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CAPÍTULO 18 CAPÍTULO 18
MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE
18.1 PARÂMETROS CONCENTRADOS
18.1.1 SISTEMAS COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE
Aplicativo (1):Aplicativo (1):
Figura 1
Diagrama de corpo livreDiagrama de corpo livre
Figura 2
Aplicando a segunda lei de Newton
txmxxcxxkxcxktf
txmxxcxcxxkxktf
xmF
221221223232
121211212111
tftxctxktxcctxkktxm
tftxctxktxcctxkktxm
212122322322
122221211211
ou
Matricialmente: em forma compacta
fxccc
cccx
kkk
kkkx
m
m
322
221
322
221
2
1
0
0
Aplicativo (2):Aplicativo (2):
Figura 3
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
Figura 4
EQUILÍBRIO DE FORÇAS segunda lei de Newton
txmlxclxklxclxktf 22221111
EQUILÍBRIO DE MOMENTOS segunda lei de Newton
tIllxcllxktMllxcllxk d 222222111111
Em relação a “G”
Matricialemente:
tfqlklklklk
lklkkkq
lclclclc
lclcccq
I
m
d
211
2221122
112221
211
2221122
112221
0
0
tM
tftf
t
txq
COEFICIENTE DE INFLUÊNCIACOEFICIENTE DE INFLUÊNCIA
RIGIDEZ: O esforço provocado pela rigidez é dado como vimos em um sistema de múltiplos graus de liberdade por:
n
jjiji qkQ
1
supondo que qs=1 e qj s =0 (a)
(igualdade numérica) (b)isi kQ Este procedimento permite determinar a matriz [k].
COEFICIENTES DE AMORTECIMENTO VISCOSO
COEFICIENTE DE INÉRCIA
Desprezando os efeitos de rigidez e amortecimento
Exemplo 1:
Aplicar os coeficiente de influencia no exemplo (2) do carro
112221212211
21111121
00
00
lklkkklklkM
kkkkkkF
A
vertica
12 1 1 2 2
12 2 2 1 1
1 1 1 2 2 2 22
2 222 1 1 1 2
0 .1 .1 0
0 0
vertica
A
F k k l k l
k k l k l
M k l l k l l k
k k l k l
2
112221122
112221
lklklklk
lklkkkk
AMORTECIMENTO VISCOSOAMORTECIMENTO VISCOSO
INÉRCIAINÉRCIA::
mmqmmFv 11111 0
00 2121 mmM A
00 1212 mmFv
GGGA ImImqImM 2222222 00
Exemplo 2:
02
123
212
11
221
311
IE
lk
IE
lk
IE
lk
IE
lk
221
311
6
12
l
IEk
l
IEk
023
12
222
312
222
12
IE
lk
IE
lk
IE
lk
IE
lk12 2
22
6
4
E Ik
lE I
kl
lIE
lEI
lEI
lEI
k 46
612
2
23
INÉRCIAINÉRCIA
INÉRCIAINÉRCIA
EQUAÇÃO DINÂMICA:EQUAÇÃO DINÂMICA:
tm
tf
q
q
lIE
lEI
lEI
lEI
q
q
meIme
mem
G 2
1
2
23
2
12 46
612
COEFICIENTE DE INFLUENCIA DE RIGIDEZCOEFICIENTE DE INFLUENCIA DE RIGIDEZ
Para sistemas mecânicos, o calculo da matriz de rigidez, através dos coeficientes de influencia de rigidez, requer da aplicação dos princípios de estabilidade e resolução do sistema de equações formado. Isto leva a uma solução com um custo computacional muitas vezes excessivo.Pode-se calcular K, por outro lado, através da sua inversa A=K-1, matriz de flexibilidade Se F = K q, pré multiplicando pela matriz A=K-1 a ambos lados da equação anterior
ou
A F A K q qFA
ou
Sendo qj as componentes de q e fj de F
1 1
n n
j ji i ji ii i
q f a f
Como determinar a matriz de rigidez do seguinte sistema?
de tabelas, com (x) igual à função degrau,
81
4
2363
2
6
11
162
5
232
36
1
3
2
36
11
3
2
81
1
23
3631
3
266
11
3233
31
32
33
21
323
11
233
EI
LLLLL
EILx
IE
LLLLL
IELx
L
IE
LLL
IE
Lx
xa
xaxax
IExy
81
141
23
2
336
11
81
81
23
2
3
2
63
21
3
2
162
51
23
3
2
631
3
3233
32
3
23
22
3
23
12
LIE
LLLL
IELx
LIE
LLL
IE
Lx
LIE
LLL
IE
Lx
3
11
26
1
81
141
23
2
63
21
3
2
81
41
23
631
3
323
33
3
23
23
3
23
13
LIE
LL
L
IELx
LIE
LL
L
IE
Lx
LIE
LL
L
IE
Lx
fqAqM 1
Assim,
31
8114
814
8114
818
1625
814
1625
811
3
EI
LA 1K A