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4) Matrizes e Determinantes 4.1) DEFINIO E REPRESENTAO DE UMA MATRIZ

Denominamos matriz A do tipo m n, com m e n naturais no nulos, toda tabela formada por m linhas e n colunas, onde as linhas so formadas pelos elementos colocados na horizontal e as colunas pelos elementos colocados na vertical e os mesmos organizados entre parnteses ou colchetes. Os elementos so representados por uma letra minscula com dois nmeros subscritos: o primeiro indica a linha, e o segundo, a coluna. Esses nmeros so denominados ndices.

Exemplo:

1311 122 3

2321 22

aa aA

aa a

matriz 2 3 (duas linhas e trs colunas, l-se matriz 2 por 3), onde um elemento aij

estar situado na linha i e na coluna j.

4 3

5 8

0 3B

1 2

3 6

matriz 4 2 (quatro linhas e trs colunas, l-se matriz 4 por 2)

Exemplo 1: Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 solicita transferncia para outro curso, escolhido entre os mesmos 1, 2 e 3. A matriz abaixo representa o resultado obtido aps as transferncias: para i j, na interseo da linha i com a coluna j, encontra-se o nmero de estudantes do curso i que se transferiram para o curso j; para i = j, na interseo da linha i com a coluna j, encontra-se o nmero de estudantes do curso i que permaneceram no curso i.

Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso, analise as afirmaes seguintes, de acordo com as informaes acima. 0-0) Antes das transferncias, existiam 147 alunos no curso 1. 1-1) Aps as transferncias, existem 137 alunos no curso 2. 2-2) Foram transferidos 26 alunos para o curso 3. 3-3) O total de alunos transferidos 69. 4-4) O total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 de 363 alunos.

Observao: Geralmente as matrizes so dadas ou so fornecidas a sua lei de formao.

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Diagonal principal

Diagonal secundria

4.2) TIPOS DE MATRIZES A) Matriz linha: aquela que s possui uma linha:

A14 = ( 7 -3 2) B) Matriz coluna: aquela que s possui uma coluna:

3 1

6

B 2

1

C) Matriz nula: aquela em que todos os seus elementos so nulos.

3 2

0 0

A 0 0

0 0

D) Matriz oposta: Dada uma matriz Amn que se obtm trocando-se os sinais de todos os elementos da matriz A.

Se 2 35 8 3

A1 5 4

, ento 2 3

5 8 3A

1 5 4

E) Matriz retangular: aquela em que o nmero de linhas diferente do nmero de colunas. F) Matriz quadrada: aquela em que o nmero de linhas igual ao nmero de colunas.

2 26 4

A2 8

Pode-se dizer que a matriz A, do exemplo acima, do tipo 2 2 ou de ordem 2. Numa matriz quadrada, destacamos as diagonais principal e secundria.

Seja 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

A diagonal principal ser a11, a22 e a33. Logo, um elemento aij estar na diagonal principal se i = j A diagonal secundria ser a13, a22 e a31 . Logo, um elemento aij estar na diagonal secundria i + j = n + 1, onde n a ordem da matriz.

G) Matriz transposta: Dada uma matriz Amn, denominamos transposta a matriz Atnm que se obtm

trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas e as colunas pelas linhas.

2 3

6 3 8A

a b c

t3x2

6 a

A 3 b

8 c

Propriedade da matriz transposta: (A

t)t = A.

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H) Matriz Simtrica: uma matriz quadrada simtrica se a = at.

2 4 6

A 4 1 3

6 3 5

, pois At =

2 4 6

4 1 3

6 3 5

Uma matriz quadrada simtrica se aij = aji . Os elementos simtricos em relao diagonal principal so iguais. I) Matriz Antissimtrica: uma matriz quadrada antissimtrica se A = -A

t

0 3 4

A 3 0 5

4 5 0

pois At =

0 3 4

3 0 5

4 5 0

e At = A =

0 3 4

3 0 5

4 5 0

Uma matriz quadrada antissimtrica se aij = aji ; os elementos simtricos em relao diagonal principal so opostos; consequentemente os elementos da diagonal principal so todos nulos. J) Matriz Identidade: uma matriz quadrada cuja diagonal principal igual a 1 e os demais elementos so todos nulos:

2

1 0I

0 1

e 3

1 0 0

I 0 1 0

0 0 1

4.3) IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes so iguais quando so da mesma ordem, e os elementos correspondentes so iguais.

4.4) DETERMINANTES Seja uma relao binria que associa a toda matriz quadrada um nico nmero real ou complexo. Essa relao uma funo, onde esse nmero denominado de determinante da matriz.

Sendo A =

11 12 1n

21 22

n1 nn

a a ... a

a a . .

... . . .

a ... . a

uma matriz quadrada de ordem n, representamos o determinante de

uma matriz A como det A ou com os elementos da matriz colocados entre duas barras, ou seja det A =

11 12 1n

21 22

n1 nn

a a ... a

a a . .

