CAPITULO 03 - politecnica.pucrs.brjorgef/disciplinas/circuitos_1/diversos/... · Professor Silvio Lobo Rodrigues 2 3.1 INTRODUÇÃO Um dos objetivos principais do presente capítulo

Prof. SILV

TÉCNICAS UTILIZADAS NA ANÁLISE DE CIRCUITOS

IO LO

CAPITULO 03

BO RODRIGUES

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I

Professor Silvio Lobo Rodrigues 2

3.1 INTRODUÇÃO Um dos objetivos principais do presente capítulo é o de apresentar métodos de simplificação na análise de circuitos mais elaborados. Entre os métodos que serão estudados está a análise nodal, das malhas, dos laços e da superposição. Procuramos também desenvolver a habilidade de escolher o melhor método para cada situação particular. Estuda-se ainda os teoremas de Thevenin e Norton na simplificação de circuitos. 3.2 ANÁLISE NODAL

No capítulo anterior consideramos apenas circuitos simples contendo apenas dois nós. Estudaremos agora circuitos com maior número de nós, de modo que teremos uma incógnita eu uma equação adicional para cada nó apresentado. Assim, um circuito com três nós terá duas voltagens incógnitas e duas equações; um circuito com dez nós terá nove voltagens desconhecidas e nove equações; um circuito com N nós terá N-1 voltagens incógnitas e N-1 equações. A mecânica de solução utilizando análise nodal segue uma seqüência que procuraremos desenvolver no exemplo da figura 3.1.

Figura 3.1 - Circuito com 4 nós e 8 ramos.

Para facilitar a solução vamos redesenhar o circuito na figura 3.2.

-3A

-25A -8A

3

1

4

2

5




Figura 3.2 - Circuito com 4 nós e 8 ramos redesenhado. Para a solução adotamos o seguinte procedimento:

a) Escolhe-se o nó de referência e define-se a voltagem entre cada um dos nós e o de referência. Escolhe-se para referência o nó para o qual converge o maior número de ramos, para simplificar as equações resultantes;

b) Deve-se notar que um circuito com N nós terá (N-1) voltagens, as quais devem ser identificadas como v1, para o nó 1, v2 para o nó 2 e assim por diante;

c) Arbitra-se um sentido para as correntes nas condutâncias, que não deve ser alterado para a obtenção das equações, de nó;

d) Escreve-se as equações de nó utilizando-se a lei de OHM, (((( )))) (((( ))))i t G.v t==== ou

(((( )))) (((( ))))v ti t

R==== . Considera-se com sinal + as correntes que saem do nó e com sinal – as

correntes que chegam no nó. e) Simplifica-se as equações e resolve-se o sistema.

Vamos então à solução: Para o nó 1: (((( )))) (((( ))))1 2 1 38 3 v v 3 v v 4 0+ + − + − =+ + − + − =+ + − + − =+ + − + − = . Para o nó 2: (((( )))) (((( ))))2 1 2 2 31v 3 v v 2 v v 3 0− − + − − =− − + − − =− − + − − =− − + − − = . Para o nó 3: (((( )))) (((( ))))2 3 1 3 325 2 v v 4 v v 5v 0− − − − − + =− − − − − + =− − − − − + =− − − − − + = . Simplificando as equações:

3 2

4

1 5

8A

3A

25A

v1 v2 v3

Ref.

. . .

.




1 2 3

1 2 3

1 2 3

7v 3v 4v 113v 6v 2v 34v 2v 11v 25

− − = −− − = −− − = −− − = −− + − =− + − =− + − =− + − =− − + =− − + =− − + =− − + =

Utilizando a regra de Cramer:

1

2

3

11 3 43 6 225 2 11 191v 1V7 3 4 1913 6 24 2 11

7 11 43 3 24 25 11 382v 2V

191 191

7 3 113 6 34 2 25 573v 3V

191 191

− − −− − −− − −− − −−−−−

−−−−= = == = == = == = =

− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −

− −− −− −− −− −− −− −− −−−−−

= = == = == = == = =

− −− −− −− −−−−−− −− −− −− −

= = == = == = == = =

O determinante do denominador é comum a todos os cálculos anteriores. Para circuitos que não tenham fontes de tensão ou fontes dependentes, ou seja, circuitos contendo apenas fontes independentes de corrente, o determinante do denominador pode ser escrito como matriz de condutância do circuito:

7 3 4

G 3 6 24 2 11

− −− −− −− −= − −= − −= − −= − −

− −− −− −− −

Precisamos, ainda, ver como fontes de voltagem e fontes dependentes afetam a estratégia da análise nodal. Consideremos o exemplo da figura 3.3.




Figura 3.3 - Exemplo com fonte independente entre 2 nós. A condutância de 2 entre nós 2 e 3 foi substituída por uma fonte de voltagem de 22V. A aplicação da lei de Kirchoff nos nós 2 e 3 esbarra em uma dificuldade, pois a corrente sobre a fonte de 22V é desconhecida. Não há a possibilidade de exprimir a corrente como função da voltagem. Há duas saídas para essas dificuldades. A mais difícil é associar uma corrente desconhecida ao ramo com a fonte de tensão, prosseguir com a lei das correntes de Kirchoff e, então, aplicar a lei das voltagens de Kirchoff entre os nós 2 e 3; resulta um sistema de 4 equações e 4 incógnitas. O método mais simples utiliza o fato de que estamos primariamente interessados nas voltagens dos nós e podemos, portanto evitar o uso do ramo com a fonte de tensão, todos juntos, como uma espécie de super nó, e aplicamos KCL, a ambos os nós simultaneamente. Isto é possível, pois a corrente total que sai do nó 2 é zero, assim como a do nó 3 também é zero; então a corrente que sai dos dois nós também é zero. No super nó: (((( )))) (((( ))))2 1 2 1 3 31v 3 v v 3 4 v v 5v 25 0− − − − − + − =− − − − − + − =− − − − − + − =− − − − − + − = No nó 1: (((( )))) (((( ))))1 3 1 24 v v 3 3 v v 8 0− + + − + =− + + − + =− + + − + =− + + − + = A terceira equação é fornecida pela própria fonte. 3 2v v 22− =− =− =− =

3

4

1 5

8A

3A

25A

v1

Super Nó

v3

Ref.

