Capas-MATERIAL de APOIO Introd Mat Financeira-Exercicios Resolvidos Cap 11

Capitulo 11 – Resolução de Exercícios

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 162

FORMULÁRIO

Avaliação de um Projeto

Critério do Valor Atual 0

01

nj

jj

aV i

i

Critério da Taxa Interna de Retorno 0

0 ; 11

nj

jj

aV i i

i

se ˆi i

Critério da Anuidade Uniforme Equivalente

1

ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ1ˆ ˆ 0

ˆ1 1

n

nn i

n i

V i i iAE V i a V i

a i

Critério do Tempo de Recuperação de Capital 1

0 0

0 , 0T T

j jj j

a com a ; se T < TL

Critério do Tempo de Recuperação de Capital Descontado

1

0 0

0 , 01 1

T Tj j

j jj j

a acom

i i ; se T ‘ < TL‘



11.11 — Exercícios Propostos

1) Seja um empreendimento, com vida econômica de 10 períodos, ao qual se associam, respectivamente, as seguintes sequências de desembolsos (custos) e de benefícios (receitas):

10

0: 500;400;600;50;60;70;100;100;100;100;100j j

c

e

10

0: 0;0;0;300;360; 470;600;600;600;600;600j j

b

Sendo de 10% por período a taxa de juros que representa o custo de oportunidade para empreendedor, pede-se:

a) determinar a correspondente sequência de fluxos de caixa líquidos; b) com base na sequência de fluxos de caixa líquidos, caracterizar o empreendimento;

c) o tempo de recuperação do capital (T )e o tempo de recuperação descontado T ;

d) o valor atual do projeto; e) justificando sua validade, avaliar o projeto com base no critério da taxa interna de retorno; f) definindo-se a chamada razão benefício/custo de um projeto como

0 0

1 1

n nj j

j j

j j

B C b i c i

qual é o seu valor para o empreendimento em questão?

Solução

a) Sendo 0

n

j j jj

a b c , a sequência de fluxos de caixa líquidos que caracteriza o

empreendimento (projeto) é: 10

0: 500; 400; 600;250;300;400;500;500;500;500;500j j

a

b) Como temos uma única variação de sinal na sequência de fluxos de caixa líquidos, com o

fluxo inicial (na época zero) sendo negativo, e havendo mais de um fluxo de caixa líquido negativo, o empreendimento caracteriza um projeto de investimento convencional, não simples.

c) Considerando a acumulação da sequência de fluxos de caixa líquidos, temos a seguinte

sequência de Norstrom:

500; 900; 1500; 1250; 950; 550; 50;450;950;1450;1950

Como somente no sétimo período temos uma acumulação (lucro contábil) positiva, segue-se que o tempo de recuperação do capital do empreendimento é T= 7 períodos.

Por outro lado, considerando a sequência de fluxos de caixa líquidos descontados, temos, tendo em vista a taxa de juros de 10% por período:

10

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

400 600 250 300 400 500 500 500 500 500: 500; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

1 0,11 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1

j

j

j

a



Logo:

10

0

: 500; 363,64; 495,87;187,83; 204,90; 248,37; 282,24; 256,58; 233,25; 212,05;192,771 0,1

j

j

j

a

Construindo a correspondente sequência de acumulações, temos:

500; 863,64; 1359,50; 1171,68; 966,77; 718,40; 436,17; 179,59;53,67;265,72;458,49

Agora, como o primeiro fluxo acumulado positivo só ocorre no oitavo período, temos 8T períodos.

d) Tendo em vista a construção da sequência de fluxos de caixa líquidos descontados, e a sequência de suas acumulações, o valor atual do empreendimento, à taxa de 10% por período, é igual ao último termo da acumulação. Ou seja, o valor atual do projeto é 458,49 unidades de capital. Fazendo uso da HP 12C, o que será útil para determinar a taxa interna de retorno de projeto, tem-se:

[f][REG]500[CHS][g][CF0]400[CHS][g][CFj]600[CHS][g][CFj]250[CHS][g][CFj] 300[g][CFj]

400[g][CFj]500[CHS][g][CFj]5[g][Nj] 10[i][f][NPV]458,49

e) Como se trata de um projeto de investimento do tipo convencional, é assegurada a aplicabilidade do critério da taxa interna de retorno.

