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Capítulo 5: Análise Combinatória ● Introdução ● Princípio Fundamental da Contagem ● Fatorial ● Permutações ● Arranjos ● Combinações Princípio de Dirichlet Chegamos a mais um grande tema de nosso curso de Raciocínio Lógico: a Análise Combinatória, cuja essência é o desenvolvimento de métodos para se contar o número de elementos de determinado conjunto, sendo esses elementos agrupamentos formados sob certas condições. Para facilitar o aprendizado, dividiremos o assunto nos seguintes tópicos: Princípio Fundamental da Contagem, Fatorial, Permutações, Arranjos e Combinações. Também, neste capítulo, mostramos o Princípio de Dirichlet ou da “Casa dos Pombos”. I) Introdução à Análise Combinatória A Análise Combinatória é a parte da Matemática que nos ensina a técnica de contagem utilizada para o cálculo do número de elementos de um conjunto, sem que seja necessário enumerar todos esses elementos. Por exemplo: a) Com os dígitos 1, 2 e 3, quantos números de dois algarismos distintos podemos formar? Sendo A o conjunto desses números, é fácil perceber que A = { 12, 13, 23, 31, 32, 21 }. Então, podemos formar 6 números. b) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Capítulo 5

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Capítulo 5: Análise Combinatória ● Introdução

● Princípio Fundamental da Contagem

● Fatorial

● Permutações

● Arranjos

● Combinações

● Princípio de Dirichlet

Chegamos a mais um grande tema de nosso curso de Raciocínio Lógico: a Análise Combinatória, cuja essência é o desenvolvimento de métodos para se contar o número de elementos de determinado conjunto, sendo esses elementos agrupamentos formados sob certas condições. Para facilitar o aprendizado, dividiremos o assunto nos seguintes tópicos: Princípio Fundamental da Contagem, Fatorial, Permutações, Arranjos e Combinações. Também, neste capítulo, mostramos o Princípio de Dirichlet ou da “Casa dos Pombos”.

I) Introdução à Análise Combinatória

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que nos ensina a técnica de contagem utilizada para o cálculo do número de elementos de um conjunto, sem que seja necessário enumerar todos esses elementos. Por exemplo:

a) Com os dígitos 1, 2 e 3, quantos números de dois algarismos distintos podemos formar?

Sendo A o conjunto desses números, é fácil perceber que A = { 12, 13, 23, 31, 32, 21 }. Então, podemos formar 6 números.

b) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Percebe-se que é trabalhoso obter todos os elementos desse conjunto e depois contá-los. Além disso, corre-se o risco de haver omissão ou repetição de alguns elementos. Aqui entram as técnicas da Análise Combinatória, onde veremos que o número de elementos do conjunto é 336.

II) Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo)

Tal princípio nos diz que sempre devemos sempre multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, considere que uma moça possua 5 blusas distintas e 6 saias distintas. Veja que ela tem 5 modos distintos de escolher uma blusa e 6 modos

distintos de escolher uma saia. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, ela tem 5×6 = 30 maneiras de se vestir, usando uma blusa e uma saia.

Vejamos outros exemplos:

a) Temos três cidades X, Y e Z. Existem 4 rodovias que ligam X com Y e 5 que ligam Y com Z. Partindo de X e passando por Y, de quantas formas podemos chegar a Z?

Como existem 4 caminhos de X para Y e 5 caminhos de Y para Z, temos 4×5 = 20 maneiras de chegar a Z, partindo de X e passando por Y.

b) Quantos números com dois algarismos podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Repare que temos 9 possibilidades para os algarismos das unidades e 9 para o algarismos das dezenas. Então, podemos formar um total de 9×9 = 81 números.

c) Quantos números com dois algarismos DISTINTOS podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Como os algarismos devem ser distintos, agora devemos eliminar os números 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 e 99 (nove números) . Então, o total de números com dois algarismos DISTINTOS é a diferença 81(total de números) – 9 (números com algarismos iguais) = 72.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, obtemos diretamente 9×8 = 72 números. Repare que, nesse caso, como os algarismos das unidades e das dezenas devem ser distintos, ou seja, como não há repetição de algarismos, temos 9 possibilidades para um e 8 possibilidades para o outro.

d) Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa?

Em cada lançamento pode aparecer cara ou coroa (duas possibilidades). Por exemplo: {cara, coroa, cara}, {coroa, coroa, cara}, etc.Como são três lançamentos, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 2×2×2 = 8 sequências possíveis.

e) Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3° lugares?

Note que cada atleta deve ocupar uma posição distinta. Para o 1º lugar existem 4 possibilidades, para o 2º lugar existem 3 possibilidades e para o 3º lugar existem 2 possibilidades. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de resultados possíveis é 4×3×2 = 24 resultados possíveis.

f) De quantos modos cinco pessoas podem ficar em fila indiana?

Como são cinco pessoas, cada uma ocupando uma posição distinta, temos: 5×4×3×2×1 = 120 modos.

g) Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?

Existem 8 maneiras de a pessoa entrar no edifício e 7 maneiras de sair, já que não pode sair pela porta que entrou. Logo, existem 8×7 = 56 formas.

h) Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode ser aberta?

Existem 10 portas. Para cada porta existem 2 possibilidades: aberta ou fechada. Então, pelo Princípio Multiplicativo, temos: 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 210 = 1024.

10 vezes

Veja que uma das possibilidades é a sala com todas as portas fechadas. Mas o problema diz que a sala deve estar aberta. Logo, o número de maneiras diferentes de a sala ser aberta é 1024 – 1 = 1023.

i) Num concurso para o preenchimento de uma cátedra, apresentam-se três candidatos. A comissão julgadora é constituída por cinco membros, devendo cada examinador escolher exatamente um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser dados?

Cada examinador deve escolher 1 candidato dentre 3 candidatos, ou seja, cada examinador tem 3 possibilidades de escolha. Como são 5 examinadores, temos: 3×3×3×3×3 = 35 = 243 modos de votar.

j) Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis:- se a escolha for feita com reposição?- se a escolha for feita sem reposição?

- Se a escolha for feita com reposição das cartas.

Para cada uma das 5 escolhas temos 52 possibilidades. Logo, o número de resultados possíveis é: 52×52×52×52×52 = 525.

- Se a escolha for feita sem reposição das cartas.

Como as cartas retiradas não são repostas, na sequência das 5 escolhas temos uma possibilidade a menos. Logo, o número de resultados possíveis é: 52×51×50×49×48 = 311875200 resultados possíveis.

III) Fatorial

Vimos que o Princípio Fundamental da Contagem nos fornece uma ferramenta básica para a resolução de diversos problemas de Análise Combinatória. Porém, em muitas situações, sua aplicação direta se torna trabalhosa. Iremos então mostrar algumas fórmulas que simplificam a resolução de situações particulares. Antes da apresentação dessas fórmulas, vejamos o conceito de fatorial:

Sendo n um número natural maior que 1 , definimos fatorial de n, cujo símbolo é n! , o seguinte:

n! = n(n -1)(n – 2)(n – 3). ... .3.2.1

Exemplos:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

4! = 4.3.2.1 = 24

3! = 3.2.1 = 6

Por definição, 0! = 1 e 1! = 1

IV) Permutações

São agrupamentos com n elementos, onde mudamos as posições desses elementos. Considere, por exemplo, três letras A,B,C (onde n=3). O número de agrupamentos possíveis com posições distintas, ou seja, o número total de permutações é: { (A,B,C), (A,C,B), (B,C,A), (B,A,C), (C,A,B), (C,B,A) }. (total de 6 permutações simples, sem repetição dos elementos)

As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. Veja:

- Permutações Simples

Conforme o exemplo anterior, permutações simples com n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos, onde a diferença está na ordem dos elementos. A fórmula do número de permutações simples é:

Psimples = n! = n(n -1)(n – 2)(n – 3). ... .3.2.1

Veja os exemplos a seguir:

a) De quantas formas 5 pessoas podem ficar em fila indiana?

Notemos que cada forma de ficar em fila é uma permutação simples das 5 pessoas. Por exemplo, (Carlos, José, Mariano, Roberto, Márcia), (Mariano, Márcia, José, Roberto, Carlos), etc. Repare que os elementos (pessoas) são os mesmos, mas as ordens (posições) são diferentes. Pela fórmula do número de permutações simples, temos: Psimples = n! = n(n -1)(n – 2)(n – 3). ... .3.2.1. Substituindo n = 5 pessoas , vem: Psimples = n! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 formas.

b) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4?

Repare que podemos formar números do tipo 1234, 3241, 4231, etc. Trata-se portanto de uma permutação simples de n = 4 elementos. Logo, Psimples = n! = 4! = 4.3.2.1 = 24 números.

c) Quantos anagramas podemos formar com a palavra LIVRO?

Anagrama é qualquer arrumação que fazemos com as letras da palavra dada. Por exemplo, VROLI, VRILO, etc. Temos, então, um problema de permutação simples, onde a distinção é pela ordem dos elementos. Veja que o número de elementos é n = 5. Aplicando a fórmula, temos Psimples = n! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 anagramas.

Obs.: Podemos resolver os problemas de Permutação Simples utilizando o Princípio Fundamental da Contagem.

- Permutações com Elementos Repetidos

Nesse caso, entre os n elementos, existem elementos repetidos. Por exemplo, consideremos a palavra ANA e procuremos seus anagramas, ou seja, as palavras formadas pela transposição das letras. Vamos indicar o segundo A por A*. Então, teremos os seguintes anagramas: ANA*, AA*N, NAA*, NA*A, A*NA, A*AN. Notemos que são iguais as seguintes permutações: a 1ª e a 5ª ; a 2ª e a 6ª ; a 3ª e a 4ª. Daí, não temos 3! = 3.2.1 = 6 permutações distintas e sim 3 permutações distintas: ANA, AAN, NAA. Essa

diminuição decorreu do fato de termos duas letras iguais, A e A, no conjunto das letras permutadas. Óbvio que o fato de existirem letras repetidas acarreta uma diminuição do número de permutações em relação ao número que teríamos, se todas fossem distintas.

Pode-se demonstrar que o número de permutações que podemos formar, nesse caso, é dado pela fórmula:

Prepetição = n! / a!b!c!... , onde n é o número de elementos a serem permutados e a,b,c,... são os números repetições de cada elemento que se repete.

Usando a fórmula no exemplo anterior, onde n=3 (total de letras) e a = 2 (duas letras A repetidas), temos que o total de permutações é: Prepetição = 3! / 2! = 3.2.1 / 2.1 = 6/2 = 3.

Outros exemplos:

a) Quantos são os anagramas da palavra CANDIDATA?

A palavra possui um total de 9 letras (n=9), sendo que possui 3 letras A(a=3) e duas letras D (d=2). Logo, o número de anagramas é: Prepetição = 9! / 3!2! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 / 3.2.1.2.1 = 30.240.

b) Existem 6 bandeiras de mesmo formato, sendo 3 vermelhas e 3 brancas. Dispondo-as ordenadamente num mastro, quantos sinais diferentes podem ser emitidos com elas?

