Capítulo 8 Simulação de Grandes Escalas de Escoamentos Turbulentos

Capítulo 8

Simulação de Grandes Escalas de

Escoamentos Turbulentos

• Simulação de Grandes Escalas (SGE) é uma metodologia intermediária à Simulação Numérica Direta (SND) e à simulação via equações médias de Reynolds (URANS).

• Em SGE as estruturas turbulentas transportadoras de energia e quantidade de movimento são resolvidas diretamente da solução das equações filtradas, enquanto que a transferência de energia entre as duas partes do espectro é modelada.

• Considerando-se que as menores estruturas tendem a ser mais homogêneas e isotrópicas e menos afetadas pelas condições de contorno, espera-se que os modelos advindos sejam mais universais e independentes dos diferentes tipos de escoamentos, quando comparados com a metodologia média clássica.

• As metodologias de SND e SGE são semelhantes no sentido que ambas permitem a obtenção de resultados tridimensionais e transientes das equações de Navier-Stokes.

• Sendo assim, SGE continua a exigir malhas refinadas. No entanto, torna-se possível resolver escoamentos a altos números de Reynolds.

8.1. Introdução

•Equações filtradas: revisão

u u1 pi iu u C Li j ij ij ijt x x x xj o i j j

ui 0xi

T Tu T C Lj j j jt x x xj j j

8.2. Equações da Turbulência

u u Tensor de Re ynolds sub malhaij i j

C u u u u Tensor cruzadoij i j i j

L u u u u Tensor de Leonardij i j i j

u T Fluxo turbulento sub malhaj j

C u T u T Fluxo turbulento cruzadoj j j

L u T u T Fluxo turbulento de Leonarj j j

d

uu 2ji kij t ijx x 3j i

uu jk iL Cij ij 12 x xk k

•Testes de importância relativa

D .R D . L CL ij ij

D . 2 SM ij

uu u1 p ji iu ui j ijt x x x x xj i j j i

“Equações Médias de Reynolds”

Equações Filtradas Globais

Equações Filtradas - desprezando-se os tensores cruzados e de Leonard

Equações Globais da Turbulência

8.3. Modelo sub-malha de Smagorinsky

•Este modelo foi proposto por Smagorinsky (1963), baseando-se na hipótese do equilíbrio local para as pequenas escalas, ou seja, que a produção de tensões turbulentas sub-malha seja igual à dissipação:

u u S 2 S Si j ij t ij ij 3 / 2c u u /1 i j

Na expressão para ,

e l, são as escalas de velocidade e de comprimento respectivamente.

u ui j

•Como a viscosidade turbulenta é proporcional à escala de velocidade e de comprimento, tem-se que:

c u ut 1 i j

•Com estas três equações, chega-se a uma expressão para a viscosidade turbulenta:

2C S St S ij ij

•A constante de Smagorinsky, CS =0,18, foi determinada analiticamente por Lilly (1967), para turbulência homogênea e isotrópica.

•Aplicações para escoamentos não homogêneos e não isotrópicos?

8.4. Modelo sub-malha Função Estrutura de Velocidade

•Chollet e Lesieur (1982) apresentaram o formalismo para o cálculo de (viscosidade turbulenta) e (difusibidade turbulenta) no espaço de Fourier

•Eles chegaram à seguinte expressão para a viscosidade turbulenta no espaço de Fourier:

E k ,tck ,tt c t kc

•A constante t+ é determinada fazendo-se um balanço de energia

como segue:

k 2c 2 k E k ,t dk tt0

Considerando-se 2 / 3 5 / 3E k ,t C kK

3 / 22 / 3 Ct K Obtém-se

Observa-se que o cálculo da viscosidade turbulenta no espaço de Fourier exige determinar o nível de energia cinética turbulenta na freqüência de corte.

Buscando-se aplicar este modelo no espaço físico, Métais e Lesieur (1990) mostraram que é possível fazer esta passagem, utilizando-se do conceito de Função Estrutura de Velocidade de Ordem 2:

2F x,r ,t u x r ,t u x ,t2

•Batchelor (1953), mostra que existe um dualismo entre a função estrutura (definida no espaço físico) e o espectro de energia (definido no espaço de Fourier), válido para turbulência homogênea e isotrópica.

•Com este dualismo e com um espectro de energia de Kolmogorov, chega-se ao seguinte resultado:

E x,k ,t 0 ,03 F x, ,tc

Logo,

Com

2F x,r ,t u x r ,t u x ,t2 r

3 / 2x , ,t 0 ,104 C F x, ,tt 2K

•Estes dois modelos são mais apropriados para escoamentos turbulentos plenamente desenvolvidos e fora de regiões parietais. Para escoamentos em transição e escoamentos parietais, um novo tipo de modelo foi proposto por Germano (1993)

8.5. Modelagem dinâmica sub-malha

•A modelagem sub-malha convencional envolve uma constante de proporcionalidade ad-hoc imposta. Apesar das limitações advindas deste fato, conseguiu-se, nos últimos anos, avanços extremamente importantes na área de simulação numérica dos escoamentos turbulentos.