Para sua determinação, supondo que continue armazenado na HP 12C o fluxo de caixa líquido, tem-se:

[f][IRR]16,09 Ou seja, a taxa interna de retorno do empreendimento é 16,09% por período, que é maior do que a taxa de juros que caracteriza o custo de oportunidade para o investidor. Logo, o projeto deve ser implementado (aceito).

f) Observando que a razão benefício/custo nada mais é do que o quociente da divisão do valor

atual da sequência de benefícios pelo valor atual da sequência de custos, temos, fazendo uso da HP 12C:

[f][REG]500[g][CF0]400[g][CFj]600[g][CFj]50[CHS][g][CFj]60[g][CFj]

70[g][CFj]100[CHS][g][CFj]5[g][Nj] 10[i][f][NPV]1.716,89 e

[f][REG]0[g][CF0]0[g][CFj] [g][CFj]300[g][CFj]360[g][CFj]470[g][CFj]

600[g][CFj]5[g][Nj] 10[i][f][NPV]2.175,38

Logo:

2175,381,27

1716,89

B

C

2) De acordo com o critério da razão benefício/custo, que é muito utilizado na chamada avaliação social1 de projetos, um empreendimento é considerado economicamente viável, estando, assim, em condições de ser implementado, se, à taxa de juros considerada, apresentar razão benefício/custo superior à unidade.

1 Veja-se, por exemplo, J.P. Gittinger, Economic Analysis of Agricultural Projects, 2nd Ed., Johns Hopkins, 1982.



Dado um projeto caracterizado pela sequência de benefícios 0

n

j jb e pela sequência de custos

0

n

j jc , comprove que, considerada a taxa de juros i cujo período a que se refere coincide com o

intervalo de tempo entre benefícios e custos consecutivos, o critério da razão benefício/custo é consistente com o critério do valor atual.

Solução

Basta verificar que

0 1B

V iC

Temos que

0 0 0 01 1 1 1

n n n nj j j j j

j j j j

j j j j

a b c b cV i

i i i i

Logo

0 0

0 se 1 1

n nj j

j j

j j

b cV i

i i

-

0

-

0

1

1

1

n

j

j

j

n

j

j

j

b iB

Cc i

, pois que -

0

1 0

nj

j

j

c i

Com a recíproca sendo trivialmente verdadeira; ou seja 1 V 0B

iC

.

3) Mostre que, no caso de um projeto do tipo investimento simples com n períodos de vida

econômica e lucro contábil positivo, as seguintes desigualdades e T T T n são sempre

satisfeitas, se a taxa periódica de juros i, utilizada para o desconto dos fluxos de caixa, for positiva. Ou seja, o tempo de recuperação do capital investido T é não superior à vida econômica do

projeto, com o tempo de recuperação descontadoT sendo não inferior ao tempo de recuperação T.

Solução

Genericamente, considere-se o projeto de investimento simples 0 1 2, , , , na a a a , onde

0 0 ; 0ja a , para 1,2, , 1j n , an > 0 e com 0

0n

j

j

LC a .

Por definição, sendo T o tempo de recuperação do capital investido (no caso, 0a ), tem-se: 1

0 0

0 0

T T

j j

j j

coma a



Como, por hipótese, 0LC , segue-se que, no pior dos casos, T n (o que acontece, por

exemplo, no caso onde o fluxo de caixa líquido é 100;50;100 , com 2T n ).

Por outro lado, também por definição, tem-se que T é tal que

0

0 1

01 1

T Tj j

j j

j ji i

a aa

com

1

0

1 0

Tj

j

j

ia

Ora, sendo 0i , tem-se

1

j

jji

aa , com a igualdade acontecendo somente se 0ja .

