”,

Combinatoria 4, 373-395, 1984.

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Açúcar e no Aproveitamento da Energia da Biomassa. Dissertação (Mestrado em

Agronomia/Energia na Agricultura) – Faculdade de Ciências Agronômicas – Universidade

Estadual Paulista, Botucatu, SP, 2006.

LUENBERGER, D. G., “Linear and Nonlinear Programming”, Addison-Wesley Publ. Co.,

2nd ed., 1984.

PELLEGRINI, M. C. , Inserção de centrais cogeradoras a bagaço de cana no parque

energético do Estado de São Paulo: exemplo de aplicação de metodologia para análise dos

aspectos locacionais e de integração energética. Dissertação (Mestrado em Energia) -

Universidade de São Paulo, São Paulo, SP, 2002.

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optimal quantity of crop residues for energy in sugarcane crop management using linear

programming in variety selection and planting strategy”, Energy, v.26, p.1031-1040, 2001.



MÉTODO PRIMAL-AFIM DE PONTOS INTERIORES PARA

VARIÁVEIS CANALIZADAS

Cíntia Pimentel de Oliveira, Antonio Roberto Balbo


[email protected]

Palavras-chave: Métodos afins de pontos interiores; problemas de programação linear; variáveis

canalizadas.

Resumo

Neste trabalho, o método Primal-Afim de Pontos Interiores é estendido para a resolução

aproximada de Problemas de Programação Linear (PPL’s), com variáveis canalizadas, de

maneira análoga ao método desenvolvido para funções objetivo lineares. Investiga-se a

teoria do método, seu esquema iterativo, sua extensão aos PPL’s com variáveis canalizadas

e sua aplicação à resolução de um problema simples no contexto matemático. Um

algoritmo é apresentado, sua implementação prática é feita no software Pascal 7.0 e testes

são realizados no problema em destaque, comparando-se os resultados e analisando-se a

performance do método quando se faz uma modificação no limitante inferior da variável do

problema. Os resultados numéricos demonstram a eficiência do método quando comparado

com outros já publicados, principalmente àqueles obtidos pelo Método Primal-Dual de

Pontos Interiores do tipo Previsor-Corretor (PDPC), encontrados em [Balbo et al, 2008].

1. Introdução

Desde sua introdução em 1984, o algoritmo de transformação projetiva de

Karmarkar (1984) transformou-se em um notável método de ponto interior para resolver

problemas de programação linear. Este trabalho pioneiro provocou uma agitação nas

atividades de pesquisas nesta área. Entre todos os variantes relatados do algoritmo original

de Karmarkar, o primeiro procedimento que atraiu a atenção dos pesquisadores foi aquele

que utilizava uma transformação afim simples para substituir a transformação projetiva

original de Karmarkar, a qual era muito complexa, e permitir que se trabalhasse no

problema de programação linear em sua forma padrão. O algoritmo afim foi apresentado

primeiramente por Dikin, um matemático soviético, em 1967. Mais tarde, em 1985, o

trabalho era independentemente redescoberto por Vanderbei, Meketon e Freedman. Estes

propuseram usar o algoritmo Primal-Afim para resolver problemas de programação linear

com restrições de igualdade, na forma padrão e na prova estabelecida da convergência do

algoritmo. Um algoritmo similar, denominado de algoritmo Dual-Afim, foi projetado e

executado por Adler, Karmarkar, Resende e Veiga, em 1989, para resolver problemas de

programação linear na forma de desigualdade. Comparado à transformação projetiva,

relativamente incômoda, a implementação do algoritmo Primal-Afim e Dual-Afim era mais

simples por ter relação direta com os problemas de programação linear. Estes dois

algoritmos, quando aplicados em problemas de grande dimensão, exibiram resultados



promissores, embora a prova teórica da complexidade de tempo polinomial não foi obtida

com a transformação afim utilizada.

2. Objetivos

Neste trabalho pretende-se realizar uma extensão do Método Primal-Afim de pontos

interiores para abordar o caso de variáveis canalizadas. Um algoritmo é apresentado, sua

implementação prática é feita no software Pascal 7.0 e testes são realizados no problema em

destaque, comparando-se os resultados e analisando-se a performance do método, quando

se faz uma modificação no limitante inferior da variável do problema. Os resultados

numéricos demonstrarão a eficiência do método quando comparado com outros já

publicados em [Balbo et al, 2008].

3. O método primal-afim para variáveis canalizadas

3.1 Definição

Considere o seguinte problema primal:

=

:

TMinimizar z c x

Ax bSujeito a

l x u

(3.1)

em que m nA R , mb R , , , , nx c u l R .

Assim, tem-se que o problema (3.1) é equivalente aos seguintes problemas:

: e

TMinimizar z c x

Ax bSujeito a

x l x u

⟺

: e ; , 0

TMinimizar z c x

Ax bSujeito a

x r l x g u r g

(3.2)

Segue que o problema dual de (2.2) é expresso por:

: ; 0

T T T

T

Maximizar b w s u f

Sujeito a A w s f c s, f

(3.3)

Baseando-se nos problemas primal e dual definidos em (3.2) e (3.3), consideram-se

inicialmente as seguintes hipóteses para a definição do algoritmo Primal-Afim de pontos

interiores para variáveis com limitante superior:

O conjunto / , , , , 0nP x R Ax b x r l x g u r g é não vazio;

O conjunto , , / , 0, 0m n TD w R s f R A w s f c s f é não vazio;

A matriz de restrições A tem posto completo e igual a m.

Sob estas condições, tem-se do Teorema de Dualidade ([Bazaara e Javis 1977] e

[Luenberger, 1984]) que os problemas Primal (3.2) e Dual (3.3) têm soluções ótimas finitas

(pelo menos uma) com um valor comum da função objetivo. Além disso, os conjuntos das

soluções ótimas de (3.2) e (3.3) são limitados. Desta forma, tem-se em relação a estes as

seguintes condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), encontradas em [Bazaraa e Javis,

1977] e [Luenberger, 1984]:

Ax b ; , , , 0x r l x g u r g ; , 0, 0TA w s f c s f ; 0RSe ; 0ZFe ; (3.4)

em que , , e R G S F são matrizes diagonais, respectivamente com , , e i i i ir g s f como

elementos diagonais.



A partir das condições previstas em (3.4) determinam-se o resíduo primal, as folgas

complementares, o vetor estimativa dual, o resíduo dual, as direções de busca e o

comprimento do passo, indispensáveis para determinação de uma nova solução e definem-

se os passos do algoritmo a seguir, Primal-Afim para variáveis canalizadas, de acordo com

[Fang e Puthenpura, 1993].

3.2 Algoritmo Primal-Afim para Variáveis Canalizadas (PAVC)

Passo 1: Inicialização

Ajustar 0k e encontrar uma solução inicial 0 0 0 0 0( ; g ; w ; s ; f )x P D . Seja 1 2 3, , 0

pequenas tolerâncias positivas auxiliares ao passo 5 do algoritmo.