. .

.

+ - 22V

. v2




Simplificando:

1 2 3

1 2 3

2 3

1

7v 4v 9v 28 7v 3v 4v 11 v v = 22

28 4 911 3 4

22 1 1 189v 4,5V7 4 9 42

7 3 40 1 1

− + + =− + + =− + + =− + + =− − = −− − = −− − = −− − = −

− +− +− +− +

− − −− − −− − −− − −−−−− −−−−= = = −= = = −= = = −= = = −

−−−−− −− −− −− −−−−−

Como um terceiro caso de aplicação de análise nodal vamos substituir a fonte de 22V do

exemplo anterior por uma fonte dependente de tensão de valor xi8 sendo ix a corrente no ramo de

4 .

Figura 3.4 - Aplicação de análise nodal p/ circuito c/ fonte dependente. No super nó: (((( )))) (((( ))))2 3 3 1 1 21v 5v 25 4 v v 3 3 v v 0+ − + − − − − =+ − + − − − − =+ − + − − − − =+ − + − − − − = No nó 1: (((( )))) (((( ))))1 2 3 18 3 v v 3 4 v v 0+ − + − − =+ − + − − =+ − + − − =+ − + − − = Da fonte controlada:

(((( ))))3 1x3 2

4 v viv v8 8

−−−−− = =− = =− = =− = =

3

4

1

5

8A

3A

25A

v1 v3

Ref.

. .

.

+ - ix/8 . v2

ix SUPERNÓ




Simplificando:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

7v 4v 9v 28 7v 3v 4v 11-0,5v + v 0,5v = 0

28 4 911 3 40 1 0,5 33v 1V; v 2V; v 3V7 4 9 33

7 3 40,5 1 0,5

− + + =− + + =− + + =− + + =− − = −− − = −− − = −− − = −

−−−−

− − −− − −− − −− − −−−−− −−−−= = = = == = = = == = = = == = = = =

−−−− −−−−− −− −− −− −

− −− −− −− − 3.3 ANÁLISE DAS MALHAS O método de análise das malhas só é aplicado às redes planares. Se for possível desenhar o diagrama de um circuito numa superfície plana, sem que haja cruzamento dos ramos, então o circuito é dito planar. Na figura 3.5 temos um exemplo de rede planar e não planar.

Figura 3.5 - a) Rede planar b) Rede não planar. Um circuito é uma rede que contém pelo menos um caminho fechado por onde possa fluir corrente. O nome oficial para esse caminho é laço. Assim, se iniciarmos por um determinado nó e traçarmos pela rede uma linha fechada contínua, passando uma vez em cada nó e terminando no nó de partida, este caminho é um laço. A malha é uma propriedade de circuitos planares e é definida como sendo um laço que não contém nenhum outro por dentro.

. . .

.

.

. . .

.

.

a) b)




A técnica de análise de malhas envolve o conceito de corrente de malha que definiremos como sendo a corrente que flui apenas no perímetro de uma malha. Vamos utilizar o exemplo da figura 3.6 para melhor entendimento do método.

Figura 3.6 - Exemplo de aplicação de análise das malhas. Para a solução adotamos o seguinte procedimento:

a) Arbitramos as correntes de malhas dando a designação de i1 para a malha 1, i2 para a malha 2 e assim por diante;

b) O sentido arbitrado para as correntes de malha pode ser qualquer um, mas para facilitar a obtenção das equações adotamos sempre o sentido horário;

c) Escreve-se as equações de malha em termos das tensões utilizando a lei de OHM, v R i= ×= ×= ×= × ;

d) Simplifica-se as equações e resolve-se o sistema obtido. MALHA 1: (((( )))) (((( ))))1 2 1 36 2 i i 1 i i 0− + − + − =− + − + − =− + − + − =− + − + − = . MALHA 2: (((( )))) (((( ))))2 2 3 2 14i 3 i i 2 i i 0+ − + − =+ − + − =+ − + − =+ − + − = . MALHA 3: (((( )))) (((( ))))3 3 1 3 212 2i 1 i i 3 i i 0− + + − + − =− + + − + − =− + + − + − =− + + − + − = .

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3i 2i i 62i 9i 3i 0i 3i 6i 12

− − =− − =− − =− − =− + − =− + − =− + − =− + − =− − + =− − + =− − + =− − + =

4ΩΩΩΩ

2ΩΩΩΩ 2ΩΩΩΩ 3ΩΩΩΩ

1ΩΩΩΩ 12V 6V i1

i2

i3




1

2

3

6 2 10 9 3

12 3 6 450i 5A3 2 1 902 9 31 3 6

3 6 12 0 31 12 6 222i 2,47A

90 90

3 2 62 9 01 3 12 366i 4,066A

90 90

− −− −− −− −−−−−

−−−−= = == = == = == = =

− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −

−−−−− −− −− −− −−−−−

= = == = == = == = =

−−−−−−−−− −− −− −− −

= = == = == = == = =

Observação: Notemos que, temos um denominador que é simétrico em relação à diagonal principal. Isto ocorre para circuitos que contém apenas fontes de voltagem independentes e quando as correntes de malha são admitidas no sentido horário e os elementos que aparecem na 1° linha do determinante são, ordenadamente, os coeficientes de i1, i2, ... iM. Essa matriz simétrica que aparece no elemento denominador é chamada matriz resistência da rede.