Por conseguinte, para qualquer índice , 1 ,k com k n

0 0 1

k kj

j jj j i

aa

com a igualdade acontecendo somente se 0, 1,2, , .j j ka

Deste modo, como

0

0

T

j

j

a

o que implica em que ao menos 0aT , tem-se

0 0 1

T Tj

j jj j i

aa

Conclui-se, assim, que T T .

A título de ilustração, seja o projeto de investimento simples caracterizado pelo fluxo de

caixa 100;0;0;100;10;200 , e 10% . .i p p

Temos que 3T , pois

3 2

0 0

0 100j j

j j

ea a

Por outro lado, o fluxo de caixa descontado é:

100;0;0;75,13;6,83;124,18

Portanto, 5T , pois

5 4

0 0

106,14 18,041 1

j j

j jj j

ei i

a a



Nota

Como ilustrado no caso do projeto 100;0;0;100,10;50 , sendo ainda 10% . . ,i p p podemos ter

a esdrúxula situação onde T não é definido (pois que excederia a vida econômica n do projeto; isto

é, ter-se-ia T n ).

4) Dado um projeto de investimento qualquer, convencional ou não, para o qual se tenha 0V i ,

mostre que T n , se 0i .

Solução

Temos que 0 1

nj

jj

V ii

a; logo, se

0

0 01

nj

jj

V i T ni

a

5) Considere o projeto de investimento não convencional caracterizado pelo fluxo de caixa

20;105, 120;105; 100 .

Determine o intervalo ao qual deve pertencer a taxa periódica de juros i, que identifique o custo de oportunidade para um investidor, para que o projeto seja considerado como economicamente viável.

Solução

Como o lucro contábil do projeto é

4

0

30 0j

j

LC a

o projeto não pode ser avaliado pelo critério da taxa interna de retorno.

A função valor atual,

2 3 4

105 120 105 100( ) 20

1 1 1 1V i

i i i i

pode ser esboçada, com o auxílio do Excel, como ilustrado na figura a seguir.



Ou seja, como comprovado com o auxílio da HP 12C, a função valor atual anula-se para as taxas de juros 25% e 300% por período; sendo positiva, por exemplo, para 100% . .i p p

[f][REG]20[CHS][g][CF0]105[g][CFj]120[CHS][g][CFj]105[g][CFj]100[CHS][g][CFj]

25[i][f][NPV]0,00

300[i][f][NPV]0,00

100[i][f][NPV]9,38

Logo, como a função valor atual é positiva no intervalo (0,25; 3), segue-se que o projeto será considerado como economicamente viável para taxas de juros neste intervalo.

Nota

Que as duas únicas taxas internas de retorno são *

1 25% . .i p p e *

2 300% . .i p p , pode ser

comprovado observando-se que:

2 3 4

2 3 4

105 120 105 10020 0 20 105 120 105 100

1 1 1 1V i F x x x x x

i i i i

20,8 0,25 100 100 0x x x , para 1

1x

i

Por conseguinte, as duas únicas raízes reais de F x são:

1 1

1 0,80,8 0,25 ou 25% . .

0,8x i p p

e

2 2

1 0,250,25 3 ou 300% . .

0,25x i p p

6) Sejam os seguintes dois projetos de investimento simples, com mesma vida econômica e

mutuamente exclusivos: : 80;210;200;210;200 : 60;105;320;105;300A e B

Pede-se determinar:

a) a taxa interna de retorno de cada um dos dois projetos;

b) o(s) intervalo(s) ao(s) qual (quais) deve(m) pertencer a taxa de juros para que o projeto B seja preferível ao projeto A.

Solução

Fazendo uso da HP 12C, tem-se para o caso do projeto A. [f][REG]80[CHS][g][CF0]210[g][CFj]200[g][CFj]210[g][CFj]200[g][CFj][f][IRR]258,19

Ou seja, * 258,19% . .Ai p p

Quanto ao projeto B, tem-se:

[f][REG]60[CHS][g][CF0]105[g][CFj]320[g][CFj]105[g][CFj]300[g][CFj][f][IRR]252,06

Portanto, * 252,06% . .Bi p p



Embora tenhamos * *

A Bi i , não se pode concluir que o projeto A deva ser o escolhido.