•Os resultados que podem ser obtidos em turbulência completamente desenvolvida e fora das regiões parietais colocam a SGE hoje como uma ferramenta paralela à experimentação em laboratórios (Bradshaw et al., 1996, e Gharib, 1996).

•Uma das principais limitações diz respeito a análise de escoamentos em transição e nas proximidades de paredes, em conseqüência da imposição ad-hoc de uma constante de proporcionalidade

•A determinação dinâmica de uma função de proporcionalidade no cálculo da viscosidade turbulenta pode representar avanços importantes.

•A base desta modelagem é o uso de dois filtros com comprimentos característicos diferentes.

•No primeiro, utiliza-se as dimensões da malha para calcular o seu comprimento característico. Ele é denominado filtro a nível da malha.

•No segundo utiliza-se um múltiplo das dimensões das malhas para calcular o comprimento característico. Ele é denominado filtro teste.

•Com base no uso dos dois níveis de escalas (acima da malha), conclui-se que, na modelagem dinâmica, utiliza-se informações do nível de energia contido nas menores escalas resolvidas, situadas entre as escalas dos dois filtros.

•A base matemática dos modelos dinâmicos são as equação de Navier-Stokes:

u u1 pi iu ui jt x x x xj i j j

u u1 pi iu ui it x x x xj i j j

Primeiro processo de filtragem

u u u uij i j i j Tensor de Reynolds sub-malha

generalizado

u u1 pi iu ui j ijt x x x xj i j j

Chega-se a:

Aplica-se agora um novo filtro G, de comprimento característico superior ao comprimento do primeiro filtro, sobre a equação seguinte:

u u1 pi iu ui it x x x xj i j j

ˆ ˆû u1 pi iu ui jt x x x xj i j j

•Onde a seguinte relação entre os comprimentos característicos dos dois filtros é utilizada

ˆ 2

•Define-se o tensor das tensões relativas ao segundo filtro, também chamadas de sub-teste, como sendo:

ˆ ˆT u uu uij i ji j

Logo, tem-se que:

ˆ ˆû u1 pi iˆ û u Ti j ijt x x x xj i j j

Filtrando-se a seguinte equação:

u u1 pi iu ui j ijt x x x xj i j j

ˆ ˆû u1 pi i û ui j ijt x x x xj i j j

Subtraindo-se uma equação da outra, entre as duas abaixo:

ˆ ˆû u1 pi iˆ û u Ti j ijt x x x xj i j j

ˆ ˆû u1 pi i û ui j ijt x x x xj i j j

Tem-se, ˆ û u û u Ti j i j ij ijx xj j

Define-se, daí, o tensor global de Leonard:

û u ˆL u u Ti ji j i j ij ij

•A parte anisotrópica do tensor de Reynolds global sub-malha pode ser modelada com a hipótese de Bousinesq

ij 22 S 2c x,t S Sij ij t ij ij3

•Modelando-se as tensões sub-teste de Reynolds de forma análoga, tem-se:

ij ˆ ˆˆ 2T T 2c x,t S Sij ij ij3

•Filtrando-se a primeira destas duas equações equações, tem-se:

ij ˆ 2ˆ ˆ 2 S 2c x,t S Sij ij t ij ij ij3

Utilizando-se estas três equações, mais a identidde de Germano, isola-se a função de proporcionalidade procurada:

L M1 i j i j

c x ,t2 M Mi j i j

ˆ ˆˆ 2 2M S S S Si j i j i j

Com Mi j e Li j dados por:

û uL u ui ji j i j

8.5. Métodos Numéricos para LES

Discretização

Elementos Finitos

Diferenças Finitas

Volumes Finitos

Métodode

Vórtices


• Esquema temporal: deve ser de, pelo menos, segunda ordem

• Euler: primeira ordem – não recomendado

n 1 nu u n n n ni i f u ,u P Fi j i it

• Adams Bashforth: segunda ordem – apropriado

n 1 nu u 3 1n n n 1 n 1 n ni i f u ,u f u ,u P Fi j i j i it 2 2


• Runge Kuta: segunda ordem ou maior – apropriado

1

nn2u u n n n ni i f u ,u P Fi j i it

2

1 1n 1 n n nu u n ni i 2 2f u ,u P Fi j i it


• Esquema espacial: no mínimo de segunda ordem

• Esquemas Up-Wind: não recomendados por apresentar difusão numérica• Esquemas centrados: são os mais apropriados por não apresentar difusão numérica

O esquema centrado de segunda ordem tem sido considerado inapropriado para discretização do

termo advectivo por ser oscilante!!

