Cap 16 - Inequações Logarítmicas.docx

7/21/2019 Cap 16 - Inequações Logarítmicas.docx

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16 Algebra CASD Vestibulares

MatemáticaFrente II

CCAAPPÍÍTTUULLOO 1166 – – IINNEEQQUUAAÇÇÕÕEESS LLOOGGAARRÍÍTTMMIICCAASS

1- INTRODUÇÃO

Vimos no capítulo passado como resolver

inequações envolvendo expoentes. Neste capítulo,veremos como proceder em problemas deinequações envolvendo logaritmos. O raciocínio émuito parecido com o de inequações exponenciais, aúnica diferença é que devemos atentar a mais umdetalhe: a condição de existência do logaritmo.

2 – CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Este tópico visa a relembrar algo que jávimos no capítulo 14, mas que é uma propriedadeprimordial dos logaritmos de que sempre devemosnos lembrar quando o virmos em algumafunção/equação/inequação:

Para que exista , devem sersatisfeitas as três condições abaixo:

1. a > 0 (logaritmando positivo)2. b > 0 (base do logaritmo positiva)3. b ≠ 1 (base do logaritmo diferente de 1)

Exercício Reso lvid o 1

Determine para quais valores de x o número

está definido nos reaisResolução

Basta aplicar a condição de existência. Neste caso, ologaritmando é e a base do logaritmo é ,então:

Assim nosso conjunto solução é:

3 – INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Nossa meta aqui, de forma semelhante aocapítulo anterior, é resolver inequações do tipo:

Ou, analogamente:

De fato, o método de solução também é bemsemelhante. Relembrando as inequaçõesexponenciais, vimos que, dada uma inequaçãoexponencial da forma

:

{

Veja que, se a base for menor que 1, nostrocamos o lado da desigualdade

De forma semelhante, em uma inequação daforma , temos, além das condiçõesde existência, a seguinte regra:

{

Ou seja, de forma semelhante àsexponenciais, se a base for menor que 1, nostrocamos o lado da desigualdade

Vejamos em alguns exercícios resolvidoscomo utilizar isso para solucionar inequaçõeslogarítmicas:

Exercício Reso lvi do 2

Resolva a inequação

Resolução

A primeira coisa que devemos atentar é àCONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:

Para : Logaritmando positivo: A base é 5, que é maior que 0 e diferente de 1

Para : Logaritmando positivo:

A base é 5, que é maior que 0 e diferente de 1

Agora resolvemos a inequação:

Como a base é 5, que é maior que 1, comparamosos logaritmandos mantendo o lado da desigualdade:

Juntando então as condições de existência( e ) e a solução da inequação ( ,chegamos ao conjunto-solução:






Resolução: Da mesma forma que no exercício anterior,precisamos começar com a condição de existência:

Para : Logaritmando positivo: A base é ½, que é positiva e diferente de 1.

Para : Logaritmando positivo: A base é ½, que é positiva e diferente de 1.

Agora resolvemos a inequação:

Como a base (1/2) é menor que 1, temos quecomparar os logaritmandos trocando o lado dadesigualdade:

(observe que trocamos de “menor que” para “maiorque” ao comparar os logaritmandos)

Juntando as condições de existência ( e )com a solução da inequação ( ), temos:

4 - REDUÇÃO À MESMA BASE

Da mesma forma que vimos em inequaçõesexponenciais, algumas vezes as inequaçõeslogarítmicas não estarão na mesma base. Pararesolver esse problema, deveremos fazer uso daspropriedades de logaritmos que vimos no capítulo12. Veja nos exercícios abaixo como proceder:



Resolução:

Antes de qualquer coisa, atentemos à condição deexistência:

Para Logaritmando positivo: A base do logaritmo é 2, que é maior que 0 ediferente de 1

Para

:

Logaritmando positivo: A base do logaritmo é 2, que é maior que 0 ediferente de 1

Agora para a solução da inequação:

Veja que agora a inequação está um pouco“mascarada”, mas aqui podemos fazer algumascoisas:

Propriedade dos logaritmos: Podemos também reescrever o número 1 do ladodireito como:

Nossa inequação fica então assim:

Aqui resolvemos conforme vimos acima: A base (2),é maior que 1, então:

Chegamos numa inequação produto/quociente, queaprendemos a resolver no capítulo 8:

Analisando o sinal:

Como queremos soluções positivas, temos:




Juntando a solução da inequação com as condiçõesde existência ( e ), chegamos àsolução:

5 - RESUMO

Em resumo, quando virmos problemas deinequações logarítmicas, nós devemos seguir osseguintes passos:

Atentar à condição de existência dos logaritmosque aparecerem na inequação

Reduzir todos os termos e números à mesmabase

Se a base for maior que 1, comparar oslogaritmandos mantendo a desigualdade

Se a base for menor que 1, comparar oslogaritmandos trocando o lado da desigulaldade.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nìvel I

1. Resolva as inequações logarítmicas em . Senecessário, consulte os exercícios resolvidos 2,3 e 4:

a) b)

c) d)

2. (PUC-PR-2005) Os valores de x que satisfazem àinequação estão contidos nointervalo:

a) b) c) d) e)

3. (Mack-1999) O menor valor inteiro x tal que:

é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. (Unesp-1997) Assinale, entre as alternativas aseguir, um possível valor real de x tal que:

a) b) c) d) e)

5. (Mack-1996) Relativamente às afirmações aseguir, assinale:

√

a) Se somente III estiver corretab) Se somente I e III estiverem corretasc) Se somente II e III estiverem corretasd) Se somente I e II estiverem corretase) Se somente II estiver correta

6. As soluções reais da inequação a seguir são todosos números tais que:

()

a) b) c) d) e)

7. (FUVEST) Se ,então:

a) b) c) d)

e)

Nível II

8. O conjunto dos números reais x que satisfazem ainequação é ointervalo:

a) b) c) d) e)

9. (Vunesp) Seja .

Determine os valores reais de x para os quais:a) existeb)

10. (UNICAMP) Dada a função .

Encontre:

a) Os valores de x para os quais b) Os valores de x

para os quais

é um

número real menor que 1.




11.(FUVEST-1994) É dada a função f definida por:

a) Determine os valores de x para os quais b) Determine os valores de x para os quais

12. (Unicamp-1999) Suponha que o preço de umautomóvel tenha uma desvalorização de 19% ao anosobre o preço do ano anterior. Se F representa opreço inicial (preço de fábrica) e p(t) o preço após tanos, pede-se:

a) A expressão para p(t)b) O tempo mínimo necessário, em número inteiro deanos, após a saída da fábrica, para que umautomóvel venha a valer menos que 5% do valorinicial. Se necessário, use: e

13. (Unesp-1997) Sejam x e y números reais. Se x>0e x≠1 e

, então:

a) b) c) d) e)

14. (Unesp-1993) Resolva a inequação:

Nível III

15. (FUVEST-2011) Determine o conjunto de todosos números reais x para os quais vale adesigualdade:

| |

GABARITO

1.a)

b) c)

d)

2. b 3. b 4. d 5. c 6. a 7. a 8. b

9.a) b)

10.

a) b)

11.a) b)

12.a) b)

13. d

14.

15.




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