cMatemática Parte I: Álgebra Linear

MatematicaParte I: Algebra Linear

Luısa Morgado

Lic. em Enologia 2009/2010

Luısa Morgado Algebra Linear

Na Fısica aparecem frequentemente grandezas, tais como atemperatura e a pressao, que possuem apenas magnitude.Estas podem ser representadas por numeros reais e saochamadas grandezas escalares. Mas outro tipo degrandezas, tais como a forca e a velocidade, alem damagnitude tem tambem uma direccao a elas associada. Estaspodem ser representadas por vectores (tendo direccao ecomprimentos apropriados, partindo de um ponto de referenciaO) e sao as chamadas grandezas vectoriais.


Adicao de vectores: A soma dedois vectores u e v e obtida pelalei do paralelogramo, i.e. u + v e adiagonal do paralelogramoformado por u e v

u

v

u�v

O

Multiplicacao de um vector porum escalar: O produto de um realk por um vector u e obtidomultiplicando a magnitude de u pork , mantendo o mesmo sentido sek ≥ 0 ou o sentido oposto se k < 0

u 3u�2u O


Se a origem dos eixos e escolhida no ponto de referencia O,entao cada vector e univocamente determinado pelascoordenadas da sua extremidade.Assim, se (a,b) e (c,d) sao as extremidades dos vectores u ev , respectivamente, e k e um escalar, entao

(a + c,b + d) sera a extremidade de u + v ;(ka, kb) sera a extremidade do vector ku.

Matematicamente, identificamos um vector com a suaextremidade, i.e, chamamos ao par ordenado de numeros reais(a,b) um vector. Mais ainda, generalizamos esta nocao echamaremos a n-upla de numeros reais (a1,a2, . . . ,an) umvector de Rn.


Seja u = (u1,u2, . . . ,un) um ponto ou um vector de Rn.

Aos numeros reais ui , i = 1, . . . ,n chamamos componentesou coordenadas do vector u.

ExemploConsideremos os seguintes vectores

(−1,1), (4,√

2,0) (0, π,12,0,5).

O numero de componentes de cada um destes vectores e 2, 3e 5, respectivamente, pelo que o primeiro e um elemento deR2, o segundo de R3 e o ultimo de R5


Dois vectores sao iguais se tem o mesmo numero decomponentes e se as correspondentes componentes saoiguais.Os vectores u = (0,1,2) e v = (0,2,1) nao sao iguais poisu2 = 1 6= v2 = 2.

Exemplo

Sendo u = (x − y , x + y , z − 1) e v = (4,2,3) dois vectores deR3, determinemos x, y e z de modo a que u = v.Por definicao de igualdade de vectores,

x − y = 4x + y = 2z − 1 = 3

Resolvendo o sistema acima, obtemos x = 3, y = −1 e z = 4.


Adicao de vectores e multiplicacao por um escalar emRn

Sejam u = (u1,u2, . . . ,un) e v = (v1, v2, . . . , vn) dois vectoresde Rn e k um numero real.

A soma de u e v , u + v , e o vector de Rn obtido pela adicaodas componentes respectivas:

u + v = (u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn)

A multiplicacao de k por u , ku, e o vector de Rn obtido multi-plicando cada componente de u por k :

ku = (ku1, ku2, . . . , kun)


Exemplo

Sejam u = (2,−1,0), v = (3,5,−2) dois vectores de R3.

2u − 3v = 2u + (−3)v = 2(2,−1,0) + (−3)(3,5,−2)

= (2× 2,2× (−1),2× 0) + (−3× 3,−3× 5,−3× (−2))

= (4,−2,0) + (−9,−15,6) = (−5,−17,6)


Sejam u, v e w quaisquer tres vectores de Rn e k1, k2 doisnumeros reais. Entao

(i) (u + v) + w = u + (v + w) (v) k1(u + v) = k1u + k2v(ii) u + 0 = u (vi) (k1 + k2)u = k1u + k2u(iii) u + (−u) = 0 (vii) (k1k2)u = k1(k2u)(iv) u + v = v + u (viii) 1u = u

onde 0 = (0,0, . . . ,0︸︷︷︸n×

) e o vector nulo (ou zero) e 1 =

(1,1, . . . ,1︸︷︷︸n×

).


Produto interno

Sejam u = (u1,u2, . . . ,un) e v = (v1, v2, . . . , vn) dois vectoresde Rn.

O produto interno (ou produto escalar) de u e v , u ·v , e o es-calar obtido multiplicando as componentes correspondentese somando os resultados obtidos:

u · v = u1v1 + u2v2 + . . .+ unvn

ku = (ku1, ku2, . . . , kun)

Dois vectores u e v dizem-se ortogonais (ouperpendiculares), u⊥v , se o seu produto interno e zero.


Exemplo

Sejam u = (1,2), v = (−3,0) e w = (−2,1).u · v = 1× (−3) + 2× 0 = −3u · w = 1× (−2) + 2× 1 = 0

e assim os vectores u e w sao ortogonais.

u

v

w


Para quaisquer vectores u, v ,w ∈ Rn e qualquer es-calar k ∈ R:

(i) (u + v) · w = u · w + v · w ;(ii) (ku) · v = k(u · v);(iii) u · v = v · u;(iv) u · u ≥ 0 e u · u = 0 se e so se u = 0.


Norma e distancia em Rn

Dados dois vectores de Rn, u = (u1,u2, . . . ,un) ev = (v1, v2, . . . , vn):

A distancia entre os pontos u e v , representa-se por d(u, v),e e definida por

d(u, v) =√

(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + . . . (un − vn)2

A norma (ou o comprimento) do vector u denota-se por ‖u‖,e e definida por

‖u‖ =√

u · u =√

u21 + u2

2 + . . . u2n

Note que d(u, v) = ‖u − v‖.


��

�2 � �

2

��

��

��,��

�� 2 ��

��2��,��

��,��

Exemplo

Sejam u = (2,3) e v = (1,0).d(u, v) =

√(2− 1)2 + (3− 0)2 =

√10;

‖u‖ =√

22 + 32 =√

13;‖v‖ =

√12 + 02 = 1. Sempre que tal acontece, i.e.,

sempre que um vector tem norma 1, chamamos a essevector, vector unitario.

Note que dado um vector nao nulo de Rn, o vector u‖u‖ e um

vector unitario com a mesma direccao e sentido de u.


(Desigualdade de Cauchy-Schwarz)Para quaisquer vectores u, v ∈ Rn

|u · v | ≤ ‖u‖‖v‖.

(Desigualdade triangular)Para quaisquer vectores u, v ∈ Rn

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.


Angulo entre dois vectores

Dados dois vectores nao nulos u = (u1,u2, . . . ,un) ev = (v1, v2, . . . , vn), o angulo θ entre u e v e definido pelaigualdade

cos θ =u · v‖u‖‖v‖

.

Note que, se u · v = 0, entao θ = π2 , o que esta de acordo com

a definicao previa de ortogonalidade.


Em R a equacao x2 + 1 = 0 e impossıvel. Introduzindo aunidade imaginaria i , que e tal que i =

√−1 ou i2 = −1,

aquela equacao passa a ter solucao pois

x2 + 1 = 0⇔ x = ±√−1⇔ x = ±i

Ao conjunto

C = {z : a + bi ,a,b ∈ R ∧ i2 = −1}

chama-se conjunto dos numeros complexos.a a chama-se parte real do numero complexo, a = Re(z);a b chama-se parte imaginaria do numero complexo,b = Im(z).


Imaginarios puros: z = bi , onde b ∈ R \ {0}Reais puros: z = a, a ∈ R.

