Capítulo 9 - fe.up.ptldinis/cap9cascas.pdf · Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.2 revolução, é designada por R2 e é o segundo raio de curvatura da superfície média

Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.1

Capítulo 9

Teoria de Membrana. Cascas de Revolução

9.1 Sistema de Eixos

Uma casca de revolução tem uma superfície média que forma uma superfície de

revolução. Esta superfície pode considerar-se gerada pela rotação de uma curva plana em

torno de um eixo, o chamado eixo de revolução, a curva geratriz é um meridiano. Num ponto

da superfície dá-se a intercepção de um meridiano com um paralelo. O paralelo fica na

intercepção de um plano normal ao eixo de revolução com a superfície média.

Um meridiano é identificado pela distância angular θ do plano que contém o meridiano e o

eixo de revolução com um plano meridiano de referência, plano que contém o eixo principal e

o meridiano de referência. O paralelo é identificado pelo ângulo φ formado pela normal à

superfície média no ponto com o eixo de revolução. Os meridianos são curvas para as quais é

θ = constante e os planos meridianos contêm o eixo de revolução. Os paralelos são curvas

para as quais é φ = constante, sendo os planos paralelos normais ao eixo de revolução. Esta

notação está de acordo com a figura 9.1a, na qual se representa uma superfície de revolução,

estando também representados os planos meridiano e paralelo que passam no ponto P. O raio

de curvatura do meridiano é designado por R1 e a distância de um ponto ao eixo de revolução

é designada por R. Na figura 9.1b está representado um meridiano de uma casca de

revolução. A distância, medida sobre a normal à superfície média num ponto, ao eixo de


revolução, é designada por R2 e é o segundo raio de curvatura da superfície média. O raio do

paralelo, R e o segundo raio de curvatura R2 estão relacionados entre si através do sen do

ângulo φ, isto é:

φ= senRR 2 9.1

EIXO DE REVOLUÇÃO

dθ

φ

θθ

R

C

DA

Bφ

φ + dθθ + dθ

Figura 9.1: Superfície de Revolução.

O sistema de eixos O xyz da figura 9.1 é tal que o eixo dos zz é coincidente com o eixo

de revolução e Oxy existem num paralelo, sendo oxz um plano que contém o plano meridiano

de referência. No ponto P considera-se um sistema de eixos cujos versores são k,j,i e cujas

direcções são respectivamente a da tangente ao paralelo no ponto P, da tangente ao meridiano

no ponto P e a da normal à superfície no ponto P, como se representa na figura 9.1. Para obter

o sistema de eixos Px´, y´, z´ cujo versores são k,j,i é necessário proceder a uma rotação θ

no plano Oxy, obtendo-se o sistema de eixos Ox"y"z", dando uma rotação φ no plano O y"z"

obtém-se o sistema de eixos Oxý´z´, a partir do qual se obtém finalmente Pxý´z´ por

translação OP. As componentes dos versores k,j,i no sistema de eixos Oxyz são as que se

representam no quadro 9.1.

0


i j k

Componentes segundo xx cosφ cosθ - senθ senφ cosθ

Componentes segundo yy cosφ senθ cosφ senφ cosθ

Componentes segundo zz - senφ 0 cosφ

Quadro 9.1: Componentes no sistema de eixos Oxyz dos versores k,j,i .

As derivadas dos versores k,j,i em ordem a φ e θ são:

i k∂= −

∂φ i j cos∂

= φ∂θ

j 0∂=

∂φ j i cos ksen∂

= − φ + φ∂θ

k iφ

∂=

∂ k j senφ

θ∂

=∂

9.2

O sistema de eixos no ponto P está devidamente caracterizado, sendo a posição do

ponto P definida através da distância R do ponto ao eixo de revolução e das coordenadas φ e

θ.

9.2 Hipóteses Simplificativas

Em geral a actuar numa casca existem esforços de membrana, de flexão e de corte com

já foi referido. É no entanto possível considerar que só são relevantes os esforços de

membrana, Nφ, Νθ, Νφθ no caso, por exemplo, de cascas de revolução sujeitas a forças

uniformemente repartidas na direcção e sentido de k . Os esforços de flexão Mφ, Μθ, Μφθ e


os esforços de corte Tθ e Tφ só serão significativos junto das ligações entre várias

componentes tipo casca, junto das ligações com o exterior e/ou na presença de outras acções

externas.

