Aula 04 - RL

Aula 04

Raciocínio Lógico p/ STJ - Todas as Áreas

Professor: Marcos Piñon

Raciocínio Lógico p/ STJ

Teoria e exercícios comentados

Prof Marcos Piñon – Aula 04

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AULA 04: Princípios de Contagem

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SUMÁRIO PÁGINA 1. Resolução das questões da Aula 03 1 2. Princípios de Contagem 44 2.1. Princípio Aditivo 44 2.2. Princípio Multiplicativo 44 2.3. Permutação 50 2.4. Arranjo 55 2.5. Combinação 60 2.6. Princípio da Casa dos Pombos 64 3. Exercícios comentados nesta aula 75 4. Exercícios propostos 78 5. Gabarito 84 1 - Resolução das questões da Aula 03 183 - (MPE/AM - 2007 / CESPE) Considerando-se como premissas as proposições “Nenhum pirata é bondoso” e “Existem pi ratas que são velhos”, se a conclusão for “Existem velhos que não são bond osos”, então essas três proposições constituem um raciocínio válido. Solução: Construindo os diagramas: P1: Nenhum pirata é bondoso

Piratas bondosos





P2: Existem piratas que são velhos Unindo os diagramas: C: Existem velhos que não são bondosos Vejam que não podemos garantir que o conjunto dos velhos e o conjunto dos bondosos possuem algum elemento em comum. Mas podemos garantir, com certeza, que os velhos da área azul com certeza não são bondosos. Portanto, o raciocínio é válido. Item correto . 184 - (MPE/AM - 2007 / CESPE) Considere como premissas as proposições “Todos os hobits são baixinhos” e “Todos os habitan tes da Colina são hobits”, e, como conclusão, a proposição “Todos os baixinhos são habitantes da Colina”. Nesse caso, essas três propo sições constituem um raciocínio válido. Solução: P1: Todos os hobits são baixinhos P2: Todos os habitantes da Colina são hobits

Piratas velhos

Piratas velhos bondosos

baixinhos hobits





Unindo os diagramas: C: Todos os baixinhos são habitantes da Colina Podemos ver no diagrama acima que uma conclusão válida seria que “todos os habitantes da Colina são baixinhos”, mas o contrário não está correto. Portanto, o raciocínio não é válido. Item errado . 185 - (EMBASA - 2009 / CESPE) Considerando que as proposições “As pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensa boar são ambientalmente educadas” e “Existem crianças ambien talmente educadas” sejam V, então a proposição “Existem crianças que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar” também será V. Solução: Vamos começar organizando o argumento: P1: “As pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar são ambientalmente educadas” P2: “Existem crianças ambientalmente educadas” C: “Existem crianças que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar” Na primeira premissa nós devemos entender que todas as pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar são ambientalmente educadas. Assim, temos:

Habitantes da Colina

hobits

baixinhos hobits

Habitantes da Colina





P1: “As pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar são ambientalmente educadas” P2: “Existem crianças ambientalmente educadas” Unindo os diagramas, C: “Existem crianças que, no banho, fecham a tornei ra ao se ensaboar” Vejam, mais uma vez, que não podemos garantir que o conjunto das crianças e o conjunto das pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar possuem algum elemento em comum. Portanto, o raciocínio não é válido. Item errado . 186 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Considere as proposições a seguir. A: Todo marciano é péssimo jogador de futebol. B: Pelé é marciano. Nessa hipótese, a proposição Pelé é péssimo jogador de futebol é F. Solução: Vamos lá: A: Todo marciano é péssimo jogador de futebol.

Pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar

Pessoas ambientalmente educadas

Crianças Pessoas ambientalmente educadas

Crianças Pessoas ambientalmente educadas

Pessoas que, no banho, fecham a torneira ao se ensaboar





B: Pelé é marciano. Unindo os diagramas, Agora, vamos analisar a conclusão: Pelé é péssimo jogador de futebol Podemos perceber pelo diagrama que a conclusão é verdadeira. Item errado . (Texto para as questões de 187 a 189) Considere as seguintes proposições: I Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o dir eito de herança. II Joaquina não tem garantido o direito de herança. III Todos aqueles que têm direito de herança são ci dadãos de muita sorte. Supondo que todas essas proposições sejam verdadeir as, é correto concluir logicamente que 187 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Joaquina não é cidadã brasileira. Solução: Vamos recorrer aos diagramas:

Marcianos

Péssimos jogadores de futebol

Marcianos

Pelé

Marcianos

Péssimos jogadores de futebol

Pelé





I Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o dir eito de herança. II Joaquina não tem garantido o direito de herança. III Todos aqueles que têm direito de herança são ci dadãos de muita sorte. Agora, vamos unir os diagramas: Por fim, vamos à conclusão sugerida: Joaquina não é cidadã brasileira. Podemos ver no diagrama que realmente Joaquina não é cidadã brasileira, haja vista que ela não tem direito de herança e todos os brasileiros têm direito de herança. Item correto .

Brasileiros

Pessoas com direito de herança

Joaquina


Cidadãos de muita sorte




Brasileiros Joaquina





188 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros. Solução: Vamos utilizar o diagrama que fizemos na questão anterior: Agora, vamos analisar a conclusão sugerida: Todos os que têm direito de herança são cidadãos br asileiros. Podemos ver no diagrama que essa conclusão não é verdadeira, pois todos os brasileiros têm direito de herança, mas pode existir uma pessoa que tenha direito de herança e não seja brasileira (área verde do diagrama). Item errado . 189 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte. Solução: Mais uma vez, vamos utilizar o diagrama que fizemos anteriormente: Agora, vamos analisar a conclusão sugerida: Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte Essa conclusão é uma proposição condicional (p → q), que nós já vimos diversas vezes que só será falsa se o “p” for verdadeiro e o “q” for falso. Passando para a linguagem simbólica, temos:











Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte p: Joaquina não é cidadã brasileira q: Joaquina não é de muita sorte p → q: Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte Podemos perceber que o “p” com certeza é verdadeiro, conforme vimos anteriormente. Assim, para que a conclusão seja verdadeira, é necessário que o “q” também seja verdadeiro. Percebam que no diagrama eu posicionei Joaquina no limite entre ter ou não ter muita sorte, pois as premissas não foram suficientes para que nós concluíssemos que ela tinha ou não tinha muita sorte. Assim, o “q” pode assumir os dois valores lógicos (V ou F), fazendo com que a conclusão não seja necessariamente verdadeira. Item errado . (Texto para as questões de 190 a 193) Uma dedução é uma sequência de proposições em que algumas são premissas e as demai s são conclusões. Uma dedução é denominada válida quando tanto as pre missas quanto as conclusões são verdadeiras. Suponha que as seguinte s premissas sejam verdadeiras. I Se os processos estavam sobre a bandeja, então o juiz os analisou. II O juiz estava lendo os processos em seu escritór io ou ele estava lendo os processos na sala de audiências. III Se o juiz estava lendo os processos em seu escr itório, então os processos estavam sobre a mesa. IV O juiz não analisou os processos. V Se o juiz estava lendo os processos na sala de au diências, então os processos estavam sobre a bandeja. A partir do texto e das informações e premissas aci ma, é correto afirmar que a proposição 190 - (TRT- 2009 / CESPE) “Se o juiz não estava lendo os processos em seu escritório, então ele estava lendo os processos na sala de audiências” é uma conclusão verdadeira. Solução: Nessa questão, vamos começar passando as premissas e a conclusão para a linguagem simbólica: I: Se os processos estavam sobre a bandeja, então o juiz os analisou.

p q





II: O juiz estava lendo os processos em seu escritório ou ele estava lendo os processos na sala de audiências. III: Se o juiz estava lendo os processos em seu escritório, então os processos estavam sobre a mesa. IV: O juiz não analisou os processos. V: Se o juiz estava lendo os processos na sala de audiências, então os processos estavam sobre a bandeja. Conclusão: Se o juiz não estava lendo os processos em seu escritório, então ele estava lendo os processos na sala de audiências Batizando as proposições: A: Os processos estavam sobre a bandeja B: O juiz analisou os processos C: O juiz estava lendo os processos em seu escritório D: O juiz estava lendo os processos na sala de audiências E: Os processos estavam sobre a mesa. Assim, I: A → B II: C v D III: C → E IV: ~B V: D → A Conclusão: ~C → D Portanto, podemos escrever o argumento da seguinte forma: [(A → B) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (~B) ∧ (D → A)] → (~C → D) Como temos diversas proposições simples formando esse argumento, o método da tabela-verdade não é indicado nesse caso. Podemos observar que uma das premissas (IV) é formada por uma proposição simples. Assim, sabendo que todas as premissas devem ser verdadeiras, essa premissa também deve ser verdadeira: ~B deve ser verdadeira, logo B deve ser falsa. Reescrevendo o conjunto de premissas: (A → B) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (~B) ∧ (D → A) (A → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (~F) ∧ (D → A) (A → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (V) ∧ (D → A) Agora, podemos observar que a premissa I é uma condicional a qual possui a segunda proposição com valor lógico falso. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a primeira proposição também deve ser falsa:





(A → F) deve ser verdadeira, logo A deve ser falsa.

Reescrevendo o conjunto de premissas: (A → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → A) (F → F) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → F) (V) ∧ (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → F) Agora, da mesma forma que fizemos para a premissa I, podemos observar que a premissa V também é uma condicional a qual possui a segunda proposição com valor lógico falso. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a primeira proposição também deve ser falsa:

(D → F) deve ser verdadeira, logo D deve ser falsa.

Reescrevendo o conjunto de premissas: (C v D) ∧ (C → E) ∧ (D → F) (C v F) ∧ (C → E) ∧ (F → F) (C v F) ∧ (C → E) ∧ (V) Agora, podemos observar que a premissa II é uma disjunção a qual possui uma de suas proposições com valor lógico falso. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a outra proposição deve ser verdadeira:

(C v F) deve ser verdadeira, logo C deve ser verdadeira.

Reescrevendo o conjunto de premissas: (C v F) ∧ (C → E) (V v F) ∧ (V → E) (V) ∧ (V → E) Por fim, podemos ver que a premissa III é uma condicional a qual possui a primeira proposição com valor lógico verdadeiro. Assim, para essa premissa ser verdadeira, a segunda proposição também deve ser verdadeira: (V → E) deve ser verdadeira, logo E deve ser verdadeira. Com isso, concluímos que para o conjunto de premissas ser verdadeiro, A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Resta, então, verificar se para esses valores lógicos das proposições, a conclusão também é verdadeira:





Conclusão: (~C → D) = (~V → F) = (F → F) = V Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item correto . 191 - (TRT - 2009 / CESPE) “Se os processos não estavam sobre a mesa, então o juiz estava lendo os processos na sala de a udiências” não é uma conclusão verdadeira. Solução: Utilizando as informações da questão anterior: A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Agora, passando a conclusão sugerida por essa questão para a linguagem simbólica, temos: Conclusão: “Se os processos não estavam sobre a mesa, então o juiz estava lendo os processos na sala de audiências” Conclusão: ~E → D Sabendo que E é verdadeira e D é falsa, temos: Conclusão: ~E → D = ~V → F = F → F = V Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item errado . 192 - (TRT - 2009 / CESPE) “Os processos não estavam sobre bandeja” é uma conclusão verdadeira. Solução: Mais uma vez, vamos utilizar as informações obtidas anteriormente: A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira.





Agora, passando a conclusão sugerida por essa questão para a linguagem simbólica, temos: “Os processos não estavam sobre bandeja” Conclusão: ~A Sabendo que A é falsa, temos: Conclusão: ~A = ~F = V Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item correto . 193 - (TRT - 2009 / CESPE) “Se o juiz analisou os processos, então ele não esteve no escritório” é uma conclusão verdadeira. Solução: Mais uma questão na mesma linha. Sabendo que: A deve ser falsa. B deve ser falsa. C deve ser verdadeira. D deve ser falsa. E deve ser verdadeira. Agora, passando a conclusão sugerida por essa questão para a linguagem simbólica, temos: “Se o juiz analisou os processos, então ele não est eve no escritório” K: o juiz esteve no escritório Conclusão: B → ~K Não sabemos o valor lógico de K, mas sabemos que B é falsa. Assim: Conclusão: B → ~K = F → ~K = V (para qualquer que seja o valor lógico de K) Portanto, a conclusão também é verdadeira, o que nos leva a concluir que essa é uma conclusão verdadeira para o argumento. Item correto . 194 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) Considere as proposições A, B e C a seguir.