Passo 2 – Cálculo do resíduo primal e de folgas complementares

Calcular o resíduo primal: k kt b Ax

Calcular as folgas complementares: kk kv R S e e k

k kq G F e

Passo 3 – Cálculo do vetor estimativa dual

Calcular o vetor estimativa Dual: cAXAAXw k

T

k

k 212 )( ,

em que kX é uma matriz diagonal

cujos elementos são as componentes de xk.

Passo 4 – Cálculo do resíduo dual

Calcular o vetor resíduo dual: k T k k kr c A w s f

Passo 5 - Teste para otimalidade

Se 1

T k T k T T kc x b w l s u f , 2|| ||kv ,

2|| ||kq , 3|| ||kt ,

3|| ||kr , k k kl x u , 0ks , 0kf

então pare. Caso contrário, continuar.

Passo 6 - Encontrando as direções de busca

Calcular , , , , e k k k k k kx r g w s yd d d d d d como sendo 2k k

x kd X r , ;k k k kr x g xd d d d , 1k k

f k k gd G F d ,

1k ks k k xd R S d , e 2 1 2( ) ( )k T k k

w k k f sd AX A AX d d . Em que , , e k k k k kX R G S F são matrizes diagonais,

com , , , e k k k k ki i i i ix r g s f , respectivamente, como seus elementos diagonais.

Passo 7 – Teste para ilimitariedade e valor objetivo constante

Se , , , , 0k k k k kx r g s fd d d d d , então PARE, o problema é ilimitado. Se , , , , 0k k k k k

x r g s fd d d d d ,

então também PARE, , , , , ,k k k k k kx r g w s f são soluções ótimas dos problemas primal e dual,

respectivamente. Caso contrário ir para o Passo 8.

Passo 8 – Cálculo do comprimento do passo

Calcular 1 2 3 4min 1, , , ,k k k k k , em que 1 min / 0ik i

i

rdr

dx

, 2 min / 0ik i

i

gdg

dg

,

3 min / 0ik i

i

sds

ds

e 4 min / 0ik i

i

fdf

df

; 0 < < 1.

Passo 9 – Determinação de uma nova solução

Fazer 1k k kk xx x d ; 1 1;k k k k k k

k r k gr r d g g d ; 1k k kk sw w d ; 1k k k

k ss s d ;

1k k kk ff f d ; Ajustar 1 kk e ir para o Passo 2.



4. Aplicação do algoritmo PAVC

Aplica-se o algoritmo PAVC definido em 3.2 para o exemplo 4.1, usando-se

diferentes limites inferiores para a variável x 3. Na Tabela 4.1, usa-se lt=(0,0,0) e na

Tabela 4.2, usa-se lt=(1,1,1), para verificar-se a convergência e a alteração da solução ótima

obtida com uma simples alteração do limitante inferior.

Exemplo 4.1

1 2 3 - 2 3Minimizar z x x x

1 2

2 3

1

2

3

5

10

0 3

0 6

0 8

x x

x x

Sujeito a x

x

x

Usando as seguintes soluções iniciais:

0 1,4,6T

x ; 0 0,0T

w ; 0 0,2,0T

s ; 0 1,0,3T

f

e 2

1 2 3 10 ;

como

tolerância para os critérios de parada e otimalidade do método, após cinco iterações, o

método PAVC determinou:

Tabela 4.1: Resultados obtidos após cinco iterações do algoritmo PAVC para lT = (0,0,0).

i 1 2 3

5ix

2.999850075 2.00014993 7.999850075

5ig 0.000149925 3.999850075 0.000149925

5is 2.999047036 3.2484806 0.43631985

5if 0.740933563 0.00096026 5.44691327

5iw

-3.25000000 2.010593 ---------------

E para estes valores a função objetivo atingiu o valor mínimo de -22.9998000.

A solução ótima exata deste PPL é: * 3,2,8T

x e o valor de mínimo é -23.

Na tabela 4.1, o valor de r(k) foi suprimido pois, para lT = (0,0,0) tem-se que x(k)=r(k).

A seguir, considera-se o exemplo 4.1 com o seguinte limitante inferior lT = (1,3,1).

Usando as seguintes soluções iniciais:

0 1.2,3.8,6.2T

x ; 0 0,0T

w ; 0 0,2,0T

s ; 0 1,0,3T

f e 2

1 2 3 10 ; como

tolerância para os critérios de parada e otimalidade do método, após cinco iterações, o

método PAVC determinou:



Tabela 4.2: Resultados obtidos após cinco iterações do algoritmo PAVC para lT = (1,3,1).

i 1 2 3

5ix

1.99950025 3.00049975 6.999850025

5ir

0.99950025 0.00049975 5.99950025

5ig 1.0004998 2.9995003 1.0004998

5is 0.00140675 2.5879920 0.00720840

5if 1.0140675 0.12466996 2.5438865

5iw

0.00000000 -0.463322 -------------------

E para estes valores a função objetivo atingiu o valor mínimo de -16.9998000.

A solução ótima exata para este caso é: * 2,3,7T

x e o valor de mínimo é -17.

4. Conclusões

Foi realizada neste trabalho uma investigação teórica da extensão do método

Primal-Afim de pontos interiores para os problemas com variáveis canalizadas, onde se

verificou que, fazendo-se modificações simples em relação às direções de busca e em

relação ao comprimento do passo, o tratamento para variáveis canalizadas é análogo ao

tratamento feito para o caso de funções objetivo lineares, com variáveis maiores ou iguais a

zero. Um algoritmo foi descrito e sua aplicação em um PPL foi realizada através da

Linguagem de Programação Pascal, comparando-se os resultados obtidos com o trabalho já

realizado em [Balbo et al, 2008], o que demonstrou a viabilidade da aplicação deste método.

Observou-se que, uma simples alteração no limite inferior da variável do problema, em

relação à tabela 4.1, alterou a solução ótima obtida encontrada na tabela 4.2. A continuidade

deste trabalho está relacionada à extensão deste método para Problemas de Programação

Quadráticas (PPQ’s) com variáveis canalizadas, visando sua aplicação em Problemas de

Despacho Ambiental, encontrados na Engenharia Elétrica, visto em [Balbo et al, 2008] e

[Samed, 2004].

5. Referências

[Adler et al., 1989] I. Adler, N. Karmakar, M. Resende e G. Veiga, An Implementation of

Karmakar's algorithm for linear Programming, Math Programming-pp. 297-335, 1989.

[Balbo et al, 2008] A. R. Balbo, M. A. S. Souza, E. C. Baptista, Métodos primal-dual de

pontos interiores aplicados à resolução de problemas de despacho econômico: sobre a

influência da solução inicial In: XL SBPO - Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional,

2008,. XL SBPO (João Pessoa – PB), Ed. RJ: ILTC, p.2074 – 2085 (2008).

[Bazaraa e Javis, 1977], M. Bazaraa e Javis. J. J., Linear Programming and Network Flows

- John Wiley, 1977.



[Dikin, 1967] I. I. Dikin, Iterative solution of problems of linear and quadratic

programming (in Russian), Doklady Akademiia Nauk USSR 174, 747-748, Soviet

Mathematics Doklady 8, 674-675, 1967.

