Cap+4+Sistemas+de+Controle+Automatico

8/18/2019 Cap+4+Sistemas+de+Controle+Automatico

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Sistemas de Controle Automático


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4.1 INTRODUÇÃO

Um sistema de controle é basicamente um sistema entrada(s)-saída(s) conforme ilustrado nafigura 4.1.

Figura 4.1: Sistema de controle

O sistema a ser controlado é, em geral, chamado de processo ou planta. O processo é umsistema dinâmico, ou seja, seu comportamento é descrito matematicamente por um conjunto deequações diferenciais. Como exemplos de sistemas dinâmicos temos, entre outros: sistemas elétricos,

mecânicos, químicos, biológicos e econômicos. A entrada do processo u(t ) é chamada de variável decontrole ou variável manipulada (MV) e a saída do processo é chamada de variável controlada ouvariável de processo (PV). A filosofia básica de um sistema de controle consiste em aplicar sinaisadequados na entrada do processo com o intuito de fazer com que o sinal de saída satisfaça certasespecificações e/ou apresente um comportamento particular. Um problema de controle consiste entãoem determinar os sinais adequados a serem aplicados a partir da saída desejada e do conhecimento do

processo.

Contro le em Malha Aberta

O controle em malha aberta consiste em aplicar um sinal de controle pré-determinado,

esperando-se que ao final de um determinado tempo a variável controlada atinja um determinado valorou apresente um determinado comportamento. Neste tipo de sistema de controle não são utilizadasinformações sobre evolução do processo para determinar o sinal de controle a ser aplicado em umdeterminado instante. Mais especificamente, o sinal de controle não é calculado a partir de umamedição do sinal de saída.

Figura 4.2: Controle em malha aberta

Exemplo : Imagine um automóvel sem velocímetro. Deseja-se manter a velocidade constante em umdeterminado valor: 80 Km/h, por exemplo. O motorista estima então com qual pressão ele deverá pisarno acelerador e mantém o acelerador com esta pressão. Dependendo da experiência do motorista avelocidade final se manterá próxima de 80 Km/h, mas somente com muita sorte ele conseguirá mantera velocidade em 80 Km/h. Por outro lado, se ele precisar subir (ou descer) uma lomba, a velocidade irádiminuir (ou aumentar).

Exemplo : Considere o controle de um forno onde um operador com uma determinada experiência,estima o tempo que o forno deve ficar ligado a plena potência para que a temperatura chegue a um


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determinado valor. Obviamente, apenas com muita sorte, a temperatura do forno ao final do tempo pré-determinado será exatamente a desejada. De uma maneira geral, a temperatura ficará um poucoacima ou um pouco abaixo do valor desejado. Além disto, a temperatura final do forno provavelmenteirá variar dependendo de variações temperatura ambiente, ou seja, a temperatura interna final do fornoserá diferente se a temperatura externa for de 5 oC (no inverno) ou 30 oC (no verão).

Os exemplos acima ilustram as características básicas de um sistema de controle que opera em

malha aberta: imprecisão, nenhuma adaptação a variações externas (perturbações), dependência do julgamento e da estimativa humana. Por outro lado, este tipo de sistemas são em geral simples e baratos, pois não envolvem equipamentos sofisticados para a medição e/ou determinação do sinal decontrole.

Contro le em Malha Fechada

No controle em malha fechada, informações sobre como a saída de controle está evoluindo sãoutilizadas para determinar o sinal de controle que deve ser aplicado ao processo em um instanteespecífico. Isto é feito a partir de uma realimentação da saída para a entrada. Em geral, a fim de tornaro sistema mais preciso e de fazer com que ele reaja a perturbações externas, o sinal de saída é

comparado com um sinal de referência (chamado no jargão industrial de set-point ) e o desvio (erro)entre estes dois sinais é utilizado para determinar o sinal de controle que deve efetivamente seraplicado ao processo. Assim, o sinal de controle é determinado de forma a corrigir este desvio entre asaída e o sinal de referência. O dispositivo que utiliza o sinal de erro para determinar ou calcular osinal de controle a ser aplicado à planta é chamado de controlador ou compensador . O diagrama

básico de um sistema de controle em malha-fechada é mostrado na figura 4.3.