Cada sinal diferente é uma permutação de 6 bandeiras, sendo 3 iguais a V(vermelhas) e 3 iguais B(brancas). Logo, o número de sinais diferentes é: Prepet = 6! / 3!3! = 6.5.4.3.2.1 / 3.2.1.3.2.1= 20 sinais.

- Permutações Circulares

É quando dispomos os elementos ao redor de um círculo.Por exemplo, de quantas formas 3 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular?

Sejam A,B e C as três pessoas que queremos dispor ao redor de uma mesa circular. Fixando, por exemplo, a pessoa A, permutamos B e C. Logo, as arrumações possíveis são (A,C,B) e (A,B,C), isto é, duas permutações.

Podemos demonstrar que o número de permutações circulares de n elementos é dado pela fórmula:

Pcirc = (n-1)!

Outros exemplos:

a) De quantas formas 12 crianças podem formar uma roda?

Temos uma permutação circular, onde n = 12. Logo, Pcirc. = (12 – 1)! = 11!formas

b) Numa mesa circular, podemos dispor as pessoas de 120 modos distintos. Quantas pessoas vão se sentar à mesa?

Temos que Pcirc. = 120 e queremos determinar o número n de elementos.

Pcirc. = (n -1)! 120 = (n -1)! n = 6

V) Arranjos

Classificamos como arranjos aqueles casos em que dispomos de n elementos distintos e queremos formar grupos de p elementos ( p ≤ n ), distintos pela ordem ou pela espécie. Por exemplo, com os algarismos 1, 2, 3, quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar ? Temos aqui um arranjo simples, sem repetição, de 3 elementos tomados 2 a 2, isto é, n = 3 e p = 2. O arranjos possíveis são: (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2). Veja que os elementos são distintos pela ordem – (1,2) ≠ (2,1) – e também pela espécie – (1,2) ≠ (2,3).

Quando os elementos são distintos apenas pela ordem, temos um caso particular de arranjo: a permutação.

Os arranjos podem ser simples ou com repetição. Veja a seguir:

- Arranjos Simples

É quando não ocorre a repetição de qualquer elemento. A ordem dos elementos é considerada. Por exemplo, quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos 2, 3 e 4? Podemos formar os números 23, 24, 32, 42, 34 e 43. Veja que formamos 6 agrupamentos, onde todos os números formados são distintos entre si, pela ordem ou pela espécie. Observe que 23 e 32, por exemplo, são formados pelos mesmos algarismos, mas em ordens diferentes, portanto números distintos. Também excluímos os números com algarismos repetidos (22, 33 e 44).

A fórmula do número de arranjos simples é dada por:

A = n! / (n – p)! , onde A representa o número de arranjos simples (sem repetição) de n elementos tomados p a p.

No exemplo anterior, temos n = 3 e p = 2. Aplicando a fórmula, vem: A = 3!/ (3 – 2)! = 3!/1! = 3.2.1 / 1 = 6.

Outros exemplos:

a) Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isso pode ser feito?

Veja que cada maneira de pintar a bandeira é uma sequência de 5 cores distintas, escolhidas entre as 8 existentes, ou seja, n = 8 e p = 5. Aplicando a fórmula, vem: A = 8! / (8 – 5)! = 8!/3! = = 8.7.6.5.4.3.2.1 / 3.2.1 = 6720 formas de pintar a bandeira.

b) De um baralho de 52 cartas, 3 cartas são retiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas sequências de cartas é possível obter?

Note que cada resultado é um trio ordenado de cartas (x, y, z), onde x é a primeira carta extraída, y é a 2ª e z é a 3ª. Observe também que x, y, z são todas distintas, já que não há reposição das cartas. Então, temos um arranjo sem repetição de 52 elementos tomados 3 a 3, ou seja,n = 52 e p = 3. Substituindo na fórmula, vem: A = n! / (n – p)! = 52! / (52 – 3)! = 52! / 49! = 52.51.50.49!/49! = 52.51.50 = 132.600 sequências de cartas.

- Arranjos com Repetição

Nesse caso, ocorre repetição dos elementos do grupo. Por exemplo, quantos números de dois algarismos distintos ou não distintos podemos formar com os dígitos 2, 3 e 4? Podemos formar os números 22, 23, 24, 32, 42, 33, 34, 43 e 44. Veja que formamos 9 agrupamentos de dois algarismos, mas com repetição de alguns algarismos (22, 33 e 44).

A fórmula do número de arranjos com repetição é:

A = np

No exemplo anterior, temos n = 3 e p = 2. Aplicando a fórmula, vem: A = 32 = 9.

Outros exemplos:

a) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos (distintos ou não) podemos formar?

Temos que n = 6 e p = 3, ou seja, 6 números tomados 3 a 3, mas com repetição dos algarismos. O total de números é dado por: A = np = 63 = 216 números. Repare que nesse total existem números com algarismos repetidos: 111, 222, 333, 331, 224, etc.

b) De um baralho de 52 cartas, 3 cartas são retiradas sucessivamente mas com reposição das cartas. Quantas sequências de cartas é possível obter?

Repare que agora há reposição das cartas. Então, podem aparecer cartas repetidas na sequência.Vamos calcular o número de arranjos com repetição: A = np , onde n = 52 e p = 3. Logo, A = 52³ = 140.608 sequências de cartas.

VI) Combinações

São conjuntos de n elementos, de forma que os n elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie. A posição dos elementos não importa e não os distingue. Por exemplo, com as letras a, b, c, d podemos formar as seguintes combinações de dói elementos: {a,b}, {b, c}, {c,d}, {a, c}, {b, d}, {a, d} (total de 6 combinações). Repare que, por exemplo, {a, b} = {b, a}, pois, conforme definimos, na combinação a ordem dos elementos não distingue os conjuntos.

A fórmula do número de combinações é:

C = n! / (n – p)!p! , onde C representa o número de combinações de n elementos distintos tomados p a p.

Outros exemplos:

a) Quantas duplas distintas podemos formar com 3 pessoas A, B, C?

Repare que a ordem dos elementos não distingue os conjuntos: {A,B} = {B,A}; {A,C} = {C,A}; {B,C} = {C,B}. Então, temos um total de 3 duplas: {A,B}, {A,C} e {B,C}.

Se usarmos a fórmula do número de combinações, teremos: C = n! / (n – p)!p!, onde n = 3 e p = 2. Substituindo, C = 3! / (3 – 2)!2! = 3! / 1!2! = 3.2.1 / 2! = 6/2 = 3.

b) Deseja-se formar uma comissão de três membros e dispõe-se de dez funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?

Notemos que cada comissão é um subconjunto de 3 elementos (observe que não importa a ordem dos elementos). Então, temos uma combinação de 10 elementos tomados 3 a 3, isto é, n = 10 e p = 3. Aplicando a fórmula, vem: : C = n! / (n – p)!p! C = 10! / (10 – 3)!3! C = 10! / 7!3! C = 10.9.8.7! / 7!3! = 10.9.8 / 3.2.1 = 120 comissões.

VII) Princípio de Dirichlet (ou Princípio da “Casa de Pombos”)

O assunto, embora não mencionado em livros didáticos comuns, aparece com bastante frequência em provas das principais bancas do País. Veja como é simples:

- Imagine uma turma de 20 alunos. Então, podemos ter a certeza de que pelo menos 2 alunos fazem aniversário no mesmo mês. Isso por que há mais alunos do que meses do ano, ou seja, temos 20 alunos e apenas 12 meses no ano. E por que chamamos isso de Princípio da “Casa dos Pombos”? é só comparar : temos 20 pombos e apenas 12 casas. Ao se recolherem, com certeza teremos alguma casa com mais de um pombo, já que temos mais pombos do que casas.

Veja os dois exemplos seguintes, que foram questões de concursos anteriores:

a) (ESAF/MPOG/2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a:

(A) 30 (B) 40 (C) 246 (D) 124 (E) 5

Temos que pensar em uma situação extrema. Vamos admitir que Marcos que seja um sujeito de pouca sorte, isto é, não consegue retirar duas meias de mesma cor com um número pequeno de tentativas. Então, ele começa a retirar as meias. Digamos, por exemplo, que a primeira meia seja preta (poderia ser qualquer uma das outras cores disponíveis). Marcos torce para que a segunda meia retirada também seja preta. Mas como ele é de pouca sorte, a segunda meia retirada é branca, a terceira é azul e a quarta é amarela. Pois bem! Marcos,em 4 tentativas, já retirou uma meia de cada cor: uma preta, uma branca, uma azul e uma amarela. Com certeza, na 5ª tentativa ele vai retirar uma meia de cor igual àquela que ele já possui em mãos. Logo, serão, no mínimo, 5 tentativas para que Marcos tenha certeza de que retirou da gaveta um par de mesma cor.

Gabarito: letra E.

b) (FGV/FNDE/2007) Um saco contém 30 bolinhas brancas, 22 bolinhas vermelhas e 16 bolinhas pretas, todas iguais em tamanho e peso. No escuro, você deve retirar do saco certo número de bolinhas de forma que tenha a certeza de ter, pelo menos, uma bolinha branca. O número mínimo de bolinhas que você deve retirar do saco para ter essa certeza é:

(A) 42 (B) 17 (C) 23 (D) 39 (E) 3Conforme o exemplo anterior, aqui também temos que pensar numa situação extrema. Poderia acontecer de tirarmos uma bolinha branca logo nas primeiras tentativas. Mas disso não temos certeza. Então, na pior das hipóteses, devemos retirar as 22 bolinhas vermelhas e as 16 bolinhas pretas, ou seja, 22 + 16 = 38 bolinhas. Com certeza, como agora só há bolinhas brancas no saco, na 39ª tentativa a bolinha será branca. Logo, o número mínimo de bolinhas

que devemos retirar do saco, para termos certeza de que pelo menos uma é da cor branca é 39.

Gabarito: letra D. QUESTÕES RESOLVIDAS R R1) (FCC/BNB/2002) Apesar de todos caminhos levarem a Roma,eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B?(A) Oito (B) Dez (C) Quinze (D) Dezesseis (E) Vinte

RESOLUÇÃO:Da cidade A para a cidade B existem 3 caminhos, e da cidade B para Roma existem 5 caminhos. Pelo Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo), temos 3.5 = 15 caminhos possíveis.Gabarito: letra C.

R2) (FCC/BAHIAGÁS/2010) Um programa de televisão convida o telespectador a participar de um jogo por telefone em que a pessoa tem que responder SIM ou NÃO em 10 perguntas sobre ortografia. O número máximo de respostas diferentes ao teste que o programa pode receber é:(A) 2048 (B) 1024 (C) 512 (D) 200 (E) 20

RESOLUÇÃO:Veja que, para cada pergunta, existem 2 possibilidades de respostas (“sim” ou “não”). Como são 10 perguntas, pelo Princípio Multiplicativo, o número máximo de respostas diferentes é: 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 210 = 1024. 10 vezesGabarito: letra B.

