Capas-MATERIAL de APOIO Introd Mat Financeira-Exercicios Resolvidos Cap 5

8/19/2019 Capas-MATERIAL de APOIO Introd Mat Financeira-Exercicios Resolvidos Cap 5

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Capitulo 5 – Resolução de Exercícios

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 42

FORMULÁRIO

Desconto Racional Simples

; ; ;1 1

R R R R R R

N i n N D D V i n V V N D

i n i n

Desconto Comercial Simples

; 1 ;C C C C D N d n V N d n V N D

Desconto Bancário Simples

; 1 ;b b b b D N d n s V N d n s V N D

1; bb s

D N d n N d n V N d nn

Relações entre o Desconto Racional Simples e o Desconto Comercial Simples

1 ; ;1

C C R C R

D i n D D i n D D se d i

i n

Taxa de Juros Implícita Linear ou Efetiva Linear do desconto Comercial e Bancário Simples

1 1

1 1

; ;

1

;c bl l

c c b

l l

b

sd

d

N N

V V d ni i sd n d n

d

in n

nn

i

Taxa de Juros Implícita Exponencial ou Efetiva Exponencial

111

1

111

1 ; ; 1 ; ;1

1 1 11

1 111 ; 1

1 1

nnne e

R c

R c

ne

b

e en

R c

nne

b

b

N N i i

V V

N

i i n id n

id n s s

id V n

Desconto Racional Composto ou Desconto Financeiro

1 1; 1 1 ; ;1 1

n

n

f f f f f f n n

i N D N V D V i D N V

i i

Desconto Comercial Composto ou Composto Por Fora

1 (1 ); 1 (1 ) ; ;

(1 )1

nn cc

cc cc cc cc ccn n

V d D N V D N d N D V

d d

Taxa de Juros Implícita do Desconto Comercial Composto ou Composto Por Fora

;1 1

d ii d d i


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5.5— Exercícios Propostos

1) Considere um título de valor nominal N e termo de 3 anos, emitido no dia de hoje. Qual

deve ser a taxa de desconto mensal que devo pagar daqui a seis meses para que o valor de

resgate seja a metade do valor nominal, considerando os seguintes tipos de desconto:

a)

Desconto Racional Simples

b) Desconto Comercial Simples

c) Desconto Racional Composto

d) Desconto Comercial Composto

Solução

a) Desconto Racional Simples

1 10,5 1

0,03333 3,3333% . .1 30 30

R

R

N N

V N N

V i i ou a mi n n


0,51 1

0,51 0,016667 1,6667% . .

30 30

C

C

V N

N N V N d n d ou a m

n

c) Desconto Racional Composto

1 1

30

1 1 0,023374 2,3374% . .0,51

n

f n

f

N N N V i i ou a mV N i


1 1

300,51 1 0,02284 2,284% . .

1

ncc cc

n

V V N N d d ou a m

N N d

2) Um título de valor nominal de R$ 50.000,00 foi descontado em um banco 100 dias antes

do vencimento. Qual o valor descontado e a taxa de juros efetiva diária, linear eexponencial, para as seguintes condições:

a) Taxa de juros simples de desconto de 24%a.a. e desconto racional simples?

b) Taxa de juros simples de desconto de 3%a.m. e desconto comercial simples?

c) Taxa de juros simples de desconto de 2%a.m., mais 2% sobre o valor nominal, a título

de taxas bancárias, e desconto bancário simples?

d) Taxa de juros compostos de desconto de 24%a.a.c.m e desconto racional composto?

e) Taxa de juros compostos de desconto de 3%a.m. e desconto comercial composto?


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Solução

a) Taxa de juros simples de desconto de 24%a.a. e desconto racional simples.

5000046875,00

0,2411 100

360

R

N V

i n

No caso de desconto racional simples a taxa efetiva linear é igual à taxa corrente de

desconto simples, no caso, 24% a.a. Logo a taxa efetiva linear, diária, é:

0,240,000667 0,0667% . .

360

l

Ri ou a d

Por outro lado, a taxa efetiva exponencial é:

1 1

100500001 1 0,00646 0,0646% . .

46875

ne

R

R

N i ou a d

V

b)

Taxa de juros simples de desconto de 3%a.m. e desconto comercial simples

0,03

1 50000 1 100 $ 45.000,0030

cV N d n R

0,030,00130 0,00111 0,111% . .

0,031 0,91 100

30

l

c

d i ou a d

d n

1

1001

1 11 1 0,001054 0,1054% . .0,031

1 10030

ne

ci ou a d d n

c) Taxa de juros simples de desconto de 2%a.m., mais 2% sobre o valor nominal, a título

de taxas bancárias, e desconto bancário simples.

0,02

1 50000 1 100 0,02 $ 45.666,6730

bV N d n s R

0,02 0,02

30 100 0,0009489 0,09489% . .0,02 0,021 1 100

30 100

l b

sd

ni ou a d sd n

n

1

1001

1 11 1 0,0009070 0,09070% . .

