CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA LINHA DE CARGAConsidere um anel carregado conforme ao lado. A carga dq contida em um elemento de comprimento infinitesimal ds é dada por:

sq

sq dsdq Como o sistema é infinitesimal, então pode-se escrever:

Essa carga diferencial pode ser tratada como uma carga pontual que gera um campo elétrico infinitesimal dE:

204 rdqdE

2

04 rds

O campo elétrico total é dado somando (integrando) a contribuição de todos os elementos infinitesimais. Por simetria, o campo deve apontar na direção z, pois contribuições na direção radial se cancelam em pares simetricamente opostos. Temos então:

anel

dEE cos anel r

zrds

204

Rds

rz

2

0304 3

04)2(

rRz

Finalmente, quando usamos e temos: Rq 2 22 Rzr

23

220 )(4 Rz

qzE

No caso em que z>>R o termo se aproxima de e a equação toma a forma:

22 Rz 2z

204 zqE

(anel carregado)

(anel carregado a grandes distâncias)

CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DISCO DE CARGAConsidere agora um disco carregado conforme a Fig. Neste caso podemos considerar um anel de raio (variável) r e espessura dr como um elemento infinitesimal do disco. Como acabamos de descobrir o campo gerado por um anel, é:

23

220 )(4 Rz

qzE

A carga dq contida em um elemento de área infinitesimal e dada por:

Aq

Aq dAdq Como o sistema é infinitesimal, então pode-se escrever:

Onde nesse caso , assim: drrdA )2(

R

rz

z

022

0

24

drrdq )2( Portanto, o campo total é dado por:

disco

dEE disco rz

zdq

23

220 )(4

disco rz

drrz

23

220 )(4

)2(

R

rz

rdrz

0 23

220 )(

24

Fazendo a substituição e 22 rzu drrdu 2

R

u

duz

0 23

04

R

u

z

021

0

24

220

224 Rzzz

Ou seja,

220

12 Rz

zE (disco carregado)

Note que quando R → ∞, temos que o campo de uma placa infinita é constante:

02

E (placa infinita carregada)