Figura 4.3: Controle em malha fechada

Exemplo : Considere o mesmo exemplo do automóvel. Suponha agora que o carro possui umvelocímetro. O motorista pode então monitorar a velocidade e variar a pressão com que ele pisa no

pedal de forma a manter a velocidade no valor desejado. Se a velocidade passar do valor desejado ele"alivia o pé", e, se a velocidade cair um pouco do valor desejado ele "pisa" um pouco mais forte noacelerador. O mesmo tipo de controle ele fará quando estiver subindo ou descendo uma lomba.

Exemplo : Considere o mesmo exemplo do forno. Suponha agora que a temperatura interna do forno émedida e o seu valor é comparado com uma referência pré-estabelecida. Se a temperatura dentro doforno é menor que a referência, então aplica-se ao forno uma potência proporcional a esta diferença.

Neste sentido, a temperatura dentro do forno tenderá a crescer diminuindo a diferença com relação areferência. No caso do erro ser negativo (temperatura do forno maior que o valor de referência)acionar-se-ia um sistema de resfriamento do forno com potência proporcional a este erro, ou,simplesmente, se desligaria o aquecimento do mesmo. Desta maneira, a temperatura do forno tenderiasempre a estabilizar no valor de referência ou em um valor muito próximo desta, garantindo ao sistemade controle uma boa precisão. Além disto, variações da temperatura externa (que fariam variar atemperatura dentro do forno) seriam compensadas pelo efeito da realimentação, garantindo ao sistemacapacidade de adaptação a perturbações externas.


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Em resumo, a utilização da realimentação e, portanto, do controle em malha fechada, permiteentre outros:

aumentar a precisão do sistema;rejeitar o efeito de perturbações externas;melhorar a dinâmica do sistema e, eventualmente, estabilizar um sistema naturalmente instávelem malha aberta;

diminuir a sensibilidade do sistema a variações dos parâmetros do processo, ou seja, tornar osistema robusto;

Diagrama de bloc os.

Um sistema de controle, em geral, tem vários componentes. Para mostrar as funções que sãoexecutadas por cada um desses componentes, na engenharia de controle, normalmente utilizamos umdiagrama chamado de diagrama de blocos. Um diagrama de blocos de um sistema é umarepresentação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e o fluxo de sinais entre eles.Esses diagramas descrevem o inter-relacionamento que existe entre os vários componentes. Diferindoda representação matemática abstrata pura, um diagrama de blocos tem a vantagem de indicar mais

realisticamente o fluxo de sinais do sistema real.

Em um diagrama de blocos, todas as variáveis do sistema são ligadas umas às outras por meiode blocos funcionais. O bloco funcional ou simplesmente bloco é um símbolo da operação matemáticaque é aplicada ao sinal de entrada do bloco, que produz o sinal de saída. A função de transferência doscomponentes é normalmente incluída nos blocos correspondentes, os quais estão conectados por setasque indicam a direção do fluxo de sinais. Note que o sinal pode passar somente no sentido indicado

pelas setas. Assim, um diagrama de blocos de um sistema de controle evidencia explicitamente uma propriedade unilateral.

A figura 4.4 mostra um elemento do diagrama de blocos. A seta que aponta para o bloco indicaa entrada e a seta que aponta para fora do bloco representa a saída. Essas setas são designadas como

sinais.

Figura 4.4: Elemento de um diagrama de blocos

Note que as dimensões do sinal de saída do bloco são as dimensões do sinal de entradamultiplicadas pelas dimensões da função de transferência do bloco.

As vantagens da representação de um sistema por diagramas de blocos consistem no fato deque é fácil a construção de um diagrama de blocos para todo o sistema pela simples interligação dos

blocos componentes, de acordo com o fluxo de sinais, e na possibilidade de avaliar a contribuição decada componente para o desempenho global do sistema.

Em geral, a operação funcional do sistema pode ser visualizada mais facilmente pelo exame dodiagrama de blocos do que pelo exame do próprio sistema físico. Um diagrama de blocos contéminformações relativas ao comportamento dinâmico, mas não inclui nenhuma informação sobre a


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construção física do sistema. Conseqüentemente, muitos sistemas que não apresentam semelhança enão estão relacionados podem ser representados pelo mesmo diagrama de blocos.

Deve ser notado que, em um diagrama de blocos, a fonte principal de energia não é mostradaexplicitamente e o diagrama de blocos de um dado sistema não é único. Um certo número de diferentesdiagramas de blocos podem ser desenhados para um dado sistema, dependendo do ponto de vista daanálise que se quer fazer.