Precisamos examinar o “projeto incremental” : 20;105; 120;105; 100A B .

Ora, o “projeto” A-B tem exatamente o mesmo fluxo de caixa que o projeto do exercício anterior. Consequentemente, podemos concluir que teremos ( ) ( )B AV i V i , o que significa dizer

que o projeto B é o preferível, se 0 0,25i ou se 3i (onde i está sob a forma unitária).

7) Seja o projeto de investimento não convencional caracterizado pelo fluxo de caixa

200;200;200; 400;100;100;100;200; 400;0;200 , com vida econômica de 10 períodos.

Pede-se: a) verificar se é possível avaliar o projeto pelo critério da taxa interna de retorno (sugestão,

faça uso da condição de Bernhard-de Faro). b) determinar a taxa interna de retorno do projeto (sugestão, faça uso do método da bisseção

e o fato de que, no caso, se tem 0

1 10

* 0; max 1j

j

i a a

; alternativamente, use o

EXCEL). c) verificar se o projeto é economicamente viável se a taxa de juros que explicita o custo de

oportunidade para o investidor for de 15% por período.

Solução

a) Procedendo-se às acumulações sucessivas do fluxo de caixa, tem-se:

10

0

101

0

102

0

: 200; 200; 200; 400; 100; 100; 100; 200; 400; 0;200

= N: 200; 0; 200; 200; 100; 0; 100; 300; 100; 100;100

= : 200; 200;

j j

jj

jj

a

A

A

103

0

0; 200; 300; 300; 200; 100; 0; 100

: 200; -400; 400; 600; 900; 1200; 1400; 1300; 1300jj

A

Como todos os termos da 3ª acumulação são negativos, teremos também negativos todos os termos das demais acumulações. Por conseguinte, sendo positivo o lucro contábil (que é igual ao último termo da primeira acumulação, ou de Norstrom), e sendo negativos os últimos termos da segunda (sequência ) e da terceira acumulações, segue-se que teremos

exatamente uma variação de sinal na primeira diagonal à direita de Vincent. Ou seja, é satisfeita a condição de Bernhard-de Faro.

Deste modo, pode-se concluir que o projeto em questão possui exatamente uma taxa interna positiva, o que assegura a aplicação do critério da taxa interna de retorno.

b) Fazendo uso da Excel, tem-se :



A taxa interna de retorno é 16,86689%p.p.

c) Como * 16,86689% . . 15% . .i p p i p p , o projeto deve ser implementado (aceito).

8) A Empresa BKX, tendo adquirido a concessão para exploração de um dado empreendimento, pela

qual pagou a quantia de 10000 unidades de capital, elaborou um plano de operação ao qual se associa o seguinte fluxo de caixa (expresso em termos de unidades de capital – u.c.):

1000; 2000; 3000;500;2000;24000;24000;24000;24000;24000;24000 ,

onde o fluxo inicial ocorre na data de hoje, e o intervalo entre fluxos de caixa consecutivos é o ano. Pergunta-se a) considerando o desembolso para aquisição da concessão, suposto ter ocorrido de uma só vez e

um ano antes da data de hoje, qual é a taxa interna de retorno do empreendimento? b) sendo de 25% a.a. a taxa de juros que representa o custo de oportunidade para a Empresa BKX,

qual é o valor atual, na data de hoje, do empreendimento? c) se a Empresa BKX, no fim de 1 ano a partir da data de hoje, e logo antes do desembolso das 2000

u.c., receber uma proposta para ceder a concessão por 25000 u.c. à vista, e mais 1700 u.c, um ano após, deve ou não aceitar a proposta?

