Aula#5 - CAPÍTULO 3

Apresentação do PowerPointAula#5 - CAPÍTULO 3
(as seções 3.5 e 3.6 serão dadas em EM561)
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Estática dos Fluidos
Estática dos Fluidos trata do estado de forças atuantes no fluido na ausência de movimento relativo entre as partículas.
Qual é a conseqüência da ausência de movimento relativo no fluido?
• Fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a ação
de tensões;
• Não havendo deformação não há não há movimento relativo e, por
consequencia não há tensão de origem viscosa.
O fluido sem movimento relativo, pode-se dizer que ele é estático! Para haver equilíbrio agem tensões normais apenas. Vamos descobrir a natureza destas tensões normais.
O que acontece com o tensor das tensões?
A soma das tensões da diagonal de qualquer tensor é invariante isto é: sxx+syy+szz = cte.!
Invariante significa soma da diagonal é constante e independe se o sistema de coordenadas pode ser cartesiano, polar, esférico, etc; ou mesmo se sistema de coordendadas pode sofrer uma transformação linear (girar ou transladar) que a soma é sempre a mesma.
A soma: sxx+syy+szz é isotrópica, isto é, qualquer que seja a direção dos eixos coordenados ortogonais a soma é sempre a mesma!
Em outras palavras, a soma da diagonal é constante.
Na ausência de movimento relativo não há tensão cisalhante.

Uma visão simples da natureza isotrópica da pressão (1 de 3)
Considere um volume de fluido, na forma de um tetraedro, em equilíbrio
O tetraedro está submetido às tensões normais sxx, s yy, s zz e snn
Qual é a condição para que a força resultante sobre o tetraedro seja nula?
x
y
z
sxx
szz
syy
snn
Uma visão mais simples da natureza isotrópica da pressão (2 de 3)
• A é o elemento de área da superfície inclinada onde age snn.
• nx, ny e nz são os co-senos diretores do ângulo que a normal da superfície inclinada faz com as direções x, y, z
• de tal modo que Ax = nxA ...
x
y
z
sxx
szz
syy
snn
22 2 2
nn xx x yy y zz zA n A n A n A 0 s s s s
Se o tetraedro está estacionário, a força resultante é nula:
Força resultante das componentes x,y,z
Força direção n,n
Para encontrar a força resultante nas faces do tetraedro é necessário as definições:
Uma visão mais simples da natureza isotrópica da pressão (3 de 3)
Cancelando o elemento de área A vamos ter:
22 2 2
nn xx x yy y zz zn n n 0 s s s s
• Para que seja verdadeira a expressão: s xx= s yy = s zz = s nn as tensões tem que serem iguais para qualquer direção (isotrópica):
2 nn2 2 2 2
nn x y z

i. P é a pressão hidrostática (ou termodinâmica).
ii. Ela não depende da direção, ela é isotrópica!
iii.Corolorário: a soma das tensões normais ( = 3snn) é sempre uma constante para qualquer sistema portanto ela é invariante.
• Note que os co-senos diretores são independentes dos valores das tensões sxx, s yy, s zz e snn
Veja leitura complementar sobre este tópico no Apêndice I desta aula.
O balanço de forças para um elemento infinitezimal de fluido com dimensões dx, dy e dz, de densidade r e massa dm,
Z
Y
X
dx
dy
s
B
d M V F força de superfície: pressão hidrostatica F F
dt F força volume: campo gravitacional, g