Note que o conjunto dos reais puros e da forma{z ∈ C : z = a,a ∈ R} = {z ∈ C : z = a + 0i} e portantoidentifica-se com R; por tal, dizemos que R ⊂ C.

Adicao em C: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iMultiplicacao em C: (a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)iIgualdade em C: (a + bi) = (c + di)⇔ a = c ∧ b = dConjugado de z = a + bi , z: z = a− biInverso de z = a + bi 6= 0, z−1: z−1 = z

zz = aa2+b2 + −b

a2+b2 iDivisao em C: w

z = wz−1, z 6= 0Valor absoluto de z = a + bi , |z|: |z| =

√a2 + b2


Assim, como os numeros reaispodem ser representados porpontos numa recta, os numeroscomplexos podem serrepresentados por pontos doplano. Mais precisamente, o ponto(a,b) do plano representa onumero complexo z = a + bi . Ovalor absoluto de z e definidocomo sendo a distancia de z aorigem.

��

�

�

��

Note que |z| e igual a norma do vector (a,b).


Adicao de vectores e multiplicacao por um escalar emCn

Definimos o conjunto

Cn = {(z1, z2, . . . , zn) : zi ∈ C, i = 1,2, . . . ,n}Tal como no caso real, aos elementos de Cn chamamos pontos(ou vectores) e aos elementos de C chamamos escalares.

A soma de z = (z1, z2, . . . , zn) e w = (w1,w2, . . . ,wn), u + w ,e o vector de Cn obtido pela adicao das componentes respec-tivas:

z + w = (z1 + w1, z2 + w2, . . . , zn + wn)

A multiplicacao do escalar λ por z , λz, e o vector de Cn

obtido multiplicando cada componente de z por λ:

λz = (λz1, λz2, . . . , λzn)


Produto interno e norma em Cn

Sendo z = (z1, z2, . . . , zn) e w = (w1,w2, . . . ,wn) dois vectoresde Cn.

O produto interno (ou produto escalar) de z e w , u · v , edefinido por:

z · w = z1w1 + z2w2 + . . .+ znwn.

A norma de z e definida por:

‖z‖ =√

zz =√

z1z1 + z2z2 + . . .+ znzn =√|z2

1 |+ |z22 | . . . |z2

n |


Exemplo

Sejam z = (2 + 3i ,4− i ,2i) e w = (3− 2i ,5,4− 6i) doisvectores de R3.

z · w = (2 + 3i)(3− 2i) + (4− i)(5) + (2i)(4− 6i)= (2 + 3i)(3 + 2i) + (4− i)(5) + (2i)(4 + 6i)= 13i + 20− 5i − 12 + 8i = 8 + 16i

z · z = (2 + 3i)(2 + 3i) + (4− i)(4− i) + (2i)(2i)= (2 + 3i)(2− 3i) + (4− i)(4 + i) + (2i)(−2i)= 13 + 17 + 4 = 34

‖z‖ =√

zz =√

34


Definicao de corpo

Seja K um conjunto munido de duas operacoes: de adicao (+)e de multiplicacao (×). O terno (K,+,×) diz-se um corpo sse

∀x , y ∈ K ∃1z ∈ K: z = x + y ;∀x , y , z ∈ K: (x + y) + z = x + (y + z);∀x , y ∈ K: x + y = y + x ;∃0 ∈ K ∀x ∈ K: x + 0 = 0 + x = x ;∀x ∈ K ∃x ′ ∈ K: x + x ′ = x ′ + x = 0;∀x , y ∈ K ∃1z ∈ K: z = x × y ;∀x , y , z ∈ K: (x × y)× z = x × (y × z);∀x , y ∈ K: x × y = y × x ;∃1 ∈ K\{0} ∀x ∈ K: 1× x = x × 1 = x ;∀x ∈ K\{0} ∃x−1 ∈ K: x × x−1 = x−1 × x = 1;∀x , y , z ∈ K: x × (y + z) = x × y + x × z.


Exemplo

(i) (R,+,×) e (C,+,×), onde + e × sao asoperacoes de adicao e multiplicacao usuais em Re C, respectivamente, sao corpos.

(ii) (Z2,+,×) onde Z2 = {0,1} e as operacoes deadicao e multiplicacao sao definidas por

0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0,0× 0 = 0× 1 = 1× 0 = 0, 1× 1 = 1.

e um corpo.

Daqui em diante, sempre que falarmos de um corpo Kestaremos a referir-nos a um dos corpos do exemplo (i).


Definicao de espaco vectorial sobre um corpo

Seja E um conjunto nao vazio e (K,+,×) um corpo. Defina-seem E uma operacao binaria (fechada), ⊕, e uma operacao demultiplicacao de elementos do corpo K por elementos de E , ⊗,e cujo resultado esta em E .Dizemos que (E ,⊕,⊗) e um espaco vectorial (ou linear) sobreo corpo K sse

∀x , y ∈ E ∃1z ∈ E : z = x ⊕ y ;∀x , y , z ∈ E : (x ⊕ y)⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z);∀x , y ∈ E : x ⊕ y = y ⊕ x ;∃0E ∈ E ∀x ∈ E : x ⊕ 0E = 0E ⊕ x = x ;∀x ∈ E ∃x ′ ∈ E : x ⊕ x ′ = x ′ ⊕ x = 0E ;∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∃1y ∈ E : y = λ⊗ x ;∀λ ∈ K ∀x , y ∈ E : λ⊗ (x ⊕ y) = (λ⊗ x)⊕ (λ⊗ y);∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ E : (λ+ µ)⊗ x = (λ⊗ x)⊕ (µ⊗ x);∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ E : (λ× µ)⊗ x = λ⊗ (µ⊗ x);∀x ∈ E : 1K ⊗ x = x .


Quando K = R→ espaco vectorial realQuando K = C→ espaco vectorial complexo

Exemplo1 Rn com as operacoes de adicao e multiplicacao por um

real usuais (definidas atras) e um espaco vectorial real2 Cn com as operacoes de adicao e multiplicacao por um

real usuais (definidas atras) e um espaco vectorialcomplexo.


Subespacos vectoriais

Seja (E ,⊕,⊗) um espaco vectorial sobre um corpo (K,+,×).Diz-se que (S,⊕,⊗) e um subespaco vectorial de (E ,⊕,⊗)sse S ⊆ E e (S,⊕,⊗) e um espaco vectorial sobre (K,+,×).

Exemplo

O conjunto A = {(x , y , z) ∈ R3 : z = 0} munido dasoperacoes de adicao e multiplicacao por um escalarusuais, e um subespaco vectorial de R3;Dado um espaco vectorial E sobre um corpo K, o conjunto{0E} e um subespaco vectorial de E.


Um subconjunto S de um espaco vectorial E sobre umcorpo K e um subespaco vectorial de E sse

(i) S 6= ∅;(ii) ∀x , y ∈ S: x + y ∈ S;(iii) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ S: λx ∈ S.

As propriedades (ii) e (iii) poderiam agrupar-se em apenasuma:

∀λ, µ ∈ K, ∀x , y ∈ S : λx + µy ∈ S


Exemplo

Mostremos que o conjunto A = {(x , y , z) ∈ R3 : z = 0} munidodas operacoes de adicao e multiplicacao por um escalarusuais, e um subespaco vectorial real de R3.

(i) A 6= ∅ uma vez que (0,0,0) ∈ A;(ii) Sejam x = (x1, x2,0) e y = (y1, y2,0) dois

quaisquer elementos de A. Entao

x + y = (x1 + y1, x2 + y2,0)

e portanto x + y ∈ A;(iii) Para qualquer λ ∈ R e qualquer

x = (x1, x2,0) ∈ A,

λx = (λx1, λx2,0)

donde λx ∈ A.


