Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 3

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• O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja área da secção transversal por x é uma função integrável A(x),é a integral de a até b de A,

�=b

a

dxxAV )(

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 4

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1. Esboce o sólido e uma secção transversal típica.

2. Encontre uma fórmula para A(x).

3. Encontre os limites de integração.

4. Integre A(x) para determinar o volume.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 5

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• Sólidos com mesma altura e com áreas das secções transversais iguais em cada altura têm o mesmo volume.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 6

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Uma cunha foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por dois planos. Um deles éperpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o primeiro formando um ângulo de 45°no centro do cilindro.

Determine o volume da cunha.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 7

Figura 5.5: A cunha do Exemplo 3, fatiada perpendicularmente ao eixo x. As secções transversais são retângulos.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 8

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• A secção transversal típica de um sólido perpendicular ao eixo de revolução é um disco de raio R(x) e área

( ) [ ] 22 )()( xRxA ππ == ����

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 9

Figura 5.6: A região (a) e o sólido (b) do Exemplo 4.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 10

Figura 5.7: A região (a) e o sólido (b) do Exemplo 5.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 11

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1. Desenhe a região e identifique a função raio

R(x)

2. Eleve R(x) ao quadrado e multiplique por π

3. Integre para determinar o volume

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 12

Figura 5.8: A região (a) e o sólido (b) do Exemplo 6.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 13

Figura 5.9: A região (a) e o sólido (b) do Exemplo 7.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 14

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• Raio externo: R(x).

• Raio interno: r(x).

• Área da arruela:

[ ] [ ] [ ]2222 )()()()()( xrxRxrxRxA −=−= πππ

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 15

Figura 5.10: As secções transversais do sólido de revoluçãogerado aqui são arruelas, não discos, portanto a integral

� A(x) dx tem uma fórmula ligeiramente diferente. b

a

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 16

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1. Desenhe a região e esboce um segmento de reta que a atravesse perpendicularmente ao eixo de revolução

2. Determine os limites de integração3. Determine os raios externo e interno da

arruela gerada pelo segmento de reta4. Integre para determinar o volume

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 17

Figura 5.11: A região do exemplo 8 cortada por um segmento de reta perpendicular ao eixo de revolução. Quando a região gira emtorno do eixo x, o segmento de reta gera uma arruela.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 18

Figura 5.12: Os raios interno e externo da arruela gerada pelosegmento de reta da Figura 5.11.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 19

Figura 5.13: A região, os limites de integração e os raios do Exemplo 9.

Capítulo 5 Cálculo – Thomas Addison Wesley Slide 20

Figura 5.14: A arruela gerada pelo segmento de reta daFigura 5.13