[Fang el at, 1993] S. C. Fang e S. Puthenpura, Linear Optimization and Extensions: Theory

and Algorithms, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.

[Karmarkar, 1984] N. Karmarkar, A New Polynomial-Time Algorithm for Linear

Programming. Combinatórica 4, v. 4, pp. 373-395 (1984).

[Luenberger, 1984] D. G. Luenberger, Linear and Nonlinear Programming, Addison-

Wesley Publ. Co., 2nd ed., 1984.

[Samed, 2004] M. M. A. Samed, Algoritmo Genérico Híbrido Co-Evolutivo para Resolver

Problemas de Despacho, Tese de Doutorado, UEM, Depto de Engenharia Química, Agosto

de 2004, 167 p.

[Vanderbei et al, 1984] R.J. Vanderbei, M. S. Meketon, e B. Freedman, A., A modification

of Karmarkar’s linear programming algorithms, Algorithmica 1, 395-407, 1984.



HABILIDADES GEOMÉTRICAS DESENVOLVIDAS POR

ALUNOS DA EDUCAÇÃO INFANTIL: UM ESTUDO

EXPLORATÓRIO

Evandro Tortora; Nelson Antonio Pirola


[email protected]

Palavras-chave: Educação infantil; habilidades; habilidades geométricas.

Resumo

Trata-se de uma pesquisa de Iniciação científica em fase inicial, cujo objetivo geral é

investigar o seguinte problema: Quais e como as habilidades, relacionadas a espaço e

forma, estão sendo desenvolvidas na Educação Infantil? A partir desse problema

pretende investigar: 1- Como estão sendo desenvolvidas habilidades básicas da

geometria, como lateralidade, lateralização, percepção espacial e orientação espacial?

2-O que pensa o professor da Educação Infantil sobre os objetivos do trabalho com

espaço e forma? 3- Qual o desempenho e as dificuldades encontradas por crianças ao

término da Educação Infantil em atividades envolvendo habilidades básicas de

lateralização, lateralidade, percepção espacial e orientação espacial? Serão

participantes da pesquisa 40 crianças da Educação Infantil e seus respectivos

professores. Serão utilizados como instrumentos para a coleta de dados questionário,

entrevista, diário de campo e testes para avaliar a lateralização, lateralidade,

orientação espacial e percepção geométrica. Trata-se de um estudo exploratório cuja

análise dos dados terá um caráter qualitativo.

Introdução

A Psicologia da Educação Matemática – PME - é uma área interdisciplinar que

tem como principal objetivo investigar processos de ensino e aprendizagem da

Matemática tendo como fundamentos teorias da Psicologia. Entre os temas abordados

pela PME encontra-se a formação de conceitos em geometria. Vários estudos têm sido

conduzidos nessa área enfocando diferentes olhares para o problema do ensino e da

aprendizagem da geometria escolar, como por exemplo, os estudos de Viana (2000),

Viana (2005), Rezi (2001), Rezi (2007), Pirola (2000), entre outros. Parece haver um

consenso entre esses autores sobre a existência de um abandono do ensino da geometria

nas escolas em diferentes níveis de ensino.

Proença (2006) mostrou em seus estudos que alunos do ensino Médio

apresentaram dificuldades na discriminação de atributos relevantes de dois conceitos

básicos da geometria: polígonos e poliedros. Nesta mesma direção, Pirola (1995)

também identificou dificuldade dos alunos do ensino fundamental na identificação de



atributos definidores e de exemplos e não- exemplos de figuras básicas da geometria

plana que são trabalhadas desde a Educação Infantil, como triângulo e paralelogramo.

As habilidades básicas relacionadas à geometria, como percepção geométrica e

orientação espacial, que contribuem para que o aluno consiga trabalhar com noções de

Espaço e Forma, devem ser desenvolvidas desde a Educação Infantil.

Segundo Pirola (2006):

“A Educação Infantil é um campo bastante fértil para o trabalho com

as noções de espaço e forma, visto que as crianças, desde o nascimento,

exploram os objetos e o meio em que vivem através dos órgãos dos sentidos à

medida em que a criança cresce e desenvolve a coordenação de movimentos

ela passa a descobrir elementos importantes presentes nos objetos, como

dimensões, profundidades, contornos e vizinhanças, bem como as relações

espaciais entre os objetos.” (p. 196)

Dessa forma, o desenvolvimento das habilidades básicas relacionadas à

Geometria desde a Educação Infantil pode propiciar o desenvolvimento de novas

habilidades favorecendo a aprendizagem de conceitos da geometria plana e espacial de

forma significativa.

Objetivos

O objetivo geral da pesquisa é investigar o seguinte problema: Quais e como as

habilidades, relacionadas a espaço e forma, estão sendo desenvolvidas na Educação

Infantil?

A partir desse problema de pesquisa, três objetivos específicos serão

investigados: Primeiro, como estão sendo desenvolvidas habilidades básicas da

geometria, como lateralidade, lateralização, percepção espacial e orientação espacial?

Segundo, O que pensa o professor da Educação Infantil sobre os objetivos do trabalho

com espaço e forma? E por fim, qual o desempenho e as dificuldades encontradas por

crianças ao término da Educação Infantil em atividades envolvendo habilidades básicas

de lateralização, lateralidade, percepção espacial e orientação espacial?

Fundamentação Teórica

No âmbito das pesquisas relacionadas à área, serão utilizados como

fundamentação teórica os estudos das áreas da Psicologia, em especial, à área da

Psicologia da Educação Matemática.

Desde os primeiros anos de idade a criança já começa a desenvolver relações

geométricas, o que irá contribuir para a formação do seu pensamento geométrico.

Segundo o RCNEI (1998):

O pensamento geométrico compreende as relações e representações espaciais que as

crianças desenvolvem, desde muito pequenas, inicialmente pela exploração sensorial



dos objetos, das ações e deslocamentos que realizam no meio ambiente, da resolução

de problemas (BRASIL, 1998, p. 229).

As principais habilidades que as crianças começam a desenvolver, desde

pequenas são a lateralização, a lateralidade, a percepção geométrica e a orientação

espacial.

Será utilizado o conceito de habilidade definido por Krutetskii (1976), um

psicólogo russo que investigou durante uma década os componentes das habilidades

matemáticas e considerou que as habilidades são qualidades internas de uma pessoa que

permitem a realização satisfatória de uma atividade definida

Entre as principais habilidades geométricas temos a lateralização e a

lateralidade. Ambas foram estudadas por Pires, Curi e Campos (2001). Segundo essas

autoras, a lateralização utilização o nosso próprio corpo como referência e a lateralidade

é construída a partir do momento em que outros pontos de referências são adotados.

Outra habilidade geométrica que é desenvolvida pelas crianças é a percepção.

De acordo com Sternberg (2000) a percepção é “um conjunto de processos psicológicos

pelos quais as pessoas reconhecem, organizam, sintetizam e fornecem significações (no

cérebro) às sensações recebidas dos estímulos ambientais (nos órgãos dos sentidos)”

(p. 147). No caso específico da geometria, a percepção geométrica está relacionada à

percepção das formas dos objetos que estão ao nosso redor.