De acordo com o teorema anterior, podemos concluir que

S e subespaco vectorial de E ⇒ 0E ∈ S

donde

0E /∈ S ⇒ S nao e subespaco vectorial de E

Exemplo

O conjunto S = {(x , y) ∈ R2 : x + y = 2} nao e um subespacovectorial de R2 uma vez que 0R2 = (0,0) /∈ S.


Combinacoes lineares

Seja E um espaco vectorial sobre um corpo K e sejamu1,u2, . . . ,un ∈ E .Qualquer vector u ∈ E da forma

u = α1u1 + α2u2 + . . .+ αnun,

onde αi ∈ K, i = 1,2, . . . ,n e chamado combinacao linear deu1,u2, . . . ,un.

Exemplo

O vector (2,4) ∈ R2 pode ser escrito como combinacao lineardos vectores (1,0) e (0,1), uma vez que

(2,4) = 2(1,0) + 4(0,1)


Dependencia e independencia linear

Seja E um espaco vectorial sobre um corpo K. Diz-se que osvectores u1,u2, . . . ,un ∈ E sao linearmente dependentes seexistem escalares α1, α2, . . . , αn ∈ K nao todos nulos tais que

α1u1 + α2u2 + . . .+ αnun = 0.

Caso contrario, dizem-se linearmente independentes.Seα1u1 + α2u2 + . . .+ αnun = 0⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0,os vectores u1,u2, . . . ,un sao linearmente independentes;Se um dos vectores uj e zero, entao os vectores ui ,i = 1, . . . ,n sao linearmente dependentes, pois

0u1 + . . .+ 1uj + . . .+ 0un = 0

e αj = 1 6= 0;Qualquer vector nao nulo u e por si so linearmenteindependente pois αu = 0⇒ α = 0.


Exemplo1 (1,2) e (0,3) sao linearmente independentes

α(1,2) + β(0,3) = (0,0)⇔ (α,2α + 3β) = (0,0)

⇒{α = 02α + 3β = 0

⇔{α = 0β = 0

2 u = (1,−1,0) e v = (1,3,−1) e w = (5,3,−2) saolinearmente dependentes

α(1,−1,0) + β(1,3,−1) + γ(5,3,−2) = (0,0,0)

⇒

α + β + 5γ = 0−α + 3β + 3γ = 0−β − 2γ = 0

⇔

α = −3γβ = −2γγ qualquer

Com, p.e., γ = 1, β = −3 e α = −2, temos−3u − 2v + w = 0.


Sistemas de geradores de um espaco vectorial

Seja S = {v1, v2, . . . , vn} um conjunto de vectores de umespaco vectorial E sobre um corpo K.O conjunto de todas as combinacoes lineares de elementos deS designa-se por subespaco gerado por S e representa-sepor 〈S〉 ou por 〈v1, v2, . . . , vn〉.

〈S〉 e um subespaco vectorial de E ;〈S〉 e o menor subespaco que contem S;Por convencao, se S = ∅ entao 〈S〉 = {0}.


Exemplo

Sejam S1 = {(1,1,3), (0,1,1), (1,2,4)} eS2 = {(1,0,2), (0,1,1)}. Determinemos o subespaco geradopor S1 e S2.O subespaco gerado por S1 e formado por vectores da forma

(x , y , z) = α(1,1,3) + β(0,1,1) + γ(1,2,4)

= (α + γ, α + β + 2γ, 3α + β + 4γ︸︷︷︸2(α+γ)+(α+β+2γ)

)

e portanto 〈S1〉 = {(x , y , z) ∈ R3 : z = 2x + y}.


O subespaco gerado por S2 e constituıdo por vectores daforma

(x , y , z) = α(1,0,2) + β(0,1,1) = (α, β,2α + β)

e portanto 〈S2〉 = {(x , y , z) ∈ R3 : z = 2x + y} = 〈S1〉.

Tal como este exemplo mostra, geralmente um espaco temmais do que um sistema de geradores.


Base e dimensao de um espaco vectorial

Base de um espaco vectorial e qualquer sistema de ger-adores do espaco, cujos elementos sejam linearmente inde-pendentes.

Exemplo

{(1,0), (1,−1)} e uma base de R2;O conjunto

Bc = {(1,0, . . . ,0), (0,1,0, . . . ,0), . . . , (0, . . . ,0,1)}

e uma base do espaco vectorial Rn e chama-se basecanonica.

Dimensao de um espaco vectorial E e o numero de elemen-tos de uma base de E e denota-se por dimE .


Seja E um espaco vectorialTodas as bases de E tem o mesmo numero de elementos;

Mais, se dimE = n, entaoQualquer conjunto de n vectores linearmenteindependentes de E constitui uma base de E ;Qualquer conjunto de n vectores que gera E e uma basede E ;Qualquer conjunto de n + 1 vectores e linearmentedependente;Sendo B = {b1,b2, . . . ,bn} uma base, entao qualquerelemento de E se escreve de modo unico comocombinacao linear dos elementos de B.


Seja B = {b1,b2, . . . ,bn} uma base de um espaco vectorialE , v = α1b1 + α2b2 + . . . + αnbn um elemento de E . Aos αi ,i = 1,2, . . . ,n, chamam-se coordenadas de v na base B eescreve-se (α1, α2, . . . , αn)B.

Exemplo

Determinemos as coordenadas do ponto (8,5) na basecanonica.A base canonica de R2 e

Bc = {(1,0), (0,1)}.

Como(8,5) = 8(1,0) + 5(0,1),

podemos entao escrever

(8,5) = (8,5)Bc


Definicao de matriz

A uma entidade do tipo

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

onde cada aij ∈ K, i = 1,2, . . . ,m, j = 1,2, . . . ,n, da-se o nomede matriz de m linhas e n colunas (ou matriz m × n) comelementos em K.E comum representar-se a matriz A por

(aij)

i=1,2,...,m;j=1,2,...,n,onde aij e o elemento do corpo K que na matriz A ocupa aposicao na linha i e na coluna j .O conjunto de todas as matrizes de m linhas e n colunas comelementos (ou entradas) em K denota-se porMm,n(K).


ExemploA matriz

A =

(1 0 2−1 4 3

)e uma matriz deM2,3(R), onde

a11 = 1, a12 = 0, a13 = 2, a21 = −1, a22 = 4, a23 = 3.

No caso em que K = R a matriz diz-se real (que e o caso damatriz acima) e no caso K = C a matriz diz-se complexa.


Quando:m = 1, a matriz da-se o nome de matriz (ou vector) linha;n = 1, a matriz da-se o nome de matriz (ou vector) coluna;m = n, a matriz diz-se quadrada. Representa-se porMn(K) o conjunto de todas as matrizes quadradas n × n(ou de ordem n), com entradas no corpo K.

Exemplo(−1 2 3

)=⇒ matriz linha(

10

)=⇒ matriz coluna(

1 2−2 −1

)=⇒ matriz quadrada de ordem 2


Seja A ∈Mn(K). A diz-se uma matriz:

triangular superior se aij = 0 para i > j ; e.g.:

2 −2 30 3 40 0 −2

triangular inferior se aij = 0 para i < j ; e.g.:

(2 0−1 3

)

diagonal se aij = 0 para i 6= j ; e.g.:

1 0 00 3 00 0 −2

escalar se for diagonal e aii = α, α ∈ K; e.g.:

(3 00 3

)

identidade se aii = 1 e aij = 0 para i 6= j ; e.g.:

1 0 00 1 00 0 1

nula se aij = 0, ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n}; e.g.:

(0 00 0

)E costume representar-se a matriz identidade de ordem n porIn ou simplesmente, I.