A: Se Jane é policial federal ou procuradora de jus tiça, então Jane foi aprovada em concurso público. B: Jane foi aprovada em concurso público. C: Jane é policial federal ou procuradora de justiç a. Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V . Solução: Essa questão está sugerindo que A e B são premissas que levam à conclusão C. Vamos verificar: A: Se Jane é policial federal ou procuradora de jus tiça, então Jane foi aprovada em concurso público. B: Jane foi aprovada em concurso público. C: Jane é policial federal ou procuradora de justiç a. p: Jane é policial federal. q: Jane é procuradora de justiça. r: Jane foi aprovada em concurso público. A: (p v q) → r B: r C: p v q Assim, o argumento fica: {[(p v q) → r] ∧ r} → (p v q) Vimos na aula passada que temos algumas opções para resolver a questão. Nessa, eu vou optar pela tabela-verdade reduzida:

B C A p q r p v q (p v q) → r V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V F F F V F V F F F F V

Vamos, agora, arrumar a ordem das colunas e excluir as linhas onde as premissas são falsas:





A B C p q (p v q) → r r p v q V V V V V V F V V V F V V V V F F V V F

Percebam que na última linha da tabela acima, as duas premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Portanto, item errado . 195 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta. Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol. Solução: Vamos organizar: P1: Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. P2: Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. P3: Carlos não fracassou na prova de Física. C: Carlos não jogou futebol. p: Carlos estudou q: Carlos fracassou na prova de Física r: Carlos jogou futebol Agora, vamos montar o argumento: [(~p → q) ∧ (r → ~p) ∧ (~q)] → (~r) Bom, agora que já montamos o argumento, temos algumas opções para resolver a questão. Vamos à análise das premissas: (~p → q) ∧ (r → ~p) ∧ (~q) Percebam que uma das premissas (a terceira) é composta por uma única proposição simples. Assim, lembrando que todas as premissas devem ser verdadeiras: ~q deve ser verdadeira, ou seja, q deve ser falsa . Portanto: (~p → q) ∧ (r → ~p) ∧ (~q) (~p → F) ∧ (r → ~p) ∧ (~F)





(~p → F) ∧ (r → ~p) ∧ (V) Agora, podemos perceber que a primeira premissa é uma condicional cujo segundo termo é falso. Com isso: ~p deve ser falso, ou seja, p deve ser verdadeiro . Assim: (~p → F) ∧ (r → ~p) (~V → F) ∧ (r → ~V) (F → F) ∧ (r → F) (V) ∧ (r → F) Por fim, podemos perceber que a segunda premissa é uma condicional cujo segundo termo é falso. Portanto: r deve ser falsa . Resumindo: p é verdadeiro, ou seja, Carlos estudou. q é falsa, ou seja, Carlos não fracassou na prova de Física. r é falsa, ou seja, Carlos não jogou futebol. Assim, podemos concluir que a dedução está correta, pois, baseando-se nas premissas, Carlos não jogou futebol. Item correto . 196 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) Considere que as proposições da sequência a seguir sejam verdadeiras. Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estrut urais. Fred não tem porte de arma. Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. Nesse caso, é correto inferir que a proposição “Fre d não mora em São Paulo” é uma conclusão verdadeira com base nessa se quência. Solução: Vamos começar passando tudo para a linguagem simbólica: P1: Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. P2: Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. P3: Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais. P4: Fred não tem porte de arma. P5: Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. C: Fred não mora em São Paulo





p: Fred é policial q: Fred tem porte de arma r: Fred mora em São Paulo s: Fred é engenheiro t: Fred faz cálculos estruturais P1: p → q P2: r v s P3: s → t P4: ~q P5: r → p C: ~r Argumento: [(p → q) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (~q) ∧ (r → p)] → (~r) Podemos ver que o argumento possui 5 proposições simples diferentes (p, q, r, s e t), o que nos leva a tentar resolver a questão sem o uso das tabelas-verdade. Podemos perceber que a quarta premissa é formada por apenas uma proposição simples. Vamos começar a análise por ela: P4: ~q Assim, podemos concluir que ~q deve ser verdadeiro, ou seja , q deve ser falso . Com isso: (p → q) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (~q) ∧ (r → p) (p → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (~F) ∧ (r → p) (p → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → p) Agora, podemos perceber que a premissa 1 é uma condicional que possui a segunda proposição falsa: (p → F) Assim, podemos concluir que o p deve ser falso . Com isso: (p → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → p) (F → F) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → F) (V) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → F) Agora, podemos perceber que a premissa 5 também é uma condicional que possui a segunda proposição falsa: (r → F) Assim, podemos concluir que o r deve ser falso . Com isso: (V) ∧ (r v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (r → F)





(V) ∧ (F v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (F → F) (V) ∧ (F v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (V) Agora, podemos perceber que a premissa 2 é uma disjunção que possui uma das proposições falsa: (F v s) Assim, podemos concluir que o s deve ser verdadeiro . Com isso: (V) ∧ (F v s) ∧ (s → t) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (F v V) ∧ (V→ t) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V→ t) ∧ (V) ∧ (V) Por fim, podemos perceber que a premissa 3 é uma condicional que possui a primeira proposição verdadeira: (V → t) Assim, podemos concluir que o t deve ser verdadeiro . Com isso: (V) ∧ (V) ∧ (V→ t) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V→ V) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V) ∧ (V) ∧ (V) = V Resumindo: p deve ser falso, ou seja, Fred não é policial q deve ser falso, ou seja, Fred não tem porte de arma r deve ser falso, ou seja, Fred não mora em São Paulo s deve ser verdadeiro, ou seja, Fred é engenheiro t deve ser verdadeiro, ou seja, Fred faz cálculos estruturais Vamos, agora, verificar se a conclusão é válida: C: Fred não mora em São Paulo Podemos ver que, nos baseando nas premissas, a conclusão proposta é verdadeira. Item correto . 197 - (BB - 2007 / CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso.





Solução: Passando tudo para a linguagem simbólica, temos: P1: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. P2: Maria é alta. C: José será aprovado no concurso. p: Antônio é bonito q: Maria é alta r: José será aprovado no concurso P1: (p v q) → r P2: q C: r Argumento: [((p v q) → r) ∧ (q)] → (r) Podemos ver que a segunda premissa é uma proposição simples, o que nos leva a concluir que ela deve ser verdadeira: q deve ser verdadeira Com isso: ((p v q) → r) ∧ (q) ((p v V) → r) ∧ (V) Percebam agora, que qualquer que seja o valor lógico do “p”, a disjunção “p v V” será verdadeira. Assim: p pode possuir qualquer valor lógico ((p v V) → r) ∧ (V) (V → r) ∧ (V) Agora, devemos perceber que o “r” deve ser verdadeiro para que a condicional ”V → r” seja verdadeira. Com isso: r deve ser verdadeira (V → r) ∧ (V) (V → V) ∧ (V) (V) ∧ (V) = V Portanto, p: Antônio pode ou não ser bonito q: Maria é alta





r: José será aprovado no concurso Vamos, agora, verificar se a conclusão é válida: C: José será aprovado no concurso Podemos ver que, nos baseando nas premissas, a conclusão proposta é verdadeira e o raciocínio é correto. Item correto . 198 - (BB - 2007 / CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela consegui rá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo. Solução: Mais uma vez, passando tudo para a linguagem simbólica, temos: P1: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. P2: Ela conseguiu um emprego. C: Célia tem um bom currículo. p: Célia ter um bom currículo q: Célia conseguir um bom emprego P1: p → q P2: q C: p Argumento: [(p → q) ∧ (q)] → (p) Como temos apenas duas proposições simples distintas nesse argumento, vamos partir para a tabela-verdade:

C P2 P1 Premissas Argumento p q p → q (p → q) ∧ (q) [(p → q) ∧ (q)] → (p) V V V V V V F F F V F V V V F F F V F V

Portanto, olhando para a tabela-verdade, podemos perceber que o argumento não é válido. Item errado . 199 - (BB - 2007 / CESPE) Considere as seguintes proposições:





P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro” Nessa situação, é válido o argumento em que as prem issas são “Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabal ha”, e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro”. Solução: Organizando: P1: Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro P2: Mara não trabalha C: Mara não ganha dinheiro Passando para a linguagem simbólica: P1: ~P v Q P2: ~P C: ~Q Argumento: [(~P v Q) ∧ (~P)] → (~Q) Novamente, como temos apenas duas proposições simples distintas nesse argumento, vamos partir para a tabela-verdade:

P2 C P1 Premissas Argumento P Q ~P ~Q ~P v Q (~P v Q) ∧ (~P) [(~P v Q) ∧ (~P)] → (~Q) V V F F V F V V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V V

Portanto, olhando para a tabela-verdade, podemos perceber que o argumento não é válido. Item errado . 200 - (BB - 2007 / CESPE) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou n a loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou ri ca” é também verdadeira. Solução: Vamos organizar o raciocínio: P1: Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica P2: Mara não acertou na loteria C: Ela não ficou rica





p: Mara acertou na loteria q: Mara ficou rica P1: p → q P2: ~p C: ~q Argumento: [(p → q) ∧ (~p)] → (~q) Mais uma vez, como temos apenas duas proposições simples distintas nesse argumento, vamos partir para a tabela-verdade:

P2 C P1 Premissas Argumento p q ~p ~q p → q (p → q) ∧ (~p) [(p → q) ∧ (~p)] → (~q) V V F F V F V V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V V

Portanto, olhando para a tabela-verdade, podemos perceber que o argumento não é válido. Item errado . (Texto para as questões de 201 e 202) O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situaç ões de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo in terpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisõ es, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisõ es, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve trei namento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar deci sões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos e studos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue os itens a segu ir. 201 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) A partir das proposições P2 e P4, é correto inferir que “O policial que tenha tido trei namento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” é uma proposição verdadeira.





Solução: Nessa questão, podemos entender que P2 e P4 são as premissas e que “O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” é a conclusão do argumento. Vamos verificar se esta conclusão é verdadeira, nos baseando nas premissas P2 e P4: P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. C: O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins. Batizando as proposições, temos: p: O policial tem informações precisas ao tomar decisões. q: O policial toma decisões ruins. r: O policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos. (nessa proposição, apesar de termos uma conjunção, preferi chamar tudo de “r”, pois as duas proposições andam juntas durante todo o argumento. Meu intuito com isso foi apenas simplificar o argumento, deixando-o com uma proposição a menos) P2: ~p → q P4: r → p C: r → ~q Assim, o argumento fica: [(~p → q) ∧ (r → p)] ⇒ (r → ~q) Vamos verificar se a conclusão é necessariamente verdadeira, nos baseando nas premissas, a partir da construção da tabela-verdade:

P2 P4 C p q r ~p ~q ~p → q r → p r → ~q V V V F F V V F V V F F F V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V F V F F F V F V F V V V F F V V V F F V F F F V V F V V

Eliminando as linhas onde alguma premissa é falsa, temos:





P2 P4 C p q r ~p ~q ~p → q r → p r → ~q V V V F F V V F V V F F F V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V F V F V V V

Agora, percebam que considerando as premissas verdadeiras não podemos garantir que a proposição “O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” seja verdadeira, pois existe uma possibilidade (a primeira linha da tabela acima) na qual as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Item errado . 202 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Considerando que P1, P2, P3 e P4 sejam as premissas de um argumento cuja conclusão s eja “Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado”, é correto afirmar que esse argumento é v álido. Solução: Agora, devemos analisar o seguinte argumento: P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. C: Se o policial está em situação de estresse e não toma decisões ruins, então teve treinamento adequado. Passando as premissas e a conclusão para a linguagem simbólica, temos: p: O policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. q: O policial toma decisões ruins. r: O policial tem informações precisas ao tomar decisões. s: O policial está em situação de estresse. t: O policial teve treinamento adequado. u: O policial se dedicou nos estudos. P1: p → q





P2: ~r → q P3: (s ∧ ~t) → p P4: (t ∧ u) → r C: (s ∧ ~q) → t Argumento: {(p → q) ∧ (~r → q) ∧ [(s ∧ ~t) → p] ∧ [(t ∧ u) → r]} ⇒ [(s ∧ ~q) → t] Agora, vou relembrar o macete para verificar se esse argumento é válido. O macete consiste em testar se o conjunto de premissas é verdadeiro quando a conclusão é falsa. Se o conjunto de premissas tiver alguma possibilidade de ser verdadeira quando a conclusão é falsa, concluímos que o argumento é inválido.

Para que a conclusão (s ∧ ~q) → t seja falsa, é necessário que 惇s敦 seja verdadeiro, “~q” seja verdadeira (ou seja, “q” tem que ser falso) e “t” seja falso. Agora, vamos testar como se comporta o conjunto de premissas para esses valores de s, q e t: (p → q) ∧ (~r → q) ∧ [(s ∧ ~t) → p] ∧ [(t ∧ u) → r] (p → F) ∧ (~r → F) ∧ [(V ∧ ~F) → p] ∧ [(F ∧ u) → r] (p → F) ∧ (~r → F) ∧ [(V ∧ V) → p] ∧ [(F ∧ u) → r] (p → F) ∧ (~r → F) ∧ [(V) → p] ∧ [(F ∧ u) → r] Agora, podemos perceber que as premissas 1 e 3 apresentam uma contradição no “p”, pois ele tem que ser falso para que P1 seja verdadeira e tem que ser verdadeiro para que P3 seja verdadeira. Portanto, não há nenhuma possibilidade em que o conjunto de premissas é verdadeiro e a conclusão é falsa, ou seja, sempre que o conjunto de premissas for verdadeiro a conclusão também será verdadeira, o que torna o argumento válido. Item correto . (Texto para a questão 203) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jov ens. Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual faze r um raciocínio simplista de que a pobreza é a principal causadora da violênc ia entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não signifi ca que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violent os praticados por jovens de classe média.

Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptaçõ es).