Considera-se que a teoria de membrana é válida desde que se verifiquem as seguintes

condições:

1 - A espessura da casca é pequena quando comparada com as restantes dimensões.

2 - As acções exteriores são tais que os esforços se desenvolvem somente na superfície

média da casca.

3 - As reacções de apoio devem estar localizadas no plano meridiano, caso contrário

desenvolver-se-ão esforços transversos e esforços de flexão junto da região de fronteira.

4 - A variação do raio de curvatura R1 da curva geratriz da superfície de revolução é lenta,

não existindo descontinuidades. Nas zonas junto de descontinuidades existirão esforços

transversos e momentos flectores.

5 - As tensões resultantes de esforços de membrana consideram-se uniformemente

distribuídas ao longo da espessura da casca. Para valores de RM / e ≥ 10 e para variações

graduais da espessura esta hipótese pode considerar-se válida. Note-se que RM é o

menor dos raios de curvatura e e é a espessura da casca.

6 - A tensão radial é pequena quando comparada com as restantes, sendo possível

considerar-se um estado de tensão plana.

7 - Os deslocamentos na direcção normal à superfície média, designados por W, são

pequenos e dentro do domínio elástico. Valores de w aceitáveis são tais que w ≤ e/2.

Foram referidas algumas das situações para as quais podem considerar-se irrelevantes

os esforços de flexão e corte. Note-se ainda que para se poder considerar simetria do tensor N

dos esforços de membrana a espessura deve da casca deve ser pequena.


9.3 Equações de Equilíbrio

Considere-se um elemento ABCD da superfície média da casca de revolução, formado

por dois meridianos θ e θ + dθ e por dois paralelos φ e φ + dφ como se representa na figura

9.2. Note-se que os dois paralelos e os dois meridianos são considerados infinitamente

próximos. Os esforços unitários actuantes em AB são Nθ e Nθφ, os esforços de membrana que

actuam em BC são Nφ e Nφθ. Os segmentos AB e BC têm de comprimento R1dφ e Rdθ

respectivamente. A área do elemento ABCD é RR1 dθdφ.

φ

θ

φ+dφ

θ+dθ

A

B

C

Di

j

k

Nφ

Nφθ

Nθ

Nθφ

P1

P2

P3

Figura 9.2: Esforços de Membrana.

A equação vectorial de equilíbrio de esforços no elemento ABCD é:

( ) ( ) ( ) 11 1 1 2 3 0N R d i N R d j d N R d i N R d j d P i P j P k R d dRφ φθ φθ θθ θ φ φ φ θ θ φφ θ∂ ∂

+ + + + + + =∂ ∂ 9.3

Tendo em conta as equações vectoriais 9.2, pode-se substituir a equação vectorial 9.3

por três equações escalares que traduzem o equilíbrio de esforços na direcção do versor i , do

versor j e do versor k , estas equações são:


( ) ( )1 1 1 1cos 0

RN NR R N P R Rφ θφ

θ φφ θ

∂ ∂+ − + =

∂ ∂

( ) ( )

1 1 2 1cos 0RN N

R R N P R Rφθ θφθ φ

φ θ∂ ∂

+ + + =∂ ∂

0RRPsenNRRN 131 =−+ φθφ 9.4

Estas são as equações de equilíbrio dos esforços de membrana no caso das cascas

estarem sujeitas a carregamentos arbitrários. No caso das acções exteriores serem

axissimétricas, as derivadas em ordem a θ podem ser consideradas nulas e as equações

anteriores tomam a forma seguinte:

( )

1 1 1cos 0RN

R N P R Rφθ φ

φ∂

− + =∂

a)

( )

1 2 1cos 0RN

R N P R Rφθφθ φ

φ∂

+ + =∂

b)

321

PRN

RN

=+ θφ c) 9.5

A equação 9.5b) é independente das restantes, no caso das cascas finas carregadas

simetricamente e sujeitas a esforços de membrana, esta equação fornece directamente o

esforço Nφθ = Nθφ.

