MACEIÓ2014

CALCULO DIFERENCIAL

MACEIÓ2014

Faculdade Pitágoras – Unidade Maceió

Alunos: Isabelle Santos Marcelino DiasRicardo Pereira Soares Prazeres

AS APLICAÇÕES DA DERIVADA NAS ENGENHARIAS

Trabalho apresentado como requisito parcial para obtenção de aprovação na disciplina de Calculo 1, no Curso de Engenharia Civil, na Faculdade Pitágoras.Prof: Kleber Da Silva Maranhão

INDICEAPLICAÇÕES DAS DERIVADAS NAS ENGENHARIAS.........................................1

Engenharia Civil:............................................................................................1

Engenharia Mecânica.....................................................................................3

Engenharia Elétrica........................................................................................5

CONCLUSÃO.................................................................................................6

BIBLIOGRAFIA..............................................................................................7

Introdução

O Calculo Diferencial e Integral tem diversas aplicações nas maisvariadas áreas de atuação, no ramo das Engenharias ele tem umpapel de extrema importância, sendo o um corredor para a soluçãode váriosproblemas. Na engenharia civil, uma das aplicações existentes é no estudo e dimensionamento de vigas,onde a determinação dosesforços de momento fletor (que é a resultante momento de todasas forças e momentos de uma porção isolada sobre a outra porçãona direção transversal ao eixoda barra na seção transversal de corte) e esforço cortante tem importância primordial. Podemosdizer de forma sucinta, que o momentofletor submete as seções transversais de uma viga comum aesforços de tração e compressão, enquanto que o esforço cortantesolicita citadas seções a tensões de cisalhamento.

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OBJETIVO

Este trabalho tem como objetivo demonstrar e desenvolver na prática uma das técnicas que utiliza o cálculo de derivadas e integrais, mais especificamente, o cálculo de esforço cortante e momento fletor atuantes em uma viga comum, apoiada em dois pontos, em suas extremidades com carga uniformemente distribuída em sua seção.

Com isso, veremos a técnica de derivação simples e de integração definida tendo em vista que há uma relação diferencial entre momento fletor e esforço cortante.

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APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NAS ENGENHARIAS

Conceito:

A derivada representa a taxa de variação de uma função em umponto é dada pela derivada da função nesse ponto, a derivada sepresta naturalmente para ser uma ferramenta na determinação dosintervalos em que uma função diferenciavel é crescente oudecrescente. De fato, a derivada de uma função em um ponto medenão só a declividade da reta tangente ao gráfico da função nesseponto, como também a taxa de variação da função no mesmoponto. Na verdade, em um ponto em que a derivada é positiva, adeclividade da reta tangente ao gráfico é positiva, e a função écrescente. Em um ponto em que a derivada é negativa, adeclividade da reta tangente ao gráfico é negativa, e a função édecrescente. Um exemplo típico é a função velocidade querepresenta a taxa de variação (derivada) da função espaço. Domesmo modo a função aceleração é a derivada da funçãovelocidade.

Aplicação:

Engenharia Civil:

O projeto de estruturas na construção civil usa as equaçõesderivadas da teoria da elasticidade para dimensionar ascolunas,lajes e deflexão máxima das vigas. De acordo com o pesoque esses elementos vão suportar, além de seu peso próprio, e dosmateriais utilizados (concreto ou aço), as máximas tensõescalculadas não podem exceder o seu limite de escoamento. Comoilustração, o módulo de elasticidade do aço comum, usado nosperfis estruturais é de 21000 kgf/mm2 e o limite de escoamento éde cerca de 21 kgf/mm2. Um fio de aço de 2 milímetros de diâmetroe 1 metro de comprimento, com uma pessoa pendurada a elepesando 60 kg, fica aproximadamente 1 milímetro maior devido aesse peso, e não se rompe. Volta a ficar com 1m após ser liberadoda carga.

Vamos utilizar a derivadas também para calcular o preço mínimo deuma obra, muitas vezes a curva do custo é uma equação de grau

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'n", fazendo a derivada e igualando a zero, assim poderá encontrarqual o custo mínimo.

Para se construir reservatórios de água, vamos precisar saber qualo formato deste reservatório e quais as dimensões do reservatórioque lhe darão um volume máximo gastando o mínimo de materialpossível é só calcular com a derivada.