Tendo como referência o texto acima, julgue os iten s seguintes. 203 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Das proposições “Se há corrupção, aumenta-se a concentração de renda”, “Se aumenta a concentração de renda, acentuam-se as desigualdades sociais” e “Se se acentuam as desigualdades sociais, os níveis de violência cresc em” é correto inferir que “Se há corrupção, os níveis de violência crescem”. Solução: Vamos organizar o argumento: P1: “Se há corrupção, aumenta-se a concentração de renda”. P2: “Se aumenta a concentração de renda, acentuam-se as desigualdades sociais”. P3: “Se se acentuam as desigualdades sociais, os níveis de violência crescem”. C: “Se há corrupção, os níveis de violência crescem”. Batizando as proposições, temos: p: Há corrupção. q: Aumenta-se a concentração de renda. r: Acentuam-se as desigualdades sociais. s: Os níveis de violência crescem. P1: p → q P2: q → r P3: r → s C: p → s Argumento: [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s) Lembrando que (A → B) ∧ (B → C) ⇒ (A → C), temos: [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s) [(p → r) ∧ (r → s)] ⇒ (p → s) [(p → s)] ⇒ (p → s) Item correto . (Texto para as questões de 204 a 207) Verificando a regularidade da aquisição de dispositivos sensores de presença e mo vimento para instalação em uma repartição pública, os fiscais co nstataram que os proprietários das empresas participantes da licitaç ão eram parentes. Diante dessa constatação, o gestor argumentou da seguinte maneira:





P: As empresas participantes do certame foram convi dadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa ofi cial. Q: Os proprietários das empresas convidadas formalm ente não eram parentes. R: Se os proprietários das empresas convidadas form almente não eram parentes e os proprietários das empresas participan tes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. Conclusão: As empresas participantes tomaram conhec imento da licitação pela imprensa oficial. A partir das informações acima apresentadas, julgue os itens a seguir. 204 - (TCDF - 2012 / CESPE) Incluindo entre as premissas a constatação da equipe de fiscalização, o argumento do gestor será um argumento válido. Solução: Vamos começar organizando o argumento, incluindo entre as premissas a constatação da equipe de fiscalização: P1: Os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes P2: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. P3: Os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes. P4: Se os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes e os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. C: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. Passando tudo para a linguagem simbólica, temos: p: Os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes. q: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente. r: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. s: Os proprietários das empresas convidadas formalmente eram parentes P1: p P2: (q v r)





P3: ~s P4: (~s ∧ p) → ~q C: r Argumento: [(p) ∧ (q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q)] ⇒ (r) Podemos perceber de início que as premissas P1 e P3 são proposições simples, o que nos leva a concluir que “p” deve ser verdadeiro e “~s” deve ser verdadeiro, ou seja, “s” deve ser falso. Assim: (p) ∧ (q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) (V) ∧ (q v r) ∧ (~F) ∧ ((~F ∧ V) → ~q) (V) ∧ (q v r) ∧ (V) ∧ ((V ∧ V) → ~q) (V) ∧ (q v r) ∧ (V) ∧ (V → ~q) Agora, devemos concluir que “~q” deve ser verdadeiro, ou seja, “q” deve ser falso para que P4 seja verdadeira: (V) ∧ (q v r) ∧ (V) ∧ (V → ~q) (V) ∧ (F v r) ∧ (V) ∧ (V → ~F) (V) ∧ (F v r) ∧ (V) ∧ (V) Por fim, devemos concluir que “r” deve ser necessariamente verdadeiro para que P2 seja verdadeira. (V) ∧ (F v r) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (F v V) ∧ (V) ∧ (V) (V) ∧ (V) ∧ (V) ∧ (V) Agora, olhando para a conclusão (r), podemos perceber que o argumento é válido, pois considerando o conjunto de premissas verdadeiro, a conclusão só pode ser verdadeira. Item correto . 205 - (TCDF - 2012 / CESPE) A partir da argumentação do gestor é correto inferir que todas as empresas que tomaram conhecime nto do certame pela imprensa oficial participaram da licitação. Solução: Agora, a argumentação não considera a constatação da equipe de fiscalização:





P1: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente ou tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. P2: Os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes. P3: Se os proprietários das empresas convidadas formalmente não eram parentes e os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes, então as empresas participantes não foram convidadas formalmente. C: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. Passando tudo para a linguagem simbólica, temos: p: Os proprietários das empresas participantes da licitação eram parentes. q: As empresas participantes do certame foram convidadas formalmente. r: As empresas participantes tomaram conhecimento da licitação pela imprensa oficial. s: Os proprietários das empresas convidadas formalmente eram parentes P1: (q v r) P2: ~s P3: (~s ∧ p) → ~q C: r Argumento: [(q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q)] ⇒ (r) Nesse argumento, vamos usar aquele macete de testar se para a conclusão sendo falsa existe alguma possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro: Considerando “r” falso, temos: (q v r) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) (q v F) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) Podemos concluir que o “q” deve ser verdadeiro para que P1 seja verdadeira: (q v F) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~q) (V v F) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → ~ V) (V) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → F) Agora, devemos concluir que “~s” deve ser verdadeiro para que P2 seja verdadeira, ou seja, “s” deve ser falso: (V) ∧ (~s) ∧ ((~s ∧ p) → F)





(V) ∧ (~F) ∧ ((~F ∧ p) → F) (V) ∧ (V) ∧ ((V ∧ p) → F) Por fim, o “p” deve ser falso para que P3 seja verdadeira. (V) ∧ (V) ∧ ((V ∧ p) → F) (V) ∧ (V) ∧ ((V ∧ F) → F) (V) ∧ (V) ∧ (F → F) (V) ∧ (V) ∧ (V) Assim, podemos concluir que existe a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa, o que nos leva a concluir que o argumento não é válido. Item errado . 206 - (TCDF - 2012 / CESPE) Se alguma das premissas, P, Q ou R, for uma proposição falsa, então o argumento apresentado ser á inválido. Solução: Essa é uma questão teórica que exige o conhecimento dos conceitos de argumentação falado na aula passada. Lembram-se quando eu disse que para analisar um argumento não devemos nos preocupar com o conteúdo das proposições, mas devemos observar se, ao considerarmos o conjunto de premissas verdadeiras, a conclusão é uma consequência obrigatória dessas premissas. Item errado . 207 - (TCDF - 2012 / CESPE) O fato de determinado argumento ser válido implica, certamente, que todas as suas premissas sã o proposições verdadeiras. Solução: Novamente o mesmo conceito. Não é necessário saber o conteúdo das premissas, mas sim, a sua construção. Item errado . (Texto para a questão 208) Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com o s policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário;





Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quant idade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acim a, julgue os itens a seguir. 208 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida . Solução: Vamos começar passando a argumentação para a linguagem simbólica: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. p: Eu sou traficante q: Eu sou usuário r: Estaria levando uma grande quantidade de droga s: Teria escondido a droga P1: ~p ∧ q P2: p → (r ∧ s) P3: (q ∧ ~r) → ~s C: r → ~q Argumentação: [(~p ∧ q) ∧ (p → (r ∧ s)) ∧ ((q ∧ ~r) → ~s)] ⇒ (r → ~q) Nessa questão, vou usar mais uma vez o macete de verificar existe alguma possibilidade do conjunto de premissas ser verdadeiro para a situação em que a conclusão é falsa. Analisando a conclusão (r → ~q) ela só será falsa quando “r” for verdadeira e “~q” for falsa, ou seja, quando tanto “r” quanto “q” forem verdadeiras. Assim, resta





testarmos se para esses valores de “r” e “q” o conjunto de premissas pode ser verdadeiro: (~p ∧ q) ∧ (p → (r ∧ s)) ∧ ((q ∧ ~r) → ~s) (~p ∧ V) ∧ (p → (V ∧ s)) ∧ ((V ∧ ~V) → ~s) (~p ∧ V) ∧ (p → (V ∧ s)) ∧ ((V ∧ F) → ~s) (~p ∧ V) ∧ (p → (V ∧ s)) ∧ (F → ~s) Podemos verificar que das três premissas, as únicas que podem ser falsas são a primeira e a segunda, quando o “p” for verdadeiro e o “s” for falso. Para qualquer outra combinação de valores lógicos de “p” e “s” o conjunto de premissas será verdadeiro. Portanto, existe a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa, o que nos leva a concluir que a argumentação não é válida. Item errado . (Texto para a questão 209) Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por uma empresa, um cliente fez as seguin tes afirmações: P1: Se for bom e rápido, não será barato. P2: Se for bom e barato, não será rápido. P3: Se for rápido e barato, não será bom. Com base nessas informações, julgue os itens seguin tes. 209 - (MI - 2013 / CESPE) Um argumento que tenha P1 e P2 como premissas e P3 como conclusão será um argumento válido. Solução: Nessa questão, vamos começar passando as afirmações para a linguagem simbólica: p: Ser bom q: Ser rápido r: Ser barato P1: (p ∧ q) → ~r P2: (p ∧ r) → ~q P3: (q ∧ r) → ~p Assim, o argumento fica: Argumento: [(p ∧ q) → ~r] ∧ [(p ∧ r) → ~q] ⇒ [(q ∧ r) → ~p]





Uma forma mais simples de resolver essa questão é utilizando o macete. Assim, para que a conclusão seja falsa, temos: (q ∧ r) → ~p q ∧ r deve ser verdadeiro, ou seja, q deve ser verdadeiro e r deve ser verdadeiro, e ~p deve ser falso, ou seja, p deve ser verdadeiro. Assim, resta testarmos se para esses valores de p, q e r as premissas podem ser verdadeiras: [(p ∧ q) → ~r] ∧ [(p ∧ r) → ~q] [(V ∧ V) → ~ V] ∧ [(V ∧ V) → ~V] [(V) → F] ∧ [(V) → F] [F] ∧ [F] = F Portanto, não há a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa, o que nos leva a concluir que o argumento é válido. Item correto . (Texto para a questão 210) Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto. A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições: — Se o síndico troca de carro ou reforma seu aparta mento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. ( P1) — Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomíni o em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P2) — Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P3) Com referência às proposições P1, P2 e P3 acima, ju lgue os itens a seguir. 210 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Considerando que P1 e P2 sejam as premissas de um argumento de que P3 seja a conclusã o, é correto afirmar que, do ponto de vista lógico, o texto acima consti tui um argumento válido. Solução: Vamos começar passando o argumento para a linguagem simbólica: p: O síndico troca de carro q: O síndico reforma o apartamento r: Dizem que o sindico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio s: O síndico fica com fama de desonesto





t: Não querer ser síndico P1: (p v q) → r P2: r → s P3: ~s → t Argumento: [(p v q) → r] ∧ [r → s] ⇒ (~s → t) Agora, resta testar se o argumento é válido. Mais uma vez vou utilizar o macete. Assim, vamos começar checando as possibilidades para a conclusão ser falsa: ~s → t Para esta condicional ser falsa, o "~s" deve ser verdadeiro e o "t" deve ser falso, ou seja, s e t devem ser falsos. Com isso, vamos testar se para esses valores de s e t o conjunto de premissas pode ser verdadeiro. Vejamos: [(p v q) → r] ∧ [r → s] [(p v q) → r] ∧ [r → F] Aqui, para a segunda premissa ser verdadeira, o r deve ser falso. Assim: [(p v q) → r] ∧ [r → F] [(p v q) → F] ∧ [F → F] [(p v q) → F] ∧ [V] Por fim, para que a primeira premissa seja verdadeira, tanto p quanto q devem ser falsos. Assim: [(p v q) → F] ∧ [V] [(F v F) → F] ∧ [V] [(F) → F] ∧ [V] [V] ∧ [V] = V Assim, concluímos que pé possível o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa, bastando que p, q, r, s e t sejam falsos, o que nos leva a concluir que o argumento NÃO é válido. Item errado . (Texto para a questão 211) Considere que um argumento seja formado pelas seguintes proposições:





• P1 A sociedade é um coletivo de pessoas cujo disc ernimento entre o bem e o mal depende de suas crenças, convicções e tradiçõ es. • P2 As pessoas têm o direito ao livre pensar e à l iberdade de expressão. • P3 A sociedade tem paz quando a tolerância é a re gra precípua do convívio entre os diversos grupos que a compõem. • P4 Novas leis, com penas mais rígidas, devem ser incluídas no Código Penal, e deve ser estimulada uma atuação repressora e preventiva dos sistemas judicial e policial contra todo ato de int olerância. Com base nessas proposições, julgue o item subsecut ivo. 211 - (TCE/RO - 2013 / CESPE) O argumento em que as proposições de P1 a P3 são as premissas e P4 é a conclusão é um argumen to lógico válido Solução: Bom, essa questão parece complicada, pois as proposições não estão no formato que estamos acostumados a encontrar nas questões. Porém, observando com cuidado a conclusão, podemos ver que temos a seguinte afirmação: Novas leis, com penas mais rígidas, devem ser inclu ídas no Código Penal Ora, em momento nenhum as premissas falam sobre novas leis, ou seja, temos uma conclusão que não é uma consequência obrigatória do conjunto de premissas, o que torna este argumento inválido. Item errado . (Texto para a questão 212) Das proposições P, Q, R, S e C listadas a seguir, P, Q, R e S constituem as premissas de um argumento , em que C é a conclusão: P: O tempo previsto em lei para a validade da paten te de um fármaco é curto, uma vez que o desenvolvimento de um remédio exige m uito investimento e leva muito tempo. Q: O tempo previsto em lei para a validade da paten te de um software é longo, já que o desenvolvimento de um software não exige muito investimento ou não leva muito tempo. R: Se o tempo previsto em lei para a validade da pa tente de um fármaco é curto, a lei de patentes não atende ao fim público a que se destina. S: Se o tempo previsto em lei para a validade da pa tente de um software é longo, a lei de patentes não atende ao fim público a que se destina.