Não há movimento relativo, d(MV)/dt = 0. Porém o cubo, como um todo, pode estar se acelerando. Vamos abordar isso na próxima aula.
O equilíbrio se dá entre a força de superfície (pressão) e a força de campo (peso):
s BF F 0
A força de campo gravitacional, FB: (1)
onde:
- g é a aceleração da gravidade local; - r é a densidade do fluido; - é o volume do fluido.
Sabendo que o volume pode ser escrito como:
Pode-se reescrever a Eq. (1): (2)
A força de campo por unidade de volume é expressa por:
BdF g dm g d r
d
dxdydzd
B
3
• Considere que P seja a pressão no centro do volume. Ela exerce uma força por unidade de área nas seis faces.
• A pressão sempre age na forma de uma força de compressão.
• A força exercida por P na direção x é representada na figura:
A Força de Superfície (compressão), FS
Z
Y
X
g
dx
dy
dz
x 2
As componentes da força exercida pela pressão são obtidas a partir da contribuição de cada face do volume
s

A Força de Superfície (pressão), FS
n é o vetor normal que aponta para fora da superfície S e dA é um elemento de área da superfície S.
Grad P, P , é uma força resultante por unidade de volume que atua num volume infinitezimal.
A relação acima vem diretamente do Teorema de Gauss:
S S 3
d m
A força de superfície, FS , por unidade de volume é:
Equações
A 2ª lei de Newton para um referencial inercial num fluido sem
movimento relativo entre as partículas reduz para um balanço entre
força de pressão e força de campo:
p g 0 r Equação da hidrostática, aplicada em
manômetros, forças em barragens,
Somente para líquidos com densidade constante
Considerando a ‘g’ alinhado c/ eixo z no sentido negativo, temos que:
0 y
Relações válidas para r constante.
A pressão não varia nas direções x e y!
Portanto ela é constante nestas direções
A pressão diminui linearmente quando
z aumenta! 0g
Corolário: se dois pontos apresentarem o mesmo nível eles
estarão sob a mesma pressão, independente da seção de área
de cada tubo!
efeito de tensão superficial)
Utilização prática teorema Stevin
Análise variação de pressão para fluidos com densidade constante
1 2 1 2P P g z z 0 r
A pressão estática só varia na direção z, onde atua a gravidade.
A pressão é: P(z) = C - rgz; onde C é uma constante de integração.
P diminui quanto maior for z. Verifique se a afirmativa é verdadeira!
z
g
2 1 2 1P P g z z 0 r
Diferença de pressão de (1) para (2) Diferença de pressão de (2) para (1)
Calcule P2 e P1 em função de C:
Definições para densidade e afins..
Densidade, r = Massa/Vol usualmente (kg/m3)
Massa específica, sinônimo de densidade, (kg/m3)
Peso específico, = rg = Peso/Vol usualmente (N/m3)
Gravidade específica ou densidade relativa, SG = /agua@4oC = r/ragua@4oC
Exemplos (Tab. A.3 e A.7)
Densidade da água @ 25oC, r = 997 kg/m3.
Densidade do Hg @ 20oC, r = 13545 kg/m3.
Peso específico água @ 25oC, = 9781 N/m3.
Densidade relativa Hg @ 20oC, SG = 13,55
As definições acima são aplicadas para líquidos.
Um balanço de forças entre peso e pressão:
A gravidade alinhada com eixo z no sentido negativo, temos:
Força Peso x Força ‘Pressão’
(PB-PA).A = r.g.h.A ou
(PB-PA) = r.g.h
Expressar uma coluna de líquido é equivalente a informar a pressão. Por exemplo, a pressão ao nível do mar é 760 mmHg. Esta informação equivale a pressão exercida por uma coluna de Hg de 760 mmHg!
h
PB
PA
mg
z
g
A diferença de pressão, P, é equivalente a pressão exercida por uma coluna de fluido com altura h!