Sendo A uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos aiiconstituem a diagonal principal e os elementosan1,a(n−1) 1, . . . ,a1n constituem a diagonal secundaria.

Exemplo

A =

1 3 −14 0 06 2 5

A vermelho esta representada a diagonal principal

A =

1 3 −14 0 06 2 5

A amarelo esta representada a diagonal secundaria


Igualdade emMm,n(K)

Diz-se que duas matrizes A =(aij)

e B =(bij)

sao iguais sseforem da mesma ordem e aij = bij .

Exemplo

As matrizes A =

(2 00 2

)e B =

(bij): bij =

{2, i = j0, i 6= j

,

sao iguais;

As matrizes I2 =

(1 00 1

)e I3 =

1 0 00 1 00 0 1

nao sao

iguais pois nao sao o mesmo tipo, uma vez que I2 e umamatriz 2× 2 e I3 e uma matriz 3× 3.


Adicao emMm,n(K)

Dadas duas matrizes de Mm,n(K): A =(aij)

e B =(bij)

asua soma e definida por

A + B =(aij)

+(bij)

=(aij + bij

).

Exemplo

A =

2 1 30 −2 20 10 4

, B =

3 4 06 −9 1−1 3 0

,

A + B =

2 + 3 1 + 4 3 + 00 + 6 −2− 9 2 + 10− 1 10 + 3 4 + 0

=

5 5 36 −11 3−1 13 4

.


Multiplicacao de um escalar por uma matriz

Seja A =(aij)∈ Mm,n(K) uma matriz e λ ∈ K um escalar.

Define-se a multiplicacao de λ por A por

λA = λ(aij)

=(λaij).

Exemplo

2

−1 00 34 5

=

2× (−1) 2× (0)2× (0) 2× (3)2× (4) 2× (5)

=

−2 00 68 10


Com as operacoes de soma, (+), de matrizes e demultiplicacao de uma matriz por um escalar, (·) assimdefinidas, o terno (Mm,n(K),+, ·) e um espaco vecto-rial sobre K de dimensao m × n.

Exemplo

O conjunto

B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}constitui uma base deM2,2(R), pois

α

(1 00 0

)+ β

(0 10 0

)+ γ

(0 01 0

)+ δ

(0 00 1

)=

(0 00 0

)⇔(

α βγ δ

)=

(0 00 0

)⇔ α = β = γ = δ = 0,

ou seja, os elementos de B sao linearmente independentes;


Por outro lado, qualquer matriz(

a bc d

)deM2,2(R) pode ser escrita como

combinacao linear de elementos de B:(a bc d

)= a

(1 00 0

)+ b

(0 10 0

)+ c

(0 01 0

)+ d

(0 00 1

),

i.e., B e um conjunto gerador deM2,2(R).

�Mostre que o conjunto das matrizes diagonais de ordem n e um subespaco vectorialde

Mn(R)

de dimensao n.


Multiplicacao de matrizes

Sejam A =(aij)∈ Mm,n(K) e B =

(bij)∈ Mn,p(K). Define-

se o produto de A por B com sendo a matriz:

AB =(cij)∈Mm,p(K),

onde

cij = ai1b1j +ai2b2j +. . .+ainbnj , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,p.

Exemplo (1 0 32 −1 1

)·

1 0 10 1 0−1 2 0

=

=

(1× 1 + 0× 0 + 3× (−1) 1× 0 + 0× 1 + 3× 2 1× 1 + 0× 0 + 3× 02× 1− 1× 0 + 1× (−1) 2× 0− 1× 1 + 1× 2 2× 1− 1× 0 + 1× 0

)=

=

(−2 6 11 1 2

)


Note que nem sempre e possıvel o produto de duas matrizes eportanto podemos concluir que, geralmente, o produto dematrizes nao e comutativo.

Duas matrizes A e B dizem-se permutaveis sse AB = BA.

Sejam A,A′ ∈Mm,n(K), B,B′ ∈Mn,p(K) e C,C′ ∈Mp,q(K).Entao:

(i) (AB)C = A(BC);(ii) (A + A′)B = AB + A′B;(iii) A(B + B′) = AB + AB′;(iv) ImA = A = AIn;(v) ∀λ ∈ K, λ(AB) = (λA)B = A(λB).


Transposta de uma matriz

Seja A ∈ Mm,n(K). A matriz transposta de A e a matrizB ∈ Mn,m(K) cuja coluna i e a linha j da matriz A, i.e., seA =

(aij), entao B =

(aji). Normalmente utiliza-se AT para

denotar a transposta de A.

Exemplo

Sendo A =

(1 2 34 5 6

), AT =

1 42 53 6

.


Matrizes simetricas e hemi-simetricas

Uma matriz A ∈ Mn(K) diz-se simetrica sse AT = A ⇔(aij)

=(aji), i.e., os elementos colocados em posicao

simetrica face a diagonal principal sao iguais.No caso em que AT = −A ⇔

(aij)

= −(aji), a matriz diz-se

hemi-simetrica.

Exemplo

A =

1 −1 4−1 2 54 5 3

e uma matriz simetrica.

B =

0 −1 41 0 5−4 −5 0

e uma matriz hemi-simetrica.


Sejam A e B duas matrizes para as quais estao definidas assuas somas e produtos. Entao

(A + B)T = AT + BT ;(AB)T = BT AT ;(AT )T

= A;(λA)T = λAT , λ ∈ K.

�Sejam A e B duas matrizes simetricas. Mostre queAB e simetrica⇔ AB = BA.


Matriz conjugada

Seja A ∈ Mm,n(C). Define-se matriz conjugada de A, edenota-se por A, como sendo a matriz cujas entradas sao osconjugados das entradas da matriz A, i.e., se A =

(aij), entao

A =(aij).

Exemplo

Sendo A =

(1 −i 2 + i

4− i 2 0

), entao

A =

(1 −i 2 + i

4− i 2 0

)=

(1 i 2− i

4 + i 2 0

).


Sejam A e B duas matrizes para as quais estao definidas assuas operacoes de soma e produto. Entao:

A + B = A + B;AB = AB;

A = A;λA = λA, λ ∈ K.

�Sendo A ∈Mm,n(C), prove que A e uma matriz real sseA = A.


Matriz transconjugada

Seja A ∈ Mm,n(C). Define-se matriz transconjugada de A,e denota-se por A∗, como sendo a matriz cuja entrada (ij) eo conjugado da entrada (ji) de A, i.e., se A =

(aij), entao

A∗ = AT =(aji).

Exemplo

Sendo A =

(1 −i 2 + i

4− i 2 0

), entao

A =

(1 i 2− i

4 + i 2 0

)e

A∗ = AT =

1 4 + ii 2

2− i 0

.


Sejam A e B duas matrizes para as quais estao definidas assuas operacoes de soma e produto.

(A∗)∗ = A;(A + B)∗ = A∗ + B∗;(AB)∗ = B∗A∗;(λA)∗ = λA∗, λ ∈ K.


Matrizes hermıticas e semi-hermıticas

Uma matriz A ∈Mn(K) diz-se hermıtica sse A∗ = A.No caso em que A∗ = −A, a matriz diz-se hemi-hermıtica.

Exemplo

A =

1 2− i i2 + i 0 0−i 0 3

e uma matriz hermıtica pois

A∗ =(

A)T

1 2 + i −i2− i 0 0

i 0 3

T

=

1 2− i i2 + i 0 0−i 0 3

= A


Seja B = {v1, v2, . . . , vn} um conjunto de vectores de umespaco vectorial E , de dimensao finita, sobtre um corpo K.Define-se a caracteristica de B e denota-se por r(B) comosendo o numero maximo de vectores linearmenteindependentes.