A orientação espacial também é uma das habilidades que as crianças começam a

desenvolver desde pequenas. Conforme o recém-nascido começa a engatinhar, ele

começa a perceber o “seu espaço” e logo percebe que precisa se desviar de

determinados objetos para não colidir com eles.

Dessa forma, a percepção geométrica leva a criança a reconhecer, organizar e

sintetizar as informações oriundas dos objetos que estão ao seu redor e a orientação

espacial auxilia a criança a se movimentar e a localizar objetos tendo como base pontos

de referências.

Metodologia

Serão participantes da pesquisa 40 crianças da Educação Infantil e seus

respectivos professores (estimando-se em dois professores).

1- Instrumento para a coleta de dados:

Os seguintes instrumentos serão utilizados:

Para se atingir o primeiro e o segundo objetivo específico utilizaremos de uma

entrevista semi-estruturada e áudio-gravadas com professores da Educação Infantil e

diário de campo com observações de sala de aula;

Para se atingir o terceiro objetivo específico será utilizado testes de percepção

geométrica envolvendo figuras geométricas, orientação espacial - envolvendo noções de

deslocamento e de localização e de lateralidade e de lateralização.



2- Método: A pesquisa tem um caráter exploratório. De acordo Ketele e Roegiers

(1993) a investigação exploratória possibilita melhor compreensão do assunto a

ser estudado e os fenômenos que surgem dos estudos.

3- Análise dos dados: A análise do questionário e diário de campo será feita por

meio de categorias a serem elaboradas. As entrevistas serão transcritas e

analisadas de acordo com categorias a serem estabelecidas. Por fim, os testes de

lateralização, lateralidade, percepção geométrica e orientação espacial serão

analisados de forma qualitativa com o objetivo de buscar evidências sobre o

desenvolvimento dessas habilidades.

4- Resultados esperados: A pesquisa pretende contribuir com a discussão acerca

do desenvolvimento de habilidades geométricas por crianças da educação

infantil. Espera-se que este trabalho posso suscitar outros nessa área, tendo em

vista que a literatura sobre esse tema é muito restrito na área de investigação em

Educação Matemática. Espera-se também evidenciar as principais habilidades

que são desenvolvidas na Educação Infantil no âmbito do espaço e forma, bem

como as dificuldades apresentadas pelos participantes no uso de algumas

habilidades geométricas básicas , como lateralização, lateralidade, percepção

geométrica e orientação espacial. A partir das entrevistas com os professores da

Educação Infantil e com as participações do pesquisador nas atividades diárias

em sala de aula espera-se responder ao problema geral de investigação: Quais e

como as habilidades, relacionadas a espaço e forma, estão sendo desenvolvidas

na Educação Infantil?

Referências

BRASIL, MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO, SECRETÁRIA DA

EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL, Referencial Curricular Nacional para Educação

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Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Faculdade de Educação, Universidade

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PIROLA, N. A. Um estudo sobre a formação dos conceitos de triângulos e

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Psicologia Educacional) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas,

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REZI-DOBARRO, V. Solução de problemas e tipos de mente matemática: relações

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Educacional) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

STERNBERG, R. J. Psicologia Cognitiva. Trad. Maria Regina Borges Osório. Porto

Alegre: Artes Médicas, 2000.

VIANA, O. A. O conhecimento geométrico de alunos do Cefam sobre figuras

espaciais: um estudo das habilidades e dos níveis de conceito. 2000. Dissertação

(Mestrado em Educação Matemática) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual

de Campinas, Campinas.



REFLETINDO A MINHA FORMAÇÃO: UM ESTUDO SOBRE A

CADES EM DUARTINA

Juliana Aparecida Rissardi Finato, Ivete Maria Baraldi


[email protected]

Palavras-chave: CADES; formação de professores; educação matemática

Keywords: CADES; formation of professors; mathematical education

Resumo

A CADES – Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário, instituída

pelo decreto 34.638 de 14/11/1953 durante o governo getulista, tinha como objetivo

difundir e elevar o nível do ensino secundário. Uma das finalidades da CADES era a de

promover cursos para a formação de professores, numa época em que as faculdades, próprias

para tal, eram quase inexistentes no Brasil. Com esse trabalho pretende-se, por meio de

depoimentos orais de professores (utilizando-se da História Oral como metodologia de

pesquisa) e da revisão de literatura específica, mapear e entender a influência da

CADES na cidade de Duartina – SP, bem como refletir sobre os possíveis traços

deixados pelos antigos professores que participaram de minha vida acadêmica,

registrar a história de vida profissional de professores e definir concepções de ensino e

aprendizagem, de escola e de Educação Matemática, conceitos importantes para um

futuro professor de matemática. O projeto, de cunho qualitativo, encontra-se em fase de

desenvolvimento, sendo como financiamento a bolsa PIBIC/Reitoria.

Introdução

A minha formação acadêmica foi praticamente toda em Duartina, onde nasci e

moro até hoje. Afastei-me de minha cidade no último ano do ensino médio, para estudar

em uma escola particular de Bauru com bolsa integral. Percebi que, durante este

período, as relações pessoais nessa comunidade escolar eram diferentes daquela que até

então convivi. As pessoas me pareciam mais distantes e os professores mais rígidos.

Hoje estou na Universidade, em uma cidade vizinha a minha. Durante uma

disciplina do curso de Licenciatura em Matemática denominada “História na Educação

Matemática”, onde nos foi apresentado a CADES (Campanha para o Aperfeiçoamento e

Difusão do Ensino Secundário), instituída pelo decreto 34.638 de 14/11/1953 durante o

governo getulista, em um período no qual não havia faculdades suficientes para a

formação de professores, é que surgiu meu interesse sobre o tema. A CADES tinha

como objetivo difundir e elevar o nível do ensino secundário, ou seja, tornar a educação

secundária mais ajustada aos interesses e necessidades da época, conferindo ao ensino

eficácia e sentido social, bem como criar possibilidades para que os mais jovens

tivessem acesso à escola secundária. Uma das finalidades da CADES era a de promover



cursos e estágios de especialização e aperfeiçoamento, para professores, técnicos e

administradores de estabelecimentos de ensino secundário que, segundo Baraldi (2003)

esses cursos, geralmente, tinham a duração de um mês (janeiro ou

julho) e eram elaborados a fim de suprir as deficiências dos professores, até

então leigos, referentes aos aspectos pedagógicos e aos conteúdos específicos

das disciplinas que iriam lecionar ou que já lecionavam (BARALDI, 2003,

p.152).

Após a realização desse “curso” era necessário a aprovação no Exame de

Suficiência – este exame foi instituído pela Lei 8.777 de 22/01/1946, mas como o

número de reprovações era alto, decidiu-se por deixá-lo sob a responsabilidade da

CADES, na tentativa de elevar o número de aprovações (Lei 2.430 de 19/02/1955) e

preparar os professores para tal exame. Para os aprovados era concedido “o registro de

professor do ensino secundário e o direito de lecionar onde não houvesse

disponibilidade de licenciados por faculdade de filosofia” (BACKERS & GAERTNER,

2007, p. 22).

