Clase12-Heterocedasticidad

8/18/2019 Clase12-Heterocedasticidad

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Heterocedasticidad

Econometŕıa IClase 12

Javiera Vásquez

Centro de Microdatos

Departamento de Economı́a

Universidad de Chile

[email protected]

Octubre, 2010

Javiera Vásquez Centro de Microdatos

Clase 12


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Heterocedasticidad

Contenidos

1 HeterocedasticidadContrastes de Heterocedasticidad:Ejemplo: Estimación del Ahorro


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Heterocedasticidad

Heterocedasticidad

La Heterocedasticidad surge cuando a pesar de que Cov(u i u j )=0para i= j, las varianzas de cada observación son diferentes, esdecir, Var (u j ) = σ

2 j para j=1,...,n. La matriz de covarianzas en

este caso es:

E [uu ] = σ2Ω =

σ21 · · · 0...

. . . ...

0 · · · σ2

n

= σ2

ω1 · · · 0...

. . . ...

0 · · · ω

n


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Heterocedasticidad

Heterocedasticidad

0

1 0 0 0

0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

3

0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0

s a l a r i o

8 10 12 14 16 18

xx

x xx x

x xx

x

Figura 2: Distribución de los salarios para distintos niveles de educación.

Recta de regesiónpoblacional (RRP)

Escolaridad


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Heterocedasticidad

Heterocedasticidad

La heterocedasticidad es un problema bastante recurrente,especialmente al trabajar con datos de corte transversal. Algunasrazones por las que u i puede variar son las siguientes:

En los modelos de aprendizaje sobre errores, a medida que lagente aprende, sus errores de comportamiento son menores,aśı en este caso a medida que aumentan las horas de prácticade una cierta actividad, la varianza de los errores se reduce.

A medida que aumentan los ingresos, la gente tiene más

posibilidades de disponer de parte de ese ingreso de la formaque desee. Aśı en una regresión de ahorro contra ingreso, esposible que σ2i aumente en la medida que el ingreso aumenta.


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H d i id d


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Heterocedasticidad

Heterocedasticidad

La Heterocedasticidad también puede surgir por la presenciade factores at́ıpicos, que es muy diferente a las restantesobservaciones.

Al omitir variables relevantes, a parte del sesgo que seproduce en las estimaciones por esto, se produceHeterocedasticidad ya que este variable estará en el términode error y por lo tanto la varianza dependerá de ella.

Otra fuente de Heterocedasticidad es la asimetŕıa en ladistribución de una o más variables explicativas incluidas en elmodelo, por ejemplo: ingreso, riqueza y educación.


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H t d ti id d


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Heterocedasticidad

Heterocedasticidad

Como mencionamos anteriormente en presencia deHeterocedasticidad el estimador MCO seguirá siendo insesgado,pero no tendrá varianza ḿınima. El estimador que si cumple con lapropiedad de MELI es el de MCG. Este último estimador requiere

conocimiento de la matriz Ω. Sin embargo, White (1980) hapropuesto una aproximación a la matriz de covarianzas delestimador MCO:

Var (β̂ |X ) = (X X )−1(X σ2ΩX )(X X )−1

que no requiere una representación especifica de la forma funcionalque adopta la heterocedasticidad, por lo que no tendremos riesgode asumir una forma funcional incorrecta.


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Heterocedasticidad

Heterocedasticidad

La sugerencia de White es que la varianza del estimador ˆβ MCO seexprese de la siguiente forma:

Var (β̂ |X ) = n(X X )−1

1

nσ2X ΩX

(X X )−1

se define:Σ = n−1σ2X ΩX

= n−1n

i =1

σ2i x i x

i

la que se estima de la siguiente forma:

Σ̂ = n−1n

i =1

û i 2x i x

i


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Heterocedasticidad

White demuestra bajo condiciones generales que:

Σ̂ = n−1n

i =1û i

2x i x

i

p → Σ

De esta forma, una estimación consistente de la matriz decovarianzas es:

Var (β̂ |X ) = n(X X )−1Σ̂(X X )−1 (1)

su comparación con σ2(X X )−1 puede dar noción del grado deheterocedasticidad.