R3) (FGV/CAERN/2010) Deseja-se criar senhas bancárias de 4 algarismos. Quantas senhas diferentes podem ser criadas de modo que o último dígito seja ímpar e todos os algarismos da senha sejam diferentes?(A) 3600 (B) 3645 (C) 2520 (D) 2240 (E) 2016

RESOLUÇÃO:O último algarismo é fixo, um número ímpar, e todos os algarismos devem ser distintos. Lembre-se de que, de 0 a 9, temos um total de 10 algarismos, onde os ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9.Senhas que terminam em 1: São do tipo abc1, onde para o algarismo a existem 9 possibilidades (excluímos o 1, já que ele está fixo na última posição), para b existem 8 possibilidades e para c existem 7 possibilidades. Veja que fomos diminuindo uma unidade de a para c, pois os algarismos são distintos. Então, pelo Princípio Multiplicativo, o número de senhas de quatro algarismos que terminam em 1 é 9.8.7 = 504. Pelo mesmo raciocínio, concluímos que podemos formar também 504 senhas que terminam em 3, 5, 7 ou 9.Logo, o número total de senhas de algarismos distintos, onde o último algarismo é ímpar, é dado por: 504 + 504 + 504 + 504 + 504 = 2520.Gabarito: letra C.

R4) (CESPE/TRT–RJ/2008) Considerando que as matrículas funcionais dos servidores de um tribunal sejam formadas por 5 algarismos e que o primeiro algarismo de todas a matrículas seja o 1 ou o 2, então a quantidade máxima de matrículas funcionais que poderão ser formadas é igual a:(A) 4. 10³ (B) 1. 104 (C) 2. 104 (D) 2. 105 (E) 3.105

RESOLUÇÃO:As matrículas são do tipo A1 A2 A3 A4 A5 , onde A representa os algarismos de 0 a 9 ( total de 10 algarismos).- Matrículas onde o primeiro algarismos é sempre 1:Fixando A1 = 1, temos para A2, A3, A4 e A5 um total de 10 possibilidades, já que os algarismos podem se repetir. Pelo Princípio Multiplicativo, vem: 10.10.10.10 = 104.- Matrículas onde o primeiro algarismo é 2:Fixando A1 = 2, temos para A2, A3, A4 e A5 um total de 10 possibilidades, já que os algarismos podem se repetir. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, vem: 10.10.10.10 = 104.

Finalmente, somando os resultados obtidos, temos: 104 + 104 = 2. 10 4 maneiras distintas de se formar as matrículas.Gabarito: letra C.

R5) (CESPE/TSE/2007) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a:(A) 26³ . 10. 9. 8(B) 26³ . 10³(C) 26. 25. 24. 10. 9. 8(D) 26. 25. 24. 10³

RESOLUÇÃO:As senhas serão do tipo L1 L2 L3 A1 A2 A3 , onde L representa letras ( total 26) e A representa algarismos (de 0 a 9, total de 10 algarismos). O enunciado diz que as letras NÃO podem ser repetidas, mas podemos repetir os algarismos. Então, para a posição L1 temos 26 possibilidades, para L2 temos 25 e para L3 temos 24. Já que podemos repetir os algarismos, para todas as posições A1 A2 A3 temos 10 possibilidades. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, o número total de senhas distintas é :26.25.24.10.10.10 = 26.25.24.10³.

Obs.: Repare que, para as letras, temos um arranjo simples, sem repetição, de 26 elementos, tomados 3 a 3. Para os algarismos temos um arranjo com repetição de 10 elementos, tomados 3 a 3. Então, poderíamos resolver a questão multiplicando a fórmula do arranjo simples pela do arranjo com repetição. Veja:A simples = n! / (n – p)! = 26! / (26 – 3)! = 26! / 23! = 26.25.24.23!/ 23! = 26.25.24.Arepetição = np = 103.

Multiplicando os resultados, vem: 26.25.24.10³. Gabarito: letra D.

R6) (CESPE/TRT-1ª Região/ 2008) “De acordo com informações apresentadas no endereço eletrônico www.trtrio.gov.br/administrativo, em fevereiro de 2008 havia 16 empresas contratadas para atender à demanda de diversos serviços do TRT/1ª Região, e a quantidade de empregados terceirizados era igual a 681.”

Com base nos dados do texto, a quantidade de maneiras distintas para se formar uma comissão de representantes dos empregados terceirizados, composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário, de modo que nenhum deles possa acumular cargos, é:(A) inferior a 682;(B) superior a 682 e inferior a 104;(C) superior a 104 e inferior a 681×103;(D) superior a 681×103 e inferior a 341×106;(E) superior a 341×106.

RESOLUÇÃO:Para o cargo de presidente temos 681 pessoas disponíveis para escolher, para o cargo de vice-presidente teremos 680 pessoas disponíveis para escolher (pois alguém já foi anteriormente escolhido para presidente) e para o cargo de secretário teremos 679 pessoas disponíveis para escolher. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, são possíveis 681 × 680 × 679 = 314.431.320314 maneiras de formar a comissão. Isso é aproximadamente igual a 314 × 10 6 . Veja que o resultado é superior a 681×10 3 e inferior a 341×10 6 .

Obs.: Aqui a ordem dos elementos dos grupos formados é levada em conta. Daí, poderíamos resolver a questão pela fórmula do arranjo simples, sem repetição, isto é: A = n! /(n – p )!, onde n = 681 e p = 3. Gabarito: letra D.

R7) (CESGRANRIO/IBGE/2010) Pretendemos usar os algarismos 0, 1, 2 e 3 para formar números de três algarismos distintos, como 230, por exemplo. Nesse caso, podemos formar a seguinte quantidade de números maiores que 201:(A) 11 (B) 15 (C) 24 (D) 36 (E) 48

RESOLUÇÃO:Vamos formar números de três algarismos, do tipo abc , onde a representa o algarismo das centenas, b o das dezenas e c o das unidades. O enunciado diz que os números devem ser maiores que 201. Então, o algarismo das centenas só pode ser 2 ou 3, ou seja, 2 possibilidades.Para o algarismo das dezenas, temos 3 possibilidades e para o das unidades temos 2 possibilidades, já que os algarismos devem ser distintos. Pelo Princípio Multiplicativo, temos 2.3.2 - 1 = 11 números maiores que 201. Esse 1 foi descontado pelo fato de que, na contagem anterior, consideramos também o número 201, que pela restrição imposta no enunciado, não pode ser incluído. Gabarito: letra A.

R8) (ESAF/TCU/ 99) A senha para um programa de computador consiste em umasequência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ounão ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeirolugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entreletras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis édado por:(A) 226 310 (B) 26²103 (C) 226 210 (D) 26! 10! (E)C26,2

C10,3

RESOLUÇÃO:Temos 26 letras e 10 algarismos. O enunciado diz que tanto as letras como os algarismos podem ser repetidos, por exemplo, podemos ter uma senha do tipo AA111. Daí, temos que:- para a primeira letra existem 26 possibilidades;- para a segunda letra existem 26 possibilidades;- para o primeiro algarismo existem 10 possibilidades;- para o segundo algarismo existem 10 possibilidades;- para o terceiro algarismo existem 10 possibilidades.Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de diferentes senhas é: 26.26.10.10.10 = 26². 10³.Gabarito: letra B.

R9) (FGV/CODESP/2010) Há seis contêineres diferentes que deverão ser empilhados, três mais pesados embaixo e três mais leves em cima, conforme sugere a figura:

O número de maneiras de se fazer essa arrumação, mantendo os três mais pesados embaixo e os três mais leves em cima é:(A) 18 (B) 6 (C) 9 (D) 36 (E) 72

RESOLUÇÃO:Vamos calcular o número de permutações dos contêineres mais leves para saber quantas arrumações possíveis podemos fazer com eles. P = n! = 3! = 3.2.1 = 6.Façamos o mesmo com os mais pesados. P = n! = 3! = 3.2.1 = 6.Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 6.6 = 36 arrumações possíveis, com os mais leves em cima e os mais pesados embaixo. Gabarito: letra D.

R10) (ESAF/ANEEL/2004) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem formar uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada, de modo que Mário e José fiquem sempre juntos, é igual a:

(A) 2! 8! (B) 0! 18! (C) 2! 9! (D) 1! 9! (E) 1! 8!

RESOLUÇÃO:Como Mário e José devem ficar sempre juntos, vamos considerá-los como uma única pessoa, que junto com as outras 8 devem ser permutadas. Pela fórmula, temos P = n!, onde n =9. Então, P = 9!.Veja também que, em cada uma dessas permutações, Mário e José podem ser permutados entre si de 2! formas, já que Mário pode estar antes ou depois de José.Logo, o número de diferentes formas em que eles aparecem juntos é 2! . 9! .Gabarito: letra C.

R11) (FGV/CAERN/2010) De quantas maneiras diferentes podemos colocar 5 pessoas em fila sendo que Maria, uma dessas 5 pessoas, jamais seja a primeira da fila?(A) 120 (B) 112 (C) 96 (D) 75 (E) 88

RESOLUÇÃO:

Vamos, primeiramente, calcular o número total de permutações das 5 pessoas, onde Maria aparece em qualquer posição. Desse resultado, subtraímos o número de permutações de 4 pessoas (uma das 5, Maria, está fixa no início da fila), onde Maria é a primeira da fila. - Número total de permutações das 5 pessoas:P = n! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120.- Número total de permutações de 4 pessoas, com Maria fixa no início da fila.P = n! = 4! = 4.3.2.1 = 24.Logo, temos 120 – 24 = 96 maneiras diferentes de colocar as 5 pessoas em fila, onde uma (Maria) jamais será a primeira da fila. Gabarito: letra C.

R12) (CESPE/TRE-MG/2009) Considere que um grupo de quatro indivíduos, em que dois deles são irmãos, tenham sido indicados para compor uma lista quádrupla, devendo ser definida a posição dos nomes desses indivíduos na lista. Sabendo que os nomes dos dois irmãos não podem aparecer em posições consecutivas nessa lista, o número de possíveis maneiras de se organizar a referida lista é igual a:(A) 6 (B) 8 (C )12 (D) 14 (E) 24

RESOLUÇÃO:Vamos calcular, primeiramente, o número total de possibilidades em que os 4 indivíduos ocupam essa lista quádrupla, em 4 posições diferentes. Temos um caso de permutação de 4 elementos. Aplicando a fórmula, vem:P = n! = 4! = 4.3.2.1 = 24 possibilidades. Mas o enunciado diz que dois deles, irmãos, não podem aparecer em posições consecutivas na lista. Então, desse total de 24 possibilidades, vamos subtrair o número em que eles aparecem em posições consecutivas. Para calcular esse número, consideremos os dois irmãos como uma única pessoa, fixos e juntos. Então, o total de possibilidades é dado por uma permutação de 3 elementos (agora os dois irmãos constituem um único elemento), ou seja, P = n! = 3! = 3.2.1 = 6. Mas esse resultado deve ser multiplicado por 2, já que os irmãos podem permutarem suas posições (AB ou BA). Logo, o número de possíveis maneiras de se organizar a lista, onde os dois irmãos NÃO aparecem em posições consecutivas (juntos) é: 24 -2.6 = 24 – 12 = 12 possíveis maneiras.