Solução

a) Considerando o desembolso para a aquisição da concessão, o fluxo de caixa consolidado é

10000; 1000, 2000; 3000;500;2000;24000;24000;24000;24000;24000;24000 ,

onde o fluxo inicial (desembolso de 10000 u.c, ocorreu um ano antes da data de hoje). Temos, portanto, um projeto de investimento do tipo convencional, cuja taxa interna de retorno pode ser determinada mediante o emprego da HP 12C, como se segue:

[f][REG]10000[CHS][g][CF0]1000[CHS][g][CFj]2000[CHS][g][CFj]3000[CHS][g][CFj]

500[g][CFj] 2000[g][CFj] 2400[g][CFj] 6[g][Nj] [f][IRR]35,4444

Ou seja, a taxa interna de retorno do empreendimento é 35,4444% a.a., que supera o custo de oportunidade para a Empresa BKX (25% a.a.). Por conseguinte, trata-se de um bom empreendimento.

b) Admitindo que o fluxo de caixa consolidado ainda esteja armazenado na HP 12 C, tem-se:

25[i][f][NPV]10.435,10

Ou seja, o valor atual do empreendimento, na data do desembolso para a aquisição da concessão, é 10.455,10 u.c.. Logo, na data de hoje, o valor atual é:

10455,10 1 0,25 13068,88 u.c.

c) Na data da proposta, dado que os desembolsos pregressos não mais são relevantes (são “sunk

costs”), o valor que a Empressa BKX deve atribuir ao empreendimento é o valor atual do fluxo de

caixa 2000; 3000;500;2000;24000;24000;24000;24000;24000;24000 .

Fazendo uso da HP 12C, tem-se:

[f][REG]2000[CHS][g][CF0]3000[CHS][g][CFj] 500[g][CFj] 2000[g][CFj] 24000[g][CFj] 6[g][Nj]

25[i][f][NPV]33.211,10



Ou seja, para a Empresa BKX, o valor do empreendimento, na data da proposta, é 33211,10 u.c.

Por outro lado, o valor da proposta, na data em que a mesma é feita, é:

1000025000 33000 . .

1 0,25u c

Consequentemente, a menos de considerações de risco, a proposta não deve ser aceita.

9) A Empresa JKL, dispondo de 1000 u.c. para investimento, está considerando os 4 seguintes projetos de investimento simples: P1 – com desembolso inicial de 800 u.c. e valor atual de 60 u.c.; P2 – com desembolso inicial de 700 u.c. e valor atual de 55 u.c.; P3 – com desembolso inicial de 300 u.c. e valor atual de 30 u.c.; P4 – com desembolso inicial de 200 u.c. e valor atual de 25 u.c.; Sendo P3 e P4 mutuamente exclusivos, quais projetos devem ser implementados? Solução Dada a restrição de capital, P1 e P2 não podem ser simultaneamente implementados. Implementado P1 , a restrição de capital só permite que também P4 seja implementado. Neste caso, o valor atual total será 60 + 25 = 85 u.c. Implementando P2 , a restrição de capital só permite que também P3 seja implementado. Nesta situação, o valor atual total será 55 + 30 = 85 u.c. Consequentemente, a Empresa ficará indiferente entre a implementação de P1 e P4, ou da combinação P2 e P3.

Nota

Observe-se que o fato de que P3 e P4 sejam mutuamente exclusivos não precisou ser levado em consideração.

10) Admita que a Empresa JKL, considerada no exercício precedente, consiga levantar no mercado de

capitais a quantia de 104 u.c., pagando, antecipadamente, 4 u.c.. Vale a pena levantar o empréstimo?

Solução

Se levantar o empréstimo, a empresa JKL passará a dispor de 1000 + 100 = 1100 u.c.. Deste modo poderá implementar, simultaneamente, os projetos P1 e P3, com o valor atual total passando a ser de 60 +30 = 90 u.c.. Como, em relação à situação anterior há um acréscimo de 5 u.c., mais do que suficiente para fazer face à cobrança dos juros do empréstimo, segue-se que vale a pena levantar o empréstimo.

Nota

Estamos supondo que, na época 1, data do pagamento do empréstimo, os projetos 1 e 3 liberem um total de caixa não inferior a 100 u.c.

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