3 2 1

R 2 9 31 3 6

− −− −− −− −= − −= − −= − −= − −

− −− −− −− −




3.4 CIRCUITOS COM FONTES DE CORRENTE

Consideramos o exemplo da figura 3.7.

Figura 3.7 - Aplicação da análise por malhas a um circuito com fonte de corrente independente.

Escrevemos as equações de malha observando apenas que a corrente na malha 3 deve ser

obrigatoriamente igual a 6A.

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

1 2 1 3

2 2 3 2 1

3

1 2

1 2

6 2 i i 1 i i 0

4i 3 i i 2 i i 0i 6A

3i 2i 122i 9i 18

− + − + − =− + − + − =− + − + − =− + − + − =

+ − + − =+ − + − =+ − + − =+ − + − =

====

− =− =− =− =− + =− + =− + =− + =

Resolvendo o sistema :

1

2

i 6, 26Ai 3, 391A

========

3ΩΩΩΩ

12V

6A

4ΩΩΩΩ

2ΩΩΩΩ

1ΩΩΩΩ 6V i1

i2

i3




Vamos Considerar agora o exemplo da figura 3.8.

Figura 3.8 - Aplicação da análise por malhas a um circuito com fonte de corrente dependente.

MALHA A: (((( )))) (((( ))))a b a c6 2 i i 1 i i 0− + − + − =− + − + − =− + − + − =− + − + − = . MALHA B: (((( )))) (((( ))))b b c b a4i 3 i i 2 i i 0+ − + − =+ − + − =+ − + − =+ − + − = .

MALHA C: 1c

ii3

==== .

Porém na malha A verificamos que: i1 = ia

Logo, ac

ii3

====

Levando nas equações das malhas A e B:

(((( ))))

(((( ))))

aa b a

ab b b a

a b

a b

i2 i i 1 i 63

i4i 3 i 2 i i 03

8i 6i 183i 9i 0

− + − =− + − =− + − =− + − = + − + − =+ − + − =+ − + − =+ − + − =

− =− =− =− =− + =− + =− + =− + =

12V 6V

4ΩΩΩΩ

2ΩΩΩΩ 3ΩΩΩΩ

1ΩΩΩΩ ia

i1

ib

ic

i1/3




Resolvendo o sistema:

a

b

i 3Ai 1A

========

A corrente da malha C:

ci 1A==== 3.5 ÁRVORES E ANÁLISE NODAL GENERALIZADA Começamos definindo topologia como uma ramo da geometria que trata das propriedades de figuras geométricas, propriedades que não se alteram se a figura for girada, torcida, dobrada, esticada ou comprimida e assegurando que nenhuma parte da figura, será cortada ou juntada a alguma parte. Uma esfera e um tetraedro são topologicamente idênticos, assim como o são um quadrado e uma circunferência. Em termos de circuitos elétricos, não estamos preocupados com tipos particulares de elementos que possam aparecer no circuito, mas apenas com o modo como os ramos e nós são arranjados. Podemos representar um circuito por um desenho simplificado chamado grafo linear, ou simplesmente grafo. Vamos redefinir alguns termos topológicos que já são conhecidos. nó : ponto no qual dois ou mais elementos têm uma conexão comum. ramo : um caminho elementar, contendo um único elemento, que conecta um nó a qualquer outro. laço : conjunto de ramos formando um caminho fechado e que passa apenas uma vez em cada nó. malha : um laço que não contém nenhum outro na parte interna.

Figura 3.9 - Um circuito planar e seu grafo.

. . .

.

. 4ΩΩΩΩ

2ΩΩΩΩ

1ΩΩΩΩ 1ΩΩΩΩ

3ΩΩΩΩ 1ΩΩΩΩ 5V

2A




O grafo da figura 3.9 possui 8 ramos e 5 nós. Uma árvore e um elo são dois novos termos referentes a um grafo linear, que precisam ser

definidos. Árvore é um conjunto de ramos que não contém nenhum laço e que conecta, não

necessariamente de modo direto, cada nó a qualquer outro. Um elo é qualquer ramo num grafo linear que não é ramo de uma árvore. Um número de elos num grafo pode, muito simplesmente, ser relacionado ao número de ramos

e nós. Se o grafo tem N nós, então, são necessários exatamente (N-1) ramos para se construir uma árvore, pois, o primeiro ramo escolhido conecta dois nós e cada ramo adicional inclui mais um nó. Assim, dados B ramos, o número L de elos deve ser:

(((( ))))L B N 1L B N 1

= − −= − −= − −= − −

= − += − += − += − +

Na figura 3.10 temos um grafo linear, duas árvores possíveis e um conjunto de ramos que não constituem uma árvore.

Figura 3.10 - a) grafo linear b) e c) árvores

d) não é uma árvore

. . .

. .

. . .

. .

. . . .

. . .

. . .

. c)

a) b)

d)




Vamos aplicar agora os conceitos anteriores na solução do circuito da figura 3.11.

Figura 3.11 - Um circuito planar e seu grafo.

Vamos estabelecer algumas premissas que poderão ser aplicadas a qualquer outro circuito. Assim, sendo, dado um circuito, procede-se da seguinte maneira:

a) Traça-se o grafo do circuito;

b) Constrói uma árvore;

c) A cada ramo associa-se uma das (N-1) tensões pois tem-se (N-1) ramos;

d) Havendo fontes de tensão na rede elas serão colocadas nas árvores e o valor da fonte deve ser tomado para a tensão do respectivo ramo;

e) Qualquer fonte dependente que seja controlada por tensão deve ter essa tensão colocada, se possível, num dos ramos da árvore;

f) Fontes de corrente devem ser colocadas em elos e correntes que controlam fontes dependentes também se possível aparecer em elos;

g) As fontes de tensão devem ser colocadas em curto e formam um super nó.