Obs.: Poderíamos simplificar a questão aplicando a fórmula n! – 2(n – 1)!, onde n = 4.

Gabarito: letra C.

R13) (ESAF/MPU/2004) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que:a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados;b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas são, respectivamente,(A) 1112 e 1152 (B) 1152 e 1100 (C) 1152 e 1152 (D) 384 e 1112(E) 112 e 384

RESOLUÇÃO:Item aTemos um total de 8 pessoas, sendo 4 homens e 4 mulheres. Homens e mulheres devem sentar-se em lugares alternados. Veja que temos as seguintes situações:1º) H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4 (a fila começa com um homem na ponta esquerda)2º) M1 H1 M2 H2 M3 H3 M4 H4 (a fila começa com uma mulher na ponta esquerda)

Temos aqui um problema de permutação. Repare que os 4 homens deverão permutar de lugar entre si, o mesmo ocorrendo com as 4 mulheres. Daí, temos: P = n! , onde n = 4. P = 4! = 4.3.2.1 = 24 posições para os homens. P = 4! = 4.3.2.1 = 24 posições para as mulheres.Pelo Princípio Multiplicativo, devemos multiplicar essas possibilidades, ou seja, temos 24 .24 = 576 possibilidades para a 1ª situação e 24.24 = 576 possibilidades para a 2ª situação. Logo, existem 576 + 576 = 1152 diferentes maneiras , onde homens e mulheres sentam-se em lugares alternados.

Item bAgora os homens devem permanecer juntos, o mesmo ocorrendo com as mulheres. Nesse caso, temos as duas situações seguintes:1º) H1 H2 H3 H4 M1 M2 M3 M4 (os homens do lado esquerdo)2º) M1 M2 M3 M4 H1 H2 H3 H4 (as mulheres do lado esquerdo)Temos um outro caso de permutação. Os 4 homens deverão permutar de lugar entre si, o mesmo ocorrendo com as 4 mulheres. Daí, temos: P = n!, onde n = 4.P = 4! = 4.3.2.1 = 24 posições para os homens.P = 4! = 4.3.2.1 = 24 posições para as mulheres. Pelo Princípio Multiplicativo, devemos multiplicar essas possibilidades, ou seja, temos 24.24 = 576 possibilidades para a 1ª situação e 24.24 = 576 possibilidades para a 2ª situação. Logo, existem 576 + 576 = 1152 diferentes maneiras, onde todos os homens sentam-se juntos e todas as mulheres sentam-se juntas.

Obs.: Veja que os resultados são iguais. Para quaisquer outros números de pessoas, teríamos resultados iguais.Gabarito: letra C.

R14) (CESPE/TER–MA/2009) A quantidade de números diferentes que se obtém permutando de todos os modos possíveis os algarismos do número 25.554.252 é igual a:(A) 96 (B) 204 (C) 280 (D) 40.000 (E) 40.320

RESOLUÇÃO:Temos aqui um caso de permutação com elementos repetidos. Temos um total de 8 elementos (2,5,5,5,4,2,5,2) a serem permutados, onde o elemento 2 se repete três vezes e o elemento 5 se repete quatro vezes. Aplicando a fórmula, vem:Prepetição = n! / a!b!, onde n = 8 é o número de elementos a serem permutados, a = 3 e b = 4 são os números de repetições de cada elemento que se repete. Substituindo na fórmula, temos:Prepetição= 8!/3!4! = 8.7.6.5.4! / 3!4! = 8.7.6.5 / 3.2.1 = 280 números diferentes que se obtém, permutando-se todos os algarismos 25.554.252.Gabarito: letra C.

R15) (ESAF/MARE/99) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é:(A) 518.400 (B) 1.440 (C) 720 (D) 120 (E) 54

RESOLUÇÃO:Temos aqui um arranjo de 10 elementos distintos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), tomados 3 a 3, isto é, n=10 e p=3. Veja que, segundo o enunciado, os algarismos que formam as senhas devem ser distintos , ou seja, temos um arranjo sem repetição dos algarismos. Pela fórmula, temos: A = n! / (n – p)! , onde n=10 e p =3.A = 10! / (10 -3)! = 10!/7! = 10.9.8.7!/7! = 720.

Mas repare que são dois cadeados, dois eventos. Logo, o número máximo de tentativas é 720.720 = 518.400.

Obs.: Lembre-se de que as questões de arranjos simples podem ser resolvidas pelo Princípio Fundamental da Contagem. Nesta questão, poderíamos fazer: (10.9.8) . (10.9.8) = 518.400.Gabarito: letra A.

R16) (FCC/BB/2010) Na sala de reuniões de uma empresa há uma mesa de formato retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo. C1 C2 C3

C8 C4

C7 C6 C5

Sabe-se que, certo dia, seis pessoas reuniram-se nessa sala: o Presidente, o Vice-Presidente e 4 Membros da Diretoria. Considerando que o Presidente e o Vice- Presidente sentaram-se nas cabeceiras da mesa, de quantos modos podem ter se acomodado nas cadeiras todas as pessoas que participaram da reunião?(A) 720 (B) 360 (C) 120 (D) 72 (E) 36

RESOLUÇÃO:Os 4 diretores podem se acomodar em 6 cadeiras laterais, já que as cabeceiras pertencem ao presidente e ao vice. Então, para esses diretores temos um arranjo simples de 6 elementos, tomados 4 a 4, ou seja, n =6 e p = 4. Substituindo na fórmula, vem: A = n! /(n – p)! = 6! / (6 – 4)! = 6!/2! = 6.5.4.3.2.1/2 = 360.Mas veja que o presidente e o vice podem permutarem suas posições entre si. Logo, o número de modos que todas as pessoas podem se acomodar é 2.360 = 720 modos. Gabarito: letra A.

R17) (ESAF/MPOG/2005) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:(A) 80 (B) 72 (C) 90 (D) 18 (E) 56

RESOLUÇÃO:Vamos numerar as cadeiras de 1 a 10. Inicialmente veja que cada maneira de eles se sentarem corresponde a um par ordenado do tipo (a, b) onde a e b são números distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e 10. Por exemplo, o par (2, 5) significa que Pedro senta na cadeira 2 e Paulo senta na cadeira 5. O par (5, 2) significa Pedro senta na cadeira 5 e Paulo senta na cadeira 2. Veja que os pares são diferentes, ou seja, (a, b) ≠ (b, a), para quaisquer a e b. Vamos calcular o total desses pares ordenados. Observe que é um arranjo simples, sem repetição, de 10 elementos tomados 2 a 2, ou seja, n = 10 e p = 2. Substituindo na fórmula A = n! / (n – p)! , temos:A = 10! / (10 – 2)! = 10! / 8! = 10.9.8!/8! = 10.9 = 90 pares ordenados.

Veja que o enunciado diz que deve haver ao menos uma cadeira vazia entre eles. Então, devemos excluir os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:(1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5), (6,7), (7,6), (7,8), (8,7), (8,9), (9,8), (9,10), (10,9) = 18 pares. Logo, o número de diferentes formas de Pedro e Paulo se sentarem, havendo ao menos uma cadeira vazia entre eles é 90 – 18 = 72 formas diferentes.Gabarito: letra B.

R18) (ESAF/ANA/2002) O número de duplas que podem ser formadas a partir de 6 jogadores de tênis é:(A) 12 (B) 15 (C) 27 (D) 30 (E) 36

RESOLUÇÃO:Aqui temos um caso de combinação, já que não importa a ordem dos elementos. Formar a dupla {a,b} é o mesmo que formar a dupla { b,a} . Aplicando a fórmula da combinação para n = 6 e p = 2, temos: C = n! / (n – p)!p! = 6! / (6 – 2)!2! = 6! /4!.2! = 6.5.4! /4!.2! = 6.5/2 = 30/2 = 15 duplas.Gabarito: letra B.

R19) (ESAF/AFTN/98) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:(A) 5400 (B) 165 (C) 1650 (D) 5830 (E) 5600

RESOLUÇÃO:Veja que, em uma comissão, não levamos em conta a ordem dos elementos. A comissão formada, por exemplo, por { Maria, Jorge, Carlos } é a mesma que aquela formada por {Carlos, Jorge, Maria } ou qualquer outra que contém esses mesmos três elementos. Então, temos aqui um caso de combinação.Temos 20 funcionários, onde 10 são homens e 10 são mulheres. Queremos formar uma comissão de 5 pessoas, onde 3 pessoas são homens e 2 são mulheres.Vamos dividir em duas partes, ou seja, vamos calcular o número de combinações de cada categoria em separado. Veja:

1º) Número de combinações formadas somente pelos homens:Temos um total de n = 10 homens e vamos formar grupos de p = 3 elementos. Substituindo na fórmula, temos: C = n! / (n – p)!p! = 10! / (10 – 3)!. 3! = 10!/7!.3! = 10.9.8.7!/7!.3! = 10.9.8/3.2 = 10.9.8/6= =720/6 = 120.

2º) Número de combinações formadas somente pelas mulheres:Temos um total de n = 10 mulheres e vamos formar grupos de p = 2 elementos. Substituindo na fórmula, temos: C = n! / (n – p)!p! = 10! / (10 – 2)!.2! = 10! /8!.2! = =10.9.8!/8!.2! = 10.9/2.1 = 90/2 = 45.

Como formamos 120 comissões compostas por 3 homens e 45 comissões compostas por 2 mulheres, pelo Princípio Fundamental da Contagem, podemos formar 120.45 = 5400 comissões formadas por 5 pessoas, com 3 homens e 2 mulheres. Gabarito: letra A.

R20) (CESPE/EMBASA/2009) Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E). Suponha que uma empresa, ao promover um concurso para a escolha de seu novo logotipo, tenha recebido 52 propostas diferentes. Nesse caso, se 5 dessas propostas serão escolhidas como finalistas, a quantidade de possibilidades diferentes para tal escolha será inferior a 2 milhões.

RESOLUÇÃO:Veja que, na escolha das cinco propostas, não importa a ordem dos elementos. Por exemplo, escolher a proposta {a,b,c,d,e} é o mesmo que escolher a proposta {e,d,c,b,a}. Então, temos um caso de combinação de 52 elementos tomados 5 a 5, ou seja, n = 52 e p = 5. Substituindo na fórmula, temos:C = n! / (n – p)!p! = 52! / (52-5)!5! = 52! / 47!.5! = 52.51.50.49.48.47!/47!5! = = 52.51.50.49.48/ 5.4.3.2.1 = 2.598.960 possibilidades. O enunciado afirma que a quantidade de possibilidades é inferior a 2 milhões. Portanto, está ERRADO (E). Gabarito: errado (E).