Pense bem... Tanque de aço aberto para atm é preenchido com água, r = 1000 kg/m3. Cada cubo possui uma aresta de 1 metro e g = 10m/s2. O volume total da água é de 6 m3 .
Pergunta1: Calcule a força exercida pela pressão
da água no fundo do tanque em Newtons.
Pergunta 2: se o tanque for colocado numa balança
qual será a leitura da balança em Newtons?
(desconsidere o peso do tanque)
Pergunta 3: Por que a diferença?
Resposta: 8x104 N
Resposta: 6x104 N
Resposta: a água exerce uma pressão na parede inferior e superior. A balança mede a força resultante que equivale o peso do líquido, confira!
104N 104N
2x104N 2x104N
2x104N 2x104N
Exemplos e Aplicações
Evangelista Torricelli
ii. Patm é ~105 Pa; Pvap << Patm
iii. Portanto: Patm = r.g.h
Patm no Campus (CEPAGRI): link
Breve história do barômetro: wikilink
Unidades de Pressão
1 torr = 1mmHg
Conversor unidades (link)
= 101,3 kPa
= 1 atm,
= 760 mmHg
= 1013 mBar
O significado dos sufixos ‘a’ ou ‘g’ ao final da unidade
psia = valor da pressão absoluta em psi
psig = valor da pressão manométrica em psi
Bara = valor da pressão absoluta em Bar
Barg = valor da pressão manométrica em Bar
P re
Manometro diferencial
mesma altura apresentam mesma
pA
pB
Reservatório
Reservatório
g
Exemplo 1 - A partir dos pesos específicos dos fluidos, 1, 2 e 3 e das
alturas h1, h2 e h3 determine a diferença de pressão entre os reservatórios
A e B.
Determine PA-PB em função da altura h e das
densidades dos fluidos; rf e rm são as densidades
do fluido e do líq. manométrico.
Resp.: PA-PB = (rm - rf).g.h
Pergunta no 1: se os fluidos forem ar e agua,
como fica a expressão?
logo podemos aproximar P≈ r mgh
Pergunta no. 2: e se os fluidos forem água e mercúrio?
Resp.: PA-PB = (13600 – 1000)gh como rliq~ r gas não há aproximação, P
= (rm - rf).g.h.
Um engano freqüente dos alunos: aplicar a relação acima quando realizam
medidas com dois líquidos.
Exemplo 2 – Manômetro invertido, alta sensibilidade. Determine a densidade de um óleo, menos denso que a água, que é capaz de causar uma diferença de altura no menisco óleo/água 10x maior que a h de água observada entre os reservatórios.
Resp.: w O
Tanque B (água)
Exemplo 3 – Um vaso cilíndrico é afundado vagarosamente de forma que o ar aprisionado é comprimido isotermicamente. Determine a altura da água ´y´ dentro do vaso em termos da altura do vaso H e da profundidade de submersão,h. A densidade da água é rw.
Patm.H = Par.(H-y)
pressão vaso:
h/H
H gH H gH Hy
H 2
resolvendo para y/H:
Aplicação do exemplo 3: “the diving bell”
Pense bem... Um tubo cilíndrico de paredes rígidas (não deformáveis) com 10 metros de comprimento é colocado na vertical.
Ele é preenchido com água e sua extremidade superior, aberta para atmosfera, é então selada. Durante o processo de selagem uma única bolha de ar ficou no fundo do tubo. Após tampar o tubo um manômetro no topo do tubo indica pressão atmosférica.
Passado uns instantes a bolha se soltou do fundo e migrou para o topo do tubo. Pergunta: qual é a pressão que o manômetro indica agora.
Considere:
r = 1000 kg/m3
g = 10 m/s2
Patm = 105 Pa
Resposta: No estado final, P = 2x105 Pa, se o volume do sistema não muda e água é incompressível o volume da bolha também não!.
P = Patm P=?
Exemplo 4 – Considere a interface água-mercúrio em um tubo vertical. Desenvolva uma expressão para a diferença de nível causada pela tensão superficial em função do diâmetro do tubo. Não considere a capilaridade da interface água-ar no topo .
(i) PA’ = PA e PB’ = PB, teorema de Stevin.

