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Caracterização experimental e numérica do aquecimento
atmosférico de garrafas com água fria e geometria
axissimétrica
João Carlos dos Santos Mendes
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Mecânica
Júri
Presidente: Prof. Luís Rego da Cunha Eça
Orientador: Prof. Viriato Sérgio de Almeida Semião
Vogal: Prof. João Luís Toste de Azevedo
Setembro de 2008
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Resumo O presente trabalho teve como objectivo norteador a análise qualitativa e quantitativa do
processo de aquecimento de garrafas de água com geometria axissimétrica, que ocorre
quando estas são retiradas a baixa temperatura (278 K) de um frigorífico e colocadas ao ar
ambiente num dia típico de Verão (temperatura da ordem dos 313 K). Visou-se sobretudo
antever geometrias alternativas, às existentes no mercado, capazes de preservar a água a
baixas temperaturas por maiores períodos de tempo, i.e. energeticamente mais eficientes.
Para tal, foram estudados três casos que são tomados como paradigma: uma garrafa comercial
de 0,33 l, uma garrafa comercial de 1,5 l e uma garrafa de 0,33 l com um novo design,
designada aqui como garrafa projectada, e cuja estrutura já tinha sido desenhada
anteriormente. A ferramenta principal utilizada neste trabalho para fins de optimização foi
um código comercial de CFD (FLUENT®). De forma a aferir a potencialidade desta
ferramenta numérica, começou por se quantificar experimentalmente o processo de
aquecimento das garrafas de água comerciais a 278 K numa estufa com ar a ca. 313 K e
simularam-se os mesmos processos com o código computacional, estudando-se
simultaneamente a dependência dos resultados em relação ao refinamento da malha. A
concordância aceitável entre os dados experimentais e numéricos para qualquer das malhas
usadas inspirou a confiança necessária à prossecução do trabalho de natureza exclusivamente
numérica. Assim, para os três casos acima mencionados, adicionou-se uma caixa de ar de
espessura variável em torno da superfície lateral das garrafas e concluiu-se que este
procedimento é sempre vantajoso termicamente para qualquer das garrafas, pois aumenta a
eficiência do processo por isolamento térmico. Contudo, verificou-se também que a garrafa
projectada tinha sempre pior desempenho que as congéneres comerciais, devido à maior área
lateral de exposição à convecção natural do ar, mecanismo responsável pelo aquecimento das
garrafas e, consequentemente, a água aquecia num menor intervalo de tempo (essencialmente
por condução de calor). Sendo a esfera a geometria que menor razão área/volume exibe na
Natureza, o que permite termicamente minimizar a razão convecção do ar/inércia térmica da
água, efectuou-se um estudo preliminar de uma garrafa com um novo design, esférico, que
produziu os resultados esperados, i.e. menores tempos de aquecimento que a garrafa
projectada.
Palavras-chave: Convecção natural transiente, Condução transiente, CFD, Geometrias
axissimétricas
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Abstract The present work has as main objective the qualitative and quantitative analyses of the
heating process occurring when axisymmetric bottles of cold water (278 K) are placed in a
hot atmospheric environment, situation typical of a Summer day (temperature ca. 313 K). The
aim is to anticipate new geometries alternative to those currently used in the market that are
capable of preserving the low temperature of the water for longer periods, i.e. to anticipate
more thermally efficient designs. For that, three cases are studied and considered as
paradigms: a commercial bottle of 0.33 l, a commercial bottle of 1.5 l and a new designed
bottle of 0.33 l, hereafter named as new designed bottle. The main tool used in this work for
optimization is the commercial CFD code (FLUENT®). In order to evaluate the CFD code
potential, an experimental work was carried out to characterize the heating process of the two
studied commercial bottles of cold water (278 K) placed in a heater with air at 313 K. These
two processes were also simulated numerically with the FLUENT® code using different
grids in order to validate the models and study simultaneously the dependence of the results
on the grid refinement. The reasonable agreement between experiments and numerical results
provided the necessary confidence to proceed with the numerical work. Hence, for the three
above-mentioned cases, an air insulating barrier is added to the lateral surfaces of the bottles
and the yielded results showed that this procedure was thermally beneficial in all cases,
increasing the process efficiency. However, it was also observed that the new designed bottle
has always a thermal performance worse than the commercial ones, due to the greater surface
area exposed to the air natural convection, the heat transfer mechanism responsible for the
bottles heating. Consequently, the new designed bottle exhibited a shorter heating time
(essentially by heat conduction in the water). Since spheres exhibit, in Nature, the smallest
area/volume ratio, which allows for the best ratio air convection/thermal inertia, a preliminary
study of another bottle, with a spherical geometry, is performed. The results show that the
spherical bottle took longer to heat than the designed bottle.
Key-words: Transient natural convection, Transient conduction, CFD, Axisymmetric
geometries
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Agradecimentos Gostaria de agradecer ao meu orientador, Prof. Viriato Semião, por toda a
disponibilidade e apoios concedidos, disponibilizando-me todas as condições técnicas, físicas
e informáticas necessárias à realização da presente tese.
Agradeço também ao Prof. João Azevedo e ao Dr. Rui Neto pela preciosa colaboração
e disponibilização do equipamento laboratorial aquando da realização do trabalho
experimental, facultando-me o espaço físico e todo o equipamento necessário.
Gostaria igualmente de agradecer ao Eng. Gonçalo Silva, pela sua incansável partilha
de conhecimento disponibilizada durante todo o tempo deste trabalho.
Aos meus colegas de gabinete João Costa, André Almeida, André Melo, Nuno Rocha
e Eng. Gilberto Tavares pelo bom ambiente por eles proporcionado durante a realização desta
tese.
À minha namorada Sandra, por todo o apoio prestado não só para a realização deste
trabalho, mas também pela sua presença em uma boa parte do tempo do curso.
Por último agradeço à minha família em especial à minha mãe pela paciência e força
por ela sempre dada ao longo da minha vida académica.
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Lista de símbolos e abreviaturas
Nomenclatura
CFD computational fluid dynamics
Cp calor específico a pressão constante; J/kg.K
D diâmetro da garrafa; m
f
E
fluido ou face
energia; J
forças externas; N
Fx força axial; N
Fr força radial; N
g,g aceleração gravítica; m/s2
Gr
h
número de Grashof
entalpia sensível; J/kg
H altura da garrafa; m
i número imaginário
I
k
tensor unitário
conductividade térmica do material; W/m.K
escala de comprimento; m l comprimento da placa; m
expoente da lei de temperatura m
expoente da lei de fluxo de calor
Nu número de Nusselt
Pr número de Prandtl
fluxo de calor adimensional numa superfície
taxa de transferência de calor média da superficie; W
Ra número de Rayleigh
r coordenada radial; m
φS termo de fonte
tempo adimensional t tempo; s
t tempo médio, s
T temperatura; ºC ou K
Ts temperatura da superfície; ºC ou K
wq
F
wq
vi
temperatura do meio; ºC ou K
temperatura média numa superfície ºC ou K temperatura adimensional numa superfície
temperatura média; K ou ºC
temperatura de referência ou fluxo de calor de referência
p pressão estática; Pa ou N/m2
fluxo de calor; W/m2
componente da velocidade na direcção x ; m/s u
velocidade adimensional na direcçãox ; m/s
u velocidade local na direcção x, m/s
Uc velocidade característica; m/s
v
componente da velocidade na direcção y ; m/s
velocidade adimensional na direcção y
V volume; m3
velocidade média; m/s
velocidade local na direcção y
vx velocidade axial; m/s
vr velocidade radial; m/s
vz velocidade de swirl; m/s
VWT variação da temperatura na parede
VHF variação do fluxo de calor
x distância adimensional
X coordenada axial; m
xp distância de penetração; m
coordenada longitudinal; m coordenada cartesiana local; m
y distância adimensional
coordenada transversal; m
coordenada cartesiana local; m
Y
Yj
coordenada radial; m
fracção mássica das espécies
q ′′
∞T
wT
y
T
*T
v
x
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Símbolos gregos
coeficiente de expansão térmica; K-1
valor próprio
coeficiente de difusão
variação
variável de similaridade
variável de similaridade
temperatura adimensional
viscosidade molecular; kg/s.m
massa específica; kg/m3
tempo adimensional
tensor das tensões; Pa
equação de conservação de transporte escalar
função de corrente
Índices
c não perturbado ou local
ext exterior
i zona interna
int interior
o zona externa
ref referência
s, sup, w superfície
ambiente
referente a valor local, variável adimensional ou quantidade média
∞
ψ
θ
τ
η
minγ
ξ
ρ
β
∆
µ
φ
Γ
τ
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ix
Lista de Figuras
Figura 1.1 – Tipos de engarrafamento utilizados em garrafas de água, em percentagem, em 1999 (Ferrier, 2001). Figura 1.2 – Aumento anual do consumo de água engarrafa por região: 1999-2001 (Ferrier, 2001). Figura 1.3 – Diversas geometrias de garrafas de água em PET (www.sociedadedeagualuso.pt, 2008). Figura 1.4 – Mecanismos de transferência de energia, em que q ′′ é o fluxo de calor (Coelho, 2004).
Figura 1.5 – Representação do escoamento por convecção natural ao longo de uma placa vertical: (a) ∞> TT w ,
0>wq , (b) ∞< TT w , 0<wq (Modificado de Çengel, 2003).
Figura 1.6 – Variação da (a) rugosidade superficial adimensional, )0,(22 τη∂∂ f e (b) transferência de calor
adimensional )0,(τηθ ∂∂− , com a temperatura adimensional τ, para Pr =1, numa placa vertical (Ingham, 1985).
Figura 1.7 – Perfis de velocidade ),( ητη∂∂f para Pr = 1, (a) m = -0,1, (b) m = 0, (c) m = 1, (d) m = 4.
As soluções do regime estacionário estão indicadas com ● (Ingham, 1985). Figura 1.8 – Perfis de (a) velocidade do fluido, u (t, x = 100, y), (b) de temperatura T (t, x = 100, y) para x = 100 e Pr = 0.05. As soluções numéricas estão indicadas a cheio e os perfis de perturbação de ordem nula por pontos (Park e Carey, 1985). Figura 1.9 – Variação do número de Nusselt local com 2
1xt para Pr = 0.05. A solução de regime estacionário
de Kuiken et al. (1969) está a cheio. A condução transiente definida pela equação (1.12) está indicada a tracejado e a expansão assimptótica (11) para x = 60 e x = 100 está indicada pelos símbolos ○ e ●, respectivamente (Kuiken, 1969). Figura 1.10 – Perfis de (a) velocidade do fluido, u (t, x = 100, y), (b) temperatura, T (t, x = 100, y) para x = 100 e Pr = 16. As soluções numéricas estão indicadas a cheio e as soluções uniformemente válidas (1.12) e (1.8b) indicadas por pontos (Kuiken, 1968). Figura 1.11 – Variação do número de Nusselt local com 2
1xt para Pr = 16. A solução em regime estacionário,
desenvolvida por Kuiken (1968) está representada a cheio. A condução transiente esta indicada a tracejado, a solução perturbada (1.13) para x = 60 e 100 está indicada com os símbolos ○ e ●, respectivamente e a solução total para x = 60 e 100 está indicada pelos símbolos ∆ e ▲, respectivamente (Kuiken, 1968). Figura 1.12 – Comportamento da temperatura adimensional e do fluxo normalizado com o tempo na solução numérica e experimental (Emery, 2002). Figura 2.1 – Representação esquemática da instalação experimental, com a identificação sumária de todo o material utilizado e da disposição dos termopares. Figura 2.2 – Estufa eléctrica utilizada (IST, Pav. Mecânica I – Piso -1). Figura 2.3 – Sistema electrónico (Data Logger) utilizado. (www.omega.com) Figura 2.4 – Dimensões das garrafas utilizadas (a) comercial de 0,33 l e (b) comercial de 1,5 l. Figura 3.1 – Representação dos domínios e dimensões da garrafa Comercial 0,33 l. Figura 3.2 – Pormenor da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base: (a) caso 1, (b) caso 2, (c) caso 3. Figura 3.3 – Pormenor da malha estruturada na garrafa comercial de 0,33 l – Caixa-de-ar com espessura de: (a) 1.5 mm, (b) 2.5 mm, (c) 3.5 mm.
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Figura 3.4 – Representação do domínio de cálculo da garrafa comercial com 1,5 l. Figura 3.6 – Volume de controlo unidimensional (FLUENT User´s Guide, 2005).
Figura 4.1 – Evolução das temperaturas medidas em função do tempo para garrafa comercial de 0,33 l. Figura 4.2 – Evolução das temperaturas medidas em função do tempo para garrafa comercial de 1,5 l. Figura 4.3 – Evolução com o tempo da temperatura da água no centro da garrafa para a garrafa comercial de 0.33 l e para a garrafa comercial de 1.5 l. Figura 4.4 – Evolução comparativa da temperatura local no interior da garrafa com o tempo – garrafa comercial de 0,33 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 47229 elementos, caso 2 – 183917 elementos, caso 3 – 232974 elementos). Figura 4.5 – Evolução comparativa da temperatura local na superfície interior da garrafa com o tempo – garrafa comercial de 0,33 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 47229 elementos, caso 2 – 183917 elementos, caso 3 – 232974 elementos). Figura 4.6 – Evolução comparativa da temperatura local na superfície exterior da garrafa com o tempo – garrafa comercial de 0,33 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 47229 elementos, caso 2 – 183917 elementos, caso 3 – 232974 elementos). Figura 4.7 – Evolução comparativa da temperatura local no interior da garrafa com o tempo – garrafa comercial de 1,5 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 113905 elementos, caso 2 – 451624 elementos, caso 3 – 597148 elementos). Figura 4.8 – Evolução comparativa da temperatura local na superfície interior da garrafa com o tempo – garrafa comercial de 1,5 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 113905 elementos, caso 2 – 451624 elementos, caso 3 – 597148 elementos). Figura 4.9 – Evolução comparativa da temperatura local na superfície exterior da garrafa com o tempo – garrafa comercial de 1,5 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 113905 elementos, caso 2 – 451624 elementos, caso 3 – 597148 elementos). Figura 4.10 – Evolução com o tempo da temperatura média da água no interior da garrafa comercial de 0,33 l. Figura 4.11 – Evolução com o tempo da temperatura média da água no interior da garrafa comercial de 1,5 l. Figura 4.12 – Evolução com o tempo da temperatura média da água no interior da garrafa projectada de 0,33 l. Figura 4.13 – Evolução com o tempo da temperatura média da água no interior das três garrafas (caso base). Figura 4.14 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 0,33 l – caso base para t = 5 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.15 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 0,33 l – caso base para t = 30 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.16 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 0,33 l – caso base para t = 120 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.17 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 1,5 l – caso base para t = 5 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.18 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 1,5 l – caso base para t = 30 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.19 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 1,5 l – caso base para t = 120 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
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Figura 4.20 – Campo de velocidades da garrafa projectada de 0,33 l – caso base para t = 5 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.21 – Campo de velocidades da garrafa projectada de 0,33 l – caso base para t = 30 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.22 – Campo de velocidades da garrafa projectada de 0,33 l – caso base para t = 120 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.23 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 0,33 l para t = 5 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de1,5 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm. Figura 4.24 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 0,33 l para t = 15 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de1,5 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm. Figura 4.25 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 0,33 l para t = 30 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de1,5 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm. Figura 4.26 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 0,33 l para t = 60 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de1,5 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm. Figura 4.27 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 0,33 l para t = 120 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de1,5 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm. Figura 4.28 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 1,5 l para t = 5 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm. Figura 4.29 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 1,5 l para t = 15 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm. Figura 4.30 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 1,5 l para t = 30 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm. Figura 4.31 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 1,5 l para t = 60 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm. Figura 4.32 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 1,5 l para t = 120 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm. Figura 4.33 – Campos de temperatura da garrafa projectada de 0,33 l para t = 5 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm. Figura 4.34 – Campos de temperatura da garrafa projectada de 0,33 l para t = 15 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm. Figura 4.35 – Campos de temperatura da garrafa projectada de 0,33 l para t = 30 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm.
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Figura 4.36 – Campos de temperatura da garrafa projectada de 0,33 l para t = 60 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm. Figura 4.37 – Campos de temperatura da garrafa projectada de 0,33 l para t = 120 minutos: (a) caso base; (b) caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm. Figura 4.38 – Campo de velocidades da garrafa esférica de 0,33 l – caso base para t = 5 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.39 – Campo de velocidades da garrafa esférica de 0,33 l – caso base para t = 30 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.40 – Campo de velocidades da garrafa esférica de 0,33 l – caso base para t = 120 minutos: (a) velocidade axial, (b) velocidade radial. Figura 4.41 – Campos de temperatura da garrafa Esférica 0,33l – caso base para: (a) t = 5 minutos, (b) t = 15 minutos, (c) t = 30 minutos, (d) t = 60 minutos, (e) t = 120 minutos. Figura 4.42 – Evolução com o tempo da temperatura média da água no interior das quatro garrafas (caso base). Figura A1.1 – Representação dos domínios e dimensões da garrafa comercial de 0,33 l. Figura A1.2 – Representação dos domínios e dimensões da garrafa comercial de 1,5 l. Figura A1.3 – Representação dos domínios e dimensões da garrafa projectada de 0,33 l. Figura A1.3 – Representação dos domínios e dimensões da garrafa esférica de 0,33 l. Figura A2.1 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base – caso 1: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.2 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base – caso 2: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.3 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base – caso 3: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.4 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura de 1,5 mm: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.5 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura de 2,5 mm: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.6 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.7 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso base – caso 1: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.8 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso base – caso 2: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.9 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso base – caso 3: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.10 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm: (a) vista geral; (b) pormenor.
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Figura A2.11 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.12 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.13 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso base – caso 1: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.14 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso base – caso 2: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.15 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso base – caso 3: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.16 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.17 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.18 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A2.19 – Representação da malha utilizada para a garrafa esférica de 0,33 l – caso base – caso 2: (a) vista geral; (b) pormenor. Figura A4.1 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial 0,33 l para Timp = 313,40K: caso base – caso 1. Figura A4.2 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial 0,33 l para Timp = 313,40K: caso base – caso 2. Figura A4.3 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial 0,33 l para Timp = 313,40K: caso base – caso 3. Figura A4.4 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 0,33 l para Timp = 313,0K: caso base – caso 2. Figura A4.5 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 0,33 l para Timp = 313,0K: caso caixa-de-ar com espessura de 1,5 mm. Figura A4.6 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 0,33 l para Timp = 313,0K: caso caixa-de-ar com espessura de 2,5 mm. Figura A4.7 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 0,33 l para Timp = 313,0K: caso caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm. Figura A4.8 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 315,63K: caso base – caso 1. Figura A4.9 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 315,63K: caso base – caso 2. Figura A4.10 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 315,63K: caso base – caso 3 Figura A4.11 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 313,0K: caso base – caso 2.