Somador. Referindo-se à figura 4.5, um círculo com uma cruz é o símbolo que indica a operação desoma. O sinal de mais ou menos na extremidade de cada seta indica se o sinal deve ser somado ousubtraído. E importante que as quantidades a serem somadas ou subtraídas tenham as mesmasdimensões e as mesmas unidades.

Ponto de ramif icação. Um ponto de ramificação é um ponto em que o sinal que vem de um blocoavança simultaneamente em direção a outros blocos ou somadores.

Figura 4.5: Somador.

Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada. A figura 4.6 mostra o exemplo de um

diagrama de blocos de um sistema de malha fechada.A saída C(s) é realimentada ao somador, em queé comparada à referência de entrada R(s). A natureza de malha fechada do sistema é claramenteindicada pela figura. A saída do bloco, C(s) nesse caso, é obtida pela multiplicação da função detransferência G(s) pela entrada do bloco, E(s). Todo sistema de controle linear pode ser representado

por diagramas de blocos constituídos de blocos, somadores e pontos de ramificação.

Figura 4.6: Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada.

Quando a saída é realimentada ao somador para comparação com a entrada, é necessárioconverter a forma do sinal de saída à do sinal de entrada. Por exemplo, em um sistema de controle de

temperatura, o sinal de saída é normalmente a temperatura controlada. O sinal de saída, o qual tem adimensão da temperatura, deve ser convertido para uma força ou posição ou tensão, antes de sercomparado ao sinal de entrada. Essa conversão é realizada por meio do elemento de realimentação,cuja função de transferência é H(s), como mostra a figura 4.7. O papel do elemento de realimentação é


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modificar a saída antes de ser comparada com a entrada. (Na maioria dos casos, o elemento derealimentação é um sensor que mede a saída de um processo a ser controlado.) A saída do sensor écomparada com a entrada do sistema e um sinal de erro atuante é gerado. Nesse exemplo, o sinal derealimentação que é enviado ao somador para comparação com o sinal de entrada é B(s) = H(s)C(s).

Função de transferência de malha aberta e função de transferência do ramo direto. Referindo- seà figura 4.7 , a relação entre o sinal de realimentação B(s) e o sinal de erro atuante E(s) é chamada de

função de transferência de malha aberta. Ou seja,

Figura 4.7: Sistema de malha fechada.

Função de transferência de malha aberta = B(s) / E(s) = G(s)H(s)

A relação entre o sinal de saída C(s) e o sinal de erro atuante E(s) é chamada de função detransferência do ramo direto, então

Função de transferência do ramo direto = C(s) / E(s) = G(s).

Se a função de transferência de realimentação H(s) for unitária, então a função de transferênciade malha aberta e a função de transferência do ramo direto serão as mesmas.

Função de transferência de malha fechada. Para o sistema mostrado na figura 4.7, a saída C(s) e aentrada R(s) estão relacionadas como a seguir. Sendo

C(s) = G(s)E(s)

E(s) = R(s) - B(s)

= R(s) - H(s)C(s)

e eliminando E(s) dessas equações, resulta em:

C(s) = G(s)[ R(s) - H(s)C(s)]

ou C(s) / R(s) = G(s) / [ 1 + G(s)H(s)] (4.1)

Esta função de transferência (4.1) que relaciona C(s) a R(s) é chamada de função detransferência de malha fechada. Essa função de transferência relaciona a dinâmica dos sistemas demalha fechada à dinâmica dos elementos do ramo direto e dos elementos de realimentação.

A partir da equação (4.1), C(s) é dada por:

C(s) = G(s) R(s) / [G(s)H(s)]


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Assim, a saída do sistema de malha fechada depende claramente tanto da função detransferência de malha fechada como da natureza da entrada.

Obtendo funções de transferência em cascata, em paralelo e com realimentação (de malhafechada) com o MATLAB. Na análise de sistemas de controle, frequentemente, necessitamos calcularas funções de transferência em cascata, as funções de transferência conectadas em paralelo e asfunções de transferência com realimentação, conectadas (de malha fechada). O MATLAB tem

comandos convenientes para obter as funções de transferência em cascata, em paralelo e comrealimentação (de malha fechada).

Suponha que existam dois componentes G1(s) e G2(s) conectados diferentemente, como mostraa figura 4.8, na qual

Para obter a função de transferência no sistema em cascata, no sistema em paralelo ou nosistema com realimentação (de malha fechada), os seguintes comandos podem ser usados:

Figura 4.8: (a) Sistema em cascata; (b) sistema em paralelo; (c) sistema com realimentação (de malhafechada).

