Cap08 - Circuitos Simplificados RC e RL

7/23/2019 Cap08 - Circuitos Simplificados RC e RL

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DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 Circuitos Eltricos I

Captulo 8

Circuitos Simplificados RCe RL


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8.1 Circuitos RCsem Fontes

Associao em srie de um resistor e um capacitor:

Capacitor carregado com tenso V0 em t= 0.

Energia em t= 0:

Aplicando Lei de Kirchhoff de correntes quando t 0, temos:

v(t)

i(t)

+

RC

( ) 202

10 CVw =

0=+

R

v

dt

dvC 0

1=+ v

RCdt

dv


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Soluo da equao diferencial de 1 ordem:

01

=+ vRCdt

dv

dtRCv

dv 1=

= dtRCv

dv 1

KRC

tv +=ln

( ) KVv == 0ln0ln

Para que a soluo seja vlida para t 0, a constante Kdeve ser escolhida talque a condio inicial de v(0) = V0 seja satisfeita, Portanto, em t = 0, temos:


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Substituindo o valor de Kna soluo, temos:

0lnln VRC

tK

RC

tv +=+=

RC

tVv = 0lnln

RC

t

V

v=

0

ln

( )

=RC

tVtv exp0

Esta a tenso sobre R, portanto, a corrente :

( ) ( )

==RC

t

R

V

R

tvti exp0


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V0

v(t)

t

Observe que a tenso inicialmente V0 e que decai exponencialmente,

tendendo a 0, para tcrescente.

Velocidade de decaimento da tenso determinada pelo produto RC.

Como a resposta caracterizada pelos elementos do circuito e no pela

atuao de uma fonte externa de tenso e corrente, a resposta denominada

de resposta natural do circuito.


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Potncia instantnea absorvida pelo resistor R:

Energia absorvida pelo resistor para t :

( ) ( )

[ ]W2

exp20

2

==RC

t

R

V

R

tvtpR

( ) ( )

20

0

20

0

20

0

21

2exp21

2exp

CV

RCtCV

dtRC

t

R

V

dttpwRR

=

=

=

=

energia armazenada no circuito


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Se o tempo inicial t0, isto , v(t0) = V0, ento

8.2 Constante de Tempo

Caracterizao da velocidade de decaimento de um circuito com elementos

armazenadores.

( ) 00

0 paraexp ttRC

ttVtv

=

v(t)

i(t)

+

RC

=RC

tVv exp0


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Grfico v(t) t:

Corrente no circuito decresce como a tenso:

O tempo necessrio para que a resposta natural decaia de um fator de 1/e

definido como a constante de tempo do circuito.

( )

= RC

t

R

Vti exp0

V0

v(t)

t/k

RC = k

RC = 2kRC = 3k

0,368V0

1 2 3

=

nk

tVv exp0


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( ) ( )

+=

=

=

+

RC

RCtV

RC

tV

RC

t

RC

tV

e

Vexp1expexpexp 000

0

Constante de tempo: = RC

Unidade de : (F) = (V/A)(C/V) =( C/A) = s

Tenso:

A resposta ao final de 1 constante de tempo reduzida para e1 = 0,368 do

valor inicial. Ao final de 2 constantes de tempo, ela igual a e2 = 0,135 do seu

valor inicial e depois de 5 constantes, ela igual a e5

= 0,0067.

( )

= t

Vtv exp0

( ) ( ) +

= +

RCRCtV

RCtV expexp 00


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Propriedade das funes exponenciais:

Tangente curva em t= 0 intercepta o eixo de tem t= .

V0

v(t)

t

v

v1

0,368V0

01 Vmtv +=

=

=

tVtV

dt

d

dt

dvexpexp 00

==

=

0

0

V

dt

dvm

t0

01 Vt

Vv +

=

A reta intercepta o eixo do tempo em v1 = 0, o que requer que t= .


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A constante de tempo o tempo necessrio para que a resposta natural setorne zero se ela decresce com uma velocidade constante igual razo inicial

de decrscimo.

