capitulos_6_e_7

ENG309 – Fenômenos de Transporte III

Prof. Dr. Marcelo José Pirani

Departamento de Engenharia Mecânica

UFBA – Universidade Federal da Bahia

CAPÍTULO 6

INTRODUÇÃO A CONVECÇÃO

CAPÍTULO 6 – INTRODUÇÃO A CONVECÇÃO

6.1. As Camadas-Limite da Convecção

6.1.1. Camada-Limite de Velocidade

Onde:

→ Espessura da camada-limite, definida como o valor de y para qual:

u 0,99 u


6.1.1. Camada-Limite de Velocidade

sf 2

Cu / 2

sy 0

u

y

Fornece a base para o coeficiente de atrito local Cf que é um parâmetro adimensional chave para a determinação do arrasto

Onde s é a tensão cisalhante que para um fluido Newtoniano é dada por:

(6.1)

(6.2)


6.1.2. Camada-Limite Térmica

Onde:

t → Espessura da camada-limite térmica, definida como o valor de y para qual:

s

s

T T0,99

T T


6.1.2. Camada-Limite Térmica

s fy 0

Tq k

y

s sq h T T

fy 0

s

Tk

yh

T T

Para qualquer distância x da aresta frontal, o fluxo térmico na superfície local pode ser obtido pela lei de Fourier no fluido em y = 0:

Pela Lei de Resfriamento de Newton:

Combinando as duas equações, resulta:

(6.3)

(6.4)

(6.5)


6.2.1. Transferência de Calor

6.2. Coeficientes Convectivos Local e Médio



sq h T T

sAs

q q dA

s sAs

q T T hdA

s sq h A T T

A taxa total de transferência de calor pode ser obtida por:

Substituindo em 6.10, resulta:

Definindo um Coeficiente Convectivo Médio

(6.10)

(6.11)

(6.12)



ss As

1h hdA

A

L

o

1h hdx

L

Igualando as equações (6.11) e (6.12) obtém-se a relação entre o coeficiente convectivo médio e local:

Para placa plana, h varia apenas com a distância x da aresta frontal, logo:

(6.13)

(6.14)


6.2.3. O Problema da Convecção

- O fluxo local e a taxa de transferência total de calor e massa são de capital importância em problemas de convecção;

- As equações para determinação do fluxo e da taxa dependem dos coeficientes convectivos local h e médio

- A transferência por convecção é influenciada pelas camadas-limite;

- Os coeficientes convectivos dependem de várias propriedades dos fluidos como, densidade, viscosidade, condutividade térmica e calor específico;

- Os coeficientes convectivos são funções, também, da geometria da superfície e das condições do escoamento;

- A DETERMINAÇÃO DESTES COEFICIENTES É O PROBLEMA DA CONVECÇÃO

h


6.3.1. Camadas-Limite de Velocidade Laminar e Turbulenta

6.3. Escoamento Laminar e Turbulento



Camada Limite Laminar

Movimento altamente ordenado

Zona de Transição

Escoamento com comportamento ora laminar ora turbulento

Camada Limite Turbulenta

Escoamento altamente irregular caracterizado pelo movimento tridimensional aleatório



Regiões da Camada Limite Turbulenta

Subcamada Viscosa

Dominada pelo mecanismo da difusão

Camada de Amortecimento

Mecanismo de difusão e mistura turbulenta

Zona turbulenta

Mistura turbulenta



Regiões da Camada Limite Turbulenta

Subcamada Viscosa

Camada de Amortecimento

Zona Turbulenta



Transição do escoamento Laminar para turbulento

- Mecanismos de Gatilho

- Interação de estruturas transientes

- Pequenos distúrbios no escoamento

Flutuações na corrente livre

Rugosidade superficial

Vibrações na superfície

- Caracterizado pelo número de Reynolds

5cx ,c

u xRe 5 10



5cx ,c

u xRe 5 10

Razão entre forças de inércia e viscosas


6.3.2. Camadas-Limite Térmica e de Concentração de Espécies Laminares e Turbulentas

Comportamento similar a camada limite de velocidade

Profundamente influenciadas pela natureza do escoamento

6.4. As Equações de Camada Limite


6.4. As Equações de Camada Limite


6.4.1. Equações de Camada Limite para Escoamento Laminar

0y

v

x

u

2

2

u u 1 p uu v

x y x y

22

2p

T T T uu v

x y c yy

Continuidade

Momento na direção x

Conservação da Energia

(6.27)

(6.28)

(6.29)

6.4.a. Equações da Continuidade, da Conservação da Quantidade de Movimento e da Conservação da Energia


Considerando escoamento bidimensional em regime estacionário de um fluido incompressível com propriedades físicas constantes

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento

Equação da Continuidade

0y

v

x

u

Xy

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

2

2

2

2

Yy

v

x

v

y

p

y

vv

x

vu

2

2

2

2


Considerando escoamento bidimensional em regime estacionário de um fluido incompressível com propriedades físicas constantes

Equação da Conservação da Energia

qy

T

x

Tk

y

Tv

x

Tuc

2

2

2

2

p

onde é a dissipação viscosa, dada por:

222

y

v

x

u2

x

v

y

u

6.4.a. Equações da Continuidade, da Conservação da Quantidade de Movimento e da Conservação da Energia


Dedução da Equação da Conservação de Massa

em x

em y

Balanço de massa

Equação da conservação de massa

6.5. Similaridade na Camada LimiteEquações de Camada Limite Normalizadas


6.5.1. Parâmetros de Similaridade da Camada Limite

xx*

L

yy*

L

uu*

V

vv*

V

s

s

T TT*

T T

Variáveis Adimensionalizadas




Substituindo as variáveis adimensionalizadas nas equações de conservação, resulta:

2

2L

u* u* p* 1 u*u* v*

x* y* x* Re y*

2

2L

T * T * 1 T *u* v*

x* y* Re Pr y*

(6.35)

(6.36)




Equações na forma adimensional



6.5.2. Forma Funcional das soluções

A solução da equação da quantidade de movimento adimensional tem a forma

Lp*

u* f x*, y*,Re ,x*

sy 0 y* 0

u V u*

y L y*

sf 2

L y* 0

2 u*C

Re y*V2

A tensão de cisalhamento na superfície é dada por:

O coeficiente de atrito é dado por:

(6.44)

(6.45)




Ly* 0

u* p*f x*,Re ,

y* x*

sf 2

L y* 0

2 u*C

Re y*V2

f LL

2C f x*,Re

Re

Como então

O coeficiente de atrito para uma dada geometria é dado por:

Lp*

u* f x*, y*,Re ,x*

(6.45)

(6.46)




A solução da equação da energia adimensional tem a forma

O coeficiente de convecção na superfície é dado por eq(6.5):

Definindo número de Nusselt como:

(6.47)

(6.48)

*x

*pPr,,Re*,y*,xf*T L

0*y

f

0*ys

sf

*y

*T

L

k

*y

*T

TT

TT

L

kh

0*yf *y

*T

k

LhNu




Como então

O número de Nusselt para uma dada geometria é dado por:

(6.48)

(6.49)

0*yf *y

*T

k

LhNu

*x

*pPr,,Re*,y*,xf*T L

*x

*pPr,,Re*,xf

*y

*TL

0*y

Pr,Re*,xfNu L




Para o número de Nusselt médio, resulta:

(6.50) Pr,Refk

LhNu L

f

ViscosasForças

InerciaisForçasReL

6.6. Significado Físico dos Parâmetros Adimensionais


Número de Reynolds

LV

LV

LV

L

VL

V

y

u

xu

uRe

22

2

2

2

2L

Calor dode Difusivida

Momento dode DifusividaPr



Número de Prandtl

Onde:

Nos gases Pr 1

Nos óleos Pr >> 1

Nos metais líquidos Pr << 1

k

LhNu



Número de Nusselt

Multiplicando o numerador e o denominador por T

LT

k

Th

Tk

TLhNu

Condução por Calorde cia Transferên

Convecção por Calorde cia TransferênNu

6.7. Analogias das Camadas Limites


CAPÍTULO 7

ESCOAMENTO EXTERNO

7.1. Método Empírico

CAPÍTULO 7 – Escoamento Externo

Pr,Re*,xfNu x

Pr,Refk

LhNu x

f

Transferência de Calor

7.1. Método Empírico


nmLL Pr,ReCNu Transferência de Calor

2

TTT s

f

7.2. Placa Plana em Escoamento Paralelo


0y

v

x

u

Continuidade

Momento na direção x

Conservação da Energia

2

2

y

u

y

uv

x

uu

2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

7.2.1. Escoamento Laminar Sobre uma Placa Isotérmica



Solução por Similaridade – Método de Blasius


yu

xv

ux

u

f

x

uy

Definindo

Definindo as novas variáveis dependente e independente, respectivamente, como:




Determinação de e 2

2

y

u

y

u,

x

u,v,u







Substituindo em resulta: 2

2

y

u

y

uv

x

uu

Condições de contorno

Condições de contorno para as variáveis de similaridade







Lembrando que é o valor de y para o qual

e que tem-se que:

99,0u

u

x

uy




A tensão de cisalhamento pode ser representada por:




Fazendo um desenvolvimento análogo para a equação da energia, considerando T*=[(T - Ts)/(T - Ts)], resulta:

Condições de contorno




Uma conseqüência da solução é que, para Pr 0,6, tem-se:

O coeficiente convectivo local pode ser representado por:




O número de Nusselt local tem a forma:

A razão das espessuras das camadas limites de velocidade e térmica tem a forma:




Coeficiente de atrito médio

Como então:




Número de Nusselt médio

Obs.: Avaliar as propriedades na temperatura do filme

x xNu 2 Nu




Número de Nusselt para Pr 0,05

Onde é o Número de Peclet

Número de Nusselt para Qualquer Número de Prandtl

x xNu 2 Nu



7.2.2. Escoamento Turbulento Sobre uma Placa Isotérmica

Coeficiente de Atrito Local

Espessura da Camada Limite

Número de Nusselt Local

e



7.2.3. Condições de Camada Limite Mista

Número de Nusselt Médio

onde



7.2.3. Condições de Camada Limite Mista

Coeficiente de Atrito Médio

Obs.: Avaliar as propriedades na temperatura do filme



7.2.4. Comprimento Inicial Não Aquecido




Número de Nusselt Local – Escoamento Laminar

Onde:

Número de Nusselt Local – Escoamento Turbulento

Onde:




Número de Nusselt Médio– Placa com comprimento total L com escoamento laminar ou turbulento em toda a superfície

Onde: - Escoamento laminar p = 2 e

- Escoamento Turbulento p = 8 e




Eq. 7.30

Eq. 7.38, com A=0



7.2.5. Condições de Fluxo Térmico Constante

Número de Nusselt – Escoamento Laminar

Número de Nusselt – Escoamento Turbulento




Temperatura Superficial Local

onde

Temperatura Superficial Média




Temperatura Superficial Média

onde

Os valores de utilizados podem ser aqueles determinados considerando a condição de temperatura superficial uniforme sem incorrer em grandes erros.

7.4. O Cilindro em Escoamento Cruzado


7.4.1. Considerações sobre o Escoamento

Ponto de estagnação

du/dx > 0 quando dp/dx < 0 (gradiente de pressão favorável)

du/dx < 0 quando dp/dx > 0 (gradiente de pressão adverso)

du/dy|y=0 = 0 (ponto de separação)

Separação da Camada Limite




Ponto de estagnação

du/dx > 0 quando dp/dx < 0 (gradiente de pressão favorável)

du/dx < 0 quando dp/dx > 0 (gradiente de pressão adverso)

du/dy|y=0 = 0 (ponto de separação)