Outras finalidades da CADES, de acordo com o que está publicado na Revista

EBSA nº. 030 – Novembro de 1953 – p. 317-318 eram a elaboração de material

didático; adoção de providências destinadas à melhoria e ao barateamento do livro

didático.

Diante disso, algumas indagações: “Houve diferenças na formação, no modo de

ensinar ou de se portar dentro de uma sala de aula, entre professores formados pela

CADES com relação àqueles formados por faculdades? Houve dificuldades para os

professores cadesianos quando surgiram novos professores formados por

faculdades?”. Ainda: “Qual a formação de meus ex-professores? Qual a influência

deles em minha formação?”

Por estas e outras perguntas que decidi iniciar este trabalho e buscar refletir

sobre: O que é o processo de ensino e aprendizagem? Quais são as concepções de

Educação Matemática? O que significa escola e disciplinas escolares? Quais perfis de

professores podem ser traçados?

Dessa maneira, espero com esse trabalho esboçar uma compreensão das questões

elaboradas anteriormente, com a contribuição dos professores entrevistados e por meio

da revisão de literatura específica.

Objetivos

A formação de um profissional é influenciada pelos exemplos que ele possui.

Assim sendo, a forma de um professor se portar dentro de uma sala de aula tende a se

parecer como a dos outros professores que tenha visto em serviço.

A peculiaridade da formação do professor, por ter em seu mundo de trabalho

o mesmo ‘espaço’ no qual foi formado, ou seja, a sala de aula, favorece a que

ele assuma, depois de formado, não só a posição física de seus professores,



mas também a postura, atitudes, formas de ensinar etc, fazendo um efeito

‘espelho’. (QUADROS et all, 2005, p. 11).

Dessa maneira, neste trabalho, tem-se como objetivo geral, mapear e entender a

influência da CADES na cidade de Duartina, tentando responder uma das indagações

feitas anteriormente, e talvez acrescentar outros ingredientes ao trabalho de Baraldi

(2003).

Como objetivos específicos, tem-se: refletir sobre os possíveis traços deixados

pelos antigos professores que participaram de minha vida acadêmica; registrar a história

de vida profissional de professores de Duartina – SP; efetuar um estudo aprofundado da

literatura pertinente, com a finalidade de definir as concepções de ensino e

aprendizagem, de escola e de Educação Matemática, conceitos importantes para um

futuro professor de matemática.

Justificativa e relevância do tema

Quanto ao objetivo geral apresentado, este estudo é relevante pois

A literatura especializada em Educação e em História da Educação guarda

um silêncio atordoante e injustificado quanto a essa campanha de formação

de professores. Para o interior do estado de São Paulo, a CADES

desempenhou papel extremamente mais importante que as faculdades de

Filosofia no que diz respeito à formação de seus quadros docentes,

importância também manifesta em outros estados do país (GARNICA, 2005,

p.129).

Quanto aos demais objetivos, saliento que um profissional só se torna completo,

quando as suas lacunas são preenchidas. Sendo assim, esse trabalho é relevante, pois

com ele terei a possibilidade de estudar a minha cidade, entender a minha formação e a

de meus professores, além de contribuir para a História da Educação (Matemática) ao

fazer um estudo sobre a CADES tão esquecida pelos meios educacionais.

Metodologia

Para realizar este estudo, de cunho qualitativo, a metodologia utilizada será a da

História Oral e, conseqüentemente, coletaremos depoimentos orais de professores

formados pela CADES, de meus ex-professores que foram alunos dos primeiros, assim

como serão analisados documentos escritos e iconográficos.

Com relação aos depoimentos necessários para o desenrolar deste projeto, posso

dividir essa fase da seguinte maneira:

Entrega ao colaborador de um roteiro de questões.

Agendamento da entrevista;

Assinatura do termo de consentimento

Entrevista gravada com o colaborador, no dia previamente agendado;



Processo de transcrição: passagem da gravação oral para o escrito. Entrega

do que foi transcrito ao colaborador para conferência;

Processo de textualização: fase necessária para dar lógica ao texto e exclusão

de vícios de linguagem. Entrega do resultado da textualização ao colaborador

para conferência;

Entrega ao colaborador de uma carta de cessão, autorizando o autor a utilizar

seu depoimento, tanto a gravação quanto o escrito.

Fase de análise e considerações do que foi obtido até então.

Resultados

O presente trabalho encontra-se em desenvolvimento. No entanto, através da

realização deste trabalho, espero refletir sobre minha formação, e até mesmo contribuir

com o trabalho de Baraldi (2003) trazendo novos traços para a minha região,

colaborando também com a pesquisa de Baraldi e Gaertner que se dispuseram a estudar

a CADES, como pode ser observado no artigo “Contribuições da CADES para a

Educação (Matemática) Secundária no Brasil: uma descrição da produção bibliográfica”

publicado no Bolema (2010) e no livro que estão produzindo.

Referências

BACKES, Tayza; GAERTNER, Rosinéte. Educação e memória: inventário das obras

publicadas na área de matemática pela campanha de aperfeiçoamento e difusão do

ensino secundário (CADES). Dynamis Revista Tecno-científica, Blumenau - SC, vol.

13, n.1, p.21-28, out-dez/2007.

BARALDI, Ivete Maria. Retraços da Educação Matemática na região de Bauru

(SP): uma história em construção. 2003. Tese (Doutorado em Educação Matemática) –

IGCE, Universidade Estadual de São Paulo, Rio Claro, 2003.

BARALDI, Ivete Maria; GAERTNER, Rosinéte. Contribuições da CADES para a

Educação (Matemática) Secundária no Brasil: uma descrição da produção bibliográfica.

BOLEMA. Boletim de Educação Matemática (UNESP. Rio Claro. Impresso), v. 23, p.

159-183, 2010.

EBSA – Documentário do Ensino. Rio de Janeiro: Editora do Brasil, n. 30, p. 317-318,

nov. 1953.

GARNICA, Antonio Vicente Marafioti. Escolas, professores e caipiras: exercício para

um descentramento histórico. Educação e Pesquisa, São Paulo, v. 31, n. 1, p.121-136,

jan./abr. 2005.

QUADROS, Ana Luiza de et al. Os professores que tivemos e a formação da nossa

identidade como docentes: um encontro com nossa memória. Revista Ensaio, UFMG,

v. 7 n. 01, 2005. Disponível em:



<http://www.portal.fae.ufmg.br/seer/index.php/ensaio/article/view/86/134>. Acesso em:

31 mar. 2010.