A constante de tempo permite predizer a forma geral da resposta:

mas para a soluo completa deve-se encontrar a tenso inicial v(0+) = V0.

Para um capacitor: v(0) = v(0+) = V0.

( )

= t

Vtv exp0


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Req

Exemplo: Tenso no capacitor v(t). Circuito em regime permanente ccimediatamente antes da abertura da chave.

4

v(t)+

2

8 15

3 v1(t)+

1 F 100 V

t= 0

Em t= 0, chave fechada capacitor um circuito aberto.t= 0-4

v(0-)+

2

8 15

3 v1(t)+

100 V


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( )( )

[ ]10423

4238 =

++

++=eqR

( ) [ ]V40100151010

0 =+=

v

Portanto, v(0-) = v(0+) = V0 = 40 [V].

Para t> 0, temos:

v(t)

+

Req= 10 1 F

Constante de tempo: [ ]s10== CReq

( ) [ ]V10

exp40exp0 =

= ttVtv

( ) ( ) [ ]V10

exp8

82

21

=

+

= t

tvtv


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8.3 Circuitos RL sem Fontes

Associao em srie de um resistor e um indutor:

Indutor est conduzindo uma corrente I0 em t= 0.

Energia em t= 0:

Aplicando Lei de Kirchhoff de tenses quando t 0, temos:

v(t)

i(t)

+

RL

( ) 202

10 ILw =

0=+Ri

dt

diL 0=+ i

L

R

dt

di


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Soluo 1: Soluo da equao diferencial de 1 ordem por separao devariveis:

dtL

R

i

di=

= dtL

R

i

di

KtL

Ri +=ln

( ) KIi == 0ln0ln

Para que a soluo seja vlida para t 0, a constante Kdeve ser escolhida talque a condio inicial de i(0) = I0 seja satisfeita, Portanto, em t = 0, temos:

0=+ iL

R

dt

di


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Substituindo o valor de Kna soluo, temos:

0lnln ItL

RKt

L

Ri +=+=

tL

RIi = 0lnln

tL

R

I

i=

0

ln

( )

= tL

RIti exp0

Esta a corrente sobre R, portanto, a tenso :

( ) ( )

== tL

RRItRitv exp0


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Soluo 2: Assumir uma forma geral de soluo baseada na inspeo daequao a ser resolvida:

0=+ iL

R

dt

di

Vamos incluir vrias constantes desconhecidas e determinar seus valores tal

que a soluo assumida satisfaa a equao diferencial e as condies iniciais

do circuito.

A corrente ino muda a sua forma sendo derivada, isto , di/dt um mltiplo de

i, assim, a nica funo que satisfaz esta condio uma exponencial em t:

( ) ( )stAti exp=

( )[ ] ( )[ ] 0expexp =+ stAL

RstA

dt

d


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Assim, a soluo s vlida se ou se

1 caso: faz i(t) = 0 para todo t, entretanto, i(0) = I0.

2 caso: , logo

Fazendo i(0) = I0, pode-se obter A:

A soluo ento fica:

( ) ( )stAti exp= ( ) 0exp =stA 0=+LRs

( ) 0exp =

+ stAL

Rs

L

R

s =

( )

= tL

RAti exp

( ) AIi == 00

( )

= tL

RIti exp0


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A constante de tempo ento:

Aumentando L aumenta-se , entretanto aumentando Rdiminui-se .

[ ] ( ) ( )[ ] [ ]sV/A/s/AVH/ ===R

L

I0

i(t)

t

0,368I0


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( ) ( )

== tL

RRItRitp

2exp20

2

Energia absorvida pelo resistor para t :

( ) ( )

20

0

20

020

0

2

1

2exp

21

2exp

LI

tL

RLI

dtt

L

RRI

dttpw

=

=

=

=

energia armazenada no circuito

Potncia instantnea entregue ao resistor:


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Clculo da tenso v no indutor, aplicando-se a lei de Kirchhoff de correntes,obtemos:

Derivando em t:

Pode ser resolvida usando um dos mtodos anteriores.