Uma outra aplicação muito importante da derivada na engenhariacivil, é na construção de diagramas de Momento Fletor e de ForçaCortante. dM/dx=V e dV/dx=-q, onde M é o momento fletor, V é aforça cortante e o carregamento. Assim, se num certo trecho deuma viga você tiver um carregamento constante, no diagrama decortante, este mesmo trecho deverá apresentar uma reta, e nodiagrama de momento deverá ter uma parábola do 2º grau, porexemplo. Pois como sabemos do cálculo, a derivada diminui 1 grauda função.

Maximo e Mínimos na Engenharia Civil:

Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial sãoos problemas de otimização, em que devemos encontrar a melhormaneira de resolver um problema. Esses problemas podem ser resolvidos encontrando os valores de máximo e mínimo de umafunção.

Conceito:

Uma função f tem um máximo absoluto em c se f(c) ≥ f(x) para todox em D, onde D é o domínio de f. O número f(c) é chamado de valormáximo de f em D. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em cse f(c) ≤ f(x) para todo x em D, e o número f(c) é chamado de valormínimo de f em D. Os valores máximos e mínimos de f sãochamados de valores extremos de f.

A Figura 14 mostra o gráfico de uma função f com máximo absolutoem d e mínimo absoluto em a.

Note que (d, f(d)) é o ponto mais alto do gráfico, enquanto (a, f(a)) éo ponto mais baixo.

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Uma função f tem um máximo local em c se f(c) ≥ f(x) quando xestiver nas proximidades de c.Analogamente, f tem um mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) quando xestiver nas proximidades de c.Teorema de Fermat: Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, ef’(c) existir, então f’(c) = 0.Então, pelo Teorema de Fermat, encontramos o ponto de máximoou de mínimo da função, casoele exista, derivando a função e igualando-a a zero. Paradescobrirmos se o ponto encontrado é de máximoou mínimo, temos que analisar as derivadas nas proximidades doponto encontrado, conforme indicado naFigura15.

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Aplicação de Máximos e Mínimos:

Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m?

Solução:

Seja t o tempo medido em minutos decorridos desde que a água começou a fluir dentro do tanque; h a altura em metros do nível de água em t min; r a medida em metros do raio da superfície da água em t min; e V a medida, em metros cúbicos, do volume de água no tanque em t min.

Em qualquer instante, o volume de água no tanque pode ser expresso em termos do volume do cone .

1. V (t) = 1 πr² h

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V, r e h são todas funções de t. Como a água está fluindo no tanque

a uma taxa de 2 m3/min, dV ( t ) = 2 m³. Queremos determinar dh

dt min dt

quando h = 5m. Para expressar r em termos de h,temos, dostriângulos semelhantes,

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r = 4 r = 1 h

h 16 4

Logo,

V(t)= 1 π h ² h V(t)= 1 π h³ 3 4 48

Então,

dV = 1 π h² dh

dt 16 dt

Substituindo dV (t) = 2 e resolvendo:

dh = 32 dt π h²

logo

dh = 32dt h=5 25 π

Assim sendo, o nível de água está subindo a uma taxa de 32 m/minquando a profundidade da água é de 5 m. 25 π

Uma Outra Aplicação de Máximos e Mínimos

Achar a altura do cilindro circular reto de volume V máximo que pode ser inscrito em uma esfera de raio R. Ver figura abaixo.

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Solução:

Seja r o raio da base e 2h a altura do cilindro.

V = 2 π r² h e r² + h² = R²

Então,

dV = 2 π r² dh + 2rh e 2r + 2h dh= 0. Da ultima relação, dh = _ rdr dr dr dr h

Logo,

dV = 2 π _ r³ + 2rhdr h

Quando V for máximo,

dV = 2 π _ r³ + 2rh = 0 r² = 2h²dr h

Como r² +h² = R²

2h²+h² = R² h= R√3

A altura do cilindro será:

2h = 2R √3

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Engenharia Mecânica:

Na construção mecânica, principalmente na aviação, onde não sepode abusar do recurso de super dimensionar os elementosestruturais para aumentar sua resistência, (o avião ficariadesnecessariamente pesado e portanto anti-econômico), o cálculopreciso é fundamental. Como as formas muitas vezes sãocomplexas e difíceis de equacionar matematicamente, a solução é ouso da aproximação pelo método dos elementos finitos. Com ocrescente poder de computação, esse método passou a serlargamente utilizado pela indústria a partir do final do século XX.Exemplos:Dimensionar trocadores de calor como radiadores, serpentinas desistemas frigoríficos, etc: a variação de temperatura é proporcionalà diferença de temperatura entre a fonte quente e a fonte fria,assim, você tem que escrever a função diferença de temperatura ederivar essa função para saber como a temperatura se comporta notempo; Calcular a vazão de um fluido na saída de um reservatório: avelocidade de saída de um fluxo de fluido é proporcional à pressãoestática do fluido (encha um copo de plástico com água e depoisfaça um furo no copo de maneira que a água saia na horizontal;você vai perceber que a água sai mais 'forte' quanto mais águaestiver no copo). Você vai usar a derivada pra saber como avelocidade do fluxo de saída se comporta no tempo; Verificar se um automóvel, trem ou avião tem proteção suficientepara os passageiros no caso de uma batida ou freada brusca: vocêvai usar a derivada para calcular a maior variação da aceleração notempo. Neste caso, se a aceleração estiver dentro dos limitesespecificados, mas a variação dela não, podem ocorrer danos àcoluna vertebral dos passageiros (a derivada da aceleração échamada de 'jerk', em inglês, que eu aqui livremente traduzo para'puxão'); Resolver problemas de máximo e mínimo: funçõesquadráticas e de ordens superiores têm pontos de inflexão (umaparábola tem um ponto de inflexão que é máximo ou mínimo, umacúbica tem dois pontos de inflexão, e assim por diante). Se você

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estiver tentando maximizar ou minimizar uma função, como porexemplo determinar qual a maior área cercada que você consegueconstruir com uma quantidade certa de cerca, você vai usar aderivada para encontrar esse valor.

Engenharia Elétrica:

A derivada serve principalmente para encontrar os valoresinstantâneos de grandezas elétricas. Por exemplo, a tensão em umindutor é calculada pela indutância do componente multiplicada peladerivada da corrente no tempo. Ou seja, a corrente num tempoinfinitesimal (instantâneo) multiplicada pela indutância nos fornece atensão naquele ponto do circuito. Da mesma forma, a tensão em um capacitor pode ser calculadapela integral da corrente dividida pela capacitância do componente.

Na hora de construir gráficos, a derivada nós dar o ponto deinclinação da reta tangente ao gráfico, e se igualarmos ela a 0teremos os pontos de máximo ou de mínimo ou pontos críticos.

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CONCLUSÃO

Tendo em vista os aspectos observados, conclui-se que podemosutilizar derivadas em várias situações oriundas do dia-dia, muitasdas quais o individuo leigo sequer imaginaria a possívelquantificação matemática, bem como, podemos depreender que éum método de cálculo matemático prático, no que se refere aocálculo diferencial.

Dando uma visão global dos princípios da matemática estaproporciona um grande enriquecimento, pois sai do carátermeramente teórico ao qual se prendem muitos doutrinadores destamatéria. Quando em contato com a infinidade de aplicações asquais são permissíveis, torna nossa noção matemática muito maisdinâmica e propensa a um ágil raciocínio, o que é de grande valiapara os universitários.

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BIBLIOGRAFIA

HAZZAN, Samuel, BUSSAB, Wilson O. MORETTIN, Pedro A. Cálculo Funções de Várias

Variáveis, 2ª Ed. Atual, São Paulo, SP. 1982.

WIKIPÉDIA, A Enciclopédia livre. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada> Acesso

em 01 dez. 2007

C. H. Edwards, jr. PENNEY, David E. Cálculo com Geometria Analítica. V1, 4º Ed., Prentice-hall

do Brasil, Rio de Janeiro, RJ, 1997.

Livro Calculo A, Autor: Diva Marilia Flemming e Mirian Buss Gonçalves, Editora: Prentice Hall -

6º Edição.

Livro CALCULO, Autor: George B. Thomas, Volume 2

Livro Cálculo e Aplicações, Autores: Deborah Hughes-Hallett, Andrew M. Gleason,

Patti FrazerLock e Daniel E. Flath, Editora: Edgard Blucher

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