Para o exemplo dado a árvore adequada para o circuito é mostrada na figura que segue.

Figura 3.12 - Árvore adequada ao circuito dado.

. . .

.

.

+ - . .

.

.

. 2

1

2 1 vx

vy

vx

vy 4vy

1V 1V

4vy

2vx

+

+

+

+

+

-

-

-

+ -

-

-

. .

.

.

.

- + 1V

vx

+

-

4vy

+

- +

-

vy

2A

1A

Super nó

1




No nó 1 temos: (((( ))))x x y y2v 1 v v 4v 2+ − − =+ − − =+ − − =+ − − =

No super nó temos: (((( )))) (((( ))))y y x x y yv 2 v 1 2v 1 v v 4v 0+ − − + − − =+ − − + − − =+ − − + − − =+ − − + − − = O sistema fica então:

x y

x y

3v 5v 2

3v 8v 2

− =− =− =− =

− + =− + =− + =− + =

Donde encontramos : x26v V9

==== e y4v V3

==== .

De posse das tensões vx e vy todas as tensões dos ramo estão definidas sendo portanto informações suficientes para permitir uma solução completa do circuito.

3.6 ANÁLISE DE LAÇOS E ELOS

O uso de árvores será agora considerado na obtenção de um conjunto de equações de laços.

Vamos utilizar o método no circuito da figura 3.13.

Figura 3.13 - Aplicação do método da análise de laços e elos.

7A

1ΩΩΩΩ 2ΩΩΩΩ

1ΩΩΩΩ 2ΩΩΩΩ

7V

(a) (b)

.

.

. .

iA

iB

7A

3ΩΩΩΩ




Vamos estabelecer agora algumas premissas que poderão ser aplicadas à qualquer outro circuito.

a) Constrói-se uma árvore qualquer para uma dada rede, toma-se um elo arbitrário e junta-se à árvore. Verifica-se que um laço é formado. A esse laço associa-se uma corrente de laço. Abre-se o elo e repete-se o processo para outro elo, obtendo-se outra corrente de laço.Repete-se o processo para cada elo e obtém-se B-(N-1) correntes de laço. (mesmo número de elos)

b) Aplica-se a lei de Kirchoff de voltagem às diversas correntes de laço.

Para o grafo da figura 3.13b temos 3 correntes de laço, sendo uma delas já determinada pela fonte de corrente existente num dos elos da árvore.

Para a corrente iA temos: (((( )))) (((( ))))A A B A1 i 7 2 i i 3i 0− + + + =− + + + =− + + + =− + + + = Para a corrente iB temos: (((( ))))A B B7 2 i i 1i 0− + + + =− + + + =− + + + =− + + + = Resolvendo o sistema: A Bi 0,5A i 2A= == == == = Assim sendo a tensão no resistor de 2Ω localizado na parte externa do circuito é: (((( ))))2 A Bv 2 i i 5V= + == + == + == + = A potência fornecida pela fonte de 7V: (((( ))))f 7V BP 7 i 7 7 9 63W= + = × == + = × == + = × == + = × = 3.7 TEOREMAS DA LINEARIDADE E SUPERPOSIÇÃO

O principio da superposição estabelece que a resposta (uma corrente ou tensão desejada) em qualquer ponto de um “circuito linear” que tenha mais de uma fonte independente pode ser obtida com a soma das respostas originadas pela ação de cada fonte independente agindo sozinha. Vamos examinar mais detidamente o termo linear. O conceito de linearidade de uma função está condicionado à verificação das propriedades da aditividade e da homogeneidade.

Como exemplo prático vamos examinar a relação voltagem e a corrente para o resistor linear.




(((( )))) (((( ))))v t R.i t==== Para v = 2V temos uma corrente de 1A. Logo, o resistor é de 2Ω. Se a tensão for aumentada para 10V, a corrente resultante será aumentada para 5A, mantendo-se constante o valor da relação v/i, satisfazendo assim a propriedade da homogeneidade. Para o mesmo resistor de 2Ω, se aplicarmos uma tensão de 12V resultante da soma das tensões de 2V e 10V, teremos uma corrente resultante de 6A, equivalente à soma das correntes de 1A e 5A. Logo a propriedade da aditividade é satisfeita. Podemos então definir elemento linear como sendo um elemento passivo que apresenta uma relação voltagem-corrente linear. Se v(t) for traçada como função de i(t) o resultado é uma linha reta.

Figura 3.14 - Elemento linear e sua resposta v x i. Uma fonte dependente linear é uma fonte dependente de corrente ou de tensão cuja corrente ou tensão de saída é proporcional apenas à primeira potência de uma corrente ou tensão variável no circuito ou à soma de tais grandezas. Ou seja, uma fonte dependente, s 1 2v 0,6i 14v= −= −= −= − , é linear, mas

2s 1v 0,6i==== ou s 1 1v 0,6i v==== não são lineares.

Agora podemos definir um circuito linear como sendo um circuito composto inteiramente de fontes independentes, fontes dependentes lineares e elementos lineares. A mais importante conseqüência da linearidade é a superposição. O teorema da superposição aparece, usualmente, numa forma similar à seguinte: “ Em qualquer rede resistiva linear que contenha várias fontes, a tensão ou corrente, em qualquer resistor ou fonte, pode ser obtida somando-se algebricamente todas as tensões ou correntes, causadas pela ação individual de cada fonte independente que exista no circuito, sendo todas as outras fontes de tensão independentes substituídas por curto-circuitos, e as fontes de corrente independentes substituídas por circuitos abertos.”

Elemento . .