( ) 001

0 =++ ivdt

LR

v t

011

=+ vLdt

dv

R

0=+ vL

R

dt

dv

v(t)

i(t)

+

RL


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Exemplo: Corrente i(t) e tenso v(t) no circuito RL. Circuito em regimepermanente cc imediatamente antes da abertura da chave.

i(t)75

50

v(t)+

100 V

t= 0

10 H150

Em t= 0, chave fechada indutor um curto-circuito.

( ) [ ]A2501000 ==i [ ]A200 == + ii

i(0-)

75 50

v(0)+

100 V

t= 0

150


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Para t> 0, temos:

Constante de tempo:

Como I0 = i(0+) = 2 A, temos

A tenso v(t) dada por:

[ ]s1,0100

10===

eqR

L

( ) ( )[ ]A10exp2 tti =

( )

( )

( )[ ]V10exp100

5010

t

idt

tdi

tv

=

+=

[ ]=+

+= 100

15075

1507550eqR

i(t)

50

v(t)+

10 H

50


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Exemplo: Circuito com fonte de tenso dependente.i(t)

R

ki(t)+

L

0=++ kiRidt

diL 0=

++ i

L

kR

dt

di

Resolvendo, obtemos:

Constante de tempo:

( )

+= t

LkRIti exp0

kR

L

+=

A fonte dependente se comporta como um resistor de k.


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8.4 Resposta a uma Funo Excitao Constante

Circuitos que alm de uma energia inicial armazenada, so excitados por fontes

independentes e constantes de tenso ou de corrente (funes de excitao).

Resposta deste circuitos consistem em duas partes, onde uma delas sempre

uma constante.

v

iR

+

R CI0

ic

t= 0

Capacitor: v(0) = V0


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0IR

v

dt

dvC =+

v

iR

+

R CI0

ic

t= 0+Para t > 0, a chave fechada:

Capacitor: v(0+) = v(0) = V0

E a equao nodal no n superior fica:

C

Iv

RCdt

dv 01=+


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Resolvendo pelo mtodo de separao de variveis:

C

IvRCdt

dv0

1=+

RC

RIv

dt

dv 0=

0RIv

dt

=dt

RCdv

RIv11

0

( ) KRC

tRIv += 0ln

+= K

RC

tRIv exp0

0exp RIRC

t

Av +

= ( )KA exp=

Determinada pelascondies iniciais do

circuito

dtRC

dvRIv

11

0

=


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A soluo geral

possui duas partes:

uma funo exponencial idntica a da resposta natural de

circuitos RCsem fontes (resposta natural vn).

uma funo constante, dada por RI0, devida integralmente funo de excitao (resposta forada vf).

Com o passar do tempo a resposta natural desaparece e a soluo fica

simplesmente RI0.

resposta natural vn resposta homognea vh

resposta forada vf

resposta particular vp

0exp RIRC

tAv +

=


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Constante A:

Valor de A deve ser escolhido de forma a satisfazer a condio de tenso inicial.

Em t= 0+:

Portanto, em t= 0+, requer que

substituindo na soluo temos

000 Vvv == +

0exp RIRC

tAv +

=

00 RIAV += 00 RIVA =

( ) 000 exp RIRC

tRIVv +

=


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Corrente no capacitor para t > 0:

==

RC

t

R

RIV

dt

dvCic exp

00

Corrente no resistor para t > 0:

+==

RC

t

R

RIVIiIi cR exp

0000

Tenso no resistor muda abruptamente de RI0 em t = 0 para V0 em t= 0+.

Tenso no capacitor contnua.

Resposta transitria: poro da resposta completa que tende azero com o aumento do tempo.