Hg H2O
h 4 cos gd
- =140o;
B A P P gh P
r
r
Ao cruzar a interface HgH2O a pressão capilar é:
Pcapilar = Fs/A = (dsCos)(d24)
Igualando PB e PB’ e usando a def.
de pressão capilar chega-se a h:
140o
h
d
Hg
H2O
sobre manometros
Os exercícios selecionados contém os conceitos desenvolvidos
em sala de aula. O aluno deve fazer estes exercícios para os
conceitos.
Veja mais sobre outros tipos medidores de pressão e também
manômetros no link
pequenas diferenças de pressão.
rf << r man
Manômetro de poço inclinado: leitura em uma única perna
P em função de h e L mP g h L sen r
P = 0 P > 0
h
d
D
L
Relação entre h e L 22 2h D L d h L d D
P em função de L 2
mP g L sen d D r
filme
Exercício 2 – Determine PA-PB em função da altura h e da distância L entre as tomadas considerando que haja uma vazão água (w) passando no tubo.
P1 P2
z
g
h
hh
i) Ponto (A) até linha azul tem uma pressão hidrostática igual a do ponto (B) = rw L g Sen(30º)
ii) As pressões P1 e P2:
iii) P1 = P2, lei de Stevin

P g h a gLSen 30 P
P g h g a gLSen 30 P
r r
Qual o valor de h quando a vazão é nula?
Não havendo vazão, h = 0 e PA = PB .
Exercício 3 – Reservatório com dois tubos cilíndricos d1 e d2
preenchidos com Hg. Um cilindro de latão com diâmetro d e altura H é colocado em d1. Determine o novo nível de equilíbrio ‘h’ para fazer flutuar o cilindro de latão.
Nível ini
Nível fim
Exercício 3 – Solução
Resp.: As incógnitas: x e h são determinadas pela solução das
duas equações dadas
Para haver flutuação:
Peso do bloco =
4 4
r r
f i 1 2
d d d V V d h d d h d x x h
4 4 4 d
Para determinar h e x é necessário + uma equação;
Os volumes inicial e final de Hg , Vi e Vf são iguais.
Exercício p/ fazer
Casos onde a densidade
varia com a altura
Atmosfera padrão internacional (fonte wikipedia)
The International Standard Atmosphere (ISA) is a static atmospheric model of how the pressure, temperature, density, and viscosity of the Earth's atmosphere change over a wide range of altitudes or elevations.
It has been established to provide a common reference for temperature and pressure and consists of tables of values at various altitudes, plus some formulas by which those values were derived.
The International Organization for Standardization (ISO) publishes the ISA as an international standard, ISO 2533:1975.
The U.S. Standard Atmosphere is a set of models that define values for atmospheric temperature, density, pressure and other properties over a wide range of altitudes. The first model, based on an existing international standard, was published in 1958.
The U.S. Standard Atmosphere, International Standard Atmosphere and WMO (World Meteorological Organization) standard atmospheres are the same as the ISO International Standard Atmosphere for altitudes up to 32 km.
Atmosfera Padrão USA Atmosfera padrão é utilizada no projeto de aeronaves e cálculo de
condições de navegação aérea.
Isotermico, T = To Estratosfera:
Troposfera:
Vamos trabalhar somente na troposfera, z < 11 km, onde a temperatura decai linearmente com aumento de z.
referência
•T = 15oC
Exemplo 5 - Determine a temperatura de ebulição da água a 1000 m e 2000 m de elevação e compare com aquela do nível do mar.
P/ PSL P (N/m2)
A equação da estática dos fluidos é válida:
Análise da variação pressão estática em fluido com densidade variável
g dz
dP r
Entretanto, r varia com pressão e temperatura, é necessário uma equação de estado (gás ideal, R = 287,053 J/(kg.K) NIST):
RTPr

Coluna isotérmica de gás r = P/RT0
Se a temperatura da coluna de gás permanecer constante, T = T0, então
a variação de pressão com a altura z:
Z

