x

53. Seja z" = Y,,-I + ((2 - Y,,-I)(2x,,-1+ 3»(0,1) e y" = Y,,-I +

((2 - Y,,-I)(2x,,-1+ 3) + (2 - zn)(2x"+ 3»

)2 . (0,1) comvalo-res iniciais Xo = -3, Yo= 1 e 20 passos. Use uma planilhaeletrônica, calculadora gráfica ou SAC para obter os valoresnas tabelas a seguir.

CAPíTULO7

Seção 7.1, p. 522-5241. 2\18X2+ 1 + C5. ln 5

19. -7"ln Isen (3 - 7x) I+ C

11. -ln Icosec (e8 + 1) + cotg (e8 + 1) I+ C

3. 2(sen V)312+ C7. 2 ln (~ + 1) + C

t t

13. 3 ln Isec 3+ tg 31 + C

15. -ln Icosec (s - 7T) + cotg (s - 7T)I+ C

17. 1 19. ig u + C

3x+l21. In 3 + C

25. 3 arc tg 3u + C

2V;;;23. In 2 + C

7T27'18

31. 6 arc sec I5x I+ C

35. ln (2 + V3)

39. arc sen (t - 2) + C

29. arc sen S2 + C

33. arc tg ~ + C

37. 2'T1"

41. arc sec Ix + 11+ C,quandoIx + 11> 1

43. tg x - 2 ln Icosec x + cotg x I - cotg x - x + C

45. x + sen 2x + C 47. x - ln Ix + 1 I+ C

51. 2t2- t + 2 arctg (~) + C55. V2

59. In 11 + sen OI + C

63. 4

49. 7 + 1n8

53. arcsenx + ~ + C

57. tg x - sec x + C

61. cotgx + x + cosecx +c

65.V2 67.2

69. InIV2+ 1I- ln IV2 - 1 I 71. 4 - Í.73. -ln Icosec (sen O)+ cotg (sen O)I+ C

75. ln Isen x I+ ln Icos x I+ C 77. 12 arc tg (vY) + C

I

x - 11

79. arc sec ~ + C

183. (a) sen O- 3sen3 O+ C

2 1(b) sen O- "3sen3 0+ 5"sen5 O+ C

(c) f COS9 OdO = f COS8 O(cos 8) dO =

f (1 - sen2 8)4 (cos O) dO

85. (a) f tg3 O dO = ~ tg2 0- f tg OdO = 1 tg2 0+ ln Icos OI+ C

(b) f ~g5 OdO = i tg4 (J - f tg3 OdO

(c) f tg1 O dO = i tg6 0- f tg5 OdO

(d) f tg2k+l OdO = ik tg2k0.- f tg2k-l OdO

81. ln Isec (tg t) I+ C

87. 2V2 - ln (3 + 2V2)

89. 7T2

91. ln (2 + V3)

Respostas 643

Seção 7.2. p. 530-532

1. -2xcos (~) + 4 seR(~) +C3. t2 sen t + 2t cos t - 2 sen t + C

35. ln 4 - 47. yarc tg (y) - ln v'1+7 + C

9. x tg x + ln Icos x I+ C

11. (X3 - 3X2 + 6x -6)~ + C

13. (r - 7x + 7)~ + C

15. (X5 - 5X4+ 20~ - 60X2 + 120x -120)~ + C

17. 7T2;4 19. 5'T1"-93V31

21. 2"(-e8 cos 0+ e8sen O)+ Ce2x

23. 13(3 sen 3x + 2 cos 3x) + C

25. ~ (~ eV3s+9- eV3s+9)+ C

'TI"V3 'TI"2

27. ~ -ln(2)-181

29. 2"[-x cos (ln x) + x sen (ln x)] + C

31 - (X2 x 1 )4x C. Y - 4 - 8"+ 32 e +

33. - 2(VO cos VO - sin VO) + C

35. (a) 'TI"

(c) 5'T1"

37. 27T(1 - ln 2)

39. (a) 'TI"('TI"- 2)

41. 2~ (1 - e-21T)43. u = xn,dv = cosx dx

!