9.4 Deformações e Deslocamentos

No caso das cascas finas de revolução no contexto da Teoria de Membrana, as

deformações a considerar são θφφθ εεε e, sendo θε a extensão segundo o paralelo, φε a

extensão segundo o meridiano e θφε a distorção; o ângulo inicialmente recto formado pela


tangente ao paralelo com a tangente ao meridiano sofre uma variação igual a θφε após a

ocorrência de deformação. Estas deformações, para uma casca fina de espessura e,

relacionam-se com os esforços Nθ, Nφ e Nθφ, tendo em conta a lei de Hooke e a definição dos

esforços unitários a partir das tensões, equações 9.6, do seguinte modo:

( )θφφ υ−=ε NNeE

1

( )φθθ υ−=ε NNeE

1

φθθφυ+

=ε NeE

1 9.6

sendo E o módulo de Young e ν o coeficiente de Poisson.

As deformações θφφθ εεε e, podem ser calculadas a partir dos deslocamentos U

segundo a direcção do versor i , V segundo a direcção do versor j e W segundo a direcção

do vector k , tendo em conta as mudanças de geometria que ocorrem durante o processo de

deformação.

Considere-se um segmento AB segundo o meridiano e sobre a superfície média da

casca e um segmento AC do paralelo também sobre a superfície média. O segmento AB

depois de deformado passa a ocupar a posição A´B´ e o segmento AC passa a ocupar a

posição AĆ´ como se representa na figura 9.3. O ponto A sofre o deslocamento U, V e W

segundo k,j,i respectivamente.


dθ

A C

A'

C'

v +∂ v∂θ

dθ

w +∂w∂θ

dθ

w

v

B

B'

A

A'

w R

θ'

dφ

u

R1

R1

w +∂w∂φ

dφ

u +∂ u∂φ

dφ

Figura 9.3: Segmentos Sobre o Meridiano e Paralelo.

O comprimento do segmento AB é R1 dφ e o comprimento do segmento AC é Rdθ. O

comprimento do segmento A´B´ é: ( )1R d i u i v j w k dφ φφ

∂+ + +

∂. A deformação φε

é:

( )AB

iABBA −′′=εφ 9.7

Tendo em conta o valor dos comprimentos de ABeBA ′′ , as relações 9.2 e

desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira, a igualdade 9.7 toma a forma:

1 1

1 u wR Rφε

φ∂

∂= + 9.8

O elemento de arco Á C′ é definido pelas seguintes componentes:

( )1R d j u i v j w k dθ θθ

∂

∂+ + + . A deformação εθ é:

( )AC

jACCA −′′=εθ 9.9


ou seja, desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira:

1 cosv u w senRθε φ φ

θ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

9.10

A

B

C

A´

C´

B´

γ1

γ2

Figura 9.4: Segmentos sobre a Superfície Média.

A distorção 21 γ+γ obtém-se considerando:

ABAC

BACA ′′′′=εθφ 9.11

ou seja, desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira:

1

1 1 cosu v vR R Rθφε φ

θ φ∂ ∂

= + −∂ ∂

9.12

Tendo em conta as relações entre deformações e os deslocamentos, 9.8, 9.10, 9.12 e a

Lei de Hooke, obtém-se as equações seguintes para os esforços em função dos

deslocamentos:


21

1 cos1

E e u vN w u w senR Rφ

ν φ φυ φ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2

1 cos1

E e v v uN u w sen wR Rθ φ φ

υ φ φ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1

1 1 cos1E e u v vN

R R Rθφ φυ θ φ

⎡ ⎤∂ ∂= + −⎢ ⎥+ ∂ ∂⎣ ⎦

9.13

Conhecidos os esforços unitários 9.13 é possível calcular as tensões a partir das

expressões 9.13.