... . . .

a ... . a

4.4.1) CLCULO DO DETERMINANTE A) Matriz de 1 Ordem Se a matriz A = (a11), o determinante de A ser: det A = a11 , ou seja, o determinante de uma matriz de 1 ordem o prprio elemento da matriz.

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B) Matriz de 2 Ordem O determinante da matriz de 2 ordem obtido atravs da diferena entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria:

Se A = 11 12

21 22

a a

a a

, det A = a11 . a22 a12 . a21

C) Matriz de 3 Ordem O determinante de uma matriz de 3 ordem pode ser obtido por meio de uma regra prtica denominada Regra de Sarrus.

Seja a matriz A = 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

Procedemos da seguinte maneira:

I. Repetem-se, direita da matriz, as duas primeiras colunas. II. Traa-se uma linha cortando os elementos da diagonal principal e linhas paralelas direita desta. III. Efetuam-se os produtos dos elementos sobre essas linhas conservando-se o sinal de cada

produto obtido. IV. Traa-se uma linha pelos elementos da diagonal secundria e linhas paralelas direita dessa

diagonal. V. Efetuam-se os produtos dos elementos sobre essas linhas, trocando-se o sinal de cada produto

obtido. VI. Somam-se os produtos obtidos e tem-se o valor do determinante da matriz.

4.5) OPERAES DE MATRIZES A) ADIO As operaes de adio entre matrizes s pode ser realizada se as mesmas forem de mesma ordem e ainda, a operao realizada entre os elementos correspondentes, ou seja, o aij de cada matriz adicionado ao seu correspondente. B) MULTIPLICAO DE UMA CONSTANTE POR UMA MATRIZ Esse tipo de operao feita realizando a distributiva, ou seja, uma constante k multiplicar todos os termos da matriz, gerando uma nova matriz de mesma ordem que a anterior e com cada um de seus elementos, sendo multiplicado por k.

C) PRODUTO ENTRE MATRIZES

S podemos multiplicar duas matrizes se o nmero de colunas da primeira for igual ao nmero de linhas da segunda e o resultado uma matriz com o nmero de linhas da primeira e o nmero de colunas da segunda, ento temos que:

Amxn . Bnxp = Cmxp. Para efetuarmos o produto, temos que multiplicar ordenadamente os elementos das linhas da primeira matriz com os elementos das colunas da segunda matriz e em seguida, somar esses resultados.

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D) MATRIZ INVERSA

Dada uma matriz A quadrada de ordem n, denomina-se inversa matriz A1

, tambm quadrada de ordem n tal que A . A

1 = A

1 . A = In, no qual In a matriz identidade de ordem n. Nem toda matriz

quadrada tem inversa. Neste caso, ela denominada singular.

Regra prtica: sendo a b

Ac d

, ento A-1

= 1

ad bc

d b

c a

.

E) POTNCIAO

Potncia de uma matriz quadrada s realizada se a mesma for quadrada.

A2 = A A

A3 = A A A

.

An = A A A ... A

n fatores

Exemplo 2: Considerando a matriz 3 x 3 A = ( aij ) tal que

1 se i . j > i + jaij =

-1 se i . j i + j

para i , j {1, 2, 3}, podemos afirmar que: 0-0) O determinante de A 4

1-1) A2 = 3A

2-2) A simtrica, isto , para todo i, j {1, 2, 3} temos aij = aji

3-3) A soma dos elementos da diagonal principal de A -1 4-4) A soma de todos os elementos de A 5

Exemplo 3: As mensagens entre duas agncias de espionagem, Gama e Rapa, so trocadas usando uma

linguagem de cdigos, onde cada nmero inteiro entre 0 e 25 representa uma letra, conforme mostra a

tabela abaixo:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

7 10 22 9 5 4 18 2 17 25 23 12 14 8 1 19 15 20 21 11 3 16 24 6 13 0

A agncia Gama enviou para a Rapa o nome de um espio codificado na matriz A =

2

0

0

1

11

. Para decodificar

uma palavra de cinco letras, dada por uma matriz A, de ordem 51, formada por inteiros entre 0 e 25, deve-

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se multiplic-la pela matriz de converso C =

30020

00010

70000

220530

00091

e, usando-se a tabela dada, converter

os nmeros em letras. Utilizando-se esse processo, conclui-se que o nome do espio ?

4.6) PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES A) Determinante da Matriz Transposta: O determinante de uma matriz e o da sua transposta so iguais.

det A = det At

B) Matriz Triangular: Uma matriz se diz triangular se os elementos de um mesmo lado diagonal principal so todos nulos. O determinante de uma matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal principal. C) Fila Nula: O determinante de uma matriz que tiver uma fila totalmente nula nulo.

Seja a =

a 0 b

c 0 d

e 0 f

, det A = 0.