MEMÓRIA DOCENTE E MODELAGEM MATEMÁTICA:

CONTRIBUIÇÕES NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE

MATEMÁTICA

Karen Rocha Coelho; Juliana Aparecida Rissardi Finato; Ivete Maria Baraldi; Sueli

Liberatti Javaroni Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected], [email protected]

Palavras-chave: Narrativa de formação; modelagem matemática; educação matemática

Keywords: Narrative of formation; mathematical modeling; mathematical education

Resumo

Utilizando-se do tema gerador, os valores nuticionais dos alimentos, pretende-se

promover discussões sobre as práticas de memória docente, utilizar a memória docente

(narrativas) para a releitura de concepções e de metodologia em educação matemática,

fornecer referenciais teóricos e práticos sobre a saúde alimentar e a importância

nutritiva dos alimentos, colaborando com a melhoria da qualidade de vida dos

participantes. Pretende-se desenvolver projetos de modelagem matemática utilizando

os referenciais da área de Nutrição como metodologia de ensino e aprendizagem de

conteúdos de matemática, além de fornecer recursos metodológicos para a utilização

de tecnologias informáticas em salas de aula de matemática, como é o caso do

programa Excel presente no pacote Office do Windowns. Além disso, utilizaremos o

filme mexicano “Como água para chocolate” com direção de Alfonso Arau para

trabalhar as diversas formas de comunicação existentes, auxiliando no entendimento da

importância da escrita de narrativas dentro do ambiente educacional. O projeto está

sendo desenvolvido pelas professoras Sueli Liberatti Javaroni e Ivete Maria Baraldi,

docentes do Departamento de Matemática e pelas alunas bolsistas Karen R. Coelho e

Juliana A. R. Finato do Curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade de

Ciências, UNESP, Bauru, com a colaboração da professora Silvia J. P. Berto, docente

do Departamento de Enfermagem da Faculdade de Medicina de Botucatu e é

financiado pelo Núcleo de Ensino da UNESP.

Objetivos

O presente trabalho tem por objetivo apresentar um recorte do projeto, ainda em

desenvolvimento, intitulado “Cheiros, sabores e memórias de professores de

matemática: uma experiência saudável com Modelagem Matemática”. O principal

objetivo desse projeto é fomentar discussões e reflexões acerca da utilização de

Narrativas e Modelagem Matemática, com o auxílio de tecnologias informáticas para o

desenvolvimento de projetos de ensino e aprendizagem de conteúdos de matemática,

contribuindo assim para a formação continuada de professores de matemática do Ensino

http://mrd.mail.yahoo.com/compose?To=karenrc345%40hotmail.com



Básico da rede estadual e a formação inicial de alunos de graduação do curso de

Licenciatura em Matemática.

Fundamentação teórica

Os professores de matemática podem ser produtores de textos que projetam

sonhos, expressam dificuldades, eternizam práticas, descrevem o banal, o comum, o

repetitivo e o sensacional da sala de aula. Por meio de narrativas de suas vidas, focando

a construção histórica de sua formação, é possível que os mesmos façam uma reflexão

sobre sua prática profissional promovendo a ressignificação, como nos aponta o

trabalho de Nacarato, Mengali e Passos (2009). Ainda, como nos alerta o trabalho de

Mignot e Cunha (2003), as memórias dos professores “anônimos” se constituirão numa

importante fonte para o desenvolvimento de investigações que se inserem na área da

História da Educação (matemática), ao relatarem um contexto, uma época, um modo de

formação. “Se escrever favorece o pensamento reflexivo, a conclusão acaba por ser

inevitável: a produção de textos escritos é uma ferramenta valiosa na formação de

todos” (Prado; Soligo, 2007).

Além dos ganhos pessoais que a escrita reflexiva propicia aos professores, a

publicação de textos produzidos por quem contribui para a melhoria da educação é uma

conquista para toda a categoria profissional. A prática escrita dos educadores veicula os

saberes produzidos no exercício da profissão e, assim, as produções escritas merecem

ser publicadas, pois podem ser tomadas como subsídio para outros profissionais como

nos aponta Reis (2008)

Outros professores, lendo, analisando e discutindo essas narrativas atribui-

lhes um sentido e apropriam-se do seu conteúdo de uma forma muito

particular (através do filtro dos seus próprios conhecimentos e vivências),

retirando dessas histórias os aspectos que consideram mais significativos. As

narrativas, apesar do distanciamento de quem as lê e analisa, permitem a

aproximação dos leitores por um mecanismo de identificação com as

situações descritas (REIS, 2008, pg. 21).

A narrativa de formação é um modo de narrar a história por escrito, permitindo

que a mesma seja preservada do esquecimento. É onde são contadas histórias vividas

por nós mesmos. A narrativa de formação é um gênero assumido pelos educadores que

são protagonistas em relação a sua própria atuação e seu processo de formação. A

narrativa é o elo entre a prática do professor e a reflexão da/sobre essa prática, tornando-

se um espaço onde o professor tem a possibilidade de transmitir sua experiência, suas

crenças e seus sentimentos. O tema proposto para a condução deste projeto é: alimentos,

seus cheiros e sabores.

Através do sentido olfativo, que é o mais complexo dos cinco que possuímos e é

o que se relaciona intimamente com as memórias e emoções, é possível que sintamos os

cheiros e sabores que nos permitem lembrar de pessoas, situações, lugares, comidas, nos



levando de volta à infância e às lembranças de experiências boas e ruins vividas ao

longo de nossas vidas. Dowdey (2010) afirma que “um cheiro pode trazer uma

enxurrada de lembranças, influenciar o humor das pessoas e afetar seu desempenho no

trabalho. (...) o olfato pode trazer à tona lembranças e respostas poderosas quase que

instantaneamente”. Sendo assim, “os cheiros” dos alimentos podem estimular os

professores a produzirem suas narrativas. Dessa forma alguns professores e alunos

convidados a participar desse projeto serão estimulados a escrever suas memórias de

modo que se possam promover discussões sobre a prática docente.

A partir desse momento haverá a possibilidade da intervenção de uma

nutricionista que fornecerá informações sobre saúde alimentar e a importância nutritiva

dos alimentos, colaborando com a melhoria da qualidade de vida dos professores. Após

essa intervenção, serão realizados estudos sobre Modelagem Matemática como

metodologia de ensino e de aprendizagem tendo a nutrição como tema central. A

escolha do tema gerador (alimentos, seus cheiros e sabores) justifica-se por possibilitar

a modelagem matemática para explicar alguns de seus aspectos, propiciando a

aprendizagem de conceitos matemáticos de maneira contextualizada e utilizando as

tecnologias informáticas.

A partir do tema nutrição, outros aspectos também podem ser abordados

evidenciando que a Modelagem Matemática é uma ferramenta importante para o

desenvolvimento de outras ciências. Segundo Bassanezi (2009), ao adotar a modelagem

matemática, o professor enfatiza as aplicações matemáticas, utilizando a modelagem

como procedimento de resoluções criativas de problemas e preparando o aluno para

utilizar a matemática como uma ferramenta de resoluções de problemas em diversas

situações e áreas do conhecimento.