(b) 37T

(d) (2n + l)'TI"

(b) 2'T1"

45. u = xn,dv = eaxdx

47. (a) Seja y = f~I(X). Então x = f(y), portanto dx = J'(y) dy.Substitua diretamente.

(b) u = y,dv = f'(y) dy

49. (a) f arc sen x dx =x arc sen x + cos (arc sen x) + C

(b) f arc sen x dx = x arc sen x + ~ + C

(c) cos (arc sen x) = ~

51. (a) f arc cos x dx = x arc cos x - sen (arc cos x) + C

(b) f arccosxdx = x arc cosx - ~ + C

(c) sen (arccosx) = ~

644 Respostas

Seção7.3, p. 540-541

1. ~ +-Lx-3 x-2

S. -2 + -=! + ~Z Z2 Z - 1

19. 2"[In11 + x I - In11 - x IJ+ C

11. t In I(x + 6)2(X - 1)5 I+ C

13. ln2151 1 1

15. -i ln It 1 + 6ln It + 2 I+ "3ln It - 1 I+ C17. 31n2 -2

3. ~+~x + 1 (x + 1)2

7.1+~+-12t-3 t-2

19. .! lnI

x + 11

- x + C4 x-I 2(X2- 1)~+ 21n 2 1

21. 8 23. arctgy - - 2 + C. . y + 1

25: -(s - 1)-2 + (s - 1)-1 + arc tg s + C

27. 2 -1 + ln 182 + 28 + 21- arc tg (8 + 1) + C8 + 28 + .2

I

x - 1

1

29. X2 + In -X- + C

31. 9x + 2 In Ix I+ ~ + 7 InIx-I I+ C2

Y 1.~33. 2" - ln Iy I+ iln (1 + y ) + C

I

e' + 11

11

sen y - 2

135. ln e' + 2 + C 37. '5 In sen y + 3 + C

(arc tg 2x)2

639. - 3 ln Ix - 21 + - + C4 x - 2

41. x =ln It - 21- InIt - 1 I+ In 2

6t43. x = t + 2 - 1, t > 215

45. In Iy - 1 I - ln Iy I= ti' - 1 - ln 2

47. y = In Ix - 2/ - In Ix-I I + ln 2 .

49. 3~ In254,

51. (a) x = l.000e499 + /'

(b) 1,55 dias

Seção 7.4, p. 546

1. ln1 V9 + y2+ y 1 + C

3. 2iaresen(~)+t~ +C

S. !In I ~+ V 4r7 - 491 + C

7~+ C. x

9.t(X2 + 4i12 - 4VX2 + 4 + C 11. -2~ + Cw

15. -~~)' + C19. In 9 - In (1 + V1O)

x

13. -~+CX2 -14x

17. 2 arc tg 2x + 2 + C(4x + 1)

7T21. "6

25. v?"=l + C

27. Y ~ 2[~- are soe (~)]3

(x

)3~ 3~

29. y = i arc tg i - 8 31. 433. (a) Isso pode ser visto geometricamente na figura.

(b) Utilizando o item (a), substitua z = 1 sen x e então+ cosox

obtenha uma identidade tri}onométrica, Ou use a identi-1 - tg 8 x

dade trigonométrica 2 - cos 28 com 8 = -2'

1 +tg 8

( ) U'

li d'

( ) b' sen x -

c ti zan o o Item a, su stitua z = 1 + e entãocos x

obtenha uma identidade trigonométrica. Ou use a identi-2tg8 x

dade trigonométrica 2 - sen 28 com 8 = _2'

1 +tg 8

(d) dz = (sec2! ).! dx = (1 + tg2! \!. dx = (1 + Z2).1 dx ~2 2 2)2 2 '

entãoresolvaparadx.