Como exemplo, considere o caso em que

O programa 4.1 em MATLAB fornece C ( s) /R( s) = num/den para cada arranjo de G1( s) e G2( s). Note que o comando


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printsys(num, den)

mostra o num/den ( isto é, a função de transferência C( s) /R( s) ) do sistema a ser considerado.

Programa 4.1 em MATLAB

Controladores automáticos. Um controlador automático compara o valor real de saída da planta coma entrada de referência (valor desejado), determina o desvio e produz um sinal de controle que vai

reduzir o desvio a zero ou a um valor pequeno. A maneira pela qual o controlador automático produz osinal de controle é chamada de ação de controle. A figura 4.9 é um diagrama de blocos de um sistemade controle industrial, o qual consiste em um controlador automático, um atuador, uma planta e umsensor (elemento de medida).


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Figura 4.9: Diagrama de blocos de um sistema de controle industrial, que consiste em um controladorautomático, um atuador, uma planta e um sensor (elemento de medição).

O controlador detecta o sinal de erro atuante, o qual é normalmente de muito baixa potência. eo amplifica a um nível suficientemente alto. A saída de um controlador automático alimenta umatuador, como um motor elétrico, um motor hidráulico, um motor pneumático ou uma válvula. (Oatuador é um dispositivo de potência que produz o sinal de entrada na planta, de acordo com o sinal decontrole, de tal modo que a saída se aproxime do sinal de entrada de referência.)

O sensor, ou elemento de medição, é um dispositivo que converte a variável de saída em outravariável conveniente, como deslocamento, pressão ou tensão, que pode ser utilizada para comparar asaída ao sinal de entrada de referência. Esse elemento está no ramo de realimentação do sistema demalha fechada. O ponto de ajuste do controlador deve ser convertido em um sinal de referência com asmesmas unidades do sinal de realimentação que vem do sensor ou do elemento de medição.

Classificação dos controladores industriais. Os controladores industriais podem ser classificados deacordo com suas ações de controle:

1. Controladores de duas posições ou on-off;

2. Controladores proporcionais;

3. Controladores integrais;

4. Controladores proporcional-integrais;

5. Controladores proporcional-derivativos;

6. Controladores proporcional-integral-derivativos;

A maior parte dos controladores industriais utiliza eletricidade ou fluido pressurizado, comoóleo ou ar, como fontes de energia. Como conseqüência, os controladores podem também serclassificados de acordo com a espécie de energia empregada na operação, como controladores

pneumáticos, controladores hidráulicos ou controladores eletrônicos. A escolha do tipo de controladora ser utilizado deve ser decidida com base na natureza da planta e nas condições de operação,incluindo certas considerações, como segurança, disponibilidade, confiabilidade, precisão, peso etamanho.

Ação de controle de duas posições ou on-off . Em um sistema de controle de duas posições. o ele-mento atuante tem somente duas posições fixas, que são, em muitos casos, simplesmente on e off. O

controle de duas posições ou on-off é relativamente simples e barato e, por essa razão, é bastanteutilizado em sistemas de controle domésticos e industriais.


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Considere que o sinal de saída do controlador é u(t) e o sinal de erro atuante é e(t). No controlede duas posições, o sinal u(t) permanece em um valor máximo ou em um valor mínimo, conforme osinal de erro atuante for negativo ou positivo. Assim,

u(t) = U 1 , para e(t ) > 0

= U 2, para e(t ) < 0

onde U 1 e U 2 são constantes. O valor mínimo U 2 é normalmente zero ou -U 1 . Os controladores de duas posições são, em geral, dispositivos elétricos, e as válvulas operadas por solenóides elétricos são muitoutilizadas nesses controladores. Controladores proporcionais pneumáticos com ganhos muito altosatuam como controladores de duas posições e, muitas vezes, são chamados de controladores

pneumáticos de duas posições.

As figuras 4.10 (a) e (b) mostram os diagramas de blocos do controlador de duas posições ou on-off. Ointervalo no qual o sinal de erro atuante deve variar antes de ocorrer a comutação é chamado deintervalo diferencial. Um intervalo diferencial está indicado na figura 4.10 (b). Esse intervalodiferencial faz com que a saída u(t) do controlador mantenha seu valor atual até que o sinal de erro

atuante tenha variado ligeiramente além do valor zero. Em alguns casos, o intervalo diferencial é oresultado de um atrito não intencional e da perda de movimento; entretanto, muitas vezes, ele é

provocado intencionalmente, para prevenir uma operação muito freqüente do mecanismo de on-off.