Nesse projeto, a partir dos dados obtidos com as receitas fornecidas pelos

professores, os mesmos vivenciarão a experiência de “modelar” situações utilizando

softwares que estão disponíveis nos computadores de escolas como, por exemplo,

programas do pacote Office do Windows, no caso o Excel, que permite o tratamento de

gráficos, funções, fórmulas, tabelas. Segundo Tatsch (2010), as atividades com

Modelagem Matemática exigem a interpretação, construção e análise de gráficos,

tabelas e fórmulas matemáticas e para tais atividades sente-se a necessidade de

microcomputadores para colaborar na riqueza das conclusões obtidas através da

construção de gráficos que representem a situação estudada.

Também, o projeto proporcionará a nós, alunos da Licenciatura em Matemática,

a possibilidade de vivenciar experiências teóricas e práticas no que diz respeito a nossa

própria formação enquanto professores de matemática, favorecendo o vislumbrar de

uma formação continuada e a possibilidade de ser um professor-pesquisador.



Procedimentos metodológicos

Para o desenvolvimento das atividades descritas, acontecerão reuniões

quinzenais com os participantes. Essas reuniões serão utilizadas para a apresentação do

filme “Como Água para Chocolate” do diretor Alfonso Arau, para a discussão do

referido filme, para leituras e discussões de referenciais teóricos sobre narrativas, para

que possa haver uma releitura de concepções e de metodologia em educação

matemática; sobre modelagem matemática, para que os participantes possam ter contato

com uma metodologia de ensino e aprendizagem de matemática; sobre tecnologias

informáticas e educação matemática. Além dessas atividades, teremos a palestra da

professora Silvia Justina Papini Berto com o tema nutrição, que fornecerá informações

sobre saúde alimentar e a importância nutritiva dos alimentos, colaborando com a

melhoria da qualidade de vida dos professores e dos alunos em formação.

Conclusões

O presente trabalho apresenta um projeto que se encontra em fase de

desenvolvimento e, portanto, as atividades realizadas, até o presente momento, foram

relativas à revisão bibliográfica acerca de teóricos sobre memorial/narrativa de

formação, modelagem matemática, tecnologias informáticas na educação matemática e

nutrição. Também foram preparadas atividades para serem realizadas durante o

desenvolvimento dos trabalhos com os professores da rede pública e os alunos do curso

de Licenciatura em Matemática.

Desta forma, espera-se que os participantes do projeto possam discutir e refletir

acerca da importância da utilização de narrativas e modelagem matemática em sua

formação, continuada ou inicial. Sendo que a primeira possibilita a reflexão sobre sua

prática docente e também a divulgação de seu trabalho, o qual contribui para o

crescimento dos estudos sobre Educação Matemática. Já com modelagem matemática

espera-se que os professores possam vivenciar o desenvolvimento de projetos de ensino

e aprendizagem de conteúdos de matemática, utilizando-a como uma abordagem

pedagógica para suas aulas, visando assim, uma maior compreensão dos conceitos

matemáticos pelos alunos bem como maior motivação dos mesmos para aprender tal

disciplina. Espera-se que também, fornecer aos participantes, um recurso metodológico

para a utilização de tecnologias informáticas em salas de aula de matemática. E ainda,

com a exploração do tema alimentos, seus cheiros e sabores e da palestra da profissional

da área de nutrição, espera-se que os participantes do projeto possam refletir sobre seus

hábitos alimentares de modo que possam melhorar sua qualidade de vida.

Referências

BASSANEZI, R. C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. 3ª ed., 1ª

reimpressão – São Paulo, SP: Contexto, 2009.



DOWDEY, S. Como Funciona o Olfato. Disponível em:

http://saude.hsw.uol.com.br/cheiro3.htm. Acessado em 26.07.2010

MIGNOT, A.C.V.; CUNHA, M.T.S (orgs.). Práticas de memória docente. São Paulo:

Cortez, 2003.

NACARATO, N.M.; MENGALI, B.L.S.; PASSOS. C.L.B.. A matemática nos anos

iniciais do ensino fundamental: tecendo fios do ensinar e do aprender. Belo

Horizonte: Autêntica, 2009.

PRADO, G. V. T.; SOLIGO, R. (orgs). Porque escrever a fazer história: revelações,

subversões e superações. Campinas, SP: Alínea, 2007.

REIS, P. (2008). As narrativas na formação de professores e na investigação em

educação. NUANCES: estudos sobre Educação, 15(16), 17-34.

TATSCH, K. J. S. Modelagem Matemática no Ensino Médio: uma Alternativa para

a Melhoria do Processo de Ensino e Aprendizagem. Disponível em:

http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/MM-Uma-Alternativa-EM.pdf. Acessado em:

26.07.2010.

http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/MM-Uma-Alternativa-EM.pdf



UMA ANÁLISE DE DADOS METEOROLÓGICOS PARA A

CIDADE DE BRASÍLIA UTILIZANDO UM ENFOQUE

BAYESIANO

Marcelo Andrade da Silva; Nair Cristina Margarido Brondino; Lincoln Rodrigo Alves

Pereira Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras-chave: Teorema de Bayes; dados meteorológicos; umidade relativa do ar de Brasília.

Keywords: conditional probability, weather data, relative humidity of Brasilia.

Resumo

O presente trabalho visa a utilizar um enfoque bayesiano para analisar a umidade

relativa do ar na cidade de Brasília. A escolha desta cidade é devida aos noticiários

que sempre apontam o clima seco da cidade como um problema à sua população. A

escolha também foi favorecida pela disponibilidade de dados meteorológicos, em

medidas horárias desde o ano de 1999. A Secretaria de Saúde do Estado da Saúde

informa que o tempo seco e frio aumenta as internações por problemas respiratórios

em 60% nos hospitais do Sistema Único de Saúde do estado de São Paulo. Especialistas

alertam que a situação é tão grave, que mortes repentinas são causadas por crises de

asma ou complicações de doenças respiratórias. A umidade baixa do ar causa uma

preocupação com o bem-estar do ser humano, o que motivou o estudo do

comportamento da umidade relativa do ar condicionada a outras informações na

cidade de Brasília.

1. Introdução

As condições climáticas atingem diretamente a vida do ser humano. Cerca de

90% dos desastres naturais no mundo são ligados a fenômenos climáticos, segundo o

diretor da Organização Mundial da Meteorologia (OMM), Dieter Schiessl. (Jornal da

Ciência).

Um exemplo é a baixa umidade do ar que afeta a saúde do homem, causando

ressecamento de pele, narina e olhos, além de aumentar as chances de doenças

respiratórias. A umidade do ar também pode atingir a agricultura. A pesquisadora do

Centro de Pesquisas Meteorológicas e Climáticas Aplicadas à Agricultura, da

Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), Ana Maria Heuminski de Avila diz: “É

importante que o agricultor esteja bem informado para saber fazer o acompanhamento

das condições do tempo adequadamente. Saber quais os valores que são benéficos e

quais os que ele deve tomar providências. Com os dados obtidos, o agricultor vai poder,

por exemplo, utilizar de forma racional a água, fazendo um acompanhamento na sua

propriedade do serviço de irrigação”. (AgSolve – 22/09/2008).



Por afetar a vida humana diretamente, muitos estudos surgiram para

aperfeiçoar previsões, melhorar o bem-estar das pessoas e aumentar o lucro em diversas

áreas de trabalho.