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Heterocedasticidad

La estimación de White de una matriz consistente conHeterocedasticidad es un resultado muy útil, ya que no se

necesita saber la naturaleza de la Heterocedasticidad.Ante la duda de presencia de este problema es mejor ocupareste estimador ya que no produce alteraciones, y nos permitehacer inferencia correcta con o sin la presencia de

Heterocedasticidad.


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Contrastes de Heterocedasticidad

1 El contraste de White: La hipótesis nula es deHomocedasticidad. Esto es, H 0: σ

2i = σ

2 ∀ i, bajo la hipótesis

nula el estimador de la matriz de covarianzas de β̂ es

Var (β̂ |X ) =

σ2(X X )−1, pero bajo la hipótesis alternativa es

(1). Basado en la observación de esto, White propone un testque puede obtenerse al calcular nR2 de una regresión de û 2i contra todos los productos posibles entre las variablesexplicativas. Demuestra que nR 2 ∼ χ2J −1, donde J es elnúmero de regresores de esta ecuación.

Consideremos el siguiente modelo:

y i = β 0 + β 1x i + β 2z i + u i


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ete ocedast c dad


Los pasos para realizar el test de White son:

1 Obtener β̂ y los residuos de la estimación del modelo anteriorpor MCO {û i }

ni =1

2 Correr una regresión de û 2i sobre una constante, x i , z i , x

2i , z

2i

y x i z i .

3 Computar nR2 de la regresión anterior

4 Para el nivel de significancia escogido, comparar nR2 con elvalor cŕıtico de una distribución chi cuadrado con 5 grados delibertad. Si nR2 excede el valor cŕıtico se rechaza la hipótesisnula de Homocedasticidad.


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2 El contraste de Goldfeld y Quandt: este contraste parte delsupuesto de que la magnitud de σ2i depende de cierta variablez i , la que generalmente es una variable explicativa pero no esnecesario. S

Supongamos que dicha relación es positiva, es decir, paravalores más altos de z i mayor es σ

2i .

Las observaciones se dividen en dos grupos, bajo la hipótesis

nula ambos grupos tienen la misma varianza, pero bajo laalternativa las varianzas difieren significativamente. Entoncesel contraste consiste en:


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1 Ordenar las observaciones por los valores de la variable z i , demenor a mayor.

2 Omitir p observaciones en la mitad de la muestra, se sugiereno eliminar más de la tercera parte de las observaciones.

3 Estimar dos veces el modelo original, una con las n−p

2primeras observaciones muestrales y otra con las n−p

2 últimas

observaciones en la muestra. Notar que p debe ser losuficientemente peque–o de manera que n−p

2 sea mayor al

número de parámetros k .

4 Se calcula es estad́ıstico:

û 2û 2

û 1û 1∼ F m,m con m =

n − p

2 − k


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Si se sospecha que la varianza del error depende inversamentede z i , entonces las observaciones se deben ordenar de mayor amenor.

Si se llega a la conclusión de que el término de error delmodelo no presenta heterocedasticidad, podŕıa deberse a quehemos comenzado con una mala especificación del parámetroσ2i , que quizás depende de un variable diferente a la quehemos supuesto.

Por esta razón el contraste debeŕıa realizarse varias veces condistintas variables de las que tengamos sospechas puedadepender la varianza del término de error.


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1 El contraste de Breusch y Pagan: supongamos que lavarianza del término de error de cada observación depende deun vector de variables z i de dimensión p, es decir:

σ2i = h(z

i α) = h(α0 + α1z 1i + α2z 2i + ... + αp z pi )

Notemos que si todos los coeficientes α’s excepto elcorrespondiente a α0 fuesen cero, tendŕıamos una situación de

Homocedasticidad.