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Figura A4.12 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 313,0K: caso caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm. Figura A4.13 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 313,0K: caso caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm. Figura A4.14 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 313,0K: caso caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm. Figura A4.15 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa projectada de 0,33 l para Timp = 313,0K: caso base – caso 2. Figura A4.16 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa projectada de 0,33 l para Timp = 313,0K: caso caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm. Figura A4.17 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa projectada de 0,33 l para Timp = 313,0K: caso caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm. Figura A4.18 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa projectada de 0,33 l para Timp = 313,0K: caso caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm. Figura A4.19 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa esférica de 0,33 l para Timp = 313,0K: caso base – caso 2.
xv
Lista de Tabelas Tabela 1.1 – Variação do γmin com m para Pr = 1 (Ingham, 1985). Tabela 2.1 – Descrição sumária da posição dos vários termopares utilizados e da sua nomenclatura. Tabela 3.1 – Dimensões da espessura da caixa-de-ar para as garrafas comercial de 0,33 l, comercial de 1,5 l e projectada de 0,33 l. Tabela 3.2 – Volume interno de água para as três garrafas estudadas. Tabela 3.3 – Número de elementos utilizados no caso base e no caso caixa-de-ar. Tabela 3.4 – Distribuição do ângulo de distorção para as malhas seleccionadas. Tabela 3.5 – Distribuição do aspecto geométrico para as malhas seleccionadas. Tabela 3.6 – Propriedades dos materiais introduzidos no FLUENT®. Tabela 4.1 – Eficiência energética das garrafas de água à temperatura média de 20ºC com a inclusão da caixa-de-ar. Tabela A3.1 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base – caso 1. Tabela A3.2 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base – caso 2. Tabela A3.3 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base – caso 3. Tabela A3.4 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso caixa-de-ar com espessura de 1,5 mm. Tabela A3.5 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso caixa-de-ar com espessura de 2,5 mm. Tabela A3.6 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm. Tabela A3.7 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso base – caso 1. Tabela A3.8 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso base – caso 2. Tabela A3.9 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso base – caso 3. Tabela A3.10 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm. Tabela A3.11 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm. Tabela A3.12 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm.
xvi
Tabela A3.13 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso base – caso 1. Tabela A3.14 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso base – caso 2. Tabela A3.15 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso base – caso 3. Tabela A3.16 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm. Tabela A3.17 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm. Tabela A3.18 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm. Tabela A3.19 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa esférica de 0,33 l – caso base – caso 2.
xvii
Índice Resumo…………………………………………………………………. i Abstract………………………………………………………………… ii Agradecimentos………………………………………………………… iii Lista de símbolos e abreviaturas……………………………………….. v Lista de figuras………………………………………………………… ix Lista de tabelas………………………………………………………… xv Capítulo 1 – Introdução………………………………………………… 1 1.1 Âmbito do trabalho……………………………………………………………... 1 1.2. Revisão Bibliográfica…………………………………………………………... 4 1.2.1 Soluções semelhantes e semi-semelhantes………………………………… 7 1.2.2 Solução exacta……………………………………………………………… 7 1.2.3 Solução numérica………………………………………………………….. 8 1.2.4 Influência de m na variação da rugosidade superficial adimensional e da transferência de calor adimensional com a temperatura adimensional……………... 9 1.2.5 Influência do número de Prandtl…………………………………………… 11 1.2.6 Utilização de métodos numéricos com validação experimental…………… 11 1.2.5.1 Pr <<1………………………………………………………………… 13 1.2.5.2 Pr >>1…………………………………………………………………. 15 1.3 Objectivos e contribuições do presente trabalho……………………………….. 16 1.4 Estrutura da Tese……………………………………………………………….. 16 Capítulo 2 – Experimental……………………………………………... 19 2.1 Objectivo do trabalho experimental…………………………………………….. 19 2.2 Instalação experimental…………………………………………………………. 19 2.2.1 Material utilizado…………………………………………………………... 20 2.2.1.1 Estufa………………………………………………………………….. 20 2.2.1.2 Termopares……………………………………………………………. 21 2.2.1.3 Garrafas………………………………………………………………... 22 2.2.1.4 Água…………………………………………………………………… 24 2.2.1.5 Ar ambiente……………………………………………………………. 24 2.2.2 Procedimento experimental………………………………………………… 24 Capítulo 3 – Modelação geométrica, física, matemática e numérica………………………………………………………………... 27 3.1 Geração das malhas…………………………………………………………….. 27 3.1.1 Elementos considerados……………………………………………………. 29 3.1.2 Construção das malhas para os diversos casos…………………………….. 29 3.1.2.1 Caso base – malhas para estudo de independência de malha…………. 29 3.1.2.2 Caso caixa-de-ar – malhas usadas……………………………………... 30 3.1.2.3 Índice de qualidade das malhas……………………………………….. 31 3.2 Modelo físico, matemático e numérico…………………………………………. 33 3.2.1 Hipóteses simplificativas utilizadas………………………………………... 33 3.2.2 Equações diferenciais regentes do fenómeno em estudo…………………... 34
xviii
3.2.2.1 Aproximação de Boussinesq…………………………………………....... 35 3.2.3 Condições iniciais e condições de fronteira………………………………... 35 3.2.4 Modelo numérico…………………………………………………………... 37 3.2.4.1 Formulação do modelo numérico……………………………………... 38 3.2.4.2 Convergência do processo iterativo…………………………………… 40
Capítulo 4 – Apresentação e discussão dos resultados………………… 43 4.1 Resultados experimentais……………………………………………………….. 43 4.1.1 Análise da evolução das temperaturas medidas com o tempo……………... 43 4.2 Resultados numéricos…………………………………………………………... 46 4.2.1 Estudo de independência de malha e validação do modelo numérico……... 46 4.2.2 Evolução temporal da temperatura média no interior da garrafa …………. 49 4.2.3 Campos de velocidade axial e radial……………………………………….. 52 4.2.4 Campos de temperatura…………………………………………………….. 56 4.2.5 Estudo prévio de uma garrafa esférica de 0,33 l…………………………… 64 4.2.5.1 Campos de velocidade axial e radial…………………………………... 65 4.2.5.2 Campos de temperatura………………………………………………... 66 4.2.5.3 Evolução da temperatura média no interior da garrafa com o tempo…. 66 Capítulo 5 – Conclusões……………………………………………….. 67 5.1 Síntese conclusiva……………………………………………………………..... 67 5.2 Trabalho futuro…………………………………………………………………. 69 Referências Bibliográficas……………………………………………... 71 Anexos…………………………………………………………………. 75 Anexo 1 – Geometria das garrafas utilizadas……………………………………. 75 Anexo 2 – Malhas utilizadas…………………………………………………….. 77 Anexo 3 – Índices de qualidade das malhas utilizadas…………………………... 84 Anexo 4 – Evolução dos resíduos………………………………………………... 88
1
Capítulo 1 Introdução
1.1 Âmbito do trabalho
Numa época em que existem preocupações fundamentadas com a degradação do
ambiente, que emparelham com análises sociológicas e propostas técnico-científicas que
visam inverter o curso dos acontecimentos, preservando o ambiente, verifica-se que o
consumo de produtos de cariz descartável tem aumentado, em particular no sector das
bebidas engarrafadas, como é o caso das águas. Este comportamento socioeconómico deve-se
ao aumento do poder de compra da população em geral, e à escassez de água potável de
qualidade em determinadas zonas. Por outro lado, a economia mundial tem-se agravado
recentemente pela crescente crise petrolífera e pelo consequente aumento do custo das
matérias-primas e, muito particularmente, da energia. Num cenário deste nível, é
particularmente importante debelar estes efeitos, urgindo o recurso a todos os meios capazes
de minimizar os consumos energéticos e eliminar os seus desperdícios. No caso particular de
garrafas de água é necessário quantificar as perdas de energia que se verificam em protótipos
de grande consumo a baixas temperaturas (5 ºC), colocadas em meio ambiente mais quente
(40 ºC no Verão), de forma a controlar-se melhor o seu processo de aquecimento.
Actualmente, as garrafas de água são produzidas em politereftalato de etila (PET) ou
em vidro, sendo, no entanto, em Portugal, a maioria destas produzida em PET, como é
possível verificar na figura 1.1. As garrafas em PET exigem menos energia para produção,
transporte e reciclagem, sendo em geral mais vantajosas em termos energéticos e ambientais
que as de vidro.
Figura 1.1 – Tipos de engarrafamento utilizados em garrafas de água, em percentagem, em 1999
(Ferrier, 2001).
2
Segundo Ferrier (2001), o consumo de água engarrafada tem aumentado de forma
acentuada ao longo do tempo, representando em todo o Mundo, para o ano de 2000 perto de
91022× dólares e com franca tendência para aumentar, em particular nos mercados
emergentes, tal como o expressa a figura 1.2.
Figura 1.2 – Aumento anual do consumo de água engarrafa por região: 1999-2001 (Ferrier, 2001).
Nos últimos tempos, o mercado nacional tem assistido à criação de variadas
geometrias inovadoras de garrafas, mais ergonómicas e mais apelativas ao consumidor, e
normalmente associadas ao lançamento de um novo produto ou relançamento de uma marca.
Alguns exemplos destes novos designs do mercado nacional encontram-se representados na
figura 1.3. O volume de garrafas de água produzidas em PET varia tipicamente entre os 0,20 l
e os 5,0 l, estando no entanto a emergir novos volumes que eram pouco frequentes até há
pouco, entre os 0,5 l e os 2,0 l.
Figura 1.3 – Diversas geometrias de garrafas de água em PET (www.sociedadedeagualuso.pt, 2008).
3
Pelo que atrás se referiu, torna-se evidente a importância que o tema relativo às águas
engarrafadas tem do ponto de vista do seu estudo termodinâmico, particularmente na área da
transmissão de calor, visando a preservação da sua temperatura por períodos de tempo mais
amplos, e que será daqui em diante a temática relevante deste trabalho.
Existem três mecanismos distintos de transporte de energia térmica: a convecção, a
condução e a radiação. A condução é o transporte difusivo molecular de energia térmica e
ocorre num sólido ou fluido devido à interacção entre os seus elementos constituintes, átomos
ou moléculas, sempre que existam gradientes de temperatura no meio. A convecção é
promovida por um fluido em movimento sujeito a gradientes de temperatura e, tipicamente,
há a presença de uma superfície sólida em contacto com o fluido que se move, existindo uma
diferença de temperatura entre eles. A radiação é um mecanismo de transferência de energia
térmica que se manifesta através da propagação de ondas electromagnéticas (ou
emissão/absorção de fotões), em que podem participar sólidos, líquidos ou gases com
temperaturas superiores a 0 K. Na figura 1.4 encontram-se esquematicamente representados
os três mecanismos de transferência de calor.
Figura 1.4 – Mecanismos de transferência de energia, em que q ′′ é o fluxo de calor (Coelho, 2004).
Do ponto de vista histórico, o desenvolvimento de ferramentas analíticas para o
estudo em regime transiente da transmissão de calor incidiu essencialmente sobre a condução
em meios axissimétricos, havendo muito poucos resultados disponíveis na literatura para a
convecção natural, em regime transiente e em geometrias axissimétricas. Assim, optou-se por
identificar e descrever um conjunto de trabalhos e aplicações onde o regime transiente foi
estudado em torno de uma placa plana vertical, para se poderem estabelecer analogias em
torno dos mecanismos físicos.
O trabalho analítico pioneiro nesta área de Brown e Riley (1973), realizado em
coordenadas cartesianas, permanece actual até aos dias de hoje.
4
O advento dos computadores permitiu avançar para uma abordagem alternativa, a
abordagem numérica, que foi desenvolvida durante cerca de três décadas, tendo sido iniciada
por Hellums e Churchill (1962) e, mais tarde, no final dos anos 80, continuada e melhorada
por Joshi e Gebahart (1988).
São muitas as aplicações em que se insere a temática dominante deste trabalho, uma
vez que é cada vez mais premente a necessidade de prever os tempos e as taxas de
transferência de energia envolvidas da passagem de regime transiente a estacionário. Apesar
disso, os fenómenos de transferência de calor e de mecânica dos fluidos (como sejam o
estudo de condutas, cálculo de órgãos de turbomáquinas, ou mesmo aerodinâmicos) são
muitas vezes modelados sem levar em linha de conta o regime transiente, ainda que este
possa desempenhar um papel crucial durante o período de estabelecimento do regime
estacionário. A convecção natural em regime transiente encontra-se presente em variados
processos industriais, como seja o processamento de metais, polímeros e vidro. Não ter em
linha de conta o regime transiente desses processos, equivale a subestimar as trocas
energéticas decorrentes durante este regime.
O presente trabalho, proposto por mim e aceite pelo meu orientador é a sequência de
um ante-projecto iniciado (por mim e mais dois colegas) na disciplina de Desenvolvimento
do Produto e Empreendedorismo, onde foi modelada a forma de uma garrafa de água em
PET, com apresentação e aceitação de um pedido de patente. Os antecedentes indicam ser
conveniente estudar do ponto de vista térmico o desempenho da garrafa projectada, e
compará-lo com duas garrafas comerciais semelhantes, já enraizadas no mercado das águas
engarrafadas.
Assim, o objectivo primeiro desta tese é compreender e estudar os mecanismos de
aquecimento de quatro garrafas de água de geometria axissimétrica, inicialmente frias, e
colocadas num ambiente quente que as rodeia, onde podem estar presentes os mecanismos de
condução e convecção. Para tal, procede-se ao estudo experimental e numérico da
transferência de calor em regime transiente de cada garrafa colocada num ambiente de 40 ºC
e procura-se compreender como evolui o seu desempenho quando envolvida por uma caixa-
de-ar.
1.2. Revisão Bibliográfica
Considere-se primeiramente a transferência de calor promovida pelo movimento de
um fluido incompressível, inicialmente estático e adjacente a um plano vertical semi-infinito,
que está a uma temperatura superior ou inferior ao fluido. O movimento do fluido e a
5
transmissão de calor, através dos respectivos perfis de velocidade e temperatura, estão
esquematicamente representados na figura 1.5. Esta situação é um modelo possível de uma
garrafa fria ou quente, planificada, disposta verticalmente num ambiente quente ou frio,
respectivamente.
Figura 1.5 – Representação do escoamento por convecção natural ao longo de uma placa vertical: (a) ∞> TT w ,
0>wq , (b) ∞< TT w , 0<wq (Modificado de Çengel, 2003).
A análise que se efectua de seguida incorpora as seguintes variáveis adimensionais propostas
por Pop e Ingham (2001):
l
tUt c= ,
l
xx = ,
cU
uu =
= lyGry 4
1,
=
cUvGrv 4
1, ,
*T
TTT ∞−
= para (VWT) (1.1a)
= lyGry 5
1,
=
cUvGrv 5
1,
*5
1
T
TTGrT ∞−
= , para (VHT)
em que t é o tempo adimensional, Uc é velocidade característica definida na equação (1.1b), t
é o tempo médio, l é o comprimento da placa, x e y são as coordenadas cartesianas
6
adimensionais, x e y são as coordenadas cartesianas locais, u e v são as componentes da
velocidade local, u e v são as componentes da velocidade adimensional, Gr é número de
Grashof e é definido como υβ 3* lTg , T é a temperatura adimensional, T é a temperatura
local, ∞T é a temperatura do meio ambiente e T* é a temperatura de referência. Na convecção
natural as forças de impulsão dominam face às de inércia (Gr/Re2 >> 1), donde nas equações
(1.3) e (1.4), o Re é tomado como unitário. São ainda relevantes as seguintes variáveis:
l
vGrU c
21
= e K
lqT ref=* para VWT (variação de temperatura na parede)
l
vGrU c
52
= e ∞−= TTT ref* para VHF (variação do fluxo de calor) (1.1b)
Assumindo que as aproximações de escoamento de camada limite são válidas, e que o
número de Grashof é elevado (Gr>>1), as equações em regime transiente de camada limite
incompressível numa placa vertical assumem a seguinte forma:
0=∂∂+
∂∂
y
v
x
u (1.2)
Ty
u
y
uv
x
uu
t
u +∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
(1.3)
2
2
Pr
1
y
T
y
Tv
x
Tu
t
T
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂
(1.4)
em que Pr é o número de Prandtl.
As condições iniciais do problema são:
,0=u ,0=v ,0=T ,0=wq para t = 0, ,0≥y em todo o x (1.5a)
As condições de fronteira impostas são:
),( txTT w= para (VWT), ),( txqy
Tw−=
∂∂
para (VHT), em y = 0, ,0≥x para 0≥t (1.5b)
0→u , 0→T quando ∞→y em todo x, para 0≥t (1.5c)
0=u , 0=T em ,0=y ,0≥x para 0≥t (1.5d)
em que Tw é a temperatura adimensional de superfície, qw é o fluxo de calor adimensional na
parede. As equações (1.2) – (1.4), sujeitas às condições iniciais e de fronteira (1.5), formam
um sistema de equações diferenciais não lineares com três variáveis independentes.
Muitas tentativas têm sido feitas ao longo dos anos no sentido de obter soluções
analíticas e numéricas das equações anteriormente apresentadas, quando associadas a
condições de fronteira específicas e usando diferentes aproximações matemáticas. Os
7
trabalhos levados a cabo por vários autores, como Yang (1960), Gebhart et al. (1967),
Menold e Yang (1962), Williams et al. (1987) e Abdel-el-Malek et al. (1990), estudaram o
fenómeno sob diversas hipóteses: a temperatura da parede Tw(x,t) variar apenas com o tempo,
variar apenas no espaço ou variar simultaneamente no tempo e no espaço e com soluções
semi-semelhantes ou semelhantes.
1.2.1 Soluções semelhantes e semi-semelhantes
No caso de semi-semelhança, o número de variáveis independentes do problema é
reduzido de três para duas, face ao caso semelhante, usando-se as aproximações adequadas.
Isto permite uma resolução numérica mais expedita, diminuindo o número de equações a
resolver. Com esta solução o regime transiente é clarificado, bem como a precisão do seu
cálculo.
Em geral, todas as investigações importantes de convecção natural em regime
transiente se referem ao caso da placa plana vertical, que é subitamente aquecida ou
arrefecida a temperatura constante, originando inicialmente um regime transiente que perdura
até se atingir o regime estacionário. Illingworth (1950), mostrou através de uma solução
semi-semelhante que, caso se aqueça subitamente uma placa vertical infinita, a temperatura
se desenvolve da mesma maneira que num sólido semi-infinito sujeito ao mesmo
aquecimento, ou seja, para um plano infinito, a transferência de calor é apenas efectuada por
condução unidimensional.
Para elucidar a passagem do regime transiente a estacionário foram necessárias mais
de duas décadas. Assim, Sugawara e Michiyoshi (1951) usaram sucessivas aproximações,
que simplificavam o problema, enquanto que Yang (1960) ou Miyamoto (1977) usaram o
método integral de Kárman-Pohlhausen.
1.2.2 Solução exacta
A única solução exacta do problema de convecção natural em regime transiente
sujeita a um aquecimento súbito numa placa plana vertical foi dado por Brown e Riley
(1973). Estes autores obtiveram variadas soluções válidas apenas para pequenos e elevados
valores do tempo adimensional 21
xt=τ , permitindo-lhes estimar o tempo no qual o regime
transiente é aplicável. Não foram previstas soluções para valores intermédios de τ.
8
1.2.3 Solução numérica
A solução numérica das equações (1.2) – (1.4), sujeitas às condições iniciais e de
fronteira (1.5), com Tw(x,t) = 1, que corresponde a um aquecimento súbito de uma placa, foi
primeiramente obtida por Hellums e Churchill (1962). Estes autores obtiveram a solução das
equações que regem o fenómeno em estudo com recurso ao método das diferenças finitas,
equações essas que têm três variáveis independentes. Brown e Riley (1974) obtiveram
igualmente uma solução numérica para as mesmas equações.
Outras soluções numéricas baseadas nas equações (1.2) – (1.4), com Tw(x,t) = 1 foram
estudadas por Ingham (1978c), reproduzindo os resultados de Hellums e Churchill (1962). O
autor demonstrou que, para as mesmas diferenças finitas, diminuindo o passo no tempo, a
divergência dos resultados era mais acentuada. Numa publicação posterior, ainda no mesmo
ano, Ingham (1978a) resolveu estas equações usando quatro métodos numéricos diferentes.
Todos estes resultados mostraram que a solução transiente unidimensional ocorria antes do
tempo teoricamente previsto e que o refinamento da malha tem que ser acentuado à medida
que os resultados deixam de tender para um limite aceitável.
Noutra publicação, Ingham (1978b) considerou o caso de convecção natural em
regime transiente numa placa vertical sujeita a um arrefecimento súbito, que é o problema
inverso do descrito por Brown e Riley (1973). Embora as equações que modelam o problema
sejam as mesmas, os dois problemas são diferentes na sua essência, como se verá mais
adiante.