0,0211 100 0,02

30

ne

bi ou a d

d n s

d) Taxa de juros compostos de desconto de 24%a.a.c.m e desconto racional composto.


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Solução

O primeiro passo é encontrar os valores nominais das notas promissórias A e B ; levando

em conta a taxa efetiva de 36%/12= 3%a.m.

3

6

100000 1 0,03 109272,70

50000 1 0,03 59702,61

a

b

N

N

O Esquema que representa a transação é dado por:

onde a data 0 denota a data dos empréstimos.

Item i

a) Dada a relação no desconto racional composto 1

f n

N V

i

, temos a seguinte

equação de valor, com data focal na época 5.

2 59702,61109272,70 1 0,04 $175.595,71

1 0,04 P R

b) Dada a relação no desconto comercial composto 1

cc

n

V N

d

, temos a seguinte

equação de valor, com data focal na época 5.

1

2

109272,7059702,61 1 0,04 $175.882,97

1 0,04

P R

Item ii

Considerando as condições ditadas pelo credor de desconto comercial composto, para

a nota A, e desconto racional composto para a nota B, temos a seguinte equação de

valor, com data focal na época 5 e taxa de desconto de 4%a.m.

2

109272,70 59702,61$175.974,82

1 0,041 0,04 P R


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4) Um empréstimo de R$ 200.000,00 deve ser amortizado em 4 prestações mensais

sucessivas e iguais, a primeira um mês após a concessão do mesmo. Considerando a taxa

corrente de juros de 6%a.m., determinar o valor da prestação mensal para:



c) Desconto Financeiro


Solução

O esquema que representa a transação é dado por:

a) Considerando a relação no desconto racional simples1

R

N V

i n

, a seguinte

equação de valor deve ser satisfeita (tomando a época 0 como data focal):

200000

1 0, 06 1 1 0, 06 2 1 0, 06 3 1 0, 06 4200000 0,9434 0,8929 0,8475 0,8065

200000$ 57.301,66

3,4903

P P P P

P

P R

b) Considerando a relação no desconto comercial simples 1cV N d n , a seguinte

equação de valor deve ser satisfeita:

200000 1 0,06 1 1 0,06 2 1 0,06 3 1 0,06 4

200000 0,94 0,88 0,82 0,76

200000$ 58.823,53

3,4

P P P P

P

P R

c) Considerando a relação no desconto financeiro 1

f n

N V

i

, a seguinte equação de

valor deve ser satisfeita:


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1 2 3 4200000

1 0,06 1 0,06 1 0,06 1 0,06

200000 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921

200000

$ 57.718,393,4651

P P P P

P

P R

d) Considerando a relação no desconto comercial composto 1

cc

n

V N

d

, a seguinte

equação de valor deve ser satisfeita:

1 2 3 4200000 1 0,06 1 0,06 1 0,06 1 0,06

200000 0,94 0,8836 0,8306 0,7807

200000$ 58.225,86

3,4349

P P P P

P

P R

5)

Seja o caso de uma loja de departamentos que, para desconto de títulos, qualquer que

seja o prazo, deseja ganhar, em termos reais, a taxa de 5% a.m.

Tendo sido estimado pelo seu Departamento de Operações, que a taxa de inflação mensal,

para cada um dos 3 meses na frente, seja respectivamente

1 2 30,6%, 0,5% e 0,8% I I I , pede-se determinar, para operações de desconto

de 1, 2 e 3 meses, as respectivas taxas mensais de desconto

a) Considerando desconto Racional Simples

b) Considerando desconto Comercial Simples

c)

Considerando desconto Financeiro

d) Considerando desconto Composto por Fora

Solução

As taxas aparentes *k i , para k períodos, são:

*

1

2*

2

3*

3

1 0,05 1 0,006 1 0,0563 ou 5,63% a.m.

1 0,05 1 0,006 1 0,005 1 0,11466 ou 11,466% a.b.

1 0,05 1 0,006 1 0,005 1 0,008 1 0,17976 ou 17,976% a.t.

i

i

i


*

*

1 1

1 1 1

k

R

k k

i N N N V i

i n i k k i

k = 1

*11

1 1 1 0,0563 10,0563 5,63% . .1 1

i

i ou a m


8/11



k = 2

*22

1 1 1 0,11466 10,05733 5,733% . .

2 2

ii ou a m

k = 3

*33

1 1 1 0,17976 10,05992 5,992% . .

3 2

ii ou a m


** *

1

11

111 1 1

1 1

k

C k k k

k

i N V N d n N d k d k d

k i i

k = 1

1

111 0,0563

0,0533 5,33% . .1

d ou a m

k = 2

2

11

1 0,114660,05143 5,143% . .