Exemplo

Sendo B = {( 1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)}, temos r(B) = 2 umavez que

(1,1,0) = (1,0,0) + (0,1,0),

e os dois primeiros vectores de B sao linearmenteindependentes (fazem parte da base canonica de R3).


Seja A ∈Mm,n(K).Caracterıstica-linha da matriz A, rL(A), e acaracterıstica do conjunto das suas linhas{L1,L2, . . . ,Lm} encaradas como vectores de Kn;Caracterıstica-coluna da matriz A, rC(A), e acaracterıstica do conjunto das suas colunas{C1,C2, . . . ,Cn} encaradas como vectores de Km.

Exemplo

Seja In a matriz identidade de ordem n deMn(K).O conjunto das suas linhas e igual ao conjunto das suascolunas, que por sua vez e igual a base canonica de Rn. Entao

rL(In) = rC(In) = n.


Veremos adiante que:

Toda a matriz nao nula deMm,n(K) pode ser transformadanuma outra matriz da forma

A′ =

(Ir 00 0

),

de tal modo que a caracterıstica linha (ou coluna) da matriznao se altera.

Assim rL(A) = rC(A) = r e podemos entao definir

A caracterıstica de uma matriz e a caracterıstica do conjuntodas suas filas (linhas ou colunas).


Operacoes elementares sobre as linhas (ou colunas)de uma matriz

Ha tres tipos de operacoes que permitem transformar a matriznuma da forma descrita no slide anterior (condensacao damatriz):

Troca de filas paralelas (fi ↔ fj );Multiplicacao de uma fila por um escalar nao nulo(fi ← λfj );Adicao a uma fila de uma outra paralela multiplicada porum escalar (fi ← fi + λfj ).

�Mostre que as operacoes elementares nao alteram acaracterıstica da matriz.


Exemplo

A =

1 1 0 21 0 1 12 1 1 3

−→L2 ← L2 − L1L3 ← L3 − 2L1

1 1 0 20 −1 1 −10 −1 1 −1

−→L3 ← L3 − L2 1 1 0 2

0 −1 1 −10 0 0 0

−→L1 ← L1 + L2

1 0 1 10 −1 1 −10 0 0 0

−→L2 ← −L2 1 0 1 1

0 1 −1 10 0 0 0

−→C3 ← C3 − C1C4 ← C4 − C1

1 0 0 00 1 −1 10 0 0 0

−→

C3 ← C3 + C2C4 ← C4 − C2

1 00 1 0

0 0

= A′

Logo r(A) = 2.


Metodo de GaussDada uma matriz A =

(aij)∈Mm,n(K), cuja entrada a11 6= 0 (caso contrario as

operacoes elementares permitiriam fazer troca de filas de tal forma a que tal aconteca)”Transformar”todas as entradas a21, a31, . . . , am1 em zero atraves dasoperacoes elementares:

a11 a11 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

−→

L2 ← L2 −a21a11

L1

L3 ← L3 −a31a11

L1

...Lm ← Lm − am1

a11L1

a11 a11 · · · a1n0 a′22 · · · a′2n...

.... . .

...0 a′m2 · · · a′mn

onde a′ij = aij −a21ai1

a1j ;

Repetir o processo na submatriz

a′22 a′23 · · · a′2na′32 a′33 · · · a′3n

......

. . ....

a′m2 a′m3 · · · a′mn

ate obtermos

uma matriz da forma A′ =(

B CD E

), onde B e uma matriz triangular

superior cujos elementos da diagonal principal sao diferentes de zero e D e E(caso existam) sao nulas.


Sabendo queToda a matriz triangular com todos os elementos da diagonalprincipal diferentes de zero, tem caracterıstica igual a suaordemo metodo de Gauss permite-nos facilmente determinar acaracterıstica de uma matriz.

Exemplo

A =

2 2 5 02 4 −2 22 6 −4 3

−→L2 ← L2 − L1L3 ← L3 − L1

2 2 3 00 2 −7 20 4 −9 3

−→L3 ← L3 − 2L2 2 2 3 0

0 2 −7 20 0 5 0

,

donde r(A) = 3.


Matrizes invertıveis

Diz-se que A ∈Mn(K) e invertıvel sse existir B ∈Mn(K) talque

AB = BA = In.

B diz-se entao a inversa de A (e tambem que A e a inversade B) e denota-se a inversa de A por A−1.Sempre que A admita inversa, dizemos que A e regular, casocontrario, dizemos que e singular.


Se A,B ∈Mn(K) sao regulares, entao o seu produto e uma matriz regular e

(AB)−1 = B−1A−1.

De facto

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AInA−1 = AA−1 = In

(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1InB = B−1B = In,

ou seja, B−1A−1 e a inversa de AB.Sendo A ∈Mn(K) uma matriz invertıvel, entao(

AT)−1

=(

A−1)T,

pois sendo A uma matriz invertıvel, existe A−1 tal que

AA−1 = In = A−1A.

Transpondo:(AA−1

)T= (In)T =

(A−1A

)T⇔(

A−1)T

AT = In = AT(

A−1)T

,

ou seja,(AT )−1 e a inversa de

(A−1)T .


Calculo da inversa pelo metodo de Gauss-Jordan

O metodo de Gauss-Jordan e o algoritmo que atraves deoperacoes elementares sobre linhas e/ou troca de colunaspermite transformar uma dada matriz numa outra do tipo:(

Ir C0 0

)

Seja A ∈Mn(K) uma matriz invertıvel. A matriz (In|B) obtidaa partir da matriz (A|In) por aplicacao do metodo de Gauss-Jordan, usando apenas operacoes elementares sobre lin-has, e tal que

AB = BA = In, i.e., B = A−1.


ExemploDeterminemos, pelo metodo de Gauss-Jordan, a inversa da matriz

A =

1 0 22 −1 34 1 8

1 0 2 1 0 0

2 −1 3 0 1 04 1 8 0 0 1

−→L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 4L1

1 0 2 1 0 00 −1 −1 −2 1 00 1 0 −4 0 1

−→

L3 ← L3 + L2

1 0 2 1 0 00 −1 −1 −2 1 00 0 −1 −6 1 1

−→L2 ← (−L2)L3 ← (−L3) 1 0 2 1 0 0

0 1 1 2 −1 00 0 1 6 −1 −1

−→L2 ← L2 − L3

L1 ← L1 − 2L3

1 0 0 −11 2 20 1 0 −4 0 10 0 1 6 −1 −1

,

logo A−1 =

−11 2 2−4 0 16 −1 −1

.


Definicao de determinante

Chama-se determinante de ordem n a uma funcao que acada n-upla de vectores (v1, v2, . . . , vn) de Kn faz correspon-der um escalar. Denota-se por det(v1, v2, . . . , vn) = 0 e satis-faz:

Multilinearidade:(i) ∀1 ≤ k ≤ n, det(v1, . . . , vk +wk , . . . , vn) =

det(v1, . . . , vk , . . . , vn) +det(v1, . . . ,wk , . . . , vn);

(ii) ∀1 ≤ k ≤ n, ∀α ∈K, det(v1, . . . , αvk , . . . , vn) =αdet(v1, . . . , vk , . . . , vn);

Se vi = vj , i 6= j entao det(v1, v2, . . . , vn) = 0;Se (e1,e2, . . . ,en) e a base canonica de Kn, entaodet(e1,e2, . . . ,en) = 1.


A determinante de (v1, v2, . . . , vn) tambem se chama dedeterminante da matriz A =Mn(K) cujas filas sao os vectoresv1, v2, . . . , vn e escreve-se

detA = |A| = det(v1, v2, . . . , vn).