R21) (ESAF/MPOG/2010) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas diferentes, de modo que na sala A fiquem 4 pacientes, na sala B fiquem 3 pacientes e na sala C fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três diferentes salas, é igual a:(A) 2.440 (B) 5.600 (C) 4.200 (D) 24.000 (E) 42.000

RESOLUÇÃO:Temos um total de 10 pacientes. Vejamos quantos grupos de 4 pacientes podemos ter na sala A, quantos grupos de 3 pacientes podemos ter na sala B e quantos grupos de 3 pacientes podemos ter na sala C. Veja que, em todos esses casos, temos combinações, já que, em cada sala, não importa a ordem em que os elementos são dispostos. Por exemplo, na sala A, o grupo formado por {João, Pedro, Beto, Elias} e o mesmo grupo formado por {Elias, Beto, Pedro, João}. Então, vejamos quantos grupos podemos ter em cada sala:1º) Na sala ATemos aqui 10 elementos distintos e queremos formar grupos de 4 elementos, isto é, temos uma combinação de n = 10 elementos tomados em grupos de p = 4 elementos. Substituindo na fórmula, vem:C = n! / (n – p)!p! = 10! / (10 – 4)!4! = 10! / 6!4! = 10.9.8.7.6! / 6!4! = 10.9.8.7/4.3.2.1 = 210 grupos de 4 elementos (pessoas) que podemos formar para a sala A.2º) Na sala B Temos agora 6 pessoas (já que, do total de 10, temos 4 na sala A) e queremos formar grupos de 3 elementos, ou seja, n = 6 e p = 3. Substituindo na fórmula, vem:C = n! / (n – p)!p! = 6!/(6 – 3)!3! = 6!/3!3! = 6.5.4.3!/3!3! = 6.5.4/3.2.1 = 120/6 = 20 grupos de 3 elementos (pessoas) que podemos formar para a sala B.

3º) Na sala CTemos agora apenas n = 3 pessoas (as outras 7 estão nas salas A e B) e queremos formar grupos de p = 3 pessoas. Substituindo na fórmula, vem: C = n! / (n – p)!p! = 3! / (3- 3)!3! = 3! / 0!.3! = 3!/3! =1 grupo de 3 elementos (pessoas) que podemos formar na sala C.

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo), temos 210.20.1 = 4200 diferentes maneiras de distribuir os dez pacientes nas três diferentes salas. Gabarito: letra C.

R22) (CESPE/TRT–RJ/2008) Caso 5 servidores em atividade e 3 aposentados se ofereçam como voluntários para a realização de um projeto que requeira a constituição de uma comissão formada por 5 dessas pessoas, das quais 3 sejam servidores em atividade e os outros dois, aposentados, então a quantidade de comissões distintas que se poderá formar será igual a:(A) 60 (B) 30 (C) 25 (D) 13 (E) 10

RESOLUÇÃO:Temos 5 servidores em atividade e 3 aposentados. Vamos formar os grupos dos servidores em atividade e depois os grupos dos servidores aposentados. Veja que, nesses grupos, não importa a ordem na escolha. Por exemplo, nos grupos dos aposentados, escolher {Maria, Pedro} é o mesmo que escolher {Pedro Maria}.

1º) Grupos dos servidores em atividade:Como nesses grupos não importa a ordem na escolha, temos combinações de 5 elementos (servidores em atividade) que formam grupos de 3, ou seja, n = 5 e p = 3. Substituindo na fórmula, vem: C = n! / (n – p)!p! = 5! / (5 – 3)!3! = 5! / 2!3! = 5.4.3! / 2!3! = 5.4/2 = 20/2 = 10 grupos de 3 servidores em atividade.

2º) Grupos dos servidores aposentados:Nesses grupos também não importa a ordem na escolha. Então, temos combinações de 3 elementos que formam grupos de 2, ou seja, n = 3 e p = 2. Substituindo na fórmula, vem:C = n! / (n – p)!p! = 3! / (3 – 2)!2! = 3! / 1!2! = 3!/1.2 = 3.2.1/2 = 6/2 = 3 grupos de 2 servidores aposentados.

Logo, pelo Princípio fundamental da Contagem, temos 10.3 = 30 grupos (comissões) distintas de 5 pessoas, das quais 3 são servidores em atividade e 2 aposentados. Gabarito: letra B.

R23) (FUNIVERSA/CEB/2010) A cela da delegacia D1 tem capacidade para abrigar, em caráter provisório, 6 detentos. Na noite em que foram capturados 4 homens e 5 mulheres, 3 dessas pessoas tiveram que ser transportadas para a cela de outra delegacia. De quantas maneiras distintas puderam ser selecionados os 6 que ficariam na D1 se, de acordo com as normas dessa delegacia, o número de homens não pode exceder o número de mulheres naquela cela? (A) 44 (B) 54 (C) 64 (D) 74 (E) 84

RESOLUÇÃO:Temos 4 homens e 5 mulheres. Formaremos grupos de 6 pessoas, de modo que a quantidade de homens não ultrapasse a quantidade de mulheres. Temos aqui um caso de combinação. Podemos formar os grupos das seguintes maneiras:

1º) Grupos de 6 pessoas com 1 homem e 5 mulheres:- Do total de 4 homens disponíveis, vamos calcular o número de combinações dos 4 elementos, tomados 1 a 1, ou seja, n = 4 e p =1. Substituindo na fórmula, vem: C = n! / (n – p)!p! = 4! / (4 – 1)!.1! = 4! / 3!.1! = 4.3! /3!.1 = 4 grupos de 1 homem.

- Do total de 5 mulheres disponíveis, vamos calcular o número de combinações dos 5 elementos, tomados 5 a 5, ou seja, n = 5 e p = 5. Substituindo na fórmula, vem: C = n! / (n – p)!p! = 5! / (5 – 5)!5! = 5! / 0!.5! = 5! /5! = 1 grupo de 5 mulheres.Então, temos 4 grupos de 1 homem e 1 grupo de 5 mulheres. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, temos um total de 4. 1 = 4 grupos com 1 homem e 5 mulheres.

2º) Grupos de 6 pessoas com 2 homens e 4 mulheres:- Do total de 4 homens disponíveis, vamos calcular o número de combinações dos 4 elementos, tomados 2 a 2, ou seja, n = 4 e p = 2. Substituindo na fórmula, vem: C = n! / (n – p)!p! = 4! / (4 – 2)!.2! = 4! / 2!2! = 4.3.2.1 / 2.2 = 24 /4 = 6 grupos de 2 homens. - Do total de 5 mulheres disponíveis, vamos calcular o número de combinações dos 5 elementos, tomados 4 a 4, ou seja, n = 5 e p = 4. Substituindo na fórmula, vem: C = n! / (n – p)!p! = 5! / (5 – 4)!4! = 5!/1!4! = 5.4! / 1.4! = 5.4! / 4! = 5 grupos de 4 mulheres.Então, temos 6 grupos de 2 homens e 5 grupos de 4 mulheres. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, temos 6.5 = 30 grupos com 2 homens e 4 mulheres.

3º) Grupos de 6 pessoas com 3 homens e 3 mulheres:- Do total de 4 homens disponíveis, vamos calcular o número de combinações dos 4 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, n = 4 e p = 3. Substituindo na fórmula, temos: C = n! / (n – p)!p! = 4! / (4 – 3)!3! = 4!/1!3! = 4.3! /1.3! = 4 grupos de 3 homens.- Do total de 5 mulheres disponíveis, vamos calcular o número de combinações dos 5 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, n = 5 e p = 3. Substituindo na fórmula, vem:C = n! / (n – p)!p! = 5! / (5 – 3)!3! = 5! /2!3! = 5.4.3! / 2.3! = 20/2 = 10 grupos de 3 mulheres.Então, temos 4 grupos de 3 homens e 10 grupos de 3 mulheres. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, temos 4.10 = 40 grupos de 3 homens e 3 mulheres.

Somando todas as possibilidades possíveis, temos 4+30+40 = 74 maneiras distintas de formar grupo de 6 pessoas, onde o número de homens não ultrapassa o de mulheres.Gabarito: letra D.

R24) (CESPE/TRE–MG/2009) Considere a situação hipotética em que o Presidente do Tribunal Regional Eleitoral (TRE) de determinada região pretenda constituir uma comissão de seis pessoas, da qual devam participar pelo menos duas mulheres. A comissão deve ser composta por técnicos judiciários de um quadro efetivo de doze servidores lotados na sede desse tribunal, dos quais cinco são mulheres. Nessa situação, se N for o número de diferentes comissões que podem ser constituídas de acordo com essas informações, é correto afirmar que:(A) N < 200(B) 200 ≤ N < 330(C) 330 ≤ N < 580(D) 580 ≤ N < 840(E) N ≥ 840

RESOLUÇÃO:Veja que a questão é semelhante à anterior. Usaremos o mesmo raciocínio.Do total de 12 servidores lotados na sede do tribunal, temos 5 mulheres e 7 homens. Queremos formar comissões de 6 pessoas, onde pelo menos duas são mulheres. Então, vamos por parte:

1º) Comissões de 6 pessoas, onde o número de mulheres é 2 e o de homens é 4:- Do total de 5 mulheres disponíveis, vamos formar grupos onde os 5 elementos (mulheres) são tomados 2 a 2, ou seja, n = 5 e p = 2. Aplicando a fórmula, temos: C = n! / (n – p)!p! = 5! / (5 – 2)!2! = 5! / 3!2! =5.4.3!/3!.2! = 5.4/2 = 20/2 = 10 grupos de duas mulheres.

- Do total de 7 homens disponíveis, vamos formar grupos onde os 7 elementos (homens) são tomados 4 a 4, ou seja, n = 7 e p = 4. Aplicando a fórmula, temos: C = n! / (n – p)!p! = 7! / (7 – 4)!4! = 7! / 3!4! = 7.6.5.4! / 3!4! = 7.6.5/3.2.1 = 210/6 = 35 grupos de 4 homens.Então, temos 10 grupos de duas mulheres e 35 grupos de 4 homens. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, temos 10.35 = 350 comissões de 6 pessoas, onde duas são mulheres e 4 são homens.

2º) Comissões de 6 pessoas, onde o número de mulheres é 3 e o de homens é 3:- Do total de 5 mulheres disponíveis, vamos formar grupos onde os 5 elementos (mulheres) são tomados 3 a 3, ou seja, n = 5 e p = 3. Aplicando a fórmula, temos: C = n! / (n – p)!p! = 5! / (5 – 3)!3! = 5! /2!3! = 5.4.3!/2!3! = 5.4/2 = 20/2 = 10 grupos de 3 mulheres.- Do total de 7 homens disponíveis, vamos formar grupos onde os 7 elementos (homens) são tomados 3 a 3, ou seja, n = 7 e p = 3. Aplicando a fórmula, temos:C = n! / (n – p)!p! = 7! / (7 – 3)!3! = 7! / 4!3! = 7.6.5.4!/4!3! = 7.6.5/3.2.1 = 35 grupos de 3 homens.Então, temos 10 grupos de 3 mulheres e 35 grupos de 3 homens. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 10.35 = 350 comissões de 6 pessoas, onde 3 são mulheres e 3 são homens. 3º) Comissões de 6 pessoas, onde o número de mulheres é 4 e o de homens é 2:- Do total de 5 mulheres disponíveis, vamos formar grupos onde os 5 elementos (mulheres) são tomados 4 a 4, ou seja, n = 5 e p = 4. Aplicando a fórmula, temos: C = n! / (n – p)!p! = 5! /(5 -4)!4! = 5! / 1!4! = 5.4!/1.4! = 5 grupos de 4 mulheres.- Do total de 7 homens disponíveis, vamos formar grupos onde os 7 elementos (homens) são tomados 2 a 2, ou seja, n = 7 e p = 2. Aplicando a fórmula, temos: C = n! / (n – p)!p! = 7! / (7 – 2)!2! = 7! / 5!.2 = 7.6.5! / 5!.2 = 7.6/2 = 42/2 = 21 grupos de 2 homens.Então, temos 5 grupos de 4 mulheres e 21 grupos de 2 homens. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 5.21 = 105 comissões de 6 pessoas, onde 4 são mulheres e 2 são homens.