Figura 4.10: (a) Diagrama de blocos de um controlador on-off; (b) diagrama de blocos de umcontrolador on-off com intervalo diferencial.

Considere o sistema de controle de nível de líquido, mostrado na figura 4.11 (a), em que aválvula eletro-magnética apresentada na figura 4.11 (b) é utilizada para o controle da vazão de entrada.Essa válvula está aberta ou fechada. Com esse controle de duas posições, a vazão de entrada da águatanto pode ser uma constante positiva como nula. Como é mostrado na figura 4.12, o sinal de saídamove-se continuamente entre os dois limites estabelecidos, ocasionando o movimento do elementoatuante de uma posição fixa para outra. Note que a curva de saída segue uma das duas curvas

exponenciais, uma correspondente à curva de enchimento e a outra, à do esvaziamento. Essa oscilaçãode saída entre dois limites é uma resposta típica característica de um sistema de controle de duas

posições.


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Figura 4.11: (a) Sistema de controle de nível de líquido; (b) válvula eletromagnética.

Figura 4.12: Curva do nível h(t) versus t, relativa ao sistema mostrado na figura 4.11 (a).

A partir da figura 4.12 podemos notar que a amplitude da oscilação da saída pode ser reduzida pela diminuição do intervalo diferencial. A diminuição do intervalo diferencial, entretanto, aumenta onúmero de comutações por minuto e reduz a vida útil do componente. O tamanho do intervalodiferencial deve ser determinado a partir de considerações como a precisão requerida e a vida útil docomponente.

A ação de controle liga-desliga pode assim ser considerada a ação de controle mais simples emais econômica. Entretanto, este tipo de ação possui limitações no que diz respeito ao comportamentodinâmico e em regime permanente do sistema em malha fechada. Suas aplicações restringem-se a

sistemas onde não é necessário precisão nem um bom desempenho dinâmico. Como outro exemplocorriqueiro de aplicação deste tipo de controle temos o termostato de geladeira.

Ação de controle proporcional. Para um controlador com ação de controle proporcional, a relaçãoentre a saída do controlador u(t) e o sinal de erro atuante e(t) é:

u(t) = K p e(t)

ou, transformando por Laplace, U(s) / E(s) = K p

onde K p é denominado ganho proporcional.


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Qualquer que seja o mecanismo real e o tipo de energia utilizada na operação, o controlador proporcional é essencialmente um amplificador com um ganho ajustável.

A figura 4.13 mostra a resposta de um sistema considerando-se a aplicação de uma ação proporcional. Note que, quanto maior o ganho K p menor o erro em regime permanente, isto é, melhor a

precisão do sistema em malha fechada. Este erro pode ser diminuído com o aumento do ganho,entretanto nunca conseguiremos anular completamente o erro. Por outro lado, quanto maior o ganho,

mais oscilatório tende a ficar o comportamento transitório do sistema em malha fechada. Na maioriados processos físicos, o aumento excessivo do ganho proporcional pode levar o sistema a instabilidade.

Figura 4.13: Ação proporcional: K p=1(contínuo), 2(tracejado), 4(pontilhado)

Ação de controle integral. Em um controlador com ação de controle integral. o valor da saída u(t) docontrolador é modificado a uma taxa de variação proporcional ao sinal de erro atuante e(t). Ou seja, aação de controle integral consiste em aplicar um sinal de controle u(t) proporcional à integral do sinale(t):

ou

onde K i é uma constante ajustável. A função de transferência de um controlador integral é:


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Também podemos encontrar na literatura

sendo T i chamado de tempo integral ou reset-time.

A ação integral tem assim uma função "armazenadora de energia". Note que, se a partir de um

determinado tempo t o erro e é igual a zero, i.e. e(t)=0, o sinal de controle u(t) será mantido em umvalor constante proporcional à "energia armazenada" até o instante t . Este fato permitirá, no sistemaem malha fechada, obter-se o seguimento de uma referência com erro nulo em regime permanente,

pois a ação integral garantirá a aplicação ao processo de um sinal de controle constante de forma a ter-se r(t)=y(t), i.e. e(t)=0.

A função de transferência da ação integral é dada por:

Assim sendo, sob um ponto de vista matemático, a ação integral permite aumentar o tipo dosistema, ou seja, a nova função de transferência em malha aberta será dada por Gc( s)G( s) e possuiráum pólo a mais na origem, fato este que permite obter-se erro nulo em regime permanente. Pelomesmo raciocínio, a utilização de uma ação integral possibilitará a rejeição assintótica de certas

perturbações de carga na saída do processo.