C: Se o desenvolvimento de um remédio exige muito i nvestimento, ou o desenvolvimento de um software não leva muito tempo , então a lei de patentes não atende ao fim público a que se destina . Com base nessa argumentação, julgue os itens seguin tes. 212 - (INPI - 2014 / CESPE) O argumento apresentado não é um argumento válido. Solução: Vamos começar organizando o argumento: p: O tempo previsto em lei para a validade da patente de um fármaco é curto. q: O desenvolvimento de um remédio exige muito investimento. r: O desenvolvimento de um remédio leva muito tempo. s: O tempo previsto em lei para a validade da patente de um software é longo t: O desenvolvimento de um software não exige muito investimento u: O desenvolvimento de um software não leva muito tempo v: A lei de patentes não atende ao fim público a que se destina Passando as premissas e a conclusão para a linguagem simbólica, temos: P: (q ∧ r) → p Q: (t v u) → s R: p → v S: s → v C: (q v u) → v Argumento: {[(q ∧ r) → p] ∧ [(t v u) → s] ∧ (p → v) ∧ (s → v)} ⇒ [(q v u) → v] Como temos uma proposição gigantesca, utilizarei o macete da conclusão falsa. Consideraremos a conclusão falsa e veremos se é possível o conjunto de premissas ser verdadeiro com a conclusão falsa. C: (q v u) → v Para esta conclusão ser falsa, deveremos ter o “v” falso e o “q” ou o “u” verdadeiro. Agora, vamos testar o conjunto de premissas: [(q ∧ r) → p] ∧ [(t v u) → s] ∧ (p → v) ∧ (s → v) Considerando o “v” falso, temos: [(q ∧ r) → p] ∧ [(t v u) → s] ∧ (p → F) ∧ (s → F) Aqui, concluímos que o “p” e o “s” devem ser falsos para que as premissas R e S sejam verdadeiras. Substituindo os valores de “p” e de “s”, temos:





[(q ∧ r) → F] ∧ [(t v u) → F] ∧ (F → F) ∧ (F → F) [(q ∧ r) → F] ∧ [(t v u) → F] ∧ (V) ∧ (V) Agora, olhando para a premissa Q, concluímos que tanto o “t” quanto o “u” devem ser falsos para que esta premissa seja verdadeira. Porém, olhando para a premissa P, concluímos que basta que o “q” ou que o “r” seja falso para que essa premissa seja verdadeira, ou seja, é possível que o “r” seja falso e o “q” seja verdadeiro que a premissa P será verdadeira. Assim, como é possível termos o “q” verdadeiro e o “v” falso ao mesmo tempo e com isso é possível termos o conjunto de premissas verdadeiro e a conclusão falsa, concluímos que o argumento não é válido. Item correto . (Texto para as questões de 213 a 217) As proposições A, B e C listadas a seguir constituem as premissas de um argumento: A: Se a proteção de inventores é estabelecida atrib uindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por um período limitado de tempo, então o direito de requerer uma patente de invenção contribui para o progresso da ciência. B: Se o direito de requerer uma patente de invenção é utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “m aquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado, então esse direito não só não contribui para o progresso da ciência como também prejudica o merc ado. C: O direito de requerer uma patente de invenção, o u contribui para o progresso da ciência, ou prejudica o mercado, mas n ão ambos. Tendo como referência essas premissas, em cada item de a seguir é apresentada uma conclusão para o argumento. Julgue se a conclusão faz que a argumentação seja uma argumentação válida. 213 - (INPI - 2014 / CESPE) O direito de requerer uma patente de invenção contribui para o progresso da ciência ou prejudica o mercado. Solução: Vamos começar passando as premissas para a linguagem simbólica: p: A proteção de inventores é estabelecida atribuindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por um período limitado de tempo.





q: O direito de requerer uma patente de invenção contribui para o progresso da ciência. r: O direito de requerer uma patente de invenção é utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado. s: O direito de requerer uma patente de invenção prejudica o mercado. A: p → q B: r → (~q ∧ s) C: q v s Premissas: (p → q) ∧ [r → (~q ∧ s)] ∧ (q v s) Como teremos várias conclusões para analisarmos nas próximas questões, vamos primeiramente verificar em que situações o conjunto de premissas é verdadeiro. Utilizarei o método da tentativa e erro: Testando “q” verdadeiro (p → q) ∧ [r → (~q ∧ s)] ∧ (q v s) (p → V) ∧ [r → (~V ∧ s)] ∧ (V v s) (p → V) ∧ [r → (F ∧ s)] ∧ (V v s) Para que a premissa “C” seja verdadeira, a proposição “s” deverá ser falsa: (p → V) ∧ [r → (F ∧ s)] ∧ (V v s) (p → V) ∧ [r → (F ∧ F)] ∧ (V v F) (p → V) ∧ [r → F] ∧ (V) Agora, para que a premissa “B” seja verdadeira, a proposição “r” deverá ser falsa: (p → V) ∧ [r → F] ∧ (V) (p → V) ∧ [F → F] ∧ (V) (p → V) ∧ [V] ∧ (V) Por fim, para qualquer valor lógico de “p” a premissa “A” será verdadeira. Resumindo: “p” qualquer, “q” verdadeiro, “r” falso e “s” falso. Agora, testamos “q” falso





(p → q) ∧ [r → (~q ∧ s)] ∧ (q v s) (p → F) ∧ [r → (~F ∧ s)] ∧ (F v s) (p → F) ∧ [r → (V ∧ s)] ∧ (F v s) Para que a premissa “A” seja verdadeira, a proposição “p” deverá ser falsa. Além disso, para que a premissa “C” seja verdadeira, é necessário que a proposição “s” seja verdadeira. (p → F) ∧ [r → (V ∧ s)] ∧ (F v s) (F → F) ∧ [r → (V ∧ V)] ∧ (F v V) (V) ∧ [r → V] ∧ (V) Por fim, qualquer que seja o valor lógico de “r”, a premissa “B” será verdadeira. Resumindo: “p” falso, “q” falso, “r” qualquer e “s” verdadeiro. Agora, vamos passar a conclusão sugerida nesta questão para a linguagem simbólica: O direito de requerer uma patente de invenção contr ibui para o progresso da ciência ou prejudica o mercado. Conclusão: q v s Para avaliarmos se este é uma conclusão válida para o argumento, basta substituirmos os valores lógicos de “q” e de “s” vistos acima. Se em todas as situações em que o conjunto de premissas é verdadeiro a conclusão também for verdadeira, concluiremos que a conclusão é válida. Para a primeira situação testada, temos “q” verdadeiro e “s” falso: Conclusão: q v s Conclusão: V v F = V Para a segunda situação testada, temos “q” falso e “s” verdadeiro: Conclusão: q v s Conclusão: F v V = V Portanto, como sempre que o conjunto de premissas é verdadeiro a conclusão também é verdadeira, concluímos que esta é uma conclusão válida para o argumento.





Item correto . 214 - (INPI - 2014 / CESPE) Se a proteção de inventores é estabelecida atribuindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por um período limitado de tempo, então o direito de reque rer uma patente de invenção não prejudica o mercado. Solução: Recuperando o que vimos na questão anterior, temos as seguintes situações em que o conjunto de premissas é verdadeiro: 1º teste: “p” qualquer, “q” verdadeiro, “r” falso e “s” falso. 2º teste: “p” falso, “q” falso, “r” qualquer e “s” verdadeiro. Agora, vamos passar a conclusão proposta nesta questão para a linguagem simbólica: Conclusão: Se a proteção de inventores é estabeleci da atribuindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por u m período limitado de tempo, então o direito de requerer uma patente de i nvenção não prejudica o mercado. p: A proteção de inventores é estabelecida atribuindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por um período limitado de tempo. s: O direito de requerer uma patente de invenção prejudica o mercado. Conclusão: p → ~s Por fim, resta testarmos as situações em que o conjunto de premissas é verdadeiro: 1ª situação: Conclusão: p → ~s Conclusão: qualquer → ~F Conclusão: qualquer → V = V Qualquer que seja o “p” nessa situação a conclusão será verdadeira. 2ª situação: Conclusão: p → ~s





Conclusão: F → ~V Conclusão: F → F = V Portanto, sempre que o conjunto de premissas é verdadeiro a conclusão também é verdadeira. Concluímos assim que esta é uma conclusão válida para o argumento. Item correto . 215 - (INPI - 2014 / CESPE) O direito de requerer uma patente de invenção, além de contribuir para o progresso da ciência, tam bém prejudica o mercado. Solução: Mais uma vez, vamos recuperar o que vimos anteriormente, que são as situações em que o conjunto de premissas é verdadeiro: 1º teste: “p” qualquer, “q” verdadeiro, “r” falso e “s” falso. 2º teste: “p” falso, “q” falso, “r” qualquer e “s” verdadeiro. Agora, vamos passar a conclusão proposta nesta questão para a linguagem simbólica: O direito de requerer uma patente de invenção, além de contribuir para o progresso da ciência, também prejudica o mercado. q: O direito de requerer uma patente de invenção contribui para o progresso da ciência. s: O direito de requerer uma patente de invenção prejudica o mercado. Conclusão: q ∧ s Por fim, resta testarmos as situações em que o conjunto de premissas é verdadeiro: 1ª situação: Conclusão: q ∧ s Conclusão: V ∧ F = F 2ª situação: Conclusão: q ∧ s





Conclusão: F ∧ V = F Portanto, há a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa simultaneamente. Concluímos assim que esta NÃO é uma conclusão válida para o argumento. Item errado . 216 - (INPI - 2014 / CESPE) Se o direito de requerer uma patente de invenção for utilizado tão somente para prorrogar o monopóli o de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado, então esse direito contribui para o progresso da ciência. Solução: Novamente, vamos recuperar as situações em que o conjunto de premissas é verdadeiro: 1º teste: “p” qualquer, “q” verdadeiro, “r” falso e “s” falso. 2º teste: “p” falso, “q” falso, “r” qualquer e “s” verdadeiro. Agora, passando a conclusão proposta nesta questão para a linguagem simbólica, temos: Se o direito de requerer uma patente de invenção fo r utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “m aquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado, então esse direito contribui para o progresso da ciência. q: O direito de requerer uma patente de invenção contribui para o progresso da ciência. r: O direito de requerer uma patente de invenção é utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado. Conclusão: r → q Por fim, vamos testar as situações em que o conjunto de premissas é verdadeiro: 1ª situação: Conclusão: r → q Conclusão: F → V = V





2ª situação: Conclusão: r → q Conclusão: qualquer → F = V ou F Portanto, há a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa (para “ r” verdadeiro e “q” falso). Concluímos assim que esta NÃO é uma conclusão válida para o argumento. Item errado . 217 - (INPI - 2014 / CESPE) O direito de requerer uma patente de invenção estabelece a proteção de inventores atribuindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por um período lim itado de tempo, mas é utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agrega do. Solução: Nessa questão, temos uma informação nova na conclusão, ou seja, propõe-se uma conclusão que não tem como base algo informado nas premissas: O direito de requerer uma patente de invenção estab elece a proteção de inventores atribuindo-lhes o monopólio da exploraçã o comercial da invenção por um período limitado de tempo, mas é utilizado t ão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquia dos”, aos quais nada efetivamente foi agregado. A parte destacada em amarelo poderia ser batizada de “t”. Assim, temos: r: O direito de requerer uma patente de invenção é utilizado tão somente para prorrogar o monopólio de produtos meramente “maquiados”, aos quais nada efetivamente foi agregado. t: O direito de requerer uma patente de invenção estabelece a proteção de inventores atribuindo-lhes o monopólio da exploração comercial da invenção por um período limitado de tempo Conclusão: t ∧ r Agora, vamos testar as situações em que o conjunto de premissas é verdadeiro: 1ª situação: Conclusão: t ∧ r Conclusão: t ∧ F = F





Para qualquer valor lógico de “t” esta conclusão será falsa. 2ª situação: Conclusão: t ∧ r Conclusão: t ∧ qualquer = V ou F A depender dos valores lógicos de “t” e de “r” a conclusão poderá ser verdadeira ou falsa. Portanto, como há a possibilidade de o conjunto de premissas ser verdadeiro e a conclusão ser falsa ao mesmo tempo (para “t” falso ou “r” falso), concluímos assim que esta NÃO é uma conclusão válida para o argumento. Item errado .





2 – Princípios de Contagem 2.1 - Princípio Aditivo Este Primeiro princípio é tão básico que até relutei em colocar nesta aula. Vamos ver um exemplo e em seguida eu coloco a definição: Ex1: Marcos foi assistir a um jogo do Bahia na nova Fo nte Nova, em Salvador. Suponha que nesse estádio de futebol exis tam duas saídas de emergência no setor Leste e três saídas de emergênc ia no setor Oeste. Imagine que ocorre um incêndio durante o jogo. Quan tas opções de saída terá Marcos para deixar o Estádio? Bom, sabendo que Marcos pode sair pelo setor Leste ou pelo setor Oeste e que existem 2 saídas no setor Leste e 3 saídas no setor Oeste, concluímos que Marcos terá 2 + 3 = 5 opções de saída para deixar a nova Fonte Nova. Viram como é bem simples? Agora vou colocar a definição deste princípio: Se um determinado evento M ocorre de K maneiras diferentes, chamadas de M1, M2, M3, ..., Mk e se um outro evento distinto N pode ocorrer de J maneiras diferentes, chamadas de N1, N2, N3, ..., Nj, então o número total de maneiras que o evento M ou N pode ocorrer é dado por K + J . 2.2 - Princípio Multiplicativo O princípio multiplicativo, estabelece de quantas maneiras dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer simultaneamente. Este princípio consiste em dividir o acontecimento, ou agrupamento, em etapas e descobrir, para cada etapa, qual a sua possibilidade de ocorrer. Vejamos alguns exemplos: Ex1: Deseja-se marcar, em Brasília, um amistoso de futeb ol envolvendo uma seleção da América do Sul e uma Seleção da Europa. Qual o total de possibilidades para esse confronto, supondo que exi stem 10 seleções sul-americanas e 20 seleções européias? América do Sul: 10 seleções (Brasil, Argentina, Uruguai, Chile, ...) Europa: 20 seleções (Espanha, França, Itália, Alemanha, ...) Vamos tentar relacionar todos os possíveis jogos: Brasil × Espanha Brasil × França





