Placas - lajes

>'

4

Q,

y4

Exercício:Determine as reações de uma laje maciça de concreto de 3 m x 4 m, comespessura de 8 cm, revestimento de cerâmica, e que pesa, com a arga-massa de assentamento, 1000 N/m2.Cargas sobre a laje:

Peso próprio: pp = 0,08. 25000 = 2000 N/m2

Revestimento: pr = 1000 = 1000 N/m2

Sobrecarga: se = 2000 = 2000 N/m2

Carga total por área: g = 5000 N/m2

Cálculo das reações:

íf = 4 m (lado maior)l y = 3 m

qf= 4687,50 N/m

qy = 5000--

q = 37 50 N/m

Capítulo 17

Cascas

Objetivo:Introduzir o estudo das cascas dentro do regime demembrana.

280 281

Cascas

Cascas

Cascas são estruturas que se desenvolvem no espaço e nas quais duasdimensões se sobrepõem à terceira, que é sua espessura, e o carrega-mento é distribuído na superfície.Nas cascas temos duas geometrias: a geometria local, que estuda a su-perfície, e a geometria global, que estuda a forma da casca.As cascas podem ser geradas por rotação ou por translação.

Cascas geradas por rotação

Essa casca é gerada por uma curva que gira em torno de um eixo, que échamado de eixo de rotação.

meridianoparalelo

Cascas geradas por translação

Essa casca é gerada por uma curva que se desloca apoiando-se sobreoutra curva, mantendo-se constante o ângulo entre elas e o ângulo com oplano vertical A curva se desloca mantendo-se paralela a si mesma.

curva que transladadeslocamento

curva de apoio

282

f Cascas

Por rotação, temos os eferóides, elipsóides, parabolóides, cilindróides econóides entre outros.

círculo elipse parábola

cilindro

Por translação, temos entre outros, os parabolóides elíptícos e parabolóideshiperbólicos.

parabolóideelíptico

diretriz 2parabolóidehiperbólico

parábola

diretriz l

conóide

diretriz 2

283

Cascas

Esforços nas cascas de rotação

Dada a pequena espessura das cascas, a rigidez à flexão pode ser des-prezada e assim temos somente solicitações normais.Consideremos um elemento de casca e façamos o seu equilíbrio.

284

Tya

centrode Rv

centrodeRx

"q" e "p" são as cargas por área;q é a carga na área;p é a componente da carga na área segundo a sua normal;R^eR são os raios de curvatura nas direções "jc" e "y" res-pectivamente.

p a b p a b

Cascas

Como os ângulos a e P são pequenos (menores que l rad), podemossimplificar

sen a= a e

sen p = p

Também pela definição de ângulo:

aR.

As componentes de Tx.b e T .a na direção vertical devem equilibrar acarga normal p a b.

-T -b-sen(-\2 -Tv -a • sen( ̂ ]= p -a -

2 - T - b — — + 2-T -a — — = p - a - b2-R, 2 - R , .

^__ nU

Esta é a equação básica da Teoria de Membrana, quando a casca é derevolução. Ela relaciona as cargas por unidade de comprimento Tx e T eos raios principais de curvatura Rx e R .Para determinar Tx e T , devemos conhecer a priori um dos valores paradepois, da equação básica, tirar o outro.Os apoios das cascas conforme a Teoria de Membrana, devem gerarreações na mesma direção das cascas; assim, o apoio ideal para as cas-cas é o representado a seguir:

285

Cascas

Exercício:Determine as tensões da casca de 5 cm de espessura com vão de 86,60m e raio de 50 m, submetida a uma carga vertical de 2000 N/m2. A cascaé esférica.

m m m m q = 2000 N/m

a a

R = 50m

sen a =

]~R

- • — =0,8660 =>a =60°2 50

Chamamos de T e T as cargas por unidade de comprimento segundo omeridiano e o paralelo, respectivamente.Fazendo o equilíbrio vertical de toda a carga, temos que o peso total éequilibrado pela reação de borda segundo uma componente vertical. As-sim, temos:

286

Cascas

V Q O T1

-j--4=Ta 'sen

mas:

então:

2 R

l

'T1

4 sen 60° "m

q-R

Tm = q - 2 - R - s e n ó O4 sen60c

T J000'50 =50.000 N/m

A determinação da carga linear T exige que se determine, no elementode casca, a carga p na direção normal a ela no ponto em que temos oângulo de análise.

pA0 <P

-, que é a relação de áreas.