Resposta em regime permanente: poro da resposta completa que permanece

aps a resposta transitria ter se anulado.

v

iR

+

R CI0

ic

t= 0+


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No exemplo: resposta transitria = resposta natural

resposta em regime permanente = resposta forada

Valores cc que constituem a condio e o estado permanente cc: v= RI0, ic= 0

e iR= I0

No se deve concluir, entretanto, que as respostas natural e forada sero

sempre iguais as resposta transitria e em regime permanente,

respectivamente.

v

iR

+

R CI0

ic


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8.5 Caso Geral

Expresso geral:

y= varivel e Pe Q= constantes

Soluo pelo mtodo do fator de integrao, que consiste em multiplicar a

equao por um fator que torna seu lado esquerdo uma derivada perfeita e

ento integrar ambos os lados.

Derivada de um produto:

fazendo

QPydt

dy=+

( )

Pt

PtPtPt

ePydt

dy

Pyeedt

dyye

dt

d

+=

+=

QPydt

dy=+ Pte

PtPtQeePy

dt

dy=

+ ( ) PtPt Qeye

dt

d=


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( ) = dtQedtyedtd

PtPt

AdtQeye PtPt +=

PtPtPtAedtQeey +=

No caso de cc onde Q uma constante, temos:

ondeP

QAey Pt

+=

Ptn Aey =

P

Qyf =

fn yyy +=

Note que 1/P a constante

de tempo da resposta natural


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Exemplo: Calcular i2 para t> 0, dado que i2(0) = 1 A:

1 H4 10 V

4 8

+ i1 i2

01124

2

21 =++

dt

diii

1048 21 = ii

510 22

=+ idt

di

QPydtdy =+

P= 10, Q= 5, logo para i2(0) = 1, temos

portanto, A = 1/2. Assim, a soluo dada por:

2

1102 +=

tAei2

11 010 += Ae

2

1

2

1 102 +=

t

ei

P

QAey Pt

+=


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Tambm pode-se obter para o caso de Q= constante,atravs da observao de

A resposta natural satisfaz

que resulta em

Resposta forada:

que substituindo em resulta em ou

fnPt yyP

QAey +=+=

PtPtPt AedtQeey +=

QPydt

dy=+

0=+Pydt

dy stn Aey =

0=+Ps Ps =

Pt

n

Aey

=

Kyf =

QPydt

dy=+ QPK=+0

P

QKyf ==


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8.6 Procedimento Simplificado

Obteno dos valores de correntes e tenses de circuitos, sem fontes

dependentes, pela formulao da soluo atravs de inspeo do circuito.

Exemplo: i2(0) = 1 [A]

sabemos que: i2 = i2n+ i2f

i2n= resposta natural = mesma forma que a resposta sem fontes.

i2f= resposta forada = constante.

1 H4 10 V

4 8

+

i1 i2


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Resposta natural: i2n

Pode-se ver a rede sem funo excitao (fonte de 10 V curto-circuitada):

Resposta forada: i2f

Olhando o circuito quando i2n= 0, nesta hora o indutor um curto, onde

Portanto,

( )tAi n 10exp2 =

2

12 =fi

4

4 8

i2f10 V+

( )2110exp222 +=+= tAiii fn

1 H4

4 8

i2n 1 H10 i2n


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A constante A determinada a partir da condio inicial i2

(0) = 1:

portanto, A = 1/2. Assim, a soluo dada por:

Obs.: O clculo de A deve ser feito sempre aplicando a condio inicial

resposta completa.

2

11 010 += Ae

( )2

110exp

2

12 += ti


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Exemplo: Clculo de ipara t> 0, dado que v(0) = 24 V

inpossui a mesma forma de vn, a resposta natural da tenso sobre o capacitor.

A resposta natural de cada corrente ou tenso no circuito tem a mesma forma

de vn, uma vez que nenhuma operao (adio, subtrao, diferenciao ou

integrao) altera a natureza da exponencial exp(-t/).