4º) Comissões de 6 pessoas, onde o número de mulheres é 5 e apenas 1 homem:- Do total de 5 mulheres disponíveis, vamos formar grupos onde os 5 elementos (mulheres) são tomados 5 a 5, ou seja, n = 5 e p = 5. Aplicando a fórmula, temos:C = n! / (n – p)!p! = 5! / (5 – 5)!5! = 5! / 0!5! = 5! /5! = 1 grupo de 5 mulheres.- Do total de 7 homens disponíveis, vamos formar grupos onde os 7 elementos (homens) são tomados 1 a 1, ou seja, n = 7 e p = 1. Aplicando a fórmula, temos:C = n! / (n – p)!p! = 7! /(7 -1)!1! = 7! /6!.1 = 7.6! / 6! = 7 grupos de apenas 1 homem. Então, temos 1 grupo de 5 mulheres e 7 grupos de apenas 1 homem. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 1.7 = 7 comissões de 6 pessoas, onde 5 são mulheres e 1 é homem.

Veja que não podemos formar comissões de 6 mulheres, já que existem apenas 5 delas.Finalmente, somando todas as possibilidades possíveis, temos N =350 + 350 + 105 + 7 = 812 diferentes comissões de 6 pessoas, onde pelo menos duas são mulheres.Repare que o número N está no intervalo 580 ≤ N < 840.Gabarito: letra D.

(CESPE/MDS/2009) Com relação aos princípios e técnicas de contagem, julgue os itens 25 a 27 em certo(C) ou errado(E).

R25) (CESPE/MDS/2009) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4

tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo.

RESOLUÇÃO:Temos 3 tipos diferentes de prato, 4 tipos diferentes de bebida e 4 tipos diferentes de sobremesa. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, podemos montar um jantar completo de 3.4.4 = 48 formas distintas. O enunciado afirma que são 11 formas distintas. Portanto, está errado(E). Gabarito: errado(E).

R26) (CESPE/ABIN/2010) Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado órgão tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos referentes a cidades da região Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região Sul, 2 da região Centro-Oeste e 1 da região Sudeste, de modo que processos de regiões distintas fiquem em prateleiras distintas, então esse servidor terá 17.280 maneiras distintas para organizar esses processos.

RESOLUÇÃO:Temos 5 regiões e 5 prateleiras. Vamos o número de permutações dessas n = 5 regiões nas prateleiras. Então, P = n! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 arrumações. Mas veja que, em cada prateleira, podemos ter as seguintes arrumações de processos distintos:- região Nordeste: 3.2.1 = 6 - região Norte: 3.2.1 = 6 - região Sul: 2.1 = 2 - região Centro-Oeste: 2.1 = 2 - região Sudeste: 1.

Multiplicando todas as possibilidades, temos: 6.6.2.2.1 = 144. Logo, o número de maneiras distintas de se organizar esses processos é: 120.144 = 17.280 maneiras. O item está, portanto, certo(C). Gabarito: certo(C).

R27) (CESPE/ABIN/2010) Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio de carro, por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que, dado o caráter sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade, os agentes que participarão dessa operação devam chegar à referida cidade de maneira independente, em veículos distintos. Em face dessa situação, sabendo-se que o órgão de inteligência dispõe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia, é correto afirmar que o número de maneiras de o servidor responsável pela organização das viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para essa missão é inferior a 50.

RESOLUÇÃO:Temos 1 carro, 5 ônibus e 2 barcos, onde todos são veículos distintos entre si. O número de maneiras de escolher os veículos é uma combinação, já que a ordem na escolha dos veículos não importa. Por exemplo, escolher {carro, ônibus cinza, barco azul} é o mesmo que escolher {barco azul, carro, ônibus cinza}. Então, temos combinações de n = 8 elementos, tomados em grupos de p= 3 elementos. Aplicando a fórmula, vem:C = n! /(n – p)!p! = 8! /(8 – 3)!3! = 8!/5!3! = 8.7.6.5!/5!3! = 8.7.6/3.2.1 = 56 maneiras de escolher os veículos. Como 56 NÃO é inferior a 50, o item está errado(E). Gabarito: errado(E).

Considere que, em um órgão de inteligência, o responsável por determinado setor disponha de 20 agentes, sendo 5 especialistas em técnicas de entrevista, 8 especialistas em reconhecimento operacional e 7 especialistas em técnicas de levantamento de informações, todos com bom desempenho na tarefa de acompanhamento de investigado. A partir dessas informações, julgue os itens de 28 a 30.

R28) (CESPE/ABIN/2010) Se, para cumprir determinada missão, for necessário fazer, simultaneamente, reconhecimento operacional em 3 locais diferentes, então o responsável pelo setor terá 340 maneiras distintas de compor uma equipe da qual façam parte 3 agentes especialistas para essa missão, sendo um especialista para cada local.

RESOLUÇÃO:Temos um total de 8 especialistas em reconhecimento operacional. Temos 3 locais diferentes e, para cada local, devemos ter um especialista diferente. Veja que aqui a ordem é levada em conta. Então, temos um arranjo simples, sem repetição, de 8 elementos distintos, tomados 3 a 3, isto é, n = 8 e p = 3. Aplicando a fórmula, vem:A = n! /(n – p)! = 8!/(8 – 3)! = 8!/5! = 8.7.6.5!/5! = 336 maneiras distintas. Como enunciado afirma que são 340 maneiras distintas, o item está errado(E). Gabarito: errado(E).

R29) (CESPE/ABIN/2010) Considere que uma das técnicas de acompanhamento de investigado que se desloque por uma rua retilínea consista em manter um agente no mesmo lado da via que o investigado, alguns metros atrás deste, e dois outros agentes do lado oposto da rua, um caminhando exatamente ao lado do investigado e outro, alguns metros atrás. Nessa situação, há 10 maneiras distintas de 3 agentes previamente escolhidos se organizarem durante uma missão de acompanhamento em que seja utilizada essa técnica.

RESOLUÇÃO:Temos n = 3 agentes que podem permutar suas sua posições entre si. Aplicando a fórmula da permutação, vem: P = n! = 3.2.1 = 6 maneiras distintas de os três agentes se organizarem. O enunciado afirma que são 10 maneiras. Portanto, está errado(E). Gabarito: errado(E).

R30) (CESPE/ABIN/2010) Há mais de 270 maneiras distintas de o responsável pelo setor organizar uma equipe composta por 1 especialista em entrevista, 1 em reconhecimento operacional e 1 em levantamento de informações, para determinada missão.

RESOLUÇÃO:Temos um total de 5 especialistas em entrevista, 8 em reconhecimento operacional e 7 em levantamento de informações. Queremos formar grupos de 3 elementos distintos, onde cada elemento é um tipo de especialista. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, vem:

5.8.7 = 280 maneiras distintas. O item está, portanto, correto(C), já que o enunciado afirma que há MAIS de 270 maneiras distintas. Gabarito: certo(E).

R31) (FGV/FNDE/2007) Em um baú há 15 lenços brancos, 25 vermelhos e 12 pretos. O número mínimo de lenços que devem ser retirados do baú para que se possa garantirque, entre os lenços retirados, haja pelo menos quatro da mesma cor é:

(A) 44 (B) 10 (C) 12 (D) 4 (E) 45

RESOLUÇÃO:Aqui temos uma questão onde usaremos o Princípio da “Casa dos Pombos”. Assim, devemos usar uma situação extrema, não contando com a sorte, ou seja, nas primeiras retiradas já obter 4 lenços da mesma cor. Devemos ter certeza!Então, numa situação extrema, de pouca sorte, retiramos 3 lenços brancos, 3 vermelhos e 3 pretos, num total de 9 lenços, e ainda não temos 4 lenços da mesma cor. Mas, com certeza, na próxima retirada, teremos um lenço branco, vermelho ou preto, obtendo, assim, 4 lenços de mesma cor. Logo, o número mínimo de lenços que devem ser retirados para se garantir que haja pelo menos 4 de mesma cor é 9 + 1 = 10. Gabarito: letra B.

32) (CETRO/PREF. RIO CLARO/2006) Em um concurso público, dentre os 60 candidatos de uma sala de provas, 56 são casados. Levando em consideração que asúnicas respostas à pergunta: "estado civil", são, "casado" ou "solteiro", qual o númeromínimo de candidatos dessa sala a que deveríamos fazer essa pergunta para obtermos, com certeza, dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo de casados?

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9

RESOLUÇÃO:Outra questão onde usaremos o Princípio da “Casa dos Pombos”. Vamos raciocinar em uma situação extrema. Na pior das hipóteses, imagine que perguntamos à primeira pessoa o seu estado civil e ela responde “casado”. Seria muita sorte se a segunda também respondesse “casado”. Mas não é o nosso caso, pois queremos ter certeza! Então, na pior das hipóteses, a segunda responde “solteira”. Pois bem! Já perguntamos a duas pessoas e elas responderam “solteiro” e “casado”. Na próxima pergunta, com certeza, uma vai responder “solteiro” ou “casado”. Logo, com 3 perguntas teremos dois representantes do grupo dos “solteiros” ou do grupo dos “casados”. Gabarito: letra B.

QUESTÕES PROPOSTAS

01. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2008) Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos distintos?

(A) 256 (B) 288 (C) 320 (D) 328 (E) 360

02. (ESAF/MRE/2002) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:

(A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 46 (E) 48

03. (FUNCAB/DETRAN-PE/2010) Um Analista de Trânsito do DETRAN, apaixonado por matemática, descobriu que os números naturais são chamados de palíndromos se seus algarismos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo número. Por exemplo, 5, 33, 171, 9779 são palíndromos. Então ele utilizou esses conhecimentos para descobrir o número de placas licenciadas de automóveis com 3 letras e 4 algarismos que possuem 3 vogais distintas e números palíndromos ímpares, de 4 algarismos. O número de placas com 3 vogais distintas e números palíndromos ímpares de 4 algarismos que ele encontrou foi:

(A)1250 (B) 1500 (C) 3000 (D) 6000 (E)1200

04. (ESAF/MPU/2004) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a:(A) 20 (B) 30 (C) 24 (D) 120 (E) 360

05. (CESPE/TRE-MG/2009) Se, no departamento de recursos humanos de uma empresa em que trabalhem 5 homens e 4 mulheres, for preciso formar, com essa equipe, comissões de 4 pessoas com pelo menos 2 homens, a quantidade de comissões diferentes que poderão ser formadas será:

(A) superior ou igual a 200;

(B) superior ou igual a 170 e inferior a 200;

(C) superior ou igual a 140 e inferior a 170;

(D) superior ou igual a 110 e inferior a 140;

(E) inferior a 110.