9.4 Cascas de Revolução Carregadas de Forma Simétrica - Solução de Membrana

9.4.1 Equações Significativas

No caso das cascas de revolução serem carregadas simetricamente em condições de

aplicação da Teoria de Membrana, as equações de equilíbrio são:

( )1 1 1cos 0

RNR N P R Rφ

θ φφ

∂− + =

∂ a)

321

PRN

RN

=+ θφ b)

( )

1 2 1cos 0RN

R N P R Rφθφθ φ

φ∂

+ + =∂

c) 9.14

A equação 9.14c) é independente das equações 9.14a) e 9.14c) donde se constata que os

esforços Nθφ só dependem de P2 = P2 (φ). A equação 9.14a) pode ser substituída pela

equação de equilíbrio de esforços acima do paralelo, ou seja:


0PsenNR2 =+φπ φ 9.15

onde P de acordo com a figura 9.5 é a resultante das forças exteriores na direcção do eixo de

revolução da casca acima do paralelo.

A partir da equação 9.15 obtém-se directamente os esforços Nφ e a partir da equação

9.14 b) obtém-se os esforços Nθ uma vez conhecidos os esforços Nφ.

φ φ

R

P

Nφ

Nφ

Figura 9.5: Forças acima de um Paralelo.

As deformações obtém-se a partir das equações 9.8, 9.10 e 9.12, tendo em conta que

por existir simetria geométrica e das acções, os deslocamentos são independentes de θ, pelo

que as deformações são:

1 1

1 u wR Rφε

φ∂

= +∂

a)

( )1 cosu w senRθε φ φ= + b)

φ−φ∂

∂=εθφ cos

Rvv

R1

1 c) 9.16


A lei de Hooke mantém a forma definida pelas equações 9.6. Note-se que v pode ser

obtido por integração da equação 9.16c) e que w pode ser eliminado nas equações 3.3a) e

3.3b) obtendo-se uma equação em u que pode ser integrada.

9.4.2 Cúpula Esférica

Considere-se uma cúpula esférica de raio a sujeita a uma distribuição de forças que

possa ser equivalente ao peso próprio, como se representa na figura 9.6.

p

α

φR

R1

R1 dφ = a dφ

a

Figura 9.6: Cúpula Esférica.

O raio de curvatura R1 para a cúpula esférica é neste caso obtido do seguinte modo:

asen

RR1 =φ

= 9.17

A equação de equilíbrio de forças acima do paralelo é:

2 0R N sen Pφπ φ + = 9.18


No caso presente o valor de P é:

( ) pcos1a2dsenadapP 22

00φ−π=θφφ= ∫∫

πφ 9.19

sendo p a força equivalente ao peso próprio por unidade de superfície.

Substituindo a equação 9.19 na equação 9.18 e resolvendo em ordem a Nφ, obtém-se:

( )φ+

−=φ

φ−−=φ cos1

pasen

cos1paN 2 9.20

Substituindo o valor de Nφ acabado de obter na equação 9.14b) e resolvendo em ordem

a Nθ obtém-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ−

φ+−=θ cos

cos11paN 9.21

Verifica-se que Nφ é sempre um esforço de compressão e que Nθ é um esforço de

compressão para valores de φ < φ 0 e é um esforço de tracção para φ > φ0; sendo φ0 um

ângulo tal que:

0coscos11

=φ−φ+

9.22

ou seja φ0 ≈ 51o 50´.

No caso das reacções serem tangentes aos meridianos estas formulas fornecem boas

aproximações para as tensões σφ e σθ.

As deformações εφ e εθ obtidas através da lei de Hooke são:


1 cos1 cos

p aE eφ

νε ν φφ

⎛ ⎞+= − −⎜ ⎟+⎝ ⎠

1cos1 cos

p aE eθ

νε φφ

⎛ ⎞+= − −⎜ ⎟+⎝ ⎠

9.23

Eliminando w entre as duas equações 9.16a) e 9.16b) obtém-se:

1cosusen u R sen Rφ θφ φ ε φ εφ

∂

∂− = − 9.24

ou seja:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡φ

φ

ε−φε+φ= θφ d

sen

RsenRCsenu 2

1 9.25

Tendo em conta as expressões 9.23 para as deformações, obtém-se:

( ) 2

0

1 2 cos1 cos

p a du sen CE e sen

φν φφ φφ φ

⎡ ⎤+ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ 9.26

ou seja:

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ+

−φ+ν+

−φ=cos11cos1n

eEap1Csenu

2 9.27

Sendo a constante C determinada através das condições de bordo que no caso da cúpula

representada na figura 9.6 são u = 0 para φ = α ao longo do paralelo do apoio.