Linear

i(t)

i(t)

v(t)

v(t)

+

-




Figura 3.15 - Exemplos de aplicação do teorema da superposição. Para a figura 3.15a vamos considerar o efeito da fonte do ramo da direita em termos da tensão v e corrente i. Figura 3.16

(((( ))))6 4 2 i 0i 1Av 4i 4V

′′′′− + + =− + + =− + + =− + + =′′′′ ====′ ′′ ′′ ′′ ′= == == == =

4ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ

2ΩΩΩΩ 4ΩΩΩΩ

6V

6V

v

ix

i

vx

+

-

-

xv2

4ΩΩΩΩ 4ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ

6V

+

-

v'

+

i'

6V

5A



Professor Silvio Lobo Rodrigues

Consideremos o efeito da fonte do ramo central:

Figura 3.17 Logo, a tensão v e a corrente i totais resultantes das duas fontes são:

v v v 4 2 6Vi i i 1 0,5 1,5A

′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′= + = + == + = + == + = + == + = + =′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′= + = + == + = + == + = + == + = + =

Para o circuito da figura 3.15b: Consideramos a fonte de tensão de 6V.

Figura 3.18

(((( )))) 1 1

1

6 4 2 i 0; i =1A i 4i 0,5A

8v 4 i 4 0,5 2V

− + + =− + + =− + + =− + + =××××′′′′′′′′ = == == == =

′′ ′′′′ ′′′′ ′′′′ ′′= × = × == × = × == × = × == × = × =4ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ

6V

4ΩΩΩΩ v”

+

-

i"

i1

6V

2ΩΩΩΩ 4ΩΩΩΩ xv′′′′

+

-

i’

xi′′′′

v′′′′

19

x

2




x xx x x

x xx x

x x

v vi i v 6 4i 0 i2 2

v vv 6 4 0 5v 6 02 2

v 1, 2V i 0,6A

′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′= + − − − = == + − − − = == + − − − = == + − − − = =

′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′− − − + = − − =− − − + = − − =− − − + = − − =− − − + = − − = ′ ′′ ′′ ′′ ′= − = −= − = −= − = −= − = −

Consideremos agora a fonte de 5A.

Figura 3.19

x x xx x

xx

v v v 55 5 v v 4V2 4 2 4

v 4i = 2A2 2

′′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′′ ′′ ′′ ′′ ′′′′ ′′′′ ′′′′ ′′= + + = == + + = == + + = == + + = =

′′′′′′′′′′′′′′′′ = == == == =

Logo, a tensão vx e a corrente ix totais são:

x x x

x x x

v v v 1, 2 4 2,8V

i i i 0,6 2 1,4A

′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′= + = − + == + = − + == + = − + == + = − + =

′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′= + = − + == + = − + == + = − + == + = − + =

5A 2ΩΩΩΩ 4ΩΩΩΩ v′′′′′′′′xv′′′′′′′′

+

-

xi′′′′′′′′

20

x

2




3.8 TEOREMA DE THÉVENIN E NORTON Com base no princípio da superposição, é possível demonstrar mais dois teoremas que simplificam em muito a análise de circuitos lineares. São os teoremas de Norton e Thévenin. O teorema de Thévenin permite substituir parte de uma rede linear por um gerador equivalente para fins de determinação da corrente fornecida à outra parte da rede, ou da tensão entre seus terminais.

Figura 3.20 - Aplicação do Teorema de Thévenin. Nestas condições o Teorema de Thévenin assegura que: “ a rede A, para efeito de cálculo da corrente e tensão fornecidas à rede B, é equivalente à associação série da rede Ao com o gerador de tensão ideal voc, Ao é a rede A com todos os geradores independentes desativados e voc é a tensão nos terminais da rede A quando em circuito aberto”.

Figura 3.21 - Equivalente Thévenin. O teorema de Norton assegura que : “ Uma rede A, ligada a uma rede B apenas por dois terminais, pode ser substituída para efeito de cálculo da tensão e da corrente fornecida à rede B, pela associação paralela da rede Ao com o gerador de corrente ideal isc onde Ao é a rede A com os geradores independentes desativados e isc é a corrente nos terminais da rede A quando em curto-circuito”.

Figura 3.22 - Equivalente Norton.

REDE A REDE B

i(t) . . v(t) +

-

-

A Ao . . voc

+

-

+ voc

.

.

Rede A Rede Ao . isc . . .

isc




Se a rede Ao contiver elementos de um só tipo poderá ser reduzida a um só elemento equivalente. Em particular se Ao só contiver resistências reduz-se a uma resistência ou condutância pelas regras já conhecidas de simplificação de fontes. Consideremos como primeiro exemplo o circuito que segue.

Figura 3.23 - Aplicação do teorema de Thévenin a um circuito puramente resistivo. Para determinar voc separamos a rede A e calculamos a tensão em seus terminais a circuito aberto.

Figura 3.24 - Rede A ativa.

oc

oc

6 12v 8V6 3

v 8V

××××= == == == =++++

====

Deve-se notar que a circuito aberto não existe corrente na resistência de 7Ω. Para determinar a resistência equivalente desativa-se a rede A.

3ΩΩΩΩ 7ΩΩΩΩ

6ΩΩΩΩ

12V

RL

REDE A REDE B

3ΩΩΩΩ 7ΩΩΩΩ

6ΩΩΩΩ 12V

+

-

voc




Figura 3.25 - Rede A desativada. Logo a resistência de Thévenin e Norton fica então: Os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton ficam, então:

Figura 3.26 - a) Equivalente Thévenin b) Equivalente Norton

Observe-se que: oc th scv R .i==== Onde isc é a fonte de Norton. Como segundo exemplo vamos determinar os equivalentes Thévenin e Norton para o exemplo da página seguinte.

3ΩΩΩΩ 7ΩΩΩΩ

6ΩΩΩΩ 9ΩΩΩΩ

9ΩΩΩΩ

9ΩΩΩΩ RL RL 8V 8 A9

a) b)

.

.

.

.

