Tautologias,Contradies e Contingncias

CAPTULOProf. Jorge Oliveira

4

1 . TautologiasPrincpio de substituio para 2 . tautologias

3 . Contradies

4 . Contingncias

Tautologias, Contradies e Contigncias

Captulo 4

1. TAUTOLOGIA

Denominamos

TAUTOLOGIA

toda

proposio

que

resulta

VERDADEIRO (V) como resultado final da operao lgica.

As

tautologias

so

tambm

denominadas

proposies

tautolgicas ou proposies logicamente verdadeiras.

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Captulo 4

Exemplos: (1) A proposio ~(p ^ ~p) (princpio da no contradio) tautolgica.

~V V

(pV F

^F F

~p)F V

Em outros termos, dizer que uma proposio no pode ser simultaneamente verdadeira e falsa sempre verdadeiro.

Tautologias, Contradies e Contigncias Exemplos:

Captulo 4

(2) A proposio p v ~p (princpio do terceiro excludo) tautolgica.

pV F

v V V

~pF V

Em outros termos, dizer que uma proposio ou verdadeira ou

falsa sempre verdadeiro.

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Captulo 4

Exemplos: (3) A proposio p v ~(p ^ q) tautolgica.

pV V F F

vV V V V

~F V V V

(pV V F F

^V F F F

q)V F V F

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Captulo 4

Exemplos: (4) A proposio p ^ q (p q) tautolgica.

pV V F F

^V F F F

qV F V F

V V V V

(pV V F F

V F F V

q)V F V F

CONJUNO (^): (): Verdadeiro se CONDICIONAL (): Falso se se VV iguais BICONDICIONAL Verdadeiro VF

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Captulo 4

Exemplos: (5) A proposio p v (q ^ ~q) p tautolgica.

p V V F F

v V V F F

(q V F V F

^ F F F F

~q) F V F V V V V V

p V V F F

CONJUNO (^): (): se FF se VV BICONDICIONALFalso Verdadeiro se iguais DISJUNO (v): Verdadeiro

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Captulo 4

Exemplos:(6) A proposio p ^ r ~q v r tautolgica.

p V V V V F F F F

^ V F V F F F F F

r V F V F V F V F

V V V V V V V V

~q F F V V F F V V

v V F V V V F V V

r V F V F V F V F

DISJUNO (v): Falso se se VF CONDICIONAL (): FalsoFF se VV CONJUNO (^): Verdadeiro

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Captulo 4

Exemplos:(7) A proposio ((p q) r) (p (q r)) tautolgica.

((p V V V V F F F F

V V F F V V V V

q) V V F F V V F F

V F V V V F V F

r) V F V F V F V F

V V V V V V V V

(p V V V V F F F F

V F V V V V V V

(q V V F F V V F F

V F V V V F V V

r)) V F V F V F V F

CONDICIONAL (): Falso se VF

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Captulo 4

2. PRINCPIO DE SUBSTITUIO PARA AS TAUTOLOGIASSeja P(p, q, r, ...) uma tautologia e sejam P0(p, q, r, ...), Q0(p, q, r, ...), R0(p, q, r, ...), ... proposies quaisquer. Se P(p, q, r, ...) uma tautologia, ento P0(P0, Q0, R0, ...), tambm uma tautologia, quaisquer que sejam as proposies P0, Q0, R0, ...

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Captulo 4

3. CONTRADIOChama-se contradio a proposio composta cujo valor lgico sempre a falsidade, isto , contm somente F como resposta final.

Como a contradio sempre falsa, a negao de umacontradio uma tautologia.

As

contradies

so

tambm

denominadas

proposies

contravlidas ou proposies logicamente falsas.

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Captulo 4

3. CONTRADIOExemplo:(1) A proposio p ^ ~p uma contradio.

pV F

^ F F

~pF V

Portanto, dizer que uma proposio pode ser simultaneamente verdadeira e falsa sempre falso.

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3. CONTRADIOExemplo:(2) A proposio p ~p uma contradio.

p V F

F F

~p F V

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3. CONTRADIOExemplo:(3) A proposio (p ^ q) ^ ~(p v q) uma contradio.

(p

^ V F F F

q)

^ F F F F

~ F F F V

(p

v V V V F

q)

V V F F

V F V F

V V F F

V F V F

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3. CONTRADIOExemplo:(4) A proposio ~p ^ (p ^ ~q) uma contradio.

~p

^ F F F F

(p

^ F V F F

~q)

F F V V

V V F F

F V F V

CONJUNO (^): Verdadeiro se VV

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Captulo 4

4. CONTINGNCIAChama-se contingncia toda proposio composta cujo valor lgico consta de ao menos um F ou um V como resposta final.

Portanto, contingncia toda proposio composta que no nem tautologia, nem contradio.

As

contingncias

so

tambm

denominadas

proposies

contingentes ou proposies indeterminadas.

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4. CONTINGNCIAExemplo:

(1) A proposio p ~p uma contingncia.

p V F

F V

~p F V

CONDICIONAL (): Falso somente se VF

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4. CONTINGNCIAExemplo: (2) A proposio p v q p uma contingncia.

pV V F F

vV V V F

qV F V F

V V F V

pV V F F

CONDICIONAL (): Falso somente se DISJUNO (v): Falso somente se FF VF

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4. CONTINGNCIAExemplo:

(3) A proposio x = 3 ^ (x y x 3) uma contingncia:Faamos x = 3 = p; ento, x 3 = ~p e x y = ~q Reescrevendo: p ^ (q ~p)

p V V F F

^ V F F F

(~q ~p) F V F V

V F V V

F F V V

CONJUNO (^): Verdadeiro somente se VV CONDICIONAL (): Falso somente se VF

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Exerccios