Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

O experimento

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

geometria e medidas

números e funções

Caixa de papel

Objetivo da unidadeDiscutir com o aluno o conceito de volume aliado ao comportamento de funções.

O experimento

SinopsePara a realização deste experimento, os alunos, trabalhando em grupo, construirão no mínimo seis caixas de papel e tentarão descobrir qual delas tem maior volume. Só depois, fazendo os cálculos, verificarão se sua intuição estava certa. Por fim, eles usarão os dados coletados para esboçar um gráfico do volume obtido em função da medida x do corte usado na confecção da caixa, sendo novamente instigados a responder: qual o maior volume possível?

ConteúdosPolinômios – Funções polinomiais, Gráficos e Propriedades; �

Geometria espacial – Problemas de otimização; �

Unidades de medida. �

ObjetivoDiscutir com o aluno o conceito de volume aliado ao comportamento de funções.

DuraçãoUma aula dupla.

Material relacionadoExperimento: � Qual o Cone de Maior Volume?;Software: � Otimização de Cones.

Caixa de papel

Caixa de papel O Experimento 2 / 8

Introdução

A discussão sobre a otimização de emba­lagens, peças e recipientes é assunto frequente para indústrias de maneira geral. Tal discussão pode ser resumida tanto em obter o maior volume possível consumindo uma quantidade fixa de material, quanto em construir um objeto com determinado volume, consumindo a menor quantidade possível de material. Na maioria das vezes o objetivo é minimizar gastos, porém, existem diversas outras variáveis que influenciam na determinação do formato de uma embalagem. Por exemplo, a necessidade de encaixe da embalagem na mão do consu­midor, a aparência e a diferenciação em relação a outros marcas, transporte etc. Neste experimento iremos focar a otimização do volume em função de uma quantidade fixa de material. Contudo, se assim desejar o professor, o problema pode assumir outras formas.

Material necessário

Folha de papel A4, �

Régua � (O uso de uma régua de 30cm é melhor por conta do tamanho da folha A4);Lápis; �

Tubo de cola; �

Tesoura. �

O problema

Dada uma folha A4, qual a medida de para que a caixa, sem tampa, obtida pela dobradura dos cantos, como indicado nas figuras a seguir, tenha o maior volume possível?

Formulação do problema

Percepção visual do volume

Construção da caixa de papelDivida os alunos em grupos e entregue para cada um a folha do aluno. Os alunos realizarão, sob supervisão, os seguintes procedimentos:

fig. 1

x=5

x=5

x=5

x=5

x=5

x=5

fig. 2

etapa

O número de integrantes !por grupo ficará ao seu critério, Professor.

Fazer, com o auxílio de régua, quadrados de lado nos quatro cantos da folha A4. Anote, próximo ao lado desse quadrado, o valor de utilizado. Por último, para montar a caixa, corte um dos lados de cada um dos quadrados, como mostram as figuras 3, 4, 5 e 6.

fig. 3

fig. 4

Neste experimento !usamos e como as medidas aproximadas dos lados da folha A4. No Guia do Professor usamos medidas mais precisas.

Colar a face do quadrado de forma a montar uma caixa. Faça isso com todos os quadrados. A caixa ficará como mostram as figuras 7 e 8.

x=5

x=5

x=5

x=5

x=5

x=5x=

5

fig. 5

fig. 6

Comparação dos volumes.Cada grupo deverá construir no mínimo seis caixas, escolhendo para cada uma delas diferentes valores de . Depois, colocando-as uma ao lado da outra, o grupo deve discutir e tentar descobrir qual delas tem maior volume. Feito isso, eles irão numerá-las em relação ao volume, do maior para o menor. Essa numeração servirá de registro para a verificação da percepção visual dos alunos acerca do volume das caixas.

fig. 8

x=5x=5

fig. 7

Quando fizermos o !corte em um dos lados do quadrado, devemos considerar a colagem que será feita a seguir. Se , teremos que o corte deverá ser no lado paralelo ao lado menor da folha A4.

A escolha de valores !diversos para é impor-tante para a etapa 2, na qual os alunos esboçarão um gráfico do volume das caixas em função de .

