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CAPÍTULO 02 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES
2.1 - INTRODUÇÃO
Os conceitos mais fundamentais no dimensionamento de elementos de máquinas são a
tensão e a deformação. Conhecidas as cargas atuantes nos elementos de máquinas, pode-se
determinar as tensões resultantes. Neste capítulo relacionamos as tensões atuantes no corpo
como um todo, sendo distintas das tensões superficiais ou tensões de contato. As tensões
resultantes de carregamento estático serão analisadas neste capítulo.
2.2 - TENSÃO
A tensão representa a intensidade da força de reação em um ponto do corpo submetido
a cargas de serviço, condições de fabricação e variações de temperatura. A tensão é medida
como a força atuante por unidade de área de um plano.
∆P – Vetor força que atua sobre o elemento de área ∆A
Figura 1 – Cargas atuantes em elemento infinitesimal
Tensão
lim
força / área
Px
Py
lim
lim P
z
xx A 0 A
xy A 0 A
xz A 0 A
σxx, xy, xz são as componentes de tensão associadas ao plano x do ponto O
σ - tensão normal: tensão perpendicular ao plano de análise
- tensão de cisalhamento: tensão que atua paralelamente ao plano.
Em uma peça submetida a algumas forças, a tensão é geralmente distribuída como uma
função continuamente variável dentro do contínuo do material. Cada elemento infinitesimal do
material pode experimentar diferentes tensões ao mesmo tempo. Deve-se olhar as tensões
como atuando em pequenos elementos dentro da peça.
25
A figura abaixo mostra um cubo infinitesimal do material da peça que é submetida a
algumas tensões tridimensionais. As faces deste cubo infinitesimal são paralelas a um conjunto
de eixos xyz tomados em uma orientação conveniente. A orientação de cada face é definida
pelo vetor superficial normal como mostra a figura. A face x tem sua superfície normal paralela
aos eixos x, etc. Note que há duas faces x, duas faces y e duas faces z, uma de cada sendo
positiva e uma negativa como definida pelo sentido de seu vetor normal à superfície. Os nove
componentes de tensão atuando nas superfícies deste elemento infinitesimal estão mostrados
nas figuras 3 e 4. Os componentes xx , yy , zz são as tensões normais, assim chamadas
porque atuam respectivamente nas direções normais às superfícies x, y e z do cubo. As
componentes xy , xz , por exemplo são as tensões cisalhantes que atuam na face x e cujas
direções de atuação são paralelas aos eixos y e z , respectivamente
Figura 2 - Componentes de tensão sobre um elemento infinitesimal tridimensional
Estes elementos infinitesimais são modelados como cubos. Os componentes de tensão
são considerados atuando nas faces destes cubos em duas diferentes maneias. Tensões
normais atuam perpendicularmente à face do cubo e tendem a tracioná-las (tensão normal de
tração) ou comprimi-las (tensão normal de compressão). Tensões cisalhantes atuam
paralelamente às faces dos cubos em pares e nas faces opostas, que tendem a distorcer o
cubo em um formato romboidal. Estas componentes de tensão normal e cisalhamento atuantes
no elemento infinitesimal compõem o tensor.
Tensão é um tensor de segunda ordem e requer nove valores ou componentes para
descrevê-lo no estado tridimensional. Pode ser expresso por uma matriz:
26
Onde a notação para cada componente de tensão contem três elementos, a magnitude
( ou ), a direção da normal à superfície de referencia (primeiro subscrito) e a direção da ação
(segundo subscrito). Utiliza-se para tensões normais e para tensões cisalhantes. Muitos
elementos nas máquinas são sujeitos a um estado de tensão tridimensional e requer o tensor
tensão.
Figura 3 – Componentes de tensão em um estado bidimensional
Em alguns casos, são usados como estado de tensão bidimensional (figura 2.2b)
O tensor tensão para o estado bidimensional é:
Um elemento infinitesimal de um corpo (dx) (dy) deve estar em equilíbrio. Portanto:
∑ M o
0 ∑ Fy 0 ∑ Fx
0
de onde podemos mostrar que:
xy yx
ou seja, para um ponto sob estado plano de tensões as componentes cisalhantes em planos mutuamente perpendiculares devem ser iguais. De fato, pode-se mostrar que isto é verdade para um estado mais geral de tensões, ou seja:
27
xz zx yz zy
2.3 - TENSÕES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL
2.3.1 - CARGA AXIAL
Seja a barra, considerada sem peso e em equilíbrio, sujeita a duas forças F em suas
extremidades.
P Tensão Normal (tração)
A
Figura 4 - Tensão normal (tração) 2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSÃO DE APOIO
P
Tensão de Apoio (compressão) A
Figura 5 -Tensão de compressão
28
2.3.3 - TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO
Figura 6 - Tensão de cisalhamento
a) Cisalhamento simples:
Figura 7 - Cisalhamento simples
b) Rebite:
V P m
A A
Figura 8 - Cisalhamento de rebite c) Cisalhamento duplo:
V P m
A 2 A
Figura 9 - cisalhamento duplo
29
2 2
2.4 - TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
2.4.1 - EQUAÇÕES PARA TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PLANA
Uma vez determinadas às tensões normais x e y e a tensão de cisalhamento xy, é
possível determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano inclinado em um
dado estado de tensão.
Figura 10a - Análise de tensões em um plano qualquer
Figura 10b - Análise de tensões em um plano qualquer Aplicando as equações de equilíbrio estático:
∑ Fx '
x ' dA
0
x dA.cos
.cos
xy dA.cos
.sen
y dA.sen
.sen
xy dA.sen
.cos 0
x ' x .cos y
.sen 2. xy
.cos .sen
Sabendo que:
30
2R
sen2
Assim:
2.sen .cos , cos 2 cos 2
sen 2 , 1 cos
2 sen
2
cos
2
1 cos 2 ,
2
sen
2
1 cos 2
2
Substituindo as expressões de sen2 , cos2 e sen 2 :
1 x ' x
cos 2
2
1 cos 2 y
2
xy sen2
x y
x ' 2
∑ Fy 0
x y cos 2
2 xy
sen2
x ' y ' dA
x dAcos
.sen
xy dA.cos
.cos
y dA.sen
.cos
xy dA.sen
.sen 0
x ' y '
x y sen2
2
xy cos 2
2.4.2 - CÍRCULO DE MOHR
Sejam as equações de transformação de tensão:
x y
x ' 2
x y cos 2
2 xy
sen2
x y
sen2 xy
2 xy
cos 2
Elevando ao quadrado ambas as equações e somando-as tem-se:
x '
2
x y 2
2
x ' y '
2
x y 2
xy
2
Esta equação pode ser de maneira mais compacta:
x ' a
2 2
x ' y '
A equação acima é a equação de um circulo de raio R
2
x y 2
2
xy
e o centro
a x y
em 2 e b=0.
31
O circulo construído desta maneira é chamado círculo de Mohr, onde a ordenada de um
ponto sobre o circulo é a tensão de cisalhamento xy e abscissa é a tensão normal x.
Figura 11 - Círculo de Mohr para tensões CONCLUSÕES IMPORTANTES
A maior tensão normal possível é 1 e a menor é 2. Nestes planos não existem tensão
de cisalhamento.
A maior tensão de cisalhamento max é igual ao raio do circulo e uma tensão normal de
x y atua em cada um planos de máxima e mínima tensão de cisalhamento.
2
Se 1== 2, o circulo de Mohr se degenera em um ponto, e não se desenvolvem tensão
de cisalhamento no plano xy.
Se x+ y=0, o centro do circulo de Mohr coincide com a origem das coordenadas - , e
existe o estado de cisalhamento puro.
Se soma das tensão normais em quaisquer dos planos mutuamente perpendiculares é
constante: x+ y= 1+ 2= x’+ y’= constante.
Os plano de tensão máxima ou mínima formam ângulos de 45º com os planos das
tensões principais.
32
xy R
2
2.4.3 - CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES
Figura 12 - Elemento submetido a tensões x = - 20 MPa (20 x 106 N/m2) , y = 90 MPa , xy = 60 Mpa Procedimento
1- Determinar o centro do circulo (a,b):
a x y
2
20 90
2
35Mpa b 0
,
2- Determinar o Raio
2
R x y 2
2
20 2
90
60
2
81,4Mpa
3- Localizar o ponto A(-20,60) Figura 13 – Círculo de Mohr
33
2 22
2 2 22
4- Tensões principais:
1 35
81,4
116,4Mpa ,
2 35
81,4
46,4Mpa
5- Orientações das tensões principais:
2 ''
arc.tag 2
60
47,7º , '' 25,85º
1
20 35 1
'' ''
1 2
180º ''
66,15º
Figura 14 – Inclinação das tensões atuantes 6- Tensão máxima de cisalhamento:
max
R 81,4Mpa
7- Orientação da tensão máxima de cisalhamento:
'' ''
1 2
90º
'' 21,15º
Figura 15 - Posição do elemento submetido a tensões máximas de cisalhamento
34
2.4.4 - TENSÕES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES
Considere um estado de tensão tridimensional e um elemento infinitesimal tetraédrico.
Sobre o plano obliquo ABC surge a tensão principal n, paralela ao vetor normal unitário.
Figura 16 - Elemento infinitesimal tetraédrico submetido a estado tridimensional de tensões
O vetor é identificado pelos seus cosenos diretores 1, m e n, onde cos = 1, cos = m,
cos = n. Da figura nota-se que: 12+m2+n2 = 1.
Figura 17 – Vetor unitário
O plano oblíquo tem área dA e as projeções desta área nas direções x, y e z são: dA.L,
dA.m e dA.n. Impondo o equilíbrio estático nas direções x, y e z, temos:
∑ Fx 0 ,
∑ Fy 0 ,
n dA .1
n dA .m
x dA.1
x dA.m
xy dA.m
xy dA.n
xz dA.n 0
xz dA.1 0
∑ Fz 0 ,
n dA n
2 dA.n
yz dA.m 0
Simplificando e reagrupando em forma matricial, temos:
35
2 2 2 xy yz xz x yz y xz z xy
In
Como visto anteriormente, 12+m2+n2 = 1, os cosenos diretores são diferentes de zero.
Logo, o sistema terá uma solução não trivial quando o determinante da matriz de coeficientes
de 1,m e n for nulo
A expansão do determinante fornece um polinômio característico do tipo:
onde: I
II ( x
III x
x y
y y z
y z 2.
z
z x )
3
n
2 2
xy yz
2 II
2
xz
n III 0
As equações acima são invariantes, independentemente do plano oblíquo que é tomado
no tetraedro. Logo, as raízes do polinômio característico já as tensões principais.
2.4.5 - CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES
Qualquer estado de tensão tridimensional pode ser transformado em três tensões
principais que atuam em três direções ortogonais.
Figura 18 - Elemento submetido a estado tridimensional de tensões
36
Admitindo que 1> 2> 3>0.
Figura 19 - Círculo de Mohr para o estado tridimensional de tensões 2.5 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÃO
Um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de temperatura ou a uma carga
externa, como mostrado abaixo.
Figura 20 - Corpo submetido à tração pura
Se L0 é o comprimento inicial e L é o comprimento final do corpo sob tração, o
alongamento é ∆L = L – L0 e o alongamento por unidade de comprimento, chamado
deformação linear, é definido como:
L dL L
∫ 0
L0
L0
Se o corpo se deforma em três direções ortogonais x,y,z e z e u, v, e w forem as três
componentes do deslocamento nestas direções, as deformações lineares são respectivamente:
37
Além da deformação linear, um corpo pode sofrer uma deformação angular, como
mostrado abaixo.
Figura 21 - Análise de deformação angular em elemento infinitesimal
Assim, para pequenas mudanças de ângulo, a deformação angular associada as
coordenadas x e y é definida por:
Se o corpo se deforma em mais planos ortogonais xz e yz, as deformações angulares
nestes planos são:
2.6 - LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS
Seja o corpo abaixo submetido a uma força axial.
38
Deformação axial
Deformação lateral
Figura 22 - Peça submetida a carregamento axial
A relação entre o valor da deformação lateral e a deformação axial é conhecida como
coeficiente de Poisson:
2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS (ESTADO TRIAXIAL DE
TENSÕES)
Seja um corpo sujeito a um estado triaxial de tensões x, y e z.
Figura 23 - Corpo sujeito a um estado triaxial de tensões
O estado triaxial de tensões pode ser considerado como a superposição de três estados
de tensão uniaxial analisados separadamente:
39
1 – Deformações devido a x:
2 – Deformações devido a y:
3 – Deformações devido a z:
Superpondo todas as deformações, temos:
Da Lei de Hooke, = E é o modulo de elasticidade do material, as deformações devido
à x, y e z são:
Para o caso do corpo ser submetido a esforços de cisalhamento as relações deformação
- tensão são:
O módulo de cisalhamento G está relacionado a E e por:
2.7 - EXTENSOMETRIA
A extensometria é uma técnica utilizada para a análise experimental de tensões e
deformações em estruturas mecânicas e de alvenaria. Estas estruturas apresentam
deformações sob carregamento ou sob efeito da temperatura. É importante conhecer a
extensão destas deformações e muitas vezes precisam ser monitoradas constantemente, o que
pode ser feito de diversas formas. Algumas são o relógio comparador, o detector eletrônico de
40
deslocamento, por camada frágil, por foto-elasticidade e por strain-gauge. Dentre todas, o
strain-gauge, do inglês medidor de deformação, é um dos mais versáteis métodos.
Os extensômetros elétricos são largamente utilizados para medir deformações em
estruturas como pontes, máquinas, locomotivas, navios e ainda associados a transdutores para
medir pressão, tensão, força e aceleração. São ainda associados a outros instrumentos de
medidas para uso desde análise experimental de tensão até investigação e práticas médicas e
cirúrgicas. 2.7.1 - EXTENSÔMETRO ELÉTRICO (STRAIN-GAUGE)
Em 1856 William Thomson, ou conhecido como Lord Kelvin, apresentou à Royal
Philosophical Society de Londres os resultados de um experimento envolvendo a resistência
elétrica do cobre e ferro quando submetidos a estresse. As observações de Kelvin foram
consistentes com a relação entre resistência elétrica e algumas propriedades físicas de um
condutor, segundo a equação
R L
A
onde R é a resistência elétrica, é a constante de condutividade, L é o comprimento do
condutor e A é a área da seção transversal deste. A resistência é diretamente proporcional ao
comprimento e inversamente proporcional à área da seção transversal.
Quando uma barra metálica é esticada, ela sofre um alongamento em seu comprimento
e também uma diminuição do seu volume, resultado da diminuição da área da seção
transversal desta barra. A resistência elétrica da metálica aumenta quando esta barra é
esticada, também resultado da diminuição da área da seção transversal e do aumento do
comprimento da barra. Da mesma maneira, quando a barra é comprimida, a resistência diminui
devido ao aumento da área transversal e diminuição do comprimento.
A relação entre comprimento e dimensão da seção transversal pode ser expressa
através do coeficiente de Poisson:
dD
D dL
L
L
a
onde (ni) é o coeficiente
comprimento, L (epslon) é a
demonstra basicamente que, q
seção transversal aumenta,
material.
Experimentos realizado
algumas aplicações práticas d
partir de 1930 que estas tom
utilizações de um fio resistivo
Simmons (Califórnia Institute
(Massachusetts Institute o
independentemente um do outr
de um corpo de prova para
extensômetros que são utilizad
um extensômetro à base de fio
A partir de 1950, o pr
manufaturar finas folhas ou lâ
suporte flexível feito geralment
usadas na confecção dessas
intrincadas, como mostra a Fig
F
Figura 24 - Extensômetro de fio
de Poisson, D é a dimensão da seção tra
a deformação lateral e a é a deformação ax
quando o comprimento diminui para um materia
e vice-versa para um aumento no comprime
os pelo norte-americano P. W. Bridgman em
da descoberta de Kelvin para realização de me
maram impulso. É creditado a Roy Carlson um
para medições de tensões em 1931. Entre 1937
te of Technology, - Pasadena, CA, USA)
of Technology - Cambridge, MA, US
tro, utilizaram pela primeira vez fios metálicos co
ra medida de deformações. Esta experiência
dos atualmente. A Figura 2.21 mostra um a co
io colado.
rocesso de fabricação de extensômetros adot
âminas contendo um labirinto ou grade metáli
te de epóxi. As técnicas de fabricação de circuit
s lâminas, que podem ter configurações bas
gura 25.
Figura 25 Tipos de extensômetros elétricos.
41
ansversal, L é o
axial. Esta relação
al (compressão), a
mento (tensão) do
1923 mostraram
medidas, mas foi a
ma das primeiras
7 e 1939, Edward
) e Arthur Ruge
SA) trabalhando
colados à superfície
deu origem aos
onstrução geral de
tou o método de
ica, colado a um
tos impressos são
stante variadas e
42
Os extensômetros elétricos têm as seguintes características gerais, que denotam sua
importância e alto uso:
alta precisão de medida;
baixo custo;
excelente linearidade;
excelente resposta dinâmica;
fácil instalação;
pode ser imerso em água ou em atmosfera de gases corrosivos (com tratamento
adequado);
possibilita realizar medidas à distância.
A base do extensômetro pode ser de: poliamida, epóxi, fibra de vidro reforçada com resina
fenólica, baquelita, poliéster, papel e outros. O elemento resistivo pode ser confeccionado de
ligas metálicas tais como Constantan, Advance, Nicromo V, Karma, Níquel, Isoelatic e outros. O
extensômetro pode ser confeccionado também com elemento semicondutor, que consiste
basicamente de um pequeno e finíssimo filamento de cristal de silício que é geralmente
montado em suporte de epóxi ou fenólico.
As características principais dos extensômetros elétricos de semicondutores são sua grande
capacidade de variação de resistência em função da deformação e seu alto valor do fator do
extensômetro, que é de aproximadamente 150, podendo ser positivo ou negativo. Para os
extensômetros metálicos a maior variação de resistência é devida às variações dimensionais,
enquanto que nos de semicondutor a variação é mais atribuída ao efeito piezo-resistivo.
Para um extensômetro ideal, o fator de extensômetro deveria ser uma constante, e de maneira
geral os extensômetros metálicos possuem o fator de extensômetro que podem ser
considerados como tal. Nos extensômetros semicondutores, entretanto, o fator do extensômetro
varia com a deformação, numa relação não linear. Isto dificulta quando da interpretação das
leituras desses dispositivos. Entretanto é possível se obter circuitos eletrônicos que linearizem
esses efeitos. Atualmente, os extensômetros semicondutores são bastante aplicados quando se
deseja uma saída em nível mais alto, como em células de cargas, acelerômetros e outros
transdutores.
2.7.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO E USO
Na sua forma mais completa, o extensômetro elétrico é um resistor composto de uma
finíssima camada de material condutor, depositado então sobre um composto isolante. Este é
então colado sobre a estrutura em teste com auxílio de adesivos como epóxi ou cianoacrilatos.
43
Pequenas variações de dimensões da estrutura são então transmitidas mecanicamente ao
extensômetro, que transforma essas variações em variações equivalentes de sua resistência
elétrica (por esta razão, os extensômetros são definidos como transdutores). Os extensômetros
são usados para medir variações de carga, pressão, torque, deslocamento, tensão,
compressão, aceleração, vibração. A seleção do extensômetro apropriado para determinada
aplicação é influenciada pelas características seguintes: material da grade metálica e sua
construção, material do suporte isolante, material do adesivo, tratamento e proteção do medidor
e configuração. O design dos extensômetros incorpora várias funcionalidades como alto fator de
medição, alta resistividade, insensibilidade à temperatura, alta estabilidade elétrica, alta
resistência mecânica, facilidade de manipulação, baixa histerese, baixa troca termal com outros
materiais e durabilidade. A sensibilidade à temperatura é um ponto fundamental no uso de
extensômetros, e freqüentemente o circuito de medição contém um compensador de
temperatura. Da mesma forma, o tipo de adesivo usado para fixar o extensômetro à estrutura a
ser monitorada é de suma importância. O adesivo deve transmitir as variações mecânicas com
o mínimo de interferência possível, por isso deve ter alta resistência mecânica, alta resistência
ao cisalhamento, resistência dielétrica e capacidade de adesão, baixas restrições de
temperatura e facilidade de aplicação.A relação básica entre deformação e a variação na
resistência do extensômetro elétrico pode ser expressa como:
1 dR F R
onde é a deformação, F é o fator do medidor e R é a resistência do medidor. Para um
medidor típico, F é 2.0 e R é 120 ohm. 2.7.3 - TIPOS DE EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS (STRAIN-GAUGES)
Extensômetro axial único. Utilizado quando se conhece a direção da deformação, que é
em um único sentido.
Figura 26 - Extensômetro axial único.
44
EXTENSÔMETRO AXIAL MÚLTIPLO
Roseta de 2 direções. São dois extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a
duas direções. Utilizada para medir deformações principais quando se conhecem as direções.
Figura 27 - Roseta de 2 direções
Roseta de 3 direções. São três extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a três
direções. Utilizada quando as direções principais de deformações não são conhecidas.
Figura 28 - Roseta de 3 direções
A Figura 29(a) apresenta um extensômetro tipo diafragma, que são quatro extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a deformações em duas posições diferentes. Usado para transdutores de pressão. A Figura 29(b) apresenta um extensômetro para medida de tensão residual, que são três extensômetros sobre uma base devidamente posicionados para utilização em método de medida de tensão residual. Finalmente, a Figura 29(c) mostra um extensômetro para transdutores de carga (strain-gauge load cell), que são dois extensômetros dispostos lado a lado, sobre a mesma base, para utilização em células de cargas (para medição de tensão e compressão).
45
(a) (b) (c)
Figura 29 - Extensômetros tipo (a) diafragma, (b) para medida de tensão residual e (c) célula de carga
A extensometria, como técnica de medição de deformações ocorridas em materiais, é
essencial para monitoramento dinâmico de estruturas sujeitas a carregamentos e tem no
extensômetro elétrico ou strain-gauge seu instrumento principal.
Os strain-gauges têm aplicações tão variadas quanto monitoramento de deformações
em pontes, vigas, medição de vibração em máquinas, medição de pressão, de força, em
acelerômetros e torquímetros. Devido às vantagens e importância dos extensômetros elétricos,
estes aparelhos são indispensáveis a qualquer equipe que se dedique ao estudo experimental
de medições. 2.8 - RELAÇÕES TENSÃO - DEFORMAÇÃO
Para o estado plano de tensões, as condições permitem o uso da aproximação segundo
a qual não ocorre variação das tensões na direção z, podendo-se desconsiderar as tensões zz
, xz e yz em presença das outras tensões. Então:
E xx
1 2 xx yy
E yy
1 2 xx yy
zz xz
yz 0
xy 2G
xy
xx
xx = yy
xy
2.9 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
2.9.1 - INTRODUÇÃO
A mecânica dos meios contínuos e mais especificamente a teoria da elasticidade, tem
como fundamento básico o desenvolvimento de modelos matemáticos que possam representar
adequadamente a situação física real em estudo. Na análise estrutural o objetivo pode ser a
46
determinação do campo de deslocamentos , as deformações internas ou as tensões atuantes
no sistema devido a aplicação de cargas. Muitos estudiosos do assunto tais como Navier,
Cauchy, Poisson, Green etc , destacaram-se no desenvolvimento de modelos matemáticos que
auxiliaram na determinação de variáveis envolvidas num determinado estudo.
Porém em certos casos práticos certas aplicações de modelos matemáticos apresentam
dificuldades as vezes intransponíveis . Como exemplo sabe-se que na análise estrutural a
perfeita representação matemática dos carregamentos, geometria, condições de contorno etc
em muitas situações apresenta-se de forma complexa, havendo assim a necessidade de se
introduzir hipóteses mais aproximadas no problema físico real possibilitando assim formas de
modelagem matemática que conduzem a soluções mais simples.Por outro lado a engenharia
tem demonstrado interesse cada dia maior em estudos mais precisos que se aproximam o
máximo possível do modelo real . Dentre estes métodos escolhidos surgiu o método dos
elementos finitos que é baseado na discretização do meio contínuo (estrutura sólida, o fluido, os
gases etc).O método dos elementos finitos é seguramente um dos métodos mais difundidos na
discretização dos meios contínuos . A sua utilização se deve também ao fato de poder ser
aplicado em problemas clássicos da mecânica estrutural elástico-linear tais como mecânica dos
sólidos , mecânica dos fluidos, transmissão de calor , acústica etc. 2.9.2 – SÍNTESE HISTÓRICA
Devido a complexidade comportamental dos sistemas estruturais utiliza-se modelos
mais simplificados que consistem em separar os sistemas em componentes básicos ou seja,
aplica-se o processo de análise do método científico de abordagem do problema.
Com esta operação, tem-se a oportunidade de se estudar o comportamento dos
elementos de forma mais simples sintetizando as soluções parciais para se obter uma solução
aproximada porém segura. A discretização de sistemas contínuos tem objetivos análogos aos
acima descritos, particionando-se o domínio, o sistema em componentes cujas soluções são
mais simples e posteriormente utiliza-se soluções parciais para resolver os problemas. Em
alguns casos essa subdivisão prossegue indefinidamente e o problema só terá solução
utilizando definições matemáticas de infinitésimos isto é, conduzindo-se a equações
diferenciais , ou expressões equivalentes com um número infinito de elementos. Com a
evolução dos computadores digitais os problemas discretos podem ser resolvidos sem
dificuldade mesmo que o modelo apresente um grande número de elementos dependendo
apenas da capacidade do computador .
47
A discretização de problemas contínuos tem sido abordada ao longo dos anos, de forma
diferente por matemáticos e engenheiros. Os matemáticos tem desenvolvido técnicas gerais
aplicáveis diretamente a equações diferenciais que regem o problema tais como: aproximações
por diferenças finitas , métodos de resíduos ponderados, técnicas aproximadas para determinar
pontos estacionários de funcionais etc. Os engenheiros procuram abordar os problemas de
forma mais intuitiva estabelecendo analogias entre os elementos discretos reais e porções
finitas de um domínio do contínuo.
O conceito de análise de estruturas teve início na escola francesa (1850 a 1875) com
Navier , St. Venan e com os trabalhos de Maxwell, Castigliano , Mohr e outros.
No período compreendido entre 1875 e 1920 as teorias e técnicas analíticas para o
estudo das estruturas forma particularmente lentos devido certamente as limitações práticas
nas soluções de equações algébricas . Neste período as estruturas de interesse eram
basicamente treliças e pórticos que utilizavam um processo de análise mais aproximado
baseado na distribuição de tensões com forças incógnitas o que era universalmente
empregado. Após 1920 em função dos trabalhos de Maney e Ostenfield passou-se a utilizar a
idéia básica de análise aproximada de treliças e pórticos baseada no método dos
deslocamentos . Estas idéias portanto foram as precursoras do conceito de análise matricial de
estruturas em uso hoje em dia. Várias limitações no tamanho dos problemas a solucionar que
poderiam ter forças ou deslocamentos com incógnitas continuaram a prevalecer até 1932
quando Hardy Cross introduziu o Método da distribuição de momentos. Este método facilitou a
solução de problemas de análise estrutural possibilitando-se assim trabalhar com problemas
mais complexos .
Após 1940 McHenry , Hrenikof e Newmark demonstraram no campo da mecânica dos
sólidos que podiam ser obtidas soluções razoavelmente boas de um problema de contínuo
através da distribuição de barras elásticas simples. Mais tarde Argyris, Turner, Clough , Martin e
Topp demonstraram que era possível substituir as propriedades do contínuo de um modo mais
direto e não menos intuitivo , supondo que as porções ou seja os elementos se comportavam
de forma simplificada.
Os computadores digitais apareceram por volta de 1950 mas a sua real aplicação a
teoria e a prática não se deu aparentemente de forma imediata. Entretanto alguns estudiosos
previram o seu impacto e estabeleceram codificações para a análise estrutural de forma
adequada ou seja na forma matricial. Duas contribuições notáveis podem ser consideradas
como um marco no estudo do método dos elementos finitos. Seus autores são Argyris e Kelsey
e Turner, Clough, Martin e Topp.
48
Tais publicações uniram os conceitos de análise estrutural e análise do contínuo e lançaram os
procedimentos resultantes na forma matricial; elas apresentaram uma influencia preponderante
no desenvolvimento do MEF nos anos subseqüentes. Assim as equações da rigidez passaram
a ser escritas em notação matricial e resolvidas em computadores digitais. A publicação
clássica de Turner et all de 1956 influencia decisivamente no desenvolvimento do método dos
elementos finitos.
Em 1941 o matemático Courant sugeria a interpolação polinomial sobre uma subregião
triangular como uma forma de se obter soluções numéricas aproximadas. Ele considerou esta
aproximação como uma solução de Rayleigh-Ritz de um problema variacional. Este é portanto o
método dos elementos finitos na forma com se conhece hoje em dia.
O trabalho de Courant foi no entanto esquecido até que os engenheiros
independentemente o desenvolveram. O nome elementos finitos que identifica o uso preciso da
metodologia geral aplicável a sistemas discretos , foi dado em 1960 por Clough. Em 1963 o
método foi reconhecido como rigorosamente correto e tornou-se uma respeitável área de
estudos. Hoje muitos pesquisadores continuam a se ocupar com o desenvolvimento de novos
elementos e de melhores formulações e algorítmos para fenômenos especiais e na elaboração
de novos programas que facilitem o trabalho dos usuários. 2.9.3 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O método dos elementos finitos é um procedimento numérico para resolver problemas
de mecânica do contínuo com precisão aceitável na engenharia.Suponha-se que os
deslocamentos e/ou tensões da estrutura mostrada na figura 30a devam ser determinados Os
métodos clássicos descrevem o problema com equações diferenciais parciais, más não
fornecem respostas prontas por não serem o carregamento e a geometria comuns. Na prática
muitos problemas se tornam complicados para terem uma solução matemática fechada
(algoritmo próprio para a solução). Neste caso portanto como o da figura 30a uma solução
numérica é necessária e um dos métodos mais aplicáveis é o método dos elementos finitos.
Figura 30a – E
Na figura 30b é mostra
viga da figura 30a, onde as
pequenos círculos representam
dizer que os elementos finito
converter a figura 30a na figu
partes através dos nós poi
procedendo desta forma have
tendência a haver uma separ
estrutura real não atua desta f
compatível. Por exemplo se
elementos adjacentes deverão
separação.
A versatilidade é uma n
ser aplicado a problemas de n
cargas e condições de conto
diferentes tipos, formas e prop
colocada em um programa com
problema a abordar, especifica
etc. Outra característica muito
modelo real fazendo com qu
suas vantagens, o método dos
exemplo: um resultado numér
tentam representar um sistem
verificação destes resultados.
Estrutura plana real Figura 30b – malha de EF
ada uma possível malha de elementos finitos
s regiões triangulares representam os elemen
m os nós que conectam os elementos uns aos
os representam pedaços da estrutura real por
ura 30b fazendo cortes na estrutura em regiõe
is isto resultaria numa estrutura fragilizada.
eria certamente uma concentração de tensões
ração dos elementos nas regiões limítrofes. N
forma. Assim os elementos finitos devem se defo
uma aresta de um elemento permanece reta
o ter deformações compatíveis, sem que haja
notável característica do método dos elementos
natureza diversa. A região sob análise pode ter
orno quaisquer. A malha pode ser constituída
priedades físicas. Esta grande versatilidade pode
omputacional simples, desde que se controle a s
cando a geometria, condições de contorno, seleç
o positiva do método é a semelhança entre o m
ue a abstração matemática seja fácil de se visu
s elementos finitos apresenta também algumas d
ico específico sempre é obtido para um conjun
ma, e nem sempre existe uma fórmula fechad
. Um programa e um computador confiáveis
49
que representa a
entos finitos e os
s outros. Pode-se
rém não se pode
es e unindo estas
. Adicionalmente
s nos nós e uma
Na realidade uma
ormar de maneira
a, as arestas dos
sobreposição ou
finitos que pode
forma arbitrária e
de elementos de
e muitas vezes ser
seleção do tipo de
ção de elementos
modelo físico e o
ualizar. Apesar de
desvantagens por
nto de dados que
da que permita a
is são essenciais;
50
m
n
a
experiência e um bom senso na análise são necessários para se construir uma boa malha. Os
dados de saída de uma análise feita devem ser cuidadosamente interpretados.
2.9.4 - EQUAÇÕES BÁSICAS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O método dos elementos finitos comumente usado é baseado no método de Rayleigh-
Ritz e prevê a divisão do domínio de integração, contínuo em um número finito de pequenas
regiões conforme visto no item anterior (figuras 30a e 30b). A esta divisão do domínio dá-se o
nome de rede de elementos finitos. A malha desse reticulado pode ser aumentada ou diminuída
variando o tamanho dos elementos finitos. Ao invés de buscar uma função admissível que
satisfaça as condições de contorno para todo o domínio, no método dos elementos finitos as
funções admissíveis são definidas no domínio de cada elemento finito. Para cada elemento
finito i, é montado um funcional i , que somado aos dos demais elementos finitos , formam um funcional para todo o domínio.
n
∑ i
i 1
Para cada elemento i, a função aproximada é formada por variáveis referidas aos nós do
elemento (parâmetros nodais) e por funções denominadas de funções de forma. Assim a função
aproximada tem a forma:
v ∑ j 1 a
j j
onde a
j são os parâmetros nodais e j as funções de forma.
O funcional fica sendo expresso por:
(a j )
∑i 1
i (a
j )
A condição de estacionariedade gera como no método de Rayleigh-Ritz, um sistema de
equações algébricas lineares tal que como:
n n m
i a
j
a j ∑i 1 i
a j ∑i 1 ∑ j 1
0 j
A solução do sistema de equações acima dá os valores dos parâmetros nodais a
j
que
podem ser deslocamentos, forças internas, ou ambos, dependendo da formulação do método
dos elementos finitos que se utiliza. Se o campo de deslocamentos é descrito por funções
aproximadoras e o princípio da mínima energia potencial é empregado, as incógnitas são as
componentes dos deslocamentos nodais e o método dos elementos finitos é denominado de
método dos elementos finitos, modelo das forças de deslocamentos ou método dos elementos
51
finitos, modelo dos deslocamentos ou método dos elementos finitos, modelo de rigidez. Se o
campo das tensões ou esforços internos é representado por funções aproximadoras, as
incógnitas serão as tensões ou esforços internos nodais e o método dos elementos finitos é
denominado de método dos elementos finitos, modelo das forças ou método dos elementos
finitos, modelo de flexibilidade, sendo utilizado o princípio da mínima energia complementar.
Nos métodos mistos, as funções aproximadoras são expressas em termos de deslocamento e
forças internas ou tensões e são derivadas de princípios variacionais generalizados, como o
princípio de Reissner. 2.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dado o seguinte tensor da tensão associado ao sistema de referência x, y,z.
Determine:
Figura 31 – Exercício resolvido 1
a) i) As componentes normal ( ) e tangencial ( ) da tensão, numa faceta igualmente
inclinada relativamente a x, y, z.
ii) As direções das componentes referidas na alínea i).
b) Resolva a alínea anterior para uma faceta paralela a z e igualmente inclinada
relativamente a x e y.
c) As tensões e respectivas direções principais.
d) As componentes normal e tangencial da tensão na faceta x, partindo do tensor das
tensões associado ao sistema de eixos principais. Compare os valores obtidos com
os valores dados inicialmente.
Solução:
a) i)
2.0
10 2 MPa
2.16
10 2 MPa.
n ' Tz
ii) l '
n
Tx
l
0.267
0.535 ;
m'
Ty
m 0.802 ;
b) 50MPa 150MPa.
52
0 0 0
l ' T
x
n ' Tz n
l
0.943
0.236 ; m'
Ty
m 0.236 ;
1 0 0 4.87 0 0
c) 1, 2,3 2
0.32 0
10 2 MPa.
0
l1
0 0.657
3 1, 2,3
0 0
cos(1, x)
3.191, 2,3
l 2 0.449
cos(2, x)
m1 0.612
n1 0.440
cos(1, y)
cos(1, z)
m2 0.787
n2 0.423
cos(2, y)
cos(2, z)
l3
0.605
m3
0.081
n3
0.792
d)
cos(3, x)
cos(3, y)
cos(3, z)
0.657
0.449
0.605
4.87 0
0
0.657
0.612
0.440 2
x , y , z 0.612
0.440
0.787
0.423
0.081
0.792
0
0
0.32
0
0
3.19
0.449
0.605
0.787
0.081
0.423
0.792
10 MPa
2. a) Represente no plano de Mohr, o estado de tensão abaixo definido.
Figura 32 – Exercício resolvido 2
b) Determine as tensões e direções principais do estado de tensão definido na alínea
anterior, resolva analiticamente e pela circunferência de Mohr.
Resolução:
a)
53
Figura 33 – Solução do exercício resolvido 2
b) 1 = 7.606 Mpa; 2 = 0.394 Mpa; 3 = z =0 MPa ( valor admitido )
1 = -16.850; 2 = 73.150; 3 = z = 900.
3. A figura representa o estado de tensão num ponto de uma chapa de aço.
Figura 34 – Exercício resolvido 3
a) Faça a representação gráfica de Mohr, do estado de tensão nesse ponto e determine
as tensões principais e respectivas direções.
b) Posteriormente a chapa é submetida a uma compressão adicional uniforme de
15MPa, segundo uma direção que faz um ângulo de 200 com o eixo dos x, marcado
no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Determine as tensões principais e respectivas direções , referentes ao estado de
tensão resultante no ponto considerado.
54
Resolução :
a)
Figura 35 – Solução do exercício resolvido 3
1 = 67.5 MPa; 2 = z = 0 Mpa; 3 = -27.75 MPa
1 = -24.230 ; 2 = z = 900; 3 = 65.770
36.76
39.82 0
58.66 0 0 b)
x , y , z 39.82
0
13.76
0
0 MPa ;
0
1, 2,3
0
0
0 0
0 35.66 MPa
1 = -28.810; 2 = z = 900; 3 = 61.190
4. Considere o campo de deslocamentos dado por:
u v w
0.25x y
0.25 y x
0.25z x
z 2
10 4
z 2
10 4
y 2
10 4
Para o ponto A (1,2,1), determine:
a) O tensor das deformações referido ao referencial x, y, z.
b) A deformação no ponto A segundo uma direção igualmente inclinada relativamente
aos três eixos.
c) Determine o plano onde se dá a distorção.
d) As extensões principais.
e) Determine o tensor das tensões, sabendo que E = 210 GPa e = 0.3.
55
' ''
0 0
0 0
Resolução:
a) x , y , z
2.25 1.75
1.50
1.75
1.00
1.75
1.50
1.75
2.25
10 4
b) 5.167 10 4 '
0.466 10 4 rad
c) l '
x l
2
5.206
t
0.412 ;
0
2
m ' y m
2
0
0.827 ;
n ' z n
2
0.412
d) 1, 2,3
0
0.750
0
0.456
10 4
143.4 0 0 e)
1, 2,3 0 75.0 0
MPa
0 0 56.5
5. Considere o estado de tensão definido no exercício 1 e um material isotrópico com
constantes elásticas: E = 210 GPa e = 0.3.
Determine o estado de deformação correspondente a este estado de tensão, tomando
como eixos coordenados:
Eixos x, y, z
Eixos principais 1, 2 , 3.
Resolução: 0.333
1.24
1.85
a) x , y , z
1.24 0.952 0.62
10 3
1.85 0.62 0.905
2.73 0 0
b) 1, 2,3
0
0.09
0
2.26
1, 2,3
10 3
6. Grava-se sobre uma chapa de aço uma circunferência de 600 mm de diâmetro.
Submete-se depois esta chapa a tensões tais que :
56
x 140MPa ; y
20MPa ; xy 80MPa
Figura 36 – Exercício resolvido 6
Depois da solicitação a circunferência transforma-se numa elipse. Calcular os
comprimentos do eixo maior e do eixo menor dessa elipse e marcar as respectivas
direções na figura.
Resolução:
Figura 37 – Solução do exercício resolvido 6
1 = -26.570 2 = z = 900
3 = 63.430.
57
c
c x
7. Num ponto situado à superfície de uma placa de aço instalou-se uma roseta de
extensômetros como se indica na figura. Depois de aplicada ao corpo uma determinada
solicitação, colocando o ponto em estado plano de tensão, fizeram-se as seguintes
leituras:
Y a
b a
b
300
c
X
a y 1
10
3
Figura 38 – Exercício resolvido 7
0.3
b 2.5 10
3 1.211 10
5 MPa
2 10 3
E 2.1
105 MPa
G 0.81 105
MPa
Nesta situação determinar as extensões e tensões principais e respectivas direções.
Resolução:
1.58 0 0 3
1.2.3 0
0
0.428
0
0
10
2.58
1 = -68.050; 2 = z = 900; 3 = 21.950
186.66 0 0
1, 2,3 0
0
0.01018
0
0
487.25 MPa
8. Na vizinhança de um ponto, mediram-se as extensões segundo as arestas de um
tetraedro, resultantes de uma dada solicitação, e que estão representadas na figura.
58
l
n
b c
f
Figura 39 – Exercício resolvido 8
Os valores obtidos foram os seguintes:
a x 1
10 4 ;
y 0.5
10 4 ;
z 0.5
10 4 ;
d 1.5
10 4
e 0.8 10 4 ; 0.6 10
4
a) Defina o estado de deformação no ponto por intermédio do tensor das extensões.
b) Determine a extensão e a distorção numa direção igualmente inclinada relativamente
a três eixos de referência x, y, z.
c) Determine o plano aonde se dá a distorção.
d) Determine as extensões principais.
e) Represente o estado de deformação no plano de Mohr.
f) Determine o valor da máxima distorção.
Resolução
1 0.75
0.55
a) x , y , z
0.75
0.55
0.5
0.6
0.6
0.5
10 4
b) 0.133 10 4 '
0.347 10 4 rad
t 2
c) l '
'
x
2
0.277 ;
'
m m
' y
2
0.803 ;
'
n ' z
2
0.528
59
2 3
d) 1 1.816 10 4
0.012 10 4
0.806 10 4
e)
f)
max
2.62
Figura 40 – Solução do exercício resolvido 8
10 4 rad
9. Na figura estão indicados os elementos da superfície A e B, ambos paralelos a direção
principal z, as tensões normal e tangencial no elemento A e a tensão normal no
elemento B, sabendo que a tensão principal na direção z vale 50 MPa, determine:
Figura 41 – Exercício resolvido 9
a) A tensão tangencial no elemento B.
b) As tensões e direções principais.
c) As extensões principais supondo: E = 210 Gpa ; = 0.3
60
0 0 0
0 0
d) Componentes da tensão no elemento de superfície cuja normal, relativamente aos eixos
principais, tem por cossenos directores: l
2 , m
3
2 , n
1 .
3 3
e) A tensão de comparação pelo critério de Von-Mises.
Resolução:
a) b
b) 1
10.44MPa
50MPa ; 2
12.0MPa ;
3 44.9MPa
1 90
z ;
2.85
2 59.23 ;
0 0
3 30.77
c) 1, 2,3
0
0.498
0
3.02
1, 2,3
10 4
d)
e) eq
22.57MPa
82.72MPa
29.82MPa.
10. Num corpo de aço macio sujeito a estado plano de tensão, conhecem-se as tensões
normais em duas facetas ortogonais, como se indica na figura. Sabe-se também que
uma das direções principais é a indicada na figura, determine:
Y
60 MPa
B
Z 30
0
X
100 MPa
A
Dir P
a) As tensões principais.
Figura 42 – Exercício resolvido 10
b) As extensões principais, sabendo que E = 210 GPa,
c) tensão de comparação pelo critério de Von-Mises.
0.3
d) Admitindo que se trata de um material frágil com:
c 100MPa ;
t 60MPa
Verifique, pelo critério de Mohr-Coulomb, se o estado de tensão é possível.
61
0 0
Resolução: 180 0 0 a)
1, 2,3 0 0
0 0
0
140 MPa
1.06 0 0
b) 1, 2,3
0
0.06
0
0.92
1, 2,3
10 3
c) eq 277.85MPa
180 d)
60
180
140
100
100
4.4 1
não verifica
não verifica
O estado de tensão não é admissível.
Figura 43 – Solução do exercício resolvido 10 2.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Determinar, empregando equações e o círculo de Mohr, para cada um dos estados de
tensão abaixo representados :
• a orientação dos planos principais;
• as tensões principais;
• a máxima tensão de cisalhamento;
• a orientação dos planos das tensões máxima de cisalhamento;
• a tensão normal associada a tensão máxima de cisalhamento.
Resposta : a) 18,52º e 108,52º; 66,10 MPa e -53,10 MPa; 59,60 MPa; -26,42º e 63,57º; -
2,5 MPa;
62
b) 18,4º e 108,4º; 151,7 MPa e 13,8 MPa; 69 MPa; -26,6º e 63,4º; +82,75 MPa;
c) -37º e 53º; -27,2 MPa e -172,8 MPa; 72,8 MPa; 8º e 98º; -100 MPa;
d) -31º e 59º; 130,0 MPa e -210,0 MPa; 170 MPa; 14º e 104º; -40MPa.
Figura 44 – Exercício proposto 1 2. O prisma abaixo está submetido a um Estado Plano de Deformações. Encontrar as
tensões e direções principais, a tensão de cisalhamento máxima no plano xy e sua
direção e a maior tensão de cisalhamento no entorno de P. Representar estas
grandezas (tensões e direções) através dos círculos de Mohr correspondentes aos
planos formados por cada dois eixos principais.. Encontrar as deformações específicas e
deformações totais nas direções x, y e z. Encontrar as deformações específica máxima
e mínima. E=210.000 MPa. ( = 0,3.
Figura 45 – Exercício proposto 2