De forma a verificar as hipóteses anteriormente descritas, Ingham (1985) assumiu que
Tw(x,t) = xm, sendo m uma constante, e resolveu as equações (1.2) a (1.5) para vários valores
de m, mas com a devida atenção dada para quando m → 0+, como se descreve de seguida.
Assumindo que a temperatura da parede Tw é dada por mw xT = , as equações (1.2) –
(1.4) podem ser reduzidas a duas variáveis independentes:
),(4
3
ητψ fxm+
= ; ),( ητθmxT = ; 4
1 m
x
t−=η ;
2
1 m
x
t−=τ (1.6)
Sendo m um expoente da lei de potência da temperatura, do fluxo de calor e da distribuição
de velocidade. O valor de m condiciona o regime estacionário. Assim, explica-se de seguida a
influência do mesmo na equação (1.6).
O caso de m < 1 foi resolvido por Ingham (1985) para Pr = 1, e alguns valores de m,
com as primeiras equações a serem resolvidas para baixos valores de τ. As equações foram
9
resolvidas seguindo o método passo-por-passo, para diferentes números de m, com 0<τ<2,25,
usando um método em tudo similar ao anteriormente descrito por Bloor e Ingham (1977).
Para o problema em que m > 1, a resolução numérica igualmente obtida por Ingham
(1985), com Pr = 1 e variados valores de m, permitiu ao autor chegar a uma solução não
trivial. Através desta, o autor obteve um valor próprio minγ , que depende de m, entrando este
num conjunto de equações complexas para a resolução do problema, da qual a dependência
do valor próprio se encontra expresso na tabela 1.1.
Tabela 1.1 – Variação do γmin com m para Pr = 1 (Ingham, 1985).
m γmin. 0,0 2,0158 0,1 2,4061 0,25 3,3453 0,5 5,9892 1,1 -40,670 1,5 -9,589 2,0 -5,695 4,0 -3,079
10,0 -2,190
O autor mostrou desta forma que para m < 1 os valores próprios são positivos e que para
valores m > 1 os valores próprios são negativos. Por outro lado, verificou ainda que quando
+→ 1m , γmin tende para valores elevados, mas negativos. Como principal conclusão, o autor
afirma que se m ≥ 1, a solução tende a ficar em regime estacionário, como descrito no
problema clássico de convecção natural numa placa plana vertical.
1.2.4 Influência de m na variação da rugosidade superficial adimensional e da
transferência de calor adimensional com a temperatura adimensional
A variação da rugosidade superficial adimensional, )0,(22 τη∂∂ f , e a transferência
de calor adimensional )0,(ηηθ ∂∂− , em função da temperatura adimensional τ , foi estudada
por Ingham (1985) e está representado na figura 1.6 para Pr = 1 e para alguns valores de m. É
facilmente verificável nesta figura que, quanto maior for m, mais rapidamente se atinge o
regime estacionário. Porém, a análise assimptótica para grandes valores de τ e com valores de
γmin dados na tabela 1.1, sugere que elevados valores de m são a aproximação ao regime
estacionário. Isto é particularmente importante para o caso em que m ≥ 0,5.
Contudo, para m = 0,1 e 0,025, o método numérico passo-por-passo utilizado
produziu oscilações nas transferências de calor máximas e mínimas, bem como na rugosidade
10
superficial, como se verifica na figura 1.6. Quando m ≤ 0, o esquema numérico falha e deixa
de existir uma solução que mostre a passagem do regime transiente a estacionário. Assim, o
caso que compreende 0 < m < 0.1 requer um cuidado especial.
Figura 1.6 – Variação da (a) rugosidade superficial adimensional, )0,(22 τη∂∂ f e (b) transferência de calor
adimensional )0,(τηθ ∂∂− , com a temperatura adimensional τ, para Pr =1, numa placa vertical (Ingham, 1985).
Os resultados referentes aos perfis de temperatura adimensional e velocidade
adimensional do fluido foram obtidos igualmente por Ingham (1985), para m = -0,1, 0, 0,001,
0,005, 0,025, 0,1, 0,25, 0,5, 1, 2 e 4, com Pr = 1. Na figura 1.7 apresenta-se o perfil de
temperatura adimensional, para m = -0,1, 0, 1 e 4, onde o regime estacionário está assinalado
com pontos. Esta figura mostra que para pequenos valores de m, os perfis de temperatura são
típicos do regime estacionário.
Figura 1.7 – Perfis de velocidade ),( ητη∂∂f para Pr = 1, (a) m = -0,1, (b) m = 0, (c) m = 1, (d) m = 4.
As soluções do regime estacionário estão indicadas com ● (Ingham, 1985).
11
1.2.5 Influência do número de Prandtl
Park e Carey (1985) observaram que o problema de convecção natural em regime
transiente tinha sido estudado em torno do número de Prandtl 1, para os gases, e do número
de Prandtl 7, para a água. Contudo, pouca informação foi sistematizada de forma a
estabelecer uma relação entre este e o fluxo de calor produzido.
Carey (1983) e (1984) estudou a convecção natural em regime transiente numa placa
plana vertical, com súbito aumento da temperatura superficial e com súbita geração do fluxo
de calor. As equações (1.2) – (1.4), para este problema, ficam sujeitas às seguintes condições
iniciais e de fronteira:
,0=u ,0=v 0=T para ,0≥y para todo x, t = 0 (1.7a)
,0=u ,0=v 0=T em x = 0, ,0>y 0>t (1.7b)
,0=u ,0=v 1=T em ,0=y ,0≥x t > 0 (1.7c)
,0→u 0→T para ,∞→y em todo o x, t > 0 (1.7d)
É assumido que em regime transiente existem duas regiões na camada limite: uma
interior, junto à superfície, que é dominada pelos efeitos viscosos, e outra externa, dominada
pelos efeitos térmicos e de inércia.
As análises propostas por Carey (1983) e (1984) e por Park e Carey (1985) para
resolução das equações (1.2) – (1.4) por um método computacional de primeira ordem visou
estimar o regime e a transferência de calor a moderados números de Prandtl. A influência a
baixos números de Prandtl, para o regime estacionário, tinha sido estudada anteriormente por
Kuiken (1968) e (1969).
1.2.5.1 Pr << 1
Vários modelos foram propostos para explicar este caso de Pr<<1, em particular por
Carey (1983) e (1984) e Park e Carey (1985), cuja compreensão não é de todo intuitiva.
Assim, foi proposto outro modelo por van Dyke (1985), segundo o qual foi estabelecido um
sub-modelo assimptótico composto por uma solução interior e uma solução exterior, com os
termos mínimos e máximos comuns a ambas as soluções. A solução uniformemente válida
para a velocidade do fluido u e para a temperatura local T, é dada pelas equações (1.8a) e
(1.8b), em que i é o operador complexo.
−
=
t
yerfciy
terfcitu
2
1Pr
2
14 22 (1.8a)
12
= y
terfcT
Pr
2
1 (1.8b)
Deve ser notado que a solução para u está de acordo com a solução obtida por Goldstein e
Briggs (1964) para a convecção natural numa placa plana vertical infinita.
O número de Nusselt local, Nu, dado para Pr<< 1, usando as equações na zona
interior é dado por:
∂∂
−∂∂
−= )0,,(Pr)0,,(Pr)(
121
021
41
xtT
xtT
Gr
Nuo
xξξ
(1.9)
Usando a solução analítica (1.8b) obtêm-se:
tGr
Nu
x.
Pr
41 π
= (1.10)
Também os perfis de velocidade do fluido e de temperatura obtidos pelas expressões das
zonas internas i e externas o, são dados por:
( )( ) ...Pr1
...Pr
22)(
1)(
12
1)(0
)(0
11)(
1)(
12
1
2)(
0)(
0
+−+++−+=
+−+++−+=
η
η
BCTTTTT
BCuuAuuu
oioi
oioi
(1.11)
sendo ),(2 xtA , ),(1 xtB , ),(2 xtB , ),(1 xtC e ),(2 xtC funções determinadas por Park e Carey
(1985), que, por razões de simplicidade, não se encontram aqui apresentadas.
Os perfis de temperatura e de velocidade do fluido típicos, obtidos pelos autores,
estão apresentados na figura 1.8, para Pr = 0,05, x = 100 e para diferentes valores do tempo.
Estes perfis foram obtidos por solução numérica, resolvendo as equações (1.2) – (1.4)
(mostradas a cheio na figura 1.8) e também usando os perfis de perturbação de ordem nula
apenas pelas equações (1.11) (representada por pontos na figura 1.8). Pode observar-se que a
solução de ordem nula se encontra já muito próxima da solução original, mostrando que os
termos de primeira ordem não melhoram os resultados apreciavelmente.
A figura 1.9 mostra a variação com 21
xt do número de Nusselt local dado pela
equação (1.9), para Pr = 0,05. Os resultados em regime estacionário foram obtidos por
Kuiken (1969) a partir da equação (1.10). Podemos verificar que a solução perturbada
coincide com a solução analítica dada pela equação (1.10) para evoluções temporais
pequenas e com a solução do regime estacionário de Kuiken para evoluções temporais
grandes.
13
Figura 1.8 – Perfis de (a) velocidade do fluido, u (t, x = 100, y), (b) de temperatura T (t, x = 100, y) para x = 100 e Pr = 0.05. As soluções numéricas estão indicadas a cheio e os perfis de perturbação de ordem nula por pontos
(Park e Carey, 1985).
Figura 1.9 – Variação do número de Nusselt local com 2
1xt para Pr = 0.05. A solução de regime estacionário
de Kuiken et al. (1969) está a cheio. A condução transiente definida pela equação (1.12) está indicada a tracejado e a expansão assimptótica (11) para x = 60 e x = 100 está indicada pelos símbolos ○ e ●,
respectivamente (Kuiken, 1969).
1.2.5.2 Pr >>1
As equações para o caso Pr>>1, que correspondem às condições iniciais e de fronteira
foram obtidas por Carey (1983). O perfil de temperatura uniformemente válido é dado pela
expressão (1.8b), sendo a equação para o perfil de velocidades dado por:
−
= yt
erfcit
yerfcitu
Pr
2
1
24 22 (1.12)
Também o número de Nusselt local pode ser expresso como:
+
∂∂
−∂
∂−=
−...)0,,(Pr)0,,(Pr
)(12
1)(
041
41
xtT
xtT
Gr
Nuii
xξη
(1.13)
14
Os perfis de velocidade, de temperatura bem como o número de Nusselt local, encontram-se
representados nas figuras 1.10 e 1.11 para Pr =16. Também a solução em regime estacionário
obtida por Kuiken (1968), se encontra na figura 1.11. De notar que as soluções numéricas
obtidas por Kuiken coincidem com a solução analítica descrita pelas equações (1.12) e (1.8b).
Figura 1.10 – Perfis de (a) velocidade do fluido, u (t, x = 100, y), (b) temperatura, T (t, x = 100, y) para x = 100 e Pr = 16. As soluções numéricas estão indicadas a cheio e as soluções uniformemente válidas (1.12) e (1.8b)
indicadas por pontos (Kuiken, 1968).
Figura 1.11 – Variação do número de Nusselt local com 2
1xt para Pr = 16. A solução em regime estacionário,
desenvolvida por Kuiken (1968) está representada a cheio. A condução transiente esta indicada a tracejado, a solução perturbada (1.13) para x = 60 e 100 está indicada com os símbolos ○ e ●, respectivamente e a solução
total para x = 60 e 100 está indicada pelos símbolos ∆ e ▲, respectivamente (Kuiken, 1968).
Actualmente, a utilização de modelos analíticos como os acima descritos tendem cada
vez mais a ser relegados para segundo plano no estudo de geometrias complexas em prol dos
métodos computacionais, mais fáceis de apreender e utilizar. Os modelos numéricos têm o
mérito de permitir compreender fisicamente a evolução dos diferentes parâmetros e
estabelecer ordens de grandeza típicas. Assim, neste trabalho optou-se por centrar o estudo
em redor das ferramentas numéricas disponíveis (CFD), para compreender os fenómenos
térmicos em jogo.
15
1.2.6 Utilização de métodos numéricos com validação experimental
A utilização de métodos numéricos deve ser acompanhada de um estudo
experimental, pelo menos num caso teste, de forma a validar os modelos utilizados. De
seguida descrevem-se alguns trabalhos numéricos realizados com o código comercial
FLUENT® (CFD), validados experimentalmente.
Um trabalho recente efectuado por Laguerre et al. (2008) mostrou duas abordagens
para a modelação de transferência de calor por convecção natural transiente num leito de
esferas e, de seguida, o autor comparou-as com os resultados experimentais. A primeira
abordagem tomada foi a da mecânica dos fluidos computacional, resolvendo directamente as
equações de Navier-Stokes bem como as equações de energia e de fase. O estudo incluiu
ainda a radiação entre as superfícies sólidas. A segunda abordagem utilizou métodos
desenvolvidos para meios porosos. Nesta, a transferência de calor teve em conta a convecção
de partículas, condução unidimensional e a radiação. O desenvolvimento numérico foi
efectuado com o código FLUENT®, tendo-se obtido resultados experimentais e numéricos
muito próximos.
Num outro trabalho anterior já tinham sido estudados cilindros dispostos
horizontalmente. Emery (2002) fez o estudo da transferência de calor da convecção natural e
da condução, em que os diversos parâmetros fundamentais variaram com o tempo (regime
transiente), estabelecendo uma comparação entre a correlação seleccionada
( 25.048.0 RaNu = ) e os dados obtidos pelo programa FLUENT®, obtendo desta forma bons
resultados, como visível na figura 1.12.
Figura 1.12 – Comportamento da temperatura adimensional e do fluxo normalizado com o tempo na solução
numérica e experimental (Emery, 2002).
No mesmo estudo ficou ainda patente que, mesmo no regime transiente, o código FLUENT®
consegue obter soluções com boas aproximações face às soluções analíticas.
16
No seu trabalho, Francis et al. (2002) realizaram o estudo da convecção natural numa
cavidade anular entre dois cilindros concêntricos usando o FLUENT® e reproduzindo os
resultados experimentais. O modelo de cálculo usado segue a abordagem de regime
estacionário, laminar, com uma gama de números de Rayleigh a variar entre 103 e 108,
verificando desta forma que os resultados numéricos obtidos são consistentes para
condutividades térmicas baixas, tal como expresso pelas correlações de Kuehn e Goldstein de
(1976) e (1978), conforme referido pelos autores.
1.3 Objectivos e contribuições do presente trabalho
Nos últimos anos temos assistido a um acentuado desenvolvimento no projecto de
geometrias axissimétricas inovadoras, relativamente ao mercado das águas de grande
consumo e do restante sector de bebidas em geral. Porém, a avaliação energética destas
geometrias tem sido pouco referenciada, facto este que, com as actuais preocupações
energéticas e ambientais, urge corrigir.
Este trabalho tem como objectivo primordial caracterizar as trocas de calor em duas
garrafas já comercializadas e numa outra projectada de raiz, de forma a estimar o tempo que
o seu interior demora a atingir uma dada temperatura. Por outro lado, pretende-se também
compreender de que forma as dimensões da garrafa e de uma caixa-de-ar isoladora, a
projectar, condicionam a transferência de calor transiente.
Tendo em conta que, tal como verificado na revisão bibliográfica efectuada, não
existe uma solução analítica de referência para o caso aqui em estudo (uma vez que o regime
é transiente e a geometria é axissimétrica), optou-se por efectuar um estudo experimental e
um estudo numérico, com validação do último.
A contribuição deste trabalho passa por encontrar uma relação entre a variação da
temperatura da água no interior da garrafa e a do ar exterior, de forma a melhor compreender
e optimizar o projecto de garrafas com geometria axissimétrica. Neste visto, e uma vez que a
garrafa projectada tem um comportamento térmico menos eficiente que as garrafas
comerciais, avançou-se com outro design menos tradicional – a forma esférica – para o qual
foi efectuado um estudo preliminar.
1.4 Estrutura da Tese
A presente tese encontra-se organizada em 5 capítulos.
O presente capítulo constitui a introdução, onde é definido o âmbito deste estudo. É
feita uma apresentação sumária dos mecanismos físicos presentes neste trabalho e de um
17
conjunto de parâmetros que os influenciam de forma decisiva. São ainda mencionados alguns
trabalhos anteriores onde foram utilizados códigos de CFD para a resolução deste tipo de
problemas.
O capítulo 2 é dedicado à instalação experimental, usada no estudo das garrafas
seleccionadas. É descrita toda a instalação experimental, bem como os materiais e a
metodologia aplicada.
No capítulo 3 são descritas as técnicas numéricas utilizadas. Este capítulo encontra-se,
por sua vez, dividido em 2 secções. Na primeira secção é apresentado, de forma descritiva, o
procedimento utilizado para se efectuar a construção das malhas dos casos estudados no
software GAMBIT®, de onde se destaca a referência ao número de elementos utilizados em
cada caso, e um estudo relativo à qualidade das malhas utilizadas. Na segunda secção são
apresentadas as equações matemáticas fundamentais que regem os modelos físicos do
problema e são abordados os principais algoritmos utilizados, que transformam as equações
diferenciais em algébricas, resolvidas pelo código FLUENT®. São ainda apresentadas as
hipóteses simplificativas, bem como as condições iniciais e de fronteira utilizadas.
O capítulo 4 é dedicado à apresentação dos resultados e encontra-se subdividido em 3
secções. Na primeira secção são analisados os resultados experimentais, com a apresentação
da evolução temporal da temperatura em quatro pontos distintos, no interior e exterior da
garrafa. De seguida, é feita uma comparação entre os valores das temperaturas medidas e os
valores correspondentes obtidos numericamente, com vista à validação dos modelos físico-
matemáticos utilizados. Realiza-se ainda na mesma secção um estudo de independência de
malha. A secção seguinte aborda variados resultados numéricos, sendo caracterizada a
evolução da temperatura média, dos campos de temperatura e dos campos de velocidade axial
e radial com o tempo para os casos estudados, e para uma nova geometria proposta - uma
garrafa esférica.
No capítulo 5 é feita a análise conclusiva do trabalho e proposto trabalho futuro.
18
19
Capítulo 2 Experimental
2.1 Objectivo do trabalho experimental
O trabalho experimental efectuado teve por fim, especificando um conjunto de
temperaturas impostas como condição de fronteira, quantificar a variação temporal da
temperatura da água no centro da garrafa, das superfícies interna e externa do invólucro e no
ambiente exterior à garrafa (o ar), de forma a compará-las com os resultados numéricos para
posterior validação.
Para quantificar as temperaturas referidas no meio líquido, gasoso e sólido, utilizou-se
um sistema electrónico com quatro termopares do tipo K. A partir dos valores das
temperaturas medidas, foi possível quantificar as trocas de energia entre o meio interno
(água) e externo (ar) à garrafa.
2.2 Instalação experimental
A instalação experimental encontra-se sumariamente esquematizada na figura 2.1 e é
constituída por múltiplos termopares, ligados a um sistema electrónico (Data Logger), uma
estufa e uma garrafa. Dados pormenorizados relativos a cada um dos equipamentos, bem
como o restante material utilizado encontram-se descritos nos pontos seguintes.
Como facilmente se observa, são introduzidos quatro termopares, dois no interior da
garrafa e outros dois fora desta, todos dentro da estufa.
Figura 2.1 – Representação esquemática da instalação experimental, com a identificação sumária de todo o
material utilizado e da disposição dos termopares.
20
2.2.1 Material utilizado
O procedimento experimental comporta os seguintes materiais e equipamentos:
- 1 estufa;
- 1 Data logger electrónico, com quatro termopares do tipo K;
- 3 garrafas comerciais de água de 0,33 l;
- 3 garrafas comercias de água de 1,5 l;
- 1 agulha de aço inoxidável com 2,0 mm de diâmetro;
- 1 frigorífico.