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Por lo tanto, si pudiéramos estimar los coeficientes α0, α1,...,αp uncontraste para la hipótesis nula de Homocedasticidad es:

H 0 : α1 = α2 = ... = αp = 0

Los pasos para realizar este contraste son:


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1 Se estima por MCO el modelo original y se obtienen losresiduos correspondientes.

2 Se obtiene la serie de residuos normalizados al cuadrado:

ê 2i = û 2i

σ̂2u

i = 1, ..., n donde σ̂2u = ni =1 û

2i

n

3 Se estima una regresión de ê 2i sobre una constante y lasvariables z 1i , z 2i ,...,z pi y se obtiene la suma explicada (SE) dedicha regresión.1

4 Bajo la hipótesis nula de Homocedasticidad y dado elsupuesto de normalidad del término de error, la razón SE

2 se

distribuye χ2p .1Recordemos que la suma explicada de una regresión es igual ani =1(ŷ i − y )

2, cuando y i es la variable dependiente.


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Ejemplo

Se estima la función de ahorro utilizando datos de 100 familias:

sav i = β 0 + β 1 · inc i + +u i

donde sav es el ahorro familiar, y inc es el ingreso familiar.

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Ejemplo


Heterocedasticidad


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Ejemplo

− 1 0 0 0 0

0

1 0 0 0 0

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

A h o r r o

0 10000 20000 30000Ingreso


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Ejemplo

− 1 0 0 0 0

0

1 0 0 0 0

2 0 0 0 0

3 0 0

0 0

R e s i d u a l s

0 10000 20000 30000

inc


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Ejemplo

La estimación nos muestra que cada peso adicional de ingresose traduce en 0.15 pesos de ahorro, es decir, la propensiónmarginal a ahorrar es 0.15, el parámetro es estad́ısticamentesignificativo al 5 %.

Los gráficos nos muestran la presencia de un problema deheterocedasticidad en este modelo, los errores dependen decomo se comporta el ingreso.

La siguiente tabla muestra que las desviaciones estándar

robustas son mayores que las OLS simple, indicando tambiénla presencia de heterocedasticidad.


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Ejemplo


Heterocedasticidad


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Ejemplo

A continuación se realizan los test de heterocedasticidad. Donde se

asume la siguiente estructura:

V (u i |inc ) = σ2 · inc i


Heterocedasticidad


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Ejemplo

1. Test Breusch-Pagan: para realizar este test, primero de laestimación MCO del modelo de interés se obtienen los residuos,

luego se computan los residuos normalizados (dividir cada residuoal cuadrado por el estimador de la varianza del error).

Se estima una regresión entre los residuos generalizados y elingreso.


Heterocedasticidad


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Ejemplo

SE


Heterocedasticidad


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Una vez realizada la estimación se construye el estad́ısticoSE

2 = 13,7, que resulta ser mayor al valor de tabla de una χ21 al

95 % de confianza (3.84).

De esta forma, se rechaza la hipótesis nula de homocedasticidad.


Heterocedasticidad


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Ejemplo

2. Test Goldfeld y Quandt: es de esperar que la varianzadependa positivamente del nivel de ingreso, de esta forma,

ordenamos las observaciones de menor a mayor nivel de ingreso yomitimos las 30 observaciones que ocupan los lugares centrales.

Luego estimamos dos modelos cada uno con 35 observaciones, y secomputa el estad́ıstico λ igual a la división de la suma residual:


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Ejemplo


Heterocedasticidad


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Ejemplo

Este estad́ıstico λ(27,2) debe ser comparado con el valor de tabla

de una distribución F m,

m al 95 % de confianza, que es igual a 6.39.

De esta forma, nuevamente se rechaza la hipótesis nula deHomocedasticidad.


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Ejemplo

STATA computa el siguiente test de heterocedasticidadautomaticamente:


Heterocedasticidad


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Ejemplo

Ambos tests nos confirman la presencia de heterocedasticidad, si laestructura de varianza asumida es correcta, podemos realizar laestimación Ḿınimos Cuadrados Generalizados Factibles (Mı́nimosCuadrados Ponderados) de la siguiente manera:


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