A partir da equação 9.16 b, obtém-se w definido do seguinte modo:


φ−ε= θ angcotuaw 9.28

Outro caso de tratamento simples é o caso da cúpula com uma abertura para φ = β como

se representa na figura 9.7.

P P

β

α

Q Q

Figura 9.7: Cúpula Esférica com Abertura.

No caso de se considerar que a cúpula está sujeita ao peso próprio, a carga P é:

θφφ= ∫∫πφ

βdsendapP

2

0

2

ou seja:

( )φ−βπ= coscosap2P 2 9.29

A equação de equilíbrio de forças acima do paralelo, implica que seja:

φπ−=

φπ−=φ 2sena2

PsenR2

PN 9.30

ou seja tendo em conta a equação 9.29:


( )φ

φ−β−=φ 2sen

coscosapN 9.31

Por outro lado tendo em conta a equação de equilíbrio 9.14 b), obtém-se:

φ−−= φθ cosapNN

No caso da cúpula estar sujeita a uma força P distribuída ao longo do paralelo φ = β,

como se representa na figura 9.7, os esforços Nφ e Nθ são:

φ

β−=−= θφ 2sen

senPNN 9.32

Uma vez que a cúpula não pode estar sujeita senão a esforços no plano tangente, é

necessário considerar ao longo do paralelo superior um anel de compressão que equilibra uma

densidade de força radial Q = P tang β, sendo o esforço de compressão F = Q R sen b. No

caso das solicitações serem tais que não produzam reacções somente na direcção tangencial é

necessário considerar os efeitos de flexão junto das ligações.

9.4.3 Cascas Cónicas

No caso das cascas cónicas, de acordo com a figura 9.8, o ângulo φ é constante e é tal

que:

α−π

=φ2

9.33

sendo α o ângulo de abertura do cone.


A

α

s

φ

φR2

R

α

BA

B

SA

Figura 9.8: Casca Cónica.

O raio do paralelo que passa por B na figura 9.8 a) é R e pode exprimir-se em função do

Ângulo de abertura α e do comprimento do meridiano até B que é S, do seguinte modo:

α= senSR 9.34

O raio de curvatura R1 da casca é R1 = ∞ , o raio R2 é tal que R2 = S tang α.

As equações de equilíbrio de forças 9.14 a) e 9.14 b) podem ser reescritas em termos de

S e α do seguinte modo:

( )1 0SS N

N P SS θ

∂

∂− + =

α=θ TangsPN 3 9.35

A estas equações de equilíbrio pode dar-se a forma seguinte:

α=θ TangSPN 3

( ) ( )3 1SS N

P Tang P SS

α∂

∂= − 9.36


No caso da casca estar sujeita à carga P, como se representa na figura 9.8a), esta última

equação pode ser substituída pela equação de equilíbrio de forças acima de um paralelo, que

é:

0PcossenN2 S =+ααπ 9.37

ou seja:

αβπ−=

cossenS2PNS 9.38

O esforço Nq é para a casca cónica da figura 9.8a) nulo.

A cúpula cónica representada na figura 9.8b) está sujeita ao peso próprio, sendo este

representado por duas componentes:

α= cosPP1

α−= senPP1 9.39

As equações de equilíbrio 9.36 conduzem aos esforços seguintes:

αα

−=θ cossenpsN

2

e

α−

−=φ cosS2SSPN

2A

2 9.40

Em qualquer dos casos de carga considerados admitiu-se ser válida a Teoria de Membrana.


α

Figura 9.9: Cúpula Cónica Apoiada num Pilar.

Outras solicitações são possíveis, nomeadamente podemos considerar a hipótese de a

cúpula cónica estar sujeita ao peso próprio e apoiada num pilar como se representa na figura

9.9.