Brasil × Itália Brasil × Alemanha Brasil × ... Veja que escolhendo o Brasil entre as seleções sul-americanas, teremos 20 possíveis jogos, pois existem 20 seleções européias. Agora, vamos escolher a Argentina, e relacionar os possíveis jogos com sua participação: Argentina × Espanha Argentina × França Argentina × Itália Argentina × Alemanha Argentina × ... Veja que escolhendo a Argentina entre as seleções da América do Sul, também teremos 20 possíveis jogos, pois existem 20 seleções na Europa. Isso ocorrerá para cada uma das 10 seleções sul-americanas. Assim, podemos calcular o total de jogos possíveis: Jogos com o Brasil: 20 jogos Jogos com a Argentina: 20 jogos Jogos com o Uruguai: 20 jogos Jogos com o Chile: 20 jogos ... Total = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + ... 20 = 10 × 20 = 200 possibilidades De forma prática, podemos perceber que o total de possibilidades é dados por: Total de seleções sul-americanas × Total de seleções europeias = 10 × 20 = 200 Ex2: Um restaurante oferece em seu cardápio 2 opções p ara a entrada (E 1 e E2), 3 opções de prato principal (P 1, P2 e P3) e 2 opções para a sobremesa (S 1 e S2). De quantas maneiras diferentes um cliente pode a lmoçar nesse restaurante, sabendo que ele escolheu uma entrada, um prato principal e uma sobremesa? Vamos tentar ilustrar todas as possibilidades por meio do diagrama de árvore: E1

10 vezes

P1

P2

P3

S1

S1

S1

S2

S2

S2

= E1, P1, S1

= E1, P1, S2

= E1, P2, S1

= E1, P2, S2

= E1, P3, S1

= E1, P3, S2





E2 Temos, então, 12 opções de escolha para o cliente. De forma direta, podemos perceber que o cliente terá: 2 opções de entrada, 3 opções de prato principal e 2 opções de sobremesa Total = 2 × 3 × 2 = 12 opções Ex3: A senha de um cadeado é composta de três dígitos. Marcos esqueceu qual era a senha e só lembrava que terminava com um número ímpar. Qual o total de possibilidades para a senha de Marcos? Vamos tentar escrever todas as senhas? 0 0 1 0 0 3 0 0 5 0 0 7 0 0 9 0 1 1 0 1 3 0 1 5 0 1 7 ... Bom, é inviável relacionar todas as possibilidades. Vamos, então, calcular esta quantidade: 1° dígito: 10 possibilidades: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 2° dígito: 10 possibilidades: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 3° dígito: 5 possibilidades (trata-se de um número ímpar): 1, 3, 5, 7 ou 9 Assim, o total de possibilidades é dado por: 10 × 10 × 5 = 500 possibilidades A partir desses três exemplos, podemos chegar à definição do princípio multiplicativo da contagem:

P1

P2

P3

S1

S1

S1

S2

S2

S2

= E2, P1, S1

= E2, P1, S2

= E2, P2, S1

= E2, P2, S2

= E2, P3, S1

= E2, P3, S2





Se um determinado evento M ocorre de K maneiras diferentes, chamadas de M1, M2, M3, ..., Mk e se um outro evento distinto N pode ocorrer de J maneiras diferentes, chamadas de N1, N2, N3, ..., Nj, então o número total de maneiras que o evento M e N pode ocorrer é dado por K ×××× J. Vamos ver uma questão sobre esse assunto. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 218 - (ANAC - 2009 / CESPE) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, faze ndo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12. Solução: Nessa questão temos o seguinte: Ponto de partida : Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba (3 opções) Escala : Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo (4 opções) Ponto de chegada : Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju (7 opções) Com isso, o número de rotas possíveis é: (vale observar que elas não se repetem) 3 × 4 × 7 = 12 × 7 (portanto, múltiplo de 12) = 84 opções de rota. Item correto . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Análise Combinatória Antes de qualquer coisa, gostaria de esclarecer que esse assunto é muito importante para a resolução das questões da prova. Apesar de o edital falar apenas em “Princípios de Contagem”, devemos entender que a permutação, o arranjo e a combinação estão incluídos no edital, haja vista o que o CESPE já cobrou em outros concursos com o mesmo edital. Assim, feitos os esclarecimentos, vamos começar esse assunto falando um pouquinho sobre a Análise Combinatória . Trata-se de um dos tópicos em que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los.





Em outras palavras, com o uso das técnicas da Análise Combinatória é possível saber o número de maneiras possíveis de se realizar determinado acontecimento sem que seja necessário listar todas essas maneiras. Permutações, Arranjos e Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos. Descreveremos abaixo como cada um desses agrupamentos funciona. Antes disso, vamos exercitar nossa mente um pouquinho. Suponha que eu tenha uma moeda e a jogue no chão. O número de possibilidades para o resultado dessa jogada é dois (Cara ou Coroa). Agora, suponha que eu jogue duas moedas. Teremos então quatro possibilidades para o resultado dessa jogada: cara-cara cara-coroa coroa-cara coroa-coroa Teremos essas quatro possibilidades se a ordem dos resultados tiver importância. Caso a ordem dos resultados não importe, teremos apenas 3 resultados possíveis: cara-cara cara-coroa ou coroa-cara (dá no mesmo) coroa-coroa Agora, suponha que jogaremos 3 moedas. E então? Será que você sabe me dizer quantas possibilidades nós temos para o resultado dessa jogada? Caso a ordem tenha importância, teremos um total de 8 possibilidades (2 × 2 × 2 = 23 = 8). Caso a ordem não tenha importância, teremos apenas 4 possibilidades: cara-cara-cara cara-cara-coroa ou cara-coroa-cara ou coroa-cara-cara (dá no mesmo) cara-coroa-coroa ou coroa-cara-coroa ou coroa-coroa-cara (dá no mesmo) coroa-coroa-coroa Portanto, na análise das possibilidades de um evento acontecer, a primeira pergunta que devemos fazer é se a ordem dos elementos tem alguma importância. Agora, vamos esquecer um pouquinho as moedas e trabalhar com dados. Ao jogar um dado ao acaso, teremos 6 possibilidades para o resultado (1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Agora, ao jogarmos 2 dados, teremos: 6 × 6 = 62 = 36 possibilidades Agora, imaginem que temos dois dados diferentes, um branco e um preto. Quantas possibilidades nós temos para que o resultado dos dois dados seja diferente? Vimos que o total de possibilidades é 36, incluídos os resultados em que os dois dados apresentam o mesmo número. Os casos em que o resultado dos dois dados apresenta o mesmo número são 6 (11, 22, 33, 44, 55 e 66). Assim,





para saber a quantidade de possibilidades em que os dois dados apresentam números diferentes, podemos fazer o seguinte: 36 – 6 = 30 possibilidades Outra forma de chegarmos a esse mesmo resultado é considerarmos que primeiro nós iremos considerar o valor obtido no dado preto e em seguida o resultado obtido no dado branco (ou vice-versa). Assim: Nº de possibilidades para o dado preto: 6 (1, 2, 3, 4, 5, ou 6) Nº de possibilidades para o dado branco: 6 – 1 = 5 (pois o resultado do dado branco tem que ser diferente do dado preto) Assim, o total de possibilidades é dado por: 6 × 5 = 30 possibilidades Bom, agora que vocês já pensaram um pouco sobre a análise combinatória, vamos aprender o que significa a permutação, o arranjo e a combinação. Antes disso, devemos relembrar este importante operador matemático, o fatorial de um número natural, simbolizado pela exclamação “!”. Agora, seja “n” um número natural, definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo: n! = n ×××× (n – 1) ×××× (n – 2) ×××× ... ×××× 4 ×××× 3 ×××× 2 ×××× 1, para n > 1. Para n = 0, teremos: 0! = 1 Para n = 1, teremos: 1! = 1 Exemplos: 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 3.628.800 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40.320 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 2! = 2 × 1 = 2 Podemos escrever um fatorial em função de outro fatorial. Exemplos: 10! = 10 × 9! = 10 × 9 × 8! = 10 × 9 × 40.320 = 3.628.800





8! = 8 × 7! = 8 × 7 × 6! = 8 × 7 × 6 × 5! = 8 × 7 × 6 × 120 = 40.320 Podemos, também, ter equações com fatorial. Vejamos:

!4!6 =

1.2.3.41.2.3.4.5.6

= 6 × 5 = 30

ou

!4!6 =

!4!4.5.6 = 6 × 5 = 30

2.3 - Permutação Definimos permutação como sendo agrupamentos formados por “n” elementos, de forma que todos os “n” elementos participem dos agrupamentos e sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. Permutação Simples Definimos permutação simples como sendo o número de maneiras de arrumar n elementos em n posições em que cada maneira se diferencia apenas pela ordem em que os elementos aparecem. São agrupamentos com todos os “n” elementos distintos, não há repetição de elementos. Exemplo 1: Deseja-se saber quantos anagramas podem ser formado s com as letras da palavra “PAI” (um anagrama é uma palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição, tendo sign ificado ou não): Anagramas são os casos mais comuns de questões sobre permutação. Antes de apresentar a “fórmula” para a permutação simples, vamos tentar resolver a questão sem o uso de equações: PAI PIA IAP IPA API AIP Temos, então, 6 possibilidades. Vejam que esse exemplo nós conseguimos resolver sem o uso de equações, pois tínhamos apenas três letras. Vejamos outro exemplo:





Exemplo 2: Deseja-se saber quantos anagramas podem ser formado s com as letras da palavra “CHARLES”: Vamos tentar, novamente, sem o uso de equações: CHARLES CHARLSE CHARELS CHARESL CHARSEL CHARSLE CHASLER ... Como podemos ver, levará bastante tempo para conseguirmos escrever todos os anagramas e ainda corremos o risco de errar. Assim, aplicando o princípio multiplicativo obtemos a seguinte equação para permutações simples: Ps = n! Essa equação é obtida da seguinte forma: Para o 1º elemento, temos n possibilidades Para o 2º elemento, temos n − 1 possibilidades Para o 3º elemento, temos n − 1 − 1 = n − 2 possibilidades ... Para o nº elemento, temos apenas 1 possibilidade Assim, o total de possibilidades é dado por: Total = n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 1 = n! Vamos voltar e resolver os dois exemplos usando esta equação: Exemplo 1: PAI (três letras distintas, ou seja, n = 3) N° de anagramas = n! = 3! = 3.2.1 = 6 Exemplo 2: CHARLES (sete letras distintas, ou seja, n = 7)





N° de anagramas = n! = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 Agora vamos ver como isso já foi cobrado em concurso: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 219 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 é possível formar 120 números diferentes de 5 algarismos, sem repetição. Solução: Quantidade de algarismos distintos: 5, ou seja, n = 5 Assim, a quantidade de números distintos é dada por: n! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Portanto, o item está correto . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Permutação com repetição Definimos permutação com repetição como sendo o número de maneiras de arrumar n elementos em n posições em que cada maneira se diferencia pela ordem em que os elementos aparecem, e que pelo menos um desses n elementos se repete. Exemplo 1: Deseja-se saber quantos anagramas podem ser formado s com as letras da palavra “ASA”: Mais uma vez, vamos tentar resolver a questão sem o uso de equações: ASA AAS SAA Temos, então, 3 possibilidades. Novamente, nós conseguimos resolver a questão sem o uso de equações. Vejamos outro exemplo: Exemplo 2: Deseja-se saber quantos anagramas podem ser formado s com as letras da palavra “ARARAQUARA”:





Vamos tentar sem equações novamente? Acho melhor não. Vamos aprender logo a equação: Se entre os n elementos de um conjunto existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Pr = !....c!.b!.a

!n

Vamos voltar aos exemplos: Exemplo 1: ASA (3 letras, sendo que uma delas aparece 2 vezes, ou seja, n = 3 e a = 2).

N° de anagramas = !....c!.b!.a

!n =

!2!3 =

1.21.2.3

= 3

Exemplo 2: ARARAQUARA (10 letras, sendo que o “A” aparece 5 vezes e o “R” aparece 3 vezes, ou seja, n = 10, a = 5 e b = 3).