D) Filas Paralelas proporcionais: O determinante de uma matriz que tiver duas filas paralelas proporcionais nulo.

Seja A =

x y z

a b c

2a 2b 2c

, det A = 0

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E) Multiplicao de uma fila por uma Constante: Multiplicando a fila de uma matriz A de ordem n por um nmero real k, o determinante da nova matriz B ficar multiplicado por k. F) Soma ou Subtrao das Filas Paralelas - O determinante de uma matriz que tiver uma fila resultante da soma ou subtrao de duas filas paralelas nulo.

Seja A =

x y z

a b c

x a y b z c

, det A = 0.

G) Multiplicao de uma matriz por um nmero - Multiplicando uma matriz A de ordem n por um nmero real k, o determinante da nova matriz B ficar multiplicado por k

n, isto :

det (ka) = k

n . Det A

H) Troca de Filas Paralelas - Trocando-se a posio de duas filas paralelas numa matriz quadrada de ordem n, o determinante muda de sinal. I) Regra de Chi e Teorema de Laplace

J) Determinante da Matriz Inversa

det A-1

= 1

det A

Observao: Teorema de Binet

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Exemplo 4: Considerando as matrizes 0 1

A1 0

, 0 1

B1 1

e

1 0I

0 1

analise as afirmaes seguintes:

0 - 0) A4 = i

1 - 1) B

3 = i

2 - 2) 1 1

AB0 1

3 - 3) (AB)12

= i 4 - 4) AB = BA Exemplo 5: Determine m real e positivo tal que a equao

admita duas razes reais e iguais, onde det significa determinante. Exemplo 6: Sabendo que o determinante da matriz

igual a 7, calcule o determinante da matriz

Exemplo 7: Sabendo-se que

Calcule

Observao:

Uma matriz quadrada A s possui inversa, se e somente

se, det A 0.

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Exemplo 8: Para cada nmero real , defina a matriz

Analise as afirmaes seguintes acerca de M(): 0-0) M(0) a matriz identidade 3 x 3 1-1) M() = M(2) 2-2) M() tem determinante 1 3-3) M() invertvel, e sua inversa M(-) 4-4) Se M()

t a transposta de M(), ento, M()M()

t = M(0).

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Exerccios Propostos 01. Uma economia consiste de trs setores: transporte, energia e indstria. Suponha que para a produo de cada real o setor de transportes requer o uso de 10 centavos de transporte, 20 centavos de energia e 20 centavos da indstria. o setor de energia requer o uso de 20 centavos de transporte, 10 centavos de energia e 20 centavos da indstria. o setor da indstria requer o uso de 20 centavos de transporte, 20 centavos de energia e 10 centavos da indstria. Estas informaes podem ser resumidas na matriz 33 seguinte onde as linhas contm o que cada setor (transporte, energia e indstria, nesta ordem) precisa de transporte, energia e indstria para a produo de cada real :

1,02,02,0

2,01,02,0

2,02,01,0

Se a produo em certo perodo foi de 30 milhes em transporte, 40 milhes em energia e 16 milhes na indstria, calcule a quantidade (em milhes de reais) que foi consumida por transporte, energia e indstria para a obteno desta produo.

02. Um mtodo para enviar mensagens codificadas e de difcil decifrao o seguinte. A cada letra do alfabeto associa-se um nmero, como na tabela abaixo.

Para codificar uma palavra de seis letras, dividimos a palavra em dois grupos de trs letras, preservando a ordem, e substitumos as letras pelos nmeros correspondentes na tabela, obtendo uma matriz 31 para cada grupo. Em seguida, multiplicamos esta matriz pela matriz seguinte

011

101

111

Finalmente, substitumos os inteiros da matriz obtida pelas letras correspondentes na tabela e esta a codificao do grupo de trs letras. Por exemplo, se o grupo ordenado de letras for BEM temos

que a matriz correspondente

13

5

2

que, quando multiplicada pela matriz acima, resulta

7

15

20

que

corresponde codificao TOG.

Suponha que a codificao de certa palavra foi ZUWTNO. Encontre a palavra original e indique a soma dos valores correspondentes a cada uma das letras da palavra original na tabela acima.

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03. Se

quanto vale o determinante

04. Seja M uma matriz 2 x 2 inversvel tal que Det M

-1 = 1/96, onde M

-1 e a matriz inversa de M.

Determine o valor de Det M.

05. Nesta questo A, B, I e O so matrizes 2 x 2, I a matriz identidade, O a matriz nula, e det A, denota o determinante de A. Pode-se afirmar que: 0-0) Se A = 0 ento det A = 0. 1-1) Se A = 0 ento A = 0. 2-2) Se A = A ento A = I. 3-3) Se AB BA, ento A - B ( A + B).(A B) 4-4) Se A = I ento A = I.

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

43 46 96 FFFVF

GABARITO