Capítulo 19

A teoria cinética dos gases

Neste capítulo, vai introduzir a teoria cinética dos gases

que relaciona o movimento dos átomos e moléculas com

volume, pressão e temperatura do gás. Os seguintes tópicos

serão abordados:

Lei dos gases ideais

Energia interna de um gás ideal

Distribuição de velocidades entre os átomos de um gás

Calor específico a volume constante

Calor específico a pressão constante

Expansão adiabática de um gás ideal

(19 - 1)

(19 - 2)

amostra amostra

A A

M M Nn

M mN N

Número de Avocadro

Um "mole" de qualquer substância é definida como a quantidade

contida em uma massa igual a massa molar desta substância. O

mole de qualquer substância contém o mesmo número de átomos

(ou moléculas). Isto é conhecido como o Número de Avocadro

NA =6,02 1023 átomos / mol.

O número n de moles é igual a massa Mamostra de um substância

dividido por M é a massa molar da substância, que por sua vez M é

definido como sendo mNA onde m é a massa de um átomo ou

molécula. Assim, n=N/NA.

pV nRT pV NkT

(19-3)

Gases ideais

Verificou-se experimentalmente que se 1 mole de qualquer gás for colocado num

recipientes com o mesmo volume V e se mantida à mesma temperatura T, eles

apresentarão aproximadamente a mesma pressão p. As diferenças na pressão irão

desaparecer se quanto menor for a densidade do gás que for utilizado. Outras

experiências mostraram que todos os gases a baixa densidade obedecer à

equação: pV =nRT Aqui R=8,31 K / (mol*K) é conhecida como o "constante dos

gases“.

A equação é conhecida como o "lei do gás ideal". A constante R pode ser expressa

como: R=kNA Aqui k é chamado a constante de Boltzmann e é igual a 1,38 10-23

J/K

Se substituirmos R como como n na lei do gás ideal temos a forma equivalente: pV

= NkT Aqui N é o número de moléculas ou átomo de um gás. O comportamento

real de todos os gases que se aproxima ao de um gás ideal desde que a densidades

seja suficientes baixa. Baixas densidades significa que as moléculas de gás estão

suficientemente afastadas que eles não interagirem umas com as outras, mas apenas

com as paredes do recipiente de gás.

A partir da lei dos gases ideais, temos que

ln

ln

Para expansão temos : ln 0 0

Para compressão temos : ln 0 0

f

i

f f

f

i

i i

V

V

V V

V

V

V V

f

i

f

f i

i

f

f i

i

W pdV

nRT nRT dVp W dV nRT nRT V

V V V

VW nRT

V

VV V W

V

VV V W

V

(19 - 4)

Trabalho realizado por um gás ideal a temperatura

constante Considere o gás mostrado na figura ao lado. Ele é realizada

em um temperatura constante T e sob um vai por uma

expansão isotérmica a partir do volume Vi a um volume Vf. O

processo segue para baixo sobre a linha vermelha. O trabalho

W feito pelo gás ideal é dada pela equação:

fViV

p

0W pdV

(19 -5)

Trabalho realizado por um gás ideal a

volume constante Considere processo de a f. Durante este

processo o volume do gás ideal é mantida constante

Assim, o W trabalho feito pelo gás é:

Agora considere processo de i a. Durante

este processo o volume do gás ideal é mantida

constante.

Assim, o W trabalho feito pelo gás é:

f f

i i

V V

f i

V V

W pdV p dV p V V

22A razão . Aqui é o momento

2 /

transferdo para a parede. A força exercida por uma molécula Assim, a pressão

p exerted by all the molecules on the wall is g

x xx x xx x

x

xx

mv mvp mv mvF p

t t L v L

pF

t

2 2 22 2 21 21 22 2 3

2 2 2

1 22 2 2 2 2

1 2

iven by:

/ / ... /...