06. (ESAF/AFRF/2009) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

(A) 72 (B) 36 (C) 216 (D) 720 (E) 360

07. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2008) Um sistema legado utiliza uma senha alfanumérica de 4 posições, onde só são permitidos dígitos de 0 a 9 e caracteresalfabéticos maiúsculos de A a Z (incluindo as letras K, W e Y). Uma senha válida deve ter exatamente 4 caracteres, conter pelo menos um caracter alfabético, e não pode conter ou ser igual ao login do usuário.Acrescentando ao sistema a restrição de que a senha não deve conter caracteres repetidos, quantas senhas válidas diferentes são possíveis para o usuário cujo login é NINA?

(A) 1.021.020 (B) 1.215.440 (C) 1.217.440 (D) 1.408.680 (E)1.413.720

08. (CESPE/TRE–MA/2009) A autenticação dos usuários da rede local de computadores do TRE de determinada região é feita por senhas alfanuméricas compostas de 8 caracteres: os 3 primeiros são letras do alfabeto e os 5 últimos são algarismos, que não podem ser repetidos. Para determinado conjunto de usuários, o administrador dessa rede disponibilizou as letras A, B, C, D e E e os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 para a composição de suas senhas. Nessa situação, a quantidade de possíveis senhas disponíveis para os membros desse conjunto de usuários é igual a:

(A) 31 (B) 45 (C) 210 (D) 315.000 (E) 848.925

09. (CESPE/TRE–MA/2009) Uma cerimônia será realizada em um auditório e as dez cadeiras da primeira fila serão ocupadas por dez autoridades convidadas que confirmaram suas presenças. Por ordem de chegada, o primeiro convidado poderá ocupar qualquer uma das dez cadeiras e cada um dos outros, ao sentar-se, deverá ocupar uma cadeira ao lado de algum convidado já sentado. Nessa situação, o número de modos possíveis de esses convidados ocuparem os dez lugares na primeira fila é igual a:

(A) 512 (B) 1.024 (C) 2.400 (D) 4.800 (E) 5.120

10. (CESPE/TRE–MT/2010) Considere que uma câmara municipal seja composta por 24 vereadores, que são ligados a partidos políticos conforme mostra a tabela a seguir.

PARTIDO Nº DE VER.

A 7

B 6

C 5

D 4

E 2

O prefeito desse município, filiado ao partido A, conta com o apoio de todos os vereadores de seu partido; os vereadores do partido C apoiam o prefeito; os partidos B, D e E são de oposição, e todos os vereadores do partido D foram reeleitos. Tendo como referência essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

I. A negação da proposição "Todos os vereadores do partido D foram reeleitos" é "Nenhum vereador do partido D foi reeleito".

II. A quantidade de comissões distintas constituídas de 10 vereadores, de modo que todos os partidos tenham o mesmo número de representantes, é igual a 18.900.

III. A quantidade de comissões distintas formadas por um presidente, um vice-presidente e um secretário-geral, de partidos diferentes, e cujos membros sejam escolhidos apenas entre os partidos A, B e C, é igual a 210.

IV. Se um anagrama de uma palavra é uma permutação de suas letras, então a quantidade de anagramas da palavra PARTIDO é igual à quantidade de anagramas da palavra POLÍTICO que começam por vogal. Estão certos apenas os itens:

(A) I e II;

(B) I e III;

(C) II e III;

(D) III e V;

(E) IV e V.

11. (CESGRANRIO/BB/2010) Uma loja vende barras de chocolate de diversos sabores. Em uma promoção, era possível comprar três barras de chocolate com desconto, desde que estas fossem dos sabores ao leite, amargo, branco ou com amêndoas, repetidos ou não. Assim, um cliente que comprar as três barras na promoção poderá escolher os sabores de n modos distintos, sendo n igual a:

(A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10 (E) 4

12. (CESGRANRIO/BB/2010) João, Pedro, Celso, Raul e Marcos foram aprovados em um concurso. Cada um trabalhará em uma unidade diferente da empresa: P, Q, R, S ou T. Considerando que João já foi designado para trabalhar na unidade P, de quantos modos distintos é possível distribuir os demais aprovados pelas unidades restantes?

(A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 90 (E) 120

13. (CESGRANRIO/BB/2010) Uma artesã de bijuterias fabrica um colar de contas no qual utiliza 16 contas pequenas e duas contas grandes. Os critérios que ela utiliza para montar cada colar são os seguintes:●as contas pequenas são todas da mesma cor;●contas grandes devem ter cores diferentes;●se as contas pequenas forem da cor "x", nenhuma conta grande pode ser da cor "x".Sabendo-se que a artesã dispõe de contas pequenas brancas, pretas, azuis e laranjas e de contas grandes brancas, vermelhas, verdes, azuis e rosas, de quantos modos distintos ela pode escolher as cores das contas que irão compor um colar?

(A) 28 (B) 30 (C) 32 (D) 40 (E) 42

14. (CESPE/TRE–MG/2009) Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma refeição consiste em uma salada - entre salada verde, salpicão e mista -, um prato principal - cujas opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com arroz ou massa italiana - e uma sobremesa - doce de

leite ou pudim -, a quantidade n de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente será:

(A) 9 (B) 30 (C) 24 (D) 25 (E) 40

15. (ACEP/BNB/2006) Recomenda-se que, em um período de 24 meses, um dado terreno deva ser cultivado em sistema de rodízio por plantações de milho, arroz e feijão, sem repetição, em períodos de 6 meses. Seguindo estas instruções, um agricultor decide iniciar o plantio em seus três terrenos das três culturas, de forma que as três sejam cultivadas, simultaneamente, uma em cada terreno. Quantas possibilidades de cultivo este agricultor teria ao cabo de 24 meses?

(A) 9 (B) 16 (C) 18 (D) 24 (E) 48

16. (FCC/TRT–RS/2006) Astolfo pretendia telefonar para um amigo, mas não conseguia se lembrar por inteiro do número de seu telefone; lembrava-se apenas do prefixo (constituído pelos quatro algarismos da esquerda) e de que os outros quatro algarismos formavam um número divisível por 15. Ligou para sua namorada que lhe deu a seguinte informação: "lembro-me apenas de dois dos algarismos do número que você quer: o das dezenas, que é 3, e o das centenas, que é 4". Com base no que ele já sabia e na informação dada pela namorada, o total de possibilidades para descobrir o número do telefone de seu amigo é:

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

17. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2006) Uma mesa redonda apresenta lugares para 7 computadores. De quantos modos podemos arrumar os 7 computadores na mesa de modo que dois deles, previamente determinados, não fiquem juntos, considerando equivalentes disposições que possam coincidir por rotação?

(A) 120 (B) 240 (C) 480 (D) 720 (E) 840

18. (CESGRANRIO/ANP/2008) O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de seis dezenas de um conjunto de sessenta possíveis (01, 02, 03,..., 59, 60). A aposta mínima é feita escolhendo-se seis dessas dezenas. José pensou em oito dezenas diferentes, e resolveu fazer o maior número de apostas mínimas, combinando as oito dezenas escolhidas de todas as maneiras possíveis. Quantas apostas fez José?

(A) 28 (B) 48 (C) 56 (D) 98 (E) 102

19. (CESPE/SAD–PE/2010) “No item Galeria de Secretários do portal da Secretaria de Administração do Governo do Estado de Pernambuco (www2.sad.pe.gov.br), há registro de 27 nomes de secretários que dirigiram a secretaria desde 6/1960 até 12/2006.”

Considerando-se que se queira formar um conjunto com 7 nomes escolhidos entre os 19 nomes de secretários que dirigiram a secretaria no período de 6/1960 a 3/1990 e entre os 8 nomes que dirigiram a secretaria no período de 4/1990 a 12/2006, a quantidade de maneiras distintas para se selecionar esse conjunto de modo que contenha exatamente um nome de secretário do primeiro período especificado é igual a :

(A) 19 (B) 28 (C) 47 (D) 114 (E) 532

20. (FGV/CAERN/2010) Num curso de pós-graduação, Marcos, Nélson, Osmar e Pedro são candidatos a representantes da turma da qual fazem parte. Serão escolhidas duas dessas quatro pessoas: uma para representante e a outra para ser o auxiliar desse representante. Quantas duplas diferentes de representante e auxiliar podem ser formadas?

A) 24 (B) 18 (C) 16 (D) 12 (E) 6

21. (ESAF/MTE/2010) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher?

A) 192 (B) 36 (C) 96 (D) 48 (E) 60

22. (ESAF/MTE/2006) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a:

A) 120 (B) 1220 (C) 870 (D) 760 (E) 1120

23. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Uma tabela verdade de proposições é construída a partir do número de seus componentes. Quantas combinações possíveis terá a tabela verdade da proposição composta "O dia está bonito então vou passear se e somente se o pneu do carro estiver cheio."?

A) 1 (B) 3 (C) 6 (D) 8 (E) 1120

24. (ESAF/SFC/2005) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças.Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelomenos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podemser escolhidas é igual a:

(A) 286 (B) 371 (C) 756 (D) 752 (E) 468

25. (ESAF/ANEEL/2006) Em um plano, são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentestriângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 25 pontos é iguala:(A) 2.180 (B) 1.180 (C) 2.350 (D) 2.250 (E)3.280

26. (ESAF/MTE/98) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a:

(A) 2 (B) 4 (C) 24 (D) 48 (E) 120

27. (ESAF/MPOG/2000) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é igual a:

(A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 36 (E) 48

28. (ESAF/TCE-PI/2002) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por:

(A) 5.400 (B) 6.200 (C) 6.800 (D) 7.200 (E) 7.800

29. (ACAFE/MPE-SC/2004) Seis pessoas, entre elas Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria, onde José não é o presidente, será:

(A) 120 (B) 360 (C) 60 (D) 150 (E) 300

30. (ESAF/AFRE-MG/2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

(A) 420 (B) 480 (C) 360 (D) 240 (E) 60

31. (CESGRANRIO/PROMIMP/2008) Em uma ambulância da Defesa Civil há sempre exatamente 3 bombeiros: um sargento e dois cabos. Se no quadro de bombeiros disponíveis há exatamente 3 sargentos e 4 cabos, quantas equipes diferentes podem ser formadas?

(A) 7 (B) 9 (C) 12 (D) 18 (E) 36

32. (ESAF/STN/2002) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por zero. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que, em todas as farmácias, os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não têm dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias é igual a:

(A) 540 (B) 720 (C) 684 (D) 648 (E) 842

33. (ESAF/ANEEL/2006) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com amesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para aclassificação dos 3 primeiros lugares é igual a:

(A) 24.360 (B) 25.240 (C) 24.460 (D) 4.060 (E) 4.650

34. (FUNRIO/INSS/2009) Quantos números inteiros, cujos algarismos são todosímpares e distintos, existem entre 300 e 900?