2d ou a m

k = 3

3

11

1 0,17976 0,05079 5,079% . .3

d ou a m


1*

* 1 1

11 1

k f k n k

k k

N N N V i i

ii i

k = 1

1

11 1 0,0563 1 0,0563 5,63% . .i ou a m

k = 2

1

22 1 0,11466 1 0,05577 5,577% . .i ou a m

k = 3

1

33 1 0,17976 1 0,05665 5,665% . .i ou a m

d) Desconto Composto Por Fora

1

* *

11 1

1 11

k k cc

k k n

k k

V N N N d d

i id


9/11



k = 1

11

1 0,0533 5,33% . .1 0,0563

d ou a m

k = 2

1

2

2

11 0,05283 5,283% . .

1 0,11466d ou a m

k = 3

1

3

3

11 0,05361 5,361% . .

1 0,17976d ou a m

6) Um título de valor de face de R$ 50.000,00, termo de 30 meses e taxa de juros compostos

de 10%a.a., teve um desconto financeiro de R$ 9.977,54, no seu resgate, considerando a

taxa de juros compostos de 25%a.a.. Qual o prazo da operação em dias?

Solução

Primeiro devemos calcular o valor nominal do título, que é de:

2,5

1 50000 1 0,1 $ 63.452,94n

N C i R

A taxa de desconto equivalente ao dia é:

1 1

360360 3601 1 1 1 1,25 1 0,00062 0,062% . .a d d ai i i i ou a d

Portanto

1 1 1,00062 19977,54 63452,94

1 1,00062

1 9977,54 11 1 0,157243

63452,941,00062 1,00062

1,00062 1,18658 LN(1,00062) LN(1,18658)

0,171075276

0,0006198

n n

f n n

n n

n

i D N

i

n

n dias

7) A razão entre o valor nominal de um título e seu valor descontado é 1,07. Sabendo-se que

o título foi descontado 90 dias antes do seu vencimento, qual a taxa de juros efetiva, linear

e exponencial, mensal utilizada, considerando:




d) Desconto Composto por Fora

Solução



10/11



1 1,07 1 31

0,070,0233 2,33% . .

3

R

R

N N V i n i

i n V

i ou a m

No desconto racional simples a taxa de juros corrente é igual a efetiva racional linear.A taxa efetiva racional exponencial é dada por:

1

1

31 1, 07 1 0, 0228 2, 28% . .n

e

R

R

N i ou a m

V


11

3

0,021

1 11 1,071 1 3

13 1 0,02181 . . 2,181%

810,02334 2,334% . .

1 1 0,02181 3

1 11 11 1 0,02181 3

. .1,07

l

c

ne

c

C

C

d i

N V N d n V d n d

d d a m

ou a md n

i d

ou a m

taxa efetiva linear

taxa efetiva exponencial

n

0,02281 2,281% . .ou a m


3

1

3

1 1,07 11

1,07 1 0,0228091 2,28091% . .

n

f n

f

N N V i i

V i

i ou a m

d) Desconto Composto por Fora

3

1

3

*

1 11,07

1 1 1

11 0,0223 . .

1,07

0,02230,02280863 2,280863% . .

1 1 0,0223

cc

n n

cc

V N N

V d d d

d a m

d i ou a m

d

8) João é detentor de uma nota promissória com valor nominal de R$ 100.000,00, que vence

no fim de 2 meses e meio. Precisando de dinheiro, João procurou um banco que lhe

ofereceu desconto comercial simples à taxa de 4%a.m.


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Seu amigo Luís, sabendo de sua necessidade, lhe faz uma proposta de desconto racional

simples, garantindo a João que o valor recebido por ele seria, no mínimo, igual ao

montante recebido na proposta do banco.

Qual a maior taxa de juros simples que Luís pode cobrar para honrar sua palavra?

Solução

No banco o valor recebido por João seria de:

1 100000 1 0, 04 2, 5 $ 90.000, 00C V N d n R

No caso de Luís, o valor da taxa de juros simples máxima que ele poderá cobrar é de:

1000001

100000 9000090000 0,044444 4,4444% . .

1 1 2,5 2,5 R

N V i ou a m

i n i

9) Sendo d a taxa mensal de desconto composto por fora, qual deve ser o seu valor para que

o valor descontado seja igual a 80% do valor nominal, no caso do prazo de 2 anos?

Solução

1

1 11

nncc cc cc

n

V V V N d d

N N d

Logo

1 1240,8

1 1 0,009255 0,9255% . .n

ccV N

d ou a m N N

10) Sendo d a = 15%, a taxa anual de desconto composto por fora, determinar qual a taxa

mensal d m de desconto composto por fora, que lhe seja equivalente?

Solução

11 12

12

1

12

11

Logo, para 1 ano ou 12 meses o valor de deve ser o mesmo, ou seja:

1 1 1 1

1 0,15 1 0,013457 1,3452% . .

nccccn

cc

a m m a

m

V N V N d

d

V

N d N d d d

d ou a m

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