Cálculo do volume

Chamaremos de 1ª numeração aquela realizada na etapa 1, na qual os alunos ordenaram as caixas com base em suas percepções visuais e as classificaram em relação ao seus volumes. Nesta etapa, peça aos alunos para calcularem os volumes das caixas algebricamente: chamaremos de 2ª numeração. Para isso, com o auxilio de uma régua, medirão o comprimento, a largura e a altura de cada caixa. Depois de calculados os volumes de todas as caixas, os alunos irão realizar a 2ª numeração, do maior para o menor volume obtido. Neste momento, eles poderão comparar a percepção visual que têm do volume com o seu valor real. Com os dados obtidos anteriormente, eles farão uma tabela no caderno, como mostrado na tabela 1.

etapa

Professor, faça essa tabela !na lousa para auxiliar os alunos na sua construção.

Após a confecção da tabela, os grupos poderão esboçar o gráfico do volume da caixa em função de sua altura em um sistema de eixos de coordenadas, como está na folha do aluno. Quando termi-narem o esboço, questione qual seria o maior volume possível: o que eles obtiveram ou algum outro que eles desconhecem. Caso tenham algum palpite, ajude os alunos a construir a caixa que acreditam ser a maior.

tabela 1

Caixa Altura Volume

1ª numeração 2ª numeração

1 2

2 1

3 4

4 3

5 5

6 6

Esta tabela é apenas um !exemplo. Caso o professor queira um número maior de caixas, a tabela terá mais linhas.

Neste momento, o !gráfico que os grupos estão fazendo deve ser observado para ver se há algum valor discrepante em relação à curva sugerida pelos outros dados.

Depois que todos os grupos terminarem as etapas descritas na folha do aluno, sugerimos o fechamento em duas etapas:

Socialização dos dados.Reúna os dados obtidos pelos diversos grupos e faça um gráfico ( ) na lousa e, a partir dele, identifique quem obteve a melhor estimativa. Se nenhum grupo chegou no valor máximo para o volume, que é aproximadamente , fale de sua existência e mostre, com o gráfico, que o valor aproximado de para essa caixa é . Peça para algum aluno construir a caixa para . O gráfico deve ficar semelhante ao gráfico mostrado na figura 9.

fig. 9

Caso alguns grupos !terminem antes que outros, o professor pode pedir para que eles discutam sobre o maior volume obtido: “Será que outro grupo construiu uma caixa com um volume maior?”

O gráfico esboçado com !os dados dos alunos é parte do gráfico da função

Veja o guia do professor.

Nesta etapa também é possível identificar eventuais valores errados, por estarem discrepantes da curva sugerida pelos demais dados. É preciso estar atento a esses desvios durante toda a atividade, mas com o gráfico na lousa, provavelmente os próprios alunos tomarão a iniciativa de questionar os pontos fora da curva.

A partir do gráfico que vocês traçaram no caderno, é possível obter o valor máximo do volume?

Com poucos pontos, a plotagem do gráfico facilmente esconde detalhes só visualizáveis com uma curva contínua.

Discussão sobre a percepção de volume.Após o término da socialização dos dados, peça para cada grupo mostrar, com as caixas, a numeração que eles fizeram antes e depois do cálculo do volume.

Antes de fazer o cálculo do volume, por que vocês achavam que a caixa escolhida possuía maior volume?

Uns dirão que escolheram a caixa de maior base, outros aquela que equilibrasse

Questão para os alunos

Questão para os alunos

altura e área da base, mas o importante é discutir sobre a divergência entre intuição e a poderosa ferramenta que é o cálculo matemático. Depois dessa discussão, seria interessante perguntar para os alunos quanto eles acham que vale , já que estamos acostumados com o volume dado em litros. Só lembrando, é o equivalente a , ou seja, temos uma caixa de .

fig. 10

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

Secretaria de Educação a Distância

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AutorSamuel Rocha de Oliveira

Coordenação de RedaçãoFabricio de Paula Silva

RedaçãoThaisa Aluani

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráficoPreface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto