Capítulo 4 aula #9

EM461 Prof. Eugênio Rosa

Capítulo 4 – aula #9

Tema:

Variação Q. Movimento num V.C. Inercial

Exercícios


Eq. da Massa & Q. Mov. Linear

• Massa: r

V.C S.C.

dd n V dA 0

dt

• Equação vetorial da quantidade de movimento. As velocidades são medidas do referencial Inercial (X,Y,Z),

f f r MEC

V.C. S.C S.C. S.C. V.C.

dV d + V n V dA p n dA n dA gd F

dt

r x x x MEC,x


r y y y MEC,y


r

V.C. S.C

dx u d + u n V dA p n dA n dA g d F

dt

dy v d + v n V dA p n dA n dA g d F

dt

dz w d + w n V dA

dt

z z z MEC,z

S.C. S.C. V.C.

p n dA n dA g d F

Componentes da eq. de quantidade de movimento nas direções (X,Y,Z)


Casos de estudo nesta aula

1) Efeito da variação da Quantidade de Movimento linear sem

mudar a direção. Volume de Controle estacionário com

fronteiras fixas. Surgimento da força mecânica quando S.C.

corta um sólido.

2) Efeito de mudança de direção na Quantidade de Movimento

linear. Volume de Controle estacionário com fronteiras fixas.

Surgimento da força mecânica quando S.C. corta um sólido.

3) Efeitos de superfície livre na quantidade de movimento.

Volume de Controle estacionário com fronteiras fixas.

4) Explora diferenças físicas se S.C. corta um sólido ou se fica

paralela a uma parede sólida (surge tensões cisalhantes e tensões

normais a superfície sólida).


Como trabalhar com S.C.

Siga o roteiro abaixo para trabalhar com S.C.

Trace uma superfície de controle

Analise, separadamente, na superfície de controle adotada

– As velocidades que cruzam a S.C.

– As pressões que agem na S.C.

– As forças mecânicas, caso a S.C. cruze uma fronteira sólida.

• Adote um referencial inercial (x,z) por exemplo

– Deixe claro o sentido de x > 0 e z > 0

• Calcule o módulo e o sinal (+/-) das velocidades absolutas e

relativas. Indique isso em cada face da S.C.


(1) - Efeitos da variação da Quantidade

de Movimento com variação de área

mas sem mudar direção


Exemplo (1): Água escoa a 20oC escoa em um bocal horizontal como mostrado na figura. Os diâmetros da tubulação e de descarga são A1 = 75mm e A2 = 25mm. A velocidade de descarga é de V2 = 32 m/s e ocorre a pressão atmosférica. A pressão na entrada do bocal é P1 = 510 kPa manométrica e P2 = 0.i. Calcule V1 = ? ii. Calcule a força mecânica, Fx, p/ bocal permanecer estacionário.

Considere: densidade da água 1000 kg/m3 e Patm = 105 Pa.

Nota: neste exemplo é introduzido o conceito de força mecânica


Exemplo (1) cont.: Balanço de massa

Os diâmetros de entrada e saída do bocal são d1 e d2:

Regime permanente, d/dt = 0 e da conservação da massa,

u1d12 = u2d2

2 u2=u1(d1/d2)2 e m = u1pd1

2/4.

x

S.C.

(1) (2)

u1

u2

Respostas:

u2 = 32 m/s; u1 = 3,56 m/s, Q = 0,0157 m3/s e = 15,71 kg/s m


Exemplo (1) cont.: Explore diferentes escolhas de

S.C. para velocidade

Considere os três tipos de SC: A, B e C. Analise a adequação da SC sobre a velocidade do fluido, área azul.

x

S.C.(1) (2)

u1

u2

x

S.C.

(1) (2)

u1

u2

x

S.C.

(1) (2)

u1

V2

opção A opção B opção C

Para fins de equação da massa as três S.C. para o fluido resultam no mesmo resultado visto no slide anterior:

u1d12 = u2d2

2 u2 = u1(d1/d2)2 e m = u1pd1

2/4.


xx

S.C.

.

(1) (2)

V1

V2

S.C.

(1) (2)Patm

PatmP1

Pat

m

(1) (2)

Fx

Fx

S.C.

x

2

12 1 1 atm x

dm u u P P F

4

p

A solução da aula #7 é mostrada para a S.C. adotada

2

1

2

1

1 2

3

V 32 m/s

V 3,6 m/s

A 4, 42E 03 m

P P 5,10E 05

Dados conhecido

Pa

Q 1,57E 02 m / s

m 15,71 kg /

s:

s

2 1 2 1

1 atm 1 1 atm 1

x x

Respostas :

m V V 446,8 N m V V1: 5

P P A 2250 N P P A

F 1881 N, F age no sentido x < 0!

Vimos na aula anterior que a sol. p/ força mecânica no bocal na direção x é:

g

r x x x MEC,x

S.C S.C. S.C. V.C.

x u n V dA p n dA n dA g d F 0

gg


Ex. (1) cont.: explore as escolhas de S.C. p/ a q. mov.

r x x MEC,x

S.C S.C. S.C.

x u n V dA p n dA n dA F

Para fins de quantidade de movimento as três S.C. para o fluido resultam no mesmo resultado :v

2 2

r 2 1 1 1 2 2

S.C

x u n V dA m u u sendo que m u d 4 u d 4 p p

Lembrando que u1 e u2 representam a velocidade média do fluido nas seções (1) e (2).

x

S.C.(1) (2)

V1

V2

x

S.C.

(1) (2)

V1

V2

x

S.C.

(1) (2)

V1

V2



Ex. (1) cont.: explore as escolhas de S.C. p/ a pressão.

r x x MEC,x

S.C S.C. S.C.


A opção C de S.C. não é possível calcular de força de pressão .

• Quem escolhe opção C não consegue resolver o problema, não há informação para determina-la.


P 1 atm 1ˆF P P A i

x

(1) (2)

P1 Patm

x

(1) (2)

P1

Patm


Desconhecida distribuição de pressão interna bocal!

x

(1) (2)

P1

Patm

Patm

Patm


A área projetada em direção eixo y é equivalente a A1!


Ex. (1) cont.: explore as escolhas de S.C. p/ a tensão.

r x x MEC,x

S.C S.C. S.C.


Apesar de w ser desprezível face a pressão, as opções A e B já ‘embutem’ no cálculo a força de tensão viscosa. Por isso são mais precisas!

x

(1) (2)

x

(1) (2)

x

(1) (2)


w = 0 w = 0 w 0

A tensão viscosa na parede é da ordem 0,1 Pa a 10 Pa, tipicamente. A diferença pressão do fluido é da ordem de 5x105 Pa logo a força de pressão é muito maior que a força viscosa! A força viscosa pode ser desprezada.

Em qual opção de S.C. não precisa usar esta aproximação? Identifique em qual opção existe w na S.C.


Ex. (1) cont.: explore as escolhas de S.C. p/ a Fmec,x.

r x x MEC,x

S.C S.C. S.C.


• As opções A e B possuem força mecânica que ‘embuti’ inclusive a tensão viscosa na parede.

• A opção C não possui força mecânica e possui w para calcular.

x

(1) (2)

x

(1) (2)

x

(1) (2)


Você é capaz de identificar a força mecânica na opção A?

Você é capaz de identificar a força mecânica na opção B?

Você é capaz de identificar a força mecânica na opção C?

Fmec,x

Fmec,x

Fmec,x

Fmec,x

Fmec,x = 0

Fmec,x = 0


Aplicação

Veja na wikipedia aplicações de bocais em:

Jatos - fogões de cozinha, fornos industriais, jacuzzis, fontes em

parques públicos);

Alta velocidade - propulsão em turbinas de aviões e em foguetes;

Spray – distribuir líquido sobre uma área (irrigação, incêndio),

aumentar a área de contato das gotas (combustão), criar uma força

de impacto em uma superfície (controle);

Vácuo – produzir vácuo através de jato.

https://en.wikipedia.org/wiki/Nozzle


Escoamento numa

contração/expansão com Re elevado

Observe que o escoamento com contração de área é diferente do escoamento com expansão de área.

Pode-se concluir que as propriedades do escoamento: diferença de pressão, variação de q. movimento dependem do sentido do escoamento!

Estes dispositivos são muito utilizados em tubulações para unir tubos com diâmetros diferentes.

O próximo exemplo trata-se da diferença de pressão numa expansão (foto da direita). Este tópico será visto no cap. 8, esc. interno viscoso (parte B)


Execercío 1 - Um escoamento de um fluido incompressível sofre, subitamente, uma expansão de A1 para A2, como mostra a figura. P1 e P2são pressões manométricas e V1 e V2 são as velocidades.

Usando o V.C. sugerido, assumindo que na seção (1) P P1 no anel formado pela diferença de diâmetros dos tubos. Considere a tensão de cisalhamento na S.C. desprezível face as pressões. Mostre que a pressão a jusante pode ser dada por:

2

2 1 1 1 2 1 2 2 1P P V A A 1 A A note que P > P

S.C.

Se o V.C. passar a ser como indicado na figura mostre que a força mecânica é:

mec,x 1 2 1Resp. : F P A A 0

Esta força é necessária para

que F=0 (equilíbrio)


Aplicação

Como acessório de tubulações em contração ou expansão.


(2) - Efeitos de mudança de direção na

Quantidade de Movimento

Comentário:

• O exemplo anterior a q.movimento do sistema: d(MV)/dt varia no

módulo mas sua direção não.

• O próximo exemplo veremos que taxa de variação de q.

movimento do sistema: d(MV)/dt variar no módulo e na direção.


Toda vez que ocorre uma mudança de direção

na Q. Movimento surge uma força na S.C.

mV1

mV2

força reação

g

mV1

mV2

Defletor de um jato

Mudança direção

numa curva em

tubulação

Na aula 10, Bernoulli, veremos aplicações de jatos

com mudança de direção


Exemplo 2 - Um bocal curvo que descarrega para a atmosfera um líquido (incompressível) densidade . Na seção (1) P1 é pressão absoluta, V1 e A1 são a velocidade e área. Na seção (2) P2 é Patm e V2 e A2 são a velocidade e a área. A massa do bocal é Mb e o volume de líquido dentro do bocal é VL. Determine a força mecânica exercida no acoplamento para que o bocal esteja em equilíbrio.

1V1

P1

A1

2

V2

Patm

A2

g

x

z

S.C.n

n

A superfície controle Velocidades:

1 1

2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆV 0i; v j

ˆ ˆV u i; v j ; u V cos e v V sen

Massa: |V1|.A1 = |V2|.A2 e 1 1 2 2m V A V A

Q.mov. (x): 2 2 atm 2 mec,xm. V cos P P . A cos F

1 2 1 atm 1 2 atm 2 b L mec,zm. V V sen P P A P P . A cos M g F

Q.mov. (z):

Dica: sempre trabalhe com pressão manométrica (P-Patm).

Como P2 = Patm então:

mec,x 2

mec,z 1 2 1 atm 1 b L

F m. V cos

F m. V V sen P P A M g

Se a saída possui um ângulo, faça S.C. com a normal paralela a velocidade.


Caso especial de desaceleração

Variação de quantidade de movimento na direção x

porém com fluxo de massa em duas direções e

ocorrendo em três faces!


Escoamentos com ReL >> 1 ‘Camada Limite & Euler’

Região onde os efeitos

viscosos são desprezíveis, a

Eq. Euler é válida, fora da

Camada Limite

Região onde os efeitos viscosos

não são desprezíveis, a Eq. Euler

não é válida, dentro da Camada

Limite

A foto acima mostra o escoamento sobre uma placa plana com no. Reynoldselevado (altas velocidades). O gradiente de velocidades fica próximo da parede. Estaregião é denominada por Camada Limite Hidrodinâmica. A espessura da CamadaLimite é e, /L <<1. A componente de velocidade na direção x, externa à CamadaLimite possui velocidade U0 constante. A desaceleração do fluido próximo a parede édevido a ação da viscosidade. A distribuição da tensão de origem viscosa ao longo daplaca causa uma força de arrasto na placa que possui sentido contrário ao escoamento.

No próximo exemplo vamos calcular a força de arrasto na placa.

L

Uo


Exemplo (3) - Determine a força de arrasto em uma placa plana devido ao atrito viscoso. Considere regime permanente. A velocidade em (a-b) é uniforme e vale U0, a velocidade em (c-d) é variável e descrita por u(y). A pressão é atmosférica.

i. Encontre uma expressão da força de arrasto D em função do perfil de velocidade, u(y) em c-d. L é a largura da placa

Uo u(y)

(a)

(b)

(d)

(c)

x

y

S.C.

0

Resp D u U u Ldy

Dicas: (1) Na placa plana a pressão na S.C. é uniforme e igual a Patm, portanto não há

contribuição da força de pressão no arrasto. (2) A S.C. corta a placa, portanto há uma força mecânica (o arrasto) para que a força

resultante seja nula e a placa permaneça estacionária. (3) Para determinar D é necessário conhecer , U0 e o perfil u(y) e resolver

numericamente a integral:


Exemplo (3) – A q. mov. direção x que cruza (b-c) não é trivial!

• Em(b-c) a velocidade na direção x é constante e igual U0.

• Em(b-c) a vazão mássica mbc = (U0-u)wdy.

• Dividindo em 5 partes iguais (b-c), temos que a q.mov. (x) será:

Uo u(y)

(a)

(b)

(d)

(c)

x

yS.C.

0 bc 0 0

0

U m U U u Ldx

• Pressupõe-se que: mbc = mbc;

• Externo à camada limite a vel. é constante U0,

• Em cada seção há um incremento de q. mov. direção x: U0.mbcx

• Integrando ao longo do comprimento L chega-se a q. mov. direção x face (b-c)

bc,1m

bc,2m

bc,3m

bc,4m bc,5

m

0 bc,1U . m

0 bc,2U . m

0 bc,3U . m

0 bc,4U . m

0 bc,5U . m


Exemplo (4) - Determine a força de arrasto em uma placa plana devido ao atrito viscoso. Considere regime permanente. A velocidade em (a-b) é uniforme e vale U0, a velocidade em (c-d) é variável e descrita por u(y). A pressão é atmosférica.

i. Discuta o que muda na formulação depois que a S.C. mudou

Uo

u(y)

(a)

(b)

(d)

(c)

x

y

S.C.

L

w

0 0

Resp (1)dx u U u Ldy

A nova S.C. tangencia a placa plana. Esta escolha de S.C. não possui Fmec mas, na

S.C. age a tensão da parede que varia ponto a ponto na direção x (veja distribuição w

na aula #3, ex. 2 no slide 23). Acontece que a somatório das tensão distribuídas na

parede resultam na força de arrasto, veja na resposta abaixo.


Exercício 1 - Uma esfera é testada em um túnvel de vento com 0,75 m de diâmetro. A pressão é uniforme nas seções (1) e (2). A pressão em (1) e (2) é, respectivamente, de 30 mmH2O e 15 mmH2O (manométrica). Na seção (1) a velocidade do ar é uniforme e igual a 12,5 m/s. O perfil de velocidade em (2) é linear; ele varia de zero na linha de centro do túnel até um máximo na parede do túnel. Calcule: (i) a vazão mássica no túnel; (ii) a velocidade máxima em (3) e (iii) o arrasto na esfera, despreze a resistência viscosa na parede do túnel. Considere: Rar = 294 KJ/kgK , temperatura = 20oC e Patm = 101KPa.

Exercício p/

fazer em

casa

Respostas:

i. M = 6,63 kg/s

ii. Vel. máx = 18,8 m/s

iii. D = 54,1 N


(3) - Efeitos de superfície livre na Quantidade de Movimento

O escoamento com superfície livre possui uma interface água-ar. Tipicamente são escoamentos em canais abertos, ressalto hidraulicos, vertedouros para medir vazão etc.

Uma peculiaridade deste tipo de escoamento é o fato de que na interface água-ar a pressão é constante e igual a Patm. Se houver um grad. Pressão na direção do escoamento ele é dissipado criando uma onda na interface.

A pressão na fase água numa seção transversal ao escoamento é devido a pressão hidrostática ( p = C - gz onde z é um ref. no fundo do canal)

Vamos aplicar este conceito no próximo exemplo para calcular a força mecânica numa comporta semi-aberta.

http://web.iku.edu.tr/~asenturk/Microsoft PowerPoint - open-channel 1.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Hydraulic_jump

https://www.openchannelflow.com/blog/what-is-a-flow-measuring-weir


Aplicação: força

em comportas


Exemplo (5) - O escoamento de água a montante da comporta possui velocidade uniforme U1 e uma lâmina d’água com altura h1. A jusante da comporta a velocidade da água é U2 e altura da água é h2. A superfície livre da água está em contato com a atmosfera, que está a pressão P0. Indique claramente na figura sua escolha da superfície de controle. Despreze a força de atrito na análise.

i. Expresse a velocidade U1 em função das demais variáveis. ii. Calcule a força de reação, R, por unidade de largura na comporta.

Dica: não se esqueça de contabilizar a distribuição de pressão hidrostática que atua da superfície livre até ao fundo do canal.