Separação da Camada Limite




Número de Reynolds

DVDV

ReD

Onde D é o diâmetro do cilindro

5D 102Re

5D 102Re

Camada limite permanece laminar

Separação ocorre em 80

Ocorre transição na Camada limite

Separação é retardada até 140




5D 102Re

5D 102Re

Camada limite permanece laminar

Separação ocorre em 80

Ocorre transição na Camada limite

Separação é retardada até 140




Coeficiente de Arrasto

2V

A

FC

2

f

DD

Onde Af é a área frontal do cilindro

FD Contribuição devido a tensão de cisalhamento da

camada limite sobre a superfície

Contribuição devido ao diferencial de pressão no

sentido do escoamento resultante da formação

da esteira

(7.50)




Coeficiente de ArrastoA

rras

to v

isco

so

Arr

asto

vis

coso

+A

rras

to d

e p

ress

ão

Arr

asto

de

pre

ssão

Cam

ada

limit

e tu

rbu

len

ta



7.4.2. Transferência de Calor por Convecção




Número de Nusselt no ponto de Estagnação

3/12/1DD PrRe15,10Nu

Número de Nusselt Médio

para Pr 0,6

3/1mDD PrReC

k

DhNu para Pr 0,7

Onde

(7.52)

(7.51)

Para (7.51) e (7.52) as propriedades são avaliadas na temperatura do filme




Cilindros com seção transversal não-circular




Correlação proposta por Zukauskas

4/1

s

nmDD Pr

PrPrReCNu

6

D 10Re1

500Pr7,0

Todas as propriedades são avaliadas em T exceto Prs, que é avaliada a Ts

Se

36,0n,10Pr

37,0n,10Pr

(7.53)




Correlação proposta por Churchill e Bernstein

5/48/5

4/13/2

3/12/1D

D 000282

Re1

Pr4,0

1

PrRe62,03,0Nu

2,0PrReD Válida para

(7.54)

* Todas as propriedades são avaliadas na temperatura do

filme

7.5. A Esfera


Efeitos semelhantes aos que ocorrem na camada-limite do cilindro

7.5. A Esfera


Para número de Reynolds pequeno

5,0ReD D

D Re

24C Válida para (7.55)

Correlação proposta por Whitaker

4/1

s

4,03/2D

2/1DD PrRe06,0Re4,02Nu

Válida para

2,3/0,1

106,7Re5,3

380Pr71,0

s

4

(7.56)

* Todas as propriedades são avaliadas em T exceto s, que é avaliada em Ts

7.5. A Esfera


Correlação de Ranz e Marshall para gotas em queda livre

3/12/1DD PrRe6,02Nu (7.57)

Exercícios


1- Considere o escoamento de ar ao longo da parede de um prédio elevado, como mostrado esquematicamente na Figura 1. O comprimento total do prédio na direção do vento é de 10m e há 10 janelas quadradas em cada andar nesta lateral. A velocidade do vento é de 5m/s e uma temperatura de filme de 27oC deve ser considerada para estimar as propriedades termodinâmicas requeridas. Calcular o coeficiente médio de transferência de calor sobre:

a) A primeira e a décima janelas (na direção do escoamento);

b) A segunda janela (na direção do escoamento);

c) A lateral do prédio.

Obs.: Para o ar atmosférico a 27oC, =1,1614kg/m3, cp=1007J/kgK, k=0,0263W/moC, =184,6.10-7Ns/m2 , Pr=0,707, =0,3333K-1.

Exercícios


Figura 1: Escoamento de ar sobre a superfície lateral de um prédio elevado.

Exercícios


2- Durante um dia de inverno, o vento sopra a 55 km/h paralelo a parede de uma casa. A parede possui 4m de altura e 10m de comprimento. Se o ar externo está a uma temperatura de 5oC e a temperatura na superfície da parede é de 12oC, determine a taxa de calor perdido por convecção pela parede. O que ocorreria com a transferência de calor se a velocidade do vento duplicasse?

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