TH6 3R 7 96 3

××××= + = Ω= + = Ω= + = Ω= + = Ω++++




Figura 3.27 - Circuito a duas fontes. Aplicação Teorema de Thévenin.

A circuito aberto determinamos voc com a rede A ativa. Verifica-se que a corrente de 2mA é obrigada a circular sobre o resistor de 2kΩ uma vez que a saída está em aberto, logo:

3oc

oc

4 2000 2 10 v 0v 8V

−−−−− − × × + =− − × × + =− − × × + =− − × × + =====

Para determinar o resistor de Thévenin, desativamos a rede A abrindo a fonte de corrente e colocando em curto a fonte de tensão.

Logo, (((( )))) 3thR 2 3 10 5k= + × = Ω= + × = Ω= + × = Ω= + × = Ω e sc

8i 1,6mA5000

= == == == =

O circuito equivalente de Thévenin e Norton fica então:


4V 1kΩΩΩΩ

3kΩΩΩΩ 2kΩΩΩΩ

2mA voc

+

-

REDE A REDE B

8V

5kΩΩΩΩ

5kΩΩΩΩ 1kΩΩΩΩ 1kΩΩΩΩ

1,6mA

a) b)

.

.

.

.




Poderíamos ter obtido o equivalente Thévenin dos dois exemplos anteriores pelo método de simplificação de fontes já visto no capítulo 2. Vamos analisar agora a obtenção do equivalente Thévenin de um circuito contendo fontes dependentes e independentes. Neste caso, freqüentemente será mais conveniente determinar os equivalentes Thévenin e Norton através da obtenção da tensão de circuito aberto e da corrente de curto-circuito e, então, determinar o valor de Rth como quociente dos dois equivalentes. Analisemos o circuito que segue:

Figura 3.29 - Circuito co A circuito aberto temos:

oc x

xx

oc x

v vv4 2000 v 0

4000v v 8V

====

− − × + =− − × + =− − × + =− − × + =

= == == == =

Note que nenhuma corrente circula

Com os terminais da rede A em cu vx = 0; Logo a corrente de curto isc é obtid

(((( )))) sc

sc

4 2000 3000 i 0i 0,8mA− + + =− + + =− + + =− + + =

====

2kΩΩΩΩ 3kΩΩΩΩ

4V v vx

+

REDE B

25

ntendo fontes dependentes e independentes.

no resistor de 3kΩ e a corrente no resistor de 2kΩ é xv4000

.

rto:

a diretamente:

x

4000

-




O resistor de Thévenin:

3

8Rth 10k0,8 10−−−−= = Ω= = Ω= = Ω= = Ω

××××

O ckt equivalente fica então:


Como último exemplo vamos agora obter o equivalente Thévenin para um ckt que contenha apenas fontes dependentes e resistores.

Figura 3.31 - Circuito com fonte dependente para obtenção do equivalente Thévenin.

A rede já é, portanto a rede A morta e voc = 0. Precisamos, então, determinar o valor de Rth representado por essa rede de 2 terminais. No entanto, não podemos determinar voc e isc e tomar o quociente dos dois, pois não há fonte independente, e tanto voc como isc são nulos. Usamos, então, um pequeno truque colocando uma fonte externa de 1V e determinamos a corrente i resultante e, então,

th1Ri

==== .

8V

10kΩΩΩΩ

10kΩΩΩΩ

0,8mA

REDE B REDE B

6ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ

6ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ 0,1V 0,1V v

+

-

v

+

-

1V

i

.

. .

.




(((( ))))

th

v 1V0,1v i 4 v

i 0,15A1R 6,67

0,15

====+ =+ =+ =+ =

====

= = Ω= = Ω= = Ω= = Ω

No exemplo anterior poderíamos ter usado uma fonte de corrente externa de 1A e determinado

v. Neste caso, thvR1

==== . A verificação fica por conta do leitor.

Podemos fazer agora um quadro resumo em que são mostrados os tipos de circuitos e os métodos mais adequados para obter os equivalentes de Thévenin e Norton.

i = 1A ou v = 1V

Elementos que aparecem no CKT

MÉTODOS

Simplificação de fontes ou Rth, voc ou isc

voc ou isc Possível




3.9 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

1. Referindo-se ao ckt da figura abaixo determine qual dos tipos de análise é mais simples na determinação de ix, análise de nós generalizada ou análise de laços. Escolha uma árvore adequada e determine ix, iy e iz.

Solução:

N = 6 nós B = 9 ramos L = 4 elos

Para o laço x

(((( )))) (((( ))))x z x x yi 1 i 4 i 2 i i 0− + + − − − + =− + + − − − + =− + + − − − + =− + + − − − + =

Para o laço y

(((( )))) (((( ))))x y z y y1 i i 3 1 i 4 i i 0+ − + + + + =+ − + + + + =+ − + + + + =+ − + + + + =

Para o laço z

(((( )))) (((( ))))z z x z yi 1 i 4 i 2 3 1 i 4 i 0+ + − − − + + + =+ + − − − + + + =+ + − − − + + + =+ + − − − + + + =

Resolvendo o sistema:

iy ix

iz

4A

iz+4 iz+4

iz+4

iy ix

iz

4A

1ΩΩΩΩ

1ΩΩΩΩ 1ΩΩΩΩ

1ΩΩΩΩ 1ΩΩΩΩ

+ 3V - + 2V -

2V 3V

ix iy

1ΩΩΩΩ




x

y

z

i 0,5Ai 0, 25A

i 0,75A

===== −= −= −= −

= −= −= −= −

2. Use superposição para determinar o valor de vA no circuito abaixo:

Solução:

Fonte de 15A:

A A15 350i 10,50A v 1050V

500××××′ ′′ ′′ ′′ ′= = == = == = == = =

Fonte de 11A:

A A11 400i 8,8A v 880V

500××××′′ ′′′′ ′′′′ ′′′′ ′′= = == = == = == = =

Fonte de 345V:

A A345i 0,69A v 69V

500−−−−′′′ ′′′′′′ ′′′′′′ ′′′′′′ ′′′= = − = −= = − = −= = − = −= = − = −

A A A A Av =v v v v 1861V′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′+ + =+ + =+ + =+ + =

345V 50ΩΩΩΩ

350ΩΩΩΩ 100ΩΩΩΩ 15A 11A VA +

- iA




3. Com referência ao circuito abaixo use as equações de malha para encontrar iA e a potência fornecida pela fonte dependente.