2.2.1.1 Estufa
A estufa é, por definição, um corpo volúmico cujo objectivo primordial é produzir e
manter calor no seu interior, possibilitando atingir temperaturas superiores à atmosfera
padrão. As estufas são compostas por uma caixa oca de paredes refractárias, tão adiabáticas
quanto possível, com uma fonte de calor por resistência eléctrica, que é regulada pelo
utilizador. As formas de transferência de calor existentes são, tipicamente, a convecção
natural ou forçada (dependendo se existe ou não um sistema de circulação de ar no interior da
estufa) e a radiação. Quando as temperaturas são na ordem das poucas centenas de graus
Kelvin, a convecção é claramente dominante face à radiação. A estufa utilizada neste trabalho
não apresenta sistema de circulação de ar no seu interior, pelo que os modos de transferência
são apenas por convecção natural e radiação. A fotografia da estufa encontra-se representada
na figura 2.2.
Características da estufa:
- Modelo WTC Binder;
- Potência disponível: 0,8 KW;
- Controlo analógico;
- Volume interno: ~ 0,035 m3;
- Interior em aço inoxidável;
- Parede de dupla camada revestida por lã de vidro;
- Aquecimento eléctrico através de resistências tubulares dispostas na região lateral;
- Temperaturas de operação da estufa entre os 25ºC e os 230ºC;
- Possui uma abertura no topo da estufa, para que os termopares do tipo K possam ser
inseridos no seu interior, minimizando o calor perdido pela sua dimensão reduzida;
- Dispõe de uma porta frontal de abertura lateral, equipada com vedação em silicone.
21
Figura 2.2 – Estufa eléctrica utilizada (IST, Pav. Mecânica I – Piso -1).
2.2.1.2 Termopares
O termopar é um dispositivo no qual dois metais diferentes são unidos para que a
ligação dos mesmos, mantidos a temperaturas diferentes, desenvolvam uma diferença de
potencial (ddp) num circuito fechado. Com esse diferencial de potencial dá-se o chamado
efeito Seebeck, que se deve ao facto de a densidade dos electrões livres diferirem de um
metal para o outro, em função da temperatura de cada um deles.
Este equipamento de cariz electrónico é capaz de efectuar medições de temperatura,
por intermédio de um sensor que se encontra imerso num meio, no ponto em que se pretende
avaliar a sua temperatura. Inicialmente os erros eram na ordem de 1ºC. Presentemente,
termopares pouco dispendiosos possuem erros inferiores a 0,1ºC. Uma outra característica
típica dos termopares actuais é executarem leituras de temperatura a cada intervalo de tempo
definido pelo utilizador. Os termopares disponíveis no mercado têm temperaturas máximas
de operação entre os 500ºC até 2500ºC, sendo a sofisticação e custo proporcionais à
temperatura máxima de leitura.
A classificação dos tipos de termopares tem por base a composição da sonda que
avalia a temperatura, sendo o utilizado neste trabalho da tipologia K (ligação de crómio com
alumínio). O termopar do tipo K é dos mais populares devido ao seu baixo custo, facilidade
de operação e gama de temperaturas máximas de funcionamento alargada, com valores que
variam entre os 200 ºC e os 1200 ºC.
Características do termopar do tipo K:
- Precisão: 0,1ºC;
- Faixa de utilização: -40 a 200 ºC
- Diâmetro do termopar: ~0,5 mm
22
Características do sistema electrónico (Data Logger):
- Modelo: OM-DAQPRO-5300;
- 75% de precisão de leitura do termopar;
- Tempos de leitura: desde 1 segundo até várias horas.
Figura 2.3 – Sistema electrónico (Data Logger) utilizado (www.omega.com)
2.2.1.3 Garrafas
As dimensões das garrafas encontram-se detalhadamente apresentadas em anexo
(Anexo 1). No entanto, para uma melhor compreensão do trabalho, apresentam-se de seguida
as propriedades do material que compõe as garrafas e as suas dimensões principais.
Propriedades do PET (Politereftalato de etila) (www.goodfellow.com):
- Coeficiente de fricção: 0,2 – 0,4;
- Tensão de ruptura: 2 a 4 GPa;
- Módulo de Young: 190 a 260 MPa;
- Massa volumica: 1,3 a 1,4 g/cm3, tomo: 1,40 g/cm3;
- Índice refractivo: 1,58 a 1,64;
- Resistência à radiação ultravioleta: boa;
- Coeficiente de expansão térmica: 6108020 −×− K-1;
- Temperatura de deflexão de calor a 4,5 bar: 115 ºC;
- Temperatura de defecção de calor a 18 bar: 80 ºC;
- Temperatura mínima de serviço: -40 a -60 ºC;
- Calor específico: 1200 a 1350 J/(K.Kg), tomo: 1350 J/(Kg.K);
- Condutividade térmica a 23ºC: 0,15 a 0,4 W/(m2K), tomo: 0,400 W/(m2K);
- Temperatura máxima de serviço: 115 a 170 ºC.
A garrafa comercial de 0,33 l apresenta as seguintes dimensões (ver figura 2.4.a):
- D: 60 mm;
- H: 156 mm;
23
Analogamente para a garrafa comercial de 1,5 l as dimensões são (ver figura 2.4.b):
- D: 88 mm;
- H: 321 mm;
Figura 2.4 – Dimensões das garrafas utilizadas (a) comercial de 0,33 l e (b) comercial de 1,5 l.
2.2.1.4 Água
A água utilizada no ensaio foi a que estava contida, de origem, dentro das garrafas e
que é proveniente de Chamoim, Terras de Bouro – Portugal, com a seguinte composição
característica:
- Res. Seco (@ 180ºC) 25,8± 4 mg/l;
- Sílica 9,6± 2 mg/l;
- pH (@ 18ºC) 5,8;
- ANIÕES:
Hidrogenoc. (HCO3) 8,0± 0,8 mg/l;
Cloreto (Cl-) 4,2± 0,4 mg/l;
Sulfato (SO42-) 1,0 ± 0,2 mg/l;
- CATIÕES:
Sódio (Na+) 4,1± 0,4 mg/l;
Cálcio (Ca2+) 1,3± 0,3 mg/l;
Potássio (K+) 0,6± 0,1 mg/l.
24
2.2.1.5 Ar ambiente
O ar ambiente que constitui a atmosfera interior da estufa apresenta as seguintes
condições médias:
- Pressão: atmosférica (101 KPa);
- Temperatura: 40,40ºC para o ensaio da garrafa comercial de 0,33 l e 42,63ºC para a garrafa
comercial de 1,5l (valores discutidos mais adiante, no capitulo 4);
- Humidade relativa: ~ 35%.
2.2.2 Procedimento experimental
O primeiro passo do procedimento experimental consistiu em assegurar uma
temperatura aproximada de 40ºC no interior da estufa. Para impor esta temperatura no
interior da estufa procedeu-se da seguinte forma:
(a) – A estufa é ligada no botão timer, colocando-a no modo infinito, ou seja, colocando esta
a funcionar durante um tempo infinito.
(b) – De seguida, no botão de regulação da temperatura, coloca-se na posição de 40ºC, até
que o ar da estufa atinja essa temperatura.
A segunda tarefa do procedimento experimental consistiu em calibrar e ajustar o
termopar electrónico, de forma a registar a evolução das várias temperaturas com o tempo:
(a) – Foram seleccionados para tal quatro sensores, que estão simbolicamente representados
por 4 cores e às quais correspondem a numeração (i) até (iv), descrita na tabela 2.1, e já
apresentada na figura 2.1.
(b) – Especificou-se que a leitura do termopar electrónico deveria ser obtida a cada 10
segundos, sendo portanto a variação temporal, st 10=∆ .
Tabela 2.1 – Descrição sumária da posição dos vários termopares utilizados e da sua nomenclatura. Designação da temperatura
registada
Termopar Cor Localização
Tsup. Int Gar. (i) Amarelo Na superfície interna da garrafa Tágua (ii) Azul No centro interno da garrafa
Tsup. Ext.Gar. (iii) Laranja Na superfície externa da garrafa Tar (iv) Verde No interior da estufa
O terceiro passo do método experimental consistiu em preparar as garrafas que viriam
a ser estudadas. Este foi realizado da seguinte forma:
(a) – Com uma agulha de 2,0 mm de diâmetro procedeu-se à execução de um furo na zona
central da tampa da garrafa, inserindo por este as sondas no interior da garrafa.
25
(b) – Colocou-se o termopar referente à atmosfera ambiente (ar da estufa), dispondo o
termopar (iv) na zona intermédia da estufa.
(c) – Inseriram-se as garrafas no interior de um frigorífico de forma a que a temperatura da
água no seu interior se encontrasse abaixo dos 5ºC (sendo esta a temperatura considerada
inicial).
(d) – Tão rápido quanto possível, introduziram-se dentro da garrafa os termopares (i) na zona
interior da garrafa junto à parede, e (ii) na zona central da garrafa. Finalmente colocou-se o
termopar (iii) na superfície externa da garrafa. De notar que os termopares de (i) a (iv) foram
dispostos todos à mesma cota vertical, localizando-se todos, para o caso da garrafa comercial
de 0,33 l a 80 mm da base da garrafa e para a comercial de 1,5 l a 185 mm da base da garrafa.
(e) – Seguidamente colocou-se a garrafa dentro da estufa, dispondo-a a meio da estufa, para
que as paredes tivessem um efeito uniforme sobre a garrafa.
(f) – Por fim, fechou-se a estufa e ligou-se o sistema electrónico, esperando que fosse
atingida dentro da garrafa uma temperatura próxima dos 40ºC.
(g) – Repetiu-se o procedimento de (a) a (f) para o caso da garrafa comercial de 1,5 l.
26
27
Capítulo 3 Modelação geométrica, física, matemática e
numérica 3.1 Geração das malhas
Nesta secção serão explanadas as formas como foram construídas as geometrias das
garrafas, como foram geradas as malhas e o tipo de elementos nelas utilizados.
As geometrias e as malhas foram construídas em ambiente GAMBIT®, totalizando 17
casos, posteriormente utilizadas pelo FLUENT®.
Foram estudados 2 casos distintos tipificadores das geometrias analisadas neste
trabalho:
1. Caso base – A geometria original das garrafas foi mantida, sendo o domínio de solução
constituído por três regiões, designadas por interior da garrafa, invólucro e exterior da
garrafa. Esta geometria, referente à garrafa comercial de 0,33 l pode ser facilmente
observável na figura 3.1. As restantes garrafas encontram-se esquematizadas em anexo
(Anexo 1).
2. Caso caixa-de-ar – a geometria interior das garrafas e o seu invólucro original (invólucro
interno) é mantido, sendo adicionado um segundo invólucro (invólucro externo) em redor do
primeiro. Este caso foi estudado para as garrafas comercial de 0,33 l, comercial de 1,5 l e
projectada de 0,33 l, com três espaçamentos distintos para a espessura da caixa-de-ar. Este
caso é constituído por cinco domínios designados por interior da garrafa, invólucro interno,
caixa-de-ar, invólucro externo e exterior da garrafa. Para diferenciar os diversos casos foi
definido um parâmetro adimensional,int/ DDext
que relaciona o diâmetro máximo do invólucro
interno com o do invólucro externo para as três garrafas seleccionadas e cujos valores são
mostrados na tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Dimensões da espessura da caixa-de-ar para as garrafas comercial de 0,33 l, comercial de 1,5 l e projectada de 0,33 l.
Dimensão da espessura da caixa-de-ar [mm] Dext/Dint
Comercial 0,33 l Comercial 1,5 l Projectada 0,33 l 1,05 1,5 2,2 1,8 1,08 2,5 3,5 3,0 1,12 3,5 5,3 4,8
Devido à condição de simetria axial, a geometria do problema, representada na figura
3.1 foi tomada como bidimensional, na medida em que torna mais expedita a sua resolução,
28
tanto a nível geométrico, como a nível computacional, possibilitando importantes ganhos no
tempo de cálculo, sem perda de precisão. Pelo contrário! A simetria axial permite o uso de
malhas muito mais refinadas no caso bidimensional que no caso tridimensional.
Devido à condição de geometria axissimétrica do problema, foi necessário colocar o
eixo de simetria sobre o eixo xx, uma vez que o código FLUENT® executa as revoluções
sempre em torno do eixo horizontal. Para representar a realidade é, também, segundo o eixo
horizontal que se faz actuar a gravidade.
Figura 3.1 – Representação dos domínios e dimensões da garrafa comercial de 0,33 l.
As três garrafas de água estudadas e que se supuseram ter um volume de água de 0,33
l, na verdade apresentam ligeiras diferenças volumétricas. O volume interno de água nas
garrafas foi calculado pelo FLUENT® de acordo com a seguinte expressão:
∫∫= rdrdzV π2 (3.1)
em que o r refere-se à direcção Y e o z refere-se à direcção X, presentes na figura 3.1.
Na tabela 3.2 apresenta-se o volume de água real contido no interior de cada uma das quatro
garrafas.
Tabela 3.2 – Volume interno de água para as três garrafas estudadas. Garrafa Volume interno [l]
Comercial 0,33l 0,402 Comercial 1,5l 1,551 Projectada 0,33l 0,325 Esférica 0,33l 0,334
29
3.1.1 Elementos considerados
Procedeu-se então à tarefa de criar as malhas de cada um dos domínios de forma
estruturada e com um tipo de elemento específico. Assim, na zona interior da garrafa, foram
utilizados elementos quadrados. Nas zonas do invólucro interno e externo foram utilizados
igualmente elementos quadrados, em que a relação entre arestas é bastante superior à
unidade, sendo uma das dimensões (espessura) muito menor que a outra (comprimento). Na
zona exterior da garrafa e na caixa-de-ar foram utilizados elementos triangulares, pois eram
os que preenchiam o domínio da forma mais eficiente.
3.1.2 Construção das malhas para os diversos casos
Como já referido, as malhas foram construídas de uma forma estruturada e com o
mesmo refinamento. A excepção refere-se ao caso base – caso 3 (maior refinamento), para o
qual foi usado um refinamento maior junto do invólucro externo e menor à medida que nos
afastávamos do centro da garrafa, com vista a diminuir a carga computacional e tornar
exequível o tempo da simulação.
3.1.2.1 Caso base – malhas para estudo de independência de malha
O estudo de independência de malha que se efectuou neste trabalho foi realizado
apenas para as garrafas comercial de 0,33 l e comercial de 1,5 l, no caso base, tendo sido para
tal desenvolvidas três malhas distintas com diferentes refinamentos. Posteriormente, e perante
a evidência de ineficiência térmica da garrafa projectada, resolveu-se estudar uma garrafa de
forma esférica, tendo-se recorrido para tal a uma malha de dimensão intermédia.
De forma a elucidar o procedimento de refinamento de malha tome-se por base a
garrafa comercial de 0,33 l. Escolha-se aquela que virá a ser a aresta de referência, no caso a
mais pequena (assinalada na figura 3.2 que mostra em detalhe algumas regiões da garrafa e a
respectiva malha), e construa-se uma malha mais grosseira – caso 1 (ver figura 3.2.a). De
seguida, duplique-se o número de divisões dessa aresta para gerar a malha intermédia – caso
2 (ver figura 3.2.b) e volte-se a duplicar o referido número de divisões (ver figura 3.2.c) para
gerar a malha mais refinada – caso 3. A mesma metodologia foi utilizada para o caso da
garrafa comercial de 1,5 l, cujos detalhes relativos às malhas são apresentadas no Anexo 2. O
número de elementos usados no caso base encontra-se na tabela 3.3. Relativamente às
garrafas projectada de 0,33 l e esférica de 0,33 l utilizou-se uma malha intermédia com um
refinamento semelhante ao utilizado na figura 3.2.b, presente no Anexo 2. Os resultados
relativos à independência de malha serão analisados em detalhe no capítulo 4.
30
(a) (b) (c)
Figura 3.2 – Pormenor da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base: (a) caso 1, (b) caso 2, (c) caso 3.
3.1.2.2 Caso caixa-de-ar – malhas usadas
Após a construção das malhas do caso base, e verificando a independência de malha
(discutida no capítulo 4), procedeu-se à construção das malhas que compõem o caso caixa-
de-ar, tendo como ponto de partida os refinamentos usados no caso base. Na figura 3.3 está
representado o pormenor das malhas utilizadas na garrafa comercial de 0,33 l, para as três
espessuras seleccionadas. Nesta figura estão ainda representados os seguintes domínios no
sentido crescente do eixo Y (radial): interior da garrafa, invólucro interno (representado a
amarelo), caixa-de-ar, invólucro externo (representado a azul) e o exterior da garrafa. Os
detalhes referentes às restantes garrafas estão disponíveis no Anexo 2. Para a garrafa esférica,
como discutido no capítulo 4, não se fez o estudo do caso caixa-de-ar.
Tabela 3.3 – Número de elementos utilizados no caso base e no caso caixa-de-ar.
Garrafa Caso base Número de elementos Caso
caixa-de-ar Número de elementos
1 47229 1,5 mm 79559 2 183917 2,5 mm 80441 Comercial 0,33l 3 232974 3,5 mm 81222 1 113905 2,2 mm 450827 2 451624 3,5 mm 450291 Comercial 1,5l 3 597148 5,3 mm 451099
1,8 mm 82114 3,0 mm 83017
Projectada 0,33l
2 187427
4,3 mm 85286 Esférica 0,33l 2 185141
O refinamento do caso caixa-de-ar foi realizado da seguinte forma:
1. Nas garrafas comercial de 0,33 l e projectada de 0,33 l utilizou-se um refinamento
semelhante ao apresentado na figura 3.2.b (refinamento intermédio) no interior da garrafa, no
invólucro interno, invólucro externo e na caixa-de-ar. Na zona exterior das garrafas foi
utilizado um refinamento semelhante ao presente na figura 3.2.a (baixo refinamento).
31
2. Na garrafa comercial de 1,5 l foi utilizado um refinamento uniforme em todos os
domínios semelhante ao descrito na figura 3.2.b (refinamento intermédio). A razão pela qual
se adoptaram diferentes refinamentos entre as garrafas em análise nos domínios de exteriores
prendeu-se exclusivamente com o tempo de cálculo computacional requerido.
(a) (b) (c)
Figura 3.3 – Pormenor da malha estruturada na garrafa comercial de 0,33 l – Caixa-de-ar com espessura de: (a) 1.5 mm, (b) 2.5 mm, (c) 3.5 mm.
3.1.2.3 Índice de qualidade das malhas
Após a construção das malhas houve necessidade de quantificar a sua qualidade.
Recorrendo ao GAMBIT® analisaram-se cinco parâmetros que permitem quantificar a
qualidade das malhas, dos quais se destacam dois.
O primeiro parâmetro é o ângulo de distorção (equiangle skew) da malha, que
representa a deformação angular a que um objecto se encontra sujeito. Este parâmetro é
definido da seguinte forma:
equiangle skew = ( ) ( ) ( ){ }eeeemáx QQQQQQmáx /,180/0.1 min−−−− (3.2)
em que máxQ é o maior ângulo de um elemento, minQ é o menor ângulo de um elemento e eQ
é o equiângulo de um elemento (60º para o triângulo e 90º para o quadrado).
O segundo parâmetro é o aspecto geométrico (aspect ratio) da malha, que quantifica a
razão entre a largura e a altura de um elemento. Tanto quanto possível um elemento deverá
ter um aspecto geométrico próximo da unidade, sendo desaconselhável que esta relação
ultrapasse 3.
A tabela 3.4 apresenta os resultados das malhas referentes ao ângulo de distorção,
podendo verificar-se que mais de 97% dos elementos de todas as malhas apresentam um
ângulo de distorção inferior a 25%, pelo que podemos afirmar, em termos globais, que as
malhas apresentam, para este parâmetro, um bom índice de qualidade.