N° de anagramas = !....c!.b!.a

!n =

!3!.5!10

= 1.2.3!.5

!5.6.7.8.9.10 = 10.9.8.7 = 5040

Vamos ver como isso já foi cobrado em concurso: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 220 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Com 3 letras A e 7 letras B formam-se 120 sequências distintas de 10 letras cada. Solução: Nessa questão nós temos: n = 10 a = 3 b = 7 Assim:





Número de sequências = !b!.a

!n =

!7!.3!10

= !7!.3

!7.8.9.10 =

1.2.38.9.10

= 120

Portanto, o item está correto . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Permutação Circular A permutação circular não é mais um tipo de permutação, e sim, um caso particular do que já vimos. Trata-se de uma situação em que os elementos do agrupamento formarão uma linha fechada, ou seja, um círculo. Não temos como identificar onde começa ou onde termina o grupo. Vamos ver dois exemplos para clarear as idéias: Exemplo 1: Do grupo de amigos, Paulo, José e Marcel o, deseja-se saber de quantas formas diferentes eles podem formar uma fil a indiana. Aqui, usamos o que já aprendemos, que é a permutação simples. Assim, temos: Quantidade de maneiras = n! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 Vamos listar os grupos: 1° Paulo, 2° José e 3° Marcelo 1° Paulo, 2° Marcelo e 3° José 1° José, 2° Paulo e 3° Marcelo 1° José, 2° Marcelo e 3° Paulo 1° Marcelo, 2° José e 3° Paulo 1° Marcelo, 2° Paulo e 3° José Exemplo 2: Do mesmo grupo de amigos, Paulo, José e Marcelo, deseja-se saber de quantas formas diferentes eles podem forma r um círculo dando as mãos. Aqui, temos um caso típico da permutação circular. Não sabemos onde começa nem onde termina o grupo. Nesse caso, vamos desenhar as possíveis formações:

Paulo

Marcelo

José Paulo

José

Marcelo





É importante notar que na figura 1, Paulo está à direita de José e à esquerda de Marcelo, enquanto que na figura 2, Paulo está à esquerda de José e à direita de Marcelo. Não existe outra forma de dispor os três amigos sem que uma dessas duas formações se repita. Podemos, agora, escrever a equação da permutação circular, para uma quantidade n de elementos: Pc = (n – 1)! Voltando ao exemplo 2, temos: Pc = (n – 1)! = (3 – 1)! = 2! = 2 × 1 = 2 Vamos ver uma questão do Cespe sobre isso: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 221 - (BB - 2007 / CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Ness a situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares c om os participantes da reunião é superior a 10 2. Solução: Nessa questão, temos 6 pessoas para ocuparem 6 lugares. Assim: n = 6 Como a mesa é circular, temos: Pc = (n – 1)! Pc = (6 – 1)! Pc = (5)! Pc = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Portanto, o item está correto ! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.4 - Arranjo





Os Arranjos são agrupamentos formados por uma quantidade “p” de elementos de um grupo que possui um total de “m” elementos, de forma que os “p” elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Arranjos Simples No arranjo simples não ocorre a repetição dos elementos agrupados e a ordem ou a espécie dos componentes dos agrupamentos tem importância . Vamos a um exemplo: Exemplo 1: Pedro possui 3 latas de tinta, das cores azul, amarela e verde, para pintar a sala de sua casa. Ele deseja pintar a s paredes de uma cor e as janelas de uma cor diferente da cor usada nas pared es. De quantas formas diferentes ele poderá pintar sua sala? Vamos tentar resolver esta questão sem o uso de fórmulas. Vejamos: - Podemos ter as paredes azuis com as janelas amarelas ou verdes, ou seja,

2 possibilidades. - Podemos ter as paredes amarelas com as janelas azuis ou verdes, ou seja,

2 possibilidades. - Podemos ter as paredes verdes com as janelas azuis ou amarelas, ou seja,

2 possibilidades. Pedro terá, então, um total de 2 + 2 + 2 = 6 possibilidades diferentes para pintar a sala de sua casa. Exemplo 2: Agora, digamos que Pedro tivesse 10 core s diferentes (azul, amarelo, verde, vermelho, laranja, roxo, preto, cinz a, branco e marrom), e que ele quisesse pintar cada uma das quatro paredes e cada uma das duas janelas de sua sala de uma cor diferente, como farí amos? Vamos tentar mais uma vez sem o uso de fórmulas: - Podemos ter a parede 1 azul, a parede 2 amarela, a parede 3 verde, a

parede 4 vermelha, a janela 1 laranja e a janela 2 roxa, preta, cinza, branca ou marrom , ou seja, 5 possibilidades.

- Podemos ter a parede 1 azul, a parede 2 amarela, a parede 3 verde, a

parede 4 vermelha, a janela 1 roxa e a janela 2 laranja, preta, cinza, branca ou marrom , ou seja, 5 possibilidades.

- Podemos ter a parede 1 azul, a parede 2 amarela, a parede 3 verde, a

parede 4 vermelha, a janela 1 preta e a janela 2 laranja, roxa, cinza, branca ou marrom , ou seja, 5 possibilidades.





- Podemos ter a parede 1 azul, a parede 2 amarela, a parede 3 verde, a parede 4 vermelha, a janela 1 cinza e a janela 2 laranja, roxa, preta, branca ou marrom , ou seja, 5 possibilidades.

- ... Podemos ver que é uma conta que levaremos várias páginas desta aula para encontrar o seu resultado. Assim, aprenderemos agora uma equação que resume o que estávamos fazendo. Vamos lá:

As(m, p) = )!pm(

!m−−−−

Onde “m” é total de elementos disponíveis para serem agrupados e “p” é o total de elementos do grupo. Vamos resolver os dois exemplos acima utilizando esta equação: Exemplo 1:

As(m, p) = )!pm(

!m−

As(3, 2) = )!23(

!3−

= !1

!1.2.3 = 3.2 = 6

Exemplo 2:

As(m, p) = )!pm(

!m−

As(10, 6) = )!610(

!10−

= !4

!4.5.6.7.8.9.10 = 10.9.8.7.6.5 = 151200

Assim, com a utilização das equações, conseguimos encontrar as respostas dos dois exemplos de maneira muito mais rápida. É importante lembrar que a ordem e a espécie são levadas em consideração na utilização dos arranjos. Existe também uma forma de resolver as questões de arranjo sem o uso de equações. Vejamos novamente os nossos exemplos: Exemplo 1:





Temos três cores diferentes para pintarmos janelas e paredes, não podendo usar a mesma cor nos dois elementos. Assim, começando com as paredes, temos 3 opções de cores. Em seguida, para as janelas, temos apenas duas opções de cores, pois já utilizamos uma nas paredes: Paredes: 3 opções de cores Janelas: 3 − 1 = 2 opções de cores Total = 3 × 2 = 6 opções Exemplo 2: Da mesma forma que fizemos no exemplo 1, temos: Parede 1: 10 opções de cores Parede 2: 10 − 1 = 9 opções de cores Parede 3: 10 − 2 = 8 opções de cores Parede 4: 10 − 3 = 7 opções de cores Janela 1: 10 − 4 = 6 opções de cores Janela 2: 10 − 5 = 5 opções de cores Total = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 151200 Agora vamos ver como isso já foi cobrado em concurso. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 222 - (Anatel - 2012 / CESPE) Considerando-se que, em um aparelho de telefonia móvel do tipo smartphone, o acesso a dive rsas funcionalidades seja autorizado por senhas compostas de 4 dígitos e scolhidos entre os algarismos de 0 a 9, é correto afirmar que a quanti dade de possibilidades de senhas de acesso distintas cujos algarismos são tod os distintos é inferior a 5.000. Solução: Aqui temos um caso clássico de arranjo simples. Temos 10 números disponíveis e utilizaremos apenas 4 deles, sendo que todos os escolhidos devem ser diferentes entre si:

As(m, p) = )!pm(

!m−

As(10, 4) = )!410(

!10−

= !6

!6.7.8.9.10 = 10.9.8.7 = 5040 possibilidades





Portanto, o item está errado . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Arranjo com repetição No arranjo com repetição pode ocorrer a repetição dos elementos agrupados e a ordem e a espécie dos componentes dos agrupamentos tem importância . Vejamos um exemplo: Exemplo 1: Pedro possui 3 latas de tinta, das cores azul, amarela e verde, para pintar a sala de sua casa. Ele deseja pintar a s paredes e as janelas, podendo suas cores ser iguais ou não. De quantas fo rmas diferentes ele poderá pintar sua sala? Vamos tentar resolver esta questão sem o uso de fórmulas. Vejamos:

- Podemos ter as paredes azuis com as janelas azuis, amarelas ou verdes, ou seja, 3 possibilidades.

- Podemos ter as paredes amarelas com as janelas azuis, amarelas ou

verdes, ou seja, 3 possibilidades.

- Podemos ter as paredes verdes com as janelas azuis, amarelas ou verdes, ou seja, 3 possibilidades.

Pedro terá, então, um total de 3 + 3 + 3 = 9 possibilidades diferentes para pintar a sala de sua casa. Já podemos ver que, da mesma forma que no arranjo simples, quando tivermos uma quantidade maior de elementos para serem agrupados, o cálculo usando esta metodologia se tornará inviável. Assim, vamos apresentar a equação que simplifica este cálculo: Ar(m, p) = m p Neste exemplo 1, usando a equação acima, teríamos: Ar(m, p) = mp Ar(3, 2) = 32 = 9 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------





223 - (Anatel - 2012 / CESPE) Considerando-se que, em um aparelho de telefonia móvel do tipo smartphone, o acesso a dive rsas funcionalidades seja autorizado por senhas compostas de 4 dígitos e scolhidos entre os algarismos de 0 a 9, é correto afirmar que há mais de 12.000 possibilidades de senhas distintas para acessar as funcionalidades desse smartphone. Solução: O que difere esta questão da questão anterior é que agora nós podemos repetir os números da senha. Assim, utilizaremos o arranjo com repetição: Ar(m, p) = mp Ar(10, 4) = 104 = 10.000 possibilidades Portanto, o item está errado . No arranjo com repetição também é possível chegar ao resultado sem a utilização de fórmulas. Vejamos: 1º dígito da senha: 10 possibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) 2º dígito da senha: 10 possibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) 3º dígito da senha: 10 possibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) 4º dígito da senha: 10 possibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) Total = 10 × 10 × 10 × 10 = 104 = 10.000 possibilidades -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.5 - Combinação As Combinações são agrupamentos formados por uma quantidade “p” de elementos de um grupo que possui um total de “m” elementos, de forma que os “p” elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie. Existem dois tipos de combinações: combinação simples , em que não ocorre a repetição de nenhum de seus “p” elementos e combinação com repetição , em que qualquer um dos “p” elementos pode aparecer repetido. Combinação Simples Na combinação simples não ocorre a repetição dos elementos agrupados e apenas a espécie dos componentes dos agrupamentos tem importância . Vamos a um exemplo:





Exemplo 1: Num grupo de 4 jogadoras de vôlei de pra ia, Clara, Taís, Paula e Juliana, de quantas maneiras diferentes podemos for mar uma única dupla para participar de um torneio? Podemos perceber que uma dupla formada por Paula e Taís é o mesmo que uma dupla formada por Taís e Paula. Portanto, a ordem dos elementos não tem importância nenhuma. Vamos tentar formar essas duplas sem o uso das equações: Clara e Taís Clara e Paula Clara e Juliana Taís e Paula Taís e Juliana Paula e Juliana Conseguimos, rapidamente, descobrir que são 6 as possíveis duplas. Vamos ver um exemplo mais complicado: Exemplo 2: Num grupo de 12 jogadoras de vôlei, Ana, Beatriz, Clara, Diana, Érica, Flávia, Gabriela, Hilda, Ivete, Juliana, Lei la e Márcia, de quantas maneiras diferentes podemos formar um time de seis jogadoras para começar uma partida? Aqui já podemos ver a dificuldade que seria tentar listar todos os possíveis grupos de seis jogadoras que poderiam ser formados pelas 12 mulheres. Vamos, então, aprender mais uma equação:

C(m, p) = )!pm!.(p

!m−−−−

Onde m é o total de elementos a serem agrupados e p é o total de elementos do grupo. Vamos voltar aos dois exemplos: Exemplo 1: m = 4 (Clara, Taís, Paula e Juliana) p = 2 (uma dupla)

C(m, p) = C(4,2) = )!24!.(2

!4−

= )!2.(1.2!2.3.4

= 23.4

= 6





Exemplo 2: m = 12 (Ana, Beatriz, Clara, Diana, Érica, Flávia, Gabriela, Hilda, Ivete, Juliana, Leila e Márcia) p = 6 (Equipe com seis jogadoras)

C(m, p) = C(12, 6) = )!612!.(6

!12−

= )!6.(1.2.3.4.5.6

!6.7.8.9.10.11.12 =

2.3.4.5.67.8.9.10.11.12

= 924

Agora, vamos ver como isso já foi cobrado: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 224 - (Agente-PF - 2009 / CESPE) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas n os grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes. A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. Solução: Essa é uma questão clássica onde utilizamos a combinação (a ordem dos elementos do grupo não importa):

C(m, p) = )!pm!.(p

!m−

C(11, 5) = )!511!.(5

!11−

= )!6.(1.2.3.4.5

!6.7.8.9.10.11 =

2.3.4.57.8.9.10.11

= 11.3.2.7 = 462

Portanto, item errado . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Combinação com repetição Na combinação com repetição , como o próprio nome já diz, pode ocorrer a repetição dos elementos agrupados e apenas a espécie dos componentes dos agrupamentos tem importância . Vamos a um exemplo: Exemplo 1: Deseja-se sortear 2 convites para uma fe sta entre os cinco melhores alunos de uma classe, João, Ana, Carlos, M aria e Paula. De quantas maneiras diferentes esses convites podem se r sorteados, sabendo que cada um dos cinco alunos participa de todos os sorteios? Como de costume, vamos listar as possibilidades:

2 3





João, João Ana, Ana Carlos, Carlos Maria, Maria Paula, Paula João, Ana João, Carlos João, Maria João, Paula Ana, Carlos Ana, Maria Ana, Paula Carlos, Maria Carlos, Paula Maria, Paula Temos, então, 15 possibilidades para alocar esses dois convites entre os cinco alunos da classe. Vamos a um exemplo mais complicado: Exemplo 2: Deseja-se sortear 5 convites para uma fe sta entre os dez melhores alunos de uma classe, João, Ana, Carlos, M aria, Paula, Pedro, José, Clara, Joana e Lúcia. De quantas maneiras dif erentes esses convites podem ser sorteados, sabendo que cada um dos dez al unos participa de todos os sorteios? E agora? Será que conseguimos listar todos os grupos? Acho melhor não! Vamos aprender mais uma fórmula:

Cr(m, p) = C(m + p – 1, p) = )!1m!.(p)!1pm(

−−−−−−−−++++

onde m representa os elementos disponíveis para formar o grupo e p representa o total de elementos de cada grupo. Voltando aos exemplos 1 e 2, temos: Exemplo 1:

Cr(m, p) = Cr(5, 2) = C(5 + 2 – 1 , 2) = C(6, 2) = )!26!.(2

!6−

= )!4!.(2!4.5.6

= 25.6

= 15

Exemplo 2:

Cr(10, 5) = C(10 + 5 – 1, 5) = C(14, 5) = )!514!.(5

!14−

= )!9!.(5

!9.10.11.12.13.14 = 2002

Vamos ver uma questão sobre esse assunto:





-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 225 - (BB - 2009 / CESPE) Com 3 marcas diferentes de cadernos, a quantidade de maneiras distintas de se formar um pa cote contendo 5 cadernos será inferior a 25. Solução: Temos aqui um caso de combinação com repetição, pois poderemos repetir os elementos e sua ordem não importa:

Cr(m, p) = C(m + p – 1, p) = )!1m!.(p)!1pm(

−−+

Aqui devemos ficar atentos, pois o m representará as 3 marcas distintas e o p representará os 5 elementos de cada pacote:

Cr(3, 5) = C(3 + 5 – 1, 5) = )!13!.(5)!153(

−−+

Cr(3, 5) = C(7, 5) = !2!.5

!7

Cr(3, 5) = C(7, 5) = 1.2!.5!5.6.7

Cr(3, 5) = C(7, 5) = 26.7

= 21 maneiras distintas

Portanto, item correto . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.6 - Princípio da Casa dos Pombos Muitos de vocês já devem ter ouvido falar nesse princípio, outros talvez não. Mas com certeza, vocês verão que ele é bastante intuitivo. Vou explicar esse teorema com uma situação prática. Se eu te perguntasse quantas pessoas precisa haver num estádio de futebol para se ter certeza de que pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo dia? Eu disse certeza (não quer dizer que tenham nascido no mesmo ano, apenas façam aniversário no mesmo dia). Para facilitar, ignorem a existência do ano bissexto. Pensem um pouco mais... Antes de responder, vamos pensar numa situação. Digamos que houvesse duas pessoas no estádio. E então, podemos ter certeza que as duas pessoas fazem





aniversário no mesmo dia? Bom, até que é possível, mas bem pouco provável. E se houvesse três pessoas? Ainda é possível, mas continua muito pouco provável. Mas além de possível ou provável, queremos ter certeza de que duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia, e havendo duas, três, dez, ou até mesmo cinquenta, ainda não teríamos certeza de que duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia. Ou até mesmo trezentas pessoas. E por que isso? Bom, porque embora com trezentas pessoas já seja provável que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia, ainda não temos certeza, pois podemos ter o “azar” de todos terem nascido em dias diferentes do ano. Estamos chegando onde eu queria, e tenho certeza que você já chegou lá. Mesmo que tivéssemos 365 pessoas, não teríamos certeza de que pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo dia. Isso porque as 365 pessoas podem ter nascido cada uma em um dia diferente do ano. No entanto, se houver 366 pessoas no estádio, não há como fugir, pelo menos duas delas tem de soprar velinhas no mesmo dia. Resumindo, para se ter certeza de que pelo menos duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia, devemos ter pelo menos 365 + 1 = 366 pessoas, pois o ano possui 365 dias. Esse é o princípio da casa dos pombos: “se tivermos um número de ninhos (digamos “n”) e um número de pombos (digamos “p”), e o número “p” for maior do que “n”, então tem de haver pelo menos dois pombos em algum ninho ”. Vamos ver uma questão a respeito deste assunto: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 226 - (TRT-10 - 2013 / CESPE) Considerando que, dos 10 postos de combustíveis de determinada cidade, exatamente dois deles cometam a infração de vender gasolina adulterada, e que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para serem fiscalizados, cinco é a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem fisca lizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator. Solução: Bom, nessa questão temos 10 postos e sabemos que 2 deles são infratores. Assim, temos 10 − 2 = 8 postos que não são infratores. Escolhendo aleatoriamente os postos a serem fiscalizados, para que eu possa garantir que com certeza um dos postos fiscalizados será infrator, devemos selecionar 8 + 1 = 9 postos, pelo princípio da casa dos pombos: Selecionando 1 posto: Pode ser um posto regular Selecionando 2 postos: Podem ser dois postos regulares Selecionando 3 postos: Podem ser três postos regulares





Selecionando 4 postos: Podem ser quatro postos regulares Selecionando 5 postos: Podem ser cinco postos regulares Selecionando 6 postos: Podem ser seis postos regulares Selecionando 7 postos: Podem ser sete postos regulares Selecionando 8 postos: Podem ser oito postos regulares Selecionando 9 postos: Agora não tem jeito, pois não temos nove postos regulares, com certeza um será infrator. Portanto, a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem fiscalizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator é nove. Item errado . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Agora, vamos ver mais algumas questões para praticar! (Texto para as questões 227 e 228) Entre os 6 analistas de uma empresa, 3 serão escolhidos para formar uma equipe que elabora rá um projeto de melhoria da qualidade de vida para os empregados da empresa. Desses 6 analistas, 2 desenvolvem atividades na área de ciên cias sociais e os demais, na área de assistência social. Julgue os itens que se seguem, relativos à composiç ão da equipe acima mencionada. 227 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os 2 analistas que desenvolvem atividades na área de ciências sociais fizerem parte da equipe, e ntão a quantidade de maneiras distintas de se compor essa equipe será su perior a 6. Solução: Nessa questão, temos 2 analistas da área de ciências sociais e 4 analistas da área de assistência social. Será formado um grupo de 3 pessoas, com 2 analistas da área de ciências sociais e 1 analista da área de assistência social. Assim, podemos perceber que os dois analistas da área de ciências sociais estarão presentes em todos os grupos. O que irá variar é o representante dos analistas da área de assistência social. Portanto, teremos 4 possíveis grupos para essas condições: Grupo 1:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 1 de assist. soc.; Grupo 2:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 2 de assist. soc.; Grupo 3:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 3 de assist. soc.; Grupo 4:Analista 1 de c. soc. ; Analista 2 de c. soc.; Analista 4 de assist. soc.;





Portanto, item errado . 228 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a equipe for formada por 2 analistas da área de assistência social e 1 analista da área de ciências sociais, então ela poderá ser composta de 12 maneiras distintas. Solução: Agora, será formado um grupo de 3 pessoas, com 2 analistas da área de assistência social e 1 analista da área de ciências sociais. Assim: Para as duas vagas de analista de assistência social: Combinação dos 4 analistas, dois a dois. Para a vaga de analista de ciências sociais: 2 opções. Assim, o total de opções para os grupos é dado por: Total = C(4, 2) × 2

Total = !2)!.24(

!4−

× 2

Total = !2!.2!2.3.4 × 2

Total = 1.23.4

× 2

Total = 2

12 × 2 = 12

Item correto . (Texto para as questões 229 a 231) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um m esmo cargo, julgue os próximos itens. 229 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Al berto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em m ais de 5 dessas listas. Solução:





Nessa questão, primeiramente devemos entender que as listas deverão conter 2 dos três nomes. Se a lista contiver 1 nome, não serve, assim como, se a lista contiver os três nomes, também não serve. Nós vamos começar calculando a quantidade total de listas possíveis. Como a ordem das pessoas na lista não importa, usaremos a combinação de cinco elementos, três a três:

C(5, 3) = !3)!.35(

!5−

C(5, 3) = !3!.2!3.4.5

C(5, 3) = 1.24.5

C(5, 3) = 2

20 = 10

Pronto, sabemos agora que o total de listas possíveis é igual a 10. Agora, devemos eliminar desse total as listas que contêm apenas um dos três nomes e a lista que contém os três nomes. Com isso, vamos, escrever essas listas que não atendem nossa necessidade: Candidato 4 Candidato 5 Alberto_ Candidato 4 Candidato 5 Bento_ Candidato 4 Candidato 5 Carlos_ Alberto Bento Carlos_ Portanto, a quantidade total de listas que contém 2 dos três nomes citados na questão é igual a 10 – 4 = 6. Item correto . 230 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, s e Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão a penas um desses nomes. Solução: Vimos na questão anterior que apenas 3 dessas listas conterão apenas um dos nomes citado no enunciado: Candidato 4 Candidato 5 Alberto_ Candidato 4 Candidato 5 Bento_





Candidato 4 Candidato 5 Carlos_ Portanto, item correto . 231 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. Solução: Vimos anteriormente que essa quantidade é dada pela combinação dos 5 candidatos, três a três:

C(5, 3) = !3)!.35(

!5−

= 10

Portanto, item errado . 232 - (FUB - 2009 / CESPE) A quantidade de números naturais de 3 algarismos em que todos os algarismos são distintos é superior a 700 Solução: Nessa questão, temos: A quantidade de algarismos: 3 Todos os algarismos são distintos.

Arranjo (10,3) = )!310(

!10−

= !7

!7.8.9.10 = 10.9.8 = 720

Ocorre que calculando dessa maneira, estamos considerando como números de três algarismos os números começados com zero (045, 066, ...) e não é isso que o Cespe quer que consideremos. Assim, temos: 1º dígito: 9 possibilidades, pois o zero não pode ocupar essa posição 2º dígito: 9 possibilidades, pois já utilizamos um número no primeiro dígito 3º dígito: 8 possibilidades, pois já utilizamos dois números, nos dígitos 1 e 2. Total = 9 × 9 × 8 = 648 Portanto, item errado . (Texto para as questões 233 a 237) O estafe de uma nova instituição pública será composto por 15 servidores: o diretor-geral, s eu secretário executivo e seus 2 subsecretários — 1 de assuntos administrativ os e 1 de fomento —, 4 diretores — de administração e finanças, de infraes trutura, executivo e de





pessoal — e, ainda, sete assessores ligados a esses cargos. Para a composição desse estafe, dispõe-se de 20 pessoas, t odas igualmente qualificadas para assumir qualquer um dos cargos va gos. Entretanto, por motivos internos, apenas 5 delas podem assumir carg os de direção. As pessoas escolhidas para os cargos de assessoria des empenham funções similares. Considerando a situação acima, julgue os itens que se seguem. 233 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos todos os cargos de direção, de secretário executivo e de subsecretários, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem a s pessoas para preencher os sete cargos de assessores é superior a 700. Solução: Nessa questão, devemos perceber que das 20 pessoas inicialmente disponíveis, restaram apenas 12, pois 8 delas já foram escolhidas para os cargos de direção, secretário executivo e subsecretários. Assim, temos 12 pessoas para preencherem 7 cargos iguais. Percebam que os sete cargos são iguais, o que faz com que a ordem da escolha não tenha importância. Por isso, iremos fazer uma combinação das doze pessoas, sete a sete:

C(12, 7) = !7)!.712(

!12−

C(12, 7) = !7!.5

!7.8.9.10.11.12

C(12, 7) = 1.2.3.4.5

8.9.10.11.12

C(12, 7) = 11 × 9 × 8 = 792 Item correto . 234 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os 15 cargos d e modo que as restrições internas sejam respeitadas é igual a 15! /7!. Solução: Agora, devemos entender que 5 dos 20 candidatos concorrem às vagas de diretores e os 15 restantes concorrem às vagas de secretário executivo, subsecretários e assessores. Assim, temos: Para os diretores:





5 pessoas concorrendo a 5 cargos diferentes. Como utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos a permutação: P5 = 5! Para os cargos de secretário executivo e subsecretá rios: 15 pessoas concorrendo a 3 cargos diferentes. Como não utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos o arranjo:

A(15, 3) = )!315(

!15−

A(15, 3) = !12!15

Para os demais cargos de assessores: Como 3 pessoas já preencheram os cargos de secretário executivo e subsecretários, restaram 12 para preencherem os cargos de assessores. Esse cálculo nós já fizemos na questão anterior:

C(12, 7) = !7!.5

!12

Assim, o total de possibilidades é:

Total = 5! × !12!15 ×

!7!.5!12

= !7!15

Vejam que nem precisamos fazer as contas. Item correto . 235 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os “motivos internos” não existissem, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem a s pessoas para preencher os 15 cargos seria igual a 20!/7!. Solução: Agora, as 20 pessoas concorrem aos 15 cargos disponíveis. Assim, primeiro vamos preencher os cargos diferenciados: Para os 8 cargos diferenciados (diretores, secretár io e subsecretários): 20 pessoas concorrendo a 8 cargos distintos. Como não utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos o arranjo:





A(20, 8) = )!820(

!20−

A(20, 8) = !12!20

Para os demais cargos de assessores: Como 8 pessoas já preencheram os cargos diferenciados, restaram 12 pessoas para preencherem os cargos de assessores. Esse cálculo nós já fizemos anteriormente:

C(12, 7) = !7!.5

!12

Assim, o total de possibilidades é:

Total = !12!20 x

!7!.5!12

= !7!.5!20

Vejam que sobrou a divisão por 5!. Item errado . 236 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras diferentes de serem preenchidos os cinco cargos de direção é superior a 100. Solução: Como para preencher os 5 cargos de direção só podemos utilizar 5 candidatos (por “motivos internos”), teremos 5 candidatos para cinco vagas distintas. Assim, como todos os elementos participam e a ordem importa, utilizaremos a permutação: P5 = 5! P5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Item correto . 237 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos os cargos de direção, a quantidade de maneiras distint as de se escolherem as pessoas para preencher os cargos de secretário e de subsecretário é superior a 3.000. Solução:





Já vimos que para essa escolha nós temos 15 pessoas concorrendo a 3 cargos diferentes. Como não utilizaremos todos os elementos disponíveis e a ordem importa, utilizaremos o arranjo:

A(15, 3) = )!315(

!15−

A(15, 3) = !12

!12.13.14.15

A(15, 3) = 15 × 14 × 13 = 2730 Item errado . 238 - (MPE/RR - 2008 / CESPE) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as seguintes áreas: d ireito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributá rio e direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a um, os processos dess e arquivo, sem se verificar a que área se referem, para se ter a cert eza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma área, será necessário que se retirem pelo menos 45 processos. Solução: Nessa questão, devemos retirar os processos, sem se verificar a que área se referem, e garantir que pelo menos 10 se referem à mesma área. Assim, é possível que eu retire apenas 10 processos e esses 10 processos sejam da mesma área. Porém isso é bem pouco provável. Mas eu não quero saber a probabilidade, eu quero ter certeza! Vimos na teoria do “Principio da Casa dos Pombos” que para que eu garanta que algum dos n ninhos tenha mais do que um pombo são necessários n + 1 pombos. Assim, nessa questão, suponha que eu queira retirar 2 processos da mesma área (penal, civil, trabalhista, tributário ou agrário): Retirando-se 2 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 3 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 4 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 5 processos – Não garanto nada, pode ser um de cada área Retirando-se 6 processos – Agora eu garanto que pelo menos dois processos são da mesma área. 5 × 1 + 1 = 5 + 1 = 6 Caso todos os processos tivessem mais do que 10 unidades, para garantir que iríamos tirar pelo menos 10 processos da mesma área, precisaríamos de: 5 × 9 + 1 = 45 + 1 = 46 processos





Como as áreas tributária e agrária não possuem 10 processos cada uma, devemos contar que todos os processos dessas duas áreas foram retirados e verificar como iremos garantir 10 processos de alguma das outras três áreas. 3 × 9 + 10 + 1 = 27 + 10 + 1 = 38 processos Item errado .