A ação integral está então diretamente ligada à melhoria da precisão do sistema. Entretanto, aintrodução de um pólo na origem na função de transferência em malha aberta, tende a piorar aestabilidade relativa do sistema em malha fechada ou mesmo torná-lo instável. Por este motivo, estaação de controle em geral não é aplicada de maneira isolada.

Ação de controle proporcional-integral. Essa ação é definida por:

ou, então, a função de transferência do controlador é:

onde T i é chamado de tempo integrativo.

A principal função da ação integral é fazer com que processos do tipo 0 sigam, com erro nulo,um sinal de referência do tipo degrau. Entretanto, a ação integral se aplicada isoladamente tende a

piorar a estabilidade relativa do sistema. Para contrabalançar este fato, a ação integral é em geralutilizada em conjunto com a ação proporcional constituindo-se no controlador PI, cujo sinal decontrole é dado por:


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O gráfico da figura 4.14 ilustra a aplicação da ação integral conjuntamente com a ação proporcional. A partir deste gráfico podemos dar uma interpretação para T i: o tempo integral ou reset-time, corresponde ao tempo em que a parcela relativa à parte proporcional da ação de controle éaumentada. T i é comumente especificado em minutos.

Figura 4.14: Efeito da ação integral

Aplicando-se a transformada de Laplace tem-se a seguinte função de transferência para ocontrolador PI:

Note-se um zero em -1/T i que tende a compensar o efeito desestabilizador do pólo na origem. Na figura 4.15 é ilustrada a influência da sintonia do parâmetro T i na resposta do sistema

considerando-se o mesmo sistema simulado com K =2 constante. Para altos valores de T i, tem-se a predominância da ação proporcional, sendo que T i=∞ corresponde ao controlador proporcional. Noteque, neste caso, existe um erro em regime permanente. À medida que T i é diminuído a ação integralcomeça a predominar sobre a ação proporcional e a resposta tende a se aproximar mais rapidamente dareferência, ou seja, o erro em regime tende a ser anulado mais rapidamente. Diminuindo-seexcessivamente T i observa-se que a resposta começa a ficar mais oscilatória numa tendência deinstabilização. Isto justifica-se pelo fato de que, neste caso, o zero do controlador começa a se afastardemasiadamente do pólo na origem e o controlador tende a comportar-se como um integrador puro.

Figura 4.15: PI - K =1; Ti=2 (pontilhado), 4 (tracejado), 10 (contínuo)


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Ação Derivativa. Esta ação corresponde à aplicação de um sinal de controle proporcional à derivadado sinal de erro:

A função de transferência desta ação é dada por:

Note que este tipo de função de transferência implica em um ganho que cresce com o aumentoda frequência, fato este que deixaria o sistema extremamente sensível a ruídos de alta frequência. Demais a mais a implementação analógica de um derivador puro é fisicamente impossível. Por estesmotivos a implementação da ação derivativa dá-se com a introdução de um pólo em alta frequência

que tem justamente a finalidade de limitar o ganho em alta frequência. A função de transferênciatorna-se então:

Os gráficos da figura 4.16 ilustram as curvas de resposta em frequência de um derivador puro eo efeito da introdução do pólo em alta frequência.

Figura 4.16: Limitação do ganho em alta freqüência

A derivada de uma função está relacionada intuitivamente com a tendência de variação desta

função em um determinado instante de tempo. Assim, aplicar como controle um sinal proporcional àderivada do sinal de erro é equivalente a aplicar uma ação baseada na tendência de evolução do erro. Aação derivativa é então dita antecipatória ou preditiva e tende a fazer com que o sistema reaja maisrapidamente. Este fato faz com que a ação derivativa seja utilizada para a obtenção de respostas


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transitórias mais rápidas, ou seja, para melhorar o comportamento dinâmico do sistema em malhafechada. Observe que no caso em que, em regime permanente, o sinal de erro é constante a açãoderivativa será igual a zero, ou seja, esta ação atua apenas durante a resposta transitória.

Ação de controle proporcional-derivativo. A ação de controle de um controlador proporcional-

derivativo é definida por:

e a função de transferência é:

onde T d é chamado de tempo derivativo.