Constante de tempo no capacitor: = 0,2 s, portanto

v

i

+

4 0,02 F1 A

6

i = in + if

( )tAin 5exp=


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Regime permanente capacitor = circuito aberto

resposta forada, por inspeo:

Portanto,

Para avaliar o valor de A, precisamos encontrar i(0).

Para t = 0+, temos v(0) = v(0+) = 24 V

Somando as tenses ao redor da malha direita, temos:

[ ]A1=fi

( ) ( ) 15exp += tAti

( ) ( )[ ] 02401604 =++ ++ ii

30 =

+

i


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Substituindo esta corrente inicial na soluo , temos:

Portanto, A = 2 e

13 +=A

( ) [ ]A5exp21 ti +=

( ) ( ) 15exp += tAti


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Exemplo: Determinar ie v.

v+

20

0,02 F 6 A

10

t= 030

15

1 H

i

v

+

20 6 A

10

30

15 i

Circuito em regime permanente cc em t= 0

com a chave aberta.

Indutor = curto iindutor = i15 = i Capacitor = aberto v= v20


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=+

+= 20

3015

301510eqR

Por diviso de corrente,

v

+

20 6 A

10

30

15 i

i20

i10

[ ]A32020

20

610 =+=i [ ]A23015

30

3 =+=i

Portanto, i= 2 A e i20 = 3 A

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Ento, i(0) = 2 A e v= 20 3 = 60 V

Quando a chave fechada em t= 0, temos:

v+

20 0,02 F 6 A

10

t= 030

15

1 H

i

Rede RL sem fontes:i(0+) = i(0-) = 2 A.

( ) [ ]A15exp2 ti =

Rede RCexcitada com:v(0+) = v(0) = 60 V

( ) [ ]Vexp2040 tv +=

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8.7 Funo Degrau Unitrio

Funes singulares: funes de excitao que mudam seus valores

abruptamente.

Funo degrau unitrio:

( )

>


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Exemplo: Trem de pulsos retangulares

0

V

v2(t)

tt0 T T + t0 2T 3T2T + t0 3T + t0

( ) ( ) ( )[ ]

=

=

002

n

tnTtunTtuVtv


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52/69

Exemplo: Resposta vao degrau no circuito RC.

v+

Cvg= u(t)

R

+

Aplicando Lei de Kirchhoff de correntes:

0=

+R

vv

dt

dvC

g

( )0=

+

RC

tuv

dt

dv

( )tuRCRC

v

dt

dv 1=+



53/69

Para t< 0, temos u(t) = 0, logo

Aplicando a condio inicial v(0) = 0, obtemos A = 0 e portanto

0=+RC

v

dt

dv

=RC

tAv exp

( ) 0=tv

Para t> 0, temos u(t) = 1, logo

RCRC

v

dt

dv 1=+

fn vvv +=

=RC

tAvn exp 1=fv

1exp +

=

RC

tAv

( )tuRCRC

v

dt

dv 1=+



54/69

Aplicando a condio inicial v(0+

) = v(0

) = 0, obtemos A =

1 e portantopara t> 0, temos:

Para todo t, temos:

( )

=RC

ttv exp1

( )

>

0, ento u(t) = 1 e funo rampa( ) ( )ttutvRCV

=2

v2

tV

RC



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Exemplo: Clculo da tenso v(t), dado que i(0) = 0 e que a funo de

excitao ( ) ( ) ( )[ ] [ ]A110 = tututig

v(t)

i

+

3 ig(t)

5 H

2

0 t

10

ig(t)

1

No instante t= 1 s, ig(t) torna-se zero e a resposta simplesmente a resposta

sem fontes.



58/69

Resposta ao degrau da forma: fn vvv +=

Soluo do problema envolve o clculo da resposta do circuito ao degrau

para t < 1 [s] para, em seguida, calcular a resposta sem fontes para t> 1 [s].

( )tAtAtL

RAv

eqn =

=

= exp

5

5expexp

1232

1032 =

+

=fv (por diviso de corrente e lei de Ohm)

( ) 12exp += tAv

Como i(0+) = i(0) = 0, ento v(0+) = v(0) = 0 A = 12

( )[ ]


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Para t> 1, temos:

( )tBv = exp

Em t= 1, temos:

como a corrente no indutor contnua, v(1) = v(1+).