10081,9
ref
Pref = 101,3 kPa, P = Pref - P = 1114 Pa ou 8 mmHg
Comentário: para uma coluna ‘pequena’ é razoável considerar que sua temperatura é constante!
O que acontece se a coluna tiver 10.000 m de altura?
Na troposfera z < 11 km, a temp. decai
linearmente com z:
• b, é aproximadamente 0,00650 K/m, e
• Ta = 288,15 K, a temperatura em z = 0.
- Pref é a pressão ao nível do mar, 101.33 kPa,
- R é a constante do ar, 286.9 J/kg.K
Troposfera: atmosfera padrão USA
dz z dP P g R P z P 1
T z T
COMPARAÇÃO:
Altura (m)
(P /P
a tm
Exemplo 6 – sabendo que a pressão e temperatura média de
Campinas são 94,93 kPa & 21oC, estime sua altitude.
Considerando atmosfera isotérmica,
Considerando atmosfera padrão,
T0 = 288,15K e Pref=101,3 kPa
altitude do nível do mar de Campinas 685 m erro de 17%!
Comentário: o desvio se deve a atmosfera padrão. Ela é uma média dos EUA e
difere das condições dos trópicos (temp. e pressão no nível do mar!)
0 refR T Ln P P H 565m
g
T
Exercício 4 – É conhecido que na altitude a massa de O2 por metro cúbico ar é reduzida se comparado com o nível do mar. Isto causa um défict de oxigênio que diminui o rendimento de atletas de alta performance.
Exercício p/ fazer
em casaConsidere que a composição do ar em volume é 80% N2 e 20%O2. Na respiração normal, o volume aspirado é de ½ litro. Baseado nesta informação determine a massa de O2 contida em cada respiração no nível do mar e T = 15oC e em La Paz – Bolivia z = 3500 m e 7oC e Everest-Nepal z = 8000 m e -19oC.
Utilize a atmosfera padrão e as constantes dos gases são: Rar = 297 J/kgK; RO2 = 259,8 J/kgK e RN2 = 296,9 J/kgK
Respostas:
Nível do mar é inalado, em 1/2L, 0,135 g de O2.
Altitude 3500 m é inalado, em 1/2L, 0,090 g de O2.
Altitude 8000 m é inalado, em 1/2L, 0,054 g de O2.
Se no nível do mar tomarmos com 100% então em 3500 m e 8000 m há
uma redução de 67% e de 40% respectivamente da massa de O2 inalada.
A massa de O inalada é reduzida em 26% em relação ao nível do mar.
(1) (2)
(3) (4)
Resp: h = [ρ 1,5 + 1 − (2,5)]/( − ) h= 1,52 m Resp: a) Psuper = P − (0,28) = 90,26 kPa ou 1885 lbf/ft²
) Pfundo = P + (0,08) =103,67 kPa ou 2165 lbf/ft²
Resp(3): = [ á 0,30 − 0,02 ]/(á)
Pcheio = á 0,30
Resp (4): a) 12,254 cm ~ 22,4% de erro
hme = 2 cos
Δh = h-hme
á = 0°
= 130 °
Determine a altura h indicada no manômetro de
mercúrio.
moderada faz a temperatura atmosférica
permanecer constante em 30ºC entre o nível do
mar e 5000 m de altitude. Nestas condições,
(a) calcule a variação de elevação para que
ocorra uma redução de 3% na pressão do arç
(b) determine a variação de elevação necessária
para que ocorra uma redução de 5% na massa
específica e (c) plote p2/p1 e ρ2/ρ1 como funções
de Δz.
um gás ideal com massa molecular média de
32,0 e temperatura constante de 200 K. A massa
específica da atmosfera na superfície do planeta
é ρ = 0,015 kg/m3 e a gravidade é igual a 3,92
m/s2. Calcule a massa específica da atmosfera
Marciana em uma altitude z = 20 km acima da
superfície. Trace um gráfico da razão entre a
massa específica e a massa específica na
superfície como uma função da elevação.
Compare o resultado com os dados da
atmosfera terrestre.
Resp: 120 ∗ 103 + ρ 1 = + h h= 0,201
Resp (6) : Δz = − RT