A saída de um processo apresenta, intuitivamente, uma certa "inércia" com relação amodificações na variável de entrada. Esta "inércia" explica-se pela dinâmica do processo que faz comque uma mudança na variável de controle provoque uma mudança considerável na saída da plantasomente após um certo tempo. Uma outra interpretação é que, dependendo da dinâmica do processo, osinal de controle estará em "atraso" para corrigir o erro. Este fato é responsável por transitórios comgrande amplitude e período de oscilação, podendo, em um caso extremo, gerar respostas instáveis.

A ação derivativa quando combinada com a ação proporcional tem justamente a função de"antecipar" a ação de controle a fim de que o processo reaja mais rápido. Neste caso, o sinal de

controle a ser aplicado é proporcional a uma predição da saída do processo.

A estrutura básica do controlador PD é dada por:

Considerando-se que e(t+T d ) pode ser aproximado por

tem-se que u(t ) K e(t+T d ), ou seja, o sinal de controle é proporcional à estimativa do erro de controleT d unidades de tempo à frente. Em outras palavras, a predição é feita extrapolando o valor do erro pelareta tangente à curva do erro no instante t (vide figura 4.17 a seguir).


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Figura 4.17: Interpretação da ação proporcional-derivativa

Esta ação preditiva tende a aumentar a estabilidade relativa do sistema e a tornar a respostatransitória do mesmo mais rápida.

Na prática, conforme discutido no item anterior, relativa à ação derivativa, deve-se limitar oganho da parte derivativa em altas frequências através do acréscimo de um pólo p. A função detransferência do controlado PD é dada então por:

Observe que o zero do controlador PD está sempre à direita do pólo. Esta configuração éequivalente à de um compensador de avanço de fase. Note também que ao aumentarmos T d , o zero docontrolador tende à origem, significando a predominância da ação derivativa.

Ação de controle proporcional-integral-derivativo. A combinação das ações de controle propor-cional, de controle integral e de controle derivativo é denominada ação de controle proporcional-integral- derivativo. Essa ação combinada tem as vantagens individuais de cada uma das três ações decontrole. A equação de um controlador com essas ações combinadas é dada por:

e a função de transferência é:

onde K p é o ganho proporcional, T i é o tempo integrativo e T d é o tempo derivativo. O diagrama de blocos de um controlador proporcional-integral-derivativo é mostrado na figura 4.18.


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Figura 4.18: Diagrama de blocos de um controlador proporcional-integral-derivativo.

Uma vez que o controlador proporcional combina as vantagens do controlador PI e PD. A açãointegral está diretamente ligada à precisão do sistema sendo responsável pelo erro nulo em regime

permanente. O efeito desestabilizador do controlador PI é contrabalançado pela ação derivativa quetende a aumentar a estabilidade relativa do sistema ao mesmo tempo que torna a resposta do sistemamais rápida devido ao seu efeito antecipatório.

Considerando-se o mesmo sistema dos itens anteriores e fixando-se K =1 e T i=2, a influência daação derivativa na resposta do sistema pode ser observada na figura 4.19.

A função de transferência do controlador PID é dada por:

A figura 4.19 mostra o efeito da ação derivativa considerando-se um controlador PID para omesmo sistema das simulações mostradas na figuras anteriores.

Figura 4.19: PID - K p=4; T i=1.5; T d =0.1 (tracejado), 0.4(pontilhado), 2(contínuo)

Sistema de malha fechada submetido a um distúrbio. A figura 4.20 mostra um sistema de malhafechada submetido a um distúrbio. Quando duas entradas (a entrada de referência e o distúrbio) estão

presentes em um sistema linear, cada entrada pode ser tratada independentemente da outra e as saídasque correspondem a cada entrada individual podem ser somadas para resultar na saída completa. O


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sinal com que cada entrada é introduzida no sistema é mostrado no somador por um sinal de mais oude menos.

Considere o sistema mostrado na figura 4.20. Examinando o efeito do distúrbio D(s), podemosadmitir que a entrada de referência seja zero; podemos então calcular a resposta C D(s) somente para odistúrbio. Essa resposta pode ser encontrada a partir de

Figura 4.20: Sistema de malha fechada submetido a um distúrbio.

Por outro lado, considerando a resposta à entrada de referência R(s), podemos supor que odistúrbio seja zero. Então, a resposta C R(s) à entrada de referência R(s) pode ser obtida a partir de

A resposta à aplicação simultânea da entrada de referência e do distúrbio pode ser obtida pelasoma das duas respostas individuais. Em outras palavras, a resposta C(s) devida à aplicação simultâneada entrada de referência R(s) e do distúrbio D(s) é dada por:

Considere-se agora o caso em que │G1(s)H(s)│»1 e │G1(s)G2(s)H(s)│»1. Nesse caso, a funçãode transferência de malha fechada C D(s)/D(s) torna-se praticamente nula, e o efeito do distúrbio ésuprimido. Isso é uma vantagem do sistema de malha fechada.

