UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

ENG 03108 – Medições Térmicas Prof. Paulo S. Schneider

Calibração de um Termômetro

Objetivo

No presente caso será usado o método dos mínimos quadrados para obter umacurva linear de calibração e como os parâmetros do ajuste, o coeficiente linear e ainclinação, e suas variâncias e covariâncias estimadas, são usados para obter o valore a incerteza padronizada de uma correção prevista a partir da curva.

Fundamentos

A calibração será feita a partir da comparação de valores lidos de um sensorde temperatura tk, comparados aos valores tR,k, obtidos de um sensor de temperatu-ra de referência. Destas, obtém-se a correção ou desvio

[ ]kRkk ttb −= (1)

Esta correção, e as temperaturas medidas tk são as grandezas de entrada para aavaliação. Uma curva linear de calibração

( ) ( )021 ttyytb −+= (2)

é ajustada para as correções e temperaturas medidas pelo método dos mínimosquadrados. Os parâmetros desta equação são:

1y é o coeficiente linear da curva, ou intercepto

2y é o coeficiente angular da curva ou inclinação da curvat é um valor qualquer de temperatura no qual se deseja aplicar a correção ao ter-mômetro (é a variável independente).( )tb é a correção que deve ser aplicada ao termômetro no valor de temperatura t (é

a variável dependente).• 0t é uma temperatura exata qualquer de referência convenientemente escolhida,que servirá para localização da curva (deve ser escolhida de preferência abaixo doprimeiro valor de temperatura medido).

Objetivo: determinar os mesurandos 1y e 2y , suas variâncias e covariâncias estima-das, obtidas minimizando-se a soma

( )[ ]S b y y t tk kk

N

= − − −=∑ 1 2 0

2

1

(3)

Isto leva as seguintes equações para 1y e 2y , as variâncias experimentais s y21( )e

s y22( ) , seu coeficiente de correlação estimado r y y s y y s y s y( , ) ( , ) / ( ) ( )1 2 1 2 1 2= , onde

s y s( , )1 2 é sua covariância estimada.

Baseado no método dos mínimos quadrados, utilizam-se as seguintes fórmulaspara a determinação dos parâmetros da curva:

( )( ) ( )( )D

bby kkkkk ∑∑∑∑ −=

θθθ 2

1 (4)

( ) ( )( )D

bbny kkkk ∑∑∑ −

=θθ

2 (5)

onde: ( ) ( )22 ∑∑ −= kknD θθ e 0ttkk −=θ e n é o número de medidas

Através do cálculo de (4) e (5) chega-se a (2), a curva de calibração de umsensor, que fornece o valor previsto da correção b(t) em qualquer temperatura t, eem particular em t=tk

Depois de encontrados os parâmetros da curva, calculam-se as variâncias ex-perimentais s y2

1( )e s y22( ) , partindo-se dos seguintes conceitos:

♦ desvio padrão estimado: é um erro médio quadrático, calculado pela soma dos re-síduos, dividido pelo número de variáveis independentes

sx x

n

ii

n

=−

−

=∑

_ /2

1

1 2

1, onde x

_ é a média aritmética dada por x

nxi

i

n_=

=∑11

como existem dois graus de liberdade, o desvio s é dado por

sx x

n

ii

n

=−

−

=∑

_ 2

1

1/2

2 (6)

♦ As variâncias para os parâmetros 1y e 2y são dadas por

( )D

sys k∑=

22

12 θ ( )

Dsnys2

22 = (7)

A variância é o quadrado do desvio padrão, s2, que é a soma dos desvios quadráticosdas observações de sua média aritmética dividida pelo número de observações me-nos o número de graus de liberdade.

♦ a medida da incerteza total do ajuste

( )[ ]2

22

−

−= ∑

ntbb

s kk (9)

Exemplo: para o exemplo de calibração de um termômetro, anexo H do Guia paraexpressão da incerteza de medição, temos:

y1=-0.1712 ºC s(y1)=0,0029 ºCy2=0.00218 ºC s(y2)=0,00067 ºCs=0,0035 ºC

A curva de previsão da correção b(t) fica para o caso do exemplo

b t C t C( ) , ( ) º , ( ) ( º )= − + −0 1712 29 0 00218 67 20

Os números entre parênteses significam a correção dos últimos algarismos dos y, equanto mais próximos em ordem de grandeza significam a importância da dispersãodos resultados

Incerteza de um valor previsto

Depois de encontrado o valor previsto para a correção do termômetro a umadeterminada temperatura, calcula-se a incerteza dessa correção que resultará emum intervalo (± uc[b(t)]).

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21210222

0122 ,2 yyryuyuttyuttyutbuc −+−+=

Onde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22221

21 ysysyueysysyu ====

e r é o coeficiente de correlação

( )( )∑∑−=

221 ,k

k

nyyr

θ

θ(8)

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

ENG 03108 – Medições Térmicas Prof. Paulo S. Schneider

Calibração de um Termômetro

Nome: _________________________________________ Mat.: ___________

MediçãoAqueça o banho termostato até uma temperatura por volta de 40°C, aguarde

de cinco a dez minutos para que o banho se estabilize e depois mergulhe nele o ter-mômetro de mercúrio e o termômetro (ou sensor) a ser aferido. Conforme a tempe-ratura do banho for diminuindo, anote um determinado número n de temperaturas(n entre 10 e 15 e com intervalos iguais entre um valor e outro, por ex.: 0.5°C) de umtermômetro a ser calibrado kt e, juntamente, o mesmo número de temperaturas emum termômetro de referência Rkt . Em seguida, encontra-se [ ]kRkk ttb −= em cadatemperatura medida.

Para a execução deste método, e essencial que se construa uma tabelacomo a mostrada abaixo. Essa tabela com as respectivas equações associadas encon-tra-se numa planilha de Excel, sendo necessário entrar apenas com os valores de tk,tRk, t, t0 e n.n tk (°C) tRk(°C) bk θk θk

2 bk.θk [bk – b(tk)]2

1234567891011Para um dado t, expresse o que se pede abaixo:

Correção prevista (b(t)):________°C Incerteza [uc(b(t))]:______________ °C