Determine a altura h indicada no manômetro de
mercúrio.
(4)
moderada faz a temperatura atmosférica
permanecer constante em 30ºC entre o nível do
mar e 5000 m de altitude. Nestas condições,
(a) calcule a variação de elevação para que
ocorra uma redução de 3% na pressão do arç
(b) determine a variação de elevação necessária
para que ocorra uma redução de 5% na massa
específica e (c) plote p2/p1 e ρ2/ρ1 como funções
de Δz.
um gás ideal com massa molecular média de
32,0 e temperatura constante de 200 K. A massa
específica da atmosfera na superfície do planeta
é ρ = 0,015 kg/m3 e a gravidade é igual a 3,92
m/s2. Calcule a massa específica da atmosfera
Marciana em uma altitude z = 20 km acima da
superfície. Trace um gráfico da razão entre a
massa específica e a massa específica na
superfície como uma função da elevação.
Compare o resultado com os dados da
atmosfera terrestre.
FIM
APENDICE I –
0gzp z direção
p g 0 r
Repartição entre tensor isotrópico e
tensor desvio das tensões Pode-se dividir o tensor num tensor isotrópico e outro que é o desvio do tensor isotrópico.
Por conveniência P = (sxx+syy+szz)/3
xx xx yx zx
yy xy yy zy
zz xz yz zz
0 0 P 0 0
0 0 0 P 0
0 0 0 0 P
s
O tensor-desvio pode possuir três componentes distintas sendo duas
de compressão e uma de expansão ou vice-versa! Porém como não há
mov. relativo, antecipa-se que também é nulo!
Tensor isotrópico pode causar deformação no fluido? Veja nota no
apêndice da apresentação.
Tensão isotrópica pode causar deformação
numa ‘esfera’ de fluido estacionária?
A esfera submetida a uma tensão isotrópica não altera sua forma esférica; o fluido suporta compressão.
Note que pela natureza isotrópica,
qualquer que seja sua direção, sua
intensidade é sempre a mesma;
Tensão não-isotrópica pode causar deformação
numa ‘esfera’ de fluido estacionária?
A esfera se transforma num elipsoide revelando que está se deformando e portanto, o fluido não está estacionário;
O tensor de desvio exerce uma tensão de
compressão em pelo menos uma direção e
de tração em pelo menos outra direção.
O fluido não resiste a estas tensões de
compressão e tração e deforma-se mantendo
o mesmo volume!
Conclusões Importantes
ou P- ii= 0,
Portanto xx = yy = zz
mecânica : P =(sxx+syy+szz)/3
Como o fluido está estacionário, ela também
coincide com a pressão termodinâmica.
O tensor de desvio é diferente de zero quando há
movimento relativo e será tratado no cap. 5 do
livro texto.
Forças de Volume ou de Campo
Enquanto que as tensões normais (pressão) agem na superfície de um elemento existem forças que agem em todo elemento ou `volume de fluido;
z g
Peso = -r.Vol.g
A gravidade é uma força gerada pelo campo gravitacional U = -gz, daí o nome de força de campo = gradU = -g;
Outras forças de campo de interesse em mec-flu:
A força eletromagnética age quando o fluido carrega uma carga elétrica ou quando uma corrente passa por ele;
Força fictícia, tal como força centrífuga, age no volume de fluido devido a aceleração do referencial.
A gravidade é um exemplo; todo o volume de
fluido está submetido a mesma aceleração da
gravidade, i.e., à força peso.
Equilíbrio entre
Forças de Superfície e Forças de Campo
Para o fluido estar sem movimento relativo é necessário que a resultante das forças de superfície, FS e de campo, FB, sejam nulas!
Forças de superfície agem na superfície do elemento. Um exemplo são as tensões. Em particular a pressão é um agente de força de superfície.
z g
Peso = -r.Vol.g

Documents

Aula#5 - CAPÍTULO 3