Fazendo o equilíbrio na direção normal, para determinarmos a carga pnormal à casca.

q . A . cos cp= p . AO

q • A -coscp

287

Cucas

_ q • A • cos (pp= _

p = q . cos2q>

Da equação básica, temos:

R R

Tm=~-q-R

p = q . cos2<p

-25.000

Vejamos para que valor Tp pode tomar um sinal diferente. Vejamos o zeroda função T1:

T0 - O .-. cos2 cp =02

2 lcos <p = —2

cp=

As cargas lineares Tm e Tp variam de acordo com (p. Tm é constante em 9.

288

Cascas

©

É interessante observar que as tensões no material são extremamente bai-xas. No nosso exercício, imaginemos que a casca tivesse 5 cm de espes-sura. Para T = 50000 N/m, temos:

m '

N/m 2 ou 1 M Pa

= 500000 N/m2 ou 0,5 MPa

7-0 ,05

25000a» =-

Vemos que são tensões muito baixas. Um concreto usual resistiria a ten-sões da ordem de 10 MPa.

Exercício:Estruturas infláveis são cascas que só trabalham sob ação de membrana àtração. Determinar as cargas lineares que agem numa estrutura inflávelsemi-esférica com raio de 10 m, submetida a uma pressão interna de0,004 MPa.Devemos lembrar inicialmente do Princípio de Pascal, que diz que "numfluido, as pressões em torno de um ponto se manifestam com igual inten-sidade em qualquer direção".

T

ípA P

p =Jh

289

Cascas

Aplicando a expressão geral:

T. 7\

Temos, por ser uma esfera, Rx = R - R.A carga, em virtude da pressão interna, já é normal à membrana, peloPrincípio de Pascal.

Fazendo o equilíbrio segundo a direção vertical, temos:

T y . 2 . n. R = p . n. R2

Ty=P'\ e

T n RT,=P-R-p.j

R_

~2

Nota-se que

T - T1 í. - ly

Numericamente:

= 0,004 -10 =QJ[)2 MN/m QU Tj = 200QO N/m

Convidamos o leitor a mostrar que, na membrana estudada, a força porcomprimento é constante em qualquer ponto.

290

Cascas

Exercício:Determinar a espessura de uma casca cônica de aço com as característi-cas abaixo. A casca apoia-se num anel circular de seção trapezoidal. Ocarregamento corresponde apenas ao peso próprio.

Peso específico do aço: 78500 N/m 3 ;

q - peso por área da casca;

P = peso total da casca;

r = jc . sen C/L

7 m

— = sen QR

291

Cascas

292

sen p

sen P= cos a,

R- r

cos a

D __ x • senaJ\ — — —cos a

R=x-tga

O peso total P é a área lateral da casca, multiplicada pelo peso q porunidade de área.

JT

P, = J2 -n - r - q -dx0

.r

P x = 2 -n-q -^x-sencu-dx0

x2 "P t =2 -TI - q • sena

0

Pf =n • q • x2 • sena

O peso total P deve ser equilibrado por T projetado na direção vertical emultiplicado pelo perímetro.

2 . n. r . T;, cos a - n. q. x2 . sena

2 . n. x . sen a. Tf . cos a = n, q. x2 . sen a .

T q - x \1 T/ -cosa

Para utilizarmos a expressão geral, devemos considerar a carga/7 normalà casca no ponto de estudo.

\vf f C vertfe*\\ A ^ * f

X| \a A- *> fn «.*q V V

\ ca

A . p = A . q. sen 61

Pela expressão geral:

T TLL- + ̂ ~PRx Ry

Corno Rx - °°, temos!

T,— n

T j = Ry - P

Tv = x . tg a. q. sen a

sena1 ri Y ç p fí rv1 v — q • X • • òcntjK,

cosa

sen2 aT n v1 v —q • x •

cosa

Resumindo o resultado, temos:

q -x _ sen2 aT " f» T -m a • »1 — c i _ » ç - . * "

2 -cosa cosa

Ambos os valores são de tração.Numericamente:

tga= - =>a= 23,1986°

293

Cascas

Assim: sen a = 0,3939... e cos a = 0,9191...