2. Objetivo

Utilizar um enfoque bayesiano para analisar a umidade relativa do ar na cidade

de Brasília.

3. Justificativa

A umidade do ar pode ser medida de várias maneiras. Dentre as mais comuns

são a umidade absoluta do ar e a umidade relativa do ar. A umidade absoluta do ar é

encontrada através da razão da massa de vapor de água pela massa de ar seco em um

volume de ar a uma temperatura específica e é expressa por g/m³. Já a umidade relativa

é a razão entre a umidade absoluta atual e a maior umidade absoluta possível, que

depende da temperatura atual do ar. Esta é expressa em porcentagem e também é a mais

usada atualmente. (Brasil Escola).

Segundo a Organização Mundial da Saúde (OMS), quando a umidade relativa

do ar está acima de 70%, podem surgir fungos, mofos, bolores, ácaros e as pessoas

podem sentir tonturas e mal-estar. Já quando a umidade está abaixo de 30%, a situação

torna-se mais grave, pois oferece riscos à saúde. Olhos irritados, sangramento nasal e

ressecamento da pele são efeitos observados, também pneumonia e doenças crônicas

são os problemas que mais se intensificam. (Cepagri/Unicamp).

Abaixo, na tabela 1, têm-se as faixas que são consideradas preocupantes e

recomendações à população:

Tabela 1 – Faixa de valores prejudiciais à saúde. (Cepagri/Unicamp).

Faixa de

umidade

Estados prejudiciais

Entre 20% e 30% Estado de atenção: é recomendado à população se hidratar

abundantemente, não exercitar-se ao ar livre no horário das 11h às

15h, não se expor ao sol e umidificar o ambiente.

Entre 12% e 20% Estado de alerta: é recomendado consumir muita água, não praticar

exercícios físicos das 10h às 16h, umidificar o ambiente, umedecer

os olhos com soro fisiológico e evitar aglomerações em locais

fechados.

Abaixo de 12% Estado de emergência: todas as recomendações anteriores e

umidificar ambientes entre 10h às 16h, interromper qualquer

atividade ao ar livre, suspender atividades que exijam

aglomerações.

Ao observar a sensibilidade humana em relação à umidade do ar e os efeitos

causados quando este atinge níveis abaixo de 30%, surge uma preocupação com o bem-



estar do ser humano, o que motivou o estudo do comportamento da umidade relativa do

ar condicionada a outras informações na cidade de Brasília.

4. Fundamentação Teórica

O enfoque Bayesiano requer um modelo amostral e, em adição, uma

distribuição a priori de todas as quantidades desconhecidas no modelo (parâmetros e

dados incompletos). A priori e a Verossimilhança são utilizadas para obter a

distribuição condicional do que se quer inferir dado os dados observados (a distribuição

a posteriori), a partir da qual todas as inferências tomam lugar. Permitir que os dados

observados ditem alguma regra na determinação da distribuição a priori constitui a

aproximação empírica de Bayes. Na Inferência Bayesiana a evidência ou as observações

são utilizadas para atualizar ou inferir sobre a probabilidade de que uma hipótese possa

ser verdadeira. O termo “Bayesiano” origina-se da utilização do Teorema de Bayes no

processo de atualização.

Logo, uma abordagem Bayesiana requer alguns conhecimentos básicos sobre a

Teoria das Probabilidades, partindo da definição da Probabilidade Condicional, a qual é

utilizada na formulação do Teorema de Bayes.

Definição: Probabilidade condicional

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral . As

probabilidades condicionais de A dado que B ocorre e de B dado que A ocorre,

respectivamente, são dadas por BP

BAPB/AP

, se 0BP e

AP

BAPA/BP

, se 0AP

Definição: Dois eventos A e B são ditos independentes se

BPAPBAP .

OBS: Se A e B são independentes, então APB/AP e

BPA/BP .

Os Teoremas a seguir serão apresentados sem prova. A demonstração destes

resultados pode ser encontrada em livros de Probabilidades como James (2008) e/ou

Morettin (1999).

Teorema do Produto:

Sejam A e B . Então B/APBPBAP ou

A/BPAPBAP .

Teorema da Probabilidade Total

Se nA,,A,A 21 são eventos que formam uma partição do espaço amostral e

B é um evento deste espaço, então i

n

i

i A/BPAPBP

1



Teorema de Bayes

Se nA,,A,A 21 são eventos que formam uma partição do espaço amostral e

B é um evento deste espaço e se iAP e iA/BP , i= 1, 2,..., n, então

n

i

ii

jj

i

A/BPAP

A/BPAPB/AP

1

No enfoque Bayesiano, o Teorema de Bayes apresentado anteriormente é

usado para ajustar as probabilidades devido à ocorrência de uma nova situação. Se

H representa uma hipótese específica, que foi inferida antes de uma nova situação E ,

então a probabilidade condicional de H dado E é dada por

EP

HPH/EPE/HP

Onde:

HP é a probabilidade a priori de H que foi inferida antes que a nova situação

E se tornasse disponível;

H/EP é a probabilidade condicional de acontecer E dado que H é

verdadeira;

n

i

ii HPH/EPEP1

.

A probabilidade condicional E/HP é denominada de Probabilidade a

Posteriori de H dado E e será o principal objeto de estudo deste trabalho. Buscaremos

aqui calcular as probabilidades de a umidade relativa assumir um dos estados

apresentados na Tabela 1, a partir das informações sobre temperatura do ar, direção do

vento, velocidade do vento e temperatura do ponto de orvalho.

De acordo com Feller (1966) a estimativa de probabilidades condicionais pode

ser feita diretamente a partir de extensa série climatológica ou a partir de modelo

estocástico baseado em informação sobre probabilidade condicional e correlação hora-

a-hora.

5. Metodologia

Os dados meteorológicos disponibilizados gratuitamente no site do Centro de

Previsão de Tempo e Estudos Climáticos (CPTEC) referentes à cidade de Brasília-DF

foram obtidos para a realização deste trabalho. Esses dados contêm informações sobre

temperatura do ar, direção do vento, velocidade do vento e temperatura do ponto de

orvalho de hora em hora a partir do ano de 1999.

Um sistema em PHP foi montado para consultar todas as informações,

facilitando, assim, a manipulação dos dados e a verificação do intervalo que a umidade

relativa do ar se encontra, de acordo com a tabela 1.

Numa etapa posterior, os dados serão utilizados para determinar as

probabilidades a priori e a posteriori.



6. Conclusão

O presente trabalho encontra-se em fase de execução. A proposta aqui é utilizar

um enfoque Bayesiano para calcular as probabilidades condicionais de a umidade

relativa do ar em Brasília assumir valores críticos dado os valores de temperatura do ar,

direção do vento, velocidade do vento e temperatura do ponto de orvalho, que já se

encontram disponíveis. Para tal, o banco de dados já começou a ser manipulado, a partir

de um programa escrito em PHP, de forma a ser utilizado posteriormente para calcular

as distribuições a priori.

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