(A) 24 (B) 27 (C) 48 (D) 36 (E) 64

35. (FUNRIO/FURP/2010) Um “hacker” descobriu os seis algarismos de uma senha, mas não a posição desses algarismos na senha. Ele então desenvolveu um programa de computador para testar combinações distintas desses algarismos até obter o acesso ao sistema pretendido. Com este procedimento, o “hacker” conseguiu descobrir a senha após testar 10% de todas as possibilidades. Sabendo-se que a senha é formada por algarismos distintos, a quantidade de tentativas mal sucedidas realizadas pelo “hacker” foi:

(A) 50 (B) 58 (C) 65 (D) 77 (E)71

36. (FUNRIO/SUFRAMA/2008) O número de anagramas da palavra CHUMBO quecomeçam pela letra C é:

(A) 120 (B) 140 (C) 160 (D) 180 (E) 200

37. (ESAF/ANEEL/2006) Um grupo de amigos formado por três meninos -entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compramingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema.Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmopacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porquequerem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninasquerem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essasinformações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se éigual a:

(A) 1920 (B) 1152 (C) 960 (D) 540 (E) 860

38. (CETRO/EBDA/2006) Sobre uma circunferência marcam-se oito pontos diferentes. O total de triângulos distintos que podem ser formados com vértices nesses pontos é:

(A) 56 (B) 24 (C) 12 (D) 336 (E) 28

39. (CETRO/PREF. EMBU/CETRO) Com seis tipos de doce e cinco tipos de fruta, quantos pratos podem ser formados, tendo, cada um, dois tipos de doce e dois tipos de fruta?

(A) 300 (B) 150 (C) 75 (D) 50 (E) 25

40. (CETRO/EBDA/ 2006) Um hospital tem três médicos e cinco enfermeiras. Quantas equipes de plantões com cinco profissionais podem ser formadas contendo no mínimo um médico?

(A) 15 (B) 20 (C) 40 (D) 45 (E) 55

41. (ESAF/CGU/2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões?

(A) 3003 (B) 2980 (C) 2800 (D) 3006 (E) 3005

42. (ESAF/SRF/ 2009) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares,ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes setepontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número deretas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:(A) 16 (B) 28 (C) 15 (D) 24 (E) 32

43. (ESAF/MPOG/2005) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em umasala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio deMatemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo númerode moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; asmoças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a:

(A) 10 (B) 14 (C) 20 (D) 25 (E) 45

44. (ESAF/ANEEL/2004) Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, demodo que três delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para aseleção, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, decada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança quepodem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a

(A) 85 (B) 220 (C) 210 (D) 120 (E) 150

45. (ESAF/SFC/2000) Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos,então o número de elementos de X é igual a:

(A) 10 (B) 20 (C) 35 (D) 45 (E) 90

46. (ESAF/SFC/2000) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos.Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. Onúmero total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é:

(A) 128 (B) 495 (C) 545 (D) 1.485 (E) 11.880

47. (ESAF/CGU/2008) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um

excêntrico cliente. Ele ─ o cliente ─ exige que uma das paredes do quarto de suafilha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de coresdiferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 coresdisponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada éigual a:

(A) 56 (B) 5760 (C) 6720 (D) 3600 (E) 4320

48. (ESAF/STN/2008) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todosdevidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pedeemprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:

(A) 681384 (B) 382426 (C) 43262 (D) 7488 (E) 2120

49. (FUNRIO/FURNAS/2009) O Conselho Diretor de uma empresa é composto por n diretores, além do Presidente. Com os membros do Conselho Diretor podem ser formadas C comissões de 4 elementos, todas contando com a participação do Presidente. Se, no entanto, a presença do Presidente não for obrigatória, podendo participar ou não, 2C comissões poderão ser formadas. O número de membros do Conselho Diretor é:

(A) 11 (B) 10 (C) 8 (D) 12 (E) 9

50. (CESGRANRIO/INSS/2005) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma sequência de 5 símbolos distintos, formada de 2 letras e 3 algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da sequência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é:

(A) 115 (B) 120 (C) 150 (D) 200 (E) 249

51. (CESGRANRIO/PREF.-MANAUS/2005) Um hospital tem 4 elevadores para os visitantes. De quantas maneiras, sem repetição, uma pessoa pode entrar e sair de uma visita a um paciente internado no 5º andar deste hospital, se usar um elevador diferente daquele no qual subiu?

(A) 16 (B) 12 (C) 10 (D) 8 (E) 7

52. (CESGRANRIO/OFIC.DILIG.-RO/2005) A senha de certo cadeado é formado por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em, no máximo, n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a:

(A) 9 (B) 15 (C) 20 (D) 24 (E) 30

53. (CESGRANRIO/PREF.-MANAUS/2005) Seis tijolos, cada um de uma cor, devem ser empilhados.De quantos modos isso pode ser feito, se o amarelo deve ser sempre o primeiro da pilha?

(A) 20 (B) 60 (C) 80 (D) 100 (E) 120

54. (CESGRANRIO/ANP/2005) Certo campeonato estadual de futebol será realizado com 14 clubes, divididos em dois grupos iguais. Dentro de cada grupo, todos os times se enfrentarão uma única vez. Em seguida, serão realizadas as partidas semifinais, quando o primeiro colocado de cada grupo enfrentará o segundo colocado do outro. A final será realizada com os vencedores desses dois jogos. No total, quantos jogos serão realizados nesse campeonato?

(A) 87 (B) 84 (C) 65 (D) 45 (E) 42

55. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2005) Um restaurante oferece 5 ingredientes para que o cliente escolha no mínimo 2 e no máximo 4 para serem acrescentados à salada verde. Seguindo esse critério, de quantos modos um cliente pode escolher os ingredientes que serão acrescentados em sua salada?

(A) 25 (B) 30 (C) 36 (D) 42 (E) 50 56. (ESAF/GEFAZ-MG/2005) Marcela e Mário fazem parte de uma turma de 15 formandos, onde 10 são rapazes e 5 são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por 6 formandos, 3 rapazes e 3 moças. O número de diferentes comissões que podem ser formadas, de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a:

(A) 504 (B) 252 (C) 284 (D) 90 (E) 84

57. (ESAF/SFC/2002) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:

(A) 8 (B) 28 (C) 40 (D) 60 (E) 84

58. (NCE/CVM/2005/) Os produtos de uma empresa são armazenados no computador com um código de 4 letras maiúsculas seguidas por 5 algarismos. Esse sistema será modificado para permitir letras maiúsculas e minúsculas. Após essa modificação, o número total de códigos será multiplicado por:

(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16 (E) 20

59. (FCC/BACEN/2005) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de 4 algarismos distintos entre 1.000 e 9.999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a:

(A) 936 (B) 896 (C) 784 (D) 768 (E) 728

60. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2005) João lançou dois dados perfeitos e, sem que seu irmão visse o resultado, pediu-lhe que tentasse adivinhar a diferença entre o maior e o menor dos números obtidos. O irmão de João terá mais chance de acertar, se disser que essa diferença é igual a:

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Com relação à contagem e combinatória, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E)

61. (CESPE/IPEA/2008) Considere que as senhas dos correntistas de um banco sejam formadas por 7 caracteres em que os 3 primeiros são letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, e os 4 últimos, algarismos, escolhidos entre 0 e 9. Nesse caso, a quantidade de senhas distintas que podem ser formadas de modo que todas elas tenham a letra A na primeira posição das letras e o algarismo 9 na primeira posiçãodos algarismos é superior a 600.000.

62. (CESPE/IPEA/2008) Considere que, para a final de determinada maratona, tenham sido classificados 25 atletas que disputarão uma medalha de ouro, para oprimeiro colocado, uma de prata, para o segundo colocado, e uma de bronze, para oterceiro colocado. Dessa forma, não havendo empate em nenhuma dessas colocações, a quantidade de maneiras diferentes de premiação com essas medalhas será inferior a 10.000.

Considerando que se pretenda formar números de 3 algarismos distintos com os algarismos 2, 3, 5, 7, 8 e 9, julgue o próximo item.

63. (CESPE/ME/2008) A quantidade de números ímpares de 3 algarismos que podem ser formados é superior a 90.

Considerando que uma palavra é uma concatenação de letras entre as 26 letras do alfabeto, que pode ou não ter significado, julgue os itens a seguir.

64. (CESPE/BB/2008) Com as letras da palavra COMPOSITORES, podem serformadas mais de 500 palavras diferentes, de 3 letras distintas.

65. (CESPE/BB/2008) As 4 palavras da frase “Dançam conforme a música” podem ser rearranjadas de modo a formar novas frases de 4 palavras, com ou sem significado. Nesse caso, o número máximo dessas frases que podem ser formadas, incluindo a frase original, é igual a 16.

66. (CESPE/BB/2008) Considerando todas as 26 letras do alfabeto, a quantidadede palavras de 3 letras que podem ser formadas, todas começando por U ou V, ésuperior a 2 × 10³.

O Banco do Brasil S.A. (BB) patrocina as equipes masculina e feminina de vôlei de quadra e de praia. Segundo o portal www.bb.com.br, em 2007, o voleibol brasileiro mostrou mais uma vez a sua hegemonia no cenário internacional com a conquista de 56 medalhas em 51 competições, tanto na quadra quanto na praia. Nesse ano, o Brasil subiu ao lugar mais alto do pódio por 31 vezes e conquistou, ainda, 13 medalhas de prata e 12 de bronze. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.

67. (CESPE/BB/2008) Considerando-se que o treinador de um time de vôlei tenha à sua disposição 12 jogadores e que eles estejam suficientemente treinados para jogar em qualquer posição, nesse caso, a quantidade de possibilidades que o treinador terá para formar seu time de 6 atletas será inferior a 10³.

68. (CESPE/BB/2008) Considerando que o treinador de um time de vôlei disponha de 12 jogadores, dos quais apenas 2 sejam levantadores e os demais estejam suficientemente bem treinados para jogar em qualquer outra posição, nesse caso, para formar seu time de 6 atletas com apenas um ou sem nenhum levantador, o treinador poderá fazê-lo de 714 maneiras diferentes.

A PETROBRAS patrocina eventos esportivos como a Stock Car, a Fórmula Truck, o Team Scud PETROBRAS de Motovelocidade, o Rally dos Sertões, a equipe PETROBRAS Lubrax e também o Clube de Regatas Flamengo. De acordo com essas informações, julgue os itens a seguir.

69. (CESPE/PETROBRAS/2007) Se a PETROBRAS decidisse cortar aleatoriamente dois dos seis patrocínios acima citados, então, a quantidade de possibilidades de cortes seria superior a 350.

70. (CESPE/PETROBRAS/2007) Considere que cada atleta do Clube de Regatas Flamengo possua, para momentos oficiais do clube, 8 uniformes completos — conjunto de elementos de vestuário —, cujos elementos não podem ser trocados de um uniforme para outro, e, para momentos não-oficiais do clube, 5 calças e 3 agasalhos distintos, que podem ser combinados. Nessa situação, cada atleta possui um total de 23 maneiras distintas de se vestir para os momentos oficiais e não-oficiais do clube.