32
Tabela 3.4 – Distribuição do ângulo de distorção para as malhas seleccionadas. Ângulo de distorção (Equiangle Skew)
Garrafa Caso Nº Elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0
Base - caso 1 47229 46131 (97,68%) 1001 (2,12%) 92 (0,19%) 4 (0,01%) 1 (0,00%)
Base - caso 2 183917 182025 (98,97%) 1695 (0,92%) 187 (0,10%) 10 (0,01%) 0 (0,00%)
Base - caso 3 232974 229177 (98,37%) 3503 (1,50%) 292 (0,13%) 2 (0,00%) 0 (0,00%)
Caixa-de-ar com 1,5 mm 79559 77335 (97,20%) 2067 (2,60%) 152 (0,19%) 4 (0,01%) 1 (0,00%)
Caixa-de-ar com 2,5 mm 80441 78386 (97,45%) 1901 (2,36%) 150 (0,19%) 3 (0,00%) 1 (0,00%)
Comercial 0,33 l
Caixa-de-ar com 3,5 mm 81222 79560 (97,95%) 1506 (1,85%) 151 (0,19%) 4 (0,00%) 1 (0,00%)
Base - caso 1 113905 111992 (98,32%) 1697 (1,49%) 209 (0,18%) 5 (0,00%) 2 (0,00%)
Base - caso 2 451624 447525 (99,09%) 3607 (0,80%) 475 (0,11%) 14 (0,00%) 3 (0,00%)
Base - caso 3 597148 585183 (98,00%) 10696 (1,79%) 1214 (0,20%) 46 (0,01%) 9 (0,00%)
Caixa-de-ar com 2,2 mm 450827 445522 (98,82%) 3276 (0,72%) 105 (0,13%) 14 (0,02%) 1 (0,00%)
Caixa-de-ar com 3,5 mm 450291 445286 (98,89%) 2983 (0,66%) 107 (0,13%) 14 (0,02%) 2 (0,00%)
Comercial 1,5 l
Caixa-de-ar com 5,3 mm 451099 446171 (98,91%) 2829 (0,63%) 108 (0,13%) 12 (0,01%) 1 (0,00%)
Base - caso 2 187427 186032 (99,26%) 1259 (0,67%) 118 (0,06%) 18 (0,01%) 0 (0,00%)
Caixa-de-ar com 1,8 mm 82114 81024 (98,67%) 970 (1,18%) 105 (0,13%) 14 (0,02%) 1 (0,00%)
Caixa-de-ar com 3,0 mm 83017 81973 (98,74%) 921 (1,11%) 107 (0,13%) 14 (0,02%) 2 (0,00%) Projectada 0,33 l
Caixa-de-ar com 4,3 mm 85286 84107 (98,62%) 1058 (1,24%) 108 (0,13%) 12 (0,01%) 1 (0,00%)
Esférica 0,33 l Base - caso 2 185141 184160 (99,47%) 956 (0,52%) 18 (0,01%) 7 (0,00%) 0 (0,00%)
Tabela 3.5 – Distribuição do aspecto geométrico para as malhas seleccionadas.
Aspecto geométrico (Aspect Ratio)
Garrafa Caso Nº Elementos
0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Máximo Inferior a 3
Base - caso 1 47229 46513
(98,48%) 20 (0,04%)
391 (0,83%)
275 (0,58%)
30 (0,06%)
30 46511 (98,48%)
Base - caso 2 183917 182496
(99,23%) 510
(0,28%) 865
(0,47%) 44 (0,02%) 2 (0,00%) 20
182485 (99,22%)
Base - caso 3 232974 230152
(98,79%) 497
(0,21%) 2186
(0,94%) 53 (0,02%)
86 (0,04%)
3 230160
(98,79%) Caixa-de-ar com 1,5
mm 79559
78640 (98,84%)
910 (1,14%)
8 (0,01%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) 15 78446 (98,60%)
Caixa-de-ar com 2,5 mm
80441 79328
(98,62%) 1071
(1,33%) 35 (0,04%) 6 (0,01%) 1 (0,00%) 12 79328 (98,62%)
Comercial 0,33 l
Caixa-de-ar com 3,5 mm
81222 80291
(98,85%) 907
(1,12%) 23 (0,03%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) 14 80109 (98,63%)
Base - caso 1 113905 112549
(98,81%) 136
(0,12%) 485
(0,43%) 673
(0,59%) 62
(0,05%) 30
112547 (98,81%)
Base - caso 2 451624 448916
(99,40%) 141
(0,03%) 580
(0,13%) 1581
(0,35%) 406
(0,09%) 14
448916 (99,40%)
Base - caso 3 597148 591648
(99,08%) 366
(0,06%) 1157
(0,19%) 3163
(0,53%) 814
(0,14%) 7
591877 (99,12%)
Caixa-de-ar com 2,2 mm
450827 450758
(99,98%) 68 (0,02%) 0 (0,00%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) 5
450826 (100,00%)
Caixa-de-ar com 3,5 mm
450291 450039
(99,94%) 193
(0,04%) 57 (0,01%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) 4
450290 (100,00%)
Comercial l,5 l
Caixa-de-ar com 5,3 mm
451099 451041
(99,99%) 57 (0,01%) 0 (0,00%) 0 (0,00%) 1 (0.00%) 7
451097 (100,00%)
Base - caso 2 187427 186052
(99,27%) 227
(0,12%) 1148
(0,61%) 0 (0,00%) 0 (0,00%) 20
186025 (99,25%)
Caixa-de-ar com 1,8 mm
82114 82113
(100.00%) 0 (0,00%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) 0 (0,00%) 20 81048 (98,70%)
Caixa-de-ar com 3,0 mm
83017 81914
(98,67%) 163
(0,20%) 939
(1,13%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) 8 81950 (98,71%)
Projectada 0,33 l
Caixa-de-ar com 4,3 mm
85286 84154
(98,67%) 618
(0,72%) 477
(0,56%) 36 (0,04%) 1 (0,00%) 9 84213 (98,74%)
Esférica 0,33 l Base - caso 2 185141 184179
(99,48%) 12 (0,01%)
205 (0,11%)
521 (0,28%)
224 (0,12%)
13 184177
(99,48%)
33
No que respeita ao aspecto geométrico, verificou-se que este também respeita em
quase todo o domínio uma relação menor que 3, como é possível comprovar na tabela 3.5,
que mostra os resultados das malhas referentes a este parâmetro de qualidade. As excepções
ocorrem em grande parte do domínio que compõe o invólucro interno e externo mas, como se
pode constatar, mais de 98% da totalidade das malhas apresentam um aspecto geométrico
inferior a 3. Além disso, como nos invólucros o calor se transfere exclusivamente por
condução, o aspecto geométrico é menos relevante. Outros parâmetros igualmente relevantes,
que permitem avaliar a qualidade da malha, encontram-se expressos em detalhe em anexo
(Anexo 3), sendo estes a Area, Edge Ratio e o EquiSize Skew, que confirmam a tendência dos
dois parâmetros aqui apresentados, pelo que genericamente as malhas geradas apresentam um
bom índice de qualidade.
3.2 Modelo físico, matemático e numérico
Nesta secção apresentam-se as equações que regem a dinâmica dos fluidos e a
transferência de energia de um escoamento laminar no interior de um domínio bidimensional
em coordenadas cilíndricas axissimétricas, i.e., é apresentado o modelo físico-matemático
usado na simulação numérica do escoamento de ar quente em redor de uma garrafa de água
fria.
O processo físico aqui estudado dependente acentuadamente das seguintes condições
e parâmetros: a espessura do invólucro da garrafa, as temperaturas do meio interno e externo
da garrafa, as propriedades dos fluidos de trabalho (ar e água) e o regime de funcionamento.
A espessura do invólucro da garrafa foi assumida constante neste estudo e com um valor de
0,3 mm em todo o domínio que circunda a garrafa, quer para o invólucro interno (casos base
e caixa-de-ar), quer para o invólucro externo (caso caixa-de-ar).
3.2.1 Condições e hipóteses simplificativas
As condições e hipóteses simplificativas tidas em conta na obtenção e resolução das
equações diferenciais que regem o fenómeno em estudo foram as seguintes:
- Geometria axissimétrica;
- Regime transiente;
- Regime laminar (RaH < 109);
- Fluidos de trabalho newtonianos;
- Propriedades constantes;
34
- Aproximação de Boussinesq para os termos das forças de impulsão nos escoamentos de
convecção laminar para o ar e para a água;
- A transferência de calor por radiação não relevante;
- Termo de dissipação viscosa na equação de energia desprezado (aproximação usual em
escoamentos a baixa velocidade, permitindo usar a temperatura como variável dependente);
- Ausência de reacções químicas;
- Espessura do invólucro da garrafa constante e rugosidade superficial desprezável.
3.2.2 Equações diferenciais regentes do fenómeno em estudo
As equações que de seguida se descrevem regem os fenómenos do problema
anteriormente descrito, tendo em conta todas as aproximações e simplificações tomadas
anteriormente (obtidas de FLUENT 6.2 User’s Guide, (2005)). A equação de conservação de
massa ou da continuidade é dada por:
( ) 0. =∇+∂∂
vt
ρρ (3.3)
A equação do balanço de quantidade de movimento no referencial é dada por:
( ) ( ) ( ) Fpvvvt
+∇+−∇=∇+∂∂ τρρ .. (3.4)
em que p é a pressão estática, τ é o tensor das tensões (descrito abaixo) eF são as forças
volúmicas que, no caso, traduzem a força de impulsão.
O tensor das tensões τ é dado por:
∇−
∇+∇= Ivvv
T
.3
2µτ (3.5)
sendoµ a viscosidade molecular, I o tensor unitário e o segundo termo do segundo membro é
o efeito da dilatação volumétrica.
A equação de transporte da energia é dada por:
( ) ( )( ) ( )
+−∇∇=+∇+
∂∂
∑ vJhTkpEvEt j
jj ... τρρ (3.6)
em que k é a condutividade térmica do material, jJ é o fluxo difusivo das espécies j. Os três
termos do segundo membro da equação (3.6) representam a transferência de calor por
condução, a difusão de espécies e a dissipação viscosa, respectivamente. Na expressão (3.6) a
energia E do sistema é definida [FLUENT 6.2 User’s Guide, (2005)] da seguinte forma:
35
2
2vphE +−=
ρ (3.7)
cuja entalpia sensível h é definida, para escoamentos incompressíveis, como:
∑ +=ρp
hYh jj (3.8a)
e para gases perfeitos como:
∑ +=ρβ
jj hYh (3.8b)
Nas equações (3.8a) e (3.8b) Yj a fracção mássica das espécies j e hj é definida [FLUENT 6.2
User’s Guide, (2005)] como:
∫=T
T jpjref
dTCh , (3.9)
sendo a temperatura de referência Tref igual a 298,15 K.
3.2.2.1 Aproximação de Boussinesq
Como atrás referido, foi utilizada a aproximação de Boussinesq para modelar a força
de impulsão nos escoamentos de convecção natural do ar e da água, que permite obter uma
convergência rápida. Segundo este modelo a massa volúmica é tratada como um valor
constante na resolução de todas as equações, excepto nos termos de impulsão que,
obedecendo à lei de Boussinesq, se expressa de acordo com a expressão:
gTTg )()( 000 −−≈− βρρρ (3.10)
em que 0ρ é a massa volúmica à temperatura 0T , 0T é uma temperatura de referência, g é o
valor da aceleração gravítica tomando o valor de 9,81 m/s2 eβ é o coeficiente de expansão
térmica. A equação (3.10) é pois obtida com recurso à aproximação de Boussinesq
( )[ ]00 1 TT −−= βρρ . Esta aproximação é tanto mais precisa quanto menores forem as
variações temporais da massa volúmica e apenas é válida quando 1)( 0 <<−TTβ [Incropera e
deWitt, (2002) e FLUENT 6.2 User’s Guide, (2005)].
3.2.3 Condições iniciais e condições de fronteira
Na utilização do modelo numérico para a realização deste trabalho houve necessidade
de especificar as condições iniciais e de fronteira. Para melhor visualização de todas as
condições de fronteira apresenta-se a título de exemplo o domínio de cálculo da garrafa
36
comercial de 1,5 l, onde foram implementadas as condições iniciais e de fronteira definidas
no código FLUENT®, que se descrevem de seguida.
Figura 3.4 – Representação do domínio de cálculo da garrafa comercial com 1,5 l.
No estudo de independência de malha e na validação numérica do modelo utilizado
foram assumidas as seguintes condições iniciais e de fronteira, tendo em conta que xx é a
direcção axial é a yy direcção radial:
1. Garrafa comercial de 0,33 l:
Condições iniciais:
Tinterior garrafa = 278,0 K, para t = 0 s
Texterior garrafa = 313,35 K, para t = 0 s
Condições de fronteira:
T = 313,35 K, para toda a superfície de controlo
0=∂∂
y
T, para o eixo de simetria;
0=∂∂
x
T, para o topo da garrafa;
vx = 0 e vy = 0 em todas as superfícies de fronteira (condição de não escorregamento).
As temperaturas especificadas para o exterior da garrafa e para a superfície de controlo
correspondem à temperatura média do ar registada no interior da estufa durante a realização
experimental. Relativamente à condição imposta no topo da garrafa, considerou-se o topo
adiabático para todos os casos estudados, como aproximação.
2. Garrafa comercial de 1,5 l:
Condições iniciais:
Tinterior garrafa = 278,0 K, para t = 0 s
Texterior garrafa = 315,63 K, para t = 0 s
37
Condições de fronteira:
T = 315,63 K, para toda a superfície de controlo
0=∂∂
y
T, para o eixo de simetria;
0=∂∂
x
T, para o topo da garrafa;
vx = 0 e vy = 0 em todas as superfícies de fronteira (condição de não escorregamento).
Analogamente ao referido no ponto anterior, a temperatura média da estufa medida
experimentalmente foi imposta como condição inicial e de fronteira tanto no exterior da
garrafa como na superfície de controlo, respectivamente.
Relativamente aos restantes casos, em que se pretendia simular a inclusão de uma
caixa-de-ar face ao caso base foram assumidas as seguintes condições iniciais e de fronteira:
3. Garrafa comercial de 0,33 l, comercial de 1,5 l, projectada de 0,33 l e esférica de 0,33 l:
Condições iniciais:
Tinterior garrafa = 278,0 K, para t = 0 s
Texterior garrafa = 313,0 K, para t = 0 s
Condições de fronteira:
T = 313,0K, para a superfície de controlo
0=∂∂
y
T, para o eixo de simetria;
0=∂∂
x
T, para o topo da garrafa;
vx = 0 e vy = 0 em todas as superfícies de fronteira (condição de não escorregamento).
A aceleração gravítica g utilizada foi de 9,81 m/s2 no sentido positivo dos eixos dos xx
da figura 3.4 e foi imposta uma pressão atmosférica com o valor de 101325 Pa.
3.2.4 Modelo numérico
O modelo numérico utilizado para resolução das equações (3.3) a (3.10), sujeitas às
condições iniciais e de fronteira descritas acima foi baseado no método dos volumes finitos,
que o FLUENT® utiliza.
Para os algoritmos de solução presentes no FLUENT® utilizaram-se as seguintes
opções:
1. solver segregated, que resolve cada equação de sua vez, sendo particularmente
indicado para simulações em coordenadas com simetria axial e em regime transiente;
38
2. formulação temporal implícita (de 1ª ordem), especialmente aconselhável para o
solver utilizado.
A ligação entre a velocidade e a pressão (Pressure-Velocity Coupling) foi resolvida
usando o algoritmo PISO. A discretização foi efectuada recorrendo ao esquema PRESTO!
para a pressão e ao esquema QUICK para as restantes variáveis cuja descrição será feita mais
adiante (3.2.4.1).
Os factores de subrelaxação foram modificados face aos valores que estão por defeito
no código FLUENT® de forma a assegurar a convergência do método e a estabilizar os
valores dos campos das variáveis dependentes, tendo sido para tal tomados os seguintes
valores: 0,8 para a pressão e para a massa volúmica, 0,2 para as forças mássicas e para as
equações de quantidade de movimento e 1,0 para a equação de energia.
Os dados relativos às propriedades dos materiais e fluidos introduzidos ou definidos
por defeito no FLUENT®, bem como os das hipóteses modeladas podem ser consultadas na
tabela 3.6.
Tabela 3.6 – Propriedades dos materiais introduzidos no FLUENT®.
Fluido Sólido Ar Água PET
Boussinesq Boussinesq Constante Massa volúmica [kg/m3]
1,1847 998,0 1400 Constante Constante Constante Calor específico a pressão
constante [J/kg.K] 1006,4 4182,0 1400 Constante Constante Constante Condutividade térmica
[W/mK] 2,59E-02 0,600 0,400 Constante Constante
Viscosidade [kg/m.s] 1,78E-05 1,00E-03
-
Constante Constante Coeficiente de expansão Térmica [1/K] 3,39E-03 2,27E-03
-
3.2.4.1 Formulação do modelo numérico
Como referido anteriormente, o FLUENT® utiliza a técnica de integração numérica de
volumes finitos definidas por uma malha para converter as equações diferenciais de
transporte em equações algébricas, passíveis de serem resolvidas por um qualquer algoritmo
matricial. Esta técnica consiste em integrar as equações regentes em cada volume de controlo,
convertendo-as em equações discretizadas que traduzem uma conservação de cada
quantidade dentro deste.
Todas as equações resolvidas neste estudo podem ser condensadas da seguinte forma:
( ) ( ) [ ] φφφρρφ St
+∇Γ∇=∇∇+∂∂
. (3.11)
39
A discretização das equações regentes pode ser mais facilmente ilustrada
considerando a equação de conservação de transporte de um escalar φ , (ver equação 3.11),
mas agora em regime estacionário. Isto é demonstrável pela seguinte equação escrita da
forma integral para um volume de controlo arbitrário V, da seguinte forma:
∫ ∫∫ +∇Γ=V
dVSdAndAnv φφ φρ (3.12)
em que ρ é a massa volúmica, v é o vector de velocidade, A é a área do volume de controlo,
n é a normal à superfície do volume de controlo, φΓ é o coeficiente de difusão de φ e φS é o
termo de fonte. A equação (3.12) é aplicada a cada volume de controlo ou célula do domínio
computacional. Uma célula bidimensional genérica, triangular, encontra-se representada na
figura 3.5 e é um exemplo de um volume de controlo.
Figura 3.5 – Volume de controlo usado para ilustrar a discretização da equação de transporte de um escalar.
(Modificado de FLUENT User´s Guide, 2005)
A discretização da equação (3.9) para uma célula, de centro c0 fica na forma:
( )∑∑ +∇Γ=facesfaces N
f
fnff
N
f
ff VSAAnv φφ φφρ .. (3.13)
em que facesN é o número de faces por célula, fφ é o valor de φ ligado à face f da célula,
( ffff Anv .φρ ) é o fluxo mássico através da face f , ( )nφ∇ é a magnitude do φ∇ normal à face
f da célula e V é o volume da célula.
Por defeito, o FLUENT® coloca os valores discretos do escalar φ no centro das
células (c0 e c1 da figura 3.5). Porém, os valores de φ nas interfaces fφ são necessários ao
cálculo dos termos convectivos da equação (3.13). Em consequência disso, é necessário
interpolar os valores de φ nos centros das células. Isto é realizado usando um esquema de
interpolação. O esquema de interpolação utilizado neste trabalho foi o QUICK (Quadratic
Upwind Interpolation for Convective Kinetics), que é especialmente indicado para malhas
quadradas estruturadas e alinhadas com o escoamento [FLUENT User´s Guide, (2005)]. Para
40
se elucidar o uso do esquema QUICK atente-se à figura 3.6 de um escoamento
unidimensional. Assumindo que o escoamento se processa da esquerda para a direita, o valor
da variável φ na interface e, eφ , é calculado como:
( )
+−
++
−+
++
+= W
cu
cP
cu
cuE
dc
cP
dc
de SS
S
SS
SS
SS
S
SS
S φφθφφθφ 21 (3.14)
Figura 3.6 – Volume de controlo unidimensional (FLUENT User´s Guide, 2005).