Soluo para t> 1:

( )[ ]1exp1121 =v

( ) ( )[ ]tBv ==+ exp1121exp1

( )[ ]( )

( )[ ] ( )1exp1exp1121exp

1exp112=

=B

( )[ ] ( )[ ] 11exp1exp112 >= ttv

Soluo para todo t:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )11exp1exp1121exp112 += tuttututv



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0 t

10

ig(t)

1

0 t

7,89

v(t)

1 2 3

( )[ ]texp112

( )[ ] ( )[ ]1exp1exp112 t

12



61/69

8.9 Aplicao da Superposio

Aplicao da superposio para a obteno de solues de circuitos RCe RL.

Exemplo:

v(t)

i

+

3 ig(t)

5 H

2

( ) ( )11010 = tutuig 21 iiig +=

( )

( )110

10

2

1

=

=

tui

tui


i


62/69

v(t)

i

+

3 i1

5 H

2 i2

Pelo princpio de superposio, temos como sada:

Resposta devida ao degrau de corrente i1:

Resposta devida ao degrau de corrente i2: i2 o negativo de i1 atrasado de 1 s,

isto ,

Soluo geral:

21 vvv +=

( )[ ] ( )tutv = exp1121

( )[ ][ ] ( )11exp1122 = tutv

( )[ ] ( ) ( )[ ][ ] ( )11exp112exp112 = tuttutv



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Exemplo: Circuito com duas fontes independentes, tenso inicial sobre o

capacitor v(0) = V0.

Aplicando Lei de Kirchhoff de tenses na malha esquerda:

V1

i

I1

R1

R2+

C

+ v

( ) 12100211

IRVVidtC

iRR t

=+++ (K)

( )( ) ( ) ( )12100

211

KIRKVKVdtKiC

KiRRt

=+++ Note que a resposta de corrente torna-se Kiquando as fontes e a tenso inicial

do capacitor so multiplicadas por K(propriedade da proporcionalidade)



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Empregando o princpio da sobreposio para a determinao de v:

Tenso sobre o capacitor devido somente a fonte de tenso:

V1

R1

R2+

C

+ v1

Tenso inicial sobre o capacitor = 0, ento

( )

+=

CRR

t

Vv 2111 exp1


T b i d id f d


65/69

Tenso sobre o capacitor devido somente a fonte de corrente:

I1

R1

R2

C

+ v2

Tenso inicial sobre o capacitor = 0, ento

( )

+=

CRR

tIRv

21

122 exp1


T b it d f t


66/69

Tenso sobre o capacitor sem a presena das fontes:

Tenso inicial sobre o capacitor v3(0) = V0, ento

( )

+=

CRR

tVv

2103 exp

R1

R2

C

+ v3



67/69

Resposta completa: 321 vvvv ++=

( ) ( ) ( )

++

+

+=

CRR

tV

CRR

tIR

CRR

tVv

210

2112

211 expexp1exp1

( )( )

+=

CRR

tVIRVIRVv

210121121 exp


O t l


68/69

Outra soluo:

Por inspeo verifica-se que a soluo consiste de uma resposta forada vfe

uma resposta natural vn :

Superposio para encontrar vf: 21 fff vvv +=

V1

R1

R2+

C

+ v1

I1

R1

R2

C

+ v2

11 Vvf = 122 IRvf =

121 IRVvf =



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Resposta natural vn :

R1

R2

C

+ v3

( )

+

=

CRR

tAv

n 21

exp

( )

++=

CRR

tAIRVv

21121 exp

Como v(0) = V0, temos

Ento,

01121210 VVIRAAIRVV +=+=

( ) ( )

+++=

CRR

t

VVIRIRVv 210112121 exp

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Cap08 - Circuitos Simplificados RC e RL