Por outro lado, a função de transferência de malha fechada C R(s)/R(s) aproxima-se de 1/H(s)conforme o ganho G1(s)G2(s)H(s) aumenta. Isso significa que, se │G1(s)G2(s)H(s)│»1, então a funçãode transferência de malha fechada C R(s)/R(s) torna-se independente de G1(s) e G2(s) e inversamente

proporcional a H(s), de modo que as variações de G1(s) e G2(s) não afetem a função de transferênciade malha fechada C

R(s)/R(s). Essa é outra vantagem do sistema de malha fechada. Conclui-se

facilmente que qualquer sistema de malha fechada com realimentação unitária, H(s) = 1, tende aigualar a entrada à saída.


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Procedimentos para construir um diagrama de blocos. Para construir um diagrama de blocos de umsistema, devem ser previamente escritas as equações que descrevem o comportamento dinâmico decada componente. Em seguida, deve-se obter a transformada de Laplace dessas equações, admitindo-senulas todas as condições iniciais, para então representar individualmente, em forma de bloco, atransformada de Laplace de cada equação. Por fim, deve-se agrupar os elementos em um diagrama de

blocos completo.

Como exemplo, considere o circuito RC mostrado na figura 4.21 (a). As equações para essecircuito são:

R

eei

oi (4.2)

C

dt ieo

(4.3)

Figura 4.21: (a) Circuito RC; (b) diagrama de blocos que representa a equação (4.4); (c) diagrama de blocos que representa a equação (4.5); (d) diagrama de blocos do circuito RC.

As transformadas de Laplace das equações (4.2) e (4.3), com as condições iniciais nulas.tornam-se:

R

s E s E s I

oi )()(

)( (4.4)

sC

s I E

o

)( (4.5)

A equação (4.4) representa uma operação de soma e o diagrama correspondente é mostrado nafigura 4.21 (b). A equação (4.5) representa o bloco mostrado na figura 4.21 (c). Agrupando esses doiselementos. obtemos o diagrama de blocos completo do sistema, como mostra a figura 4.21 (d).

Redução do diagrama de blocos. É importante notar que os blocos podem ser conectados em série

somente se a saída de um bloco não for afetada pelo bloco seguinte. Se houver qualquer efeito de cargaentre os componentes, é necessário combinar esses componentes em um único bloco.


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Qualquer que seja o número de blocos em cascata que represente componentes sem carga. esses blocos podem ser substituídos por um único bloco, e sua função de transferência será simplesmente o produto das funções de transferência individuais.

Um diagrama de blocos complexo, que envolve muitas malhas de realimentação, pode sersimplificado por meio de uma reorganização por etapas.

A simplificação do diagrama de blocos por meio da reorganização reduz consideravelmente otrabalho necessário para a análise matemática subsequente. Deve-se observar, entretanto, que à medidaque o diagrama de blocos é simplificado, as funções de transferência nos novos blocos se tornam maiscomplexas devido à geração de novos pólos e novos zeros.

Na simplificação de um diagrama de blocos, devemos nos lembrar do seguinte:

1. O produto das funções de transferência no sentido da ação direta (sentido direto) deve permanecer omesmo.

2. O produto das funções de transferência ao redor da malha deve permanecer o mesmo.

Exemplo : Considere o sistema mostrado na figura 4.22 (a). Simplifique o diagrama.

Movendo o somador da malha de realimentação negativa que contém H para fora da malha derealimentação positiva que contém H 1 , obtemos a figura 4.22 (b). Eliminando a malha derealimentação positiva. obtemos a figura 4.22 (c). A eliminação da malha que contém H/G1 resulta nafigura 4.22 (d). Por fim, eliminando a malha de realimentação, o resultado é a figura 4.22 (e).


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Figura 4.22: (a) Sistema de múltiplas malhas; (b)-(e) reduções sucessivas do diagrama de blocosmostrado em (a).

Note-se que o numerador da função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) é o produtodas funções de transferência do ramo direto. O denominador de C(s)/R(s) é igual a:

Note-se que a malha de realimentação positiva gera um termo negativo no denominador.

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