Vamos determinar x para uma casca de 7 m de altura:

x . cos a= 7

7

0,9191= 7,6161...

Como queremos dimensionar a espessura da chapa de aço, vamos inici-almente admitir uma espessura de l mm:

q = 0,001 . 78500 = 78,50 N /m2

71.50.7,6,6, 4M/m £

2 -0,9191

O 39392

Ty =78,50-7,6161 • ' =100,93 N / m0,9191

Sabendo-se que a tensão admissível do aços carbono para estruturas éde 150 MPa, vamos verificar se a espessura de l mm admitida para opeso próprio é compatível com a resistência da peça. A área necessáriada peça é igual à maior carga linear da ação de membrana dividida pelaárea.

a=A

325,24=325 240 pa ou 0,325240 • MPa

1-0,001

0,325240 MPa <« 150 MPa.

Por razões construtivas, não valeria a pena reduzir mais a espessura dachapa. Vemos o quanto é favorável a casca para executar estruturas eco-nômicas. O inconveniente da utilização das cascas é sua execução. Nocaso das cascas de concreto, o custo das fôrmas é caro. As cascas regradasatenuam esse inconveniente, por terem uma fôrma que pode ser feita comtiras retas de madeira.

294

Cascas

Exercício:Imaginemos, no exercício anterior, que queiramos encher de água a cascacônicaaté o anel de apoio. Calculemos as cargas lineares T^eTy, naaltura do anel.

Ai i i/T"

Vamos determinar a reação Tx a uma profundidade "z", a partir do anel deapoio.

A carga vertical da água P, ̂ deve ser equilibrada pela componente deT na mesma direção, ao longo do perímetro.A carga Pá M é o peso do volume do cone abaixo da cota "z", somado àcarga que fica acima de "z" segundo o cilindro de raio "r", conformemostra a figura acima.

295

Cascas

Como

Mas:

Então:

296

-"K-r2 -(h-z)-yágua+n-r2 • z -

* -r2 -jágua -í--h-jj-z

água

Tx . cos a . 2 . n . r = Págua

água

2 • n -r • cosa

n -r -7áigua

T, m-2 -n • r -cosa.

T = -6 • cosa

= oo, temos:

-^H - = p

P = Jágua • Z

T, = Ry.p

l y = A v, . "fáglta • Z

R . cos a= r

R_ r

cosa

™ rcosa

-y águaSendo: r=(h-z). tg a

.6 -cosa

(h-z)-tga. .cosa

Numericamente, no ponto em que z = O onde é o anel de apoio, temos:

Logo:

^

T. =

l água-tga

I ág6 1 água ^ t áeua•cosa 6 -cosa

72 -0,4286

6 -0,9191-•10000=38.081 N/m

Poderíamos determinar como variam T e T em função de z:X y

6 -cosa

T, =6 -cosa

^-•(h2 -h-zi-2-h-z*-2-z2 )

Tr =-6 -cosa

• • ( 2 z2

- z

T, = *""*«'• - ( h z-z2).cosa

Cascas de revolução dentro do regime de membrana podem ter lanternim.

297

Cascas

O lanternim é considerado como uma carga vertical que descarrega sobrea membrana.Esquema de carregamento:

esquema de carregamento

\ f

\Cascas PlissadasConsegue-se excelentes desempenhos estruturais com cascas plissadas,que são placas dobradas. Elas podem ser das mais variadas formas:

298

Cascas

Quando a estrutura é simétrica em relação aos ângulos de dobradura eposicionamento, ela não sofre deslocamentos. O comportamento da lajeplissada é idêntico ao de uma viga contínua apoiada nos vértices das do-bras. Isso é válido para perfis, como os da Fig. 35 (a) e (b), representa-dos acima, não valendo contudo para o (c).

299

Cascas

A viga contínua de largura unitária apóia-se nos vértices. As cargas Pn ePt condicionam a estrutura a funcionar no plano do desenho como umavigapoligonal.

y

Temos assim os momentos sobre os apoios e no vão.

Momen to no apoio -> M = p -cosa12

Momento n o m e i o d o v ã o - > M =p -cosa24

A componente Pt obriga a estrutura a trabalhar como uma viga normal aodesenho.

Pt

300

Capítulo 18

Cabos - estruturas penseis

Objetivo:Introduzir o estudo dos cabose das estruturas penseis.

301