23. arc sec Ix I+ C

135. x + C

tg i

39.t(lnv'3 - 1)

37. In 11+ tg il + C

41. -cotg (i) - t + C

Seção 7.5, p. 552-554

1 2 ( ~ ) C 3 (2x - 3)3I2(x + 1)

. v'3 arc tg V ~ + . 5 + C

(x + 2)(2x -6)V 4x - X2

(~ - 2)S. 6 + 4 arcsen ~ + C

7. y'4-X2_21n12+~I+c

9. 2 arc sen~ - trV 4 - r2 + C

e2t11. 13(2 cos 3t + 3 sen 3t) + C

s 1

I

S+31

13. 2 + 108In -

3+ C

18(9- s ) s -

~~ /H15. 2v3t - 4 - 4 arc tg V~ + C

17. - CO:05x - co~ x + C

19. 6 sen(182)+ ~ sen (i~) + C

21. _21 ln IX2 + 1I+ x 2 + _21 arc tg x + C

2(1 + x )

23. (x- ~) arcseu v.;: + ~vIx=7 +C

25. Y 1 - sen2 t - ln 1 + Y 1 - sen2t + Csen t

27. In Iln y + Y3 + (In y)2, + C

29. In 13r - Y9r2 - 11 + C

31. x arc cos ~ + k arc sen~ - kYx - X2+ C

e3x33. 9 (3x - 1) + C

x22x 2[

X2X 2X

]35. ln 2 - ln 2 ln 2 - (In 2)2 + C1 1 2

37. 120 senh43x cosh 3x - 90 senh23x cosh 3x + 90 cosh 3x + C

X2 2x 239. 3 senh 3x - 9 cosh 3x + 27 senh 3x + C

45. (b) Usando a Fónnula 29 da tabela de integrais, V =

2LW; r)V2rd- d' + (~)[ areseu(d; r) +~]1

51. 1 - e = 0,632121l'

49. (c) "44

53. 15 = 0,26666755. 6 + 2[(1n2)3 - 3(1n2)2 + 6ln 2 - 6] = 0,101097

Seção 7.6, p. 560-561

11. 4

15. 2"9. -1

13. 117. 121. e2

25. 129. e

33. e-I37. -141. 1

2745. c = 10

47. (a) lu (I + f)' = k 10( I + f). E, quando k -> "',

10(1+ f) ~; I(1+ f)lim k ln (1 + -

kr

)= tim 1 = tim . 1 =k-+oo 1;-+00 1;-+00 -- .- -k k2

. --I- - . . ( r

)k - r11m r-r. Por ISSO,11m 1 + -k

- e .k-+oo1 + - 1;-+00

k

Portanto, !~~ Ao( 1 + ~)b = Aoert.

53. "7

7. O

11. ln 215. O19. O23. O27. 131. 135. ln 239. 3

43. (b) está correto, mas (a) não está.

Respostas 645

(b) O item (a) mostra que, quando o número de juros capital-izados por ano aumenta em direção ao infinito, o limite dejuros capitalizados k vezes por ano são os juros capitaliza-dos continuamente.

53. (a) (- 00, -1) U (O, 00) (b) 00 (c) e

Seção 7.7. p. 573-575

1. (a) Por causa de um limite infinito de integração.(b) Converge.

(c) ~2 .

3. (a) Porque o integrando tem uma descontinuidade infinita emx=O

(b) Converge.9

(c) -- 2

5. (a) Porque o integrando tem uma descontinuidade infinita emx=O.

(b) Diverge.(c) Nenhum valor.

7. 1.000 9. 4

l'11. "215. v'3

13. ln 3

17. l'

19. ~3

23. ~2

27. 6

21. ln 4

25. 10(I + ~)29. -1

133. -431. 2

35. Diverge.

39. Converge.

37. Converge.

41. Converge.

43. Diverge.

47. Converge.

45. Converge.

49. Diverge.

51. Converge.

55. Diverge.

53. Converge.

57. Converge.

59. Diverge.

63. Converge.

61. Converge.

65. (a) Converge quando p < 1.(b) Converge quando p > 1.

67. 1 l'69. "2

75. (b) 173. (b) = 0,88621

Capítulo 7 Exercíciosde Fixação, p. 576-578

1. /2 (4X2 - 9)3/2+ C 3. ~ + C

- Y9 - 4t4 1

5. 8 + C 7. 2(1 - cos 28) + C