Tipicamente o esquema QUICK é obtido impondo 81=θ (usado no presente trabalho).
O algoritmo PISO (Pressure-Implicit with Splitting of Operators), igualmente
utilizado nesta tese, é um esquema de ligação pressão-velocidade, que é uma extensão com
mais um passo corrector que o seu antecessor SIMPLE, que tem apenas uma fase predictor e
uma corrector [Patankar, (1980)]. Uma limitação do algoritmo SIMPLE prende-se com o
facto de as últimas velocidades calculadas e dos correspondentes fluxos não satisfazerem a
equação de quantidade de movimento. Em resultado disto, o cálculo tem de ser repetido
iterativamente até o balanço ser satisfeito. Com o uso do algoritmo PISO, que tem mais um
passo corrector que o SIMPLE, a eficiência do cálculo aumenta, pois embora o tempo por
iteração seja superior, o número de iterações diminui fortemente, sendo o mais indicado para
problemas transientes.
Para a interpolação da pressão foi escolhido o esquema PRESTO!, na medida em que
é indicado para problemas de convecção natural com elevados números de Rayleigh, e para
escoamentos com domínios curvos [FLUENT User´s Guide, (2005)].
3.2.4.2 Convergência do processo iterativo
Como se sabe, a malha adoptada é um dos factores que mais pode afectar os
resultados finais. Idealmente dever-se-iam utilizar um número de nós elevado (teoricamente
infinito), obtendo-se assim uma solução quase contínua, afecta a menores erros numéricos,
em contraste com uma solução discretizada numa malha mais grosseira. No entanto, em razão
de uma memória de cálculo limitada e dos elevados tempos de cálculo proporcionais à
41
dimensão da malha, há necessidade de limitar o número de elementos da malha e o valor
admissível para os resíduos obtidos, i.e., definir o valor dos resíduos para os quais se
considera a solução como convergida. Para um conjunto de valores dos resíduos definidores
da convergência, existe uma malha a partir da qual os resultados são insensíveis a maiores
refinamentos, sendo portanto a solução independente da malha.
O resíduo total é a soma dos resíduos para todos os volumes finitos, e é
adimensionalizado por uma grandeza ponderada pelo fluxo mássico no domínio. Foi definido
como critério de convergência do processo iterativo que o resíduo tivesse no máximo, para a
equação da continuidade e para componentes axial e radial da velocidade o valor de 310− e,
para a equação de energia o valor de 10-6. A evolução gráfica dos resíduos obtidos encontra-
se no Anexo 4.
De forma a limitar o tempo de cálculo procedeu-se à limitação do número de iterações
por unidade de tempo e à fixação do passo no tempo. O passo no tempo (Time Step Size)
considerado foi de 60 segundos e o número máximo de iterações por passo no tempo foi 100.
42
43
Capítulo 4 Apresentação e discussão dos resultados
Neste capítulo serão apresentados e discutidos os resultados obtidos com os modelos e
aplicações descritos nos capítulos 2 e 3. Numa primeira fase são analisadas e comparadas as
evoluções temporais da temperatura obtidas experimentalmente, para as garrafas comercial
de 0,33 l e de 1,5 l, medidas em quatro posições distintas.
Segue-se um estudo comparativo das evoluções temporais das temperaturas a nível
experimental e numérico para as garrafas comerciais de 0,33 l e 1,5 l, simulando as condições
experimentais, com vista à validação dos modelos físico e numérico utilizados neste trabalho.
Em uníssono, é ainda efectuado um estudo de independência de malha. Posteriormente, para
a situação real de aquecimento com uma temperatura ambiente de 313K, efectua-se a
descrição do processo de aquecimento e a comparação da evolução da temperatura média no
interior da garrafa, com e sem caixa-de-ar, discutindo-se, para as garrafas comercial de 0,33 l,
comercial de 1,5 l e projectada 0,33 l, os ganhos energéticos decorrentes da inclusão da caixa-
de-ar. É ainda feita a caracterização do escoamento, onde são apresentados e discutidos os
campos de velocidade e de temperatura para diversos tempos. A parte final do capítulo
dedica-se ao estudo prévio de uma garrafa de forma esférica.
4.1 Resultados experimentais
O estudo experimental efectuado com duas garrafas comerciais (casos base), permitiu
obter as evoluções com o tempo das várias temperaturas medidas e estimar o tempo ao fim do
qual a temperatura média no interior da garrafa atingiu um valor de 20ºC que, neste trabalho,
foi considerado como o valor de referência da temperatura da água no qual um consumidor
considera satisfatória a sua ingestão. Os dados experimentais da evolução temporal da
temperatura no interior da garrafa, nas suas superfícies interior e exterior, serviram também
para validar as simulações numéricas.
4.1.1 Análise da evolução das temperaturas medidas com o tempo
As figuras 4.1 e 4.2 mostram a evolução com o tempo das várias temperaturas locais
medidas experimentalmente, para o caso das garrafas comerciais de 0,33 l e de 1,5 l. As
curvas obtidas em ambos os casos apresentam uma evolução não surpreendente, pois a
temperatura do líquido e das superfícies interior e exterior da garrafa vão aumentando com o
44
tempo de forma aproximadamente exponencial, tendendo para o valor médio da temperatura
do ar. Da observação das figuras 4.1 e 4.2 denota-se ainda que o regime estacionário é
atingido primeiramente na garrafa mais pequena, como seria de esperar, pois o seu volume
interno é menor e, consequentemente apresenta menor inércia térmica.
Releva-se ainda o comportamento da temperatura do ar, que apresenta um carácter
oscilatório devido à natureza periódica do aquecimento eléctrico, segundo a qual a resistência
eléctrica que aquece o ar da caixa exterior da estufa é ligada quando o termóstato é activado e
arrefecida quando este se desliga. Como seria de esperar, esta variação oscilatória tem uma
maior amplitude no ar da estufa e menor intensidade nos restantes valores da temperatura.
Comercial 0,33l: Temperaturas experimentais
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000
t [s]
T [º
C]
Tágua Tsup_ext_gar Tsup_int_gar Tar
Figura 4.1 – Evolução das temperaturas medidas em função do tempo para garrafa comercial de 0,33 l.
Comercial 1,5l: Temperaturas experimentais
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000 60000
t [s]
T [º
C]
Tágua Tsup_ext_gar Tsup_int_gar Tar
Figura 4.2 – Evolução das temperaturas medidas em função do tempo para garrafa comercial de 1,5 l.
45
O valor do tempo para o qual a temperatura de 20ºC foi atingida para cada um dos
casos, é facilmente obtido a partir da figura 4.3. Deve notar-se que na figura 4.3, que por
condicionalismos do equipamento experimental (controlo analógico da temperatura da
estufa), a temperatura ambiente da estufa é ligeiramente superior (315,4K) no ensaio com a
garrafa de 1,5 l do que no caso da garrafa de 0,33 l (313,4K).
Figura 4.3 – Evolução com o tempo da temperatura da água no centro da garrafa para a garrafa comercial de
0.33 l e para a garrafa comercial de 1.5 l.
Como é observável na figura 4.3, o aquecimento inicial (até aos 28000s) para o caso
da garrafa de 0,33 l é efectuado num tempo menor do que para a garrafa de 1,5 l. Assim, e
estabelecendo-se como valor admissível da temperatura da água 20ºC, este é primeiro
atingido na garrafa mais pequena, aos 3670 segundos. Relativamente ao segundo caso, este
tempo quase duplica face ao primeiro: 6010 segundos. Este resultado mostra que, fixando as
propriedades térmicas e estruturais das garrafas e dos fluidos, com o aumento do volume
interno do meio a aquecer, há um aumento da sua inércia térmica, que se traduz no aumento
do tempo de reacção às solicitações externas (condições de fronteira).
Pela mesma razão, e também ajudado pelas condições do ambiente da estufa
ligeiramente diferentes, o regime estacionário ocorre primeiro para a garrafa de 0,33 l ca.
28000 segundos, enquanto que para a garrafa de 1,5 l ocorre ao fim de ca. 55000 segundos.
Estes resultados nas duas garrafas comerciais constituiu o suporte empírico a utilizar
neste trabalho na aproximação de temperatura imposta na superfície de fronteira como
referido no capítulo anterior, utilizado nas simulações numéricas, cujos resultados se
apresentam de seguida.
46
4.2 Resultados numéricos
Nesta secção serão apresentadas as evoluções locais da temperatura no interior da
garrafa, nas superfícies interior e exterior, para os casos das garrafas comerciais de 0,33 l e de
1,5 l, e é feita uma análise comparativa entre os resultados experimentais e os numéricos.
Paralelamente, é ainda feito o estudo de independência de malha, usando como condições de
fronteira os valores experimentais da temperatura do ar quando este atinge o regime
estacionário. Posteriormente, impondo como condição de fronteira para a temperatura o valor
que se estimou para a temperatura do ar (num dia de Verão), no qual a garrafa seria colocada
quando retirada do frigorífico, 313K, obteve-se a evolução da temperatura média no interior
da garrafa e os campos de temperatura e de velocidade para as três garrafas. Por fim, é
apresentado um estudo prévio de uma garrafa de forma esférica para se entender o efeito da
forma geométrica na eficiência térmica.
4.2.1 Estudo de independência de malha e validação do modelo numérico
No estudo da independência de malha realizado para as garrafas comercias de 0,33 l e
de 1,5 l adoptou-se como parâmetros monitores a evolução da temperatura local no interior
da garrafa, na superfície interior e exterior da garrafa, nos mesmos pontos em que esses
valores foram medidos experimentalmente.
Como é facilmente observável, as figuras 4.4 a 4.9 mostram a evolução experimental
e numérica da temperatura com o tempo em três pontos distintos do domínio em estudo. As
soluções do caso 1 ao caso 3 (a malha menos refinada e mais refinada respectivamente) são
bastante próximas, o que significa que existe uma razoável independência de malha. Verifica-
se, no entanto, que na fase inicial da evolução de temperaturas, a malha mais refinada (caso
3), é a que se encontra mais distante da temperatura experimental. Na fase final, próximo do
regime estacionário, em que os gradientes de temperatura são menos intensos, a malha mais
refinada (caso 3) é a que se encontra mais próxima da solução experimental.
No que respeita ao estudo comparativo entre a evolução experimental e numérica
verifica-se que existe claramente um desfasamento entre as curvas, sendo o valor numérico
sempre inferior ao experimental. A obtenção da situação estacionária ocorre mais tarde para o
caso numérico do que para o experimental. O erro máximo entre a evolução experimental e
numérica foi para a garrafa comercial de 0,33 l, de 18,1% (6,48ºC), enquanto que para a
garrafa comercial de 1,5 l foi de 20,0% (7,01ºC).
O erro relativo e absoluto utilizados foram calculados pelas seguintes equações:
47
100_min
×−−
=TT
TTrelativoErro
máx
NuméricoalExperiment (4.1)
NuméricoalExperiment TTabsolutoErro −=_ (4.2)
com Tmáx = 313K e Tmin = 278K.
As razões possíveis para a ocorrência do desfasamento dos valores numéricos face aos
experimentais devem-se sobretudo às seguintes aproximações que foram usadas no modelo
numérico:
1. Admitiu-se que as paredes da estufa possuíam uma temperatura uniforme;
2. Considerou-se o topo de todas as garrafas adiabático, ao invés de considerar um
sistema bifásico com água até bem próximo do topo com uma pequena bolsa de ar
junto deste no volume interior da garrafa;
3. Assumiu-se que o ar e a água possuíam propriedades constantes;
4. Desprezou-se o efeito da radiação;
5. Considerou-se a temperatura das paredes da estufa com um valor igual ao da
temperatura do ar em regime estacionário.
Comercial 0.33l
Comercial 0,33 lt - temperatura interior
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
0 100 200 300 400 500 600 700 800
t [min]
T [K
]
Experimental Numérico: Caso 1 Numérico: Caso 2 Numérico: Caso 3 Figura 4.4 – Evolução comparativa da temperatura local no interior da garrafa com o tempo – garrafa comercial
de 0,33 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 47229 elementos, caso 2 – 183917 elementos, caso 3 – 232974 elementos).
48
Comercial 0,33 lt - temperatura sup. interior
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
0 100 200 300 400 500 600 700 800
t [min]
T [K
]
Experimental Numérico: Caso 1 Numérico: Caso 2 Numérico: Caso 3
Figura 4.5 – Evolução comparativa da temperatura local na superfície interior da garrafa com o tempo – garrafa comercial de 0,33 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 47229 elementos,
caso 2 – 183917 elementos, caso 3 – 232974 elementos).
Comercial 0,33 lt - temperatura sup. exterior
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
0 100 200 300 400 500 600 700 800
t [min]
T [K
]
Experimental Numérico: Caso 1 Numérico: Caso 2 Numérico: Caso 3
Figura 4.6 – Evolução comparativa da temperatura local na superfície exterior da garrafa com o tempo – garrafa comercial de 0,33 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 47229 elementos,
caso 2 – 183917 elementos, caso 3 – 232974 elementos).
Comercial 1,5l Comercial 1,5 lt - temperatura interior
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
t [min]
T [
K]
Experimental Numérico: Caso 1 Numérico: Caso 2 Numérico: Caso 3 Figura 4.7 – Evolução comparativa da temperatura local no interior da garrafa com o tempo – garrafa comercial
de 1,5 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 113905 elementos, caso 2 – 451624 elementos, caso 3 – 597148 elementos).
49
Comercial 1,5 lt - temperatura sup. interior
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
t [min]
T [K
]
Experimental Numérico: Caso 1 Numérico: Caso 2 Numérico: Caso 3 Figura 4.8 – Evolução comparativa da temperatura local na superfície interior da garrafa com o tempo – garrafa
comercial de 1,5 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 113905 elementos, caso 2 – 451624 elementos, caso 3 – 597148 elementos).
Comercial 1,5 lt - temperatura sup. exterior
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
t [min]
T [K
]
Experimental Numérico: Caso 1 Numérico: Caso 2 Numérico: Caso 3 Figura 4.9 – Evolução comparativa da temperatura local na superfície exterior da garrafa com o tempo – garrafa
comercial de 1,5 l: valores experimentais e numéricos com diferentes malhas (caso 1 – 113905 elementos, caso 2 – 451624 elementos, caso 3 – 597148 elementos).
4.2.2 Evolução temporal da temperatura média no interior da garrafa
Nesta secção analisou-se a evolução da temperatura média no interior da garrafa para
três garrafas, tanto para o caso base, como para caso caixa-de-ar, de forma a compreender-se
o efeito da inclusão e da dimensão dessa caixa-de-ar inserida em redor da garrafa do caso
base. Por fim efectuou-se um estudo comparativo entre as mesmas garrafas.
Nas figuras 4.10 a 4.12 estão representadas as evoluções temporais da temperatura
média no interior das garrafas comercial de 0,33 l, comercial de 1,5 l e projectada de 0,33 l.
As figuras 4.10 a 4.12 mostram que a inclusão da caixa-de-ar, que é um isolamento térmico,
melhora significativamente a eficiência energética das garrafas face ao caso base. Como seria
de esperar, o gradiente térmico temporal diminui com o aumento da dimensão da caixa-de-ar,
pois adicionou-se um isolamento, materializado na caixa-de-ar. É, portanto, vantajoso incluir
50
uma caixa-de-ar em redor da geometria base para conservação térmica. Na figura 4.13
encontra-se representada a evolução da temperatura média da água para as três garrafas.
Verifica-se claramente que a garrafa comercial de 1,5 l é a que demora mais tempo a aquecer,
como obtido experimentalmente, e que a garrafa projectada de 0,33 l é a que aquece mais
rapidamente.
A temperatura média para uma geometria axissimétrica obtida numericamente no
FLUENT®, é dada por:
∫∫∫=V
média dzrdrdzrTV
T θθ ),,(1
(4.3)
em que r representa a direcção radial(eixo yy) e z a direcção axial (eixo xx), presente na figura
3.4.
Temperatura média da água: Comercial 0,33l
275
280
285
290
295
300
305
310
315
0 100 200 300 400 500 600 700 800
t [min.]
T [K
]
Caso base Caixa-de-ar com 1.5mmCaixa-de-ar com 2,5mm Caixa-de-ar com 3,5mm
Figura 4.10 – Evolução com o tempo da temperatura média da água no interior da garrafa comercial de 0,33 l.
Temperatura média da água: Comercial 1,5l
275
280
285
290
295
300
305
310
315
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
t [min.]
T [K
]
Caso base Caixa-de-ar com 2,2mmCaixa-de-ar com 3,5mm Caixa-de-ar com 5,3mm
Figura 4.11 – Evolução com o tempo da temperatura média da água no interior da garrafa comercial de 1,5 l.
51
Temperatura média da água: Projectada 0,33l
275
280
285
290
295
300
305
310
315
0 100 200 300 400 500 600 700 800
t [min.]
T [K
]
Caso base Caixa-de-ar com 1,8mmCaixa-de-ar com 3,0mm Caixa-de-ar com 4,3mm
Figura 4.12 – Evolução com o tempo da temperatura média da água no interior da garrafa projectada de 0,33 l.
Temperatura média da água
275
280
285
290
295
300
305
310
315
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
t [min.]
T [K
]
Comercial 0,33l Comercial 1,5l Projectada 0,33l
Figura 4.13 – Evolução com o tempo da temperatura média da água no interior das três garrafas (caso base).
Para a temperatura estabelecida como aceitável para um consumidor de água
engarrafada (20ºC), e sendo o rendimento energético face ao caso base, o ganho temporal
associado à permuta térmica com o ar ambiente com recurso à inclusão de uma caixa-de-ar,
os valores para as três garrafas encontram-se na tabela 4.1. Apesar da garrafa projectada ser a
que apresenta pior desempenho térmico face às restantes, é a que apresenta maior rendimento
energético com a inclusão da caixa-de-ar.
Tabela 4.1 – Rendimento energético das garrafas de água à temperatura média de 20ºC com a inclusão da
caixa-de-ar.
Garrafa Dext/Dint Rendimento energético [%] 1,05 30,7 1,08 51,1 Comercial 0,33 l 1,12 70,5 1,05 47,3 1,08 63,9 Comercial 1,5 l 1,12 88,8 1,05 45,5 1,08 75,3 Projectada 0,33 l 1,12 93,5
52
4.2.3 Campos de velocidade axial e radial
Nesta secção encontram-se representadas as distribuições de velocidade axial e radial
no domínio composto pela garrafa e pelo ar que a envolve. Os campos de velocidade são
mostrados nas figuras 4.14 a 4.22, para o caso base das três garrafas analisadas. As
distribuições de velocidade referem-se aos tempos de 5, 30 e 120 minutos.
O movimento circulatório do ar no exterior da garrafa dá-se no sentido anti-horário.
A velocidade axial apresenta o comportamento esperado, isto é, junto à superfície da
garrafa as velocidades são máximas no sentido positivo do eixo xx (da esquerda para a direita
da figura), pois é aí que a diferença de temperaturas entre a superfície da garrafa e o ar é
máxima. Como a superfície da garrafa está mais fria que o meio que a envolve, a componente
axial da velocidade movimenta-se da esquerda para direita, devido à impulsão no sentido da
força gravítica. Na superfície de controlo oposta à garrafa ocorre a situação inversa, pois
devido à condição de temperatura imposta (313K), o ar é obrigado a deslocar-se por impulsão
no sentido oposto (da direita para a esquerda). No interior da garrafa o valor da velocidade
axial é uma ordem de grandeza abaixo do valor máximo registado fora desta, facto expectável
pois, por um lado, a massa volúmica da água é aproximadamente 1000 vezes maior que a do
ar e, por outro, os gradientes térmicos presentes dentro desta são significativamente menores
(ver secção 4.2.4).