é definido como:

......

x x x xNx x xN

x

x x xN

x x x xN xavg avg

F mv L mv L mv L mp v v v

L L L

A v

v v vv v v v N v

N

raiz quadrática média (RMS) para

(19 -6)

Ideal gás, temperatura, pressão e velocidade média

Considere a molécula de massa m movendo no interior de um

recipiente de dimensões Lcomo mostrado na

descobrir. Iremos seguir o movim

quadrática

L L L

ento da molécula

ao longo do eixo x. A molécula atravessa as paredes

2com intervalo de tempo entre colisões

x

Lt

v

2

3

2 2 2 2

22

Assim, a pressão do gás

Para cada molecula a velocidade é

O valor médio das três componentes é igual

Assim: 3

x avg

x y z

x

Nmp v

L

v v v v

vv

2

Assim Esta equacao diz-nos como a pressao do gas depende da velocidade3

3das moleculas de gás. Se resolver esta equação para nos obtemos que:

3 3

rms

rms rms

rms

nMvp

V

Vpv v

nM

nRT RTv

nM M

2

3

rmsnMvp

V

3rms

RTv

M

(19-7)

2

22

Energia cinética de translação

A energia cinética de uma molécula de gás 2

Sua energia cinética média 2 2

3 3Assim

2 2

Nos finalmente temos que:

rmsavg

avg

avg

A

avg

mvK

mvmvK

m RT RTK

M N

K

3

2

Em uma temperatura T todas as moléculas de gás ideais, não importa qual a sua massa,

terão a mesma energia cinética média de translação. Se medimos a

temperatura de um gás, saberemos quais são també

kT

m a sua

energia cinética media das suas moléculas.

(19-8)

3

2avg

kTK

2

3/2

2 /2

0

( ) 4 Nesta equacao M é a massa molar e v�2

é a velocidade molecular. O produto ( ) á a fracção das moléculas

com uma velocidade entre e . A integral ( )

dá

Mv RTMP v v e

RT

P v dv

v dv v dv P v dv

2

1

1 2

a fracção de moléculas com velocidades entre 0 e . Assim, a

integral deve ser igual a 1. A integral ( ) dá a fracção de

moléculas com velocidades entre e

v

v

P v dv

v v

2

3/ 2

2 / 2( ) 42

Mv RTMP v v e

RT

(19 - 9)

A distribuição das velocidades moleculares A raiz quadrada velocidade média vrms dá uma ideia

geral das velocidades moleculares, a uma

temperatura T. Informação mais completas é dada

pela lei de distribuição da velocidade de Maxwell

Velocidades média, RMS e mais prováveis

0

2 2

0

A velocidade média das moléculas é dada pela integral: ( )

8 . A média do quadrado da velocidade, é dado pela integral:

3( ) . A velocidade de raiz quadra

avg

avg

avgavg

v vP v dv

RTv

M

RTv v v P v dv

M

2da média

3Assim de acordo com os resultados a que chegamos antes. A velocidade

provável a velocidade na qual ( ) tem um máximo. Assim 0

rms avg

rms

P

v v

RTv

M

dPv P v

dv

8avg

RTv

M

3 rms

RTv

M

2 P

RTv

M

(19-10)

int

Energia interna de um gás ideal

Considere um gás monoatômico, tais como He, Ar, ou Kr. Neste caso, a energia interna

E do gás é a soma das energias cinéticas de translação dos átomos contituente

A ene

int

rgia cinética média de translação de um único átomo é dado pela equação

3 Uma amostra do gás de nmoles contém átomos. A energia

2

3 3interna de um gáss

2 2

A equação

avg A

Aavg

kTK N nN

nN kT nRTE NK

int

acima dela expressando o seguinte resultado importante

O E energia interna de um gás ideal é uma função da temperatura do gás

apenas, que não depende de qualquer outro parâmetro.

int

3

2

nRTE

(19 - 11)

Calor específico molar a volume constante

Considerar nmoles de um gás ideal, a pressão p e

temperatura T. O volume de gás é fixado em V.

