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201
Capítulo VII Dispositivos Acústico-Ópticos
7.1 INTRODUÇÃO
Qualquer meio físico (sólido, líquido ou gasoso), quando submetido à ação de uma
distribuição de tensão mecânica tem sua permissividade elétrica alterada. Este efeito é
denominado de efeito elastoóptico ou acústico-óptico. Ao contrário do efeito eletroóptico, este
fenômeno aplica-se indistintamente a meios materiais independentemente da classe de simetria,
anisotropia, etc. [1].
Brillouin (1922) mostrou que uma onda eletromagnética ao se propagar através de um
meio, no qual foi estabelecida uma onda elástica, podia ter parte de sua energia deslocada
angularmente. Dois experimentos independentes realizados em 1932, por Lucas e Biquard, na
França, e por Debye e Sears, nos EUA, verificaram experimentalmente a previsão de Brillouin.
Neste capítulo será realizada uma análise da interação acústico-óptica com fins de
compreender o princípio de funcionamento da célula Bragg, a qual é amplamente utilizada como
dispositivo deslocador de frequências ópticas.
7.2 A CÉLULA BRAGG
Na Fig.7.1 ilustra-se esquematicamente o fenômeno da difração acústico-óptica. Na
Fig.7.1 a), um feixe de laser incide num meio que suporta uma onda elástica que se propaga
com velocidade de fase Va (atenção: no capítulo 6, va se referia à velocidade de partículas; neste
capítulo, Va se refere à velocidade de fase, vL ou vT). Como resultado da interação com o feixe
óptico incidente, emergem dois raios ópticos: um deles, propagando-se na direção do raio
incidente, é denominado de raio não difratado, e o outro, deslocado angularmente, é denominado
202
de raio difratado. Além disso, a frequência óptica do raio difratado encontra-se deslocada
relativamente à do raio incidente, pelo valor da frequência da onda elástica.
(a)
(b)
Figura 7.1 Difração acústico-óptica. a) Raios incidente, difratado e não difratado. b) Detalhe do transdutor piezoelétrico e da coluna acústica.
Na Fig. 7.1 b), ilustra-se o transdutor piezelétrico estudado no Capítulo 6, colado num
substrato volumétrico. Na frequência de ressonância, as ondas elásticas geradas por esse
transdutor são fortemente acopladas ao material, propagando-se ao longo de sua extensão. Na
outra extremidade do dispositivo, uma carga acústica casada deve ser prevista, a fim de evitar
que ocorram reflexões de ondas elásticas e formação de onda estacionária. No caso desta figura,
obtém-se este efeito fazendo-se um ‘chanfro’ na terminação.
O dispositivo originado a partir da Fig.7.1 é denominado de célula acústico-óptica ou
célula Bragg. Em geral, a impedância da fonte de alimentação de RF é igual a 50 Ω. Entretanto,
como foi visto no capítulo anterior, a impedância de entrada da célula Bragg pode ter uma parte
reativa: )()()/(1 0 ωωω aaa jXRCjZ ++= , onde ω é a frequência do sinal de RF [2]. A fim de
que haja uma máxima transferência de potência para a célula, isto é, uma máxima eficiência de
conversão de potência elétrica em potência acústica, torna-se interessante recorrer a uma rede de
casamento de impedâncias. Como, na frequência de ressonância do transdutor, a reatância é
predominantemente capacitiva, basta utilizar uma reatância indutiva, XjZ m += , tal que
0/1 0 =−+ CXX a ω , para efetuar esse casamento de impedâncias. Com isso, proporciona-se um
bom acoplamento de potência para a célula (eficiência ηT , em (6.67), elevada). Neste capítulo, a
menos que se diga o contrário, assume-se que a potência de RF entregue pelo gerador é igual à
potência acústica acoplada. Na Fig.7.2 ilustram-se exemplos de células Bragg, onde se evidencia
as bobinas usadas para casar as impedâncias.
203
(a)
(b)
Figura 7.2- Exemplos de células Bragg. Observa-se a pequena bobina usada para casar as impedâncias de entrada da célula e o gerador de RF.
7.3 O EFEITO FOTOELÁSTICO
O efeito fotoelástico em um meio material relaciona o strain mecânico à variação da
impermeabilidade, e daí, ao índice de refração, segundo a relação tensorial [3]
kijkij Sp=Δη (7.1)
onde ijkp é o tensor elasto-óptico e ijijij n )/1(/1 2== εη é a impermeabilidade óptica relativa. O
tensor pijkl é de quarta ordem e, portanto, tem 34 = 81 elementos.
Conforme foi dito, o efeito acústico-óptico ocorre em todos os estados da matéria, não
importando a classe de simetria cristalina ou anisotropia. O elipsoide de índice de refração, na
presença de um campo de strain, passa a ser:
( ) 1)( =+=Δ+ jikijkijjiijij xxSpxx ηηη (7.2)
Tanto ijη quanto kS são simétricos e, portanto, tanto os índices ( ji, ) quanto ( ,k ) podem ser
permutados. Com isso, ocorre kjiijk pp = , e o número de elementos distintos de pijk reduz-se
para 36. No texto a seguir, as representações x1 = X, x2 = Y e x3 = Z serão empregadas
indistintamente.
Para materiais, dielétrica e acusticamente isotrópicos, a matriz dos coeficientes elasto-
ópticos, em notação de índices reduzidos, é dada por
204
=
000
12
12
11
ppp
pij
000
12
11`
12
ppp
000
11
12
12
ppp
00
000
44p
0
0000
44p
44
00000
p
(7.3)
onde
21211
44ppp −= (7.4)
Matrizes de coeficientes elasto-ópticos para as várias classes de simetria cristalina são
apresentadas no livro de Yariv & Yeh (1984), bem como, os valores numéricos desses
coeficientes para diferentes materiais [1]. A título de ilustração apresenta-se, na Tabela 7.1,
alguns valores para materiais isotrópicos.
Tabela 7.1 – Exemplos de coeficientes elasto-óptico para meios isotrópicos
Substrato λ0 (μm) p11 p12 Sílica fundida 0,6328 0,121 0,270 Água 0,6328 ± 0,31 ± 0,31 Lucite 0,6328 ± 0,30 ± 0,28 Vidro As2S3 1,15 0,308 0,299
A fim de exemplificar o efeito elasto-óptico, considere-se uma onda elástica longitudinal
da forma
( ) ( ) ZtZuZtZuZZKtUtZu aˆ),(ˆ),(ˆcos, 30 ==−Ω= (7.5)
propagando-se num meio isotrópico, sendo U0 a amplitude, Ω a frequência e Ka a constante de
fase da onda acústica. Logo, a única componente de strain não nula será S3, com valor
( ) ( )ZKtSZKtUKxuS aaa −Ω≡−Ω=
∂∂= sensen0
3
33 (7.6)
onde S=KaU0 é a amplitude do strain. Neste caso, fazendo-se k= =3 em (7.1), obtém-se
312331333331111 SpSpSp ===Δη ( )ZKtSp a−Ω= sen12 (7.7 a)
1131232333223322 ηη Δ====Δ SpSpSp (7.7 b)
( )ZKtSpSpSpSpSp a−Ω=====Δ sen1131131133333333333η (7.7 c)
205
quando i=j. Note-se que, quando ji ≠ , ocorre 0=Δ ijη , pois p43 = p53 = p63 =0.
O elipsoide de índices de refração (7.2), perturbado pela onda elástica, será:
( ) ( ) ( ) 1233333
222222
211111 =Δ++Δ++Δ+ xxx ηηηηηη (7.8)
onde 2332211 /1 n=== ηηη , para meio isotrópico com índice de refração n. Ou seja,
( ) ( ) ( ) 1sen1sen1sen1112
2122
2122
2 =
−Ω++
−Ω++
−Ω+ ZKtSp
nZZKtSp
nYZKtSp
nX aaa
(7.9)
revelando que não ocorre rotação de eixos e que o meio passa a ser anisotrópico uniaxial. Os
novos índices de refração serão:
( )ZKtSpnnnn aYX −Ω−≅= sen21
123 (7.10 a)
( )ZKtSpnnn aZ −Ω−≅ sen21 11
3 (7.10 b)
Assim, uma onda óptica polarizada segundo X (por exemplo) percebe um meio com
distribuição de índices de refração nX, a qual é variável no tempo e no espaço, conforme (7.10
a), da forma esquematizada na Fig.7.3.
(a)
(b)
Figura 7.3 – Variação de índices de refração estabelecida na célula Bragg.
Portanto, o meio torna-se periódico, de forma semelhante a uma grade de difração com
período espacial
aΛ =a
a
aaa fV
VK==
/22
ωππ (7.11)
sendo Ka o fator de fase, Va a velocidade de fase e fa a frequência acústica.
Uma vez que a velocidade da onda elástica (da ordem de 103 m/s) é cerca de 5 ordens de
grandeza menor que o da luz, a perturbação periódica causada pela onda elástica é
essencialmente estacionária (sob o ponto de vista do raio óptico).
206
7.4 FORMALISMO ONDA - PARTÍCULA
A característica de difração acústico-óptica pode ser estudada utilizando-se da natureza
onda-partícula da luz e do som. Neste modelo, um feixe de luz com um vetor de propagação K
e
frequência ω , pode ser considerado como um feixe de partículas (fótons) com momentum K e
energia ω , onde
sJxh ,2
10626076,62
34
ππ
−
== (7.12)
sendo h a constante de Planck. De forma similar, a onda acústica é interpretada como um trem
de partículas (fónons) com momentum aK e energia Ω , onde Ω é a frequência acústica.
Além disso, a difração acústico-óptica da luz pode ser interpretada como a soma de
colisões simples, envolvendo as aniquilações de um fóton incidente, com frequência ω, e de um
fónon, com frequência Ω, e a excitação simultânea de um novo fóton na frequência ω′ , que se
propaga na direção do feixe difratado. Na Fig.7.4 ilustra-se este mecanismo.
BUM
Ω ,K a
ω
,K
','K ω
Figura 7.4 - Colisão entre um fóton e um fónon incidentes produzindo um fóton difratado.
Este fenômeno é caracterizado por invariâncias devido as seguintes propriedades físicas: a) Conservação do Momentum
( ) 'KKK a
=+ (7.13)
b) Conservação de Energia
( ) 'ωω =+Ω (7.14)
Portanto, obtém-se
Ω+=+=
ωω '' aKKK
(7.15)
Isto significa que a direção do feixe difratado é estabelecida a partir dos vetores de onda
do feixe óptico incidente e da onda elástica. As direções dos raios de luz mostrados na Figura 7.5
207
refletem este resultado.
Figura 7.5 – Difração acústico-óptica para feixe óptico e onda elástica contra-propagantes.
Outro resultado de extrema importância, é que o feixe difratado sofre deslocamento de
frequência óptica, no valor da frequência da onda elástica. Em última análise, o feixe difratado
tem sua frequência deslocada pelo valor aplicado pelo gerador de RF.
Se a direção da onda elástica for invertida, o processo é equivalente à geração de um
fóton (difratado) e um fónon, a partir do fóton incidente, o qual é aniquilado. Na Fig.7.6 ilustra-se
este fenômeno. Neste caso, os princípios de conservação de momentum e energia estabelecem
que
'KKK a
+= (7.16 a)
'ωω +Ω= (7.16 b)
ou seja
Ω−ω=ω−=
'KK'K a
(7.17)
BUM
K
'K
'K
aK
aK ω
,K
',' ωK
Ω ,Ka
Figura 7.6 – Reação de aniquilação para direção do fónon invertida
Ao contrário do caso anterior, a frequência óptica do feixe difratado é menor que a do
feixe incidente. Estes resultados foram usados para obter o diagrama da Fig.7.7.
208
Figura 7.7 – Difração acústico-óptica para feixe óptico e onda elástica co-propagantes
O princípio de conservação de momentum implica em que a deflexão do feixe difratado
ocorra num ângulo muito bem definido. No caso de meio dieletricamente isotrópico, os ângulos
que os feixes incidente e difratado formam com a frente de onda acústica são iguais, e, não
ocorre mudanças na polarização.
Para o caso no qual a onda óptica incidente vai de encontro à onda elástica (interação
contra-propagante), tem-se o diagrama da Fig.7.8:
K
'K
aK
θθ
Figura 7.8 – Vetores de onda para o modo óptico e acústico na condição de casamento de fases
Como se sabe, os vetores de onda K
e 'K
têm módulos
cn
cnfnK
o
ωπλπ === 22 (7.18 a)
'K nc
ω + Ω =
(7.18 b)
Além disso, como πω 2/ ∼ Hz1013 e πΩ 2/ ∼ Hz103 , pode-se estabelecer que 'ω<<Ω e, com
isso, 'KK ≅ . A partir da Fig.7.8 pode-se verificar que
θsen2KKa = (7.19)
e, portanto,
209
θsen2
' aKKK ≅≅ (7.20)
Dados os parâmetros do feixe óptico incidente ( ω,K
) e da onda elástica ( Ω,aK
), o
ângulo θ , para o qual ocorre casamento de fase é denominado de ângulo de Bragg. Nota-se que,
para meios isotrópicos,
senK
Ka
2=θ <<1 (7.21)
e, consequentemente θ é muito pequeno, tipicamente de ordem de 3 graus ou menos. Por outro
lado, com materiais anisotrópicos ( por exemplo, o 2TeO telurite= ) é possível obter ângulos de
deflexão tão grandes como 30°, e daí, a importância de estudar a propagação em tais meios.
7.5 INTERAÇÃO ANISOTRÓPICA
Os princípios de conservação de energia e de momentum, na interação entre fótons e
fónons, também podem ser aplicados nos casos de meios dieletricamente anisotrópicos,
conforme esquematizado na Fig.7.9 [4]. Como se observa, se o raio incidente for o raio
ordinário, existem duas possibilidades de difração acústico-óptica, gerando-se raios difratados
ordinário, mostrado na Fig.7.9 a), ou extraordinário, mostrado na Fig.7.9 b). O raio incidente
observa um índice de refração n1, enquanto que o difratado observa n2. Nos triângulos de
momentum, tem-se os vetores de onda 011 /2 λπ nk = e 022 /2 λπ nk = para os raios ópticos
incidente e difratado, respectivamente, e aaK Λ= /2π para a onda acústica.
x
z
0θ1
1k
2k
aK
θ2
(a)
x
z
0θ1
1k
2k aK
θ2
(b)
Figura 7.9 – Difração anisotrópica. a) Raio difratado ordinário. b) Raio difratado extraordinário.
210
Conclui-se, assim, que a interação anisotrópica permite a conversão de polarização, uma
vez que ocorre acoplamento de energia para o raio extraordinário, a partir do ordinário. Com o
auxílio da Fig.7.9 conclui-se que (para ambos os casos):
=+=
2211
2211
coscos θθθθ
kksenksenkK a (7.22)
a partir das quais é possível obter as seguintes equações para os ângulos de incidência e difração:
−Λ−
Λ= )(
21 2
122
0
0
11 nn
nsen a
a λλθ (7.23 a)
−Λ−
Λ= )(
21 2
122
0
0
22 nn
nsen a
a λλθ (7.23 b)
onde n2 pode corresponder ao modo ordinário ou extraordinário (dependendo se o caso
corresponde a Fig. 7.9a ou Fig. 7.9b), de acordo com da magnitude do vetor de onda acústico.
Além disso, demonstra-se que a condição Bragg somente será possível se
12012 )/( nnnn a +≤Λ≤− λ . (7.24)
pois, fora deste intervalo, senθ1 e senθ2 tornam-se maiores que a unidade, impossibilitando que a
difração ocorra.
Quando o triângulo de momentum não se fecha, diz-se que existe um descasamento de
fase na interação, como mostrado na Fig.7.10.
(a)
1k
2kaK
θ1
θ2
αΔ
a1 Kk +
0A
B
(b)
Figura 7.10 – Descasamento de fase. a) Vista no elipsoide de índices. b) Vista em detalhe.
211
Isto pode acontecer porque a célula encontra-se angularmente fora da condição Bragg ou,
porque se encontra fora da frequência de ressonância [5]. Neste texto, supõe-se que o
descasamento de fase aconteça na direção x, com valor αΔ . Considera-se, contudo, que a
condição Ω±= 12 ωω seja satisfeita, uma vez que a energia sempre se conserva [1].
Por inspeção do triângulo OAB na Fig. 7.10 b), verifica-se que
222
222
2
1 )()cos( θαθ senkkKk a +Δ−=+
(7.24)
e, como normalmente 2k<<Δα , algumas considerações simplificadoras são possíveis,
possibilitando demonstrar que
22
22
2
1
cos2 θα
k
kKk a −+−≅Δ
(7.25)
Os ângulos θ1 e θ2 normalmente são pequenos, principalmente se a coluna acústica for
estreita. Na Fig.7.11 ilustra-se esta situação.
ondaacústica
não-difratado
difratado
incidente
x
z
L (a)
1k
2k
α1
α2
β1
β2
θ1
θ2
(b)
Figura 7.11 – Interação com coluna estreita. a) Vista superior. b) Diagrama de fasores.
Na próximas seções, tornar-se-á importante definir 1k
e 2k
em termos das seguintes
componentes, mostrada na Fig. 7.11 b):
zxk ˆˆ 111 βα +=
(7.26 a) zxk ˆˆ 222 βα +=
(7.26 b)
Contudo, como θ1 e θ2 são pequenos, k1 ≈ α1 e k2 ≈ α2. Com isso,
212
1111 / pvk ωα =≅
(7.27 a)
2222 / pvk ωα =≅
(7.27 b)
onde ω1 e ω1 são as frequências, e, vp1 e vp2 são as velocidades dos modos ópticos incidente e
difratado, respectivamente.
Conforme foi observado na seção 7.3, um meio dieletricamente isotrópico pode tornar-se
anisotrópico na presença de uma onda acústica. Neste caso, o meio também deixa de ser
homogêneo, porque a permissividade varia senoidalmente ao longo da coluna acústica. Com
certeza, a solução da propagação de uma onda eletromagnética neste meio não é trivial. Contudo,
recorrendo-se à teoria de modos acoplados, pode-se obter uma solução para o campo
eletromagnético propagando-se no meio perturbado pela onda acústica, a partir das soluções
obtidas para o caso não perturbado. Nas seções seguintes, estuda-se um modelo geral de
interação acústico-óptica que permite obter não só as características cinemáticas, mas também,
as característica dinâmicas, como as amplitudes dos campos, relações de potência, etc. Antes,
porém, algumas relações de ortogonalidade precisam ser deduzidas.
7.6 RELAÇÕES DE ORTOGONALIDADE
Considere-se, inicialmente, uma onda eletromagnética plana propagando-se num meio
linear, homogêneo, sem perdas, sem cargas livres e sem correntes de condução. Conforme visto
em capítulos anteriores, as equações de onda para este problema são:
0):(2
2
002 =
∂∂−∇
tee r εεμ (7.28 a)
0)(: 2
2
002 =
∂∂−∇
thh r
εεμ (7.28 b)
onde a notação ( : ) implica em multiplicação por um tensor. As seguintes expressões são
soluções desse problema:
)](exp[)(),( rktjrEtre mmmm
•−= ω (7.29 a)
)](exp[)(),( rktjrHtrh mmmm
•−= ω (7.29 b)
onde m é um índice de modos (incidente ou difratado), m=1 ou 2.
213
Percebe-se que é mais conveniente se trabalhar com grandezas fasoriais, em vez de
grandezas instantâneas. Para isto, é interessante observar que **mmmm HEhe ×=× . Assim, por
exemplo, a fim de simplificar o desenvolvimento matemático, verifica-se que é interessante
efetuar uma normalização dos campos, de forma que cada modo apresente um fluxo de potência
de 1 W/m2. Por isso, se mE
e mH
corresponderem à ondas planas e uniformes propagando-se na
direção x, impõe-se a seguinte condição [1]:
2* W/m121 =× dydzHE mm
(7.30)
Pode-se mostra-se facilmente que (ver Capítulo 2):
×=× mmm EHE
*
×
m
mExη
*
ˆ
(7.31)
onde ηm corresponde a impedância intrínseca do meio, dada por (2.59), ou seja:
rpm
m
m
m
m
mm vK εε
μω
ωμα
ωμωμη0
0000
/==≅= (7.32)
com mmK α≅ , devido a (7.27a-b). Desenvolvendo o duplo produto vetorial, (7.31) torna-se
=× *mm HE
)ˆ(ˆ**
xEEEEx mm
m
m
mm •• −
ηη
(7.33)
Combinado-se (7.32) com (7.33), e lembrando-se que mE
e x são ortogonais, verifica-se que
=× *mm HE
xE
mm
m ˆ/0
2
αωμ
(7.34)
a qual, com o auxílio da relação de normalização (7.30), permite concluir que
mm
mm pE ˆ2 0
αωμ=
(7.35)
onde mp é um vetor unitário na direção do campo elétrico. Esta relação será utilizada adiante.
214
A relação (7.30) somente é válida para campos elétrico e magnético associados a um
mesmo modo, m. No caso onde mE
e nH
, para m≠ n, referem-se a modos distintos (por
exemplo, modos incidente e difratado), a relação de normalização geral torna-se
≠=
==× •nmnm
dydzxHE mnnm ,0,1
ˆ)(21 * δ
(7.36)
que corresponde ao conhecido teorema de reciprocidade de Lorentz [6]. Esta relação estabelece o
princípio de ortogonalidade entre modos, ou seja, modos próprios de uma estrutura, com ordens
distintas, não trocam energia entre si (a não ser que uma perturbação seja aplicada ao sistema).
No Capítulo 2, mostrou-se que )/ˆ nnn ExH η
(×= , e assim, deduz-se que
=× *nm HE
xEEn
nm ˆ*
η
• (7.37)
Então, a substituição de (7.37) em (7.36) permite obter
mnn
mnm EE δ
αμω 0* 2=•
(7.38)
a qual também será empregada adiante.
7.7 PROPRIEDADES DINÂMICAS DA INTERAÇÃO ACÚSTICO-ÓPTICA
Seja ),(1 tre um modo óptico que é acoplado à célula Bragg, na presença de uma
perturbação dielétrica ),,( zyxεΔ , tal que
)](exp[)(),( 1111 rktjrEtre •−= ω (7.39)
Sabe-se, do eletromagnetismo, que este modo, na presença de uma dada perturbação, pode dar
origem a um vetor polarização induzida dada por [3]
),(),,( 1 trezyxp εΔ=Δ (7.40)
que atua como uma fonte de alimentação distribuída, e que fornece energia para estabelecer um
outro modo próprio da estrutura, ),(2 tre :
215
)](exp[)(),( 2222 rktjrEtre •−= ω (7.41)
Diz-se, neste caso, que a perturbação dielétrica ),,( zyxεΔ acopla os modos ),(1 tre e ),(2 tre .
A permissividade dielétrica do meio perturbado pode ser obtida a partir dos dois
primeiros termos da série de Taylor para ε (z,t) (atenção: agora, a propagação é na direção z):
...),(),( +Δ+= tztz εεε (7.42)
onde ε é a permissividade não perturbada, independente da onda acústica, e ),( tzεΔ é uma
distribuição periódica associada à onda acústica propagando-se na direção z.
Por outro lado, a equação de onda para o meio perturbado pela coluna acústica, deve ser
0:)],([2
2
02 =Δ+
∂∂−∇ etzt
e εεμ (7.43)
ou
0:),(:),(:: 2
2
2
2
2
2
02
2
02 =
∂Δ∂+
∂∂Δ+
∂∂−
∂∂−∇ e
ttz
tetze
ttee εμεμεμεμ (7.44)
Como ε é estático no tempo, tem-se que 0/ 22 =∂∂ tε , e, como Ω<<ω, percebe-se que 22 / t∂Δ∂ ε
varia lentamente em relação à taxa de variação de )(te . Com isso, as terceira e quinta parcelas de
(7.44) podem ser desconsideradas. Além disso, usando-se a notação fasorial, conclui-se que
(7.44) conduz a
0:),(: 20
20
2 =Δ++∇ EtzEE
εωμεωμ (7.45)
A solução de (7.45) corresponderá ao modo difratado na saída da célula Bragg.
Não existe solução analítica exata para (7.45), contudo, uma técnica que conduz a
resultados bastante precisos corresponde à chamada teoria de modos acoplados. Neste método,
assume-se a hipótese que a solução global de (7.45), E
, é dada pela superposição dos modos não
perturbados ),(1 tre e ),(2 tre , com coeficientes A1 e A2, respectivamente . Contudo, esses
coeficientes não são constantes, mas variam com a dimensão transversal x, uma aproximação
válida para célula Bragg com coluna acústica estreita [1]. Ou seja,
)](exp[)()](exp[)( 22221111 rktjExArktjExAE •• −+−= ωω (7.46)
onde zxrk 111 βα +=•
e zxrk 222 βα +=•
.
216
Escrevendo-se a superposição (7.46) como
)](exp[ zxtjEAE mmmmm βαω −−=
(7.47)
para m=1 e 2, substituindo-a em (7.45) e procedendo-se a algumas manipulações algébricas,
obtém-se
0)](exp[:2 02
2
2
=−−
Δ+∂
∂+∂
∂− zxtjEAxA
xAj mmmmmm
mmm βαωεμωα
(7.48)
Assumindo-se que a perturbação dielétrica é fraca, tal que as amplitudes dos modos
variam lentamente com x, aplica-se a aproximação parabólica abaixo:
dxdA
dxAd m
mm α22
2
<< (7.49)
a qual faz com que (7.48) torne-se
)](exp[:),()](exp[.2 20 zxtjEtzAzxtjE
xAj
mmmmm
mm
βαωεωμβαωα −−Δ−=
−−
∂∂−
(7.50)
para m, = 1,2.
Recorrendo-se ao resultado da seção 7.3, verifica-se que é possível escrever ),( tzεΔ
como:
)]}(exp[)]({exp[)cos(2),( 11 zKtjzKtjzKttz aaa −Ω−+−Ω=−Ω=Δ εεε (7.51)
sendo ε1 um fator de amplitude. Assim, substituindo-se (7.51) em (7.50) e multiplicando o
resultado escalarmente por )](exp[ 111*1 zxtjE βαω −−−
, obtém-se
21*1
222011
*11
210
2*1
22
*11
11
:]})(exp[])(exp[])(exp[])({exp[
).exp(:)cos(2
)].(exp[22
EEzKjtjzKjtj
xjAEEKztA
zxjEEdx
dAjEEdxdAj
aa
εβωβωαωμεωμ
βαωαα
•
•
••
+ΔΩ+Δ−+−ΔΩ−Δ−
Δ−−Ω−=
Δ−Δ−Δ−−−
(7.52)
onde 21 ααα −=Δ (7.53 a)
217
21 βββ −=Δ (7.53 b)
21 ωωω −=Δ (7.53 c)
Integrando-se (7.52) em relação à z e t, para 0<z<Λa e 0<t<T, respectivamente, onde T é o
período da onda acústica, e recorrendo-se a (7.35) e (7.38), obtém-se
]exp[2121 xjAj
dxdA ακ Δ−= (7.54)
no qual aproximou-se as frequências ω1 ≈ ω2 =ω, e onde
21*1
21
02
12 :2
pp εαα
μωκ •= (7.55)
é chamado de fator de acoplamento da interação acústico-óptica. Aconselha-se o leitor a
verificar, como exercício, este último resultado. Por outro lado, substituindo-se (7.51) em (7.50),
multiplicando o resultado escalarmente por )](exp[ 222*2 zxtjE βαω −−−
, e procedendo de forma
análoga à dedução acima, obtém-se
]exp[1212 xjAj
dxdA ακ Δ−= (7.56)
onde *1221 κκ = .
As expressões (7.55) e (7.56) formam um sistema de equações diferenciais acopladas, nas
variáveis A1 e A2. Sua solução é clássica, e depende de condições iniciais para A1 e A2. Um caso
de grande interesse prático, corresponde àquele onde a energia incidente está totalmente no raio
incidente, isto é, no qual A2(x=0) = 0 e A1(x=0) ≠ 0. Com isso, obtém-se
Δ−
Δ= )(sen)cos()0(
2exp)( 11 sx
sjsxAxjxA αα (7.57 a)
)(sen)0(2
exp)(*12
12 sxs
AxjjxA κα
Δ−−= (7.57 b)
onde 12κκ = , e
2
22
2
Δ+= ακs (7.58)
Define-se como eficiência de difração a relação entre as intensidades ópticas dos raios
difratado e incidente, ou seja
218
2
1
2
)0()(
ALA
II
i
d = (7.59)
na qual, recorrendo-se a (7.57 a) e (7.57 b), obtém-se
222
222
2
2
)2/(sinc)2/(
)2/(sensen L
LL
sLsI
I
i
d αδδαδ
αδδκ Δ+=Δ+
Δ+== (7.60)
onde 2)( Lκδ = e sinc(x) = sen(x)/x.
7.7.1 Coeficiente de acoplamento
Se [εr] e [ηr] são as matrizes de permissividade e impermeabilidade dielétricas relativas
de um meio não perturbado, respectivamente, e [εr´] e [ηr´] referem-se às matrizes no meio
perturbado, então
][][][ Irr =ηε (7.61 a)
][´][´][ Irr =ηε (7.61 b)
onde [I] é a matriz identidade. Se, no entanto, o meio for submetido a algum tipo de perturbação
como, por exemplo, uma onda acústica, pode-se escrever que as novas matrizes serão
][][´][ rrr ηηη Δ+= (7.62 a)
e
][][´][ rrr εεε Δ+= (7.62 b)
Pós-multiplicando (7.62 b) por ][][ rr ηη Δ+ e usando (7.61 b), obtém-se
][][][][][][][][][ Irrrrrrrr =ΔΔ+Δ+Δ+ ηεηεηεηε (7.63)
Em seguida, pós-multiplicando (7.63) por ][0 rεε e simplificando, mostra-se que
0
][][][][ε
εηεε rΔ−=Δ (7.64)
onde [ε] e [Δε] são grandezas absolutas. Esta relação será muito útil adiante.
219
Considere-se, novamente, o coeficiente de acoplamento dado por (7.55). A seguir,
investiga-se o fator abaixo, dado na forma matricial
121121*1 ][][][
21:
pppp ii εε Δ=• (7.65)
para i, = 1,2 e 3. Na forma tensorial, (7.65) torna-se
)()(
21: 2121
*1 pppp ii εε Δ=• (7.66)
para i, = 1,2 e 3, tal que
≠=
==•kiki
ikjkij
,0,1
0
δηεε
(7.67)
sendo ηij a impermeabilidade relativa.
Considerando-se o diferencial de (7.67), aproximando-se ijijd εε Δ≅ e ijijd ηη Δ≅ , e pós-
multiplicando o resultado por 0/εε k , obtém-se
00 εεε
εεηε
ε kmnjkmnijkjkijij
Sp−=
Δ−=Δ (7.68)
onde foi utilizada a relação (7.1).
Com isso, substituindo-se (7.68) em (7.66), conclui-se que
0
2121
*1 2
)()(:
εεε
ε pSpppp kmnjkmniji−=• (7.69)
Considere-se, agora, o caso onde a onda acústica sempre é excitada com polarização
paralela a um dos eixos do versor ),,(ˆ 321 aaaa = , e cujo vetor deslocamento de partículas é dado
por
arbKtUu a ˆ].ˆcos[0
•−Ω= (7.70)
220
onde ),,(ˆ321 bbbb = é um versor que aponta na direção do vetor de onda acústico aK
. Nesta
hipótese, quando um≠0 ocorre un=0, e, quando un≠0 ocorre um=0, para m≠n. Então, pode-se
empregar a seguinte relação simplificada para o strain, independentemente de a onda ser
longitudinal ou transversal:
n
mmmn
n
mmn x
uSSxuS
∂∂==
∂∂= γ (7.71)
onde γ =1 para m=n e γ=1/2 para m≠n., e, sendo S1= S11, S2= S22, S3= S33, S4= 2S23, S5= 2S13,
S6= 2S12. Com isso, a matriz de strain para um deslocamento de partículas (7.70) será
[ ] arbKtbUKbUKbUK
S aa
a
a
mn ˆ].ˆˆ[sen30
20
10
•−Ω
=
(7.72)
Assim, definindo-se
mnmn abSS )(= (7.73 a) onde
0UKS a= (7.73 b)
e observando-se que 20111 )()()( iiiiiiji nppp εεε == e 2
0222 )()()( nppp k εεε == , em
termos de índices de refração para os feixes incidente e refratado, respectivamente, nota-se que
(7.69) converte-se em
2)()()(
:222
2110
21*1
knmjkmnj npbSapnppp
εε −=•
(7.74)
Definindo-se, também, o fator de coeficiente elasto-óptico efetivo como
knmjkmnj pbappp )()( 21= (7.75)
então, (7.74) e (7.75) fazem com que o fator de acoplamento (7.55) torne-se
22
21
21
002
12 4nnSp
ααεμωκ = (7.76)
Da Fig. 7.11, observa-se ainda que
221
2121
212121 coscoscoscos θθωωθθααcn
cnkk == (7.77)
então
21
32
31
2
20
22
coscos4 θθλπκ nnSp= (7.78)
uma forma mais apropriada para cálculos.
7.7.2 Interação acútico-óptica em meios isotrópicos
Como se sabe, o lugar geométrico dos vetores de onda ópticos, para um meio dielétrico
isotrópico, é uma esfera. Assim, a interação acústico-óptica é tal qual mostrada na Fig. 7.12. Na
situação de casamento de fase, Δα=0, ocorre kkk == 21
e θθθ == 21 . Além disso, s = κ em
(7.58) e β1 = β2 = k1 senθ = Ka /2, isto é, asen Λ= 2/0λθ .
raioincidente
raiodifratado
raio não-difratado
xz
1k
2k
aK
z1β
z2β−
θθ
Figura 7.12 – Interação acústico-óptica isotrópica.
Com isso, (7.57 a) e (7.57 b) tornam-se
−=
=
)(sen)0()(
)cos()0()(
1
*12
2
11
xAjxA
xAxA
κκ
κκ
(7.79)
o que permite concluir que
21
22
21 )0()()( AxAxA =+ (7.80)
222
Este resultado é extremamente importante, pois valida o modelo aqui proposto, uma vez
que estabelece que a energia se conserva. Na Fig.7.13 apresenta-se o comportamento de 2
1 )(xA
e 2
2 )(xA em função de κ x. Como se observa na figura, em κ x = κ L = π/2, a potência incidente
é totalmente transferida para o feixe difratado.
Figura 7.13 – Acoplamento reversível de energia ao longo de x.
Recorrendo-se a resultados obtidos no Capítulo 6, para o transdutor piezoelétrico com
área (H L), tem-se
HLvPS
a
a3
2 2ρ
= (7.81)
sendo va a velocidade de partículas, e, substituindo-a em (7.78), obtém-se
LHPM a
Bθλπκ 22
0
22
cos2= (7.82)
Por sua vez, substituindo-se (7.82) em (7.60), finalmente chega-se a
21
22
3
6
2
22
cos1
2sen
=θρλ
πaef
aoin
d PHLp
vn
II (7.83)
Costuma-se denominar de fator do mérito da célula Bragg, o termo
3
26
a
ef
vpn
ρ=Μ (7.84)
o qual depende somente de características do material. Desta forma, como ,1cos ≅θ (7.83)
torna-se aproximadamente
223
aoin
d ILII Μ=
λπ2
sen 2 (7.85)
onde Ia é a intensidade acústica [W/m2] .
_________________________________________________________________________
Exemplo 7.1: A Fig.7.14 ilustra uma célula Bragg onde o meio acústico-óptico é a água (meio
elasticamente isotrópico). A onda elástica propaga-se na direção Z e o feixe óptico é polarizado
em Y. Determinar a eficiência de difração
Figura 7.14 – Esquema geral da interação acústico-óptica
Solução: Nas condições do problema, já foi mostrado (ver seção 7.3) que
( )ZKtSpnnn ay −Ω−= sen21
123
e, portanto, o coeficiente elasto-óptico efetivo é p12.
A água possui os seguintes parâmetros físicos (livro do Yariv) para λ0=0,6328 μm:
33,1=n , 31,012 =p , smxva3105,1= e 3/1000 mKg=ρ .
Como no caso de H2O ocorre ,124,1 2
2
≅Μ
OH
oλπ então, (7.85) torna-se
)4,1(sen2a
in
d ILII =
Apesar de não ser muito comum implementar-se células Bragg de água, ela é importante
pois constitui um padrão a partir da qual tabelas para outros tipos de materiais são
confeccionadas. O próximo exemplo ilustra esta ideia.
Exemplo 7.2: Efeito acústico-óptico em PbMoO4 (Molibdato de Chumbo)
224
Repetir o problema anterior para um meio acústico-óptica em molibdato de chumbo, sendo
λ0=0,6328 μm, W1=aP , L×H= 1 mm × 1 mm, L = 1 mm.
Solução: Para materiais diferentes do H2O, pode-se escrever
Μ= aw
in
d ILII
)μm(6328,04,1sen2
λ
onde
OH
materialw M
2
Μ=Μ
Para o PbMoO4, consulta-se o livro do Yariv para se obter 22,0≅Μw e, portanto,
%40≅in
d
II
___________________________________________________________________
7.7.3 Operação sob Baixa Eficiência de Difração
Sabe-se, da matemática, que para pequenos valores de x tem-se que:
1sensensen2 <<=≅= xxxxxx . Assim, em situações onde Id << Iin, a eficiência de
difração (7.83) torna-se
Ba
aoin
d PHLp
vn
II
θρλπ
22
3
6
2
2
cos1
2≅ (7.86)
Denominando-se o fator F como
θρλ
π2
23
6
2
2
cos1
2 HLp
vnF
ao
= (7.87)
obtém-se
ain
d PFII ≅ (7.88)
Ou seja, a eficiência de difração é proporcional a potência de RF acoplada à célula. A seguir,
serão mostrados algumas aplicações utilizando-se dispositivos com célula Bragg.
7.8 APLICAÇÕES DA CÉLULA BRAGG
225
Esta seção tem por objetivos ilustrar algumas aplicações clássicas da célula Bragg, sem
no entanto entrar em detalhes muito profundos. Para maiores informações, sugere-se que o leitor
consulte a referência [7]. Dentre estas aplicações destacam-se o modulador de intensidade óptica,
o defletor acústico-óptico, o analisador de espectro de RF e o filtro óptico sintonizável.
7.8.1 Modulador de Intensidade
O arranjo geral do modulador de intensidade óptica é ilustrado na Fig.7.18, onde o feixe
difratado é monitorado por um fotodetector de lei quadrática.
Figura 7.15 – Modulador de intensidade óptica com célula Bragg
Figura 7.16 – Modulação de intensidade óptica a partir da modulação da potência acoplada à célula.
Conforme (7.88), em regime de pequenos sinais (baixa potência), modulando-se a
potência acoplada a onda elástica Pa (a qual pode ser obtida pela modulação da potência elétrica
do gerador de RF), obtém-se controle de intensidade do feixe óptico difratado. Na Fig.7.16,
aplica-se esta ideia, para obter a modulação da luz a partir de um sinal analógico.
226
7.8.2 Defletor Acústico-Óptico
A equação (7.21) pode ser usada para implementar um defletor acústico-óptico. Na
Fig.7.17 ilustra-se seu esquema geral. A partir de (7.21), relacionando-se o ângulo de Bragg
interno, θ, com o externo, θB, através da lei de Snell, mostra-se que
a
oB Λ
=2
sen λθ (7.89)
onde aaa fV /=Λ (comprimento de onda acústico) e θB é medido no ar.
Figura 7.17 – Defletor acústico-óptico
Substituindo-se Λa em (7.89), conclui-se que
aa
oB f
V
=
2sen λθ (7.90)
ou seja, o ângulo de deflexão Bragg θB pode ser alterado através da frequência da onda elástica
fa. Para cada valor de fa associa-se um ângulo de deflexão. Desta forma, alterando-se a
frequência do gerador de RF pode-se controlar essas deflexões eletronicamente.
Um material que permite ângulos de deflexão bastante elevados, de até 300, é o TeO2,
chamado de para-telurite. Na Fig.7.18 ilustra-se um tal defletor, onde se percebe que existe um
desvio angular entre o vetor de onda aK
e a direção do feixe acústico. De fato, conforme
discutido no Capítulo 2, em meios anisotrópicos pode haver diferenças entre as direções do fluxo
de energia e do vetor aK
.
227
Figura 7.18 – Deflexão acústico-óptica em TeO2.
Na Fig.7.19 ilustram-se células Bragg dedicadas à deflexão de feixes de laser. Em
particular, na Fig.7.19 b), tem-se um arranjo para deflexão bidimensional.
(a)
(b)
Figura 7.19 – Defletores acústico-ópticos. a) Deflexão simples. b) Deflexão bidimensional.
7.8.3 Analisador de Espectro de RF
Este sistema tem a vantagem de analisar um sinal de RF com grande velocidade
beneficiando-se da característica de processamento paralelo da célula Bragg. A Fig.7.20 ilustra
seu esquema geral. De fato, se no lugar do gerador de RF houver um sinal composto por
múltiplas frequências, o qual se deseja analisar, haverá múltipla deflexão do feixe, devido à
(7.90). Utilizando-se um dispositivo CCD (Coupled-Charge Devices) para fazer a leitura das
intensidades dos feixes defletidos, realiza-se a análise espectral do sinal composto.
228
Figura 7.20 – Analisador de espectro acústico-óptico
7.8.4 Filtro Óptico Sintonizável
Atualmente existe grande interesse em se obter filtros sintonizáveis que operem nas
frequências ópticas. Por exemplo, em sistemas de comunicação por fibras ópticas, tem crescido
o emprego de técnicas de multiplexação de sinais por divisão em comprimentos de ondas ópticas
(WDM Wavelength Division Multiplexing). Neste sistema, diversos canais de informação, cada
qual operando num dado comprimento de onda, são transmitidos simultaneamente por uma única
fibra óptica. Porém, isto faz necessário que no receptor exista um mecanismo capaz de separar os
vários canais, a fim de recuperar as mensagens. Isto pode ser obtido a partir de filtros ópticos
sintonizáveis, como esquematizado na Fig.7.21.
Figura 7.21 – Filtro óptico sintonizável utilizado em sistemas WDM.
Na Fig.7.22 ilustra-se um esquema geral de filtro óptico sintonizável. Seu princípio de
funcionamento pode ser compreendido a partir da seguinte equação:
229
a
oB Λ
=2
sen λθ (7.91.)
Figura 7.22 – Filtro óptico sintonizável.
Mantendo-se o sinal de RF fixo, observa-se que o ângulo de deflexão depende do
comprimento de onda da luz, λ0. Assim, se a célula Bragg for operada com luz branca, a cada
comprimento de onda estará associado um ângulo de deflexão. Na Fig.7.22 é mostrada uma
fenda que seleciona o comprimento de onda desejado. A seleção desse comprimento de onda
pode ser obtida movendo-se a fenda, ou então, variando-se a frequência de RF, o que causará
deflexão de todos os feixes igualmente. 7.9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Yariv, A. & Yeh, P., Optical Waves in Crystals, New York, John Wiley & Sons, 1984.
[2] Rosenbaum, J.F., Bulk Acoustic Wave Theory and Devices, Artech House, 1988.
[3] Nelson, D.F., Electric, Optic, and Acoustic Interaction in Dielectrics, John Wiley & Sons,
1979.
[4] Dixon, R.W., Acoustic Diffraction of Ligth in Anisotropic Media, IEEE J. Quantum
Electronics, vol.QE-3, pp.85-93, 1967.
[5] Chang, I.C., Acoustooptic Devices and Application, IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics,
vol.SU-23, pp.2-22, 1976.
[6] Collin, R.E., Foundations for Microwave Engineering, 2nd. Edition, McGraw-Hill, 1992,
924p.
[7] Berg, N.J. & Lee, J.N., Acousto-Optic Signal Processing – Theory and Implementation,
Marcel Dekker, 1983.