No que respeita à velocidade radial verifica-se que o seu máximo ocorre junto à
superfície de controlo próximo da base da garrafa, deslocando-se o ar no sentido positivo no
eixo dos yy (de baixo para cima). Radialmente, a velocidade é menor que axialmente, facto
esse justificável pela presença de menores gradientes térmicos dispostos na direcção radial
(ver secção 4.2.4). No interior da garrafa verifica-se igualmente que o valor da velocidade
radial é pelo menos uma ordem de grandeza abaixo do valor máximo registado no exterior da
garrafa (ar).
A intensidade da velocidade axial e radial tende a aumentar inicialmente com o
tempo, variando os valores máximos da velocidade axial no ar, para os casos presentes, entre
4 e 14 cm/s. Do ponto de vista prático, e como se poderá observar mais adiante, a velocidade
da água no interior da garrafa é pouco significativa. No exterior da garrafa, a velocidade é
considerável, o que provoca uma maior impulsão no escoamento do ar.
53
Comercial 0,33l:
Figura 4.14 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 0,33 l – caso base para t = 5 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
Figura 4.15 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 0,33 l – caso base para t = 30 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
Figura 4.16 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 0,33 l – caso base para t = 120 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
54
Comercial 1,5l:
Figura 4.17 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 1,5 l – caso base para t = 5 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
Figura 4.18 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 1,5 l – caso base para t = 30 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
Figura 4.19 – Campo de velocidades da garrafa comercial de 1,5 l – caso base para t = 120 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
55
Projectada 0,33l:
Figura 4.20 – Campo de velocidades da garrafa projectada de 0,33 l – caso base para t = 5 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
Figura 4.21 – Campo de velocidades da garrafa projectada de 0,33 l – caso base para t = 30 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
Figura 4.22 – Campo de velocidades da garrafa projectada de 0,33 l – caso base para t = 120 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
56
4.2.4 Campos de temperatura
Neste subcapítulo encontram-se representadas as distribuições de temperatura no
domínio composto pela água, pela garrafa e pelo ar que a envolve estando estas apresentadas
nas figuras 4.23 a 4.37, para o caso base (a) e para os casos das três caixas-de-ar, (b), (c) e
(d). As distribuições de temperatura referem-se aos tempos de 5, 15, 30, 60 e 120 minutos.
Da observação das figuras verifica-se que a inclusão da caixa-de-ar proporciona uma
melhor eficiência energética, sendo notório que, para o mesmo instante, com o aumento da
espessura da caixa-de-ar, a temperatura no interior da garrafa é menor. Esta evidência é mais
notória entre as figuras (a) e (b), i.e., com a passagem de uma garrafa do caso base para uma
garrafa com caixa-de-ar.
De registar ainda que o ar junto à base da garrafa exibe uma zona em que os campos
de temperatura têm valores relativos significativamente baixos. É nessa região que a
velocidade radial do ar é máxima, sendo promovida à custa desta uma menor transferência de
calor na base da garrafa. Por outro lado, o ar contido no espaço abaixo da base da garrafa está
estático, o que significa que a energia se transmite por difusão molecular (condução de calor),
processo que é extremamente lento quando comparado com a convecção. Desta forma, o
aquecimento da garrafa ocorre sobretudo na sua área lateral e do topo para a base, na direcção
axial xx, na medida em que a circulação do ar exterior à garrafa se processa no sentido anti-
horário. Verifica-se ainda que não existem gradientes significativos de temperatura na
direcção radial.
No interior da garrafa as isolinhas de temperatura dispõem-se de forma perpendicular
ao invólucro da garrafa, o que significa que a forma de transferência de calor dominante na
água é a condução de calor, ou seja, sem movimento significativo do fluido. No exterior da
garrafa o modo dominante de transferência de calor é a convecção natural, pois as isolinhas
de temperatura acompanham a tendência dos perfis de velocidade axial e radial.
57
Comercial 0,33l:
Figura 4.23 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 0,33 l para t = 5 minutos: (a) caso base; (b) caixa-
de-ar com espessura de1,5 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm.
Figura 4.24 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 0,33 l para t = 15 minutos: (a) caso base; (b)
caixa-de-ar com espessura de1,5 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm.
58
Figura 4.25 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 0,33 l para t = 30 minutos: (a) caso base; (b)
caixa-de-ar com espessura de1,5 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm.
Figura 4.26 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 0,33 l para t = 60 minutos: (a) caso base; (b)
caixa-de-ar com espessura de1,5 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm.
59
Figura 4.27 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 0,33 l para t = 120 minutos: (a) caso base; (b)
caixa-de-ar com espessura de1,5 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm.
Comercial 1,5l:
Figura 4.28 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 1,5 l para t = 5 minutos: (a) caso base; (b) caixa-
de-ar com espessura de 2,2 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm.
60
Figura 4.29 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 1,5 l para t = 15 minutos: (a) caso base; (b) caixa-
de-ar com espessura de 2,2 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm.
Figura 4.30 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 1,5 l para t = 30 minutos: (a) caso base; (b) caixa-
de-ar com espessura de 2,2 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm.
61
Figura 4.31 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 1,5 l para t = 60 minutos: (a) caso base; (b) caixa-
de-ar com espessura de 2,2 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm.
Figura 4.32 – Campos de temperatura da garrafa comercial de 1,5 l para t = 120 minutos: (a) caso base; (b)
caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm.
62
Projectada 0.33l:
Figura 4.33 – Campos de temperatura da garrafa projectada de 0,33 l para t = 5 minutos: (a) caso base; (b) caixa-
de-ar com espessura de 1,8 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm.
Figura 4.34 – Campos de temperatura da garrafa projectada de 0,33 l para t = 15 minutos: (a) caso base; (b)
caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm.
63
Figura 4.35– Campos de temperatura da garrafa projectada de 0,33 l para t = 30 minutos: (a) caso base; (b)
caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm.
Figura 4.36 – Campos de temperatura da garrafa projectada de 0,33 l para t = 60 minutos: (a) caso base; (b)
caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm.
64
Figura 4.37 – Campos de temperatura da garrafa projectada de 0,33 l para t = 120 minutos: (a) caso base; (b)
caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm; (c) caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm; (d) caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm.
4.2.5 Estudo prévio de uma garrafa esférica de 0,33 l
Do estudo térmico comparativo efectuado anteriormente evidencia-se o fraco
desempenho energético da garrafa projectada, na medida em que o seu processo de
aquecimento é mais rápido que o da garrafa comercial com o volume semelhante (ver figura
4.13 e comparar figuras 4.23.a a 4.27.a com as figuras 4.33.a a 4.37.a). Dado que ficou claro
que é a convecção natural do ar junto à superfície exterior da garrafa que promove o
aquecimento da água, e que a inércia térmica é semelhante nos dois casos (garrafa comercial
de 0,33 l e garrafa projectada de 0,33 l), uma vez que o volume de água é idêntico, a
diferença na evolução temporal está certamente relacionada com a área de permuta de calor,
que deve ser maior no caso da garrafa projectada. No sentido de se confirmar esta influência,
fez-se um estudo prévio de um design alternativo que minimizasse a razão área/volume da
garrafa, i.e., estudou-se uma garrafa com geometia esférica. Os resultados do estudo prévio
que se apresentam de seguida mostram, que o desempenho térmico é significativamente
melhor que a garrafa projectada e bastante similar à garrafa comercial de 0,33 l (embora
ligeiramente pior), devido também à garrafa esférica de 0,33l apresentar um volume interno
5,4% menor que a garrafa comercial de 0,33 l. A discussão anterior relativa ao escoamento do
65
ar e da água é em tudo similar aos casos anteriores, bem como na evolução dos campos de
temperatura.
4.2.5.1 Campos de velocidade axial e radial
Figura 4.38 – Campo de velocidades da garrafa esférica de 0,33 l – caso base para t = 5 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
Figura 4.39 – Campo de velocidades da garrafa esférica de 0,33 l – caso base para t = 30 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
Figura 4.40 – Campo de velocidades da garrafa esférica de 0,33 l – caso base para t = 120 minutos:
(a) velocidade axial, (b) velocidade radial.
66
4.2.5.2 Campos de temperatura
Figura 4.41 – Campos de temperatura da garrafa Esférica 0,33l – caso base para: (a) t = 5 minutos,
(b) t = 15 minutos, (c) t = 30 minutos, (d) t = 60 minutos, (e) t = 120 minutos.
4.2.5.3 Evolução da temperatura média no interior da garrafa com o
tempo
Temperatura média da água
275
280
285
290
295
300
305
310
315
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
t [min.]
T [K
]
Comercial 0,33l Comercial 1,5lProjectada 0,33l Esférica 0,33l
Figura 4.42 – Evolução com o tempo da temperatura média da água no interior das quatro garrafas (caso base).
67
Capítulo 5
Conclusões 5.1 Síntese conclusiva
Existe actualmente a necessidade de tornar todos os sistemas de armazenamento de
líquidos termicamente eficientes, em particular as garrafas de água de grande consumo, cujo
objectivo é armazenar hermeticamente e proteger termicamente o seu conteúdo do meio
exterior, de forma tão eficiente quanto possível, já que o mercado das garrafas de água
apresenta um elevado potencial de crescimento à escala mundial.
É por esta razão que se torna necessário a utilização de ferramentas que permitam
simular o escoamento e as condições térmicas no interior e exterior de uma garrafa, para
quantificar a evolução temporal da temperatura a que uma dada garrafa fica sujeita, para que
se possam comparar garrafas distintas e soluções alternativas às disponíveis actualmente no
mercado das águas. Como referido na revisão bibliográfica, a utilização de métodos
numéricos com recurso a códigos de CFD para a simulação da transferência de calor é
actualmente uma boa ferramenta de cálculo, pois permite obter com precisão um conjunto de
grandezas significativas.
Nesta tese, foi proposto caracterizar experimental e numericamente o aquecimento de
garrafas de água fria colocadas num ambiente quente, simulando o processo a que ficam
sujeitas nas reais condições de aquecimento, quando retiradas de um frigorífico e colocadas
em ar ambiente, num dia quente de Verão. Foi ainda proposta uma solução energeticamente
eficiente e, que em nada altera a percepção de um consumidor de águas, i.e., desenvolveu-se
uma solução que torna mais eficiente a garrafa água, por intermédio da adição de um
invólucro exterior em redor da garrafa do caso base, com diferentes espessuras. Foram
estimados os ganhos temporais associados à inclusão da caixa-de-ar. Para tal, foi executado
um procedimento experimental, onde se recorreu à utilização de termopares do tipo K, e foi
medida a evolução temporal de quatro temperaturas locais da água, das superfícies da garrafa
e do ar envolvente, para as duas garrafas comerciais de 0,33 l e de 1,5 l.
Para as mesmas garrafas estudadas experimentalmente, foi feito um estudo numérico
de independência de malha e realizada a validação do modelo proposto, usando como pontos
monitores três dos quatro pontos onde as temperaturas foram medidas experimentalmente.
Um dos objectivos do estudo numérico foi compreender a importância da inclusão de
uma caixa-de-ar em redor da garrafa original. Desta feita, foi calculada e comparada para as
68
duas garrafas comerciais e uma com um novo design, a evolução temporal da temperatura
média da água no seu interior e a distribuição dos campos de temperatura e velocidades.
O estudo numérico e experimental levado a cabo permitiu tirar as seguintes
conclusões:
• O modelo numérico prevê, de forma razoável, os resultados experimentais.
• Os modos de transferência de calor dominantes neste trabalho são a convecção
natural para o ar e a condução para a água.
• O aquecimento da água, face às condições de fronteira consideradas, dá-se
essencialmente através da parede lateral, desenvolvendo-se na direcção axial a partir
do topo, sendo esta a zona crítica a estudar e a optimizar.
• A inclusão da caixa-de-ar em torno da garrafa original melhora significativamente o
desempenho térmico das garrafas em todo o período de aquecimento. Com o
aumento da dimensão da caixa-de-ar verifica-se, como seria de esperar, que o
desempenho térmico das garrafas melhora significativamente, sendo francamente
vantajoso para o projecto de futuras garrafas no sector das águas e refrigerantes, em
especial em regiões quentes.
• Concluiu-se que a dimensão e a geometria projectadas da garrafa são
significativamente relevantes no seu desempenho térmico. Assim, com o aumento da
área de contacto do corpo com o exterior, as trocas de calor irão aumentar
proporcionalmente. Para volumes semelhantes (garrafa comercial de 0,33 l, garrafa
projectada de 0,33 l e garrafa esférica de 0,33 l) verificou-se que a segunda tem pior
desempenho térmico. Relativamente a geometrias semelhantes, mas com volumes
diferentes (garrafas comerciais de 0,33 l e de 1,5 l), concluiu-se que com o aumento
da dimensão da garrafa aumenta inércia térmica e, consequentemente, aquecerá
primeiro a garrafa de menor volume.
Em suma, no projecto de garrafas de água em PET, onde a exposição a cargas
térmicas sejam relevantes, a geometria e o volume interno são decisivos para o bom
desempenho térmico das mesmas. Por outro lado, com a inclusão de uma pequena caixa-de-ar
em torno de uma garrafa, o rendimento térmico melhora sempre de forma significativa, sendo
tanto maior quanto maior for a dimensão da espessura da caixa-de-ar. É então claramente
vantajoso a sua inclusão independentemente da geometria ou volume da garrafa.
69
5.2 Trabalho futuro
Durante a realização desta tese surgiram algumas dúvidas que só a realização de mais
trabalho poderá eventualmente dissipar. Um facto razoavelmente importante encontra-se
ligado às condições de fronteira utilizadas no FLUENT®, pois revelou ser uma fonte
importante de erros. Qual será o método ideal para prescrição das mesmas? Por exemplo, será
que a condição de fronteira de fluxo imposto, em detrimento da temperatura imposta, teria
tido melhores resultados?
Relativamente às simplificações utilizadas deverá ser também estudada a importância
da radiação nos campos de temperatura obtidos, embora se saiba de antemão que não é a
forma dominante de transferência de calor para a gama de temperaturas simuladas (entre
278K e 313K). Outra simplificação que pode ter influenciado razoavelmente os resultados e
que importava quantificar prende-se com a simplificação de assumir o topo da garrafa como
adiabático ao invés da existência de uma zona com ar localizada junto ao topo da garrafa, que
é o que realmente existe.
Por último, seria interessante analisar a evolução térmica de garrafas similares com
outro material, como por exemplo em vidro ou em folha de alumínio, para analisar as
vantagens e desvantagens energéticos destes materiais face ao PET.
70
71
Referências Bibliográficas Abdel-el-Malek M., Boutnos Y. e Bodran N., Group method analysis of unsteady free-
convective laminar boundary flow on a non-isothermal vertical flat plate, Journal of
Engineering Mathematics 24, 1990, pp. 343-368.
Bloor M. e Ingham D., On the use of a Pohlhausen method in three dimensional boundary
layers, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP) 28, 1977, pp. 289-299,
cit.in Ingham D., Flow past a suddenly cooled vertical plate, Journal Institute of Mathematics
and Applications 22, 1978b, pp. 189-196.
Brederode V., Fundamentos de aerodinâmica incompressível, 1ª edição, Edição do Autor,
1997.
Brown S. e Riley N., Propagation of enturbances in an unsteady free-convection boundary-
layer, Journal Applications Mathematics and Physics (2AMP) 25, 1974, pp. 145-156.
Carey V., Analysis of transient natural convection-flow at high Prandtl number using a
matched asymptotic expansion technique, International Journal of Heat and Mass Transfer
26, 1983, pp. 911-919.
Carey V., Surface thermal capacity effects in transient natural convection flows at high
Prandtl number, International Journal of Heat and Mass Transfer 27, 1984, pp. 419-431.
Çengel Y., Heat transfer – A practical approach, 2nd Edition, McGraw – Hill, 2003.
Coelho P., Transmissão de Calor e Massa I, AEIST, 2004.
Emery A., Transient and steady state free convection from a horizontal cylinder, 4th
International Conference of Inverse Problems in Engineering, 2002.
Ferrier C., Bottled water: understanding a social phenomenon, Discussion paper, 2001.
FLUENT 6.2 User’s Guide, Fluent Incorporated, 2005.
72
Francis N., Itamura M., S. Webb e D. James, CFD calculation of internal natural convection
in the annulus between horizontal concentric cylinders, Sand Report, 2002, pp. 1 – 8.
GAMBIT 2.2 Modelling Guide, Fluent Incorporated, 2004.
Gebhart B., Dring R. e Polymenopoulos C., Natural convection from vertical surfaces – the
convection transient regime, Journal of Heat Transfer 89, 1967, pp. 53-59.
Goldstein R. e Briggs D., Transient free convection about vertical plates and circular
cylinders, Journal of Heat Transfer 86, 1964, pp. 490-500.
Hellums J. e Churchill S., Transient and steady state free and natural convection, numerical
solutions: Part 1, the isothermal, vertical plate, AICHE Journal 8, 1962, pp. 690-692.
Illingworth C., Unsteady laminar flow of gas near an infinite plate, Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 46, 1950, pp. 603-613.
Incropera F. e deWitt D., Fundamentals of heat and mass transfer, 5th Edition, John Willey &
Sons, 2002.
Ingham D., Numerical results for flow past a suddenly heated vertical plate, Physics Fluid 21,
1878a, pp. 1891-1895.
Ingham D., Flow past a suddenly cooled vertical plate, Journal Institute of Mathematics and
Applications 22, 1978b, pp. 189-196.
Ingham D., Transient free convection on an isothermal vertical flat plate, International
Journal of Heat and Mass Transfer 21, 1978c, pp. 67-69.
Ingham D., Transient free convection on an isothermal vertical flat plate, International
Journal of Heat and Mass Transfer 21, 1978c, pp. 67-69.
73
Ingham D., Flow past a suddenly heated vertical plate, Proceedings of Royal Society of
London A 402, 1985, pp. 109-134.
Kuehn, H. e Goldstein, J., Correlating equations for natural convection heat transfer between
horizontal circular cylinders, International Journal of Heat and Mass Transfer 19, 1976, pp.
1127-1134.
Kuehn, H. e Goldstein, J., An experimental study of natural convection heat transfer in
concentric and eccentric horizontal cylindrical annuli, Journal of Heat Transfer ASME 100,
1978, pp. 640-640.
Kuiken H., An asymptotic solution for large Prandtl number free convection, Journal of
Engineering Mathematics 2, 1968, pp. 405-37.
Kuiken H., Free convection at low Prandtl numbers, Journal of Fluid Mechanics 37, 1969,
pp. 785-798.
Laguerre O., Amara S., Alverez G. e Flick D., Transient heat by free convection in a packed
bed of spheres: comparation between two modeling approaches and experimental results,
Applied Thermal Engineering 28, 2008.
Menold E. e Yang T., Asymptotic solutions for unsteady laminar free convection on vertical
plate, Journal of Applications Mechanics 29, 1962, pp. 124-126.
Miyamoto M., Influence of variable properties upon transient and steady state free
convection, International Journal of Heat and Mass Transfer 20, 1977, pp. 1258-1261.
Park K. e Carey V., Analysis of transient natural convection flow near a vertical surface at
low Prandtl number, Numerical Heat Transfer 8, 1985, pp. 317-333.
Patankar S., Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere, Washington, 1980.
Pop I. e Ingham D. B., Convective Heat Transfer – Mathematical and Computational
Modelling of Viscous and Pourous Media, Pergamon, 2001.