Estes parâmetros definem o estado inicial do gás.

Uma pequena qu

VC

V

antidade de calor Q é adicionado a partir

do reservatório

que muda a temperatura para . e a

pressão de leva o sistema à sua

estado final.. O calor TTA constante

C é chamado o calor e

V

T T

p p

Q nC T

int

intint

int int

specífico molar em constante

volume. A partir da primeira lei da termodinâmica

temos:: . 0

Assim =

3 3 3

2 2 2

Podemos escrever a energi

V V

V

Q E W W p V

EQ E nC T C

n T

nRT nR T RE E C

int

int

a interna do

gás na forma a seguir: V

V

E nC T

E nC T

3

2V

RC int VE nC T

(19-12)

Calor específico molar C p a pressão constante

Supomos que nós adicionamos uma quantidade de calor

para e seu volume de para

mantendo a pressão constante a

O calor A constante p p

T

T T V V V

p

Q nC T C

int

é chamado

calor específico molar a pressão constante. Pela

primeira lei da termodinâmica, temos:

Usando a lei dos gases ideais nos temos:

Assim:

p V

p p

Q W E

nC T p V nC T

pV nRT

p V nR T nC T nR T nC T

p VC C R

p VC C R

(19-13)

Graus de liberdade e calor específico molar

3A equação concorda com dados experimentais

2

de gases monoatomicos, mas falha em gases diatomico e poliatomicos.

A razao e que, para diatomico e molecul

V

RC

as poliatomicas

tem movimentos mais complexos que o simples movimento de translacao

por nós assumido para gases monoatomicos.

A energia pode ser movimento rotacional

em 2 eixos ortogonais e tambem sobre o movimento oscilatorio

a posicao de equilibrio. Para explicar esses efeitos Maxwell

introduziu o teorema de equipartição de energia que afirma:

Cada tipo de molecula tem f graus de liberdade que são definidos

como formas independentes em que a molecula pode armazenar energia.

Cada grau de liberdade tem uma energia media kT / 2

por molecula ou RT / 2 por mole.

O calor molar específica correspondente é:

.

2

é igual a 3 para gases monatomicos, 5 para gáses diatomicos,

e 6 é igual a para gases poliatomicos.

V

fRC

f f

f

2

V

fRC

f = 3

f = 5

f = 6

(19 - 14)

Expansão adiabática de um gás ideal

Considere o gás ideal em fig.a. O recipiente é bem

isolado. Quando o gás expande nenhum calor é transferido

para ou a partir do gás. Este processo é chamado adiabático

i

i

f f

.

Um tal processo é indicado no p-Vdiagrama de fig.b.

pela linha vermelha. O gás é iniciado a uma pressão inicial p e

volume inicial V . Os parâmetros correspondentes finais

são p e V . O processo é d

11 1

1

escrito pela equação:

Aqui a constante

Usando a lei do gás ideal, podemos obter a equação:

If temos expansão adiabática

p

i i f f

V

ii i f f f i

f

f i

CpV p V

C

VTV T V T T

V

V V

e

If temos compressão adiabática e

f i

f i f i

T T

V V T T

i i f fpV p V

1 1

i i f fTV T V

(19 - 15)

i

i

f

f

Expansão livre

Em uma expansão livre de um gás de volume inicial V

e inicial a pressão p é permitido expandir em um

recipiente vazio de modo que o volume final é V e

a pressão final p

int

Em uma expansão livre 0 porque o recipiente de gas e isolado. Alem disso

uma vez que a expansao tem lugar no vacuo o trabalho liquido W=0

A primeira lei da termodinamica prediz que 0

Uma vez qu

Q

E

e o gás é assumido ser ideal não há alteração na temperatura

Usando a lei dos gases ideais obtemos a seguinte equação

que liga o inicial com o estado final do gás:

i f

i i f f

T T

pV p V

i i f fpV p Vi fT T

(19 - 16)