9.4.4 Casca em Forma de Toro

Um toro é obtido por rotação de um circulo de raio a em torno de um eixo de rotação

como se representa na figura 9.10. Os esforços em A são horizontais, os esforços ao longo do

circulo BB são obtidos considerando o equilíbrio de forças acima do paralelo BB, obtendo-se

a equação seguinte:

( )22 bRpsenNR2 −π=φπ φ 9.41

No caso da casca estar sujeita a uma carga uniformemente distribuída de intensidade p,

a equação 9.41 toma a forma:

( )φ

−=φ senR2

bRpN22

9.42


A A

R

a

A´ A´

B B

φ

b

Nφ Nφ

Figura 9.10: Casca Em Forma de Toro.

Substituindo este valor na equação 9.14 b), obtém-se:

2apN =θ 9.43

Um toro de secção elíptica pode ser tratado de forma análoga.

9.5 Cascas de Revolução Carregadas de Forma não Simétrica. Solução de Membrana

9.5.1 Equações Fundamentais

As equações de equilíbrio 9.4 podem ser modificadas, tendo em conta a equação 9.4 c)

que pode ser resolvida em ordem a Nθ. Substituindo o valor de Nθ obtido nas outras duas

equações, obtém-se duas equações em Nφ e Nθφ que são:

( ) ( )2 1 2 1 1 2 1 3cos cosN N

R sen R R N R R R P sen Pφ φθφφ φ φ φ

φ θ∂ ∂

+ + + = − +∂ ∂

32 1 2 1 2 22 cos

N N PR sen R N R R R P senφθ φφθφ φ φ

φ θ θ∂ ∂ ⎛ ⎞∂

+ − = − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 9.44


No caso das cargas P1, P2 e P3 serem funções arbitrárias de φ e θ, podem ser

representadas do seguinte modo:

1 1 10 1

cosn nP P n P sen nθ θ∞ ∞

= +∑ ∑

2 2n 2n0 0

P P sen(n ) P cos(n )∞ ∞

= θ + θ∑ ∑

0 1

3 3 3cosn nP P n P sen nθ θ∞ ∞

= +∑ ∑ 9.45

onde n3n3n1n1 P,P...,,P,P são funções de φ. As primeiras parcelas destes somatórios

representam a parte simétrica do carregamento e as segundas parcelas representam a parte do

carregamento Anti-simétrica.

Para efeitos de solução das equações 9.44 pode considerar-se separadamente os

carregamentos simétricos e anti-simétricos, Assim considerando um termo típico do

carregamento simétrico, por exemplo:

θ=θ=θ= ncosPPensenPP,ncosPP n33n22n11 9.46

Para um inteiro arbitrário n, a solução do sistema de equações 9.44 pode ser procurada

com a forma:

θ=θ=θ= φθφθθθφφ nsenNNencosNN;ncosNN nnn 9.47

onde Nφn, Nθn e Nφθn são funções de φ. Introduzindo as equações 9.46 e 9.47 nas equações

9.44 e eliminando cos nθ na 1ª equação e sen nθ na 2ª equação, obtém-se:

( )φ+−=φ

+φ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

φφθ

φφ cotangPPR

senN

RR

ncotangNRR

1d

dNn3n11

n

2

1n

2

1n


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

+−=φ

+φ+φ

φφθ

φθn3n21

n

2

1n

2

1n Psen

nPRsenN

RRncotangN

RR2

ddN

9.48

que são as equações a resolver.

No caso do carregamento antissimétrico procede-se de modo análogo.

9.5.2 Casca Esférica. Solução Geral

No caso da casca esférica os raios de curvatura R1 e R2 são iguais entre si e iguais ao

raio da superfície esférica a, ou seja R1 = R2 = a. As equações 9.48 tomam a forma seguinte:

( )φ+−=φ

+φ+φ

φθφ

φ angcotPPasenN

ncotangN2d

dNn3n1

nn

n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

+−=φ

+φ+φ

φφθ

φθn3n2

nn

n Psen

nPasenN

ncotangN2d

dN 9.49

Procedendo à seguinte mudança de variáveis:

nnnn NNVeNNU φθφφθφ −=+= 9.50

e somando e subtraindo as equações 9.49, obtém-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