U1

U2

h1

h2

Patm

X

Z

g

R


2 2 1 1

2 22 2 1 22 2 1 1

Eq. massa

m U h w U hw

Eq. Q. Mov.(x)

h hU h w U h w R g w g w

2 2

2 2

1 22 2 2 1 1 1

22

1 22 1

1

Isolando a força de reação, R:

h hR U U h w U U h w g w g w

2 2

h hR m U U g 1 w

2 h

22

2 1 22

1 1

h h hR mU 1 g 1 w

h 2 h

Componente Rda variação Q.

Mov.

Componente R da pressão

hidrostática

U1

Patm

X

Z

g

R

• Superfície de Controle

• Representação pressão

hidrostática seções (1) e (2)

• Largura comporta, w

U2h2

h1

A razão das parcelas acima é sempre menor que 1 portanto F < 0

2 2

1 1

22 2

1 1

2 h h2

1 h h1 2

1

hmU 1

h VQ.Mov 12 1

Pressão gh 1h hg 1 w

2 h


Exercícios Recomendados

(1) O bocal mostrado descarrega uma cortina de água por meio de um arco de

180o. A uma distância radial de 0,3 m a partir da linha de centro do tubo de

suprimento, a velocidade da água é 15 m/s e a espessura do jato é 30 mm.

Determine (a) a vazão volumétrica da cortina de água e (b) a componente y

da força necessária para manter o bocal no lugar. Resposta: 4,05 kN

(2) Uma bomba a jato de água tem área do jato de 0,009 m2 e velocidade do

jato de 30,5 m/s. O jato está dentro de uma corrente secundária de água com

velocidade V = 3 m/s. A área total do duto (a soma das áreas do jato principal

e da corrente secundária) é de 0,07 m2. As duas correntes são vigorosamente

misturadas e a água deixa a bomba como uma corrente uniforme. As pressões

do jato e da corrente secundária são iguais na entrada da bomba. Determine a

velocidade na saída da bomba e o aumento de pressão, p2 – p1.

Resposta: V2 = 6,5 m/s e P = 85,1 kPa

(3) Um cotovelo redutor de 30o é

mostrado. O fluido é água. Avalie as

componentes da força que deve ser

aplicada pelos tubos adjacentes para

manter o cotovelo estático.

Resp.: Rx = -1040N e Ry = -667 N

Resp: Fy = 2V2ρRt

ΔP = −VS2ρ −

Aj

Atρ Vj

2 − Vs2 + V2

2ρ

Rx = V1ρ −V1 A1 + V22ρA2Cos 30 + P2 − Patm A2cos 30 − P1 − Patm A2

Ry= −V22ρA2sen 30 + M+ Vvoρ g − (P2−Patm)A2sen(30)


(4) Um fluido incompressível de viscosidade desprezível é bombeado com

uma vazão volumétrica total Q por uma superfície porosa para o interior de

uma pequena fresta entre placas paralelas estreitamente espaçadas,

conforme mostrado. O fluido tem apenas movimento horizontal dentro da

fresta. Considere escoamento uniforme através de qualquer seção vertical.

Obtenha uma expressão para a variação de pressão como uma função de x.

Sugestão: Aplique a equação da conservação da massa e a equação da

quantidade de movimento a um volume de controle diferencial de espessura

dx, localizado na posição x.

(5) Um líquido incompressível de viscosidade desprezível é

bombeado com uma vazão volumétrica total Q através de dois

pequenos orifícios para dentro de uma pequena fresta entre discos

paralelos estreitamente espaçados, conforme mostrado. Considere

que, na fresta, o líquido tenha apenas movimento radial e que o

escoamento é uniforme através de qualquer seção vertical. A descarga

é feita para a pressão atmosfera em r = R. Obtenha uma expressão para a variação de pressão como uma

função do raio. Sugestão: Aplique a conservação de massa e a equação da quantidade de movimento a um

volume de controle diferencial de tamanho dr localizado no raio r.

Resp: P x = −ρQ

whL

2x2 + P0

Resp: P r − Patm =ρ

2

Q

2πRh

21 −

R

r

2; 1 −

𝑅

𝑟

2=

𝑃 𝑟 −𝑃𝑎𝑡𝑚𝜌

2

𝑄

2𝜋𝑅ℎ

2


Fim

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Capítulo 4 aula #9