Sejam v1, v2, . . . , vn n vectores de Kn. Entaodet(v1, . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn) =−det(v1, . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn);se vk = 0 para algum k ∈ {1,2, . . . ,n} entaodet(v1, . . . , vk , . . . , vn) = 0;det(v1, . . . , vi + αvj , . . . , vj , . . . , vn) =det(v1, . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn);se os vectores v1, v2, . . . , vn sao linearmentedependentes entao det(v1, v2, . . . , vn) = 0.


Determinantes de ordem 1

Seja v1 = (a11), i.e., v1 = a11e1 onde {e1} e a base canonicade K. Entao

det(v1) = det(a11e1) = a11 det(e1)︸︷︷︸1

= a11,

portanto |a11| = a11.



Sejam v1 = (a11,a12) e v2 = (a21,a22), i.e.,

v1 = a11e1 + a12e2 e v2 = a21e1 + a22e2,

onde {e1,e2} e a base canonica de Kn. Entao

det (v1, v2) = det (a11e1 + a12e2, a21e1 + a22e2)

= det (a11e1, a21e1 + a22e2) + det (a12e2, a21e1 + a22e2)

= a11det (e1, a21e1 + a22e2) + a12det (e2, a21e1 + a22e2)

= a11 [det (e1, a21e1) + det (e1, a22e2)] + a12 [det (e2, a21e1) + det (e2, a22e2)]

= a11

a21 det (e1, e1)︸︷︷︸0

+a22 det (e1, e2)︸︷︷︸1

+ a12

a21 det (e2, e1)︸︷︷︸−1

+a22 det (e2, e2)︸︷︷︸0

= a11a22 − a12a21.


Assim, det(v1, v2) =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Exemplo∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ = 1× 4− 2× 3 = −2.



Sejam v1 = (a11,a12,a13), v2 = (a21,a22,a23) ev2 = (a31,a32,a33) tres vectores de Kn. Procedendo comoanteriormente, obtemos a regra de Sarrus:∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31

− a13a22a31 − a23a32a11 − a12a21a33.

Exemplo

∣∣∣∣∣∣1 2 3−1 −2 30 4 5

∣∣∣∣∣∣ = 1× (−2)× 5 + (−1)× 4× 3 + 2× 3× 0

− 3× (−2)× 0− 3× 4× 1− 2× (−1)× 5 = −24.


Formula de Laplace

Seja A ∈ Mn(K). Representemos por Aij a matriz de ordemn − 1 que se obtem de A retirando a linha i e a coluna j .Chama-se cofactor ij , e representa-se por cij a

cij = (−1)i+j ∣∣Aij∣∣ .

A formula de Laplace permite exprimir determinantes deordem n a custa de determinantes de ordem n − 1.Seja A = (aij) uma matriz de ordem n. Entao

|A| =∑n

j=1 aijcij ←− Expansao de |A| relativamente alinha i ;|A| =

∑ni=1 aijcij ←− Expansao de |A| relativamente a

coluna j


Exemplo

Seja A =

1 2 3 40 5 −1 00 0 −3 12 0 1 −1

.

Facamos a expansao de |A| relativamente (por exemplo)

a linha 3:

|A| =4∑

j=1

aij cij = a31︸︷︷︸0

c31 + a32︸︷︷︸0

c32 + a33c33 + a34c34

= (−3)× (−1)3+3

∣∣∣∣∣∣1 2 40 5 02 0 −1

∣∣∣∣∣∣+ 1× (−1)3+4

∣∣∣∣∣∣1 2 30 5 −12 0 1

∣∣∣∣∣∣= −3(−5− 40)− (5− 4− 30) = 164.

a coluna 2:

|A| = 2× (−1)1+2

∣∣∣∣∣∣0 −1 00 −3 12 1 −1

∣∣∣∣∣∣+ 5× (−1)2+2

∣∣∣∣∣∣1 3 40 −3 12 1 −1

∣∣∣∣∣∣= −2(−2) + 5(3 + 6 + 24− 1) = 164.


Suponhamos que A e uma matriz triangular superior de ordemn:

A =

a11 a12 · · · · · · a1n0 a22 · · · · · · a2n0 0 a33 · · · a3n...

. . ....

0 · · · · · · 0 ann

Usando a formula de Laplace vem

|A| = a11c11 + 0c21 + 0c31 + . . .+ 0cn1

= a11 (a22c22 + 0c32 + . . .+ 0cn2) = a11a22c22

= a11a22 (a33c33 + 0c43 + . . .+ 0cn3) = a11a22a22c33

= · · ·= a11a22a33 · · · ann


�Mostre que o mesmo acontece se, em vez de uma matriztriangular superior, suposer que |A| e uma triangular inferior.

Podemos entao concluir o seguinte resultado:

Se |A| e uma matriz triangular, entao o seu determinante eigual ao produto dos elementos da diagonal principal.


�Mostre ainda que, sendo A,B ∈Mn(K):

det(AB) = (detA)(detB);

det(AT ) = detA;

det(A) = detA.


Exemplo∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1 1 11 0 1 1 02 3 4 5 11 1 0 1 11 1 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

L2 ←− L2 − L1L3 ←− L3 − 2L1L4 ←− L4 − L1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1 1 10 0 0 0 −10 3 2 3 −10 1 −1 0 00 1 2 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

L2 ←→ L5

−

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1 1 10 1 2 1 00 3 2 3 −10 1 −1 0 00 0 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

L3 ←− L3 − 3L2L4 ←− L4 − L2

−

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1 1 10 1 2 1 00 0 −4 0 −10 0 −3 −1 00 0 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

L4 ←− L4 − 34 L3

−

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1 1 10 1 2 1 00 0 −4 0 −10 0 0 −1 3

40 0 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −1× 1× (−4)× (−1)× (−1) = 4


Calculo da inversa de uma matriz

Dada uma matriz A =(aij)∈ Mm,n(K), podemos construir a

matriz dos cofactores, cofA =(cij), onde cij e o cofactor-ij .

A transposta da matriz dos cofactores de A chamamos ad-junta de A e representa-se por adjA:

adjA = (cofA)T .

Seja A ∈Mm,n(K). Tem-se

A adjA = |A|In.


�: Mostre que

Uma matriz A e invertıvel sse|A| 6= 0;

Se A e invertıvel entao|A−1| = 1

|A| ;


Exemplo

Calculemos a inversa da matriz A =

1 −2 40 5 23 −1 0

.

Comecemos por calcular o seu determinante (p.e., pela regra de Sarrus):

|A| = −12− 60 + 2 = −70 6= 0,

logo A e invertıvel.Calculemos agora a matriz dos cofactores:

c11 = (−1)1+1∣∣∣∣ 5 2−1 0

∣∣∣∣ = 2 c12 = (−1)1+2∣∣∣∣ 0 2

3 0

∣∣∣∣ = 6

c13 = (−1)1+3∣∣∣∣ 0 5

3 −1

∣∣∣∣ = −15 c21 = (−1)2+1∣∣∣∣ −2 4−1 0

∣∣∣∣ = −4

c22 = (−1)2+2∣∣∣∣ 1 4

3 0

∣∣∣∣ = −12 c23 = (−1)2+3∣∣∣∣ 1 −2

3 −1

∣∣∣∣ = −5

c31 = (−1)3+1∣∣∣∣ −2 4

5 2

∣∣∣∣ = −24 c32 = (−1)3+2∣∣∣∣ 1 4

0 2

∣∣∣∣ = −2

c33 = (−1)3+3∣∣∣∣ 1 −2

0 5

∣∣∣∣ = 5


cofA =

2 6 −15−4 −12 −5−24 −2 5

, adjA = (cofA)T =

2 −4 −246 −12 −2−15 −5 5

,

logo

A−1 =1|A|

adjA = −1

70

2 −4 −246 −12 −2−15 −5 5

.