φ++−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

+φ+φ n3n1n2 P

sencosnPPaU

senncotang2

ddU

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

φ−−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

−φ+φ n3n1n2 P

sencosnPPaV

senncotang2

ddV 9.51

Estas equações são duas equações diferenciais de 1ª ordem do tipo:


( ) ( ) 0gwfddw

=φ+φ+φ

9.52

cuja solução geral é da forma:

( ) ( )φ−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φφ−= ••∫ dfexpddfexpgCw 9.53

Aplicando esta fórmula às equações 9.51, obtém-se para U e V as fórmulas seguintes:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φ

φφ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

φ+−+−

φ

φ= • d

2tangcosenP

sencosnPPaC

sen2/cotangU n2

n3n2n1n2

n

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φ

φφ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

φ−+−−

φ

φ= • d

2tangcosenP

sencosnPPaD

sen2/cotangV n2

n3n2n1n2

n 9.54

Tendo em conta a mudança de variáveis 9.50, os esforços unitários são:

2VUNe

2VUN nn

−=

+= φθφ 9.55

As equações 9.54, 9.55 e 9.47 representam a solução do sistema de equações de

equilíbrio 9.44 para as cascas esféricas.

9.5.3 Casca Esférica Sujeita à Acção do Vento

A acção do vento numa casca esférica, admitindo que é uma acção com a direcção

horizontal em relação á casca pode ser representada pela seguintes forças:

φφ=== cossenpPe0PP 321 9.56

A solução procurada é da forma:


θ=θ= φθφθφφ senNNecosNN 11 9.57

As equações 9.48, tendo em conta R1 = R2 = a tomam neste caso a forma seguinte:

φ−=φ

+φ+φ

φθφ

φ cospasenN

cotangN2d

dN 11

1

pasenN

cotangN2d

dN 11

1 −=φ

+φ+φ

φθφ

θφ 9.58

Procedendo à mudança de variáveis:

1111 NNVeNNU φθφφθφ −=+= 9.59

e somando e subtraindo as equações 9.58 entre si, obtém-se:

( )φ+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

+φ+φ

cos1paUsen

1cotang2ddU

( )φ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

−φ+φ

cos1paVsen

1angcot2ddV 9.60

Estas equações são integráveis sendo a sua solução:

313

1 cos 1cos cos3

U C pasen

φ φ φφ

+ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

323

1 cos 1cos cos3

V C pasen

φ φ φφ

− ⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 9.61


onde as constantes C1 e C2 são constantes de integração que podem ser calculadas a partir

das condições de contorno.

As equações 9.59 e 9.61 conduzem ás expressões dos esforços Nφ1 e Nθφ1 que são as

seguintes:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ−φ+φ

−+

+

φ=

+=φ

42212131 cos

31cospacos

2CC

2CC

sen1

2VUN

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ−φ+φ

++

−

φ=

−=θφ

3212131 cos

31cospacos

2CC

2CC

sen1

2VUN 9.62

Tendo em conta as equações 9.57 e 9.62 obtém-se:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ−φ+φ

−+

+

φ

θ=φ

4221213 cos

31cospacos

2CC

2CC

sencosN

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ−φ+φ

++

−

φ

θ=θφ

321213 cos

31cospacos

2CC

2CC

sensenN 9.63

Para φ = 0 o valor dentro de parêntesis recto deve ser nulo, ou seja:

pa32C1 −= 9.64

Para φ = π/2 a resultante dos esforços Nφ deve ser nula e portanto deve ser:

pa32CsejaouCC 221 =−= 9.65

Nestas condições os esforços Nφ, Nφθ e Nθ são definidos de acordo com 9.63, 9.64,

9.65 e 9.5c) e são:


( ) ( )( ) θ

φφ+φφ−φ+

−=φ cossencos1

coscos1cos23paN

( ) ( )( ) θ

φφ+φ−φ+

−=φθ sensencos1

cos1cos23paN

( ) ( )( ) θ

φφ+φ−φ+φ+

−=θ cossencos1

cos1cos2cos433

paN2

9.66

Os esforços numa cúpula esférica com abertura superior podem ser calculados de modo

análogo.

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Capítulo 9 - fe.up.ptldinis/cap9cascas.pdf · Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.2 revolução, é designada por R2 e é o segundo raio de curvatura da superfície média