3 - Questões comentadas nesta aula 218 - (ANAC - 2009 / CESPE) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12. 219 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 é possível formar 120 números diferentes de 5 algarismos, sem repetição. 220 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Com 3 letras A e 7 letras B formam-se 120 sequências distintas de 10 letras cada. 221 - (BB - 2007 / CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102. 222 - (Anatel - 2012 / CESPE) Considerando-se que, em um aparelho de telefonia móvel do tipo smartphone, o acesso a diversas funcionalidades seja autorizado por senhas compostas de 4 dígitos escolhidos entre os algarismos de 0 a 9, é correto afirmar que a quantidade de possibilidades de senhas de acesso distintas cujos algarismos são todos distintos é inferior a 5.000. 223 - (Anatel - 2012 / CESPE) Considerando-se que, em um aparelho de telefonia móvel do tipo smartphone, o acesso a diversas funcionalidades seja autorizado por senhas compostas de 4 dígitos escolhidos entre os algarismos de 0 a 9, é correto afirmar que há mais de 12.000 possibilidades de senhas distintas para acessar as funcionalidades desse smartphone. 224 - (Agente-PF - 2009 / CESPE) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes. A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. 225 - (BB - 2009 / CESPE) Com 3 marcas diferentes de cadernos, a quantidade de maneiras distintas de se formar um pacote contendo 5 cadernos será inferior a 25. 226 - (TRT-10 - 2013 / CESPE) Considerando que, dos 10 postos de combustíveis de determinada cidade, exatamente dois deles cometam a infração de vender





gasolina adulterada, e que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para serem fiscalizados, cinco é a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem fiscalizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator. (Texto para as questões 227 e 228) Entre os 6 analistas de uma empresa, 3 serão escolhidos para formar uma equipe que elaborará um projeto de melhoria da qualidade de vida para os empregados da empresa. Desses 6 analistas, 2 desenvolvem atividades na área de ciências sociais e os demais, na área de assistência social. Julgue os itens que se seguem, relativos à composição da equipe acima mencionada. 227 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os 2 analistas que desenvolvem atividades na área de ciências sociais fizerem parte da equipe, então a quantidade de maneiras distintas de se compor essa equipe será superior a 6. 228 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a equipe for formada por 2 analistas da área de assistência social e 1 analista da área de ciências sociais, então ela poderá ser composta de 12 maneiras distintas. (Texto para as questões 229 a 231) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens. 229 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas. 230 - (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes. 231 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20. 232 - (FUB - 2009 / CESPE) A quantidade de números naturais de 3 algarismos em que todos os algarismos são distintos é superior a 700 (Texto para as questões 233 a 237) O estafe de uma nova instituição pública será composto por 15 servidores: o diretor-geral, seu secretário executivo e seus 2





subsecretários — 1 de assuntos administrativos e 1 de fomento —, 4 diretores — de administração e finanças, de infraestrutura, executivo e de pessoal — e, ainda, sete assessores ligados a esses cargos. Para a composição desse estafe, dispõe-se de 20 pessoas, todas igualmente qualificadas para assumir qualquer um dos cargos vagos. Entretanto, por motivos internos, apenas 5 delas podem assumir cargos de direção. As pessoas escolhidas para os cargos de assessoria desempenham funções similares. Considerando a situação acima, julgue os itens que se seguem. 233 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos todos os cargos de direção, de secretário executivo e de subsecretários, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os sete cargos de assessores é superior a 700. 234 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se escolhem as pessoas para preencher os 15 cargos de modo que as restrições internas sejam respeitadas é igual a 15!/7!. 235 - (EBC - 2011 / CESPE) Se os “motivos internos” não existissem, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os 15 cargos seria igual a 20!/7!. 236 - (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras diferentes de serem preenchidos os cinco cargos de direção é superior a 100. 237 - (EBC - 2011 / CESPE) Supondo que já tenham sido preenchidos os cargos de direção, a quantidade de maneiras distintas de se escolherem as pessoas para preencher os cargos de secretário e de subsecretário é superior a 3.000. 238 - (MPE/RR - 2008 / CESPE) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as seguintes áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributário e direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a um, os processos desse arquivo, sem se verificar a que área se referem, para se ter a certeza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma área, será necessário que se retirem pelo menos 45 processos.





4 - Questões para praticar! A solução será apresent ada na próxima aula (Texto para as questões 239 a 241) De acordo com o primeiro lema de Kaplansky, a quantidade de subconjuntos de {1, 2, 3,..., n} com p elementos, em que não há números consecutivos, é dada pela fórmula abaixo.

)!1p2n(!p)!1pn(

+−+−

Uma das aplicações desse lema é a contagem do número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que 2 meninas não fiquem em posições adjacentes. A estratégia para se realizar essa contagem compreende quatro passos. Em primeiro lugar, deve-se contar o número de maneiras de se escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas; esse procedimento deve ser feito utilizando-se o lema de Kaplansky. Em seguida, deve-se contar o número de maneiras de organizar as meninas nessas cadeiras. O próximo passo consiste em contar o número de maneiras de se distribuir os meninos nas cadeiras restantes. Por fim, deve-se usar o princípio multiplicativo. Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos. 239 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Diante dos dados acima, é correto afirmar que o número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que não fiquem 2 meninas em posições adjacentes, é superior a 600.000. 240 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Em face dos dados apresentados, é correto afirmar que o número de maneiras de se escolher as 4 cadeiras entre as 10 disponíveis sem que haja cadeiras consecutivas é superior a 40. 241 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A partir dos dados acima, é correto concluir que o número de maneiras de se organizar as 4 meninas nas 4 cadeiras escolhidas é igual a 16. (Texto para as questões 242 a 244) Alberto, Bruno, Sérgio, Janete e Regina assistirão a uma peça de teatro sentados em uma mesma fila, lado a lado. Nessa situação, julgue os itens subsequentes. 242 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Caso Janete e Regina sentem-se nas extremidades da fila, então a quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 24.





243 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 120. 244 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considere que Sérgio e Janete sentem um ao lado do outro. Nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de como as 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 48. (Texto para as questões 245 e 246) Julgue os itens seguintes, considerando que planos previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios: renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por invalidez. 245 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis. 246 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104. (Texto para as questões 247 e 248) Entre 3 mulheres e 4 homens, 4 serão escolhidos para ocupar, em uma empresa, 4 cargos de igual importância. Julgue os itens a seguir, a respeito das possibilidades de escolha dessas 4 pessoas. 247 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A proposição “Se 2 mulheres e 2 homens forem os escolhidos, então a quantidade de maneiras distintas de se ocupar os cargos é igual a 12” é uma proposição falsa. 248 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A proposição “Se todas as mulheres forem escolhidas, então a quantidade de escolhas distintas para a ocupação das vagas é igual a 3” é uma proposição verdadeira. (Texto para as questões 249 e 250) Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada





uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 249 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 100. 250 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. (Texto para a questão 251) Estudos revelam que 95% dos erros de digitação de uma sequência numérica — como, por exemplo, um código de barras ou uma senha — são a substituição de um algarismo por outro ou a troca entre dois algarismos da mesma sequência; esse último tipo de erro corresponde a 80% dos casos. Considerando esses fatos e que a senha de acesso de um usuário a seu provedor de e-mail seja formada por 8 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9, julgue o item seguinte. 251 - (SERPRO - 2013 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de o usuário, ao digitar a sua senha, cometer um erro do tipo troca entre dois algarismos da própria sequência é superior a 30.

(Texto para as questões 252 a 255) A figura acima representa, de forma esquemática, a divisão territorial de uma cidade. As linhas representam as pistas e os quadrados, os terrenos. No ponto O há um pronto socorro com uma ambulância para o transporte de pacientes. O pronto socorro conta com 2 motoristas para a ambulância, 3 médicos e 10 enfermeiros e, sempre que for necessário o transporte de paciente, são escolhidos um motorista, um médico e três enfermeiros para o acompanhamento. O pronto socorro tem convênio com dez postos de combustível,





de modo que a ambulância é abastecida utilizando-se vales-combustível, podendo ser abastecida mais de uma vez em um mesmo posto. Com base nessa situação, julgue os próximos itens. 252 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Considere que tenha ocorrido um acidente no ponto P e que a ambulância deva se deslocar de O para P percorrendo as pistas apenas nos sentidos norte e leste. Neste caso, há 1.001 maneiras distintas de a ambulância chegar ao local do acidente. 253 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Se a cada transporte de paciente toda a equipe de acompanhamento é substituída, então, nesse caso, há mais de 250 maneiras distintas de substituição da equipe que estava trabalhando. 254 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Há mais de 3.000 maneiras distintas de se escolher uma equipe de profissionais para o transporte de paciente. 255 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Se o motorista abastece a ambulância utilizando quatro vales-combustível por mês e um vale a cada abastecimento, então, desconsiderando-se a ordem dos abastecimentos, há mais de 700 maneiras distintas de utilização dos vales. (Texto para as questões 256 e 257) Os alunos de uma turma cursam 4 disciplinas que são ministradas por 4 professores diferentes. As avaliações finais dessas disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de segunda a sexta-feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes. 256 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos demais, haverá mais de 500 maneiras de se organizar o calendário dessas avaliações. 257 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se em cada dia da semana ocorrer a avaliação de no máximo uma disciplina, então, nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de se organizar o calendário de avaliações será inferior a 100. (Texto para as questões 258 a 261) Considerando que, na fruteira da casa de Pedro, haja 10 uvas, 2 maçãs, 3 laranjas, 4 bananas e 1 abacaxi, julgue os próximos itens. 258 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se Pedro desejar comer apenas um tipo de fruta, a quantidade de maneiras de escolher frutas para comer será superior a 100.





259 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Há mais de 1.330 maneiras distintas de Pedro escolher pelo menos uma fruta entre aquelas que estão em sua fruteira. 260 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se, para fazer uma salada de frutas, Pedro deve escolher pelo menos dois tipos de frutas, em qualquer quantidade, então há menos de 1.000 maneiras distintas de Pedro escolher frutas para compor sua salada. 261 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se Pedro desejar comer apenas bananas, haverá quatro maneiras de escolher algumas frutas para comer. (Texto para as questões 262 a 264) A Mesa Diretora da Câmara dos Deputados, responsável pela direção dos trabalhos legislativos e pelos serviços administrativos da Casa, compõe-se de Presidência — presidente, 1.º e 2.º vice-presidentes — e de Secretaria — 1.º, 2.º, 3.º e 4.º secretários e 1.º, 2.º, 3.º e 4.º suplentes —, devendo cada um desses cargos ser ocupado por um deputado diferente, ou seja, um mesmo deputado não pode ocupar mais de um desses cargos. Supondo que, por ocasião da composição da Mesa Diretora, qualquer um dos 513 deputados possa assumir qualquer um dos cargos na Mesa, julgue os itens a seguir. 262 - (Câmara - 2012 / CESPE) O número correspondente à quantidade de maneiras diferentes de se compor a Mesa Diretora da Câmara dos Deputados pode ser expresso por 513!/502!. 263 - (Câmara - 2012 / CESPE) Sabendo-se que, entre os 513 deputados, 45 são do sexo feminino, então o número correspondente à quantidade de maneiras distintas de se compor a Mesa Diretora de forma que pelo menos um dos 11 cargos seja ocupado por deputada pode ser expresso por 45!/34!. 264 - (Câmara - 2012 / CESPE) Existem menos de 125.000.000 de maneiras diferentes de se escolher a Presidência da Mesa Diretora da Câmara dos Deputados. (Texto para a questão 265) Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras. Com referência a essa situação, julgue o item subsequente.





265 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Se a escala dos policiais for feita de modo a diversificar as duplas que policiam as quadras, então, se determinada dupla policiar a quadra X em determinado dia, essa mesma dupla voltará a policiar a quadra X somente mais de seis meses após aquele dia.





5 - Gabarito 218 - C 219 - C 220 - C 221 - C 222 - E 223 - E 224 - E 225 - C 226 - E 227 - E 228 - C 229 - C 230 - C 231 - E 232 - C 233 - C 234 - C 235 - E 236 - C 237 - E 238 - E 239 - C 240 - E 241 - E

242 - E 243 - C 244 - C 245 - C 246 - E 247 - C 248 - E 249 - C 250 - E 251 - E 252 - C 253 - E 254 - E 255 - C 256 - C 257 - E 258 - E 259 - E 260 - E 261 - C 262 - C 263 - E 264 - E 265 - C

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Aula 04 - RL