Equacao linear

Uma equacao linear sobre o corpo R e uma expressao daforma

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,

onde ai , i = 1, . . . ,n, e b sao numeros reais e os xi ,i = 1, . . . ,n, sao as chamadas incognitas (ou variaveis).Os escalares ai sao chamados coeficientes de xi ,respectivamente, e ao escalar b e dado o nome de termoindependente.Dizemos que u = (k1, k2, . . . , kn) e solucao da equacao linearse a igualdade obtida substituindo xi por ki :

a1k1 + a2k2 + . . .+ ankn = b

for verdadeira. Diz-se entao que esse conjunto de valoressatisfaz a equacao.


Exemplo

x + 2y − 4z + w = 3

e uma equacao linear nas incognitas x , y , z e w .A 4-upla u = (3,2,1,0) e solucao da equacao pois

3 + 2(2)− 4(1) + 0 = 3.

A 4-upla u = (1,2,1,0) nao e solucao da equacao pois

1 + 2(2)− 4(1) + 0 = 1 6= 3.


As solucoes de uma equacao linear podem ser facilmentedescritas e obtidas. Ha tres casos:

Um dos coeficientes, digamos a1 e nao nulo e entao podemos reescrever aequacao na forma

x1 =ba1−

a2

a1x2 − . . .−

an

a1xn.

Atribuindo valores as incognitas x2, x3, . . . , xn, determinamos um valor para x1,obtendo desta forma uma solucao para a equacao;

Todos os coeficientes sao zero, mas o termo independente nao, i.e., temos umaequacao da forma

0x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b, b 6= 0,

e neste caso a equacao nao tem solucao;

Todos os coeficientes sao zero, e o termo independente tambem. Neste caso aequacao escreve-se

0x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = 0,

e portanto toda a n-upla de escalares em R e solucao da equacao.


A uma conjuncao de um numero finito de equacoes linearessobre um corpo K damos o nome de sistema de equacoeslineares sobre K.

Um sistema linear de m equacoes a n incognitasrepresenta-se, usualmente, na forma

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm


Diz-se que o sistema e homogeneo se b1 = b2 = . . . = bn = 0.

Uma n-upla de escalares k1, k2, . . . , kn diz-se uma solucao (ousolucao particular) se satisfaz cada uma das equacoes. Oconjunto de todas as solucoes particulares e chamado deconjunto solucao ou solucao geral.

Note que um sistema linear homogeneo tem sempre asolucao 0 = (0,0, . . . ,0), a chamada solucao nula ou triv-ial. Qualquer outra solucao, se existir, e chamada de solucaonao nula ou nao trivial.


Solucao de um sistema de equacoes lineares pelometodo de eliminacao de Gauss

Um sistema de m equacoes lineares em n incognitas pode serreduzido a um sistema mais simples, usando as seguintesoperacoes elementares, que o transformam num sistemaequivalente (i.e., um sistema com o mesmo conjunto solucao):

Troca de duas equacoes Li ↔ Lj , i = 1, . . . ,m, emparticular, para que a primeira equacao tenha o primeirocoeficiente nao nulo;Multiplicacao de uma equacao por um escalar nao nulo,Li ← αLi , i = 1, . . . ,m, α 6= 0;Para cada i > 1, Li ← −ai1L1 + a11Li .


Eliminamos assim a primeira incognita nas equacoes2,3, . . . ,m. Supondo que inicialmente a11 6= 0 obtemos osistema

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a′22x2 + . . .+ a′2nxn = b′2...a′m2x2 + . . .+ a′mnxn = b′m

Note que1 Se ocorre uma equacao 0x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = b, b 6= 0,

entao o sistema e impossıvel, i.e., nao tem solucao;2 Se surge uma equacao 0x1 + 0x2 + . . .+ 0xn = 0, entao

ela pode ser suprimida sem que isso afecte a solucao dosistema.


Repetimos o processo no sub-sistema a vermelho e assimsucessivamente ate chegarmos a conclusao que o sistemaou e impossıvel ou redutıvel a um sistema da forma

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a′22x2 + . . .+ a′2nxn = b′2...a′rr xr + . . .+ a′rnxn = b′r

onde 2 < r e os coeficientes iniciais a′22, . . .a′rr nao sao

nulos. Diz-se que o sistema esta na forma escalonada.As incognitas xi que nao aparecem no inıcio de nenhumaequacao sao chamadas variaveis livres.


Solucao de um sistema na forma escalonada

Quando um sistema possıvel (i.e., que admite solucao) esta naforma escalonada, duas situacoes podem ocorrer

1 r = n, i.e., ha tantas equacoes quanto incognitas. Nestecaso o sistema tem solucao unica e diz-se possıvel edeterminado;

2 r < n, i.e., ha menos equacoes do que incognitas. Nestecaso, podemos atribuir valores arbitrarios as incognitaslivres e desta forma obter varias solucoes do sistema.Quando tal acontece (i.e., o sistema tem mais do que umasolucao), ele diz-se possıvel e indeterminado.


Um sistema impossıvel

Exemplo

2x+y-2z+3w=13x+2y-z+2w=43x+3y+3z-3w=5

⇐⇒L2 ← 2L2 − 3L1L3 ← 2L3 − 3L1

2x+y-2z+3w=1

y+4z-5w=53y+12z-15w=7

⇐⇒L3 ← L3 − 3L2

2x+y-2z+3w=1

y+4z-5w=50=-8

A ultima equacao mostra que o sistema e impossıvel.


Um sistema possıvel e determinado

Exemplox+2y-3z=4x+3y+z=112x+5y-4z=132x+6y+2z=22

⇐⇒L2 ← L2 − L1

L3 ← L3 − 2L1L4 ← L4 − 2L1

x+2y-3z=4

y+4z=7y+2z=5

2y+8z=14

⇐⇒L3 ← −L3 + L2L4 ← L4 − 2L2

x+2y-3z=4

y+4z=72z=20=0

⇐⇒

x+2y-3z=4

y+4z=72z=2

Note, em primeiro lugar, que o sistema e possıvel pois nao ocorre nenhuma equacaodo tipo 0 = b, com b 6= 0. Alem disso, como na forma escalonada ha tres equacoes atres incognitas, o sistema e determinado.Pela terceira equacao z = 1 que substituıdo na segunda equacao resulta em y = 3.Finalmente, substituindo estes valores de z e y na primeira equacao obtemos x = 1.Assim, x = z = 1 y = 3 ou, por outras palavras, a 3-upla (1, 3, 1) e a unica solucaodo sistema.


Um sistema possıvel e indeterminado

Exemplox+2y-2z+3w=22x+4y-3z+4w=55x+10y-8z+11w=12

⇐⇒L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 5L1

x+2y-2z+3w=2

z-2w=12z-4w=2

⇐⇒L3 ← L3 − 2L2

x+2y-2z+3w=2

z-2w=10=0

⇐⇒{

x+2y-2z+3w=2z-2w=1

O sistema e possıvel e como na forma escalonada ha mais incognitas do queequacoes, o sistema tem uma infinidade de solucoes.De facto, ha duas variaveis livres, y e w, e portanto uma solucao do sistema pode serobtida atribuindo a estas variaveis quaisquer valores.Substituindo y = a e w = b na segunda equacao obtem-se z = 1 + 2b; Substituindoestes valores de y, w e z na primeira equacao, obtemos x = 4− 2a + b. Assim, asolucao geral do sistema e

x = 4− 2a + b, y = a, z = 1 + 2b e w = b, a, b sao numeros arbitrarios.