Solução: MALHA A: (((( ))))A A B300i 2 200 i i 0+ + − =+ + − =+ + − =+ + − = MALHA B: (((( )))) (((( ))))B C B A B14 100 i i 200 i i 2 100i 0− + − + − − + =− + − + − − + =− + − + − − + =− + − + − − + = MALHA C: C Ai 2i====

(((( ))))(((( ))))

A B

A B A

A B

A B

500i 200i 2 2

200i 400i 100 2i 16

1000i 400i 4400i 400i 16

− = − ×− = − ×− = − ×− = − ×

− + − =− + − =− + − =− + − =

− = −− = −− = −− = −− + =− + =− + =− + =

Somando: A A C600i 12 i 20mA i 40mA= = == = == = == = =

B16 400 0,02 24i 60mA

400 400+ ×+ ×+ ×+ ×= = == = == = == = =

100ΩΩΩΩ 200ΩΩΩΩ

300ΩΩΩΩ

100ΩΩΩΩ

14V

2V

2iA

iB

iC

iA

iA




(((( )))) (((( ))))A

A

A

3f 2i C B

f 2i

f 2i

v 100 i i 100 40 60 10

v 2V

P 2 40mA 80mW

−−−−= − = −= − = −= − = −= − = −

= −= −= −= −

= − × = −= − × = −= − × = −= − × = −

4. Para o circuito que segue determine as tensões de nós. Solução:

Nó 1 : (((( ))))1 3 1 21 x

v v v v3 i i 3 14 2−−−− −−−−= + = += + = += + = += + = +

Nó 2 : (((( ))))2 31 2 2x 2 3

v vv v vi i i 22 8 4

−−−−−−−−= + = += + = += + = += + = +

Nó 3 : (((( )))) (((( ))))1 21 3 2 31 2 x

2 v vv v v vi i 2i 34 8 2

−−−−− −− −− −− −+ = + =+ = + =+ = + =+ = + =

Multiplicando por 4 a eq (1): (((( ))))1 2 312 3v 2v v 4= − −= − −= − −= − − Multiplicando por 8 a eq (2): 1 2 30 4v 7v v= − + −= − + −= − + −= − + −

Multiplicando por 83

a eq (3): 1 2 30 2v 3v v= − += − += − += − +

3A 2ix

4ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ

8ΩΩΩΩ 2ΩΩΩΩ v1 v3

ix

i1

i2

i3

v2




Utilizando a regra de Cramer:

1

2

3

3 2 1 v 124 7 1 v 0

2 3 1 v 0

− −− −− −− − − − =− − =− − =− − = −−−−

31 21 2 3v v v ∆∆∆∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆= = == = == = == = =

∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

1

2 3

3 2 1 12 2 14 7 1 10 0 7 1 48

2 3 1 0 3 1

3 12 1 3 2 124 0 1 24 4 7 0 24

2 0 1 2 3 0

− − − −− − − −− − − −− − − − ∆ = − − = ∆ = − =∆ = − − = ∆ = − =∆ = − − = ∆ = − =∆ = − − = ∆ = − = − −− −− −− −

− −− −− −− − ∆ = − − = ∆ = − = −∆ = − − = ∆ = − = −∆ = − − = ∆ = − = −∆ = − − = ∆ = − = − −−−−

1 2 348 24 24v =4,8V v =2,4V v 2,4V10 10 10

−−−−= = = = −= = = = −= = = = −= = = = −

5. Para o circuito abaixo determine as tensões dos nós.

10ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ 2ΩΩΩΩ 2A 7A

2V

Super nó

v1 v2




Solução:

(((( ))))1 2

1 2 2 1

2 1 2 1

1 1

1

1

2

v v2 7 0 42 4

8 2v v 28 0 v 20 2v

v v 2 v v 2

v 2 20 2v 3v 22

v 7, 333V

v 5, 333V

− + + + = ×− + + + = ×− + + + = ×− + + + = ×

− + + + = = − −− + + + = = − −− + + + = = − −− + + + = = − −

− = = +− = = +− = = +− = = +

+ = − −+ = − −+ = − −+ = − −= −= −= −= −

= −= −= −= −

= −= −= −= −

6. Usando análise de malha, calcular a corrente i0 no circuito que segue. Solução:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

0 1 2

1 2 1 3 1 2 3

2 2 3 2 1 1 2 3

1 2 3 1 3 2 1 2 3

i i i

M1 24 10 i i 12 i i 12 11i 5i 6i

M2 0 4i 4 i i 10 i i 0 5i 19i 2i

M3 0 4 i i 12 i i +4 i i 0 i i 2i

= −= −= −= −

→ = − + − → = − −→ = − + − → = − −→ = − + − → = − −→ = − + − → = − −

→ = + − + − → = − + −→ = + − + − → = − + −→ = + − + − → = − + −→ = + − + − → = − + −

→ = − + − − → = − − +→ = − + − − → = − − +→ = − + − − → = − − +→ = − + − − → = − − +

24V

4i0 12ΩΩΩΩ


4ΩΩΩΩ

i2

i3

i1

i0

i0 = i1 – i2




Pela Regra de Cramer:

1

2

3

11 5 6 i 125 19 2 i 01 1 2 i 0

− −− −− −− − − − =− − =− − =− − = − − +− − +− − +− − +

1

2 3

11 5 6 12 5 65 19 2 192 0 19 2 4321 1 2 0 1 2

11 12 6 11 5 125 0 2 144 5 19 0 2881 0 2 1 1 0

− − − −− − − −− − − −− − − − ∆ = − − = ∆ = − =∆ = − − = ∆ = − =∆ = − − = ∆ = − =∆ = − − = ∆ = − = − − + − +− − + − +− − + − +− − + − +

− −− −− −− − ∆ = − − = ∆ = − =∆ = − − = ∆ = − =∆ = − − = ∆ = − =∆ = − − = ∆ = − = − + − −− + − −− + − −− + − −

31 21 2 3

432 144 288i =2,25A i =0,75A i 1,5A192 192 192

∆∆∆∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

7. Aplique o teorema da superposição para obter i0.

10V

2A

4A

3

6 3 i0




Solução: Considerando ativa apenas a fonte de 10V.

0

0

0

1 110 i6 33 610 i18

i 20A

′′′′= += += += + ++++ ′′′′====

′′′′ ====

Considerando ativa apenas a fonte de 2A. Divisor de corrente

0

143i 2 A1 1 3

3 6

′′′′′′′′ = ⋅ == ⋅ == ⋅ == ⋅ =

++++

10V

6 3 i'0

2A

6 3 i′′′′′′′′

3

35

0




Com a fonte de 4 A ativa. Por divisor de corrente

0

0 0 0 0

1483i A1 1 3

3 6

4 8 72i i i i 20 24A3 3 3

⋅⋅⋅⋅ ′′′′′′′′′′′′ = == == == =++++

′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′′ ′′ ′′′= + + = + + = == + + = + + = == + + = + + = == + + = + + = =

8. Calcular o equivalente de Thévenin para o circuito que segue.

Solução: A ckt aberto: ab th xV V 4I= == == == =

(((( ))))

x x x

x x

x x

I 1,5I I I 0,5I6 5I 3I 4I 0

6 5 0,5I 7I

+ = = −+ = = −+ = = −+ = = −− + + + =− + + + =− + + + =− + + + =

= − += − += − += − +

6 3 4A

3

0i′′′′′′′′′′′′

6V 1,5IX

5ΩΩΩΩ 3ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ

IX

I

a

b




(((( )))) x x

th

66 2,5 7 I I 1,333A4,5

V 4 1, 333 5,333V

= − + = == − + = == − + = == − + = =

= × == × == × == × =

Com a b em curto:

(((( ))))

(((( ))))

x x x sc x NT

x

x x

x x

thth

NT

I 1,5I I I 0,5I I I I6 5I 3I6 5 0,5I 3I

66 2,5 3 I I 12A0,5

V 5, 333R 0,444I 12

′ ′′ ′′ ′′ ′+ = = − = =+ = = − = =+ = = − = =+ = = − = =′′′′= += += += +

= − += − += − += − +

= − + = == − + = == − + = == − + = =

= = = Ω= = = Ω= = = Ω= = = Ω

6V

IX

I’

a

b

1,5IX

5ΩΩΩΩ 3ΩΩΩΩ

ISC = INT

5,33V

0,444ΩΩΩΩ

a

b




9. a) Determine o equivalente Thévenin para o circuito visto de a e b. b) Qual o resistor ligado em a e b que implicará em MTP?

c) Qual é essa potência? Solução: Com a e b aberto:

TH ab 0

0

04 3

TH

V V 2000 20i6 3000i 0

i 2mA

V 4 10 2 10 80V−−−−

= = − × == = − × == = − × == = − × =− + =− + =− + =− + =

====

= − × × × = −= − × × × = −= − × × × = −= − × × × = −

Com a e b em curto:

3 30 SC 0

TH 3

6i 2 10 A I 20i 40 10 A 3000

80R 200040 10

− −− −− −− −

−−−−

= = × = − = − ×= = × = − = − ×= = × = − = − ×= = × = − = − ×

−−−−= = Ω= = Ω= = Ω= = Ω− ×− ×− ×− ×

6V 20i0

3kΩΩΩΩ

2kΩΩΩΩ

a

b

i0

6V 20i0

3kΩΩΩΩ

2kΩΩΩΩ

a

b

i0

ISC




(((( ))))

3

23 4 6

80i 20 10 A4000

P 2000 20 10 4 10 10 0,04W

−−−−

− −− −− −− −

= = ×= = ×= = ×= = ×

= × × = × × == × × = × × == × × = × × == × × = × × =

10. Determine o equivalente de Thévenin para o circuito, visto de ab ligando uma fonte de 1A ao

circuito tem-se THvR1

= Ω= Ω= Ω= Ω .

(((( ))))1 1

1 1 1 1

1

1

1 i i i 1 i

v 5 1 10i 20i 0 v 5 10 1 i 20i v 15 10i

v 5 1 30i 0v 5i30

v 5v 15 1030

5v 0,3v 153

400,7v3

40v 19,047V2,1

RTH 19,047

′ ′′ ′′ ′′ ′= + = −= + = −= + = −= + = −

′′′′− + × + + = → = + − + → = +− + × + + = → = + − + → = +− + × + + = → = + − + → = +− + × + + = → = + − + → = +− + × + =− + × + =− + × + =− + × + =

−−−−====

−−−−= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅

− = −− = −− = −− = −

====

= == == == =

= Ω= Ω= Ω= Ω

80V

2000ΩΩΩΩ

2000ΩΩΩΩ

a

b

i

20i1


30ΩΩΩΩ i1

i'

v

+

-

1A

a

b

.

.

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CAPITULO 03 - politecnica.pucrs.brjorgef/disciplinas/circuitos_1/diversos/... · Professor Silvio Lobo Rodrigues 2 3.1 INTRODUÇÃO Um dos objetivos principais do presente capítulo