A experiência tem mostrado que isto não é um problema numérico e sim deuso e de interpretação

física.

De fato: quando se associa segunda ordem no tempo com esquema centrado de segunda ordem no espaço

mais modelagem da turbulência: estabilidade numérica, livre de difusão numérica


• Acoplamento pressão velocidade: passo fracionado tem sido utilizado com sucesso. Nada impede que outros sejam utilizados com sucesso, desde que garantam convergência e conservação de massa.

passo fracionado

n nn 1 n nu uu u ui j u1 pi j ni i Fef it x x x x xj i j j i

2 n 1 n 1p' .ut

n 1t p'n 1 n 1u ui i xi


• Solver de sistemas lineares:

• SOR: caro e pode patinar

• MSI: método interativo – tem sido utilizado

• Gradiente conjugado: tem sido utilizado

• Multi-grid: é o melhor procedimento do momento – não patina e é muito mais rápido que os demais permite chegar a baixos resíduos de pressão e em consequencia a pequenos resíduos de massa. No entanto, é umm método mais apropriado para metodologias implícitas.

8.6. Resultados Ilustrativos – O Papel da Modelagem

Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta- diferenças finitas centradas de segunda ordem – sem modelagem da turbulência: acúmulo de energia na frequência de corte.

Malha: 32x32x32


Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta- diferenças finitas centradas de segunda ordem – sem modelagem da turbulência: acúmulo de energia na frequência de corte.

Malha: 64x64x64


Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – a modelagem da turgbulência de Smagorinsky foi introduzida a partir de 5 segundos – Constante de Smagorinsky: 0,18

Transferência excessiva de energia!

Malha: 64x64x64


Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – a modelagem da turgbulência de Smagorinsky foi introduzida a partir de 5 segundos – Constante de Smagorinsky: 0,028

Transferência adequada de energia!

Incoveniente: ajustar a consntante!!

Malha: 64x64x64


Evolução temporal do espectro de energia cinética turbulenta – modelagem Dinâmica da turbulência foi introduzida a partir de 5 segundos –

Transferência adequada de energia!

Vantagem: não ter que ajustar a consntante!!

Malha: 64x64x64

8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequado de esquemas temporais e espaciais + modelagem da turbulência

d

7.5d

15d

16.5d

30d


Surfaces of vorticity: (a) Re = 100; (b) Re = 300; (c) Re = 1.000. and (d) Re = 10.000 – Esquema centrado de 2a. ordem no espaço e 2a. ordem no tempo, sem modelagem da turbulência


Surfaces of vorticity: (a) Re = 100; (b) Re = 300; (c) Re = 1.000. and (d) Re = 10.000 – Esquema centrado de 2a. ordem no espaço e 2a. ordem no tempo, sem modelagem da turbulência

tU/D

Cd

0 100 200 300

0.5

1.0

1.5

2.0

Re = 100

Re = 300

Re = 10.000

Re = 1.000


Sem modelagem: Re=1.000 e Re=10.000 Com modelagem: Re=1.000 e Re=10.000



tU/D

Cd

0 50 100 150 2000.30

0.60

0.90

1.20

1.50

without model, Re = 1.000

without model, Re = 10.000

with model, Re = 1.000

with model, Re = 10.000


Sem modelagem: e Re=10.000 - 125 x 250 pontos

Com modelagem: Re=10.000 - (250 x 500 pontos

8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequdo de esquemas temporais e espaciais adequados + modelagem da turbulência


tU/D

Cd

0 50 100 1500.30

0.60

0.90

1.20

1.50

Re = 10.000

Re = 1.000

8.8. Aspectos conclusivos

• Esquemas centrados no espaço não são instáveis para os termos advectivos, desde que combinados com esquemas de segunda ordem no tempo e mais modelagem da turbulência para altos Reynolds isto é fisicamente consistente

• Esquemas descentrados de baixa ordem de precisão são sempre estáveis, independente do número de Reynolds, devido à “viscosidade numérica” inerente a eles

• Esquemas centrados são preferíveis – exigem modelagem da turbulência para exercer o papel de transferência de energia sobre a freqüência de corte, sem a interferência de viscosidade numérica.

8.7. Resultados Ilustrativos – Importância do uso adequdo de esquemas temporais e espaciais adequados + modelagem da turbulência

Re

Cd

Present work

Braza et al. (1986)

Henderson

(1997)

Lima e Silva

(2002)

Sucker e Brauer(1975)

100 1.38 1.36 1.35 1.39 1.45

300 1.22 - - 1.22 1.22

1.000 1.16 1.20 1.51 - 0.96

10.000 0.91 - - - 1.10

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