Representacao na forma matricial

Vimos que ao trabalhar com um sistema de equacoes lineares, apenas os coeficientese as respectivas posicoes sao importantes. Assim sendo, esses coeficientes podemser devidamente ”arrumados”numa matriz.Um sistema de m equacoes a n incognitas, na sua forma geral pode ser escrito

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

=

b1b2...

bm

,

ou seja a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · am2

︸︷︷︸

A

x1x2...

xn

︸︷︷︸

x

=

b1b2...

bm

︸︷︷︸

b

.

O sistema escreve-se entao Ax = b,A→ matriz dos coeficientesx → matriz das incognitasb → matriz dos termos independentes

.


Define-se a matriz ampliada do sistema Ax = b como sendo a matriz de n + 1 colu-nas, onde as primeiras n constituem a matriz dos coeficientes e a ultima e a matrizdos termos independentes. A matriz ampliada do sistema Ax = b representa-sepor [A|b]:

[A|b] =

a11 a12 · · · a1n | b1a21 a22 · · · a2n | b2...

.... . .

... |...

am1 am2 · · · amn | bm

.

Exemplo

O sistema

2x − y + z = 0x + y − 3z = 1y + 4z = −2

, escreve-se na forma matricial:

2 −1 11 1 −30 1 4

xyz

=

01−2

.

A sua matriz ampliada e: [A|b] =

2 −1 1 | 01 1 −3 | 10 1 4 | −2

.


Recordemos que se num sistema de equacoes lineares, trocarmos duas equacoes,multiplicarmos uma equacao por um escalar nao nulo, ou se uma equacao forsubstituıda pela sua soma com uma outra multiplicada por um escalar, entao obtemosum sistema equivalente ao inicial.

Em termos matriciais, isto significa que se na matriz ampliada de um sistemaefectuarmos qualquer uma das tres operacoes elementares sobre linhas, entaoobteremos a matriz ampliada de um sistema equivalente ao inicial.

O metodo de eliminacao de Gauss para a resolucao de um sistema Ax = b consistena utilizacao das operacoes elementares sobre as linhas da matriz ampliada [A|b]de forma a tranforma-lo num outro

A′ =(

B C0 0

),

onde B e uma matriz triangular com elementos diagonais nao nulos.

Nota: Em certos casos, para se atingir este objectivo pode ser necessario efectuar

troca de colunas na matriz dos coeficientes. Se for esse o caso, nao nos devemos

esquecer que isso equivale a trocar a ordem das incognitas.


Exemplo

Consideremos o seguinte sistema

2x + z = 03x + y + 2z = 1x + 2y + z = 02z = 6

, que na forma matricial se

escreve 2 0 13 1 21 2 10 0 2

x

yz

=

1206

.

A sua matriz ampliada e2 0 1 | 13 1 2 | 21 2 1 | 00 0 2 | 6

−→L2 ← 2L2 − 3L1L3 ← 2L3 − L1

2 0 1 | 10 2 1 | 10 4 1 | −10 0 2 | 6

−→L3 ← L3 − 2L1

2 0 1 | 10 2 1 | 10 0 −1 | −30 0 2 | 6

−→L4 ← L4 + 2L3

2 0 1 | 10 2 1 | 10 0 −1 | −30 0 0 | 0

,


que e a matriz ampliada de um sistema equivalente ao inicial e que se escreve 2x + z = 02y + z = 1−z = −3

⇔

x = −1y = −1z = 3

Relembrando o que foi dito acerca da existencia e unicidade de solucao de umsistema de equacoes lineares, podemos concluir que em termos das caracterısticasda matriz dos coeficientes do sistema e da matriz ampliada:

Dado um sistema de m equacoes lineares a n incognitas, Ax = b:

se r(A) < r ([A|B]) o sistema e impossıvel;

se r(A) = r ([A|B]) = n o sistema e possıvel e determinado;

se r(A) = r ([A|B]) < n o sistema e posssıvel e indeterminado.


Exemplo

Dado o sistema

x − ay + z = −bx − y + (b + 1)z = 1x − y + z = 3

, determinemos os valores dos escalares a

e b de forma a que o sistema seja impossıvel, possıvel determinado e possıvelindeterminado.Consideremos a matriz ampliada do sistema: 1 −a 1 | −b

1 −1 b + 1 | 11 −1 1 | 3

−→L2 ← L2 − L1L3 ← L3 − L1

1 −a 1 | −b1 −1 + a b | 1 + b0 −1 + a 0 | 3 + b

−→

L3 ← L3 − L2

1 −a 1 | −b1 −1 + a b | 1 + b0 0 −b | 2


Se b = 0, entao a matriz ampliada reduz-se a

1 −a 1 | 01 −1 + a b | 10 0 0 | 2

,

logo o sistema e impossıvel;

Se b 6= 0 e a 6= 1, r(A) = r([A|b]) = 3 e portanto o sistema e possıvel edeterminado;

Se b 6= 0 e a = 1, a matriz ampliada reduz-se a 1 −1 1 | −b1 0 b | 1 + b0 0 −b | 2

−→L3 ← L3 + L2

1 −1 1 | −b1 0 b | 1 + b0 0 0 | b + 3

,e portanto

(i) se b 6= −3, o sistema e impossıvel;(ii) se b = −3, r(A) = r([A|b]) = 2 < 3 e portanto o sistema e

possıvel e determinado.


Um sistema Ax = b diz-se de Cramer sse A e uma matrizinvertıvel.

Todo o sistema de Cramer tem solucao unica.

Dem.: Se Ax = b e um sistema de Cramer, entao A e invertıvel, logo a solucao dosistema pode ser dada por

A−1Ax = A−1b ⇔ Ix = A−1b ⇔ x = A−1b,

pelo que o sistema e sempre possıvel.Analisemos agora a questao da unicidade. Para tal, suponhamos que existem duassolucoes do sistema: x e y , i.e., Ax = b e Ay = b. Entao

A(x − y) = 0⇔ x − y = A−10⇔ x − y = 0⇔ x = y .


Regra de Cramer

Seja Ax = b um sistema de Cramer de n equacoes a nincognitas xi . Tem-se

xi =

∣∣ACi←b∣∣

|A|Dem.: Sendo Ax = b um sistema de Cramer, entao

x = A−1b =

(1|A|

adj(A)

)b =

1|A|

(adj(A)b) .

Para cada i = 1, . . . , n,

xi =1|A|(

(−1)1+i |A1i | (−1)2+i |A2i | · · · (−1)n+i |Ani |)

b1b2...

bn

=

1|A|

[(−1)1+i |A1i | b1 + (−1)2+i |A2i | b2 + · · ·+ (−1)n+i |Ani | bn

]︸︷︷︸∣∣∣ACi←b

∣∣∣, (Formula de Laplace)

.


Exemplo

O seguinte sistema

x + y + z = 1x + 4y + 4z = 1x + y + 2z = 1

, escreve-se na forma matricial:

1 1 11 4 41 1 2

︸︷︷︸

A

xyz

=

111

︸︷︷︸

b

.

E um sistema de Cramer pois|A| = 3 6= 0.

Pela regra de Cramer a sua solucao e determinada por

x =

∣∣∣∣∣∣1 1 11 4 41 1 2

∣∣∣∣∣∣3

=33

= 1; y =

∣∣∣∣∣∣1 1 11 1 41 1 2

∣∣∣∣∣∣3

=03

= 0; z =

∣∣∣∣∣∣1 1 11 4 11 1 1

∣∣∣∣∣∣3

=03

= 0.


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cMatemática Parte I: Álgebra Linear