74
Sugawara S. e Michiyoshi I., The heat transfer by natural convection on a vertical flat wall,
First Japanese National Congress Applications Mechanics, 1951, pp. 501 – 506.
van Dyke M., Perturbation methods in Fluid Mechanics (Annotated Edition), Stanford,
California: Parabolic Press, 1975.
Williams J. O., Hulligan J. e Rhyne T., Semi-similar solution for unsteady free convective
boundary-layer flow on a vertical flat plate, Journal of Applications Mechanics 75, 1987, pp.
309-332.
Yang T., Possible similarity solutions for laminar free convection on vertical planes and
cylinders, Journal of Applications Mechanics 82, 1960, pp. 230-236.
75
Anexos
Anexo 1 – Geometrias das garrafas utilizadas
Figura A1.1 – Representação dos domínios e dimensões da garrafa comercial de 0,33 l.
Figura A1.2 – Representação dos domínios e dimensões da garrafa comercial de 1,5 l.
76
Figura A1.3 – Representação dos domínios e dimensões da garrafa projectada de 0,33 l.
Figura A1.3 – Representação dos domínios e dimensões da garrafa esférica de 0,33 l.
77
Anexo 2 – Malhas utilizadas
(a) (b) (
Figura A2.1 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base – caso 1: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) (
Figura A2.2 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base – caso 2: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) (
Figura A2.3 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base – caso 3: (a) vista geral; (b) pormenor.
78
(a) (b) ( Figura A2.4 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura
de 1,5 mm: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) ( Figura A2.5 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura
de 2,5 mm: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) ( Figura A2.6 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura
de 3,5 mm: (a) vista geral; (b) pormenor. (
79
(a) (b) (
Figura A2.7 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso base – caso 1: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) (
Figura A2.8 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso base – caso 2: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b)
Figura A2.9 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso base – caso 3: (a) vista geral; (b) pormenor.
80
(a) (b) Figura A2.10 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caixa-de-ar com espessura
de 2,2 mm: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) Figura A2.11 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caixa-de-ar com espessura
de 3,5 mm: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) Figura A2.12 – Representação da malha utilizada para a garrafa comercial de 1,5 l – caixa-de-ar com espessura
de 5,3 mm: (a) vista geral; (b) pormenor.
81
(a) (b) (
Figura A2.13 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso base – caso 1: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) (
Figura A2.14 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso base – caso 2: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) (
Figura A2.15 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso base – caso 3: (a) vista geral; (b) pormenor.
82
(a) (b) (
Figura A2.16 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) (
Figura A2.17 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm: (a) vista geral; (b) pormenor.
(a) (b) (
Figura A2.18 – Representação da malha utilizada para a garrafa projectada de 0,33 l – caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm: (a) vista geral; (b) pormenor.
83
(a) (b)
( Figura A2.19 – Representação da malha utilizada para a garrafa esférica de 0,33 l – caso base – caso 2:
(a) vista geral; (b) pormenor.
84
Anexo 3 – Índices de qualidade das malhas utilizadas
Tabela A3.1 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso base – caso 1.
47229 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [6e-6 m2] 45423 (96,18%) 1740 (3,68%) 63 (0,13%) 2 (0,00%) 1 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 30] 46513 (98,48%) 20 (0,04%) 391 (0,83%) 275 (0,58%) 30 (0,06%) <3: 46511 (98,48%)
Edge Ratio [máx. 30] 46514 (98,49%) 5 (0,01%) 134 (0,28%) 526 (1,11%) 50 (0,11%) <3: 46507 (98,47%)
EquiAngle Skew 46131 (97,68%) 1001 (2,12%) 92 (0,19%) 4 (0,01%) 1 (0,00%)
EquiSize Skew 46737 (98,96%) 397 (0,84%) 92 (0,19%) 1 (0,00%) 2 (0,00%)
Tabela A3.2 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l –
caso base – caso 2. 183917 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6m2] 180289 (98,03%) 3628 (1,97%) 8 (0,00%) 0 (0,00%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 20] 182496 (99,23%) 510 (0,28%) 865 (0,47%) 44 (0,02%) 2 (0,00%) <3:182485 (99,22%)
Edge Ratio [máx. 20] 182487 (99,22%) 69 (0,04%) 1289 (0,70%) 66 (0,04%) 6 (0,00%) <3:182483 (99,22%)
EquiAngle Skew 182025 (98,97%) 1695 (0,92%) 187 (0,10%) 10 (0,01%) 0 (0,00%)
EquiSize Skew 182843 (99,42%) 878 (0,48%) 187 (0,10%) 7 (0,00%) 2 (0,00%)
Tabela A3.3 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l –
caso base – caso 3.
232974 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [5e-7m2] 51841 (22,25%) 179651 (77,11%) 1460 (0,63%) 19 (0,01%) 3 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 9] 230152 (98,79%) 497 (0,21%) 2186 (0,94%) 53 (0,02%) 86 (0,04%) <3:230160 (98,79%)
Edge Ratio [máx. 10] 230131 (98,78%) 107 (0,05%) 2574 (1,10%) 132 (0,06%) 30 (0,01%) <3:230154 (98,79%)
EquiAngle Skew 229177 (98,37%) 4003 (1,50%) 292 (0,13%) 2 (0,00%) 0 (0,00%)
EquiSize Skew 230439 (98,91%) 2245 (0,96%) 287 (0,12%) 2 (0,00%) 1 (0,00%)
Tabela A3.4 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l –
caso caixa-de-ar com espessura de 1,5 mm.
79559 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6 m2] 39619 (49,80%) 39887 (50,14%) 53 (0,07%) 0 (0,00%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 15] 78640 (98,84%) 910 (1,14%) 8 (0,01%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) <3:78446 (98,60%)
Edge Ratio [máx. 8] 78405 (98,55%) 64 (0,08%) 1019 (1,28%) 41 (0,05%) 30 (0,04%) <3:78421 (98,57%)
EquiAngle Skew 77340 (97,20%) 2067 (2,60%) 152 (0,19%) 4 (0,01%) 1 (0,00%)
EquiSize Skew 78562 (98,75%) 843 (1,06%) 147 (0,18%) 6 (0,01%) 1 (0,00%)
Tabela A3.5 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l –
caso caixa-de-ar com espessura de 2,5 mm.
80441 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6m2] 40896 (50,84%) 39485 (49,09%) 60 (0,07%) 0 (0,00%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 12] 79328 (98,62%) 1071 (1,33%) 35 (0,04%) 6 (0,01%) 1 (0,00%) <3:79328 (98,62%)
Edge Ratio [max. 9] 79291 (98,57%) 227 (0,28%) 864 (1,07%) 35 (0,04%) 24 (0,03%) <3:79303 (98,59%)
EquiAngle Skew 78386 (97,45%) 1901 (2,36%) 150 (0,19%) 3 (0,00%) 1 (0,00%)
EquiSize Skew 79478 (98,80%) 810 (1,01%) 149 (0,19%) 3 (0,00%) 1 (0,00%)
85
Tabela A3.6 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 0,33 l – caso caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm.
81222 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6m2] 41313 (50,86%) 39852 (49,07%) 57 (0,07%) 0 (0,00%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 14] 80291 (98,85%) 907 (1,12%) 23 (0,03%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) <3:80109 (98,63%)
Edge Ratio [máx. 10] 80081 (98,60%) 930 (1,15%) 175 (0,22%) 16 (0,02%) 20 (0,02%) <3:80084 (98,60%)
EquiAngle Skew 79560 (97,95%) 1506 (1,85%) 151 (0,19%) 4 (0,00%) 1 (0,00%)
EquiSize Skew 80235 (98,78%) 833 (1,03%) 148 (0,18%) 5 (0,01%) 1 (0,00%)
Tabela A3.7 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l –
caso base – caso 1.
113905 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [6e-6m2] 108005 (94,82%) 5776 (5,07%) 121 (0,11%) 2 (0,00%) 1 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 30 ] 112549 (98,81%) 136 (0,12%) 485 (0,43%) 673 (0,59%) 62 (0,05%) <3:112547 (98,81%)
Edge Ratio [máx.30] 112548 (98,81%) 12 (0,01%) 177 (0,16%) 1103 (0,97%) 65 (0,06%) <3:112543 (98,80%)
EquiAngle Skew 111992 (98,32%) 1697 (1,49%) 209 (0,18%) 5 (0,00%) 2 (0,00%)
EquiSize Skew 112736 (98,97%) 957 (0,84%) 207 (0,18%) 3 (0,00%) 2 (0,00%)
Tabela A3.8 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l –
caso base – caso 2.
451624 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6m2] 444001 (98,31%) 7616 (1,69%) 7 (0,00%) 0 (0,00%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 14 ] 448916 (99,40%) 141 (0,03%) 580 (0,13%) 1581 (0,40%) 406 (0,09%) <3:448916 (99,40%)
Edge Ratio [máx. 14] 448912 (99,40%) 25 (0,01%) 243 (0,05%) 1767 (0,39%) 667 (0,15%) <3:448912 (98,40%)
EquiAngle Skew 447525 (99,09%) 3607 (0,80%) 475 (0,11%) 14 (0,00%) 3 (0,00%)
EquiSize Skew 449134 (99,45%) 1999 (0,44%) 477 (0,11%) 13 (0,00%) 1 (0,00%)
Tabela A3.9 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l –
caso base – caso 3.
597148 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [4e-7m2] 86810 (14,54%) 173397 (29,04%) 336760 (56,39%) 181 (0,03%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 7 ] 591648 (99,08%) 366 (0,06%) 1157 (0,19%) 3163 (0,53%) 814 (0,14%) <3:591877 (99,12%)
Edge Ratio [máx. 7] 590909 (98,96%) 865 (0,14%) 500 (0,08%) 4023 (0,59%) 1401 (0,23%) <3:591758 (99,10%)
EquiAngle Skew 585183 (98,00%) 10696 (1,79%) 1214 (0,20%) 46 (0,01%) 9 (0,00%)
EquiSize Skew 588503 (98,55%) 7373 (1,23%) 1218 (0,20%) 43 (0,01%) 11 (0,00%)
Tabela A3.10 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l –
caso caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm.
450827 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6m2] 443737 (98,47%) 7084 (1,57%) 6 (0,00%) 0 (0,00%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 5] 450758 (99,98%) 68 (0,02%) 0 (0,00%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) <3: 450826 (100,00%)
Edge Ratio [máx. 5] 448890 (99,57%) 1935 (0,43%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) 1 (0.00%) <3: 450825 (100.00%)
EquiAngle Skew 445522 (98,82%) 3276 (0,72%) 2050 (0,45%) 9 (0,00%) 0 (0,00%)
EquiSize Skew 447466 (99.25%) 2985 (0,66%) 312 (0,07%) 63 (0,01%) 1 (0,00%)
86
Tabela A3.11 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l – caso caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm.
450291 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6m2] 450291 (98,34%) 7401 (1,64%) 59 (0,01%) 8 (0,00%) 4 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 4] 450039 (99,94%) 193 (0,04%) 57 (0,01%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) <3: 450290 (100,00%)
Edge Ratio [máx. 7] 449691 (98,87%) 598 (0,13%) 1 (0,00%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) <3: 450289 (100,00%)
EquiAngle Skew 445286 (98,89%) 2983 (0,66%) 2006 (0,45%) 15 (0,00%) 1 (0,00%)
EquiSize Skew 446993 (99,27%) 2924 (0,65%) 302 (0,07%) 72 (0,02%) 0 (0,00%)
Tabela A3.12 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa comercial de 1,5 l –
caso caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm.
451099 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6m2] 443476 (98,31%) 7616 (1,69%) 7 (0,00%) 0 (0,00%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 7 ] 451041 (99,99%) 57 (0,01%) 0 (0,00%) 0 (0,00%) 1 (0.00%) <3: 451097 (100,00%)
Edge Ratio [máx. 3] 448151 (99,35%) 974 (0,22%) 857 (0,19%) 981 (0,22%) 138 (0,03%)
EquiAngle Skew 446171 (98,91%) 2829 (0,63%) 2088 (0,46%) 10 (0,00%) 1 (0,00%)
EquiSize Skew 447816 (99,27%) 28884 (0,64%) 330 (0,07%) 67 (0,01%) 2 (0,00%)
Tabela A3.13 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l –
caso base – caso 1.
48090 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [4e-6 m2] 45694 (95,02%) 2121 (4,41%) 259 (0,54%) 15 (0,03%) 1 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 25 ] 47389 (98,54%) 20 (0,04%) 96 (0,20%) 377 (0,78%) 208 (0,43%) <3: 47386 (98,54%)
Edge Ratio [máx. 26] 47389 (98,54%) 1 (0,00%) 32 (0,07%) 319 (0,66%) 349 (0,73%) <3:47383 (98,53%)
EquiAngle Skew 47154 (98,05%) 870 (1,81%) 52 (0,11%) 11 (0,02%) 3 (0,01%)
EquiSize Skew 47809 (99,42%) 218 (0,45%) 53 (0,11%) 8 (0,02%) 2 (0,00%)
Tabela A3.14 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l –
caso base – caso 2.
187427 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [9e-7 m2] 170061 (90,73%) 15085 (8,05%) 2151 (1,15%) 111 (0,06%) 19 (0,01%)
Aspect Ratio [máx. 20 ] 186052 (99,27%) 227 (0,12%) 1148 (0,61%) 0 (0,00%) 0 (0,00%) <3:186025 (99,25%)
Edge Ratio [máx. 15] 186022 (99,25%) 5 (0,00%) 436 (0,23%) 964 (0,51%) 0 (0,00%) <3:186020 (99,25%)
EquiAngle Skew 186032 (99,26%) 1259 (0,67%) 118 (0,06%) 18 (0,01%) 0 (0,00%)
EquiSize Skew 186839 (99,69%) 453 (0,24%) 121 (0,06%) 13 (0,01%) 1 (0,00%)
Tabela A3.15 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l –
caso base – caso 3.
228812 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [4e-7 m2] 36316 (15,87%) 35988 (15,73%) 156439 (68,37%) 69 (0,03%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 6 ] 225878 (98,72%) 207 (0,09%) 369 (0,16%) 71 (0,03%) 2287 (1,00%) <3:226085 (98,81%)
Edge Ratio [máx. 7] 225725 (98,65%) 283 (0,12%) 196 (0,09%) 2308 (1,01%) 300 (0,13%) <3:226001 (98,77%)
EquiAngle Skew 225119 (98,39%) 3302 (1,44%) 348 (0,15%) 41 (0,02%) 2 (0,00%)
EquiSize Skew 226451 (98,97%) 1974 (0,86%) 345 (0,15%) 39 (0,02%) 3 (0,00%)
87
Tabela A3.16 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l – caso caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm.
82114 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6 m2] 43321 (52,76%) 38736 (47,17%) 57 (0,07%) 0 (0,00%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 20 ] 82113 (100.00%) 0 (0,00%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) 0 (0,00%) <3:81048 (98,70%)
Edge Ratio [máx. 6] 80732 (98,32%) 261 (0,32%) 328 (0,40%) 793 (0,97%) 0 (0,00%) <3:80993 (98,63%)
EquiAngle Skew 81024 (98,67%) 970 (1,18%) 105 (0,13%) 14 (0,02%) 1 (0,00%)
EquiSize Skew 81544 (99,31%) 455 (0,55%) 99 (0,12%) 15 (0,02%) 1 (0,00%)
Tabela A3.17 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l –
caso caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm.
83017 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6 m2] 44620 (53,75%) 38319 (46,16%) 78 (0,09%) 0 (0,00%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 8 ] 81914 (98,67%) 163 (0,20%) 939 (1,13%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) <3:81950 (98,71%)
Edge Ratio [máx. 20] 82963 (99,93%) 53 (0,06%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) 0 (0,00%) <3:81895 (98,65%)
EquiAngle Skew 81973 (98,74%) 921 (1,11%) 107 (0,13%) 14 (0,02%) 2 (0,00%)
EquiSize Skew 82452 (99,32%) 449 (0,54%) 99 (0,12%) 16 (0,02%) 1 (0,00%)
Tabela A3.18 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa projectada de 0,33 l –
caso caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm.
85286 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6 m2] 46505 (54,53%) 38732 (45,41%) 49 (0,06%) 0 (0,00%) 0 (0,00%)
Aspect Ratio [máx. 9 ] 84154 (98,67%) 618 (0,72%) 477 (0,56%) 36 (0,04%) 1 (0,00%) <3:84213 (98,74%)
Edge Ratio [máx. 11] 84141 (98,66%) 1144 (1,34%) 0 (0,00%) 0 (0,00%) 1 (0,00%) <3:84180 (98,70%)
EquiAngle Skew 84107 (98,62%) 1058 (1,24%) 108 (0,13%) 12 (0,01%) 1 (0,00%)
EquiSize Skew 84722 (99,34%) 445 (0,52%) 105 (0,12%) 13 (0,02%) 1 (0,00%)
Tabela A3.19 – Parâmetros de qualidade da malha estruturada para a garrafa esférica de 0,33 l –
caso base – caso 2.
185141 elementos 0 - 0,25 0,25 - 0,5 0,5 - 0,7 0,7 - 0,85 0,85 - 1,0 Observações
Area [2e-6m2] 181603 (98,09%) 3534 (1,91%) 4 (0,00%) 0 (0,00%) 0 (0.00%)
Aspect Ratio [máx. 13 ] 184179 (99,48%) 12 (0,01%) 205 (0,11%) 521 (0,28%) 224 (0,12%) <3: 184177 (99,48%)
Edge Ratio [máx. 13] 184176 (99.48%) 5 (0,00%) 69 (0,04%) 524 (0,28%) 367 (0,20%) <3: 184174 (99,48%)
EquiAngle Skew 184160 (99,47%) 956 (0,52%) 18 (0,01%) 7 (0,00%) 0 (0,00%)
EquiSize Skew 184726 (99,78%) 391 (0,21%) 20 (0,01%) 2 (0,00%) 2 (0,00%)
88
Anexo 4 – Evolução dos resíduos
Figura A4.1 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial 0,33 l para Timp = 313,40K:
caso base – caso 1.
Figura A4.2 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial 0,33 l para Timp = 313,40K:
caso base – caso 2.
Figura A4.3 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial 0,33 l para Timp = 313,40K:
caso base – caso 3.
89
Figura A4.4 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 0,33 l para Timp = 313,0K:
caso base – caso 2.
Figura A4.5 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 0,33 l para Timp = 313,0K:
caso caixa-de-ar com espessura de 1,5 mm.
Figura A4.6 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 0,33 l para Timp = 313,0K:
caso caixa-de-ar com espessura de 2,5 mm.
90
Figura A4.7 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 0,33 l para Timp = 313,0K:
caso caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm.
Figura A4.8 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 315,63K:
caso base – caso 1.
Figura A4.9 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 315,63K:
caso base – caso 2.
91
Figura A4.10 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 315,63K:
caso base – caso 3
Figura A4.11 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 313,0K:
caso base – caso 2.
Figura A4.12 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 313,0K:
caso caixa-de-ar com espessura de 2,2 mm.
92
Figura A4.13 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 313,0K:
caso caixa-de-ar com espessura de 3,5 mm.
Figura A4.14 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa comercial de 1,5 l para Timp = 313,0K:
caso caixa-de-ar com espessura de 5,3 mm.
Figura A4.15 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa projectada de 0,33 l para Timp = 313,0K:
caso base – caso 2.
93
Figura A4.16 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa projectada de 0,33 l para Timp = 313,0K:
caso caixa-de-ar com espessura de 1,8 mm.
Figura A4.17 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa projectada de 0,33 l para Timp = 313,0K:
caso caixa-de-ar com espessura de 3,0 mm.
Figura A4.18 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa projectada de 0,33 l para Timp = 313,0K:
caso caixa-de-ar com espessura de 4,3 mm.
94
Figura A4.19 – Gráfico da evolução dos resíduos da garrafa esférica de 0,33 l para Timp = 313,0K:
caso base – caso 2.
